phương pháp tính giá trị gần đúng

PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIÁ TRỊ GẦN ĐÚNG
I. Đặt vấn đề
II. Giải quyết vấn đề
1. Hướng giải quyết
2. Cơ sở lý luận
III. Thuật toán
IV. Các phương pháp chặn trên của
i n 1
i
a
+∞
= +
∑
và áp
dụng
A.Tính gần đúng tổng của một chuỗi số
dương
1. Dấu hiệu tích phân
2. Dấu hiệu D’Alambert
3. Dấu hiệu Cauchy
4. Dấu hiệu so sánh
B.Tính gần đúng của chuỗi đan dấu
1. Dấu hiệu Leibnitz
2. Công thức Calabrese
V. Phụ lục
1. Chương trình bày Passcal
2. Tính tổng của chuỗi bằng phương pháp xác
suất thống kê
Tài liệu tham khảo
I.ĐẶT VẤN ĐỀ
Cho trước một chuỗi hội tụ

1i
ai
+∞
=
∑
(*) và số tự nhiên k.
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để ta có thể xác định S* là
một giá trị gần đúng của
1
+∞
=
=
∑
i
S ai
thỏa
i. S* có k chữ số sau dấu phẩy.
ii.
{ }
* .10 , 1,2,3 ,9
−
− ≤ ∈
k
S S p p
II. Giải quyết vấn đề
1. Hướng giải quyết
Để tính gần đúng của chuỗi hội tụ
1
+∞
=

=
∑
k
k
S a
ta có rất
nhiều cách. Ví dụ như tính gần đúng bằng phương pháp
xác suất thống kê ( xem phần phụ lục). Nhưng để dễ
dàng, người ta thường dùng tổng riêng thay cho tổng S,
tức là tính
1
=
=
∑
n
n n
k
S a
với n đủ lớn sao cho sai số giữa S
n
và S ở mức độ chấp nhận được hoặc tùy thuộc vào yêu
cầu bài toán là lấy sai số bao nhiêu.
Tuy nhiên tùy theo chuỗi ( chuỗi số dương, chuỗi đan
dấu, ) mà sẽ lựa chọn tiêu chuẩn khảo sát sự hội tụ như:
Tiêu chuẩn tích phân, tiêu chuẩn D’Alambert, tiêu chuẩn
Cauchy, tiêu chuẩn Lebinite, tiêu chuẩn so sánh… để có
thể đánh giá sai số khi lấy tổng riêng thay cho giá trị của
chuỗi. Nghĩa là xác định k
n
> 0 sao cho

*
− <
n
S S k
thông qua tiêu chuẩn hội tụ của
chuỗi(*).
Trong phần này, chúng ta khảo sát mỗi chuỗi số dương
và chuỗi đan dấu.
2. Cơ sở lý luận
Đặt
1 2
1

=
= + + + =
∑
n
n n i
i
S a a a a
là tổng riêng thứ n của
chuỗi
1i
ai
+∞
=
∑
Ta có: chuỗi
1i
ai

+∞
=
∑
hội tụ nếu dãy (s
n
) hội tụ. Do đó,
nếu
lim
n
n
s s
→∞
=
thì S=
1i
ai
+∞
=
∑
Suy ra:
0, :
∀ > ∃ ≥ ⇒ − ≤
n
N n N S S
ε ε

hay
= ±
n
S S

ε

Khi đó, ta có thể lấy
1
=
=
∑
n
n
k
S ak
làm giá trị gần đúng
cho S với sai số không vượt quá
1
ε ε
=

Để biểu diễn kết quả ở dạng thập phân, ta cần biểu diễn
các
, 1,ai i n
=
ở dạng thập phân
Đặt
i
a
là giá trị gần đúng của
i
a
lấy
l

chữ số sau
dấu phẩy với sai số phù hợp.
Suy ra
1
10
2
l
i i
a a
−
− ≤

Đặt
1
=
=
∑
n
n
i
i
S a
. Khi đó
1
10
2
−
=
− ≤ − ≤
∑

l
n
n n i i
i
S S a a n

Lấy S* là làm tròn của
n
s
đến chữ số hàng thứ -k. Khi
đó, theo quy tắc làm tròn ta có
1
* 10
2
−
− ≤
k
n
S S

Ta xét bất đẳng thức sau:
1 2
1
* * 10
2
−
− ≤ − + − + − ≤ + +
k
n n n n
S S S S S S S S

ε ε

Để
{ }
* .10 ( 0,1,2,3 ,9
−
− ≤ ∈
k
S S p p

Nên ta sẽ chọn
1 2
,
ε ε
sao cho
1 2
8.5 10
k
ε ε
−
+ ≤ ×

Để cho đảm bảo tốt (nghĩa là trong quá trình tính toán
1 2
,
ε ε
không quá tốt cũng không quá xấu).
Ta chọn:
1
2

4,25.10
4,25.10
k
k
ε
ε
−
−

≤

≤


Hay chỉ cần
1
2
4.10
4.10
k
k
ε
ε
−
−

≤

≤


(Chú ý: các số 4 trong 4.10
-k
có thể thay đổi được).
Do đó
1
2
4.10 4.10
.10
4.10 4.10
2
− −
−
− −

≤ ⇔ − ≤


≤ ⇔ ≤


k k
n
l
k k
S S
n
ε
ε
Vậy ta cần chọn l,n thỏa mãn
4.10

−
− ≤
k
n
S S
Và
10 4.10
2
l k
n
− −
≤
Thì
* k
1
4.10 4.10 10 8,5.10
2
− − − −
− ≤ + + ≤
k k k
S S
Do đó ta sẽ luôn tìm được một con số
{ }
0,1,2, ,9p
∈
để
đáp ứng yêu cầu của bài toán biểu diễn ở dạng chuẩn tắc.
III. Thuật toán
+ Input: k, a
n

+ output: S
*
, p
+ Thuật toán:
B1: Tìm n nguyên dương bé nhất sao cho
1
4.10
+∞
−
= +
− = ≤
∑
k
n i
i n
S S a
B2: Tìm
l
nguyên dương bé nhất sao cho
10 4.10
2
l k
n
− −
≤
Làm tròn
, 1,ai i n
=
đến chữ số hàng thứ
l

−
được
i
a
B3: Tính
1
=
=
∑
n
n i
i
S a
Làm tròn
n
S
đến chữ số hàng thứ -k được S*
B4: Kết luận S* là kết quả cần tìm và

* .10
−
− ≤
k
S S p
*Ghi chú:
+ Đây là thuật toán áp dụng với sai số ở dạng chuẩn tắc (
{ }
.10 , 0,1,2,3, ,9
k
p p

−
∈
, p là số chưa cho biết)
Các số 4 trong 4.10
-k
có thể thay đổi được. Do để đảm
bảo tốt (nghĩa là trong quá trình tính toán
1 2
,
ε ε
không
quá tốt cũng không quá xấu).
+ Nếu bài toán yêu cầu tìm sai số dưới dạng chuẩn tắc
(với p cho trước) thì ta có thuật toán như sau:
B1: Tìm n nguyên dương bé nhất sao cho
( )
1
2 1
.10
4
+∞
−
= +
−
− = ≤
∑
k
n i
i n
p

S S a
B2: Tìm
l
nguyên dương bé nhất sao cho
( )
2 1
10
10
2 4
l
k
p
−
−
−
≤
Làm tròn
, 1,ai i n
=
đến chữ số hàng thứ
l
−
được
i
a
B3:Tính
1
=
=
∑

n
n i
i
S a
Làm tròn
n
S
đến chữ số hàng thứ -k được S*
B4: Kết luận S* là kết quả cần tìm và

* .10
−
− ≤
k
S S p
+ Nếu bài toán yêu cầu với sai số ở dạng chính tắc, thì ta
áp dụng thuật toán trên với p=1.
Tức là:
1
1
.10
4
+∞
−
= +
− = ≤
∑
k
n i
i n

S S a
IV. Các phương pháp chặn trên của
1
+∞
= +
∑
i n
i
a
và
áp dụng
A. Tính gần đúng tổng của một chuỗi số dương
Cho chuỗi
1
∞
=
=
∑
k
k
S a
và
1
∞
=
=
∑
n k
k
S a

, (
k
a
)>0 là
tổng riêng thứ n của chuỗi.
1. Dấu hiệu tích phân
Giả sử
( )
n
a f n
=
với
f
là hàm số dương liên tục
trên
[
)
1,
+∞
giảm về 0 khi
x
→ +∞
và tích phân
( )
1
f x dx
+∞
∫
hội tụ. Khi đó, chuỗi
1

k
k
s a
∞
=
=
∑
hội tụ và
( ) ( )
1
1
+∞
∞
= +
− = ≤
∑
∫
n
k n
S S f k f x dx
và
( )
0
n
f x dx
+∞
→
∫
Chứng minh
Vì

f
là hàm giảm nên
, 1k n k x k
∀ > ≤ ≤ +
ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
1 1
k k k
k k k
f k f x f k f k dx f x dx f k dx
+ + +
≤ ≤ + ⇒ ≤ ≤ +
∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )
1
1
k
k
f k f x dx f k
+
⇒ ≥ ≥ +
∫
( ) ( ) ( )
1
1
k
m m m
k n k n k n

k
f k f x dx f k
+
= = =
⇒ ≥ ≥ +
∑ ∑ ∑
∫
( ) ( ) ( )
1
1
m
m m
k n k n
n
f k f x dx f k
+
= =
⇒ ≥ ≥ +
∑ ∑
∫
Khi chuỗi
( )
m
k n
f k
=
∑
hội tụ, ta có
( )
{ }

1m
n
f x dx
+
∫
bị
chặn.
Do đó hội tụ. cho
m
→ ∞
ta được
( ) ( )
1
1
k n
k n
f x dx f k
∞
∞
= +
= +
≥
∑
∫
(đpcm).
Ví dụ: Tính tổng của chuỗi
4
1
1
k

x
∞
=
∑
. Kết quả ghi ở dạng
chuẩn tắc có 3 chữ số sau dấu phẩy.
Giải:
Xét hàm số
( )
4
1
f x
x
=
là hàm liên tục giảm, không âm
trên
[
)
1,
+∞
với
4
1
lim 0
x
x
→∞
=
và
( )

4 3
1 1
1 1 1
lim
3 3
b
f x dx dx
x x
∞ ∞
→∞
 
= = − =
 ÷
 
∫ ∫
nên
( )
1
f x dx
∞
∫

hội tụ. Theo dấu hiệu trên thì
4
1
1
k
x
∞
=

∑
hội tụ và
( ) ( )
1
1
3
∞
∞
= +
− = < =
∑
∫
n
k n
n
S S f k f x dx
Áp dụng thuật toán, ta có
B1: Tìm số nguyên dương n bé nhất sao cho:
3
4 3
1
1 1
4.10
3.
dx
x n
∞
−
= ≤
∫

3
3
10
12
n
⇒ ≥
Chọn
5n
=

B2: Tìm số nguyên dương
l
bé nhất sao cho:
3
10 4
10
2 5
l
−
−
≤
Chọn
3l
=

Làm tròn các số hạng
4
1
,( 1,5)
k

a k
k
= =
đến chữ số
hàng thứ -3 ta được các
k
a
theo bảng sau:
K
k
a
1 1
2 0,063
3 0,012
4 0,004
5 0,002
B3: Tính
5
5
1
1,081
=
= =
∑
k
k
a S
Làm tròn đến chữ số hàng thứ (-3) ta được: S
5
*

= 1,081
B4: Kết luận S
5
*
= 1,081 là giá trị cần tìm.
3 3
3
3
1 5.10 10
.10 1 6
3.5 2 2
p
− −
 
 
= + + + =
 ÷
 
 
 

Vậy
*
5
S 1,081=
với sai số không quá
3
6.10
−

+ Áp dụng:
Khi số hạng tổng quát
n
a
của chuỗi có thể xem như
( )
f n

, và có tích phân suy rộng dễ dàng tính được.
+ Ưu điểm:
Khối lượng tính toán ít ( n tương đối nhỏ), giải quyết
được vấn đề
n
n
n
a 1
lim 1
a
→∞
+
=
mà dấu hiệu D’Alambert)
không xét được sự hội tụ.
+ Nhược điểm:
Trong quá trình tính toán, ta có thể gặp khó khăn trong
việc tính tích phân suy rộng và sử dụng các hàm phức tạp
như arctan, arcsin…
2. Dấu hiệu D’Alambert
Giả sử
( )

n
a
là dãy dương và
n 1
n
n
a
lim L 1
a
+
→∞
= <
. Khi đó,
theo dấu hiệu D’Alambert, chuỗi
k 1
k
S a
∞
+
=
∑
hội tụ và
i. Nếu
n 1
n
a
a
+
 
 

 
giảm tới L thì
n 1
n
n 1
n
a
S S
a
1
a
+
+
− <
−
và
n
n 1
n 1
n
a
0
a
1
a
→∞
+
+
→
−

ii. Nếu
n 1
n
a
a
+
 
 
 
tăng tới L thì
n n
L
S S a
1 L
 
− <
 ÷
−
 
và
n
n
L
a 0
1 L
→∞
 
→
 ÷
−

 
Chứng minh:
• Giả sử
{ }
n
a
và dãy
n 1
n
a
a
+
 
 
 
là dãy dương, giảm
Khi đó
N 0∃ ≥
sao cho
n N>

Đặt
N 1
N
a
r
a
+
=
, suy ra

n 1
n
a
r
a
+
=
là giảm với n>N
Ta được:
n 1
n
a
r, k n
a
+
< ∀ >
n 1 n
a ra , k n
+
⇒ < ∀ >

Do đó
n 1 n
a a r
+
=
2
n 2 n 1 n
a a r a r
+ +

< =
3
n 3 n 2 n
a a r a r
+ +
< =
…………………
Khi đó:
1 1
∞
= =
− = −
∑ ∑
n
k k
n k k
S S a a
=
1 1 1
∞ ∞ ∞
= + = =
< =
∑ ∑ ∑
k k
k n k k
k n n
a r a a r
(
1
∞

=
=
∑
k
k
n n
r a a
là chuỗi hội tụ do
r 1<
)
1
∞
= +
⇒
∑
k n
k
a
hội tụ (dấu hiệu so sánh)
Theo tính chất chuỗi hội tụ thì
1
∞
=
∑
k
k
a
hội tụ.
Mặt khác
1

1
1
1
1
∞
+
=
+
− < = <
∑
−
−
k
n
k
n n n
n
n
a
r
S S a r a
a
r
a
(i)
• Giả sử
{ }
n
a
và dãy

n 1
n
a
a
+
 
 
 
là dãy dương, tăng tới
L và
n 1
n
n
a
lim L 1
a
+
→∞
= <

Vì
n 1
n
a
a
+
 
 
 
tăng tới L nên

n 1
n
a
L
a
+
<
Do đó
n 1 n
a a L, k n
+
< ∀ >

2
n 2 n 1 n
a a L a L
+ +
< =
3
n 3 n 2 n
a a L a L
+ +
< =
…………………
k
n k n k 1 n
a a L a L
+ + +
< =
Khi đó:

1 1 1 1 1
k k
s s a a a a L a L
n k k k n n
k k k n k k
∞ ∞ ∞ ∞ ∞
− = − = < =
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
= = = + = =
(
1
k
k
L
∞
=
∑
hội tụ do L > 1)
⇒

1
a
k
k n
∞
∑
= +
hội tụ (dấu hiệu so sánh)
Mặt khác:
1

1
k
n n
k
L
s s a L a
n
L
∞
=
 
− < =
 ÷
−
 
∑
(ii)
Giải
Xét dãy
{ }
n
a
:
1
6
(4 2)!
n
n
a
n

−
=
−
là dãy dương, giảm và
1
6
lim 0
(4 2)!
n
n
n
−
→∞
=
−
Ta có:
1
36
lim lim 0 1
(4 1)4 (4 1)(4 2)
n
n n
n
a
a n n n n
+
→∞ →∞
= = <
− + +
Xét dãy

1n
n
a
a
+
 
 
 
, dãy giảm tới 0 nên theo dấu hiệu trên ta có
1
1
1
n
n
n
n
a
s s
a
a
+
+
− <
−
với
2 1
1
1
6
(4 1)! 36(4 2)!

1
n
n
n
n
a
a
n n
a
−
+
+
=
− − −
−
Áp dụng thuật toán, ta có
Bước 1: Tìm n số nguyên dương nhỏ nhất sao cho
2 1
5
1
1
6
4.10
(4 1)! 36(4 2)!
1
n
n
n
n
a

a
n n
a
−
−
+
+
= ≤
− − −
−
Chọn n = 4
Bước 2: Tìm số nguyên dương
l
nhỏ nhất sao cho:
5 5
10 4
10 10
2 4
l−
− −
≤ =
Chọn
5=l
Ví dụ: Tính gần đúng chuỗi
1
1
6
(4 2)!
k
k

k
−
∞
=
−
∑
. Kết quả ghi ở dạng chính
tắc có 5 chữ số sau dấu phẩy
Làm tròn các số hạng
1
6
(4 2)!
k
k
a
k
−
=
−
đến chữ số -5 ta được
k
a

theo bảng sau:
K
k
a
1 0.50000
2 0.00833
3 0.00001

4 0.00000
Bước 3: Tính
0.50834
k
S =
Làm tròn đến chữ số thập phân hàng thứ (-5) ta được:
*
4
0.50834S =
Bước 4:
*
4
0.50834S =
là giá trị cần tìm với
( )
7 5 5
5
6 10 10
4 10 1 3
15! 36.14! 2 2
p
− −
 
 
= + + + =
 
 ÷
 ÷
−
 

 
 
Vậy:
*
4
0.50834S =
với sai số không quá 3.10
-5
Giải
Xét dãy
{ }
n
a
:
2
6
(4 )!
n
n
a
n
=
là dãy dương, giảm và
2
6
lim 0
(4 )!
n
n
n

→∞
=
Ta có:
1
36
lim lim 0 1
(4 1)(4 2)(4 3)(4 4)
n
n n
n
a
a n n n n
+
→∞ →∞
= = <
+ + + +
Ví dụ: Tính gần đúng chuỗi
2
1
6
(4 )!
k
k
k
∞
=
∑
. Kết quả ghi ở dạng chính
tắc có 5 chữ số sau dấu phẩy
Xét dãy

1n
n
a
a
+
 
 
 
, dãy giảm tới 0 nên theo dấu hiệu trên ta có
1
1
1
n
n
n
n
a
s s
a
a
+
+
− <
−
với
2 1
1
1
6
(4 4)! 36(4 )!

1
n
n
n
n
a
a
n n
a
+
+
+
=
+ −
−
Áp dụng thuật toán, ta có
Bước 1: Tìm n số nguyên dương nhỏ nhất sao cho
2 1
5
1
1
6
4.10
(4 4)! 36(4 )!
1
n
n
n
n
a

a
n n
a
−
−
+
+
= ≤
+ −
−
Chọn n = 3
Bước 2: Tìm số nguyên dương
l
nhỏ nhất sao cho:
5
10 4
10
2 3
l−
−
≤
Chọn
5
=
l
Làm tròn các số hạng
2
6
(4 )!
k

k
a
k
=
đến chữ số -5 ta được
k
a

theo bảng sau:
K
k
a
1 1.50000
2 0.03214
3 0.00010
Bước 3: Tính
1.53224
k
S =
Làm tròn đến chữ số thập phân hàng thứ (-5) ta được:
1.53224
k
S =
Bước 4:
1.53224
k
S =
là giá trị cần tìm với
( )
8 5 5

5
6 10 10
3 10 1 3
16! 36.12! 2 2
p
− −
 
 
= + + + =
 
 ÷
 ÷
−
 
 
 
Vậy:
1.53224
k
S =
với sai số không quá 3.10
-5
Áp dụng: Khi số hạng tổng quát a
n
của chuỗi số có chứa
tích các thừa số liên tiếp (có chứa giai thừa).
Ưu điểm: Quá trình tính toán chỉ sử dụng các phép toán
đơn giản.
Nhược điểm: trong một số trường hợp, việc chúng minh
dãy

1n
n
a
a
+
 
 
 
là dãy tăng hay giảm cũng không phải là
chuyện đơn giản. Ngoài ra không thể dùng phương pháp
này để tính gần đúng nếu
1
lim 1
n
n
n
a
a
+
→∞
=
Dấu hiệu Cauchy:
Chứng minh:
• Giả sử
{ }
n
a
và dãy
{ }
n

n
a
là dãy dương, giảm
Giả sử (a
n
) là dãy dương, giảm và
lim 1
n
n n
a L
→∞
= <
. Khi đó theo
dấu hiệu Cauchy, chuỗi
1
n
n
S a
∞
=
=
∑
hội tụ và có:
i. Nếu
n
n
a
giảm tới L thì
1
n

n
n
n
n
a
s s a
n
a
− <
−
và
1
0
n
n
n
n
n
a
a n
a
→ ∞
−
uuuuuur
ii. Nếu
n
n
a
giảm tới L thì
1

1
n
L
s s
n
L
+
− <
−
và
1
1
0
n
L
n
L
+
→ ∞
−
uuuuuur
Khi đó
N 0∃ ≥
sao cho
n N>

Đặt
n
n
r a=

, suy ra
n 1
n
a
r
a
+
=
là giảm với n>N
Ta được:
n
k
k n
a r, k n a r< ∀ > ⇒ <
Do đó
n 1
n 1
a r , k n
+
+
< ∀ >

n 2
n 2
a r
+
+
<
n 3
n 3

a r
+
+
<
…………………
Khi đó:
1 1
∞
= =
− = −
∑ ∑
n
k k
n k k
S S a a
=
1 1 1
∞ ∞ ∞
= + = =
< =
∑ ∑ ∑
k k
k n k k
k n n
a r a a r
(
1
k
k
r

∞
=
∑
là chuỗi hội tụ do
r 1<
)
1
∞
= +
⇒
∑
k n
k
a
hội tụ (dấu hiệu so sánh)
Theo tính chất chuỗi hội tụ thì
1
∞
=
∑
k
k
a
hội tụ.
Mặt khác:
1
1
1
1
1

∞
+
=
+
− < = <
∑
−
−
k
n
k
n n n
n
n
a
r
S S a r a
a
r
a
(i)
• Giả sử
{ }
n
a
và dãy
{ }
n
n
a

là dãy dương, tăng tới L
và
n
n
n
lim a L 1
→∞
= <
với n > N
⇒

,
k
a L k n
k
< ∀ >
Khi đó
n 1
n 1
a L , k n
+
+
< ∀ >

n 2 2
n 2 n
a L a L
+
+
< =

n 3
n 3
a L
+
+
<
…………………
n k
n k
a L
+
+
<
Khi đó:
1 1
∞
= =
− = −
∑ ∑
n
k k
n k k
S S a a
=
1 1
k
k n k n
k
a L
∞ ∞

= + = +
= <
∑ ∑
(
1
k
k
L
∞
=
∑
là chuỗi hội tụ do
L 1<
)
1
∞
= +
⇒
∑
k n
k
a
hội tụ (dấu hiệu so sánh)
Theo tính chất chuỗi hội tụ thì
1
∞
=
∑
k
k

a
hội tụ.
Mặt khác:
1
1
1
n
k
k
n n
L
S S a L
L
+
∞
=
− < =
∑
−
(ii)
Ví dụ: Tính gần đúng tổng chuỗi
k
2
2k 1
k 1
2
3k 1
 
−
∞

 ÷
∑
=
 ÷
−
 
. Kết
quả ghi ở dạng biểu diễn thập phân gần đúng có 3 chữ
số sau dấu phẩy.
Giải
Kiểm tra điều kiện:
n
2
n
2
2n 1
a
3n 1
 
−
=
 ÷
−
 
là dãy dương, giảm
thì
n
2
n
n

n
2
n n
2n 1 2
lim a lim 1
3n 1 3
→∞ →∞
 
−
= = <
 ÷
−
 

Nên chuỗi hội tụ theo dấu hiệu Cauchy.
Mặt khác
n
n
a
là dãy tăng tới
2
3
nên ta có,
n 1
n
n 1
n
2
L 2
3

S S 2
2
1 L 3
1
3
+
+
 
 ÷
 
 
− < = =
 ÷
−
 
−

Áp dụng thuật toán ta có:
Bước 1: Tìm n nguyên dương nhỏ nhất sao cho:
2
i
i n 1
a 4.10
+∞
−
= +
≤
∑

Chọn

n 10=

Bước 2: Tìm số nguyên dương
l
nhỏ nhất sao cho:
2
10 4
.10
2 10
−
−
≤
l
Chọn l=3
Làm tròn các số hạng
k
2
k
2
2k 1
a
3k 1
 
−
=
 ÷
−
 
đến chữ số hàng
thứ (-3), được

k
a
theo bảng sau:
k
k
a
1 0,5
2 0,405
3 0,280
4 0,189
5 0,127
6 0,085
7 0,057
8 0,038
9 0,026
10 0,017
Bước 3: Tính
12
S 1,724=
làm tròn
11
S
đến chữ số hàng
thứ (-2) ta được:
*
10
S 1,72=
là giá trị cần tìm.
Bước 4: Kết luận
*

10
S 1,72=
là giá trị cần tìm
10
3 2
3
2 10.10 10
2. .10 1 5
3 2 2
p
− −
 
 
 
= + + + =
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
 
 
Vậy
*
10
1.72S
=
với sai số
2

5.10
−
Áp dụng: Khi số hạng tổng quát a
n
của chuỗi số có chứa
các lũy thừa bậc n của các thừa số.
Ưu điểm: Quá trình tính toán chỉ sử dụng các phép toán
đơn giản.
Nhược điểm: trong một số trường hợp, việc chúng minh
dãy
{ }
n
n
a
là dãy tăng hay giảm cũng không phải là
chuyện đơn giản. Ngoài ra không thể dùng phương pháp
này để tính gần đúng nếu
lim 1
n
n n
a
→∞
=
Dấu hiệu so sánh:
i. Do
n
n
n
a
b

 
 
 
giảm tới L nên
k n
k n
a a
, k n
b b
< ∀ >

Do đó:
n
k k
n
a
a b , k n
b
< ∀ >
Nên ta có:
1 1
∞ ∞
= + = +
− < < <
∑ ∑
n n
k n k n
n k k n
n n
a a

S S a b K
b b

(vì
1
∞
= +
<
∑
k n
k
b K
) (đpcm)
ii. Do
n
n
n
a
b
 
 
 
tăng tới L nên ta có
n n
a Lb<

Cho hai chuỗi số dương
1
k
k

a
∞
=
∑
và
1
k
k
b
∞
=
∑
hội tụ, có
1
k n
k n
b K
∞
= +
<
∑
Giả sử tồn tại giới hạn
lim (0 )
n
n
n
a
L L
b
→∞

< < ∞
Khi đó: Chuỗi
1
k
k
a
∞
=
∑
hội tụ và có
i. Nếu
a
n
b
n
n
 
 
 
 
 
giảm tới L thì
1
a
n
b K
k n
b
k n
n

∞
<
∑
= +
ii. Nếu
n
n
n
a
b
 
 
 
tăng tới L thì
1
k n
k n
b LK
∞
= +
<
∑