tài liệu ôn thi toán cao cấp - định thức

ĐỊNH THỨC
TRONG MỤC NÀY,
CHÚNG TA CHỈ XEM XÉT
CÁC MA TRẬN VUÔNG
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

ĐỊNH THỨC
Định thức cấp 1
[ ]
11
A a=
det A
[ ]
11
a=
11
a=
[ ]
11 11
a a ≠
[ ]
2 2− = − 2 2− =
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

ĐỊNH THỨC
Định thức cấp 2
11 12
21 22
a a
A

a a
 
=
 
 
11 12
21 22
a a
det A
a a
=
( )
( )
sin cos
cos sin
α π − α
α π − α
11 22 21 12
aa a a= −
sin cos
cos sin
α − α
=
α α
2 2
sin cos 1= α + α =
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

ĐỊNH THỨC
Định thức cấp 3

11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
 
 
=
 
 
 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
det A a a a
a a a
= =
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
11 12
21 22
31 32
a a
a a

a a
11 22 33
a a a
12 23 31
a a a+
13 21 32
a a a+
31 22 13
a a a−
32 23 11
a a a−
33 21 12
a a a−
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

ĐỊNH THỨC
Định thức cấp 3
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
det A a a a
a a a
= =
11 22 33
a a a
12 23 31
a a a+
13 21 32
a a a+

31 22 13
a a a−
32 23 11
a a a−
33 21 12
a a a−
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

ĐỊNH THỨC
Định thức cấp 3
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
det A a a a
a a a
= =
11 22 33
a a a
12 23 31
a a a+
13 21 32
a a a+
31 22 13
a a a−
32 23 11
a a a−
33 21 12
a a a−
i 1 i 1 i

1 i i 1 i
1 i 1 i i
?
− +
+ − =
− +
( )
2
i 2 6i 6i 4 7i= − + + − = − −
( ) ( )
( )
3 3
3 2
i 1 i 1 i 3i 1 i− −+ + + −
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

ĐỊNH THỨC
11 22 33 12 23 31 13 2 31 22 13 32 23 11 31 32 3 21 12
a a a a a a a a a a a a a a a aa a= + + − − −
11 22 33 12 23 3132 23 11 33 21 12 31 22 113 21 32 3
a a a a aa a a a a a a aa a aa a= − + − + −
( ) ( ) ( )

11 22 33 32 23 12 33 21 23 31 13 21 32 31 22
a a a a a a a a a a a a a a a= − − − + −
( ) ( ) ( )
22 23 21 23
1 2 3
1 2
21 2

1 1 1
1 1
2
32 33 31 33 31 3
31
2
a a a a a a
1 a 1 a 1 a
a a a a a a
+ + +
= − + − + −
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
Định thức cấp 3
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

ĐỊNH THỨC
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
Định thức cấp 3
( ) ( ) ( )
22 23 21 23

1 2 3
1 2
21 2
1 1 1
1 1
2
32 33 31 33 31 3
31
2
a a a a a a
1 a 1 a 1 a
a a a a a a
+ + +
= − + − + −
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

ĐỊNH THỨC
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
Định thức cấp 3
( ) ( ) ( )
22 23 21 23
1 2 3
1 2
21 2
1 1 1

1 1
2
32 33 31 33 31 3
31
2
a a a a a a
1 a 1 a 1 a
a a a a a a
+ + +
= − + − + −
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

ĐỊNH THỨC
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
Định thức cấp 3
( ) ( ) ( )
22 23 21 23
1 2 3
1 2
21 2
1 1 1
1 1
2
32 33 31 33 31 3
31

2
a a a a a a
1 a 1 a 1 a
a a a a a a
+ + +
= − + − + −
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

ĐỊNH THỨC
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
Định thức cấp 3
( ) ( ) ( )
22 23 21 23
1 2 3
1 2
21 2
1 1 1
1 1
2
32 33 31 33 31 3
31
2
a a a a a a
1 a 1 a 1 a
a a a a a a

+ + +
= − + − + −
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

ĐỊNH THỨC
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
Định thức cấp 3
( ) ( ) ( )
22 23 21 23
1 2 3
1 2
21 2
1 1 1
1 1
2
32 33 31 33 31 3
31
2
a a a a a a
1 a 1 a 1 a
a a a a a a
+ + +
= − + − + −
( ) ( ) ( )
1 2 3

1 1
1 1 1
1 1 1 1 12 2 3 31
1 a M 1 a M 1 a M
+ + +
= − + − + −
( ) ( ) ( )
1 2 3
1 1
i i i
i i i i i2 2 3 3i
1 a M 1 a M 1 a M
+ + +
= − + − + −
(Khai triển theo hàng 1)
(Khai triển theo hàng i)
i = 1,2,3
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

ĐỊNH THỨC
Định thức cấp n
11 12 1n
21 22 2n
1 2 n
n
i i
1 n2 nn
i
a a a
a a a

a a a
a a a
K
K
M M M
K
M M M
K
( ) ( ) ( )
i i i
i i i i
1 2 n
1 1 2 2 in in
1 a M 1 a M 1 a M
+ + +
= − + − + + −K K
(Khai triển theo hàng i)
i = 1,2, … ,n
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

ĐỊNH THỨC
Định thức cấp n
1 0 0 1
1 1 0 0

0 1 1 0
0 0 1 1
?=
( ) ( )

1 1 1 4
11 14
1 .1.M 1 .1.M
+ +
− + −
(Khai triển theo dòng 1)
11
1 0 0
M 1 1 0 1
0 1 1
= =
14
1 1 0
M 0 1 1 1
0 0 1
= =
1.1.1 1.1.1 0= − =
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN
t
det A det A=
tính chất đúng cho hàng của định thức
Tính chất 1
(cột)
1 4 1 2
2 3 4 3
=
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN
11 12 1n 11 12 1n
21 22 2n 21 22 2n
i1 i2 in i1 i2 in
n1 n2 nn n1 n2 nn
a a a a a a
a a a a a a

a a a a a a
a a a a a
k k
a
k
k
= ×
K K
K K
M M M M M M
K K
M M M M M M
K K
Tính chất 2
( )
ij
3
A a ; det A 5 2 ? det A
 
= = → =
 
11 12 13

21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
2 2 2
2 2 2
2 2 2
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
2 2
2 2 2
2 2
=
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a
2
a a
2
2 2
2
=

det A 8.5 40
3
2= = =
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN
Tính chất 3
11 12 1n
n
i1 i2 i
1 n2 nn
1 ni i2 in
c c
a a a
a a a
b cb b+ + +
K
M M M
K
M M M
K
i1 i2 ii1 i2 in
11 12 1n 11 12 1n
n1 n2 nn n1 n2 nn
n
a a a a a a
a
c c cb b b
a a a a a
= +

K K
M M M M M M
K K
M M M M M M
K K
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN
Tính chất 4
1j
2
1i
2i
11 1n
21 2n
n1 n
j
nji nn
a
a
a
a
a a
a a
a a aa
K K K
K K K
M
K K K
MMM

1i1j
2 j
n
11 1n
21 2n
n1 nn
2i
nj i
a
a
a a
a a
a
a
aa aa
= −
K K K
K K K
M M
K K K
MM
c c
i j
↔
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN
Tính chất 5
a a
b

k
kb
z zk
0=
K K K
K K K
M M
K K K
cột i
cột j
Trường hợp k = 1
a a a a
b b b b
z z z z
−=
K K K K K K
K K K K K K
M M M M
K K K K K K
Trường hợp k ≠ 0 bất kỳ
k
k
k
a a a a
b b b b
0
z z z zk
= × =
K K K K K K
K K K K K K

M M M M
K K K K K K
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN
Tính chất 6
11 1j 1n
21 2 j 2n
1i
2
n1
i
n nj nni
a a a
a a a
a a
a
a a
a
K K K
K K K
M M M
K K K
M
1i 1i
2i 2i
ni ni
11 1j 1n
21 2 j 2n
n1 nj nn

aa a a
a a
a
a
a a a
a a
k
k
k aa
+
+
=
+
K K K
K K K
M
K
M M M
K K
x
x k
+
+
c c c
j j i
k→ +
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN
Tính chất 7

11 12 1n
22 2n
nn
a a a
a a0
0 a0
M MM
K
K
K
( )
33 34 3n
2 2
44 4n
11 22
nn
a a a
a a
a a
a
0
0 0
1
+
= −
M MM
K
K
K
=K K K

( )
22 23 2n
1 1
33 3n
11
nn
a a a
a a
a
0
1
a0 0
+
= −
K
K
K
MM M
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN
Tính chất 7
11
22
11 22 nn
12 1n
2n
nn
a
a

a a . .a
0
0
a a
0 a
a
=
K
K
K
MM M
K
11
22
11 22 nn
nn
21
n1 n2
a
a a
a
a
a a . .a
a
0 0
0
=
K
K
K

M M
K
M
(tc 1)
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

MỘT VÀI VÍ DỤ
0 0 3
0 2 4
1 5 6
?=
1 5 6
0 2 4
0 0 3
−
1.2.3 6−= = −
Ví dụ 1
1 3
h h↔
(tc 5) (tc 7)
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

MỘT VÀI VÍ DỤ
Ví dụ 2
7 8 5 4
1 2 9 4

1 0 3 4
1 0 0 4
?=

0 6.2.3.4= +
(tc 4)
(tc 3)
(tc 7)
1 6 8 5 4
1 0 2 9 4
1 0 0 3 4
1 0 0 0 4
+
+
+
+
1 2 3 4 6 2 3 4
1 2 3 4 0 2 3 4
1 0 3 4 0 0 3 4
1 0 0 4 0 0 0 4
= +
144=
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

MỘT VÀI VÍ DỤ
Ví dụ 3
Giải phuơng trình tìm x:
1 2
1 3 5 0
4 9 15
x x x
x x x
x x x
+ +

+ + + =
+ + +
1 2
VT 1 2 3
4 8 13
x x x+ +
=
1 2
1 2 3
0 0 1
x x x+ +
=
( )
3 3
1
1 .1. 1
1 2
x x
x
+
+
= − = −
(tc 6)
2 2 1
h h h→ −
3 3 1
h h h→ −
(tc 6)
3 3 2
h h h

4
→
−
(Khai triển theo hàng 3)
(*)
( )
* 1 0 1x x⇔ − = ⇔ =
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công