chuyên đề hình học giải tích trong không gian - lê bá trần phương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
LỚP TOÁN VB2-K2



























LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Khóa học
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Hình học giải tích trong không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Bài 1. Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxy z, cho 4 điểm A(0;0;1), B(0;0;2), C(0;1;3), D(1;3;0).
a. CM A, B, C, D không đồng phẳng .
b. Tính bán kính đường tròn ng oại tiếp tam giác ABC.
c. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam g iác ABC.
d. Tính đường cao hạ từ đỉnh D của tứ diện ABCD.
e. Tính đường cao hạ từ đỉnh B của tam g iác ABC.
Bài 2. Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxy z, cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB, CD và có A(1;1;1),
B(-1;2;0), C(1;3;-1). Tìm tọa độ D.
Bài 3. Trong không g ian Oxy z cho ba điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0)
a. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông .
b. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam g iác ABC
c. Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ A
d. Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành.
Giáo viên: Lê Bá Trần P hƣơng
Nguồn: Hocm ai.vn
KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Khóa học
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Hình học giải tích trong không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -

Bài 1. Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxy z, cho 4 điểm A(0;0;1), B(0;0;2), C(0;1;3), D(1;3;0).
a. CM A, B, C, D không đồng phẳng .
b. Tính bán kính đường tròn ng oại tiếp tam giác ABC.
c. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam g iác ABC.
d. Tính đường cao hạ từ đỉnh D của tứ diện ABCD.
e. Tính đường cao hạ từ đỉnh B của tam g iác ABC.
Lời giải:
(0 ;0;1); (0 ;1;2); (1;3; 1); ( 0;1;1) 1; 5; 2AB AC AD BC AB AC BC        
   
a. CM A, B, C, D không đồng phẳng .
Ta có:
 
, (0;0;1),(0;1;2) ( 1;0;0) (1)AB AC

  

 
, . ( 1;0;0).(1;3; 1) 1 0 (2) , , ,AB AC AD A B C D

       

  
không đồng phẳng .
b. Tính bán kính đường tròn ng oại tiếp R của tam g iác ABC.
Theo (1) ta có:
1 1 1
, ( 1;0;0) (3)
2 2 2
. . 1. 5. 2 10
.

1
42
4.
2
ABC
ABC
S AB AC
AB BC CA
R
S

   

   
 
c. Tính bán kính đường tròn nội tiếp r của tam g iác ABC.
Theo (3) ta có:
1
2.
2
1
2
1 5 2 1 5 2
ABC
S
r
AB BC CA
  

   

d. Tính đường cao
D
h
hạ từ đỉnh D của tứ diện ABCD.
Theo (2) ta có:
11
,.
66
ABCD
V AB AC AD



  
KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Khóa học
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Hình học giải tích trong không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
Kết hợp (3) ta có:
1
3.
3
6
1.
1

2
ABCD
D
ABC
V
h
S
  
e. Tính đường cao
B
h
hạ từ đỉnh B của tam g iác ABC.
Theo (3) ta có:
1
2.
2
1
2
55
ABC
B
S
h
AC
  
Bài 2. Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxy z, cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB, CD và có A(1;1;1),
B(-1;2;0), C(1;3;-1). Tìm tọa độ D.
Lời giải:
Do
.AB k AC

 
nên A, B, C không thẳng hàng .
CD//AB nên chọn
   
12
2;1; 1 : 3 1 2 ;3 ; 1
1
CD
xt
u AB CD y t D t t t CD
zt



            


  

 
Vì ABCD là hình thang cân với hai đáy AB, CD nên AD=BC , do đó:
     
2 2 2
2 2 2 6t t t      
 


2
3;2;0
1

3 4 1 0
1
58
2
;;
3
3 3 3
D
t
tt
t
D





     






Mặt khác, do ABCD là hình thang nên AB khác CD.
Với D (3; 2; 0) thì AC=BD ; AB=CD nên ABCD là hình bình hành (loại).
Với


58

2
;;
3 3 3
D 
thì AB khác CD (thỏa mãn).
Bài 3. Trong không g ian Oxy z cho ba điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0)
a. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông .
b. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam g iác ABC
c. Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ A
d. Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành.
Lời giải:
a. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông .
Ta có:
(3;0; 6); (8;0;4) . 0AC BC AB AC AC       
   
tam g iác ABC vuông ở A.
b. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam g iác ABC.
Ta có:
4 2 4 2
; 1; ( ; 1; )
3 3 3 3 3 3 3
A B C A B C A B C
G G G
x x x y y y z z z
x y z G
     
        
c. Tính độ dài đường trung tuy ến kẻ từ A.
Trung điểm M của BC có tọa độ
1; 1; 2 (1; 1;2)

2 2 2
B C B C B C
M M M
x x y y z z
x y z
  
          
Khóa học
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Hình học giải tích trong không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -
Do đó:
( 1;0; 4) 17AM AM    

d. Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành.
Ta có:
(10; 2;10)
D C A B
D C A B
D C A B
x x x x
BA CD y y y y D
z z z z
  


      



  

 
Giáo viên: Lê Bá Trần P hƣơng
Nguồn: Hocm ai.vn
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 04. Hình học toạ độ không gian

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




A. LÝ THUYẾT CƠ SỞ:
I. Các phép toán về tọa độ véc tơ:
Cho:
( , , ), '( ', ', ')v x y z v x y z
 

1)v

cùng phương
'v

khi và chỉ khi:
000( ( ; ))
' ' '

x y z
v
x y z
  


Định nghĩa: Hai vecto cùng phương nếu chúng nằm trên 2 đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên
một đường thẳng không tính chiều.
+ Hai vec tơ không cùng phương nếu chúng không nằm trên 2 đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên
một đường.



2
'
) ' '
'
xx
v v y y
zz



  




 

Hai véc tơ bằng nhau khi chúng cùng phƣơng, cùng chiều, cùng độ dài.
3) ' ( '; '; ')v v x x y y z z    
 

4) ( , , ) ( ; ; ),kv k x y z kx ky kz k R   


2 2 2
5
6
   
  

 
) | | |( , , )|
) . ' ' ' '
v x y z x y z
v v xx yy zz

70
8
  

 
 
 
 
) ' . '
.'
) os( ; ')

| || ' |
v v v v
vv
c v v
vv

BÀI 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ (PHẦN 1)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 1. Kiến thức cơ bản cần nhớ (Phần 1) thuộc khóa
học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức
phần Bài 1. Kiến thức cơ bản cần nhớ (Phần 1). Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 04. Hình học toạ độ không gian

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -


 
9) [ ; ']=[( ; ; ).( '; '; ')]
;;
' ' ' ' ' '
' ' ; ' ' ; ' '
v v x y z x y z
y z z x x y
y z z x x y

yz y z zx z x xy x y





   
 

Chú ý:
[ ; '] , [ ; '] 'v v v v v v  
     

 Lấy 2 vec tơ không cùng phương
;'vv
 
(tức 2 vecto không cùng nằm trên một đường thẳng và
không nằm trên 2 đường thẳng song song) nhân có hướng với nhau thì ta được một vec tơ vuông
góc với hai véc tơ ấy.
; ' ' sin( ; ')v v v v v v



    

+
v

cùng phƣơng
'v



0000; ' ( ; ; )vv



  

+ 3 véc tơ
;;abc
  
đồng phẳng
0;a b c



  

II. Các phép toán về tọa độ điểm:
a) Cho:
( ; ; ); ( ; ; )
A A A B B B
A x y z B x y z

2 2 2
( ; ; )
( ) ( ) ( )
B A B A B A
B A B A B A
AB x x y y z z

AB x x y y z z
    
      

I là trung điểm AB
2
2
2
AB
I
AB
I
AB
I
xx
x
yy
Iy
zz
z







  









b) Cho
( ; ; ) ; ( ; ; ) ; ( ; ; )
A A A B B B C C C
A x y z B x y z C x y z

+ A, B, C thẳng hàng
0[ ; ]AB AC
 

+ A, B, C không thẳng hàng (A, B, C là 3 đỉnh của 1 tam giác)
0[ ; ]AB AC

+
1
2
[ ; ]
ABC
S AB AC


 

+


.
osA=cos( ; )
| || |
AB AC
c AB AC
AB AC

 
 
 

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 04. Hình học toạ độ không gian

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -


Chú ý:
 Nếu góc A nhọn thì cosA > 0
 Nếu góc A vuông thì cosA = 0
 Nếu góc A tù thì cosA > 0
Hoàn toàn tƣơng tự ta có thể tính đƣợc cosB; cosC
3
3
3
A B C
G
A B C

G
A B C
G
xxx
x
yyy
Gy
zzz
z







  








+ Với điểm M tùy ý trong không gian ta luôn có:
3.MA MB MC MG  
   

c) Cho

( ; ; ) ; ( ; ; ) ; ( ; ; ) ; ( ; ; )
A A A B B B C C C D D D
A x y z B x y z C x y z D x y z

+ A, B, C, D đồng phẳng (cùng thuộc một mặt phẳng)
0;AB AC AD



  

+ A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện
0;AB AC AD



  

+
1
6
;
ABCD
V AB AC AD



  

+ G là trọng tâm tứ diện ABCD

4
4
4
A B C D
A B C D
G
A B C D
G
x x x x
xG
y y y y
Gy
x x x x
x

  



  

  


  





+ M là điểm tùy ý trong không gian ta luôn có:
4MA MB MC MD MG   
    

Chú ý:
. ' ' ' '
; AA'
ABCD A B C D
V AB AD



  

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
Khóa học
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Hình học giải tích trong không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Bài 1. Trong không g ian với hệ toạ độ
,Oxyz
cho các điểm
(1;0;0), (0;1;0), (0;3;2)A B C
và mặt phẳng
( ): 2 2 0.xy

  

Tìm toạ độ của điểm
M
biết rằng
M
cách đều các điểm
,,A B C
và mặt phẳng
( ).

Bài 2. Trong không gian với hệ toạ độ
,Oxyz
cho hình vuông
MN PQ
có
(5;3; 1), (2;3; 4)MP
. Tìm tọa
độ đỉnh
Q
biết rằng đỉnh
N
nằm trong mặt phẳng
( ): 6 0.x y z

   
Bài 3.
Trong không g ian với hệ tọa độ Oxy z, cho ba điểm A (6;-2;3); B (2;-1;3); C (4;0;-1).
a. Chứng minh rằng : A, B, C là ba đỉnh của một tam g iác. Tìm độ dài đường cao của tam g iác ABC kẻ từ
đỉnh A.
b. Tìm m và n để điểm M (m + 2; 1; 2n + 3) thẳng hàng với A và C.
Bài 4. Cho mặt phẳng

 
: 2 2 1 0P x y z   
và các đường thẳng
1
13
:,
2 3 2
x y z
d



2
55
:.
6 4 5
x y z
d



Tìm điểm M thuộc d
1
, N thuộc d
2
sao cho MN song song với (P) và đường thẳng
MN cách (P) một khoảng bằng 2.
Bài 5. Tìm hình chiếu H của M(2,-2,1) lên đường thẳng
12
( ): 1

2
xt
d y t
tz



  




Giáo viên: Lê Bá Trần P hƣơng
Nguồn: Hocm ai.vn
KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ (Phần 2)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Khóa học
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Hình học giải tích trong không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Bài 1. Trong không g ian với hệ toạ độ
,Oxyz
cho các điểm
(1;0;0), (0;1;0), (0;3;2)A B C
và mặt phẳng
( ): 2 2 0.xy


  
Tìm toạ độ của điểm
M
biết rằng
M
cách đều các điểm
,,A B C
và mặt phẳng
( ).

Lời giải:
Giả sử
0 0 0
( ; ; )M x y z
. Khi đó ta có:
00
2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0
22
( 1) ( 1) ( 3) ( 2)
5
xy
x y z x y z x y z

            
2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
2

2 2 2
00
0 0 0
( 1) ( 1) (1)
( 1) ( 3) ( 2) (2)
( 2 2)
( 1) (3)
5
x y z x y z
x y z x y z
xy
x y z


      


        




   


Từ (1) và (2) suy ra
00
00
3
yx

zx





.
Thay vào (3) ta có
22
0 0 0
5(3 8 10) (3 2)x x x   
0
0
1
23
3
x
x








(1; 1; 2)
23 23 14
( ; ; ).
3 3 3

M
M






Bài 2. Trong không gian với hệ toạ độ
,Oxyz
cho hình vuông
MN PQ
có
(5;3; 1), (2;3; 4)MP
. Tìm tọa
độ đỉnh
Q
biết rằng đỉnh
N
nằm trong mặt phẳng
( ): 6 0.x y z

   
Lời giải:
Giả sử
0 0 0
( ; ; )N x y z
. Vì
0 0 0
( ) 6 0 (1)N x y z


     
MNPQ là hình vuông
MNP
vuông cân tại N
.0
MN PN
MN PN








 
2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
2
0 0 0 0 0
( 5) ( 3) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4)
( 5)( 2) ( 3) ( 1)( 4) 0
x y z x y z
x x y z z

          




       


00
2
0 0 0 0 0
1 0 (2)
( 5)( 2) ( 3) ( 1)( 4) 0 (3)
xz
x x y z z
  




       


KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ (Phần 2)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Khóa học
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Hình học giải tích trong không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
Từ (1) và (2) suy ra
00
00

27
1
yx
zx
  


  

.
Thay vào (3) ta được
2
00
5 6 0xx  
0 0 0
0 0 0
2, 3, 1
3, 1, 2
x y z
x y z
   



   

hay
(2; 3; 1)
(3; 1; 2)
N

N





.
Gọi I là tâm hình vuông

I là trung điểm MP và NQ

75
( ;3; )
22
I 
.
Vậy :
Nếu
(2;3 1)N 
thì
(5;3; 4).Q 
Nếu
(3;1; 2)N 
thì
(4;5; 3).Q 
Bài 3.
Trong không g ian với hệ tọa độ Oxy z, cho ba điểm A (6;-2;3); B (2;-1;3); C (4;0;-1).
a. Chứng minh rằng : A, B, C là ba đỉnh của một tam g iác. Tìm độ dài đường cao của tam g iác ABC kẻ từ
đỉnh A.
b. Tìm m và n để điểm M (m + 2; 1; 2n + 3) thẳng hàng với A và C.

Lời giải:
a. Ta có :
( 4;1;0); (2;1; 4) , ( 4; 16; 6) 0AB BC AB BC

          

    
A, B, C không thẳng hàng 
A, B, C là 3 đỉnh của tam giác
 
,
2 33
AH d A, BC
3
AB BC
BC


   
 
b.
 
M m 2; 1; 2n 3 ( 4;3;2 )AM m n    

cùng phương với
2(1; 1;2)AC   

432
1; 3
1 1 2

mn
mn

      

Bài 4. Cho mặt phẳng
 
: 2 2 1 0P x y z   
và các đường thẳng
1
13
:,
2 3 2
x y z
d



2
55
:.
6 4 5
x y z
d



Tìm điểm M thuộc d
1
, N thuộc d

2
sao cho MN song song với (P) và đường thẳng
MN cách (P) một khoảng bằng 2.
Lời giải:
Gọi
   
1 2 ;3 3 ;2 , 5 6 ';4 '; 5 5 'M t t t N t t t    
 
 
; 2 2 1 1 0; 1.d M P t t t      
Khóa học
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Hình học giải tích trong không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -
Trường hợp 1:
   
0 1;3;0 , 6 ' 4;4 ' 3; 5 ' 5t M MN t t t      

 
. 0 ' 0 5;0; 5
PP
MN n MN n t N      
   
Trường hợp 2:
   
1 3;0;2 , 1; 4;0t M N   
Bài 5. Tìm hình chiếu H của M(2,-2,1) lên đường thẳng
12

( ): 1
2
xt
d y t
tz



  




Lời giải:
Gọi tọa độ của H là
0 0 0
( , , )xyz
, thì
00
00
00
12
1
2
xt
yt
tz




  




Ta có
0 0 0 0 0 0
(1 2 2; 1 1;2 1) (2 1, ,2 1)MH t t t t t t          

Véc tơ chỉ phương của (d) là
(2, 1,2)u 

0 0 0 0 0
. 0 2(2 1) 2(2 1) 0 9 4 0 4/9MH u t t t t t           
 
Vậy
17 13 8
( , , )
9 9 9
H

Giáo viên: Lê Bá Trần P hƣơng
Nguồn: Hocm ai.vn
Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Lê Bá Trầ n Phương
Hình học giải tích trong không gian
Ho cmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
d) Các ví dụ m inh họa:

Ví dụ 1: (ðHKD 2005): Trong không gian
Oxyz
cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ biết A(0; -3; 0),
B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B’(4; 0; 4) . Tìm tọa ñộ của ñiểm A’ và C’ .
Ví dụ 2: (ðHKB 2006) Trong không gian
Oxyz
cho A(0; 1; 2), B(2t; 1 + t; -1 – t), C(1 + s; -1 – 2s; 2 + s).
Tìm t và s ñể 3 ñi ểm A , B, C thẳng hàng.
Ví d ụ 3: Trong không gian
Oxyz
cho
∆
ABC bi ết A(2; -2; -3), B(2; 0; -1),
4 2 7
; ;
3 3 3
G
 
− −
 
 
là trọng tâm
∆
ABC.
1.

Tính số ño góc C.
2.

Tính chu vi và diện tích

∆
ABC, tính ñộ dài ñường cao hạ từ ñỉnh A.
3.

Tính bán kính ñường tròn nội , ngoại ti ếp
∆
ABC.
4.

Tìm tọa ñộ tâm ñường tròn ngoại tiếp
∆
ABC.
5.

Tìm tọa ñộ chân ñường phân giác trong và ngoài của góc A.
6.

Tìm tọa ñộ trực tâm
∆
ABC.
Ví dụ 4:
Trong không gian
Oxyz
cho tứ diện ABCD có A(2; 4; 6), B(2; 0; 0), C(0; 4; 0), D thuộc trục Oz,
biết thể tích tứ diện
8
ABCD
V
=
. Tì m tọa ñộ ñiểm D biết cao ñộ

0
D
z
<
và tìm tọa ñộ trọng tâm G của tứ
diện.
Giáo viên : Lê Bá Trần Phương
Nguồn: Hocm ai.vn

KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ (Phầ n 2)
TÀI LIỆU BÀI GIẢ NG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Khóa học
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Hình học giải tích trong không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Bài 1. Trong không g ian tọa độ Oxy z cho điểm G(1;1;1)
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua G và vuông g óc với OG.
b. Mặt phẳng (P) ở câu (1) cắt các trục Ox, Oy , Oz lần lượt tại A, B, C. CMR: ABC là tam giác đều.
Bài 2. Trong không g ian với hệ trục tọa độ Oxy z, cho đường thẳng :
 :
13
1 1 4
x y z

và điểm M(0 ; - 2 ; 0).
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với đường thẳng  đồng thời khoảng cách
g iữa đường thẳng  và mặt phẳng (P) bằng 4.

Bài 3. Trong không g ian tọa độ Oxy z cho 2 đường thẳng có phương trình:

12
52
70
( ): 1 à (d ) :
2 3 16 0
5
xt
x y z
d y t v
x y z
zt


   




   




Viết phương trình mặt phẳng chứa
12
( ) à ( )d v d
Bài 4. Trong không g ian
Oxyz

cho đường thẳng d:
12
2 1 3
x y z


.
Viết phương trình mặt phẳng
()Q
chứa d sao cho khoảng cách từ điểm
(1,0,0)I
tới
()Q
bằng
2
3
.
Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) lần lượt có phương
trình: (P): 2x  y  2z  2 = 0; (d):
12
1 2 1
x y z


Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất.
Bài 6. Trong không g ian với hệ trục toạ độ Oxy z cho điểm A(1 ;0 ; 1), B(2 ; 1 ; 2) và mặt phẳng
(Q): x + 2y + 3z + 3 = 0. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông g óc với (Q).
Bài 7. Trong không g ian vơ ́i hê ̣ to ̣ a đô ̣ Oxy z, cho điê ̉ m M(1;-1;1)
và hai đường thẳng
1

( ):
1 2 3
x y z
d



và
14
( '):
1 2 5
x y z
d


Chư ́ng minh: điê ̉ m M, (d), (d’) cng nằm trên một mặt phẳng. Viê ́ t phương tri ̀ nh mă ̣ t phă ̉ ng đo ́.
Giáo viên: Lê Bá Trần P hƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
LÝ THUYẾT CƠ SỞ VỀ MẶT PHẲNG
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Khóa h
ọ
c
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Hình học giả i tích trong không gian
Ho cmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-

Bài 1. Trong không gian tọa ñộ Oxyz cho ñi ểm G(1;1;1)
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua G và vuông góc với OG.
b. Mặt phẳng (P) ở câu (1) cắt các trục Ox, Oy, O z lần lượt tại A , B, C.
CMR: ABC là tam giác ñều.
Lời giải:
a. Do
( )
( ) ( 1 ;1 ;1 )
P
OG P n OG⊥ ⇒ = =
       
( ) :1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 0 ( ) : 3 0
P x y z P x y z
⇒ − + − + − = ⇒ + + − =

b. Vì phương trình của
0
Ox : (3 ;0 ;0)
0
y
A
z
=

⇒

=

. Tương tự :
(0 ;3 ;0) à (0 ;3 ;0)

B v C

Ta có:
A B=BC=CA =3 2
ABC
⇒ ∆
là tam giác ñều

Bài 2.
Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz, cho ñường thẳng :
∆
:
1 3
1 1 4
x y z
− −
= =
và ñiểm M(0 ; - 2 ; 0).
Viết phương trình mặt phẳng (P ) ñi qua ñiểm M song song với ñường thẳng ∆ ñồng thời khoảng cách
giữa ñường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) bằng 4.
Lời giải:
Giả sử
( ; ; )
n a b c

là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + 2b = 0.
ðường thẳng ∆ ñi qua ñiểm A(1; 3; 0) và có một vectơ chỉ phương
( 1 ;1 ;4)
u =


Từ giả thiết ta có
2 2 2
. 4 0
/ /( ) ( 1 )

| 5 |
4
( ;( )) 4 (2)
n u a b c
P
a b
d A P
a b c

= + + =
∆


⇔
+
 
==


+ +

 
Thế b = - a - 4c vào (2) ta có
2 2 2 2 2

( 5 ) (2 17 8 ) - 2 8 0
a c a c ac a ac c
+ = + + ⇔ − =
⇔
4 2
a a
v
c c
= = −
Với
4
a
c
=
chọn a = 4, c = 1 ⇒ b = - 8. Phương trình mặt phẳng (P): 4x - 8y + z - 16 = 0.
LÝ THUYẾT CƠ SỞ VỀ MẶT PHẲNG
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ T RẦN PHƯƠNG
Khóa h
ọ
c
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Hình học giả i tích trong không gian
Ho cmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-
Với
2
a

c
= −
chọn a = 2, c = - 1 ⇒ b = 2. Phương trình mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + 4 = 0.
Bài 3.
Trong không gian tọa ñộ Oxyz cho 2 ñường thẳng có phương trình:

1 2
5 2
7 0
( ) : 1 à ( d ) :
2 3 16 0
5
x t
x y z
d y t v
x y z
z t
= +

+ + − =


= −
 
+ + − =


= −

Viết phương trình mặt phẳng chứa

1 2
( ) à ( )
d v d
Lời giải:
Giả sử mặt phẳng cần lập là (Q) ta có:
Lấy 2 ñiểm
1 2
(5 ;1 ;5) ; (5 ;2 ;0) (0 ;1 ; 5 )
M d N d MN
∈ ∈ ⇒ = −
    
Và
1
( ) ( )
. (6 ;10 ;2) ( ) : 6( 5) 10( 1 ) 2( 5 ) 0 hay ( ) :3 5 25 0
Q d
n u MN Q x y z Q x y z
 
= = ⇒ − + − + − = + + − =
 
      
Bài 4.
Trong không gian
Oxyz
cho ñường thẳng d:
1 2
2 1 3
x y z
− +
= =

−
.
Viết phương trình mặt phẳng
( )
Q
chứa d sao cho khoảng cách từ ñiểm
( 1 ,0,0)
I
tới
( )
Q
bằng
2
3
.
Lời giải:
Dễ thấy A(1;0;-2), B(3;1;-5) thuộc (d) .
Khi ñó phương trình mặt phẳng (Q) chứa
d
có dạng:
2 2 2
( 1 ) ( 0) ( 2) 0
( ) 2 3 0 3 2
( ) : (3 2 ) 2 0
| 2 | 2
( ,( ))
7
3
(3 2 )
5 5

a x b y c z
B Q a b c b c a
Q ax c a y cz c a
a c b c
a c a
d I Q
c c
a b
a c a c
− + − + + =
∈ ⇒ + − = ⇒ = −
⇒ + − + + − =
= ⇒ =

+ −

⇒ = = ⇔

= ⇒ =
+ − +

Chọn
5 , 5 ( ) : 1 0
5
7, 1 ( ) : 7 5 3 0
a b Q x y z
c
a b Q x y z
= = ⇒ + + + =


= ⇒

= = ⇒ + + + =


Vậy có 2 mặt phẳng cần tìm như tr ên.
Bài 5.
Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và ñường thẳng (d) lần lượt có phương
trình:
(P): 2x − y − 2z − 2 = 0; (d):
1 2
1 2 1
x y z
+ −
= =
−
Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứ a ñường thẳng (d) và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất.
Khóa h
ọ
c
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Hình học giả i tích trong không gian
Ho cmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-
Lời giải:
ðường thẳng ( ∆) có VTCP
( 1 ;2 ;1 )
u = −


; P TTQ:
2 1 0
2 0
x y
x z
+ + =


+ − =


Mặt phẳng (P) có VTP T
(2 ; 1 ; 2)
n
= − −

Góc giữa ñường thẳng (∆) và mặt phẳng (P) l à:
| 2 2 2 | 6
sin
3
3. 6
α
− − −
= =

⇒ Góc giữa mặt phẳng ( Q) và mặt phẳng (Q) cần tìm là
6 3
cos 1
9 3

α
= − =

Giả sử (
Q
) ñi qua ( ∆) có dạng:
m
(2
x
+
y
+ 1) +
n
(
x
+
z
− 2) = 0 (
m
2
+
n
2
> 0)
⇔ (2
m
+
n
)
x

+
my
+
nz
+
m
− 2
n
= 0
Vậy góc giữa (
P
) và (
Q
) là:
2 2
| 3 | 3
cos
3
3. 5 2 4
m
m n mn
α
= =
+ +

⇔
m
2
+ 2
mn

+
n
2
= 0 ⇔ (
m
+
n
)
2
= 0 ⇔
m
= −
n
.
Chọn
m
= 1,
n
= −1, ta có: mặt phẳng (
Q
) là:
x
+
y
−
z
+ 3 = 0
Bài 6.
Trong không gian với hệ trục toạ ñộ Oxyz cho ñiểm A(1 ;0 ; 1) , B(2 ; 1 ; 2) và mặt phẳng
(Q): x + 2y + 3z + 3 = 0. Lập phương trình mặt phẳng (P) ñi qua A, B và vuông góc với (Q).

Lời giải:
Ta có
( 1 ;1 ;1 ), ( 1 ;2 ;3 ), ; ( 1 ; 2 ;1 )
Q Q
AB n AB n
 
= −
 
             
Vì
; 0
Q

AB n

≠
 
       
nên mặt phẳng (P) nhận
;
Q
AB n
 
 
      
làm véc tơ pháp tuyến
Vậy (P) có phương trình x - 2y + z - 2 = 0
Bài 7.
Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñiểm M(1;-1;1)

và hai ñường thẳng
1
( ) :
1 2 3
x y z
d
+
= =
− −
và
1 4
( ' ) :
1 2 5
x y z
d
− −
= =
Chứng minh: ñi ểm M, ( d), (d’) cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương tr ình mặt phẳng ñó.
Lời giải:
(d) ñi qua
1
(0 ; 1 ;0)
M
−
và có vtcp
1
( 1 ; 2 ; 3 )
u
= − −
 

(d’) ñi qua
2
(0 ;1 ;4)
M
và có vtcp
2
( 1 ;2 ;5)
u =
  
Ta có
1 2
; ( 4 ; 8 ;4)
u u O
 
= − − ≠
 
      
,
1 2
(0 ;2 ;4)
M M =
      
Xét
1 2 1 2
; . 16 14 0
u u M M
 
= − + =
 
           

nên (d) và (d’) ñồng phẳng.
Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d) và (d’) thì (P) có vtpt
( 1 ;2 ; 1 )
n
= −

và ñi qua M
1
nên có phương trình
2 2 0
x y z
+ − + =
Khóa h
ọ
c
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Hình học giả i tích trong không gian
Ho cmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-
Dễ thấy ñi ểm M(1;-1;1) thuộc mp(P) , từ ñó ta có M, (d), (d’) cùng nằm tr ên một mặt phẳng.

Giáo viên : Lê Bá Trần Phương
Nguồn: Hocm ai.vn

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 04. Hình học toạ độ không gian

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




1. Véc tơ chỉ phƣơng của mặt phẳng:
Là véc tơ nằm trong mặt phẳng đó hoặc nằm trên đường thẳng song song với mặt phẳng đó (Tất nhiên các
véc tơ đó phải khác
0

)
2. Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng:
Là véc tơ nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Kí hiệu
0()nn


Chú ý: Nếu ta lấy một cặp véc tơ chỉ phương của mặt phẳng (cặp véc tơ này không được cùng phương,
tức không nằm trên 2 đường thẳng song song và không cùng nằm trên một đường thẳng) nhân có hướng
với nhau thì ta sẽ được véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ấy.
3. Phƣơng trình tổng quát của mặt phẳng:
Là phương trình có dạng: Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, tức
2 2 2
0A B C  

Chú ý:
+ Nếu mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 thì (P) có véc tơ pháp tuyến là
( , , )n A B C


+ Các trường hợp đặc biệt của mặt phẳng:
 (Oxy) có phương trình z = 0, véc tơ pháp tuyến
0 0 1( ; ; )n


 (Oxz) có phương trình y = 0, véc tơ pháp tuyến
0 1 0( ; ; )n


 (Oyz) có phương trình x = 0, véc tơ pháp tuyến
1 0 0( ; ; )n


+ Cho 2 mặt phẳng :
0
0
( ) : Ax
( ): ' ' '
P By Cz D
Q A x B y C z D
   
   

 (P)//(Q)
' ' ' '
A B C D
A B C D
   



( ) ( )
' ' ' '
A B C D
PQ
A B C D
    

BÀI 3. LÝ THUYẾT CƠ SỞ VỀ MẶT PHẲNG
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 3. Lý thuyết cơ sở về mặt phẳng thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần
Bài 3. Lý thuyết cơ sở về mặt phẳng. Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 04. Hình học toạ độ không gian

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -


 (P) cắt (Q)
' ' ' '
A B C D
A B C D
   



00( ) ( ) . ( , , )( ', ', ')
P
Q P Q
P Q n n n n A B C A B C      
   

0AA' ' 'BB CC   

4. Công thức viết phƣơng trình mặt phẳng:
a. Công thức viết phƣơng trình mặt phẳng đi qua điểm
0 0 0
( ; ; )M x y x
với véc tơ pháp tuyến
( , , )n A B C

là:
0 0 0
0( ) ( ) ( )A x x B y y C z z     

Ví dụ 1 – ĐHKB 2008
Cho A(0;1;2) B(2;-2;1) C(-2;0;1)
Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C.
Ví dụ 2 – ĐHKB 2009
Tứ diện ABCD với A(1;2;1) B(-2;1;3) C(2;-1;1) D(0;3;1)
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A, B sao cho d(C,(P)) = d(C;(P)
Ví dụ 3 :
Cho tứ diện ABCD với A(-2 ;1 ;2) B(0 ;4 ;1) C(5 ;1 ;-5) D(-2 ;8 ;-5)
Viết phương trình mặt phẳng (P) cách đều 4 đỉnh của tứ diện, đồng thời A nằm về 1 phía của (P) còn 3
điểm B, C, D nằm về phía còn lại của (P).
Ví dụ 4:

Viết phương trình mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ tại 3 điểm A, B, C sao cho H(1;2;3) là trực tâm tam
giác ABC.


Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
Khóa học
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Hình học giải tích trong không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Bài tập có hƣớng dẫn giải:
Bài 1. Trong không g ian với hệ tọa độ Oxy z cho điểm M(5;2; - 3) và mặt phẳng (P):
2 2 1 0x y z   
.
a. Gọi M
1
là hình chiếu của M lên mặt phẳng ( P ). Xác định tọa độ điểm M
1
và tính độ dài đọan MM
1
.
b. Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) đi qua M và chứa đường thẳng
x-1 y-1 z-5
:
2 1 -6


Bài 2. Trong không g ian với hệ tọa độ Oxy z cho 3 hình lập phương ABCD.A

1
B
1
C
1
D
1
với A(0;0;0),
B(2; 0; 0), D
1
(0; 2; 2)
a. Xác định tọa độ các điểm còn lại của hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
. Gọi M là trung điểm của BC .
Chứng minh rằng hai mặt phẳng ( AB
1
D
1
) và ( AMB
1
) vuông g óc nhau.
b. Chứng minh rằng tỉ số khoảng cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC
1
( N ≠ A ) tới 2 mặt phẳng

( AB
1
D
1
) và ( AMB
1
) không phụ thuộc vào vị trí của điểm N.
Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(3;-1;-5) và vuông góc với 2 mặt phẳng
12
( ): 3 2 2 7; ( ): 5 4 3 1P x y z P x y z       
.
Bài 4. Cho điểm
 
2;5;3A
và đường thẳng
12
:.
2 1 2
x y z
d


Viết phương trình mặt phẳng
 

chứa
d
sao cho khoảng cách từ
A
đến

 

lớn nhất.
Bài 5. Trong không g ian Oxy z, cho các điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm tọa độ điểm O’ đối xứng
với O qua (ABC).
Bài 6. Trong không g ian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ng oại tiếp
tam g iác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).
Bài tập tự giải :
Bài 1. L ập phương trình mp () đi qua hai điểm A(2 ; 1 ; 0), B(5 ; 1; 1) và khoảng cách từ điểm
M
1
0;0;
2



đến mp() bằng
7
63
.
Bài 2. Trong không g ian với hệ tọa độ Oxy z , cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ biết A(0;0;0),
B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1). L ập phương trình mp( ) chứa đường thẳng CD’ và tạo với mp(BB’D’D)
một góc nhỏ nhất.
Bài 3. Trong không g ian với hệ tọa độ Oxy z cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trung với gốc
tọa độ, B(a ; 0 ; 0), D(0 ; a ; 0), A’(0 ; 0 ; b) với a, b > 0. Gọi M là trung điểm cạnh CC’. Tính thể tích khối
tứ diện BDA’M theo a và b và xác định tỉ số
a
b
để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông g óc với nhau.
Bài 4. Trong không g ian với hệ tọa độ Oxy z , cho điểm A(0 ; 1 ; 2) và hai đường thẳng :

LÝ THUYẾT CƠ SỞ VỀ MẶT PHẲNG(tiếp theo)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Khóa học
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Hình học giải tích trong không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
d
1
:
11
2 1 1
x y z


d
2
:
1
12
2
xt
yt
zt



  





Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d
1
và d
2
. Tìm tọa độ các điểm M trên d
1
,
N trên d
2
sao cho 3 điểm A, M, N thẳng hàng .
Bài 5. Trong không g ian với hệ tọa độ O xy z cho 3 điểm A(1 ; 0 ; 1), B(1 ; 2 ; 1), C(0 ; 2 ; 0). Gọi G là
trọng tâm tam g iác ABC.
a. Viết phương trình đường thẳng OG.
b. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm O, A, B, C.
c. Viết phương trình các mp vuông g óc với đường thẳng OG và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Giáo viên: Lê Bá Trần P hƣơng
Nguồn: Hocm ai.vn
Khóa học
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Hình học giải tích trong không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Bài tập có hƣớng dẫn giải:
Bài 1. Trong không g ian với hệ tọa độ Oxy z cho điểm M(5;2; - 3) và mặt phẳng (P):
2 2 1 0x y z   

.
a. Gọi M
1
là hình chiếu của M lên mặt phẳng ( P ). Xác định tọa độ điểm M
1
và tính độ dài đọan MM
1
.
b. Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) đi qua M và chứa đường thẳng
x-1 y-1 z-5
:
2 1 -6


Lời giải:
Tìm
1
M
là h/c của M lên mp (P)
Mp (P) có PVT
 
2,2, 1n 

Pt tham số
1
MM
qua M,
 
P
là

52
22
3
xt
yt
zt






  

Thế vào pt mp (P):
     
2 5 2 2 2 2 3 1 0t t t       
18 9 0 2tt     
.
Vậy
   
11
1, 2, 1MM P M   
Ta có
     
2 2 2
1
5 1 2 2 3 1 16 16 4 36 6MM            
Đường thẳng
1 1 5

:
2 1 6
x y z  
  

đi qua A(1,1,5) và có VTCP
 
2,1, 6a 

Ta có
 
4,1, 8AM 

Mặt phẳng (Q) đi qua M, chứa


mp (Q) qua A có PVT là
 
, 2,8,2AM a



 
hay
 
1,4,1
nên pt (Q):
     
5 4 2 3 0x y z     
Pt (Q):

4 10 0x y z   

Cách khác: Mặt phẳng (Q) chứa

nên pt mp(Q) có dạng :
2 1 0 ( 2 1) 6 11 0x y haym x y y z        
. Mặt phẳng (Q) đi qua M(5;2; - 3) nên ta có 5 – 4 + 1 = 0
( loại) hay m( 5 – 4 + 1) + 12 – 3 – 11 = 0  m = 1.
Vậy Pt (Q):
4 10 0x y z   

Bài 2. Trong không g ian với hệ tọa độ Oxy z cho 3 hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
với A(0;0;0),
B(2; 0; 0), D
1
(0; 2; 2)
LÝ THUYẾT CƠ SỞ VỀ MẶT PHẲNG(tiếp theo)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Khóa học
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Hình học giải tích trong không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
a. Xác định tọa độ các điểm còn lại của hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
. Gọi M là trung điểm của BC .
Chứng minh rằng hai mặt phẳng ( AB
1
D
1
) và ( AMB
1
) vuông g óc nhau.
b. Chứng minh rằng tỉ số khoảng cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC
1
( N ≠ A ) tới 2 mặt phẳng
( AB
1
D
1
) và ( AMB
1
) không phụ thuộc vào vị trí của điểm N.
Lời giải:
a. Ta có

     
0,0,0 ; 2,0,0 ; 2,2,0ABC
;D(0;2;0)
       
1 1 1 1
0,0,2 ; 2,0,2 ; 2,2,2 ; 0,2,2A B C D
Mp
 
11
ABD
có cặp VTCP là:
 
1
2,0,2AB 

;
 
1
0,2,2AD 

 mp
 
11
ABD
có 1 PVT là
 
11
1
, 1, 1,1
4

u AB AD

   

  
Ta có
 
2,1,0M
nên Mp
 
1
AMB
có cặp VTCP là:
 
2,1,0AM 

;
 
1
2,0,2AB 

 mp
 
1
AMB
có 1 PVT là
 
1
, 1, 2, 1
2

v AM AB

   

  
Ta có:
     
. 1 1 1 2 1 1 0uv u v        
   

   
1 1 1
ABD AMB
(đpcm)
b.
 
1
2,2,2AC 

 phương trình tham số
1
:
xt
AC y t
zt









,
 
1
,,N AC N t t t
Phương trình
       
11
: 0 0 0 0 0ABD x y z x y z          

 
1 1 1
,
33
t t t t
d N AB D d

  
Phương trình
       
1
: 0 2 0 0 0 2 0AMB x y z x y z         
 
12
22
,
1 4 1 6
t t t t

d N AMB d
  
   


1
2
6 6 2
3
2
22
3 2 3
6
t
t
d
t
dt
   
Vậy tỉ số khoảng cách từ
 
1
0N AC N A t   
tới 2 mặt phẳng
 
11
ABD
và
 
1

AMB
không phụ
thuộc vào vị trí của điểm N.
Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(3;-1;-5) và vuông góc với 2 mặt phẳng
12
( ): 3 2 2 7; ( ): 5 4 3 1P x y z P x y z       
.
Lời giải:
Khóa học
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Hình học giải tích trong không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -
Mặt phẳng (P) vuông g óc với 2 mặt phẳng nên:
12
, (2;1; 2)
P P P
n n n

  

  
.
Do đó (P):
2( 3) 1.( 1) 2( 5) 0 ( ): 2 2x y z P x y z        
Bài 14.
Lời giải:
Bài 4. Cho điểm
 

2;5;3A
và đường thẳng
12
:.
2 1 2
x y z
d


Viết phương trình mặt phẳng
 

chứa
d
sao cho khoảng cách từ
A
đến
 

lớn nhất.
Lời giải:
Gọi K là hình chiếu của A trên d
K
cố định;
Gọi
 

là mặt phẳng bất kỳ chứa d và H là hình chiếu của A trên
 


.
Trong tam giác vuông AHK ta có
.AH AK
Vậy
 
m a x
AH A K


là mặt phẳng qua K và vuông g óc với AK.
Gọi
 

là mặt phẳng qua A và vuông g óc với d
 
:2 2 15 0x y z

    
 
3;1;4K
 

là mặt phẳng qua K và vuông g óc với AK
 
: 4 3 0x y z

    
Bài 5. Trong không g ian Oxy z, cho các điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm tọa độ điểm O’ đối xứng
với O qua (ABC).
Lời giải:

Từ phương trình đoạn chắn suy ra phương trình tổng quát của (ABC) là:
1 2 2 0
1 2 2
x y z
x y z       

Gọi H là hình chiếu vuông g óc của O lên (ABC), OH vuông g óc với (ABC) nên
/ / (2;1; 1)OH n 
 
;
 
H ABC
Ta suy ra H(2t;t;-t) thay vào phương trình( ABC) có
1 2 1 1
2.2 ( ) 2 0 t ( ; ; )
3 3 3 3
t t t H        
O’ đối xứng với O qua (ABC)

H là trung điểm của OO’

4 2 2
'( ; ; )
3 3 3
O 
Bài 6. Trong không g ian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ng oại tiếp
tam g iác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).
Lời giải:
Ta có:
(2; 2; 2), (0; 2;2).AB AC  

 