Các dạng đề thi đại học môn toán thường gặp nhất

Th. s Đỗ Minh Tuân
Th.s ĐỖ MINH TUÂN
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
MÔN TOÁN
NAM ĐỊNH, NĂM 2010
Th. s Đỗ Minh Tuân
Lời nói đầu
Trong những năm gần đây, đề thi đại học đã trở nên cơ bả n hơn trước rất nhiều , không còn
tính đánh đố cũng như bắt họ c sinh phải nhớ nhiều những mẹo rất lặt vặt. Một số tài liệu giảng
dạy rấ t hay ngày trước như "Các bài giảng luyện thi môn Toán", "Bộ đề thi tuyển sinh" chỉ còn
lại một ít giá trị thực tiễn của nó. Chắt lọc những tài liệu này, bám sá t những đề thi tuyển sinh
những năm gần đây (Từ năm 2002- 2010) cộng với những kinh nghiệm trong thực tiễn giảng dạy
luyện thi của mình (có tham khảo một số bà i giảng ở những trang web dạy học) tôi biên soạn
tài liệu này mục đích chính để mình giảng dạy một cách bài bản.
Tôi nghĩ rằng tài liệu này sẽ có ích đối với những người dạy toán, cũng như những bạn ngấp
nghé cổng trường Đại học.
Tài liệu này gồm 1 3 chuyên đề (vẫn còn thiếu)
1. Phương trình đại số.
2. Phương trình lượng giác.
3. Phương trình chứa căn và dấu giá trị tuyệt đối.
4. Hệ phương trình đại số
5. Giải tích tổ hợp
6. Hình phẳng tọa độ
7. Giới hạn
8. Bất đẳng thức
9. Hàm số và đồ thị
10. Hình học không gian tọa độ (Đã chỉnh sửa, chỉ thiếu phần tọa độ hóa hình học không gian)
11. Tích phân và ứng dụng
12. Số phức
13. Hình họ c không gian cổ điển.
Vì số lượng các chuyên đề lớn nên không thể tránh khỏi những lỗi đánh máy, lỗi tính toán sai,

Mong các bạn lượng thứ, mọi góp ý xin gửi về:
Th.s Đỗ Minh Tuân.
Trường CĐSP Nam Định, 813 đường Trường Chinh, TP Nam Định
Email:
Mobile: 0982843882.
—————————————
Chúc các bạn thành công trong kỳ thi đại học sắp tới!
Nam Định, ngày 18 tháng 12 năm 2010
Tác giả
Đỗ Minh Tuân
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 2 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
Th. s Đỗ Minh Tuân
Mục lục Mục lục
Mục lục
Lời nói đầu 2
1 Phương trình đại số 9
1.1 Lý thuyết về đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Phân tích đa thức thành nhân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Tính giá trị một đa thức, phân thức tại điểm lẻ . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Phương trình bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Phương trình bậc 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 Tính chất của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2 Đa thức bậc 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Phương trình bậc 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.1 Dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.2 Các dạng của phương trình bậc 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Dấu của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.1 Đa thức bậc 1 - bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.2 Đa thức - Phân thức tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.3 Giải hệ bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Phương trình lượng giác 33
2.1 Các kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.1 Công thức liên hệ giữa các hàm lượng giá c . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.2 Các công thức của các góc liên hệ với α . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.3 Bảng dấu của các hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.4 Bảng các giá trị lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.5 Công thức lượng giác của tổng, hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.6 Công thức cộng lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.7 Công thức biến đổi tích thành tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.8 Công thức góc nhân đôi, nhân ba - Công thức hạ bậc . . . . . . . . . . . 35
2.1.9 Công thức tính sin 2x, cos 2x, tan 2x, cot 2x theo t = tan x . . . . . . . . 36
2.1.10 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Các phương trình lượng giác cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 3 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
Th. s Đỗ Minh Tuân
Mục lục Mục lục
2.2.1 Phương trình sin x = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.2 Phương trình cos x = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.3 Phương trình tan x = m, cot x = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.4 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Các phương trình lượng giác khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.1 Phương trình a sin x + b cos x = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3.2 Phương trình đẳng cấp chứa sin và cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.3 Đại số hóa phương trình lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.4 Phương trình đối xứng sin, cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.5 Phân tích thành nhân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.6 Sử dụng bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.7 Loại nghiệm không thích hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.8 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Phương trình chứa căn và dấu giá trị tuyệt đối 51
3.1 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.1 Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.2 Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2 Phương trình chứa căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.1 Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.1 Dạng cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5
3.3.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Bất phương trình chứa căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4.1 Dạng cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5
3.4.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 Hệ phương trình đại số 61
4.1 Hệ phương trình bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.2 Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.1.3 Hệ phương trình bậc nhất bốn ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2 Hệ phương trình bậc nhất - bậc hai: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3 Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3.1 Phương trình đẳng cấp bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.3.2 Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4 Hệ đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4.1 Hệ đối xứng loại I: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4.2 Hệ đối xứng loại II: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.5 Hệ phương trình tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 4 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
Th. s Đỗ Minh Tuân
Mục lục Mục lục
5 Giải tích tổ hợp 79
5.1 Khái quát chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2.1 Quy tắc cộng - nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2.2 Tổ hợp - chỉnh hợp - hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2.3 Công thức nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6 Hình phẳng tọa độ 87
6.1 Véc tơ, điểm, đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.1.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.1.2 Dạng bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.2 Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.2.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.2.2 Các dạng bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3 Ba đường Conic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.3.1 Kiến thức chung về 3 đường Conic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.3.2 Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.3.3 Hyperbo l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.3.4 Parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 6

7 Giới hạn 128
7.1 Giới hạn dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.1.1 Các tính chất cơ bản của giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.2 Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.2.1 Giới hạn cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.2.2 Phương pháp tính giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 31
7.2.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4
8 Bất đẳng thức 137
8.1 Các bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.2 Bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.2.1 Tìm min tổng, max của tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.2.2 Bất đẳng thức đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.2.3 Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8.3 Bất đẳng thức Bunhiacopxki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.4 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2
9 Hàm số và đồ thị 155
9.1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.1.1 Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.1.2 Các bước khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.1.3 Hàm đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.1.4 Hàm phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 5 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
Th. s Đỗ Minh Tuân
Mục lục Mục lục
9.2 Cực trị và tiệm cận của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
9.2.1 Quy tắc tìm cực đại và cực tiểu của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 161
9.2.2 Cực trị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

9.2.3 Các bài toán tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
9.2.4 Củng cố kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9.3 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
9.3.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
9.3.2 Các bài toán đơn thuần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
9.3.3 Bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất chứa tham số . . . . . . . . . . . . . 173
9.3.4 Phương pháp miền giá trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9.3.5 Phương pháp chiều biến thiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
9.3.6 Củng cố kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
9.4 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
9.4.1 Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
9.4.2 Tiếp tuyến với đường cong tại điểm M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9.4.3 Tiếp tuyến với đường cong đi qua điểm M . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9.4.4 Lớp các bài toán về sự tiếp xúc rất đa dạng . . . . . . . . . . . . . . . . 182
9.4.5 Củng cố kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
9.5 Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
9.5.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
9.5.2 Tìm điểm không thuộc mọi đường cong trong họ y = f(x, m) . . . . . . . 186
9.6 Sự tương giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
9.6.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
9.6.2 Sự tương giao của hàm đa thức với trục Ox . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9.6.3 Sự tương giao của hàm phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
9.6.4 Củng cố kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
9.7 Sự tiếp xúc của 2 đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
9.7.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
9.7.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.7.3 Củng cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
9.8 Biện luận số nghiệm bằng đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
9.8.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
9.8.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

9.9 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2
10 Hình không gian tọa độ 210
10.1 Hệ tọa độ, véc tơ, điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
10.1.1 Hệ tọa độ Đề Các . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
10.2 Phép toán trên véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
10.3 Điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
10.3.1 Tích có hướng của 2 véc tơ và ý ng hĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
10.3.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
10.4 Phương trình mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
10.4.1 Phương trình tổng quát của mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
10.4.2 Phương pháp xác định mặ t phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
10.4.3 Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
10.4.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
10.5 Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 6 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
Th. s Đỗ Minh Tuân
Mục lục Mục lục
10.5.1 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . 215
10.5.2 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường thẳng . . . . . . . . . . . . . 216
10.5.3 Một số dạng toán về đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . 216
10.5.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
10.6 Góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
10.6.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
10.6.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
10.6.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
10.7 Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
10.7.1 Các công thức khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
10.7.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
10.7.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
10.8 Mặt cầu và đường trò n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

10.8.1 Mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
10.8.2 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
10.8.3 Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
10.8.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
10.9 Tọa độ hóa hình học không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
10.9.1 Hình chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
11 Tích phân 229
11.1 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
11.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
11.1.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
11.1.3 Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . 22 9
11.2 Nguyên hàm và tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
11.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
11.2.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
11.2.3 Bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp . . . . . . . . . . . . . 231
11.3 Các phương pháp tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
11.3.1 Phép đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
11.3.2 Tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
11.3.3 Tích phân hàm phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
11.4 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
11.5 Ứng dụng của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
11.5.1 Tính diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
11.5.2 Tính thể tích vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
11.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
12 Số phức 263
12.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
12.1.1 Các kiến thức chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
12.1.2 Các phép toán trên số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
12.2 Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
12.2.1 Thực hiện các phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

12.2.2 Khai căn bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
12.2.3 Giải phương trình đại số và các vấn đề liên quan . . . . . . . . . . . . . . 266
12.2.4 Biểu diễn số phức trên mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 7 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
Th. s Đỗ Minh Tuân
Mục lục Mục lục
12.2.5 Chứng minh đẳng thức tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
12.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
13 Hình học không gian 269
13.1 Mở đầu về hình học không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
13.1.1 Đối tượng của hình học không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
13.1.2 Quan hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 9
13.1.3 Hình biểu diễn trong hình học không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
13.1.4 Một số hình thông dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
13.1.5 Các tiên đề hình học không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
13.1.6 Các tiên đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
13.1.7 Định lý về giao tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
13.2 Vị trí tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
13.2.1 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . 272
13.2.2 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . 272
13.2.3 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường thẳng . . . . . . . . . . . . . 272
13.2.4 Các phương pháp xác định mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
13.3 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
13.3.1 Sử dụng tiên đề, vị trí tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
13.3.2 Tìm giao tuyến giữa 2 mặt phẳng (Cách 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
13.3.3 Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và cắt cả 2 đường thẳng 283
13.3.4 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . 285
13.3.5 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường đồng quy . . . . . . . . . . . . 288
13.3.6 Thiết diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
13.3.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 8 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
Th. s Đỗ Minh Tuân
Chương 1. Phương trình đại số
Chương 1
Phương trình đại số
1.1 Lý thuyết về đa thức
1.1.1 Phân tích đa thức thành nhân tử
+) Nếu P (x) là một đa thức bậc 2 có 2 nghiệm x
1
, x
2
thì P (x) = a.(x −x
1
).(x
2
) (a là hệ số bậc
cao nhất của P (x)).
+) Tổng quát: Nếu P (x) là một đa thức bậc n có đủ n nghiệm x
1
, x
2
, ··· , x
n
thì
P (x) = a(x − x
1
)(x − x
2
) ···(x − x
n

)
+) Một đa thức P (x) bất kỳ bao giờ cũng phân tích thành tích những đa thức bậc nhất và đa
thức bậc 2 (vô nghiệm).
Ví dụ 1.1.1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) P (x) = 2x
2
−5x + 2.
b) P (x) = −3x
2
+ 12x −12
c) P (x) = 4x
3
−4x
2
− 7x −2.
d) P (x) = 6x
3
−13x
2
+ 4x + 3
Giải: a) P (x) có a = 2, x
1
= 2, x
2
=
1
2
nên P(x) = 2(x −2)

x −

1
2

= (x −2)(2x − 1).
b) P (x) có nghiệm kép x = 2 nên P (x) = −3(x − 2)
2
.
c) P (x) có a = 4 và 2 nghiệm x = −
1
2
và x = 2???
Chú ý: P (x) là đa thức bậc 3 nhưng lại chỉ có 2 nghiệm. Nên sẽ có một nghiệm là nghiệm
kép. Tốt nhất trong trường hợp này ta dùng lược đồ Hoocne để giải quyết.
Kết quả: P (x) = 4

x +
1
2

2
(x − 2).
N
gười soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 9 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
Th. s Đỗ Minh Tuân
1.2. Phương trình bậc nhất Chương 1. Phương trình đại số
d) P (x) có a = 6 và 3 nghiệm x = 1, x = −
1
3
, x =
3

2
P (x) = 6(x − 1).

x +
1
3

x −
3
2

= (x − 1)(3x + 1)(2x − 3).
1.1.2 Tính giá trị một đa thức, phân thức tại điểm lẻ
Cách làm: Nhập hàm, sử dụng tính năng CALC của máy 570ES.
Ví dụ 1.1.2: Tính giá trị biểu thức:
a) y = x
3
− 3x
2
−x −1 tại x = 1 −
√
3 và x = 1 +
√
3
b) y =
x
2
− x −1
2x + 3
tại x = 3 +

√
2 và x = 3 −
√
2
Giải: a) x = 1 −
√
3 ⇒ y = −4 +
√
3
x = 1 +
√
3 ⇒ y = −4 −
√
3
b) x = 3 +
√
2 ⇒ y =
43 + 31
√
2
73
x = 3 −
√
2 ⇒ y =
43 − 31
√
2
73
1.2 Phương trình bậc nhất
1.2.1 Phương pháp giải

☞ Dạng của phương trình: ax + b = 0
☞ Cách giải:
➤ Với a = 0, b = 0: Phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ R
➤ Với a = 0, b = 0: Phương trình vô nghiệm.
➤ Với a = 0 Phương trình có nghiệm duy nhất x = −
b
a
1.2.2 Các ví dụ
Ví dụ 1.2.1: Giải và biện luận phương trình: (m
2
− 1)x + m − 1 = 0
Giải: - Nếu m
2
−1 = 0 ⇔ m = ±1.
+) Với m = 1 phương trình trở thành: 0x + 0 = 0. Phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ R.
+) Với m = −1 phương trình trở thành: 0x − 2 = 0. Phương trình vô nghiệm.
- Nếu m
2
− 1 = 0 ⇔ m = ±1.
Phương trình có nghiệm duy nhất: x = −
1
m + 1
Ví
dụ 1.2.2: Tìm điểm cố định của họ đường thẳng:(d
m
) : y = (m −2)x + 2m − 3
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 10 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
Th. s Đỗ Minh Tuân
1.3. Phương trình bậc hai Chương 1. Phương trình đại số
Giải: Gọi (x

0
, y
0
) là điểm cố định của (d
m
)
⇒ y
0
= (m − 2)x
0
+ 2m −3 ∀m
⇔ m(x
0
+ 2) −2x
0
− 3 −y
0
= 0 ∀m
⇔

x
0
+ 2 = 0
−2x
0
−3 − y
0
= 0
⇔


x
0
= −20
y
0
= 1
Vậy điểm cố định của họ (d
m
) là điểm A(−2; 1)
1.3 Phương trình bậc hai
1.3.1 Phương pháp giải
☞ Dạng của phương trình: ax
2
+ bx + c = 0.
☞ Biện luận:
➢ Nếu a = 0: phương trình bậc nhất
➢ Nếu a = 0: ∆ = b
2
− 4ac hoặc ∆

= b
2
− ac.
+) Nếu ∆ < 0: Phương trình vô nghiệm.
+) Nếu ∆ = 0: Phương trình có nghiệm kép x
1
= x
2
= −
b

2a
= −
b

a
+) Nếu ∆ > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
x
1,2
=
− b ±
√
∆
2a
=
−b

±
√
∆

a
☞ Nhẩm nghiệm:
➢ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x
1
= 1, x
2
=
c
a
➢ Nếu a − b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x

1
= −1, x
2
= −
c
a
☞ Phân tích một tam thức bậc 2 thành nhân tử.
Giả sử f(x) = ax
2
+ bx + c có 2 nghiệm x
1
, x
2
thì f(x) = a(x − x
1
)(x − x
2
).
Ví dụ: f(x) = 2x
2
− 5x + 2 có 2 nghiệm x
1
= 2, x
2
=
1
2
nên f(x) = 2(x − 2)(x −
1
2

) = (x −2)(2x − 1).
☞ Định lý Vi-et: Giả sử x
1
, x
2
là 2 nghiệm của phương trình thì ta có:





x
1
+ x
2
= −
b
a
x
1
x
2
=
c
a
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 11 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
Th. s Đỗ Minh Tuân
1.3. Phương trình bậc hai Chương 1. Phương trình đại số
☞ Định lý Vi-et đảo:
Nếu


x + y = S
x.y = P
, x, y là 2 nghiệm của phương trình:
X
2
− S.X + P = 0
☞ Dấu của nghiệm:
➢ Pt có 2 nghiệm phân biệt dương ⇔



∆ > 0
S > 0
P > 0
➢ Pt có 2 nghiệm phân biệt âm ⇔



∆ > 0
S < 0
P > 0
➢ Pt có 2 nghiệm trái dấu: P < 0.
➢ Pt có nghiệm dương tương đương với phương trình có 2 nghiệm dương hoặc có 2
nghiệm trái dấu ⇔

max(x
1
, x
2

) > 0
∆ ≥ 0
Ở đó max (x
1
, x
2
) =



−b +
√
∆
2a
Nếu a > 0
−b −
√
∆
2a
Nếu a < 0
Hoặc ta có thể xét 2 trường hợp:
- Phương trình có 2 nghiệm dương (không cần phân biệt) hoặc có một nghiệm bằng
không, một nghiệm dương ⇔



∆ ≥ 0
S > 0
P ≥ 0
- Phương trình có 2 nghiệm trái dấu ⇔ P < 0.

➢ Phương trình có nghiệm âm ta làm tươ ng tự như trên:
⇔







∆ ≥ 0
S < 0
P ≥ 0
P < 0
⇔

∆ ≥ 0
min (x
1
, x
2
) < 0
Ở đó min (x
1
, x
2
) =



−b −

√
∆
2a
Nếu a > 0
−b +
√
∆
2a
Nếu a < 0
☞ So sánh nghiệm với một số:
➢ α ∈ (x
1
, x
2
) ⇔ a.f (α) < 0.
➢ α /∈ [x
1
, x
2
] ⇔

∆ ≥ 0
a.f (α) > 0
➢ x
1
< x
2
< α ⇔




∆ > 0
a.f (α) > 0
S/2 < α
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 12 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
Th. s Đỗ Minh Tuân
1.3. Phương trình bậc hai Chương 1. Phương trình đại số
➢ x
1
> x
2
> α ⇔



∆ > 0
a.f (α) > 0
S/2 > α
Ví dụ 1.3.1: Giải các phương trình sau:
a) x
2
− 5x + 4 = 0
b) x
2
− 2x −3 = 0
Giải: a) a + b + c = 0 ⇒ phương trình có nghiệm x
1
= 1, x =
c
a

= 4
b) a −b + c = 0 ⇒ phương trình có 2 nghiệm x
1
= −1, x = −
c
a
= 3
Ví dụ 1.3.2: Giải và biện luận phương trình sau: (m − 1) x
2
−(2m + 1) x + m − 5 = 0.
Giải: +) TH 1: Nếu m − 1 = 0 ⇔ m = 1 thay vào phương trình ta có:
−3x − 4 = 0 ⇔ x = −
3
4
.
+) TH 2: Nếu m −1 = 0 ⇔ m = 1.
∆ = (2m + 1)
2
− 4 (m − 1) (m −5) = 28m −19
- Nếu ∆ > 0 ⇔ m >
19
28
có phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1,2
=
2m + 1 ±
√
28m − 19
2 (m −1)

- Nếu ∆ = 0 ⇔ m =
19
28
có nghiệm kép:
x
1
= x
2
=
2m + 1
2 (m − 1)
=
2.
19
28
+ 1
2

19
28
−1

= −
11
3
- Nếu ∆ < 0 ⇔ m <
19
28
: Phương trình vô ng hiệm.
Ví dụ 1.3.3: Cho phương trình x

2
−(m −1) x + 2m − 5 = 0
a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
c) Lập phương trình bậc 2 nhận 2x
1
+ x
2
là nghiệm.
Giải: a) ∆ = (m −1)
2
−4 (2m −5) = m
2
− 2m + 1 − 8m + 2 0 = m
2
−10m + 21.
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ m
2
−10m + 21 > 0 ⇔

m > 7
m < 3

Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 13 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
Th. s Đỗ Minh Tuân
1.3. Phương trình bậc hai Chương 1. Phương trình đại số
b) S = x
1
+ x
2
= m − 1, P = x
1
.x
2
= 2m − 5. Do đó 2S −P = 2(m − 1) −(2m −5) = 3
Hệ thức liên hệ x
1
, x
2
không phụ thuộc m là : 2(x
1
+ x
2
) − x
1
.x
2
= 3
c) Đặt u = 2x
1
+ x
2
, v = x

1
+ 2x
2
. Do đó:
u + v = 3(x
1
+ x
2
) = 3.(m −1) = 3m −3,
u.v = (2x
1
+ x
2
)(x
1
+ 2x
2
) = 2x
2
1
+ 5x
1
.x
2
+ x
2
2
= 2(x
1
+ x

2
)
2
+ x
1
.x
2
= 2(m − 1)
2
+ 2m −5 = 2m
2
−2m − 3
Do đó u, v là 2 nghiệm của phương trình:
X
2
−(3m −3)X + 2m
2
− 2m − 3 = 0
Ví dụ 1.3.4: Cho phương trình: x
2
−(m + 1)x + m +
9
4
= 0
1. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
.
2. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương.

3. Tìm m để phương trình có nghiệm dương.
4. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn x
1
< 1 < x
2
.
5. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa x
1
≤ x
2
< 2
Giải: a) ∆ = (m + 1)
2
− 4(m +
9
4
) = m
2
+ 2m + 1 − 4m − 9 = m
2
− 2m − 8
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ m
2
−2m − 8 > 0 ⇔

m > 4
m < −2
b) Phương trình có 2 nghiệm dương ⇔




∆ > 0
S = m + 1 > 0
P = m + 9/4 > 0
⇔












m > 4
m < −2
m > −1
m > −
9
4
⇔ m > 4
c) Phương trình có nghiệm dương ⇔

∆ ≥ 0
max (x
1
, x

2
) > 0
⇔



m
2
−2m − 8 ≥ 0
m + 1 +
√
m
2
− 2m −8
2
> 0
⇔
√
m
2
− 2m − 8 > −m − 1
⇔





−m − 1 < 0
m
2

−2m −8 ≥ 0

−m − 1 ≥ 0
m
2
−2m −8 > (−m −1)
2
⇔









m > −1

m ≥ 4
m ≤ −2

m ≤ −1
m < −9/4
⇔

m ≥ 4
m < −9/4
d) Phương trình có nghiệm x
1

< 1 < x
2
⇔ a.f(1) < 0
⇔ 1. (1 − (m + 1) + m + 9 / 4 < 0) ⇔ 9/4 < 0 (Vô nghiệm)
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 14 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
Th. s Đỗ Minh Tuân
1.4. Phương trình bậc 3 Chương 1. Phương trình đại số
e) Phương trình có nghiệm thỏa mãn x
1
≤ x
2
< 2 ⇔



∆ ≥ 0
a.f (2) > 0
S/2 < 2
⇔



m ≥ 4 ∨m ≤ −2
m < 17/4
m < 3
⇔

4 ≤ m < 17/4
m ≤ −2
1.4 Phương trình bậc 3

1.4.1 Tính chất của đa thức
❶ Định lý Berzout: Cho P(x) là một đa thức bất kỳ. Khi đó với mọi x
0
, đa thức P (x)
chia đa thức x −x
0
có số dư là P (x
0
).
❷ Hệ quả: Nếu x
0
thỏa mãn P (x
0
) = 0 thì P(x)
.
.
. x −x
0
.
❸ Lược đồ Hoocne: Giả sử P(x) = a
n
x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ ···+ a
1
x + a

0
.
a
n
a
n−1
··· a
1
a
0
x
0
b
n
b
n−1
··· b
1
b
0
b
n
= a
n
, b
n−1
= b
n
.x
0

+ a
n−1
, b
n−2
= b
n−1
.x
0
+ a
n−2
, ···, b
0
= b
1
.x
0
+ a
0
.
P (x) = (x − x
0
)(b
n
x
n−1
+ b
n−1
x
n−2
+ ···+ b

2
x + b
1
) + b
0
.
Nếu P(x)
.
.
. x − x
0
thì b
0
= 0 và P (x) = (x −x
0
)(b
n
x
n−1
+ b
n−1
x
n−2
+ ···+ b
2
x + b
1
).
1.4.2 Đa thức bậc 3
☞ Dạng ax

3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (1).
☞ Cách giải :
➢ Nhẩm ng hiệm : Sử dụng máy tính để nhẩm mộ t nghiệm x
0
nào đó.
➢ Dùng lược đồ Hooc-ne để phân tích đa thức trên thành nhân tử :
P (x) = (x − x
0
).Q(x). Ở đó Q(x) là một đa thức bậc 2.
☞ Định lý Viet: Giả sử x
1
, x
2
, x
3
là 3 nghiệm của phương trình (1).














x
1
+ x
2
+ x
3
= −
b
a
x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
1
=
c
a
x
1
x
2

x
3
= −
d
a
☞ Định lý Viet đảo: Giả sử x, y, z là 3 số thỏa mãn



x + y + z = m
xy + yz + zx = n
xyz = p
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 15 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
Th. s Đỗ Minh Tuân
1.4. Phương trình bậc 3 Chương 1. Phương trình đại số
Khi đó x, y, z là 3 nghiệm của phương trình : X
3
−mX
2
+ nX − p = 0
1.4.3 Các ví dụ
Ví dụ 1.4.1: Giải các phương trình sau:
a) 2x
3
− x
2
+ x + 4 = 0.
b) x
3
− 4x + 3 = 0.

Giải: a) Dùng máy tính ta thấy được một nghiệm là : x = −1.
Dùng lược đồ Hooc-ne ta có:
2 −1 1 4
−1 2 −3 4 0
Phương trình ⇔ (x + 1) (2x
2
− 3x + 4) = 0
⇔

x = −1
2x
2
−3x + 4 = 0Phương trình vô ng hiệm
⇔ x = −1.
b) Dùng máy tính ta nhẩm được nghiệm x = 1.
1 0 −4 3
1 1 1 −3 0
Phương trình ⇔ (x − 1) (x
2
+ x − 3) = 0
⇔

x = 1
x
2
+ x − 3 = 0
⇒


x = 1

x =
−1 ±
√
13
2
Ví dụ 1.4.2: Cho phương trình 2x
3
−3x
2
− 5x + 5 = 0
a) Chứng minh phương trình có 3 nghiệm x
1
, x
2
, x
3
phân biệt.
b) Tính P = 3 (x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
) − 2 (x
3
1
+ x

3
2
+ x
3
3
).
Giải: a) Đặt f(x) = 2x
3
−3x
2
−5x+5. Ta có f(−2) = −13 , f(−1) = 5, f(1) = −1, f(3) = 17.
Ta có f(−2).f(−1) < 0 nên tồn tại x
1
∈ (−2; −1) sao cho f(x
1
) = 0.
f(−1).f(1) < 0 nên tồn tại x
2
∈ (−1; 1) sao cho f (x
2
) = 0.
f(1).f( 3) < 0 nên tồn tại x
3
∈ (1; 3) sa o cho f(x
3
) = 0.
Do đó ta được f(x
1
) = f(x
2

) = f(x
3
) = 0 và x
1
< x
2
< x
3
nên phương trình f(x) = 0 có 3
nghiệm phân biệt.
b) Theo định lý Viet ta có:













x
1
+ x
2
+ x
3

=
3
2
x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
1
= −
5
2
x
1
x
2
x
3
= −
5
2
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 16 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
Th. s Đỗ Minh Tuân
1.5. Phương trình bậc 4 Chương 1. Phương trình đại số

x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
= (x
1
+ x
2
+ x
3
)
2
−2 (x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
1
) =

29
4
x
3
1
+ x
3
2
+ x
3
3
= (x
3
1
+ x
3
2
+ x
3
3
− 3x
1
x
2
x
3
) + 3x
1
x
2

x
3
= (x
1
+ x
2
+ x
3
) (x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
−(x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
1
)) + 3x

1
x
2
x
3
=
3
2

29
4
+
5
2

+ 3.

−
5
2

=
57
8
Do đó ta được P = 3.
29
4
−2.
57
8

=
15
2
.
Ví dụ 1.4.3: Giải hệ phương trình:



x + y + z = 2
x
2
+ y
2
+ z
2
= 6
x
3
+ y
3
+ z
3
= 8
Giải: Phương trình tương đương với ⇔



x + y + z = 2
(x + y + z)
2

− 2 (xy + yz + zx) = 6
(x
3
+ y
3
+ z
3
− 3xyz) + 3xyz = 8
⇔



x + y + z = 2
2
2
− 2 (xy + yz + zx) = 6
(x + y + z) (x
2
+ y
2
+ z
2
−xy −yz − zx) + 3xyz = 8
⇔



x + y + z = 2
xy + yz + zx = −1
2 (6 + 1) + 3xyz = 8

⇔



x + y + z = 2
xy + yz + zx = −1
xyz = −2
Từ đó ta có x, y, z là 3 nghiệm của phương trình:
X
3
− 2X
2
− X + 2 = 0 ⇔


X = −1
X = 1
X = 2
Vậy hệ có 6 nghiệm phân biệt
(−1; 1; 2) , (−1; 2; 1) , (1; −1; 2) , (1; 2; −1) , (2; −1; 1) , (2; 1; −1)
1.5 Phương trình bậc 4
1.5.1 Dạng tổng quát
ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e = 0 (a = 0)
☞ Hướng giải:

➢ Dùng tính năng SOLVE hoặc TABLE của máy tính fx-570ES, fx-500ES để nhẩm
nghiệm của phương trình, sau đó dùng lược đồ Hooc- ne để phân tích thành phương
trình bậc 3 và giải tiếp như ở trên.
➢ Tuy nhiên một số trường hợp cách giải trên trở nên vô hiệu hoặc quá phức tạp không
cần thiết, những trường hợp đó có cách giải riêng biệt.
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 17 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
Th. s Đỗ Minh Tuân
1.5. Phương trình bậc 4 Chương 1. Phương trình đại số
1.5.2 Các dạng của phương trình bậc 4
❶ Phương trình trùng phương : ax
4
+ bx
2
+ c = 0.
Cách giải: đặt t = x
2
≥ 0. Phương trình trở thành : at
2
+ bt + c = 0.
❷ Phân tích thành nhân tử:
Cách giải: Biết được một nghiệm, hoặc dùng cách nhóm, sử dụng hằng đẳng thức để phân
tích thành nhân tử, quy về phương trình bậc thấp hơn.
❸ Phương trình đối xứng: ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e = 0 thỏa mãn


d
b

2
=
e
a
Cách giải: Xét x = 0 thay vào phương trình xem có thỏa mãn không?
Với x = 0. Chia cả 2 vế của phương trình cho x
2
ta được:
ax
2
+ bx + c +
d
x
+
e
x
2
= 0 ⇔ a

x
2
+
e
ax
2

+ b


x +
d
bx

+ c = 0
Đặt t = x +
b
dx
(∗)
⇒ t
2
= x
2
+
b
2
d
2
x
2
+
2d
b
= x
2
+
e
ax
2

+
2d
b
.
Phương trình trở thành: a

t
2
−
2d
b

+ bt + c = 0
Giải phương trình bậc 2 ẩn t. Sau đó thay vào (∗ ) để tìm x.
❹ Phương trình dạng (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = e sao cho a + b = c + d.
Cách giải: Phương trình ⇔ (x
2
+ (a + b) x + ab) (x
2
+ (c + d) x + cd) = e
Đặt t = x
2
+ (a + b) x = x
2
+ (c + d) x (∗)
Thay vào phương trình ta được:
(t + ab) (t + cd) = e
Giải phương trình bậc 2 ẩn t sau đó thay vào (∗) để tìm x.
❺ Phương trình dạng (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = ex
2

sao cho ab = cd.
Cách giải: giống cách giải phương trình đối xứng.
Nếu x = 0: ta được abcd = 0.
Nếu x = 0: Phương trình ⇔ (x
2
+ (a + b) x + ab) (x
2
+ (c + d) x + cd) = ex
2
.
⇔

x +
ab
x
+ a + b

.

x +
cd
x
+ c + d

= e
Đặt t = x +
ab
x
= x +
cd

x
(∗). Ph
ương trình trở thành:
(t + a + b) (t + c + d) = e
Giải phương trình bậc 2 ta tìm được t. Thay vào (∗) để tìm x.
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 18 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
Th. s Đỗ Minh Tuân
1.5. Phương trình bậc 4 Chương 1. Phương trình đại số
1.5.3 Các ví dụ
Ví dụ 1.5.1: Giải phương trình 2x
4
−x
2
− 3 = 0
Giải: Đặt t = x
2
≥ 0. Phương trình trở thành :
2t
2
− t −3 = 0 ⇔


t = −1 (loại)
t =
3
2
⇔ t =
3
2
⇔ x

2
=
3
2
⇔ x = ±
√
6
2
Ví dụ 1.5.2: Giải các phương trình sau:
a) 8x
4
+ 16x
3
−8x
2
− 91x −42 = 0.
b) x
4
− 4x
3
+ 4x
2
−16 = 0.
c) x
4
− 4x −1 = 0.
Giải: a) Dùng máy tính ta nhẩm được một nghiệm là x = 2.
Dùng lược đồ Hooc - ne ta có:
8 16 −8 −91 −42
2 8 32 56 21 0

Phương trình ⇔ (x − 2) (8x
3
+ 32x
2
+ 56x + 21) = 0.
Tiếp tục ta nhẩm được 1 nghiệm là x = −
1
2
. Theo lược đồ Hooc - ne ta có:
8 32 56 21
−
1
2
8 28 42 0
Phương trình ⇔ (x − 2)

x +
1
2

(8x
2
+ 28x + 42) = 0
⇔




x = 2
x = −

1
2
8x
2
+ 28x + 42 = 0

Vô nghiệm

b) Phương trình ⇔ (x
2
− 2x)
2
−4
2
= 0 ⇔ (x
2
− 2x −4) (x
2
− 2x + 4) = 0
⇔

x
2
−2x −4 = 0
x
2
−2x + 4 = 0

Vô nghiệm


⇔ x = 1 ±
√
5
c) Phương trình ⇔ x
4
+ 2x
2
+ 1 −2 (x
2
+ 2x + 1) = 0
⇔ (x
2
+ 1)
2
−

√
2 (x + 1)

2
= 0
⇔

x
2
+ 1 −
√
2 (x + 1)

x

2
+ 1 +
√
2 (x + 1)

= 0
⇔

x
2
−
√
2x + 1 −
√
2

x
2
+
√
2x + 1 +
√
2

= 0
⇔

x
2
−

√
2x + 1 −
√
2 = 0
x
2
+
√
2x + 1 +
√
2 = 0

Vô nghiệm

⇔ x =
√
2 ±

−2 + 4
√
2
2
.
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 19 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
Th. s Đỗ Minh Tuân
1.5. Phương trình bậc 4 Chương 1. Phương trình đại số
Ví dụ 1.5.3: Giải các phương trình sau:
a) x
4
+ 4x

3
− x
2
+ 8x + 4 = 0.
b) 2x
4
− 3x
3
−3x
2
+ 3x + 2 = 0.
Giải: a) Với x = 0, phương trình trở thành 2 = 0 (vô lý). Vậy x = 0.
Chia cả 2 vế phương trình cho x
2
ta được
x
2
+ 4x −1 +
8
x
+
4
x
2
= 0 ⇔

x
2
+
4

x
2

+ 4

x +
2
x

−1 = 0
Đặt t = x +
2
x
⇒ t
2
= x
2
+
4
x
2
+ 4
Phương trình trở thành : t
2
− 4 + 4t − 1 = 0
⇔ t
2
+ 4t −5 = 0 ⇔

t = 1

t = −5
+) Với t = 1: x +
2
x
= 1 ⇔ x
2
−x + 2 = 0

vô nghiệm

+) Với t = −5: x +
2
x
= −5 ⇔ x
2
+ 5x + 2 = 0 ⇔ x =
−5 ±
√
17
2
b) x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả 2 vế của phương trình cho x
2
= 0 ta
được
2x
2
− 3x −3 +
3
x
+

2
x
2
= 0 ⇔ 2

x
2
+
1
x
2

− 3

x −
1
x

−3 = 0
Đặt t = x −
1
x
⇒ t
2
= x
2
+
1
x
2

− 2, thay vào phương trình ta có:
2 (t
2
+ 2) −3t − 3 = 0 ⇔ 2 t
2
− 3t + 1 = 0 ⇔


t = 1
t =
1
2
+) Với t = 1: x −
1
x
= 1 ⇔ x
2
− x −1 = 0 ⇔ x =
1 ±
√
5
2
+) Với t =
1
2
: x −
1
x
=
1

2
⇔ 2x
2
−x −2 = 0 ⇔ x =
1 ±
√
17
4
.
Ví dụ 1.5.4: Giải phương trình sau : x (x + 1 ) (x −3) (x − 2) = −2
Giải: Phương trình ⇔ (x
2
−2x) (x
2
− 2x −3) = −2
Đặt t = x
2
−2x. Phương trình trở thành:
t (t −3) = −2 ⇔ t
2
− 3t + 2 = 0 ⇔

t = 1
t = 2
+) Với t = 1: x
2
−2x = 1 ⇔ x
2
−2x −1 = 0 ⇔ x = 1 ±
√

2.
+) Với t = 2: x
2
−2x = 2 ⇔ x
2
−2x −2 = 0 ⇔ x = 1 ±
√
3.
Ví dụ 1.5.5: Giải phương trình (x −2) (x + 3) (x −1) (x + 6) = 21x
2
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 20 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
Th. s Đỗ Minh Tuân
1.6. Dấu của đa thức Chương 1. Phương trình đại số
Giải: Phương trình ⇔ (x
2
+ x − 6) (x
2
+ 5x −6) = 21x
2
Do x = 0 không là nghiệm của
phương trình nên chia cả 2 vế của phương trình cho x
2
= 0 ta được:

x + 1 −
6
x

x + 5 −
6

x

= 21
Đặt t = x −
6
x
thay vào phương trình ta có:
(t + 1) (t + 5) = 21 ⇔ t
2
+ 6t + 5 = 21
⇔ t
2
+ 6t −16 = 0 ⇔

t = −8
t = 2
+) Với t = −8: x −
6
x
= −8 ⇔ x
2
+ 8x −6 = 0 ⇔ x = −4 ±
√
22
+) Với t = 2: x −
6
x
= 2 ⇔ x
2
− 2x −6 = 0 ⇔ x = 1 ±

√
7
1.6 Dấu của đa th ức
1.6.1 Đa thức bậc 1 - bậc 2
❶ Dạng: P (x) = ax + b (a = 0). Ta có bảng xét dấu:
x
−∞
−
b
a
+∞
P (x) −sign(a)
0
+sign(a)
Ở đó sign(a) là dấu của a.
❷ Dạng P (x) = ax
2
+ bx + c (a = 0).
∆ = b
2
−4ac. Ta có các trường hợp sau:
+) ∆ < 0: Dấu của đa thức là:
x
−∞ +∞
P (x) +sign(a)
+) ∆ = 0: Dấu của đa thức là:
x
−∞
−
b

2a
+∞
P (x)
+sign(a)
0
+sign(a)
+) ∆ > 0: P(x) có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
. Dấu của đa thức là :
x
−∞
x
1
x
2
+∞
P (x) +sign(a)
0
−sign(a)
0
+sign(a)
☛ Chú ý: N
ếu P(x) là một đa thức bậc 2 ta luôn có:
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 21 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
Th. s Đỗ Minh Tuân
1.6. Dấu của đa thức Chương 1. Phương trình đại số
➤ P (x) > 0 ∀x ∈ R ⇔


∆ < 0
a > 0
➤ P (x) < 0 ∀x ∈ R ⇔

∆ < 0
a < 0
➤ P (x) ≥ 0 ∀x ∈ R ⇔

∆ ≤ 0
a > 0
Ví dụ 1.6.1: Xét dấu của các biểu thức sau:
a) P(x) = −2x + 3
b) P(x) = −x
2
+ 4x − 5
c) P(x) = 4x
2
− 12x + 9
d) P(x) = x
2
− x −6
e) P(x) = −2x
2
+ 3x + 2
Giải: a) P (x) = 0 ⇔ x =
3
2
, a = −2 < 0. Do đó dấu của P(x) là:
x
−∞

3
2
+∞
P (x)
+
0
−
b) ∆ = −4 < 0, a = −1 < 0, ta có dấu của P (x) là:
x
−∞ +∞
P (x) +
c) ∆ = 0, a = 4 > 0 và dấu của P(x) là:
x
−∞
3
2
+∞
P (x)
+
0
+
d) ∆ > 0, x
1
= 3, x
2
= −2, a = 1 > 0. Do đó dấu của P (x) là:
x
−∞
−2
3

+∞
P (x) +
0
−
0
+
e) ∆ > 0, x
1
= −
1
2
, x
2
= 2, a = −2 < 0. Do đó dấu của P (x) là:
x
−∞ −
1
2
2
+∞
P (x) −
0
+
0
−
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 22 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
Th. s Đỗ Minh Tuân
1.6. Dấu của đa thức Chương 1. Phương trình đại số
☞ Chú ý: Trong một bài toán thông thường không ai lại hỏi trực tiếp dấu của một đa thức
mà thường hỏi các câu hỏi về giải bất phương trình. Chúng ta cần xét dấu của các đa thức

tương ứng từ đó tìm thấy được tập nghiệm của bất phương trình. Chẳng hạn:
✍ −2x + 3 > 0 thì tập nghiệm S =

−∞;
3
2

.
✍ −2x + 3 ≤ 0 thì tập nghiệm S =

3
2
; +∞

✍ −x
2
+ 4x − 5 > 0 thì S = ∅
✍ −x
2
+ 4x − 5 ≥ 0 thì S = ∅
✍ −x
2
+ 4x − 5 < 0 thì S = R
✍ −x
2
+ 4x − 5 ≤ 0 thì S = R
✍ 4x
2
− 12x + 9 > 0 thì S = R\


3
2

.
✍ 4x
2
− 12x + 9 ≥ 0 thì S = R
✍ 4x
2
− 12x + 9 < 0 thì S = ∅
✍ 4x
2
− 12x + 9 ≤ 0 thì S =

3
2

✍ x
2
− x −6 > 0 thì S = (−∞; −2) ∪ (3; +∞)
✍ x
2
− x −6 ≥ 0 thì S = (−∞; −2] ∪[3; +∞)
✍ x
2
− x −6 < 0 thì S = (−2; 3)
✍ x
2
− x −6 ≤ 0 thì S = [−2; 3]
✍ −2x

2
+ 3x + 2 > 0 thì S =

−
1
2
; 2

✍ −2x
2
+ 3x + 2 ≥ 0 thì S =

−
1
2
; 2

✍ −2x
2
+ 3x + 2 < 0 thì S =

−∞; −
1
2

∪(2; +∞)
✍ −2x
2
+ 3x + 2 ≤ 0 thì S =


−∞; −
1
2

∪[2;
+∞)
Ví dụ 1.6.2: Cho tam thức bậc 2: P (x) = (3m − 1)x
2
− 2(m + 1)x + 2
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 23 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
Th. s Đỗ Minh Tuân
1.6. Dấu của đa thức Chương 1. Phương trình đại số
a) Tìm m để P (x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.
b) Tìm m để f(x) =

P (x) xác định trên R.
c) Tìm m để f(x) = ln P(x) xác định trên R.
Giải: a) Ta có ∆

= (m + 1)
2
− 2(3m −1) = m
2
− 4m + 3.
Để phương trình P (x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔


∆

> 0
a = 0
⇔

m
2
−4m + 3 > 0
3m − 1 = 0
⇔








m > 3
m < 1
m =
1
3
⇔





m > 3



m < 1
m =
1
3
b) f(x) =

P (x) xác định trên R ⇔ P (x) ≥ 0 ∀x ∈ R.
+) Nếu 3m −1 = 0 ⇔ m =
1
3
khi đó:
P (x) = −
8
3
x + 2, rõ ràng P(3) = −6 < 0 nên P(x) ≥ 0 không đúng với mọi x ∈ R.
+) Nếu 3m −1 = 0 . Khi đó P (x) là một đa thức bậc 2 do đó:
P (x) ≥ 0 ∀x ∈ R ⇔

∆

≤ 0
a > 0
⇔

m
2

− 4m + 3 ≤ 0
3m − 1 > 0
⇔



1 ≤ m ≤ 3
m >
1
3
⇔ 1 ≤ m ≤ 3
Kết luận: 1 ≤ m ≤ 3 thỏa mãn điều kiện bài toán.
c) f(x) = ln P (x) xác định trên R ⇔ P (x) > 0 ∀x ∈ R
+) Nếu 3m −1 = 0 ⇔ m =
1
3
khi đó:
P (x) = −
8
3
x + 2, rõ ràng P(3) = −6 < 0 nên P(x) > 0 không đúng với mọi x ∈ R.
+)Nếu 3m −1 = 0. Khi đó P(x) là một đa thức bậc 2 do đó:
P (x) > 0 ∀x ∈ R ⇔

∆

> 0
a > 0
⇔


m
2
− 4m + 3 > 0
3m − 1 > 0
⇔



1 < m < 3
m >
1
3
⇔ 1 < m < 3
Kết luận: 1 < m < 3 thỏa mãn điều kiện bài toán.
1.6.2 Đa thức - Phân thức tổng quát
☞ Đa thức bậc n: P (x) = a
n
x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ ···+ a
1
x + a
0
.
☞ Phân thức hữu tỷ: f(x) =
P (x)

Q(x)
. Tro
ng đó P (x), Q(x) là các đa thức.
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 24 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
Th. s Đỗ Minh Tuân
1.6. Dấu của đa thức Chương 1. Phương trình đại số
Định lý 1 (Định lý cơ bản Đại số). Cho P (x) là một đa thức bất kỳ thì P (x) sẽ ph ân tích thành
tích các đa thức bậc nhất và đa thức bậc 2. Hơn thế nữa các đa thức bậc đều có ∆ < 0
Định lý 2. Cho f(x) =
P (x)
Q(x)
là m ột phâ n thức hữu tỷ nào đó. Khi đó trên khoảng giữa 2 không
điểm liên tiếp của f (x), hàm f(x) chỉ mang m ột dấu.
Không điểm là nh ững giá trị của x mà P (x) = 0, hoặc Q(x) = 0.
Định lý 3. Cho f(x) =
P (x)
Q(x)
, khi biến x chạy qua không điểm bội chẵn thì f(x) không đổi dấu,
còn qua không điểm bộ i lẻ thì f(x) đổi dấu
x
0
là không điểm bội chẵn (t.ư lẻ) của f(x) nếu nó là một không điểm của f(x) và f(x) chứa
nhân tử (x − x
0
)
k
với k ∈ Z và k là số chẵn (t.ư lẻ).
☞ Cách xét dấu phân thức hữu tỷ: Để xét dấu của một phân thức hữu tỷ ta phân tích
các đa thức của tử và mẫu thành tích các đa thức bậc 1 , và bậc 2. Các đa thức bậc 2 nếu
có ∆ ≥ 0 ta phân tích chúng thành tích các đa thức bậc 1, còn nếu ∆ < 0 ta thay thế đa

thức đó bởi hệ số của hạng tử bậc 2. Cuối cùng ta được phân thức chỉ còn tích các đa thức
bậc 1. Dùng các định lý ở trên để xét dấu.
Ví dụ 1.6.3: Xét dấu của biểu thức sau:
a) f(x) =
(x + 1 )
2
.(x − 2)
3
. (2x −1)
(x
2
+ 2x + 2)
7
(2x + 1)
5
(1 − 4x) (−x
2
+ 4x − 5)
3
b) f(x) =
√
x
2
−4x + 3. (2x
2
−5x + 2)
Giải: a) Giải các phương trình:
+) x + 1 = 0 ⇔ x = −1.
+) x −2 = 0 ⇔ x = 2.
+) 2x −1 = 0 ⇔ x =

1
2
+) x
2
+ 2x + 2 = 0, ∆ < 0, a = 1.
+) 2x + 1 = 0 ⇔ x = −
1
2
+) 1 −4x = 0 ⇔ x =
1
4
+) −x
2
+ 4x − 5 = 0, ∆ < 0, a = −1.
Do đó dấu của f(x) là dấu của g(x) với:
g(x) =
(x + 1)
2
(x − 2)
3
(2x − 1)
1
7
(2x + 1)
5
(1 − 4x) (−1)
3
= −
(x + 1)
2

(x − 2)
3
(2x − 1)
(2x + 1)
5
(1 − 4x)
Các không điểm x = −1; 2;
1
2
; −
1
2
;
1
4
. Ta
có bảng dấu:
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 25 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định