Bài tập về khảo sát hàm số luyện thi đại học

Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com

Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam
WWW.MATHVN.COM

1

I. BÀI TẬP VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

Dạng 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
a)
3 2
3 1
y x x
= − +
; b)
3 2
3 2011 5
y x x x= − + +
; c)
4 2
2 3
y x x
= − +
;
d)
2
1
y x x
= + −
; e)

100
y x
x
= + ; f)
3 1
4
x
y
x
+
=
−
g)
2
4 3
2
x x
y
x
− +
=
−
;
h)
2
2 3
y x x
= − −
; i)
[

]
2sin cos2 , x 0;
y x x
π
= + ∈ ; j)
2
1
x
y
x
=
+
;
k)
4 4
1 1
y x x x x
= + − + + −
.
Dạng 2: Tìm m để hàm số
(
)
,
y f x m
=
đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng I.
1)
Cho hàm s
ố
:

(
)
3 2
4 3
y x m x mx
= + + + . Tìm m
để

a) Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên
ℝ

b) Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên kho
ả
ng
[
)
0;
+∞

c) Hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên
đ
o
ạ
n
1 1
;
2 2
 
−
 
 

d) Hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên
đ
o
ạ

n có
độ
dài
1
l
=
.
2)
Tìm m
để
hàm s
ố
:
( ) ( )
3 2
1 1
1 3 2
3
3
y mx m x m x= − − + − +

đồ
ng bi
ế
n trên kho
ả
ng
[
)
2;

+∞
.
3)
Tìm m
để
hàm s
ố
:
(
)
3 2
3 1 4
y x x m x m
= + + + + ngh
ị
ch bi
ế
n trên kho
ả
ng
(
)
1;1
−
.
4)
Tìm m
để
hàm s
ố

:
( )
3 2
1
3 2
3
m
y x mx m x
−
= + + −

đồ
ng bi
ế
n trên
ℝ
.
5)
Tìm m
để
hàm s
ố
:
( ) ( )
3 2
1
2 1 1
3
y mx m x m x m
= + − + − +

đồ
ng bi
ế
n trên
(
)
[
)
;0 2;
−∞ ∪ +∞
.
6)
Cho hàm s
ố
:
4 2 2
2
y x mx m
= − + −
. Tìm m
để

a) Hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên

(
)
1;
+∞

b) Hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên
(
)
(
)
1;0 , 2;3
− .
7)
Cho hàm s
ố
:
1
x
y
x m
−
=
−
. Tìm m

để

a) Hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên m
ỗ
i kho
ả
ng xác
đị
nh c
ủ
a nó
b) Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên kho
ả
ng
(
)
0;
+∞

.

8)
Cho hàm s
ố

2 2
1
x x m
y
x
− +
=
−
. Tìm m
để
:
a) Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên m
ỗ
i kho
ả
ng xác
đị
nh c

ủ
a nó.
b) Hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên các kho
ả
ng
(
)
(
)
0;1 , 2;4
.



Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com

Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam
WWW.MATHVN.COM

2

Dạng 3: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình,
bất phương trình
1) Giải các phương trình sau:

a)
2 2
15 3 2 8
x x x
+ = − + +
; b)
2
3 1 6 3 14 8 0
x x x x
+ − − + − − =
(B-2010).

2)
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
3 2
3 2 6 7 0
x x x x
− − + + − >
.
3) Giải hệ các hệ phương trình sau:
a)
cot cot
5 7 2
0 ,

x y x y
x y
x y
π
π
− = −


+ =


< <

; b)
(
)
( )
2
2 2
4 1 3 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x

+ + − − =


+ + − =



(A-2010).
Dạng 4: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh một số bất đẳng thức.
Hãy chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
sin x > 0
x x
< ∀
; b)
sin x < 0
x x
< ∀
; c)
tan x > 0
x x
> ∀

d)
3
sin x > 0
6
x
x x> − ∀
; e)
3
sin x < 0
6
x
x x< − ∀
; f)
2sin tan 3

x x x
+ >
0;
2
x
π
 
∀ ∈
 
 

g)
(
)
(
)
cos sin sin cos xx x
> ∀ ∈
ℝ
; h)
3
x 0;
2
2
cot
sin
x
x
x
π

 
< ∀ ∈
 
 
+

i)
sin
sin 2
a a a
b b b
π
< <
với
0
2
a b
π
< < <
; j)
2 2 4
1 cos 1 0
2 2 24
x x x
x x
− < < − + ∀ ≠


II. BÀI TẬP VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số
a)
2
4
y x
= −
; b)
3 2
1
2 3 3
3
y x x x
= − + −
; c)
4 2
2 1
y x x
= − −

d)
2
3 3
1
x x
y
x
− +
=
−
; e)

2
4
x
y
x
=
+
; f)
2
2 2
y x x
= − +

g)
sin 2 2
y x x
= − +
; h)
3 2cos cos2
y x x
= − −
; i)
[
]
2
sin 3cos , x 0;
y x x
π
= − ∈
Dạng 2: Tìm m để hàm số

(
)
,
y f x m
= có cực trị ( thoả mãn điều kiện nào đó)
1) Chứng minh rằng với mọi m hàm số:
(
)
2 3
1 1
x m m x m
y
x m
− + + +
=
−
luôn đạt cực đại
và cực tiểu.
2) Tìm m để các hàm số sau có cực trị:
a)
( )
3 2 2
1
2 3 2 8
3
y x mx m m x
= − + − + +
; b)
sin
y x mx

= −

3) Tìm m để hàm số:
(
)
4 2 2
9 10
y mx m x
= + − +
có ba cực trị. (B-2002).
4) Tìm m để hàm số:
(
)
3
3
y x m x
= − −
đạt cực tiểu tại điểm
0
x
=
.
5) Tìm m để hàm số:
( ) ( )
3 2 2 2
1
2 3 1 5
3
y x m m x m x m
= + − + + + + −

đạt cực tiểu tại
2.
x
= −

Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com

Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam
WWW.MATHVN.COM

3

6) Tìm m để hàm số:
2
1
x mx
y
x
+
=
−
để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa
hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng
10
.
7) Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị
(
)
m
C

của hàm số
(
)
2
1 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+

luôn luôn có
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i,
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u và kho

ả
ng cách gi
ữ
a hai
đ
i
ể
m
đ
ó b
ằ
ng
20
.
(B-2005)

8)
Tìm m
để
hàm s
ố
:
(
)
2 2
2 1 4
2
x m x m m
y
x

+ + + +
=
+
có c
ự
c
đạ
i c
ự
c ti
ể
u,
đồ
ng th
ờ
i các
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a
đồ
th
ị
cùng v

ớ
i g
ố
c to
ạ

độ
O t
ạ
o thành m
ộ
t tam giác vuông t
ạ
i O.(A-2007)
9)
Cho hàm s
ố
:
4 2
2 2
y x mx m
= − +
. Xác
đị
nh m
để
hàm s
ố
có c
ự

c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u l
ậ
p
thành: a) M
ộ
t tam giác
đề
u b) M
ộ
t tam giác vuông c) M
ộ
t tam giác có di
ệ
n tích
b
ằ
ng 16.
10)
Tìm m
để
hàm s
ố
:
(

)
(
)
3 2
2 3 1 6 1 2
y x m x m m x
= + − + − có cực đại, cực tiểu nằm trên
đường thẳng
4 0.
x y
+ =

11) Tìm m để hàm số:
3 2
7 3
y x mx x
= + + +
có đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu
vuông góc với đường thẳng
3 7 0.
x y
− − =

12)
Tìm m
để
hàm s
ố
:
(

)
(
)
(
)
3 2 2
3 1 2 3 2 1
y x m x m m x m m
= − − + − + − −
có đường thẳng
đi qua điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng
4 20 0
x y
+ − =
một góc
0
45
.
13) Tìm m để hàm số:
3 2 2
3
y x x m x m
= − + +
có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua
đường thẳng
2 5 0
x y
− − =
.
14) Cho hàm số:

( ) ( )
3 2
2
os 3sin 8 1 os2 1
3
y x c m m x c m x
= + − − + +

a) Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.
b) Giả sử rằng hàm số đạt cực trị tại
1 2
, x
x
. Chứng minh:
2 2
1 2
18
x x
+ ≤
.
15) Tìm m để hàm số:
3 2
1
1
3
y x mx x m
= − − + +
có khoảng cách giữa các điểm cực
đại và cực tiểu là nhỏ nhất
16) Tìm m để hàm số:

3 2
3
2
m
y x x m
= − +
có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai
phía của đường thẳng
0
x y
− =
.
17) Tìm m để hàm số:
4 2
1 3
4 2
y x mx
= − +
chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
18) Tìm m để hàm số:
2
3 2 1
1
mx mx m
y
x
+ + +
=
−
có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối

với trục Ox.
19) Tìm m để hàm số:
(
)
2
2 3 2
2
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
có cực đại, cực tiểu đồng thời thoả
mãn
2 2
1
2
CD CT
y y+ >
.
Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com

Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam
WWW.MATHVN.COM

4

20) Tìm m để hàm số:
(

)
(
)
(
)
3 2 2 2
2 1 4 1 2 2011
y x m x m m x m= + − + − + − +

đạ
t c
ự
c tr
ị

t
ạ
i hai
đ
i
ể
m có hoành
độ

1 2
, x
x
sao cho
( )
1 2

1 2
1 1 1
2
x x
x x
+ = +
.

21)
Tìm m
để
hàm s
ố

( )
1
:
m
C y mx
x
= +
có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến
tiệm cận xiên bằng
1
2
. (A-2005).
22) Tìm m để hàm số:
( ) ( )
3 2
1 1

1 3 2
3 3
y mx m x m x
= − − + − +
đạt cực trị tại
1 2
,
x x
thoả
1 2
2 1
x x
+ =
.
23) Tìm m để hàm số:
( )
( )
3 2 2
2 5
1 4 3
3 2011
y x m x m m x= + + + + + +
đạt cực trị tại hai
điểm
1 2
,
x x
sao cho
(
)

1 2 1 2
2
A x x x x
= − + đạt giá trị lớn nhất.
24) Tìm m để hàm số:
3 2
1 5
4 4
3 2
= − − −
y x mx mx
đạt cực trị tại
1 2
,
x x
sao cho biểu thức
2
2
2 1
2 2
1 2
5 12
5 12
x mx m
m
A
x mx m m
+ +
= +
+ +

đạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t.


III. BÀI TẬP VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a)
3 2
3 9 1
y x x x
= + − +
,
[
]
4;4
x∈ − ; b)
[
]
4 2
8 16 , 1;3
y x x x= − + ∈ −
c)

(
]
, 2;4
2
x
y x
x
= ∈ −
+
; d)
( )
1
2 , 1;
1
y x x
x
= + + ∈ +∞
−
; e)
2
y x x
= + −

f)
3 2
cos 6cos 9cos 5
y x x x
= − + +
; g)
3

sin cos2 sin 2
y x x x
= − + +

h)
2
2
2 7 23
2 10
x x
y
x x
+ +
=
+ +
; i)
[ ]
2
1
, 1;2
1
x
y x
x
+
= ∈ −
+
; j)
(
)

[ ]
3
6 2
4 1 , 1;1
y x x x= + − ∈ −

k)
6 6
4 4
1 sin cos
1 sin cos
x x
y
x x
+ +
=
+ +
;
l
)
5
sin 3 cos
y x x
= +
; m)
2012 2012
sin cos
y x x
= +
n)

2
2 2 4
y x x x
= − + − − −
; o)
( )
2
cos
, 0;
sin 2cos sin 3
x
y x
x x x
π
 
= ∈


−
 
;
p)
3 2
5sin 9sin 4
y x x
= − +
; q)
( )
4
2

2
1
1
+
=
+
x
y
x
; r)
(
)
(
)
4 5 4
= + − − − −
y x x x x x

t)
2 2
1 1
= − + + + +
y x x x x
; u)
( )
8
2
2
1 256
1 4

+
=
+
x
y
x
; v)
2 2
4 3 2 4
= − + − +
y x x x x

w)
( )( )
2 2
5
6 9 2 1 , 4;
4
 
= + + + + + ∈ − −
 
 
y x x x x x x
; x)
2
1 1
3 1
+ +
   
= + +

   
   
x x
y
x x

Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com

Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam
WWW.MATHVN.COM

5

y)
2
11 1 4 tan
cos4
2 2 1 tan
= − −
+
x
y x
x
; z)
2
2
1 1
cos cos 1
cos cos
= + + + +

y x x
x x


Dạng 2: Ứng dụng giá trị lớn nhất vào những bài toán phương trình, bất phương
trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình có chứa tham số:
1) Tìm m để phương trình:
(
)
(
)
1 8 1 8
x x x x m
− + − − − − =
có nghiệm thực.
2) Tìm m để phương trình:
4
3 1 1 2 1
x m x x
− + + = −
có nghiệm thực. (A-2007)
3) Tìm m để phương trình:
(
)
4 4
2 sin cos cos4 2sin 2 0
x x x x m
+ + + + =
có ít nhất một
nghiệm thuộc đoạn

0;
2
π
 
 
 
.
4) Tìm m để phương trình :
( )
2
2 2 4 5 10 3 0
x m x m x
− + + + + − =
có nghiệm thực.
5) Tìm m để hệ phương trình:
3 3
3 3
1 1
5
1 1
15 10
x y
x y
x y m
x y

+ + + =





+ + + = −


có nghi
ệ
m th
ự
c.

( D-2007).

6)
Tìm m
để
ph
ươ
ng trình:
( )
2 2
10 8 4 2 1 1
x x m x x
+ + = + +
có hai nghi
ệ
m th
ự
c phân
bi
ệ

t.

7)
Tìm m
để
BPT:
(
)
( )
2
2 2 1 2 0
m x x x x
− + + + − ≤
có nghiệm trên
0;1 3
 
+
 
.
8)
V
ớ
i giá tr
ị
nào c
ủ
a m thì h
ệ

2

2
2 7 3 0
0
x x
x mx m

− + ≤


− + ≤


có nghi
ệ
m th
ự
c.
9)
Tìm m
để
h
ệ
:
(
)
(
)
2 2
3 2
3 4 5 2011 0

3 15 0
x x x x
x x x m m

− − − + ≤


− − − ≥


có nghiệm thực.
10) Tìm m để hệ:
(
)
(
)
( )
2012 2012
2
1 5 1 0
2 2 3 0
x x
x m x m

− + ≥


− + + + ≥



có nghiệm thực.
11) Tìm m để phương trình:
4 4
2 2 2. 6 2 6
x x x x m
+ + − + − =
có đúng hai nghiệm
phân biệt. (A-2008).
12) Tìm m để phương trình
(
)
2 2 4 2 2
4
1 1 2 2 1 1 1
m x x x x x
+ − − + = − + + − −
có
nghiệm thực. (B-2004).


IV. BÀI TẬP VỀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TOẠ ĐỘ

Dạng 1: Phép tịnh tiến hệ toạ độ
1) Cho hàm số:
(
)
3 2
6 12
y x x x C
= + + −

Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com

Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam
WWW.MATHVN.COM

6

a) Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) của hàm số có hoành độ là nghiệm của phương
trình
0
y
′′
=
.
b) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ
OI

và viết
phương trình của (C) đối với hệ toạ độ IXY. Từ đó suy ra I là tâm đối xứng của (C).
2) Cho hàm số:
1
2
2
y
x
= −
+
và điểm
(
)

2;2
I − . Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong
phép tịnh tiến theo vectơ
OI

và viết phương trình của (C) đối với hệ toạ độ IXY. Từ đó
suy ra I là tâm đối xứng của (C).

Dạng 2: Tìm tâm đối xứng, trục đối xứng của đồ thị.
1) Xác định tâm đối xứng của các đồ thị hàm số sau:
a)
3 2
6 4 9
y x x x
= − + −
; b)
4 3
10 6
x
y
x
+
=
−
; c)
2
3 5 8
2 1
x x
y

x
− +
=
−
.
2) Cho hàm số:
4 3 2
4 2 12
y x mx x mx
= + − − . Xác định m để hàm số có trục đối xứng
song song với Oy.

V. BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ

Dạng 1: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số
Tìm các loại tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
a)
1
2 1
x
y
x
+
=
+
; b)
2
1
x x
y

x
+
=
−
; c)
3
1
x
y
x
+
=
+
; d)
2
2 1
x x
y
x
− +
=

e)
2
1
y x x
= − +
; f)
2
2

y x x x
= + +
; g)
3 2
2
2
1
x x
y
x
−
=
+
; h)
2
1
x
y
x
=
−

i)
2
4
x
y
x
=
−

; j)
2
2
6 5 7
2 3 1
x x
y
x x
+ −
=
+ +
; k)
2
1
y x x x
= − + −
; l)
2
1
4
x
y
x
+
=
−
.
Dạng 2: Tiệm cận có chứa tham số
1) Tuỳ theo tham số m, hãy tìm tiệm cận đối với đồ thị của hàm số:
2

6 2
2
mx x
y
x
+ −
=
+
.
2) Tuỳ theo tham số m, hãy tìm tiệm cận đối với đồ thị của hàm số:
2
2
4
x
y
x x m
+
=
− +
.
3) Tìm m để đồ thị hàm số:
2
3
2
x
y
x mx m
−
=
+ +

chỉ có đúng một tiệm cận đứng.
4) Tìm m để đồ thị hàm số:
2
1
1
x
y
x mx
+
=
+ +
có hai tiệm cận đứng là
1 2
,
x x x x
= =
sao
cho
2 2
1 2
2 2
2 1
7
x x
x x
+ >
.
5) Cho hàm số:
2
x x m

y
x m
− + +
=
+
. Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên đi qua
điểm
(
)
2;0
A .
Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com

Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam
WWW.MATHVN.COM

7

6) Cho họ đồ thị
( )
2
1
:
1
m
x mx
C y
x
+ −
=

−
. Tìm m để tiệm cận xiên của
(
)
m
C
tạo với hai
trục tạo độ một tam giác có diện tích bằng 8.
7) Tìm các giá trị của m để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị hàm số:
(
)
2 2
3 2 2
3
mx m x
y
x m
+ − −
=
+
bằng
0
45
. (A-2008).
8)
Cho h
ọ

đồ
th

ị

( )
(
)
( )
2 2 2
1 2
: 0
m
mx m m x m m
C y m
x m
− + − + − +
= ≠
−
.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng kho
ả
ng cách t
ừ
g
ố
c to
ạ

độ
O
đế
n hai ti
ệ
m c
ậ
n xiên không l
ớ
n
h
ơ
n
2
.


VI. BÀI TẬP VỀ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN, VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ
MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
Dạng 1: Các bài toán về hàm số dạng đa thức

Loại 1: Các bài toán thuần tuý về khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
3 2
1
2 3
3
y x x x
= − +

2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
4 2
8 10
y x x
= − +

Loại 2: Các bài toán thường gắn liền với bài toán khảo sát hàm số
1) Tìm m để
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2 2
3 1 2 4 1 4 1
m
C y x m x m m m m
= − + + + + − +
cắt trục hoành
tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1.
2) Biện luận theo m số giao điểm của Ox với đường cong
(
)
(
)
3 2
: 3 3 1 1 3

m
C y x x m x m
= − + − + + .

3)
Tìm m
để

(
)
(
)
3 2 2
: 3 2 4 9
C y x mx m m x m m
= − + − + −
cắt trục hoành tại ba điểm
phân biệt sao cho ba điểm này lập thành cấp số cộng.
4) Tìm m để
(
)
(
)
3 2
: 2 2 7 1 54
m
C y x mx m x
= + − − −
cắt Ox tại 3 điểm phân biệt lập
thành cấp số nhân.

5) Cho
(
)
(
)
4 2
: 2 1 2 1
m
C y x m x m
= − + + +
. Tìm m để
(
)
m
C
cắt Ox tại 4 điểm phân
biệt lập thành một cấp số cộng.
6) Tìm m để đồ thị hàm số:
(
)
3 2
2 1
y x x m x m
= − + − +
cắt trục hoành tại ba điểm
phân biệt có hoành độ
1 2 3
, ,
x x x
thoả mãn điều kiện:

2 2 2
1 2 3
4
x x x
+ + <
(A-2010).
7) Tìm m để đường thẳng
y m
=
cắt đồ thị (C):
4 2
2 3
= − −
y x x
tại bốn điểm phân
biệt M, N, P, Q ( sắp thứ tự từ trái sang phải) sao cho độ dài các đoạn thẳng MN,
NP, PQ được giả sử là độ dài 3 cạnh của một tam giác bất kỳ.
8) Cho
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2
: 3 3 3 6 1 1
m
C y m x m x m x m

= + − + − + + +
có 3 điểm cố định
thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm cố định đó.
9) Tìm điểm cố định của
(
)
(
)
(
)
3 2
: 4 4
m
C y x m m x x m m
= + + − − +
.
Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com

Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam
WWW.MATHVN.COM

8

10) Tìm m để
(
)
(
)
(
)

(
)
3 2 2
: 3 1 2 3 2 1
m
C y x m x m m x m m
= − − + − + − −
tiếp xúc với
Ox.
11) Tìm m để hai đồ thị sau đây tiếp xúc với nhau:
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2 3
1 2
: 1 2 2 ; : 3 3 1 2 4 2
C y mx m x mx C y mx m x m
= + − + = + − + −

12) Cho hàm số:
3 2
1
2 1
3
y x x x

= − + −
, có đồ thị
(
)
C
. Viết phương trình tiếp tuyến
với
(
)
C

a) Tạo với chiều dương Ox góc
0
60
.
b)
T
ạ
o v
ớ
i chi
ề
u d
ươ
ng Ox góc
0
15
.
c)

T
ạ
o v
ớ
i tr
ụ
c hoành Ox góc
0
75
.
d)

Có h
ệ
s
ố
góc
2
k
= −
.
e)

Song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng

2
y x
= − +
.
f)

Vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
2 3
y x
= −
.
g)

T
ạ
o v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
3 7
y x

= +
góc
0
45
.
h)

T
ạ
o v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
1
3
2
y x
= − +
góc
0
30
.
13) Cho hàm số:
3
3 2
y x x
= − + +

(C). Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp
tuyến đến đồ thị
(
)
C
.
14) Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị

(
)
3 2
: 3
C y x x
= + trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc nhau.
15)Tìm trên đường thẳng
2
y
=
các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị
(
)
3
: 3
C y x x
= −
.
16) Tìm trên trục tung các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị
(
)
4 2

: 1.
C y x x
= − +

17)
a) Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị

(
)
C
:
3
4 3
y x x
= −
.
b)Tìm m
để

3
4 3 0
x x m
− − =
có 4 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
c)

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ph
ươ
ng trình:
3 2
4 3 1
x x x
− = −
có ba nghi
ệ
m.
18)
a) Kh
ả
o sát s
ự

bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố
:
3 2
2 9 12 4
y x x x
= − + −

b) Tìm m
để
ph
ươ
ng trình sau có 6 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t:
3
2
2 9 12

x x x m
− + =
.
(A-2006)
19) Cho hàm số:
4 2
2 4
y x x
= − (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Với giá trị nào của m, phương trình
2 2
2
x x m
− =
có đúng 6 nghiệm thực
phân biệt. (B-2009).
20) Cho hàm số:
(
)
3 2
2 3 3 18 8
y x m x mx
= − + + −

a) Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành.
b) Chứng minh rằng tồn tại điểm có hoành độ
0
x
sao cho tiếp tuyến với đồ thị

tại đó song song nhau với mọi m.
Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com

Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam
WWW.MATHVN.COM

9

c) Chứng minh rằng trên Parabol
(
)
2
:
P y x
=
có hai điểm không thuộc đồ thị
hàm số với mọi m.


Dạng 2: Các bài toán về hàm số dạng phân thức hữu tỉ
Loại 1: Các bài toán thuần tuý về khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số
1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
2 1
1
x
y
x
+
=
−

b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau:

2 1
2 1
;
1 1
x
x
y y
x x
+
+
= =
− −
.
2) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
2
2 2
1
x x
y
x
− +
=
−

b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy suy ra đồ thị:
2
2 2

1
x x
y
x
− +
=
−

3) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
2
1
1
x x
y
x
− − +
=
+

b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy suy ra đồ thị:
2
1
1
x x
y
x
− − +
=
+
.

Loại 2: Một số bài toán hay gặp đối với hàm phân thức
1) Cho hàm số:
2 1
1
x
y
x
−
=
−
(C) và điểm M bất kỳ thuộc
(
)
C
. Gọi I là giao điểm hai
tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B.
a) Chứng minh: M là trung điểm AB.
b) Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi.
c) Tìm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
2) Tìm trên đường thẳng
2 1
y x
= +
các điểm kẻ được đúng một tiếp tuyến đến
( )
3
:
1
x
C y

x
+
=
−
.
3) Cho hàm số:
( )
2
3 4
2 1
x x
y
x
− +
=
−
(C) và điểm M bất kỳ thuộc
(
)
C
. Gọi I là giao
điểm hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B.
a) Chứng minh: M là trung điểm AB.
b) Tích các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là không đổi.
c) Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi.
d) Tìm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
4) Tìm các điểm trên đồ thị
( )
10 4
:

3 2
x
C y
x
−
=
+
có toạ độ là số nguyên.
5) Tìm các điểm trên đồ thị
( )
2
5 15
:
3
x x
C y
x
+ +
=
+
có toạ độ là số nguyên.
Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com

Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam
WWW.MATHVN.COM

10

6) Cho
( )

3 5
:
2
x
C y
x
−
=
−
. Tìm M thuộc
(
)
C
để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm
cận là nhỏ nhất.
7) Cho
( )
1
:
1
x
C y
x
−
=
+
. Tìm M thuộc
(
)
C

để tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ
độ là nhỏ nhất.
8) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
2
2 3
x
y
x
+
=
+
, biết tiếp tuyến đó cắt
trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB
cân tại O. ( A-2009).
9) Tìm toạ độ điểm M thuộc
( )
2
:
1
x
C y
x
=
+
, biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai
trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
1
4
.
(D-2007)

10) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị
( )
4 9
:
3
x
C y
x
−
=
−
các điểm A, B để độ dài AB nhỏ
nhất.
11) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị
( )
2
2 5
:
1
x x
C y
x
− + −
=
−
các điểm A, B để độ dài AB
nhỏ nhất.
11) Cho hàm số:
2 3

2
x
y
x
−
=
−
(C).
Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm điểm M thuộc (C). Biết tiếp tuyến của (C)
tại M cắt các đường tiệm cận tại J và K sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK
có diện tích nhỏ nhất.
12) Cho hàm số:
2 1
1
x
y
x
+
=
−
và điểm
(
)
2;5
A
− . Xác
đị
nh
đườ
ng th

ẳ
ng d c
ắ
t
(
)
C
t
ạ
i
hai
đ
i
ể
m B, C sao cho tam giác ABC
đề
u.
13)
a)

Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ

th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
:
( )
2
2 4 3
2 1
x x
y
x
− −
=
−
.
b) Tìm m để phương trình:
2
2 4 3 2 1 0
x x m x
− − + − =
có hai nghiệm phân biệt.
14) Tìm m để đường thẳng
y m
=
cắt đồ thị hàm số:
( )
2

3 3
2 1
x x
y
x
− + −
=
−
tại hai điểm A,
B sao cho
1
AB
=
. (A-2004).
15) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
2
2 5
1
x x
y
x
+ +
=
+

b) Dựa vào đồ thị (C) hãy tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân
biệt:
(
)
(

)
2 2
2 5 2 5 1
x x m m x
+ + = + + +
.
16) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
2
3 3
2
x x
y
x
+ +
=
+
(C)
Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com

Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam
WWW.MATHVN.COM

11

b) Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng
:
d y mx m
= −
c
ắ

t (C) t
ạ
i
hai
đ
i
ể
m A và B thu
ộ
c hai nhánh c
ủ
a nó.
c) Tìm t
ậ
p h
ợ
p trung
đ
i
ể
m I c
ủ
a
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng AB khi m bi
ế

n thiên.
17)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ
i
0
m
≠
,
đồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố

(
)
1
m x m
y
x m
+ +

=
+
luôn tiếp
xúc với một đường thẳng cố định.

VII. BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ HÀM SỐ
1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
2
:
2
x
C y
x
=
−
biết tiếp tuyến cắt
Ox, Oy
lần
lượt tại M, N sao cho
MN OM 2
=
với O là gốc toạ độ.
2) Tìm m để hàm số
( )
( )
3 2 2 2012
1 1
3 . 2011
3 2

m
y x mx m x m C
= − + − +
đạt cực trị tại
1 2
,
x x

đồng thời
1 2
,
x x
là độ dài của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng
10
2
.
3) Tìm tất cả các giá trị m sao cho trên đồ thị
( ) ( ) ( )
3 2
1
: 1 4 3
3
m
C y mx m x m x
= + − + −
tồn
tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng
1 3
:
2 2

d y x
= − +
.
4) Viết phương trình đường thẳng d biết d cắt đồ thị
(
)
3
: 3 2
C y x x
= − +
tại 3 điểm phân
biệt M, N, P sao cho
2
M
x
=
và
2 2
NP =
.
5) Tìm m để đường thẳng
: 1
d y x
= − +
cắt
(
)
3 2
: 4 6 1
m

C y x mx
= − +
tại ba điểm
(
)
0;1 , ,
A B C
biế
t
,
B C

đố
i x
ứ
ng nhau qua
đườ
ng phân giác th
ứ
nh
ấ
t.
6)
Tìm m
để

đồ
th
ị

(
)
4 2 2
: 2 2 4
m
C y x mx m
= − + −
có ba
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
t
ạ
o thành m
ộ
t tam
giác có di
ệ
n tích b
ằ
ng 1.
7)
Vi
ế
t ph
ươ

ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị

( )
2
:
1
x
C y
x
−
=
+
bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n c
ắ
t Ox, Oy l

ầ
n
l
ượ
t t
ạ
i A, B sao cho bán kính
đườ
ng tròn n
ộ
i ti
ế
p tam giác OAB l
ớ
n nh
ấ
t.
8)
Cho hàm s
ố
:
2 3
mx
y
x m
+
=
−

(

)
m
C
. G
ọ
i I là giao
đ
i
ể
m hai ti
ệ
m c
ậ
n. Tìm m
để
ti
ế
p tuy
ế
n
b
ấ
t kì v
ớ
i
(
)
m
C
c

ắ
t hai ti
ệ
m c
ậ
n l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i A, B sao cho di
ệ
n tích tam giác IAB b
ằ
ng 64.
9)
Tìm m
để

đồ
th
ị

(
)
4 2
4
m
C y x x m

= − +
c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i b
ố
n
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t sao cho
di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
(
)
m

C
và tr
ụ
c hoành có ph
ầ
n trên b
ằ
ng ph
ầ
n d
ướ
i.
10)
Tìm m
để

đồ
th
ị

(
)
(
)
4 2 2
: 2 1 1
m
C y x m x m
= − − + +
có ba điểm cực trị tạo thành một

tam giác có diện tích lớn nhất.
11) Tìm m để đường thẳng
: 1
d y x m
= − + +
cắt
( )
3
:
2
x
C y
x
+
=
−
tại hai điểm phân biệt A,
B sao cho

AOB
nhọn.
Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com

Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam
WWW.MATHVN.COM

12

12) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )

:
1
x
C y
x
=
−
biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm
cận một tam giác có chu vi bằng
4 2 2
+ .
13) Cho hàm số
( )
2

1
m
x m
y C
mx
−
=
+
. Chứng minh rằng với mọi
0
m
≠
,
(
)

m
C
cắt
(
)
: 2
d y x m
= −
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B thu
ộ
c m
ộ
t
đườ
ng
(
)
H
c
ố

đị

nh.
Đườ
ng th
ẳ
ng
d
c
ắ
t các tr
ụ
c Ox, Oy l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i M, N . Tìm m
để
3.
OAB OMN
S S
∆ ∆
=
.
14)
Tìm trên
( )
1
:
2

x
C y
x
− +
=
−
các
đ
i
ể
m A, B sao cho
độ
dài
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng AB = 4 và
đườ
ng
th
ẳ
ng AB vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng

y x
=
.
15)
Tìm m
để

đồ
th
ị

(
)
4 2
: 1
m
C y x mx m
= − + −
c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i 4
đ
i
ể
m phân bi
ệ

t có
hoành
độ
l
ớ
n h
ơ
n
2
−
.
16)
Tìm m
để

đườ
ng th
ẳ
ng
: 2 3
d y x m
= +
c
ắ
t
( )
3
:
2
x

C y
x
+
=
+
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B
sao cho
OA.OB 4
= −
 
v
ớ
i O là g
ố
c to
ạ

độ
.
17)
Tìm to
ạ

độ
hai
đ
i
ể
m
B,C
thu
ộ
c hai nhánh khác nhau c
ủ
a
đồ
th
ị

( )
3 1
:
1
−
=
−
x
C y
x
sao
cho tam giác ABC vuông cân t
ạ

i
(
)
A 2;1
.
18)
Tìm m
để

đồ
th
ị

(
)
3 2
: 3
= + +
C y x x m
có hai
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
A, B sao cho

0

AOB 120
=
.
19)
Tìm m
để

đườ
ng th
ẳ
ng
:
d y x m
= +
c
ắ
t
( )
2 1
:
1
x
C y
x
−
=
+
t
ạ
i hai

đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B
sao cho
AB 2 2
=
.
20)
Cho hàm s
ố
:
( )
3 2
1
x
y C
x
−
=
+
. G
ọ
i I là giao
đ
i
ể
m hai

đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a
đồ
th
ị
. Vi
ế
t
ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a d v
ớ
i
(
)
C
bi
ế

t d c
ắ
t ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng và ti
ệ
m c
ậ
n ngang l
ầ
n l
ượ
t
t
ạ
i A và B sao cho

5 26
cosBAI
26
=
.
21)
Tìm m
để

(
)
4 2
: 2 2
m
C y x mx
= − +
có ba
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
t
ạ
o thành m
ộ
t tam giác có
đườ
ng
tròn ngo
ạ
i ti
ế
p
đ
i qua
đ

i
ể
m
3 9
D ;
5 5
 
 
 
.
22)
Cho hàm s
ố
:
( )
4 2
1 5
3
2 2
y x x C
= − +
và
đ
i
ể
m
(
)
A
C

∈ v
ớ
i
A
x a
=
. Tìm các giá tr
ị
th
ự
c
c
ủ
a a bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
(
)
C
t
ạ
i A c
ắ
t

đồ
th
ị

(
)
C
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m B, C phân bi
ệ
t khác A sao
cho
AC 3AB
=
( B n
ằ
m gi
ữ
a A và C).
23)
Tìm m
để

đồ
th

ị

( ) ( ) ( )
4 2
1
: 3 1 2 1
4
m
C y x m x m
= − + + +
có ba
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
t
ạ
o thành
m
ộ
t tam giác có tr
ọ
ng tâm là g
ố
c to
ạ

độ
O.
Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com

Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam
WWW.MATHVN.COM

13

24) Tìm m để
( ) ( ) ( )
3 2
1
: 1 3 4 1
3
m
C y mx m x m x
= + − + − +
có điểm chung mà tiếp tuyến tại
đó vuông góc với đường thẳng
: 2011
d y x
= +
.
25)
Tìm m
để

(
)

(
)
(
)
3 2 2 2
: 3 3 1 1
m
C y x mx m x m
= − + − − −
cắt Ox tại ba điểm phân biệt có
hoành độ dương.
26) Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
(
)
3 2
: 3 3 3 4
m
C y x x mx m
= − + + +
và
tr
ụ
c hoành có ph
ầ
n n
ằ
m phía trên tr
ụ
c hoành b
ằ

ng ph
ầ
n n
ằ
m d
ướ
i tr
ụ
c hoành.
27)
Tìm trên
( )
1
:
2
x
C y
x
− −
=
+
các
đ
i
ể
m A, B sao cho ti
ế
p tuy
ế
n c

ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
t
ạ
i A
song song v
ớ
i ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i B và
AB 2 2
=
.
28)
G
ọ
i d là
đườ
ng th
ẳ
ng

đ
i qua
(
)
A 1;0
và có h
ệ
s
ố
góc k. Tìm k
để
d c
ắ
t
đồ
th
ị

( )
2
:
1
+
=
−
x
C y
x
t
ạ

i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t M, N thu
ộ
c hai nhánh khác nhau c
ủ
a
đồ
th
ị
và
AM 2AN
=
.
29)
Tìm m
để

đườ
ng th
ẳ
ng qua các
đ
i
ể
m c

ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a
(
)
3
: 3 2
m
C y x mx
= − +
cắt
đường tròn
(
)
(
)
(
)
2 2
: 1 1 1
C x y
− + − =
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam

giác IAB lớn nhất.
30) Viết phương trình tiếp tuyến với
( )
3
:
2 2
x
C y
x
+
=
+
biết tiếp tuyến cắt hai trục toạ độ Ox,
Oy tại hai điểm A, B sao cho đường trung trực của AB đi qua gốc toạ độ O.
31) Tìm m để
( ) ( )
3 2
1 1
: 1
3 2
m
C y x m x mx
= − + +
có điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau
qua đường thẳng
:72 12 35 0
d x y
− − =
.
32) Cho hàm số

(
)
3 2
3 4
y x x C
= − + . Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng
(
)
: 1
d y m x
= +
luôn cắt đồ thị
(
)
C
tại một điểm A cố định và tìm m để đường thẳng d cắt
(
)
C
tại ba điểm phân biệt A, B, C đồng thời B, C cùng với gốc toạ độ O lập thành một tam
giác có diện tích bằng 1.
33) Tìm tất cả các giá trị m để
( ) ( ) ( )
3 2
1 1
: 1 2 1 1
3 2
m
C y x m x m x
= − + − + +

có hai điểm cực
trị có hoành độ lớn hơn
1
.
34) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị
(
)
3
: 3 2
C y x x
= − +
sao cho tiếp tuyến tại A và B có
cùng hệ số góc và đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng
2011 0
x y
+ + =
.
35) Giả sử
(
)
3 2
6 9
m
C y x x x m
= − + +
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
1 2 3
x x x
< <
.

Chứng minh rằng:
1 2 3
0 1 3 4
x x x
< < < < < <
.
36) Chứng minh rằng với mọi m ,
(
)
(
)
(
)
3 2 2 3
: 3 1 3 1 1
m
C y x m x m x m
= + + + + + +
cắt trục
hoành tại duy nhất một điểm.
37) Gọi d là đường thẳng đi qua
(
)
M 2;0
và có hệ số góc k. Tìm k để d cắt
(
)
3
: 3 2
C y x x

= − −
tại bốn điểm phân biệt.
Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com

Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam
WWW.MATHVN.COM

14

38) Tìm m để điểm
(
)
3;5
A nằm trên đường thẳng nối hai điểm cực trị của
(
)
(
)
3 2
: 3 3 6 1
m
C y x mx m x
= − + + +
.
39)
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti

ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
(
)
(
)
(
)
3 2
: 1 1
C y x x x
= − + +
biết tiếp tuyến tiếp xúc
với đồ thị tại hai điểm phân biệt.
40) Tìm m để
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2
: 2 2 7 1 3 4
m

C y x m x m x m
= − + + + − +
cắt trục hoành tại ba điểm
phân biệt có hoành độ
1 2 3
, ,
x x x
sao cho
2 2 2
1 2 3 1 2 3
3 53
x x x x x x
+ + + >
.
41) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng
2
:
m
y mx m
∆ = −
luôn cắt
(
)
(
)
(
)
3 2 2
: 3 1 2 1
m

C y x m x m m x m
= − − + − +
tại một điểm A có hoành độ không đổi. Tìm
m để
m
∆
còn cắt
(
)
m
C
tại một điểm nữa khác A mà tiếp tuyến của
(
)
m
C
tại hai điểm đó
song song với nhau.
42) Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của
(
)
(
)
3 2
: 2 2 3
m
C y x x m x m
= − + − + đi
qua điểm
55

A 1;
27
 
−
 
 
.
43) Tìm m để đường thẳng
:2 2 1 0
d mx y m
− + + =
cắt
( )
1
:
2 1
x
C y
x
+
=
+
tại hai điểm phân
biệt A, B sao cho biểu thức
2 2
P OA OB
= +
đạt giá trị nhỏ nhất.
44) Từ các điểm cố định của
( )

4 3
:
m
mx m
C y
x m
− +
=
−
, hãy viết các đường thẳng đi qua
chúng và có hệ số góc
3
2
k
=
. Hãy tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
vừa lập và trục Ox.
45) Tìm m để
(
)
(
)
(
)
3 2 2 2 3
: 3 2 1 3 1 1
m
C y x m x m x m
= − − + − + −
có hai điểm phân biệt đối

xứng nhau qua gốc toạ độ O.
46) Tìm m để hàm số:
( )
2
3 2 2
1
1 3 2011 2012 2013
3
m
y x m x x m m
−
= + + + + + +
đồng biến
trên
ℝ
.
47) Cho hàm số:
2
1
1
x x
y
x
+ −
=
−
(C). Giả sử
:
d y x m
= − +

cắt
(
)
C
tại hai điểm A, B phân
biệt.
a) Tìm m để trung điểm M của đoạn AB cách điểm I
(
)
1;3
một đoạn là
10
.
b) Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn AB khi m thay đổi.
48) Tìm m để tiếp tuyến tại hai điểm cố định của
(
)
4 2
: 2 2 1
m
C y x mx m
= − + − +
vuông góc
nhau.
49) Tìm m để
(
)
3 2
: 3 2
C y x x

= − +
có điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với
đường tròn
(
)
2 2 2
: 2 4 5 1 0
m
C x y mx my m
+ − − + − =
.
50) Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành và cắt đồ thị
( )
3 2
1 8
: 3
3 3
C y x x x
= − − +
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại gốc
toạ độ O.
Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com

Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam
WWW.MATHVN.COM

15

51) Cho hàm số:
(

)
3 2
2 3 4
y x mx m x
= − + + +
có đồ thị là
(
)
m
C
, đường thẳng
: 4
d y x
= +
và điểm
(
)
1;3
E . Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho d cắt
(
)
m
C
tại
ba điểm phân biệt
(
)
0;4 , ,
A B C
sao cho tam giác EBC có diệ

n tích b
ằ
ng
4
.
52)
Cho hàm s
ố

1
2 1
x
y
x
− +
=
−
có đồ thị
(
)
C
. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng
y x m
= +
luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi
1 2
,
k k
lần lượt là tiếp tuyến với (C)
tại A, B. Tìm m để tổng

1 2
k k
+
đạt giá trị lớn nhất. ( A -2011)

53) Tìm m để
(
)
m
C
:
(
)
4 2
2 1
y x m x m
= − + +
có ba điểm cực trị A, B, C sao cho
OA BC
=

với O là gốc toạ độ, A là điểm thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại. (B-2011)
54) Tìm k để
: 2 1
d y kx k
= + +
cắ
t
( )
2 1

:
1
x
C y
x
+
=
+
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B sao cho
kho
ả
ng cách t
ừ
A và B
đế
n tr
ụ
c hoành b
ằ
ng nhau.
(D-2011).