Tài Liệu Về Cơ Sở Toán Học Của Mã Chống Nhiễu

Bài 6:
Cơ sở toán học của m chống nhiễu

Một số khái niệm cơ bản

Tr ờng GF(2) và các đa thức trên tr ờng
GF(2)
Một số khái niệm cơ bản

Nhóm G: Một tập G với một toán tử hai ngôi
(*) đ ợc định nghĩa trên nó nếu thỏa mãn điều
kiện sau:
- Toán tử * có hính kết hợp
-
G chứa phần tử đơn vị e sao cho:
a*a = a*e = a
- Mọi a thuộc G thì luôn tồn tại một phần tử
nghịch đảo của a sao cho: a*a= a*a = e

Nhóm hữu hạn: là nhóm có số phần tử
hữu hạn gọi là nhóm hữu hạn.

Nhóm vô hạn: là nhóm có số phần tử là
vô hạn gọi là nhóm vô hạn

Nếu toán tử hai ngôi (*) thoả mãn điều
kiện với mọi a, b thuộc G: a*b = b*a
thì nhóm G có tính giao hoán.
Phép cộng và phép nhân modul:
1. phép cộng modul: cho một số nguyên d
ơng bất kỳ m xác định. Xây dựng một

tập số nguyên G = {0,1 m-1. phép cộng
là phép cộng modul với biểu thức:

baGba :,
ví dụ: cho một số nguyên m xác định. xây
dựng tập hợp các số nguyên G = {0,1,2 m-
1}. cho phép + là phép cộng thông th ờng.
trên G định nghĩa toán tử hai ngôi (+) nh
sau:
với hai số nguyên i,j thuộc G ta có i j = r,
r là phần d của phép toán (i + J) /m với
0 <= r<= m-1.
ta chia i+j cho m ta có:
(i+j)/m = q+r với 0<= r <= m-1
vậy r = i (+) j

B¶ng phÐp céng modul 5:
(+) 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
2. Với phép (x) là phép nhân thông th ờng,
ta xây dựng một phép nhân là phép
nhân modul với biểu thức sau:


baGba :,
Ví dụ: cho p là số nguyên tố p = 1, 3,

5, 7, G là tập các số nguyên G =
{1,2p-1} với phép nhân thông th ờng,
ta định nghĩa toán tử hai ngôi (.) trên G
nh sau: i (.) j = r
víi r lµ sè d cña phÐp to¸n i(.)j/p víi r
thuéc (0,p). phÐp nh©n modul_p cã tÝnh
kÕt hîp vµ tÝnh giao ho¸n.
B¶ng nh©n modul_5 víi G = {1,2,3,4}
(.) 1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1
Tr ờng F: F là tập hợp các phần tử với
hai phép toán với hai ngôi: phép cộng
(+) và phép nhân(.) gọi là một tr ờng nếu
thoả mãn các điều kiện:

F là một nhóm giao hoán với phép
cộng, với phần tử đơn vị là 0.

Tập các phân ftử khác 0 trong F là
nhóm giao hoán với phép nhân, phần tử
đơn vị là 1.

Phép nhân có tính phân phối với phép
cộng khi trong F có 3 phần tử nh : a,b,c: a.
(b+c) = a.b+a.c

Số phần tử trong một tr ờng gọi là bậc

(order) của tr ờng.

Phép cộng thì nghịch đảo của a là -a.

Phép nhân: nghịch đảo của a là a
-1

Tr ờng nhị phân ký hiệu là GF(2) có hai
phần tử 0 và 1.
M· tuyÕn tÝnh:
•
®/n 1: M· tuyÕn tÝnh cã ®é dµi n lµ m·
cã c¸c tõ m· víi c¸c ký hiÖu lµ c¸c d¹ng
tuyÕn tÝnh.
•
®/n 2: M· hÖ thèng tuyÕn tÝnh (n,k) lµ
m· tuyÕn tÝnh cã chiÒu dµi n, trong ®ã ta
cã thÓ t×m ® îc vÞ trÝ cña k ký tù th«ng tin
trong tõ m·.
Ma trận sinh
xét x
m1
,x
m2
x
mk
là k bit thông tin đ ợc mã
hoá thành một từ mã C
m
. k bit thông tin đ

ợc đ avào mã hoávà ký hiệu là:
X
m
= [x
m1
x
m2
x
mk
]
đầu ra của bộ mã hoá là:
C
m
= [c
m1
c
m2
c
mn
]
Quá trình mã hoá trong bộ mã hoá khối tuyến
tính đ ợc thể hiện bởi n ph ơng:
c
mi
= x
m1
g
1j
+ x
m2

g
2j
+ +x
mk
g
kj
Với j = 1,2 ,n, g
ij
= 0 hoặc 1. các ph ơng trình
của c
mj
đ ợc biểu diễn bởi ma trận sau: C
m
=
X
m
.G
G đ ợc gọi là ma trận sinh của mã C là:

=












=
knkk
n
n
k
ggg
ggg
ggg
g
g
g
G



21

22221
11211
2
1
Nh vËymçi tõ m· lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh
cña g
ij
cña G:
C
m
= x
m1
g
1
+x
m2
g
2
+…+ x
mk
g
k
.
Ma trËn sinh cã d¹ng hÖ thèng nh sau:
[ ]

















==
−
−
−
kknkk
kn
kn
k
ppp
ppp
ppp
PIG
1 000
.
.
0 010
0 001
21
22221

11211
Từ ma trận G ta thấy I
k
là ma trận đơn vị
k.k và P lầm trận k.(n-k).
Ma trận sinh hệ thống tạo ra mã khối tuyến
tính có k bit đầu tiên là bit thông tin, n-k
bit còn lại là các bit kiểm tra.
















=
1101000
0110100
1110010
1010001
G

ví dụ: xét mã (7,4) có ma trận sinh:
],[
1101000
0110100
1110010
1010001
PIG =
















=
Một từ mã đ ợc biểu diễn là:
C
m
= [x
m1
x

m2
x
m3
x
m4
c
m5
c
m6
c
m7
)
x
mi
là các bit thông tin, c
mi
là các bit kiểm tra và
đ ợc xác định nh sau:
c
m5
= x
m1
+x
m2
+x
m3
, c
m6
= x
m2

+x
m3
+x
m4
và
C
m7
= x
m1
+x
m2
+x
m4
Ma trận kiểm tra: mỗi ma trận sinh G
luôn tồn tại ma trận H
n-k,n
với n-k hàng
độc lập tuyến tính.
Với mã tuyến tính có ma trận sinh luôn
tồn tại ma trận kiểm tra nh sau:
[ ]
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )

==




111101
111110
100100
1 000
0 010
0 001
knkkk
kn
kn
T
kn
ppp
ppp
ppp
PIH

P
T
là ma trận chuyển vị của P và G.H
T
= 0
vÝ dô: xÐt m· (7,4) cã ma trËn sinh:
],[
1101000
0110100
1110010
1010001
PIG =
















=
Th× lu«n tån t¹i ma trËn kiÓm tra H nh

sau:










=
1001011
0101110
0010111
H
Tõ ma trËn H ta cã thÓ thÊy:
x
1
+x
2
+x
3
+c
5
= 0, x
2
+x
3
+x

4
+c
6
= 0 vµ
x
1
+x
2
+x
4
+c
7
= 0
Nh vậy H đ ợc sử dụng trong bộ mã để
kiểm tra các từ mã nhận đ ợc là chẵn hay
lẻ.( chẵn: số bit 1 trong một từ mã là chẵn,
nếu lẻ thì số bit 1 trong từ mã là lẻ) nên H
gọi là ma trận kiểm tra parity của mã (n,k)
Các bài toán tối u của mã tuyến tính nhị phân.
Bài toán 1: với k,d
0
xác định, ta phải tìm đ ợc
mã có độ dài là lớn nhất. để giải đ ợc bài toán
này ta có giới hạn Griesmer:


=

1
0
0
2
k
i
i
d
n
ví dụ: cho k = 4, d
0
= 3 theo giới hạn Griesmer
ta xác định n>= 3+2+1+1= 7 vậy mã phải có
độ dài tối thiểu là n = 7. vậy ta có mã (7,4,3)có
4 hàng, 7 cột và có khoảng cách tối thiểu là 3.
Bài toán 2: với n, k xác định. cần phải tìm
đ ợc mã có d
0
là lớn nhất, để giải quyết
vấn đề này ta sử dụng giới hạn Plotkin:
12
2.
1
0

k
k
n
d

=


t
i
i
n
kn
C
0
2
Bài toán 3: với n và số lỗi có khă năng
sửa đ ợc xác định t ta phải xác định đ ợc
mã có số bit thông tin là lớn nhất hay số
dấu thừa là nhỏ nhất r = n-k.sử dụng giới
hạn hamming để giải quyết vấn đề này.
Vành đa thức và mã xyclic:

Vành đa thức: xét tập các đa thức có bậc
không lớn hơn n-1:
( )


=

=
1
0
.
n
i
i
i
xfxf
Bậc của f(x) không lớn hơn n-1, f lấy giá
trị trong tr ờng F nào đó th ờng là trong tr
ờng nhị phân GF(2). Tập đa thức th ờng đ
ợc xác định hai phép toán là cộng đa
thức và nhân đa thức.
Phép cộng đa thức: xét hai biểu thức là:
( ) ( )


=

=
==
1
0
1
0
n
i
i
i

n
i
i
i
xbxbxaxa
phép cộng giữa hai đa thức:
a(x) + b(x) = c(x).
( )


=
=
1
0
n
i
i
i
xcxc
Trong đó c
i
= a
i
+b
i
. phép toán giữa a
i
và b
i
là phép toán cộng modul cùng bậc.

( )
( ) ( ) ( ) ( )
5432
54253
1111
1,1)(
xxxxxxbxa
xxxxbxxxxa
+++++++=+
+++=+++=
phÐp nh©n ®a thøc:
( )
( )
( ) ( ) ( )
mnmn
iiiii
mn
mn
n
n
m
m
m
m
gfc
gfgfgfgfc
gfgfgfcgfgfcgfc
xcxcxcxccxgxfxc
xfxgxgxggxg
xfxfxffxf

.


; ,.


,
022110
021120201101000
3
3
2
210
2
210
2
210
=
++++=
++=+==
++++==
++++=
++=
+
−−
+
+
phÐp céng vµ nh©n c¸c hÖ sè trong ®a thøc
lµ phÐp to¸n modul 2.