Tải bản đầy đủ (.pdf) (15 trang)

Bài tập về khảo sát hàm số luyện thi đại học

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (246.84 KB, 15 trang )

Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com

Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam
WWW.MATHVN.COM

1

I. BÀI TẬP VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

Dạng 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
a)
3 2
3 1
y x x
= − +
; b)
3 2
3 2011 5
y x x x= − + +
; c)
4 2
2 3
y x x
= − +
;
d)
2
1
y x x
= + −
; e)


100
y x
x
= + ; f)
3 1
4
x
y
x
+
=

g)
2
4 3
2
x x
y
x
− +
=

;
h)
2
2 3
y x x
= − −
; i)
[

]
2sin cos2 , x 0;
y x x
π
= + ∈ ; j)
2
1
x
y
x
=
+
;
k)
4 4
1 1
y x x x x
= + − + + −
.
Dạng 2: Tìm m để hàm số
(
)
,
y f x m
=
đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng I.
1)
Cho hàm s

:

(
)
3 2
4 3
y x m x mx
= + + + . Tìm m
để

a) Hàm s


đồ
ng bi
ế
n trên


b) Hàm s


đồ
ng bi
ế
n trên kho

ng
[
)
0;
+∞


c) Hàm s

ngh

ch bi
ế
n trên
đ
o

n
1 1
;
2 2
 

 
 

d) Hàm s

ngh

ch bi
ế
n trên
đ
o


n có
độ
dài
1
l
=
.
2)
Tìm m
để
hàm s

:
( ) ( )
3 2
1 1
1 3 2
3
3
y mx m x m x= − − + − +

đồ
ng bi
ế
n trên kho

ng
[
)
2;

+∞
.
3)
Tìm m
để
hàm s

:
(
)
3 2
3 1 4
y x x m x m
= + + + + ngh

ch bi
ế
n trên kho

ng
(
)
1;1

.
4)
Tìm m
để
hàm s


:
( )
3 2
1
3 2
3
m
y x mx m x

= + + −

đồ
ng bi
ế
n trên

.
5)
Tìm m
để
hàm s

:
( ) ( )
3 2
1
2 1 1
3
y mx m x m x m
= + − + − +


đồ
ng bi
ế
n trên
(
)
[
)
;0 2;
−∞ ∪ +∞
.
6)
Cho hàm s

:
4 2 2
2
y x mx m
= − + −
. Tìm m
để

a) Hàm s

ngh

ch bi
ế
n trên

(
)
1;
+∞

b) Hàm s

ngh

ch bi
ế
n trên
(
)
(
)
1;0 , 2;3
− .
7)
Cho hàm s

:
1
x
y
x m

=

. Tìm m

để

a) Hàm s

ngh

ch bi
ế
n trên m

i kho

ng xác
đị
nh c

a nó
b) Hàm s


đồ
ng bi
ế
n trên kho

ng
(
)
0;
+∞

.

8)
Cho hàm s


2 2
1
x x m
y
x
− +
=

. Tìm m
để
:
a) Hàm s


đồ
ng bi
ế
n trên m

i kho

ng xác
đị
nh c


a nó.
b) Hàm s

ngh

ch bi
ế
n trên các kho

ng
(
)
(
)
0;1 , 2;4
.



Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com

Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam
WWW.MATHVN.COM

2

Dạng 3: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình,
bất phương trình
1) Giải các phương trình sau:

a)
2 2
15 3 2 8
x x x
+ = − + +
; b)
2
3 1 6 3 14 8 0
x x x x
+ − − + − − =
(B-2010).

2)
Gi

i b

t ph
ươ
ng trình:
3 2
3 2 6 7 0
x x x x
− − + + − >
.
3) Giải hệ các hệ phương trình sau:
a)
cot cot
5 7 2
0 ,

x y x y
x y
x y
π
π
− = −


+ =


< <

; b)
(
)
( )
2
2 2
4 1 3 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x

+ + − − =


+ + − =



(A-2010).
Dạng 4: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh một số bất đẳng thức.
Hãy chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
sin x > 0
x x
< ∀
; b)
sin x < 0
x x
< ∀
; c)
tan x > 0
x x
> ∀

d)
3
sin x > 0
6
x
x x> − ∀
; e)
3
sin x < 0
6
x
x x< − ∀
; f)
2sin tan 3

x x x
+ >
0;
2
x
π
 
∀ ∈
 
 

g)
(
)
(
)
cos sin sin cos xx x
> ∀ ∈

; h)
3
x 0;
2
2
cot
sin
x
x
x
π

 
< ∀ ∈
 
 
+

i)
sin
sin 2
a a a
b b b
π
< <
với
0
2
a b
π
< < <
; j)
2 2 4
1 cos 1 0
2 2 24
x x x
x x
− < < − + ∀ ≠


II. BÀI TẬP VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ


Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số
a)
2
4
y x
= −
; b)
3 2
1
2 3 3
3
y x x x
= − + −
; c)
4 2
2 1
y x x
= − −

d)
2
3 3
1
x x
y
x
− +
=

; e)

2
4
x
y
x
=
+
; f)
2
2 2
y x x
= − +

g)
sin 2 2
y x x
= − +
; h)
3 2cos cos2
y x x
= − −
; i)
[
]
2
sin 3cos , x 0;
y x x
π
= − ∈
Dạng 2: Tìm m để hàm số

(
)
,
y f x m
= có cực trị ( thoả mãn điều kiện nào đó)
1) Chứng minh rằng với mọi m hàm số:
(
)
2 3
1 1
x m m x m
y
x m
− + + +
=

luôn đạt cực đại
và cực tiểu.
2) Tìm m để các hàm số sau có cực trị:
a)
( )
3 2 2
1
2 3 2 8
3
y x mx m m x
= − + − + +
; b)
sin
y x mx

= −

3) Tìm m để hàm số:
(
)
4 2 2
9 10
y mx m x
= + − +
có ba cực trị. (B-2002).
4) Tìm m để hàm số:
(
)
3
3
y x m x
= − −
đạt cực tiểu tại điểm
0
x
=
.
5) Tìm m để hàm số:
( ) ( )
3 2 2 2
1
2 3 1 5
3
y x m m x m x m
= + − + + + + −

đạt cực tiểu tại
2.
x
= −

Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com

Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam
WWW.MATHVN.COM

3

6) Tìm m để hàm số:
2
1
x mx
y
x
+
=

để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa
hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng
10
.
7) Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị
(
)
m
C

của hàm số
(
)
2
1 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+

luôn luôn có
đ
i

m c

c
đạ
i,
đ
i

m c

c ti

u và kho


ng cách gi

a hai
đ
i

m
đ
ó b

ng
20
.
(B-2005)

8)
Tìm m
để
hàm s

:
(
)
2 2
2 1 4
2
x m x m m
y
x

+ + + +
=
+
có c

c
đạ
i c

c ti

u,
đồ
ng th

i các
đ
i

m c

c tr

c

a
đồ
th

cùng v


i g

c to


độ
O t

o thành m

t tam giác vuông t

i O.(A-2007)
9)
Cho hàm s

:
4 2
2 2
y x mx m
= − +
. Xác
đị
nh m
để
hàm s

có c


c
đạ
i, c

c ti

u l

p
thành: a) M

t tam giác
đề
u b) M

t tam giác vuông c) M

t tam giác có di

n tích
b

ng 16.
10)
Tìm m
để
hàm s

:
(

)
(
)
3 2
2 3 1 6 1 2
y x m x m m x
= + − + − có cực đại, cực tiểu nằm trên
đường thẳng
4 0.
x y
+ =

11) Tìm m để hàm số:
3 2
7 3
y x mx x
= + + +
có đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu
vuông góc với đường thẳng
3 7 0.
x y
− − =

12)
Tìm m
để
hàm s

:
(

)
(
)
(
)
3 2 2
3 1 2 3 2 1
y x m x m m x m m
= − − + − + − −
có đường thẳng
đi qua điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng
4 20 0
x y
+ − =
một góc
0
45
.
13) Tìm m để hàm số:
3 2 2
3
y x x m x m
= − + +
có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua
đường thẳng
2 5 0
x y
− − =
.
14) Cho hàm số:

( ) ( )
3 2
2
os 3sin 8 1 os2 1
3
y x c m m x c m x
= + − − + +

a) Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.
b) Giả sử rằng hàm số đạt cực trị tại
1 2
, x
x
. Chứng minh:
2 2
1 2
18
x x
+ ≤
.
15) Tìm m để hàm số:
3 2
1
1
3
y x mx x m
= − − + +
có khoảng cách giữa các điểm cực
đại và cực tiểu là nhỏ nhất
16) Tìm m để hàm số:

3 2
3
2
m
y x x m
= − +
có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai
phía của đường thẳng
0
x y
− =
.
17) Tìm m để hàm số:
4 2
1 3
4 2
y x mx
= − +
chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
18) Tìm m để hàm số:
2
3 2 1
1
mx mx m
y
x
+ + +
=

có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối

với trục Ox.
19) Tìm m để hàm số:
(
)
2
2 3 2
2
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
có cực đại, cực tiểu đồng thời thoả
mãn
2 2
1
2
CD CT
y y+ >
.
Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com

Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam
WWW.MATHVN.COM

4

20) Tìm m để hàm số:
(

)
(
)
(
)
3 2 2 2
2 1 4 1 2 2011
y x m x m m x m= + − + − + − +

đạ
t c

c tr


t

i hai
đ
i

m có hoành
độ

1 2
, x
x
sao cho
( )
1 2

1 2
1 1 1
2
x x
x x
+ = +
.

21)
Tìm m
để
hàm s


( )
1
:
m
C y mx
x
= +
có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến
tiệm cận xiên bằng
1
2
. (A-2005).
22) Tìm m để hàm số:
( ) ( )
3 2
1 1

1 3 2
3 3
y mx m x m x
= − − + − +
đạt cực trị tại
1 2
,
x x
thoả
1 2
2 1
x x
+ =
.
23) Tìm m để hàm số:
( )
( )
3 2 2
2 5
1 4 3
3 2011
y x m x m m x= + + + + + +
đạt cực trị tại hai
điểm
1 2
,
x x
sao cho
(
)

1 2 1 2
2
A x x x x
= − + đạt giá trị lớn nhất.
24) Tìm m để hàm số:
3 2
1 5
4 4
3 2
= − − −
y x mx mx
đạt cực trị tại
1 2
,
x x
sao cho biểu thức
2
2
2 1
2 2
1 2
5 12
5 12
x mx m
m
A
x mx m m
+ +
= +
+ +


đạ
t giá tr

nh

nh

t.


III. BÀI TẬP VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a)
3 2
3 9 1
y x x x
= + − +
,
[
]
4;4
x∈ − ; b)
[
]
4 2
8 16 , 1;3
y x x x= − + ∈ −
c)

(
]
, 2;4
2
x
y x
x
= ∈ −
+
; d)
( )
1
2 , 1;
1
y x x
x
= + + ∈ +∞

; e)
2
y x x
= + −

f)
3 2
cos 6cos 9cos 5
y x x x
= − + +
; g)
3

sin cos2 sin 2
y x x x
= − + +

h)
2
2
2 7 23
2 10
x x
y
x x
+ +
=
+ +
; i)
[ ]
2
1
, 1;2
1
x
y x
x
+
= ∈ −
+
; j)
(
)

[ ]
3
6 2
4 1 , 1;1
y x x x= + − ∈ −

k)
6 6
4 4
1 sin cos
1 sin cos
x x
y
x x
+ +
=
+ +
;
l
)
5
sin 3 cos
y x x
= +
; m)
2012 2012
sin cos
y x x
= +
n)

2
2 2 4
y x x x
= − + − − −
; o)
( )
2
cos
, 0;
sin 2cos sin 3
x
y x
x x x
π
 
= ∈



 
;
p)
3 2
5sin 9sin 4
y x x
= − +
; q)
( )
4
2

2
1
1
+
=
+
x
y
x
; r)
(
)
(
)
4 5 4
= + − − − −
y x x x x x

t)
2 2
1 1
= − + + + +
y x x x x
; u)
( )
8
2
2
1 256
1 4

+
=
+
x
y
x
; v)
2 2
4 3 2 4
= − + − +
y x x x x

w)
( )( )
2 2
5
6 9 2 1 , 4;
4
 
= + + + + + ∈ − −
 
 
y x x x x x x
; x)
2
1 1
3 1
+ +
   
= + +

   
   
x x
y
x x

Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com

Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam
WWW.MATHVN.COM

5

y)
2
11 1 4 tan
cos4
2 2 1 tan
= − −
+
x
y x
x
; z)
2
2
1 1
cos cos 1
cos cos
= + + + +

y x x
x x


Dạng 2: Ứng dụng giá trị lớn nhất vào những bài toán phương trình, bất phương
trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình có chứa tham số:
1) Tìm m để phương trình:
(
)
(
)
1 8 1 8
x x x x m
− + − − − − =
có nghiệm thực.
2) Tìm m để phương trình:
4
3 1 1 2 1
x m x x
− + + = −
có nghiệm thực. (A-2007)
3) Tìm m để phương trình:
(
)
4 4
2 sin cos cos4 2sin 2 0
x x x x m
+ + + + =
có ít nhất một
nghiệm thuộc đoạn

0;
2
π
 
 
 
.
4) Tìm m để phương trình :
( )
2
2 2 4 5 10 3 0
x m x m x
− + + + + − =
có nghiệm thực.
5) Tìm m để hệ phương trình:
3 3
3 3
1 1
5
1 1
15 10
x y
x y
x y m
x y

+ + + =





+ + + = −


có nghi

m th

c.

( D-2007).

6)
Tìm m
để
ph
ươ
ng trình:
( )
2 2
10 8 4 2 1 1
x x m x x
+ + = + +
có hai nghi

m th

c phân
bi


t.

7)
Tìm m
để
BPT:
(
)
( )
2
2 2 1 2 0
m x x x x
− + + + − ≤
có nghiệm trên
0;1 3
 
+
 
.
8)
V

i giá tr

nào c

a m thì h


2

2
2 7 3 0
0
x x
x mx m

− + ≤


− + ≤


có nghi

m th

c.
9)
Tìm m
để
h

:
(
)
(
)
2 2
3 2
3 4 5 2011 0

3 15 0
x x x x
x x x m m

− − − + ≤


− − − ≥


có nghiệm thực.
10) Tìm m để hệ:
(
)
(
)
( )
2012 2012
2
1 5 1 0
2 2 3 0
x x
x m x m

− + ≥


− + + + ≥



có nghiệm thực.
11) Tìm m để phương trình:
4 4
2 2 2. 6 2 6
x x x x m
+ + − + − =
có đúng hai nghiệm
phân biệt. (A-2008).
12) Tìm m để phương trình
(
)
2 2 4 2 2
4
1 1 2 2 1 1 1
m x x x x x
+ − − + = − + + − −

nghiệm thực. (B-2004).


IV. BÀI TẬP VỀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TOẠ ĐỘ

Dạng 1: Phép tịnh tiến hệ toạ độ
1) Cho hàm số:
(
)
3 2
6 12
y x x x C
= + + −

Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com

Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam
WWW.MATHVN.COM

6

a) Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) của hàm số có hoành độ là nghiệm của phương
trình
0
y
′′
=
.
b) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ
OI

và viết
phương trình của (C) đối với hệ toạ độ IXY. Từ đó suy ra I là tâm đối xứng của (C).
2) Cho hàm số:
1
2
2
y
x
= −
+
và điểm
(
)

2;2
I − . Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong
phép tịnh tiến theo vectơ
OI

và viết phương trình của (C) đối với hệ toạ độ IXY. Từ đó
suy ra I là tâm đối xứng của (C).

Dạng 2: Tìm tâm đối xứng, trục đối xứng của đồ thị.
1) Xác định tâm đối xứng của các đồ thị hàm số sau:
a)
3 2
6 4 9
y x x x
= − + −
; b)
4 3
10 6
x
y
x
+
=

; c)
2
3 5 8
2 1
x x
y

x
− +
=

.
2) Cho hàm số:
4 3 2
4 2 12
y x mx x mx
= + − − . Xác định m để hàm số có trục đối xứng
song song với Oy.

V. BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ

Dạng 1: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số
Tìm các loại tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
a)
1
2 1
x
y
x
+
=
+
; b)
2
1
x x
y

x
+
=

; c)
3
1
x
y
x
+
=
+
; d)
2
2 1
x x
y
x
− +
=

e)
2
1
y x x
= − +
; f)
2
2

y x x x
= + +
; g)
3 2
2
2
1
x x
y
x

=
+
; h)
2
1
x
y
x
=


i)
2
4
x
y
x
=


; j)
2
2
6 5 7
2 3 1
x x
y
x x
+ −
=
+ +
; k)
2
1
y x x x
= − + −
; l)
2
1
4
x
y
x
+
=

.
Dạng 2: Tiệm cận có chứa tham số
1) Tuỳ theo tham số m, hãy tìm tiệm cận đối với đồ thị của hàm số:
2

6 2
2
mx x
y
x
+ −
=
+
.
2) Tuỳ theo tham số m, hãy tìm tiệm cận đối với đồ thị của hàm số:
2
2
4
x
y
x x m
+
=
− +
.
3) Tìm m để đồ thị hàm số:
2
3
2
x
y
x mx m

=
+ +

chỉ có đúng một tiệm cận đứng.
4) Tìm m để đồ thị hàm số:
2
1
1
x
y
x mx
+
=
+ +
có hai tiệm cận đứng là
1 2
,
x x x x
= =
sao
cho
2 2
1 2
2 2
2 1
7
x x
x x
+ >
.
5) Cho hàm số:
2
x x m

y
x m
− + +
=
+
. Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên đi qua
điểm
(
)
2;0
A .
Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com

Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam
WWW.MATHVN.COM

7

6) Cho họ đồ thị
( )
2
1
:
1
m
x mx
C y
x
+ −
=


. Tìm m để tiệm cận xiên của
(
)
m
C
tạo với hai
trục tạo độ một tam giác có diện tích bằng 8.
7) Tìm các giá trị của m để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị hàm số:
(
)
2 2
3 2 2
3
mx m x
y
x m
+ − −
=
+
bằng
0
45
. (A-2008).
8)
Cho h


đồ
th



( )
(
)
( )
2 2 2
1 2
: 0
m
mx m m x m m
C y m
x m
− + − + − +
= ≠

.
Ch

ng minh r

ng kho

ng cách t

g

c to



độ
O
đế
n hai ti

m c

n xiên không l

n
h
ơ
n
2
.


VI. BÀI TẬP VỀ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN, VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ
MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
Dạng 1: Các bài toán về hàm số dạng đa thức

Loại 1: Các bài toán thuần tuý về khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
3 2
1
2 3
3
y x x x
= − +


2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
4 2
8 10
y x x
= − +

Loại 2: Các bài toán thường gắn liền với bài toán khảo sát hàm số
1) Tìm m để
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2 2
3 1 2 4 1 4 1
m
C y x m x m m m m
= − + + + + − +
cắt trục hoành
tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1.
2) Biện luận theo m số giao điểm của Ox với đường cong
(
)
(
)
3 2
: 3 3 1 1 3

m
C y x x m x m
= − + − + + .

3)
Tìm m
để

(
)
(
)
3 2 2
: 3 2 4 9
C y x mx m m x m m
= − + − + −
cắt trục hoành tại ba điểm
phân biệt sao cho ba điểm này lập thành cấp số cộng.
4) Tìm m để
(
)
(
)
3 2
: 2 2 7 1 54
m
C y x mx m x
= + − − −
cắt Ox tại 3 điểm phân biệt lập
thành cấp số nhân.

5) Cho
(
)
(
)
4 2
: 2 1 2 1
m
C y x m x m
= − + + +
. Tìm m để
(
)
m
C
cắt Ox tại 4 điểm phân
biệt lập thành một cấp số cộng.
6) Tìm m để đồ thị hàm số:
(
)
3 2
2 1
y x x m x m
= − + − +
cắt trục hoành tại ba điểm
phân biệt có hoành độ
1 2 3
, ,
x x x
thoả mãn điều kiện:

2 2 2
1 2 3
4
x x x
+ + <
(A-2010).
7) Tìm m để đường thẳng
y m
=
cắt đồ thị (C):
4 2
2 3
= − −
y x x
tại bốn điểm phân
biệt M, N, P, Q ( sắp thứ tự từ trái sang phải) sao cho độ dài các đoạn thẳng MN,
NP, PQ được giả sử là độ dài 3 cạnh của một tam giác bất kỳ.
8) Cho
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2
: 3 3 3 6 1 1
m
C y m x m x m x m

= + − + − + + +
có 3 điểm cố định
thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm cố định đó.
9) Tìm điểm cố định của
(
)
(
)
(
)
3 2
: 4 4
m
C y x m m x x m m
= + + − − +
.
Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com

Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam
WWW.MATHVN.COM

8

10) Tìm m để
(
)
(
)
(
)

(
)
3 2 2
: 3 1 2 3 2 1
m
C y x m x m m x m m
= − − + − + − −
tiếp xúc với
Ox.
11) Tìm m để hai đồ thị sau đây tiếp xúc với nhau:
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2 3
1 2
: 1 2 2 ; : 3 3 1 2 4 2
C y mx m x mx C y mx m x m
= + − + = + − + −

12) Cho hàm số:
3 2
1
2 1
3
y x x x

= − + −
, có đồ thị
(
)
C
. Viết phương trình tiếp tuyến
với
(
)
C

a) Tạo với chiều dương Ox góc
0
60
.
b)
T

o v

i chi

u d
ươ
ng Ox góc
0
15
.
c)


T

o v

i tr

c hoành Ox góc
0
75
.
d)

Có h

s

góc
2
k
= −
.
e)

Song song v

i
đườ
ng th

ng

2
y x
= − +
.
f)

Vuông góc v

i
đườ
ng th

ng
2 3
y x
= −
.
g)

T

o v

i
đườ
ng th

ng
3 7
y x

= +
góc
0
45
.
h)

T

o v

i
đườ
ng th

ng
1
3
2
y x
= − +
góc
0
30
.
13) Cho hàm số:
3
3 2
y x x
= − + +

(C). Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp
tuyến đến đồ thị
(
)
C
.
14) Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị

(
)
3 2
: 3
C y x x
= + trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc nhau.
15)Tìm trên đường thẳng
2
y
=
các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị
(
)
3
: 3
C y x x
= −
.
16) Tìm trên trục tung các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị
(
)
4 2

: 1.
C y x x
= − +

17)
a) Kh

o sát s

bi
ế
n thiên và v


đồ
th


(
)
C
:
3
4 3
y x x
= −
.
b)Tìm m
để


3
4 3 0
x x m
− − =
có 4 nghi

m phân bi

t.
c)

Ch

ng minh r

ng ph
ươ
ng trình:
3 2
4 3 1
x x x
− = −
có ba nghi

m.
18)
a) Kh

o sát s


bi
ế
n thiên và v


đồ
th

c

a hàm s

:
3 2
2 9 12 4
y x x x
= − + −

b) Tìm m
để
ph
ươ
ng trình sau có 6 nghi

m phân bi

t:
3
2
2 9 12

x x x m
− + =
.
(A-2006)
19) Cho hàm số:
4 2
2 4
y x x
= − (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Với giá trị nào của m, phương trình
2 2
2
x x m
− =
có đúng 6 nghiệm thực
phân biệt. (B-2009).
20) Cho hàm số:
(
)
3 2
2 3 3 18 8
y x m x mx
= − + + −

a) Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành.
b) Chứng minh rằng tồn tại điểm có hoành độ
0
x
sao cho tiếp tuyến với đồ thị

tại đó song song nhau với mọi m.
Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com

Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam
WWW.MATHVN.COM

9

c) Chứng minh rằng trên Parabol
(
)
2
:
P y x
=
có hai điểm không thuộc đồ thị
hàm số với mọi m.


Dạng 2: Các bài toán về hàm số dạng phân thức hữu tỉ
Loại 1: Các bài toán thuần tuý về khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số
1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
2 1
1
x
y
x
+
=



b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau:

2 1
2 1
;
1 1
x
x
y y
x x
+
+
= =
− −
.
2) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
2
2 2
1
x x
y
x
− +
=


b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy suy ra đồ thị:
2
2 2

1
x x
y
x
− +
=


3) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
2
1
1
x x
y
x
− − +
=
+

b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy suy ra đồ thị:
2
1
1
x x
y
x
− − +
=
+
.

Loại 2: Một số bài toán hay gặp đối với hàm phân thức
1) Cho hàm số:
2 1
1
x
y
x

=

(C) và điểm M bất kỳ thuộc
(
)
C
. Gọi I là giao điểm hai
tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B.
a) Chứng minh: M là trung điểm AB.
b) Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi.
c) Tìm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
2) Tìm trên đường thẳng
2 1
y x
= +
các điểm kẻ được đúng một tiếp tuyến đến
( )
3
:
1
x
C y

x
+
=

.
3) Cho hàm số:
( )
2
3 4
2 1
x x
y
x
− +
=

(C) và điểm M bất kỳ thuộc
(
)
C
. Gọi I là giao
điểm hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B.
a) Chứng minh: M là trung điểm AB.
b) Tích các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là không đổi.
c) Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi.
d) Tìm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
4) Tìm các điểm trên đồ thị
( )
10 4
:

3 2
x
C y
x

=
+
có toạ độ là số nguyên.
5) Tìm các điểm trên đồ thị
( )
2
5 15
:
3
x x
C y
x
+ +
=
+
có toạ độ là số nguyên.
Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com

Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam
WWW.MATHVN.COM

10

6) Cho
( )

3 5
:
2
x
C y
x

=

. Tìm M thuộc
(
)
C
để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm
cận là nhỏ nhất.
7) Cho
( )
1
:
1
x
C y
x

=
+
. Tìm M thuộc
(
)
C

để tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ
độ là nhỏ nhất.
8) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
2
2 3
x
y
x
+
=
+
, biết tiếp tuyến đó cắt
trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB
cân tại O. ( A-2009).
9) Tìm toạ độ điểm M thuộc
( )
2
:
1
x
C y
x
=
+
, biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai
trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
1
4
.
(D-2007)

10) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị
( )
4 9
:
3
x
C y
x

=

các điểm A, B để độ dài AB nhỏ
nhất.
11) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị
( )
2
2 5
:
1
x x
C y
x
− + −
=

các điểm A, B để độ dài AB
nhỏ nhất.
11) Cho hàm số:
2 3


2
x
y
x

=

(C).
Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm điểm M thuộc (C). Biết tiếp tuyến của (C)
tại M cắt các đường tiệm cận tại J và K sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK
có diện tích nhỏ nhất.
12) Cho hàm số:
2 1
1
x
y
x
+
=

và điểm
(
)
2;5
A
− . Xác
đị
nh
đườ
ng th


ng d c

t
(
)
C
t

i
hai
đ
i

m B, C sao cho tam giác ABC
đề
u.
13)
a)

Kh

o sát s

bi
ế
n thiên và v


đồ

th

(C) c

a hàm s

:
( )
2
2 4 3
2 1
x x
y
x
− −
=

.
b) Tìm m để phương trình:
2
2 4 3 2 1 0
x x m x
− − + − =
có hai nghiệm phân biệt.
14) Tìm m để đường thẳng
y m
=
cắt đồ thị hàm số:
( )
2

3 3
2 1
x x
y
x
− + −
=

tại hai điểm A,
B sao cho
1
AB
=
. (A-2004).
15) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
2
2 5
1
x x
y
x
+ +
=
+

b) Dựa vào đồ thị (C) hãy tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân
biệt:
(
)
(

)
2 2
2 5 2 5 1
x x m m x
+ + = + + +
.
16) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
2
3 3
2
x x
y
x
+ +
=
+
(C)
Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com

Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam
WWW.MATHVN.COM

11

b) Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng
:
d y mx m
= −
c


t (C) t

i
hai
đ
i

m A và B thu

c hai nhánh c

a nó.
c) Tìm t

p h

p trung
đ
i

m I c

a
đ
o

n th

ng AB khi m bi
ế

n thiên.
17)
Ch

ng minh r

ng v

i m

i
0
m

,
đồ
th

c

a hàm s


(
)
1
m x m
y
x m
+ +

=
+
luôn tiếp
xúc với một đường thẳng cố định.

VII. BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ HÀM SỐ
1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
2
:
2
x
C y
x
=

biết tiếp tuyến cắt
Ox, Oy
lần
lượt tại M, N sao cho
MN OM 2
=
với O là gốc toạ độ.
2) Tìm m để hàm số
( )
( )
3 2 2 2012
1 1
3 . 2011
3 2

m
y x mx m x m C
= − + − +
đạt cực trị tại
1 2
,
x x

đồng thời
1 2
,
x x
là độ dài của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng
10
2
.
3) Tìm tất cả các giá trị m sao cho trên đồ thị
( ) ( ) ( )
3 2
1
: 1 4 3
3
m
C y mx m x m x
= + − + −
tồn
tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng
1 3
:
2 2

d y x
= − +
.
4) Viết phương trình đường thẳng d biết d cắt đồ thị
(
)
3
: 3 2
C y x x
= − +
tại 3 điểm phân
biệt M, N, P sao cho
2
M
x
=

2 2
NP =
.
5) Tìm m để đường thẳng
: 1
d y x
= − +
cắt
(
)
3 2
: 4 6 1
m

C y x mx
= − +
tại ba điểm
(
)
0;1 , ,
A B C
biế
t
,
B C

đố
i x

ng nhau qua
đườ
ng phân giác th

nh

t.
6)
Tìm m
để

đồ
th



(
)
4 2 2
: 2 2 4
m
C y x mx m
= − + −
có ba
đ
i

m c

c tr

t

o thành m

t tam
giác có di

n tích b

ng 1.
7)
Vi
ế
t ph
ươ

ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c

a
đồ
th


( )
2
:
1
x
C y
x

=
+
bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n c

t Ox, Oy l


n
l
ượ
t t

i A, B sao cho bán kính
đườ
ng tròn n

i ti
ế
p tam giác OAB l

n nh

t.
8)
Cho hàm s

:
2 3
mx
y
x m
+
=


(

)
m
C
. G

i I là giao
đ
i

m hai ti

m c

n. Tìm m
để
ti
ế
p tuy
ế
n
b

t kì v

i
(
)
m
C
c


t hai ti

m c

n l

n l
ượ
t t

i A, B sao cho di

n tích tam giác IAB b

ng 64.
9)
Tìm m
để

đồ
th


(
)
4 2
4
m
C y x x m

= − +
c

t tr

c hoành t

i b

n
đ
i

m phân bi

t sao cho
di

n tích hình ph

ng gi

i h

n b

i
(
)
m

C
và tr

c hoành có ph

n trên b

ng ph

n d
ướ
i.
10)
Tìm m
để

đồ
th


(
)
(
)
4 2 2
: 2 1 1
m
C y x m x m
= − − + +
có ba điểm cực trị tạo thành một

tam giác có diện tích lớn nhất.
11) Tìm m để đường thẳng
: 1
d y x m
= − + +
cắt
( )
3
:
2
x
C y
x
+
=

tại hai điểm phân biệt A,
B sao cho

AOB
nhọn.
Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com

Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam
WWW.MATHVN.COM

12

12) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )

:
1
x
C y
x
=

biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm
cận một tam giác có chu vi bằng
4 2 2
+ .
13) Cho hàm số
( )
2

1
m
x m
y C
mx

=
+
. Chứng minh rằng với mọi
0
m

,
(
)

m
C
cắt
(
)
: 2
d y x m
= −
t

i hai
đ
i

m phân bi

t A, B thu

c m

t
đườ
ng
(
)
H
c


đị

nh.
Đườ
ng th

ng
d
c

t các tr

c Ox, Oy l

n l
ượ
t t

i M, N . Tìm m
để
3.
OAB OMN
S S
∆ ∆
=
.
14)
Tìm trên
( )
1
:
2

x
C y
x
− +
=

các
đ
i

m A, B sao cho
độ
dài
đ
o

n th

ng AB = 4 và
đườ
ng
th

ng AB vuông góc v

i
đườ
ng th

ng

y x
=
.
15)
Tìm m
để

đồ
th


(
)
4 2
: 1
m
C y x mx m
= − + −
c

t tr

c hoành t

i 4
đ
i

m phân bi


t có
hoành
độ
l

n h
ơ
n
2

.
16)
Tìm m
để

đườ
ng th

ng
: 2 3
d y x m
= +
c

t
( )
3
:
2
x

C y
x
+
=
+
t

i hai
đ
i

m phân bi

t A, B
sao cho
OA.OB 4
= −
 
v

i O là g

c to


độ
.
17)
Tìm to



độ
hai
đ
i

m
B,C
thu

c hai nhánh khác nhau c

a
đồ
th


( )
3 1
:
1

=

x
C y
x
sao
cho tam giác ABC vuông cân t


i
(
)
A 2;1
.
18)
Tìm m
để

đồ
th


(
)
3 2
: 3
= + +
C y x x m
có hai
đ
i

m c

c tr

A, B sao cho

0

AOB 120
=
.
19)
Tìm m
để

đườ
ng th

ng
:
d y x m
= +
c

t
( )
2 1
:
1
x
C y
x

=
+
t

i hai

đ
i

m phân bi

t A, B
sao cho
AB 2 2
=
.
20)
Cho hàm s

:
( )
3 2
1
x
y C
x

=
+
. G

i I là giao
đ
i

m hai

đườ
ng ti

m c

n c

a
đồ
th

. Vi
ế
t
ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c

a d v

i
(
)
C
bi
ế

t d c

t ti

m c

n
đứ
ng và ti

m c

n ngang l

n l
ượ
t
t

i A và B sao cho

5 26
cosBAI
26
=
.
21)
Tìm m
để


(
)
4 2
: 2 2
m
C y x mx
= − +
có ba
đ
i

m c

c tr

t

o thành m

t tam giác có
đườ
ng
tròn ngo

i ti
ế
p
đ
i qua
đ

i

m
3 9
D ;
5 5
 
 
 
.
22)
Cho hàm s

:
( )
4 2
1 5
3
2 2
y x x C
= − +

đ
i

m
(
)
A
C

∈ v

i
A
x a
=
. Tìm các giá tr

th

c
c

a a bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n c

a
(
)
C
t

i A c

t

đồ
th


(
)
C
t

i hai
đ
i

m B, C phân bi

t khác A sao
cho
AC 3AB
=
( B n

m gi

a A và C).
23)
Tìm m
để

đồ
th



( ) ( ) ( )
4 2
1
: 3 1 2 1
4
m
C y x m x m
= − + + +
có ba
đ
i

m c

c tr

t

o thành
m

t tam giác có tr

ng tâm là g

c to



độ
O.
Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com

Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam
WWW.MATHVN.COM

13

24) Tìm m để
( ) ( ) ( )
3 2
1
: 1 3 4 1
3
m
C y mx m x m x
= + − + − +
có điểm chung mà tiếp tuyến tại
đó vuông góc với đường thẳng
: 2011
d y x
= +
.
25)
Tìm m
để

(
)

(
)
(
)
3 2 2 2
: 3 3 1 1
m
C y x mx m x m
= − + − − −
cắt Ox tại ba điểm phân biệt có
hoành độ dương.
26) Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
(
)
3 2
: 3 3 3 4
m
C y x x mx m
= − + + +

tr

c hoành có ph

n n

m phía trên tr

c hoành b


ng ph

n n

m d
ướ
i tr

c hoành.
27)
Tìm trên
( )
1
:
2
x
C y
x
− −
=
+
các
đ
i

m A, B sao cho ti
ế
p tuy
ế
n c


a
đồ
th

hàm s

t

i A
song song v

i ti
ế
p tuy
ế
n t

i B và
AB 2 2
=
.
28)
G

i d là
đườ
ng th

ng

đ
i qua
(
)
A 1;0
và có h

s

góc k. Tìm k
để
d c

t
đồ
th


( )
2
:
1
+
=

x
C y
x
t


i hai
đ
i

m phân bi

t M, N thu

c hai nhánh khác nhau c

a
đồ
th


AM 2AN
=
.
29)
Tìm m
để

đườ
ng th

ng qua các
đ
i

m c


c
đạ
i, c

c ti

u c

a
(
)
3
: 3 2
m
C y x mx
= − +
cắt
đường tròn
(
)
(
)
(
)
2 2
: 1 1 1
C x y
− + − =
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam

giác IAB lớn nhất.
30) Viết phương trình tiếp tuyến với
( )
3
:
2 2
x
C y
x
+
=
+
biết tiếp tuyến cắt hai trục toạ độ Ox,
Oy tại hai điểm A, B sao cho đường trung trực của AB đi qua gốc toạ độ O.
31) Tìm m để
( ) ( )
3 2
1 1
: 1
3 2
m
C y x m x mx
= − + +
có điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau
qua đường thẳng
:72 12 35 0
d x y
− − =
.
32) Cho hàm số

(
)
3 2
3 4
y x x C
= − + . Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng
(
)
: 1
d y m x
= +
luôn cắt đồ thị
(
)
C
tại một điểm A cố định và tìm m để đường thẳng d cắt
(
)
C
tại ba điểm phân biệt A, B, C đồng thời B, C cùng với gốc toạ độ O lập thành một tam
giác có diện tích bằng 1.
33) Tìm tất cả các giá trị m để
( ) ( ) ( )
3 2
1 1
: 1 2 1 1
3 2
m
C y x m x m x
= − + − + +

có hai điểm cực
trị có hoành độ lớn hơn
1
.
34) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị
(
)
3
: 3 2
C y x x
= − +
sao cho tiếp tuyến tại A và B có
cùng hệ số góc và đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng
2011 0
x y
+ + =
.
35) Giả sử
(
)
3 2
6 9
m
C y x x x m
= − + +
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
1 2 3
x x x
< <
.

Chứng minh rằng:
1 2 3
0 1 3 4
x x x
< < < < < <
.
36) Chứng minh rằng với mọi m ,
(
)
(
)
(
)
3 2 2 3
: 3 1 3 1 1
m
C y x m x m x m
= + + + + + +
cắt trục
hoành tại duy nhất một điểm.
37) Gọi d là đường thẳng đi qua
(
)
M 2;0
và có hệ số góc k. Tìm k để d cắt
(
)
3
: 3 2
C y x x

= − −
tại bốn điểm phân biệt.
Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com

Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam
WWW.MATHVN.COM

14

38) Tìm m để điểm
(
)
3;5
A nằm trên đường thẳng nối hai điểm cực trị của
(
)
(
)
3 2
: 3 3 6 1
m
C y x mx m x
= − + + +
.
39)
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti

ế
p tuy
ế
n c

a
(
)
(
)
(
)
3 2
: 1 1
C y x x x
= − + +
biết tiếp tuyến tiếp xúc
với đồ thị tại hai điểm phân biệt.
40) Tìm m để
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2
: 2 2 7 1 3 4
m

C y x m x m x m
= − + + + − +
cắt trục hoành tại ba điểm
phân biệt có hoành độ
1 2 3
, ,
x x x
sao cho
2 2 2
1 2 3 1 2 3
3 53
x x x x x x
+ + + >
.
41) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng
2
:
m
y mx m
∆ = −
luôn cắt
(
)
(
)
(
)
3 2 2
: 3 1 2 1
m

C y x m x m m x m
= − − + − +
tại một điểm A có hoành độ không đổi. Tìm
m để
m

còn cắt
(
)
m
C
tại một điểm nữa khác A mà tiếp tuyến của
(
)
m
C
tại hai điểm đó
song song với nhau.
42) Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của
(
)
(
)
3 2
: 2 2 3
m
C y x x m x m
= − + − + đi
qua điểm
55

A 1;
27
 

 
 
.
43) Tìm m để đường thẳng
:2 2 1 0
d mx y m
− + + =
cắt
( )
1
:
2 1
x
C y
x
+
=
+
tại hai điểm phân
biệt A, B sao cho biểu thức
2 2
P OA OB
= +
đạt giá trị nhỏ nhất.
44) Từ các điểm cố định của
( )

4 3
:
m
mx m
C y
x m
− +
=

, hãy viết các đường thẳng đi qua
chúng và có hệ số góc
3
2
k
=
. Hãy tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
vừa lập và trục Ox.
45) Tìm m để
(
)
(
)
(
)
3 2 2 2 3
: 3 2 1 3 1 1
m
C y x m x m x m
= − − + − + −
có hai điểm phân biệt đối

xứng nhau qua gốc toạ độ O.
46) Tìm m để hàm số:
( )
2
3 2 2
1
1 3 2011 2012 2013
3
m
y x m x x m m

= + + + + + +
đồng biến
trên

.
47) Cho hàm số:
2
1
1
x x
y
x
+ −
=

(C). Giả sử
:
d y x m
= − +

cắt
(
)
C
tại hai điểm A, B phân
biệt.
a) Tìm m để trung điểm M của đoạn AB cách điểm I
(
)
1;3
một đoạn là
10
.
b) Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn AB khi m thay đổi.
48) Tìm m để tiếp tuyến tại hai điểm cố định của
(
)
4 2
: 2 2 1
m
C y x mx m
= − + − +
vuông góc
nhau.
49) Tìm m để
(
)
3 2
: 3 2
C y x x

= − +
có điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với
đường tròn
(
)
2 2 2
: 2 4 5 1 0
m
C x y mx my m
+ − − + − =
.
50) Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành và cắt đồ thị
( )
3 2
1 8
: 3
3 3
C y x x x
= − − +
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại gốc
toạ độ O.
Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com

Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam
WWW.MATHVN.COM

15

51) Cho hàm số:
(

)
3 2
2 3 4
y x mx m x
= − + + +
có đồ thị là
(
)
m
C
, đường thẳng
: 4
d y x
= +
và điểm
(
)
1;3
E . Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho d cắt
(
)
m
C
tại
ba điểm phân biệt
(
)
0;4 , ,
A B C
sao cho tam giác EBC có diệ

n tích b

ng
4
.
52)
Cho hàm s


1
2 1
x
y
x
− +
=

có đồ thị
(
)
C
. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng
y x m
= +
luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi
1 2
,
k k
lần lượt là tiếp tuyến với (C)
tại A, B. Tìm m để tổng

1 2
k k
+
đạt giá trị lớn nhất. ( A -2011)

53) Tìm m để
(
)
m
C
:
(
)
4 2
2 1
y x m x m
= − + +
có ba điểm cực trị A, B, C sao cho
OA BC
=

với O là gốc toạ độ, A là điểm thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại. (B-2011)
54) Tìm k để
: 2 1
d y kx k
= + +
cắ
t
( )
2 1

:
1
x
C y
x
+
=
+
t

i hai
đ
i

m phân bi

t A, B sao cho
kho

ng cách t

A và B
đế
n tr

c hoành b

ng nhau.
(D-2011).


×