Toán cực trị hình học trong không gian

GV: Nguyễn Văn Thơi Trờng PTTH Vĩnh Lộc, Thanh Hoá
Khai thác các cách giải khác nhau về một số
dạng toán cực trị trong hình học không gian
Phần 1: Cơ sở lý thuyết
1. Trong không gian oxyz: Xét hệ toạ độ Đề các vuông góc giả sử
A(x
1
,y
1
,z
1
), B(x
2
,y
2
,z
2
) thì
),,(
121221
zzyyxxAB =
2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( )AB x x y y z z= - + - + -
uuur

2. Cho 2 vectơ:
),,(
111
zyxu =
,

),,(
222
zyxv =
*
1
2
2
1
2
1
zyxu ++=

2
2
2
2
2
2
zyxv ++=
dấu đẳng thức p xảy ra khi và chỉ khi
vu,
cùng chiều hoặc 1 trong 2
vectơ bằng
0
*
u v u v+ +
r r r r
dấu = xảy ra khi và chỉ khi
vu,
cùng chiều hoặc 1 trong 2 vectơ bằng

0
*Điều kiện để hai véc tơ
a
r
và
b
r
cùng phơng là
t R
để
a
r
=t
b
r
*Điều kiện để ba véc tơ
a
r
;
c
r
và
b
r
không đồng phẵng là
; . 0a b c



r r r

*Điều kiện để ba véc tơ
a
r
;
c
r
và
b
r
đồng phẵng là
; . 0a b c

=

r r r
*
1 2 1 2 1 2
. 0 0u v uv x x y y z z^ = + + =
r r r r
* Cho
ABCV
Thì AB+BC
BC
và
AB BC AC
dấu đẳng thức sãy ra khi
ba điểm A;B;C thẳng hàng

Phần II . Các dạng toán - phơng pháp chung và ví dụ minh hoạ
1

GV: Nguyễn Văn Thơi Trờng PTTH Vĩnh Lộc, Thanh Hoá
I .Dạng 1 Cho đờng thẳng
0 0 0
:
x x y y z z
a b c

= =
và hai điểm A và B
Sao cho AB//

.Hãy tìm trên

điểm M sao cho :
1. MA+MB nhỏ nhất
2.
MA MB+
uuur uuur
nhỏ nhất
3.
MA k MB+
uuur uuur
ngắn nhất
. A . B


M
Câu 1; Cho đờng thẳng
0 0 0
:

x x y y z z
a b c

= =
Và hai điểm A và B sao cho
//AB
hãy tìm trên

điểm M

Sao cho MA+MB nhỏ nhất
1. Ph ơng pháp chung
Cách 1:
I
A B

M M'

0 0 0
:
x x y y z z
a b c

= =
A'
*chứng minh cho
//AB

*Gọi I là trung điểm của AB .Gọi M là hình chiếu của I trên

. Ta chứng minh
M là điểm cần tìm nh sau : Gọi A là điểm đối xứng của A qua

hiển nhiên 3
điểm A;M;B là thẳng hàng . Giả sử M là 1 điểm tuỳ ý trên

ta có
' ' ' ' ' ' 'M A M B M A M B A B MA MB MA MB+ = + = + = +
Cách 2: Gọi A là điểm đối xứng của A qua

,Gọi M là giao điểm của AB và

Ta chứng minh M là điểm cần tìm nh sau Giả sử M là 1 điểm tuỳ ý trên

ta có
' ' ' ' ' ' 'M A M B M A M B A B MA MB MA MB+ = + = + = +
2 . Ví dụ minh hoạ: cho

:
1 1
1 2 1
x y z +
= =

Với A=(-1,2,1); B =(1,-2,-1) Tìm trên

điểm M. sao cho :MA+MB nhỏ nhất
Cách 1: Nhận xét đờng thẳng

có vectơ chỉ phơng là

( 1,2,1)v

=
uur
Và
(2, 4, 2) //AB v

=
uuur uur
Thay toạ độ A vào phơng trình

đợc:
2 2 3
1 2 1



Vâỵ điểm A không thuộc

nên AB//

2
GV: Nguyễn Văn Thơi Trờng PTTH Vĩnh Lộc, Thanh Hoá
Ta có phơng trình tham số của

là:
1
2 ( )
1
x t

y t t R
z t
=


=


= +

Gọi I là trung điểm của AB thì I=(0,0,0) Gọi M là hình chiếu của I trên

thì
M=(1-t , 2t , t-1) (1) Vậy:
(1 ,2 , 1)IM t t t=
uuur
Ta có:
1
. 0 1 4 1 0
3
v IM t t t t

= + + = =
uur uuur
Thay
1
3
t =
vào (1) ta đợc
2 2 2

, ,
3 3 3
M


=
ữ

Gọi A là điểm đối xứng với A qua

vì AB//

nên A,M, B thẳng hàng và
MA=MB. Lấy điểm M tuỳ ý thuộc

.
Ta có: MA +MB=MA+MB

AB= MA+ MB = MA+ MB
Cách 2: Nhận xét đờng thẳng

có vectơ chỉ phơng là
( 1,2,1)v

=
uur
Và
(2, 4, 2) //AB v

=

uuur uur
Thay toạ độ A vào phơng trình

đợc:
2 2 3
1 2 1



Vâỵ điểm A không thuộc

nên AB//

Ta có phơng trình tham số của

là:
1
2 ( )
1
x t
y t t R
z t
=


=


= +

Gọi H là hình chiếu của A trên

Thì H=(1-t,2t,-1+t) (1)
Vậy
( 2, 2 2, 2)AH t t t= +
uuur
Ta có
4
. 0 2 4 4 2 0 6 8
3
v AH t t t t t

= + + = = =
uur uuur
Thay
4
3
t =
vào (1) đợc toạ độ điểm
1 8 1
, ,
3 3 3
H


=
ữ

Gọi
( )

1 1 1
' , ,A x y z=
là điểm đối xứng với A qua

Ta có:
2 16 2
' , , // (1, 8, 1)
3 3 3
A B v


= =
ữ

uuuur r
Vậy phơng trình đờng thẳng AB là:
8 6 0 8 6
1 2 1
2 8 8 8 6
1 8 1
x y x y
x y z
y z y z
+ = + =

+ +
= =

+ = + =

Vậy phơng trình tổng quát của

là:
2 2 2 2
2 2 2 2
x y x y
y z y z
= + =



= + =

3
GV: Nguyễn Văn Thơi Trờng PTTH Vĩnh Lộc, Thanh Hoá
Gọi M=(x,y,z) là giao điểm của AB và

thì toạ độ M là nghiệm của hệ:
2
8 6
3
8 6
2
2 2
3
2
2 2
3
x

x y
y z
y
x y
y z
z

=

+ =



=

=

+ =



=

=


vậy
2 2 2
, ,
3 3 3

M


=
ữ

Nhận xét M là điểm cần tìm. thật vậy lấy điểm M tuỳ ý trên

Ta có: MA+MB=MA+MB

AB=MA+MB=MA+MB.
Câu 2 : Cho đờng thẳng
0 0 0
:
x x y y z z
a b c

= =
và hai điểm A và B
Sao cho AB//

.Hãy tìm trên

điểm M sao cho :
MA MB+
uuur uuur
nhỏ nhất
1.Ph ơng pháp chung
Cách 1:
A I B

M M'
0 0 0
:
x x y y z z
a b c

= =
Gọi I là trung điểm của AB .Gọi M là hình chiếu của I trên

Tìn toạ độ M và
chứng minh M là điểm cần tìm nh sau .Gọi M' là điểm tuỳ ý trên

ta có
' 'M A M B+
uuuuur uuuuur
=2M'I
2MI
=
MA MB+
uuur uuur
Cách 2: Lấy
0 0 0
( ; ; )M x at y bt z ct+ + +
tính độ dài của
MA MB+
uuur uuur
tù đó tim đợc giá
trị nhỏ nhất
2.ví dụ ninh hoạ: cho

:
1 1
1 2 1
x y z +
= =

Với A=(-1,2,1); B =(1,-2,-1) Tìm trên


điểm M. sao cho :
MA MB+
uuur uuur
nhỏ nhất
Cách 1: Nhận xét đờng thẳng

có vectơ chỉ phơng là
( 1,2,1)v

=
uur
Và
(2, 4, 2) //AB v

=
uuur uur
Thay toạ độ A vào phơng trình

đợc:
2 2 3
1 2 1

Vâỵ điểm A không thuộc

nên AB//

4
GV: Nguyễn Văn Thơi Trờng PTTH Vĩnh Lộc, Thanh Hoá
Ta có phơng trình tham số của

là:
1
2 ( )
1
x t
y t t R
z t
=


=


= +

Gọi I là trung điểm của AB thì I=(0,0,0) Gọi M là hình chiếu của I trên

thì
M=(1-t , 2t , t-1) (1)

Vậy:
(1 ,2 , 1)IM t t t=
uuur
Ta có:
1
. 0 1 4 1 0
3
v IM t t t t

= + + = =
uur uuur
Thay
1
3
t =
vào (1) ta đợc
2 2 2
, ,
3 3 3
M


=
ữ

Ta chứng minh điểm M cần tìm:
Thật vậy. Gọi M là điểm tuỳ ý thuộc

Ta có:
' ' 2 ' 2 ' 2M A M B M I M I MI MA MB+ = = = +

uuuuur uuuuur uuuur uuur uuur
Cách 2: Ta có phơng trình tham số của

là:
1
2 ( )
1
x t
y t t R
z t
=


=


= +

Lấy điểm
M (
1 t

;
2t
;
1 t
+
) Ta có
(AM =
uuuur

2-t;2t-2;t-2) và
( ; 2 2; )BM t t t= +
uuuur
Nên
AM BM+ =
uuuur uuuur
(2-2t;4t;2t-2) vậy
2 2 2 2
(2-2t) +16t +(2t-2) 24 16 8MA MB t t+ = = +
uuur uuur
MA MB+
uuur uuur
nhỏ nhất khi t=
1
3
tức
2 2 2
, ,
3 3 3
M


=
ữ

Câu 3: Cho đờng thẳng
0 0 0
:
x x y y z z
a b c

= =
Và hai điểm A và B sao cho
//AB

hãy tìm trên

điểm M

Sao cho
MA k MB+
uuur uuur
ngắn nhất
1. Phơng pháp giải
*Viết phơng trình

về tham số
0
0
0
( )
x x at
y y bt t R
z z ct
= +


= +

= +

*Lấy M tuỳ ý thuộc

: M=(
0
x at+
;
0
y bt+
;
0
z ct+
)
Thay vào P=
MA k MB+
uuur uuur
=
( )f t
với f(t) là tam thức bậc hai từ đó ta tìm đợc giá
trị nhỏ nhất của P
2. Ví dụ minh hoạ: cho

:
1 1
1 2 1
x y z +
= =

Với A=(-1,2,1); B=(1,-2,-1) Tìm trên

điểm M. sao cho :
3MA MB
uuur uuur
nhỏ nhất
5
GV: Nguyễn Văn Thơi Trờng PTTH Vĩnh Lộc, Thanh Hoá
Ta có phơng trình tham số của

là:
1
2 ( )
1
x t
y t t R
z t
=


=


= +

Gọi M là điểm tuỳ ý thuộc

điểm M=(1-t , 2t , t-1)(*)
Ta có
( 2, 2 2 , 2 ); ( , 2 2 , ) 3 ( 3 , 6 6,3 )MA t t t MB t t t MB t t t= = = +
uuur uuuur uuur

Vậy
2 2 2 2
3 ( 2 2, 4 8, 2 2)
3 4 8 4 16 64 64 4 8 4 24 80 72
P MA MB t t t
P MA MB t t t t t t t t
= = + +
= = + + + + + + + + = + +
uuur uuur
uuur uuur
P nhỏ nhất
5
3
t

=
Khi
5
3
t

=
vào (*) ta đợc
8 10 8
, ,
3 3 3
M


=

ữ

II .Dạng 2 Cho đờng thẳng
0 0 0
:
x x y y z z
a b c

= =
và hai điểm A và B
Sao cho AB cắt

.Hãy tìm trên

điểm M sao cho :
1.MA+MB nhỏ nhất B
2.
MA MB+
uuur uuur
nhỏ nhất A
3.
MA k MB+
uuur uuur
ngắn nhất

Câu1: Cho đờng thẳng
0 0 0
:
x x y y z z
a b c

= =
Và hai điểm A và B sao cho AB
và

cắt nhau ,và A;B nằm cùng phía so với

. hãy tìm điểm M

Sao cho
MA+MB nhỏ nhất
1. Phơng pháp giải
Cách 1:
*chứng minh cho AB và

cắt nhau và A;B nằm cùng phía so với

.
Gọi A là điểm đối xứng của A qua

,Gọi M là giao điểm của AB và

Ta chứng minh M là điểm cần tìm nh sau Giả sử M là 1 điểm tuỳ ý trên

ta có
' ' ' ' ' ' 'M A M B M A M B A B MA MB MA MB+ = + = + = +
Cách 2: *Lấy M tuỳ ý thuộc

: M=(
0

x at+
;
0
y bt+
;
0
z ct+
) ta tinh MA và MB
( ) ( )P MA MB f t g t= + = +
Dùng phơng pháp đáng giá ta tìm đợc giá trị nhỏ
nhất của P
2.ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz cho đờng thẳng :
2 5
1 5 3
x y z +
= =

(d)
và 2 điểm M
1
(2 ; 1; 5) ; M
2
(4 ; 3 ; 9)
Tìm điểm I (d) sao cho IM
1
+ IM
2
nhỏ nhất.
(d) có véc tơ chỉ phơng là :

( )
1, 5, 3a =
r
và đi qua điểm A(2 ; -5 ; 0)
6
GV: Nguyễn Văn Thơi Trờng PTTH Vĩnh Lộc, Thanh Hoá
Phơng trình tham số của :






=
=
+=
t3z
)Rt(t55y
t2x
:)d(
Ta có
( )
1 2
2,2,4M M =
uuuuuur
nên phơng trình tham số đờng thẳng M
1
M
2
là :

+=
+=
+=
m25z
)Rm(m1y
m2x
Toạ độ giao điểm nếu có của (d) và đờng thẳng M
1
M
2
là nghiệm hệ phơng
trình :






=
=
=

+=
+=
+=+
1t
1m
mt
m25t3
m1t55
m2t2
Giao điểm E (1, 0, 3)
( ) ( )
6,3,3ME;2,1,1ME : cóTa
21
==

Vậy :

=
12
ME3ME
nên M
1
và M
2
ở về cùng 1 phía đối với đờng thẳng (d).
Gọi () là mặt phẳng qua M
1
và () (d) nên phơng trình mặt phẳng () là :

1(x - 2) - 5(y - 1) - 3(z - 5) = 0 x - 5y - 3z + 18 = 0
Giao điểm H của (d) với mặt phẳng () :

















=
=
=
=

=

+=
=+
7
27
,
7
10
,
7
5
H
7
27
z
7
10
y
7
5
x
7
9
t
t3z
t55y
t2x
018z3y5x

Gọi M' là điểm đối xứng của M
1
qua (d) nên H là trung điểm M
1
M', do đó :
















==
==
==
7
19
,
7
13
,

7
4
'M
7
19
zz2'z
7
13
yy2'y
7
4
xx2'x
1H
1H
1H
Khi đó mọi điểm trên (d) cách đều 2 điểm M
1
và M'.
Nên : FM
1
+ FM
2
= FM' + FM
2
, F (d)
7
GV: Nguyễn Văn Thơi Trờng PTTH Vĩnh Lộc, Thanh Hoá
Tổng này nhỏ nhất khi và chỉ khi F là giao điểm của (d) với đờng thẳng M
2
M'

(vì M
2
và M' ở hai bên đờng thẳng (d)). Ta có :
1 2
32 8 44
; ;
7 7 7
M M

=
ữ

uuuuuur
Phơng trình đờng thẳng qua M' M
2
là:

)R't(
't119z
't23y
't84x






+=
+=
+=

Giao điểm của (d) với M'M
2
là nghiệm hệ phơng trình :







=
=





+=
+=
+=+
7
10
t
7
3
't
't119t3
't23t55
't84t2

(d)
E
M
2
M
1
M'
I
Toạ độ điểm I cần tìm là :
4 15 30
( ; ; )
7 7 7
I
Ví dụ 2: cho

:
1 1
1 2 1
x y z +
= =

với điểm A=(-1;-1;0) và
điểm B=(5;2;-3) tìm M thuộc

sao cho
MA MB
lớn nhất.
Giải:
Cách 1: Phơng trình tham số của

là:
1
2 ( )
1
x t
y t t R
z t
=


=


= +

Do
(1 , 2 , 1)M M t t t =
Suy ra
(2 ,2 1, 1)AM t t t= +
uuuur

( 4 ,2 2, 2)BM t t t= +
uuuur
đặt
2 2 2 2 2 2
(2 ) (2 1) ( 1) ( 4) (2 2) ( 2)P MA MB t t t t t t= = + + + + + + +


2 2
6 2 6 6 4 24t t t t= + + +

6
P
=
2 2
1 35 1 35
6 36 3 9
t t

= + + +
ữ ữ

Chọn M=(t, 0) ;
1 35 1 35
' , ; ' , ' ' ' '
6 6 3 3
6
P
A B MA MB A B


= = =
ữ ữ
ữ ữ

Dấu đẳng thức xảy ra khi 3 điểm M,A,B thẳng hàng.
Hay
' '( )MA k MB k R=
uuuur uuuur
Vậy
1 35

' ,
6 6
MA t

=
ữ
ữ

uuuur
;
1 35
' ,
3 3
MB t


=
ữ
ữ

uuuur
8
GV: Nguyễn Văn Thơi Trờng PTTH Vĩnh Lộc, Thanh Hoá
Mà
1
1
6
'// '
1
2

3
t
MA MB
t

=


uuuur uuuur
1 1 2
2
3 3 3
t t t

= =
Vậy
1 4 1
, ,
3 3 3
M


=
ữ

là điểm cần tìm.
Cách 2: Đờng thẳng

đi qua điểm C=(1, 0, -1) và có vectơ chỉ phơng là
( 1,2,1)v

=
uur
Suy ra:
(6,3, 3)AB =
uuur
và
(2,1, 1)AC =
uuur
Ta có:
3 3 3 6 6 3
, , , (9, 3,15)
2 1 1 1 1 2
AB v




= =
ữ
ữ ữ ữ




uuur uur
và
, . 18 3 15 0AB v AC

= =

uuur uur uuur
Vậy 2 đờng thẳng AB và

đồng phẳng
Ta có phơng trình AB:
1 2 2
1 1 1 1
1
6 3 3 2 1 1
x y
x y z x y z
y z
+ = +

+ + + +
= = = =

+ =


Phơng trình

:
2 2 2 2
1 1 0
x y x y
x z x z
= + =

= + =

Gọi D là giao điểm của AB và

. Toạ độ D là nghiệm của hệ:
2 2
1
0
0 (1,0, 1)
1
1
2 1
x y
x
x z
y D
y z
z
x y
+ =

=


+ =

= =

+ =

=


=

Ta có :
A D B
x x x< <
vậy A và B nằm khác phía so với đờng thẳng

. gọi H là hình
chiếu của của B trên đờng thẳng

. Toạ độ H=(1-t, 2t, t-1) là 1 điểm thuộc

.
Tacó:
( 4, 2 2 , 2 )HB t t t= +
uuur

. 0 ( 4) 2(2 2 ) 2 0HB v t t t

= + + =
uuur uur
1
4 4 4 2 0 6 2
3

t t t t t

+ = = =
Vậy
4 2 4
, ,
3 3 3
H


=
ữ

Gọi B là điểm đối xứng với B qua đờng thẳng

thì H là trung điểm của BB.
Nên toạ độ
'
7 10 1 4 7 1
' , , ' , , / / (4,7, 1)
3 3 3 3 3 3
AB
B AB v


= = =
ữ ữ

uuuur uuur
Vậy phơng trình đờng thẳng AB là:

7 7 4 4 7 4 3
1 1
1 4 4 1
4 7 1
x y x y
x y z
x z x z
+ = + =

+ +
= =

= + =


Gọi M là điểm bất kỳ trên đờng thẳng

thì:
9
GV: Nguyễn Văn Thơi Trờng PTTH Vĩnh Lộc, Thanh Hoá
' ' ' ' ' ' 'M A M B M A M B AB MA MB MA MB = = =
Vậy toạ độ M là nghiệm của hệ:
1
7 4 3
3
4 1
4 1 4 1
, ,
2 2
3 3 3 3

1
0
3
x
x y
x z
y H
x y
x z
z

=

=



+ =



= =

ữ
+ =




+ =

=


Câu2: Cho đờng thẳng
0 0 0
:
x x y y z z
a b c

= =
và hai điểm A và B
Sao cho AB cắt

.Hãy tìm trên

điểm M sao cho : .
MA MB+
uuur uuur
nhỏ nhất
1.Ph ơng pháp chung
A

I
B
M M'
0 0 0
:
x x y y z z
a b c

= =
Cách 1: Gọi I là trung điểm của AB .Gọi M là hình chiếu của I trên

Tìn toạ độ
M và chứng minh M là điểm cần tìm nh sau .Gọi M' là điểm tuỳ ý trên

ta có
' 'M A M B+
uuuuur uuuuur
=2M'I
2MI
=
MA MB+
uuur uuur
Cách 2: Lấy
0 0 0
( ; ; )M x at y bt z ct+ + +
tính độ dài của
MA MB+
uuur uuur
tù đó tim đợc giá
trị nhỏ nhất
cho

:
1 1
1 2 1
x y z +
= =

với điểm A=(-1;-1;0) và điểm B=(5;2;-3)
tìm M thuộc

sao cho :
MA MB+
uuur uuur
nhỏ nhất (Phơng pháp giải tơng tự câu 2 dạng
1)
Câu3: Cho đờng thẳng
0 0 0
:
x x y y z z
a b c

= =
Và hai điểm A và B sao cho AB
cắt

hãy tìm trên

điểm M

Sao cho
MA k MB+
uuur uuur
ngắn nhất
1. Phơng pháp giải
*Viết phơng trình

về tham số
0
0
0
( )
x x at
y y bt t R
z z ct
= +


= +


= +

*Lấy M tuỳ ý thuộc

: M=(
0
x at+
;
0
y bt+
;
0
z ct+
)
10
GV: Nguyễn Văn Thơi Trờng PTTH Vĩnh Lộc, Thanh Hoá

Thay vào P=
MA k MB+
uuur uuur
=
( )f t
với f(t) là tam thức bậc hai từ đó ta tìm đợc giá
trị nhỏ nhất của P
cho

:
1 1
1 2 1
x y z +
= =

với điểm A=(-1;-1;0) và điểm B=(5;2;-3)
tìm M thuộc

sao cho :
2MA MB+
uuur uuur
nhỏ nhất (Phơng pháp giải tơng tự câu 3
dạng 1)
III.Dạng 3 : Cho đờng thẳng
0 0 0
:
x x y y z z
a b c

= =

Và hai điểm A và B sao
cho AB và

chéo nhau ; hãy tìm điểm M

Sao cho
1. P=MA+MB nhỏ nhất
2. P=
MA MB
Đạt giá trị lớn nhất
3.P=
2MA MB+
uuur uuur
ngắn nhất (tơng tự câu 3 dạng 2)
Câu 1: Cho đờng thẳng
0 0 0
:
x x y y z z
a b c

= =
Và hai điểm A và B sao cho AB
và

chéo nhau ; hãy tìm điểm M

Sao cho P=MA+MB nhỏ nhất
1.Phơng pháp:
Lấy M tuỳ ý thuộc

: M=(
0
x at+
;
0
y bt+
;
0
z ct+
) ta tinh MA và MB
( ) ( )P MA MB f t g t= + = +
Dùng phơng pháp đáng giá ta tìm đợc giá trị nhỏ
nhất của P
2.Ví dụ minh hoạ : cho đờng thẳng

:
1 1
1 1 1
x y z +
= =

và 2 điểm A=(0,1,1),
B=(1,0,0) .Tìm điểm M sao cho: MA+MB nhỏ nhất
Tìm điểm M sao cho: MA+MB nhỏ nhất
Giải:
Nhận xét đờng thẳng

đi qua điểm C=(1,0,-1) và có vectơ chỉ phơng là
(1,1, 1)v

=
uur
. Ta có
(1, 1, 2)AC =
uuur
và
(1, 1, 1)AB =
uuur
Và
1 1 1 1 1 1
, , , ( 2,0, 2)
1 1 1 1 1 1
AB v




= =
ữ
ữ ữ ữ




uuur uur
, . 2 4 2 0AB v AC


= + =

uuur uur uuur
11
GV: Nguyễn Văn Thơi Trờng PTTH Vĩnh Lộc, Thanh Hoá
nên đờng thẳng chứa AB và

chéo nhau Vậy phơng trình tham số của

là:
1
( )
1
x t
y t t R
z t
= +


=


=

Lấy điểm M=(t+1, t, -t-1) (*) là điểm tuỳ ý thuộc

Ta có:
2 2 2 2
( 1, 1, 2) ( 1) ( 1) ( 2) 3 4 6AM t t t AM t t t t t= + = + + + + = + +
uuuur
Và
2 2 2 2

( , , 1) ( 1) 3 2 1BM t t t BM t t t t t= = + + + = + +
uuuur
Cách 1: ta có
P MA MB= +
=
2
3 4 6t t+ +
+
2
3 2 1t t+ +
(1)
Chọn
2 14 1 2
' , , ' , , ' ( ,0)
3 3 3 3
A B M t


= = =
ữ ữ
ữ ữ

Thay vào (1) có:
' ' ' ' ' '
3
P
M A M B A B= +
Vậy P nhỏ nhất khi và chỉ khi 3 điểm A, B, M thẳng hàng
Ta có:
1 2 14 2 14

' ' , , ' ' ,
3 3 3 3
A B A M t

+
= = +
ữ ữ
ữ ữ

uuuuur uuuuuur
để 3 điểm A, M, B thẳng hàng điều kiện là
2
14 14 2 7 7 7 7 5 7 5
3
3 2 3
1
12 6 6 18
14 2
3
t
t t t
+

= = + = = =
+
Thay vào (*) đợc:
13 7 7 5 7 13
, ,
18 18 18
M

=
ữ
ữ

Cách 2: ta có phơng trình tham số của đờng thẳng

là:
1
( )
1
x t
y t t R
z t
= +


=


=

Ta lấy điểm
M
, toạ độ M=(t+1, t, -t-1).
Gọi E là hình chiếu của B trên

. điểm E=(t+1,t,-1-t).
Ta có

( , , 1)BE t t t=
uuur
Vì E là hình chiếu của B trên đờng thẳng

nên.
. 0 1 0v BE t t t

= + + + =
uur uuur
12
2 2
2 2
4 2 1 2 4 1 2
2
3 3 3 3 9 3 9
3
P t t
t t t t

= + + + + + = + + + + +
ữ ữ

GV: Nguyễn Văn Thơi Trờng PTTH Vĩnh Lộc, Thanh Hoá
1
3
t

=
Vậy toạ độ điểm
2 1 2 4 1 1 6

, ,
3 3 3 9 9 9 3
E BE


= = + + =
ữ

Gọi I là hình chiếu của A trên đờng thẳng

thì I=(t+1, t, -1-t)
Và
( 1, 1, 2).AI t t t= =
uur
nên
2
. 0 1 1 2 0
3
AI v t t t t


= + + + + = =
uur uur
Ta có
1 2 1 1 25 16 42
, ,
3 3 3 9 9 9 9
I AI

= = + + =
ữ

Vậy
M
sao cho
.
MI AI AI
MI ME
ME BE BE

= =
uuur uuur
Hay
7.MI ME=
uuur uuur
(1)
Ta có:
2 2 2 1 1 1
, , , ; ,
3 3 3 3 3 3
MI t t t ME t t t


= + = +
ữ ữ

uuur uuur
Thay vào (1) ta có:
2 7 2 7

7 ( 7 1)
3 3 3
t t t

= + + =


2 7 ( 2 7)( 7 1) 7 5
18 18
3( 7 1)
t

= = =
+
Thay t vào toạ độ M ta đợc:
13 7 7 5 7 13
, ,
18 18 18
M


=
ữ
ữ

Ta chứng minh M là điểm cần tìm nh sau. Gọi P là mặt phẳng chứa I và P
vuông góc với

. Trên mặt phẳng dựng đờng tròn tâm I, bán kính IA, trên đ-
ờng tròn này lấy điểm A sao cho A, B nằm về hai phía so với

và A, B đồng
phẳng. ta lấy điểm M tuỳ ý trên

.
Ta có : MA+MB=MA+MB

AB=MA+MB=MA+MB
Câu 2: Cho đờng thẳng
0 0 0
:
x x y y z z
a b c

= =
Và hai điểm A và B sao cho AB
và

chéo nhau ; hãy tìm điểm M

Sao cho P=
MA MB
Đạt giá trị lớn nhất
1. Phơng pháp :Lấy M tuỳ ý thuộc

: M=(
0
x at+
;
0

y bt+
;
0
z ct+
) ta tinh MA và
MB
( ) ( )P MA MB f t g t= =
Dùng phơng pháp đáng giá ta tìm đợc giá trị lớn
nhất của P
2.Ví dụ minh hoạ: cho đờng thẳng

:
1 1
1 1 1
x y z +
= =

và 2 điểm A=(0,1,1),
B=(1,0,0) Tìm điểm M sao cho:
MA MB
lớn nhất.
Giải : Nhận xét đờng thẳng

đi qua điểm C=(1,0,-1) và có vectơ chỉ phơng là
(1,1, 1)v

=
uur
. Ta có
(1, 1, 2)AC =

uuur
và
(1, 1, 1)AB =
uuur
13
GV: Nguyễn Văn Thơi Trờng PTTH Vĩnh Lộc, Thanh Hoá
Và
1 1 1 1 1 1
, , , ( 2,0, 2)
1 1 1 1 1 1
AB v




= =
ữ
ữ ữ ữ




uuur uur
, . 2 4 2 0AB v AC


= + =

uuur uur uuur
nên đờng thẳng chứa AB và

chéo nhau
Vậy phơng trình tham số của

là:
1
( )
1
x t
y t t R
z t
= +


=


=

Lấy điểm M=(t+1, t, -t-1) (*) là điểm tuỳ ý thuộc

Ta có:
2 2 2 2
( 1, 1, 2) ( 1) ( 1) ( 2) 3 4 6AM t t t AM t t t t t= + = + + + + = + +
uuuur
Và
2 2 2 2
( , , 1) ( 1) 3 2 1BM t t t BM t t t t t= = + + + = + +
uuuur
Cách 1: ta có

P MA MB=
=
2 2
3 4 6 3 2 1t t t t+ + + +
(1)
Chọn
2 14 1 2
' , , ' , , ' ( ,0)
3 3 3 3
A B M t


= = =
ữ ữ
ữ ữ

Thay vào (1) có:
' ' ' ' ' '
3
P
M A M B A B=
Vậy P lớn nhất khi và chỉ khi 3 điểm A, B, M thẳng hàng
Ta có:
1 2 14 2 14
' ' , , ' ' ,
3 3 3 3
A B A M t


= = +

ữ ữ
ữ ữ

uuuuur uuuuuur
để 3 điểm A, M, B thẳng hàng điều kiện là
2
14 14 2 7 7 7 7 13 7 13
3
3 2 3
1
12 6 6 18
2 14
3
t
t t t
+
+ +
= = + = = =

Thay vào (*) đợc:
5 7 7 13 7 5
, ,
18 18 18
M


=
ữ
ữ

Câu 3: Cho đờng thẳng
0 0 0
:
x x y y z z
a b c

= =
Và hai điểm A và B sao cho AB
và

chéo nhau ; hãy tìm điểm M

Sao cho
2MA MB+
uuur uuur
ngắn nhất
1.Phơng pháp: Lấy M tuỳ ý thuộc

: M=(
0
x at+
;
0
y bt+
;
0
z ct+
) ta tinh
; 2MA MB
uuur uuur

14
2 2
2 2
4 2 1 2 4 1 2
2
3 3 3 3 9 3 9
3
P t t
t t t t

== + + + + = + + + +
ữ ữ

GV: Nguyễn Văn Thơi Trờng PTTH Vĩnh Lộc, Thanh Hoá
2 ( )P MA MB f t= + =
uuur uuur
Dùng phơng pháp đáng giá ta tìm đợc giá trị nhỏ nhất
của P
2.Ví dụ minh hoạ : cho đờng thẳng

:
1 1
1 1 1
x y z +
= =

và 2 điểm A=(0,1,1),
B=(1,0,0)
Tìm điểm M sao cho:
2MA MB+

uuur uuur
ngắn nhất (Phơng pháp giải tơng tự câu 3
dạng 1)
IV.Dạng 4 :Trong không gian cho 3 điểm A,B,C và mặt phẳng P .Tìm trên P
điểm M sao cho Q =
aMA bMB cMC+ +
uuur uuur uuuur
Đạt giá trị nhỏ nhất
1.Phơng pháp : Gọi M = (x,y,z) thuộc P ta tính a
MA
uuur
; b
MB
uuur
và c
MC
uuuur
Ta có a
MA
uuur
+ b
MB
uuur
+ c
MC
uuuur
=
( ; ; )ax b ay c az d+ + +
đặt
X ax b

Y ay c
Z az d
= +


= +


= +

Vậy Q=
aMA bMB cMC+ +
uuur uuur uuuur
=
2 2 2
X Y Z+ +
=OM với M=(X,Y,Z) với O là gốc toạ OM
nhỏ nhất khi M là hình chiếu của O trên mặt phẳng (P)
2.Ví dụ minh hoạ : Cho ABC Với A=(-1,1,0) B =(1,-1,1) C =(0,1,2) và mặt
phẳng P:2x-y+z-1 =0 Hãy tìm điểm M thuộc P sao cho Q =
2 3MA MB MC+ +
uuur uuur uuuur

Đạt giá trị nhỏ nhất
Giải Gọi M = (x,y,z) thuộc P ta có
MA
uuur
=(-1-x,1-y,-z)
(1 , 1 ,1 ); ( ,1 , 2 )MB x y z MC x y z= =
uuur uuuur

Ta có
v =
r

2 3MA MB MC+ +
uuur uuur uuuur
= (-6x+1,-6y+2,-6z+8) đặt
6 1
6 2
6 8
X x
Y y
Z z
= +


= +


= +


Ta có Q =
2 2 2
X Y Z+ +
=OM với M=(X,Y,Z) với O là gốc toạ độ và mặt phẳng
P trở thành 2X-Y+Z-2=0 Ta có
(2, 1,1)
q
n =

uur
Gọi (d) là đờng thẳng đi qua O và
vuông góc với P thì phơng trình phơng đờng thẳng d là
2 1
X Y
Z= =

Gọi M là
giao điểm của d và P thì M = (
1 7 23
, , )
18 18 18
15
GV: Nguyễn Văn Thơi Trờng PTTH Vĩnh Lộc, Thanh Hoá
V.Dạng 5 : Cho hệ thức
2 2 2
0 0 0
( ) ( ) ( )x x y y z z + +
= R
2
(1) Hãy tìm cặp (x;y;z)
thoả mãn hệ thức (1) sao cho biểu thức P= ax+by+cz (2) là lớn nhất và nhỏ nhất
1. Phơng pháp:
Cách 1: Nhận xét (1) là phơng trình mặt cầu Tâm I(x
0
;y
0
;z
0
) bán kính R ;còn (2)

là phơng trình mặt phẳng (Q) Để tồn tại cặp (x;y;z) thì mặt phẳng (Q) phải cắt
mặt cầu Tâm I(x
0
;y
0
;z
0
) bán kính R.Khi và chỉ khi d(I;(P))
R m P M

Vậy
minm P=
và M=MacP
Cách 2: P= ax+by+cz (2)
0 0 0
( ) ( ) ( )A x x B y y C z z P Ax By Cz D + + =
[ ]
2
2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )P Ax By Cz D A B C x x y y z z

+ + + +

=
=
2 2 2 2
( )A B C R+ +

m P M

Ví dụ minh hoạ: Cho đẳng thức
2 2 2
( 1) ( 2) 4x y z+ + + =
(1) và biểu thức P=2x-y+z
hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P với x;y;z thoả mãn (1)
Cách 1: Nhận xét (1)là mặt cầu có tâm I(-1.0.2) và bán kính R=2 còn
P=2x-y+z
2 0x y z P + =
là phơng trình mặt (Q) Để tồn tại cặp (x;y;z) thì
mặt phẳng (Q) phải cắt mặt cầu Tâm I(-1.0.2) bán kính R=2 .Khi và chỉ khi d(I;
(Q))
2 2 2 6 2 6 2 6
6
P
P P
.Vậy Min P=
2 6
và
MacP=
2 6
Từ lý luận trên hiển nhiên xảy ra dấu đẳng thức
Cách 2:
Ta có A=2(x-1)+y+(z-2) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacoxki Ta có

2 2 2 2 2
(2 1 1) ( 1) ( 2) 24P x y z

+ + + + =

.Vậy
2 6 2 6P
Vậy giá trị lớn nhất của P là
2 6
2 6
1
3
1 2
6
2 1 1
3
2 2 6
6
2
3
x
x y z
y
x y z
z

= +





= =

=

+ =


= +



Vậy giá trị nhỏ nhất của P là -
2 6
2 6
1
3
1 2
6
2 1 1
3
2 2 6
6
2
3
x
x y z
y
x y z
z

=

= =

=


+ =


=



16