Tài liệu ôn thi Toán lớp 12: Tích phân

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 1
Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân
1. Các giới hạn đặc biệt:
a)
®
=
x0
sinx
lim1
x

Hệ quả:
®
=
x0
x
lim1
sinx

®
=
u(x)0
sinu(x)
lim1
u(x)

®
=
u(x)0
u(x)

lim1
sinu(x)

b)
x
x
1
lim1e,xR
x
®¥
ỉư
+=Ỵ
ç÷
èø

Hệ quả:
1
x
x0
lim(1x)e.
®
+=

x0
ln(1x)
lim1
x
®
+
=

x
x0
e1
lim1
x
®
-
=

2. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và các hệ quả:
(c)’ = 0 (c là hằng số)
1
(x)'x
aa-
=a
1
(u)'uu'
aa-
=a
2
11
'
xx
ỉư
=-
ç÷
èø

2

1u'
'
uu
ỉư
=-
ç÷
èø

( )
1
x'
2x
=

( )
u'
u'
2u
=

xx
(e)'e=
uu
(e)'u'.e=
xx
(a)'a.lna=
uu
(a)'a.lna.u'=
1
(lnx)'

x
=
u'
(lnu)'
u
=
a
1
(logx')
x.lna
=
a
u'
(logu)'
u.lna
=
(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu
2
2
1
(tgx)'1tgx
cosx
==+
2
2
u'
(tgu)'(1tgu).u'
cosu
==+
2

2
1
(cotgx)'(1cotgx)
sinx
-
==-+
2
2
u'
(cotgu)'(1cotgu).u'
sinu
-
==-+
3. Vi phân:
Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a ; b) và có đạo hàm tại x(a;b)Ỵ . Cho số
gia Dx tại x sao cho xx(a;b)+DỴ . Ta gọi tích y’.Dx (hoặc f’(x).Dx) là vi phân của
hàm số y = f(x) tại x, ký hiệu là dy (hoặc df(x)).
dy = y’.Dx (hoặc df(x) = f’(x).Dx
Áp dụng đònh nghóa trên vào hàm số y = x, thì
dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx
Vì vậy ta có: dy = y’dx (hoặc df(x) = f’(x)dx)
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 2
NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN



1. Đònh nghóa:
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) nếu mọi x
thuộc (a ; b), ta có: F’(x) = f(x).

Nếu thay cho khoảng (a ; b) là đoạn [a ; b] thì phải có thêm:
F'(a)f(x)vàF'(b)f(b)
+-
==

2. Đònh lý:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) thì :
a/ Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên
khoảng đó.
b/ Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) đều có thể
viết dưới dạng: F(x) + C với C là một hằng số.
Người ta ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là
f(x)dx.
ò
Do
đó viết:
f(x)dxF(x)C=+
ò

Bổ đề: Nếu F¢(x) = 0 trên khoảng (a ; b) thì F(x) không đổi trên khoảng đó.

3. Các tính chất của nguyên hàm:
·
( )
f(x)dx'f(x)=
ò

·
af(x)dxaf(x)dx(a0)=¹
òò

·
[ ]
f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx+=+
òòò

·
[ ] [ ]
f(t)dtF(t)Cfu(x)u'(x)dxFu(x)CF(u)C(uu(x))=+Þ=+=+=
òò


4. Sự tồn tại nguyên hàm:
· Đònh lý: Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.
§Bài 1: NGUYÊN HÀM
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 3
BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM

Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp
thường gặp
Nguyên hàm của các hàm số hợp
(dưới đây u = u(x))
dxxC=+
ò

duuC=+
ò

1

x
xdxC(1)
1
a+
a
=+a¹-
a+
ò

1
u
uduC(1)
1
a+
a
=+a¹-
a+
ò

dx
lnxC(x0)
x
=+¹
ò

du
lnuC(uu(x)0)
u
=+=¹
ò

xx
edxeC=+
ò

uu
edueC=+
ò

x
x
a
adxC(0a1)
lna
=+<¹
ò

u
u
a
aduC(0a1)
lna
=+<¹
ò

cosxdxsinxC=+
ò

cosudusinuC=+
ò

sinxdxcosxC=-+
ò

sinuducosuC=-+
ò

2
2
dx
(1tgx)dxtgxC
cosx
=+=+
òò

2
2
du
(1tgu)dutguC
cosu
=+=+
òò

2
2
dx
(1cotgx)dxcotgxC
sinx
=+=-+
òò

2
2
du
(1cotgu)ducotguC
sinu
=+=-+
òò

dx
xC(x0)
2x
=+>
ò

du
uC(u0)
2u
=+>
ò

1
cos(axb)dxsin(axb)C(a0)
a
+=++¹
ò

1
sin(axb)dxcos(axb)C(a0)
a

+=-++¹
ò

dx1
lnaxbC
axba
=++
+
ò

axbaxb
1
edxeC(a0)
a
++
=+¹
ò

dx2
axbC(a0)
a
axb
=++¹
+
ò


Tích phân Trần Só Tùng
Trang 4

Vấn đề 1: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA

Bài toán 1: CMR F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b)
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b)
+ Bước 2: Chứng tỏ rằng F'(x)f(x)vớix(a;b)="Ỵ
Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau:
+ Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b)
Xác đònh F’(a
+
)
Xác đònh F’(b
–
)
+ Bước 2: Chứng tỏ rằng
F'(x)f(x),x(a;b)
F'(a)f(a)
F'(b)f(b)
+
-
="Ỵ
ì
ï
=
í
ï
=
ỵ

Ví dụ 1: CMR hàm số:
2
F(x)ln(xxa)=++ với a > 0
là một nguyên hàm của hàm số
2
1
f(x)
xa
=
+
trên R.
Giải:
Ta có:
2
2
2
22
2x
1
(xxa)'
2xa
F'(x)[ln(xxa)]'
xxaxxa
+
++
+
=++==
++++

2

222
xax1
f(x)
xa(xxa)xa
++
===
++++

Vậy F(x) với a > 0 là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R.
Ví dụ 2: CMR hàm số:
x
2
ekhix0
F(x)
xx1khix0
ì
³
ï
=
í
++<
ï
ỵ

Là một nguyên hàm của hàm số
x
ekhix0
f(x)
2x1khix0
ì

³
=
í
+<
ỵ
trên R.
Giải:
Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp:
a/ Với
x0¹
, ta có:

x
ekhix0
F'(x)
2x1khix0
ì
>
=
í
+<
ỵ

b/ Với x = 0, ta có:
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 5
· Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x
0
= 0.

20
x0x0
F(x)F(0)xx1e
F'(0)limlim1.
x0x
--
-
®®
-++-
===
-

· Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x
0
= 0.

x0
x0x0
F(x)F(0)ee
F'(0)limlim1.
x0x
++
+
®®
--
===
-

Nhận xét rằng F'(0)F'(0)1F'(0)1.
-+

==Þ=
Tóm lại:
x
ekhix0
F'(x)f(x)
2x1khix0
ì
³
==
í
+<
ỵ

Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R.

Bài toán 2: Xác đònh các giá trò của tham số để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
trên (a ; b).
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b)
+ Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là:
F'(x)f(x)vớix(a;b)="Ỵ
Dùng đồng nhất của hàm đa thức Þ giá trò tham số.
Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau:
+ Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b)
Xác đònh F’(a
+
)
Xác đònh F’(b
–

)
+ Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là:

F'(x)f(x),x(a;b)
F'(a)f(a)
F'(b)f(b)
+
-
="Ỵ
ì
ï
=
í
ï
=
ỵ
Þ giá trò của tham số.

Bài toán 3: Tìm hằng số tích phân
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
· Dùng công thức đã học, tìm nguyên hàm: F(x) = G(x) + C
· Dựa vào đề bài đã cho để tìm hằng số C.
Thay giá trò C vào (*), ta có nguyên hàm cần tìm.

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 6
Ví dụ 3: Xác đònh a , b để hàm số:
2
xkhix1
F(x)

axbkhix1
ì
£
=
í
+>
ỵ

là một nguyên hàm của hàm số:
2xkhix1
f(x)
2khix1
£
ì
=
í
>
ỵ
trên R.
Giải:
Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp:
a/ Với x1¹ , ta có:
2xkhix1
F'(x)
2khix1
<
ì
=
í
>

ỵ

b/ Với x = 1, ta có:
Để hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, trước hết F(x) phải liên tục tại x = 1, do
đó :
x1x1
limF(x)limF(x)f(1)ab1b1a(1)
-+
®®
==Û+=Û=-
· Đạo hàm bên trái của hàm số y = F(x) tại điểm x = 1.

2
x1
x1
f(x)F(1)x1
F'(1)=limlim2.
x1x1
-
®
®
--
==
--

· Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x
0
= 0.

x1x1x1

F(x)F(1)axb1ax1a1
F'(1)limlimlima.
x1x1x1
+++
+
®®®
-+-+--
====
---

Hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1 F'(1)F'(1)a2.
-+
Û=Û= (2)
Thay (2) vào (1), ta được b = –1.
Vậy hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, nếu và chỉ nếu a = 2, b = –1.
Khi đó: F’(1) = 2 = f(1)
Tóm lại với a = 2, b = 1 thì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).
Ví dụ 4: Xác đònh a , b , c để hàm số:
-
=++
22x
F(x)(axbxc)e là một nguyên hàm của
22x
F(x)(2x8x7)e
-
=--+ trên R.
Giải:
Ta có:
2x22x
F'(x)(2axb)e2(axbxc)e

--
=+-++
22x
2ax2(ab)xb2ce
-
éù
=-+-+-
ëû

Do đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên R
F'(x)f(x),xRÛ="Ỵ
Û-+-+-=-+-"Ỵ
22
2ax2(ab)xb2c2x8x7,xR

a1a1
ab4b3
b2c7c2
==
ìì
ïï
Û-=Û=-
íí
ïï
-=-=
ỵỵ

Vậy
-
=-+

22x
F(x)(x3x2)e .
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 7
BÀI TẬP
Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số
x
F(x)lntg
24
p
ỉư
=+
ç÷
èø

Từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số
1
f(x)
cosx
= .
Bài 2. Chứng tỏ rằng hàm số
2
ln(x1)
,x0
F(x)
x
0,x0
ì
+
¹

ï
=
í
ï
=
ỵ

là một nguyên hàm của hàm số
2
22
2ln(x1)
,x0
f(x)
x1x
1,x0
ì
+
-¹
ï
=
+
í
ï
=
ỵ

Bài 3. Xác đònh a, b, c sao cho hàm số
2x
F(x)(axbxc).e
-

=++ là một nguyên hàm của
hàm số
2x
f(x)(2x5x2)e
-
=-+ trên R.
ĐS: a = –2 ; b = 1 ; c = –1.
Bài 4. a/ Tính nguyên hàm
32
2
x3x3x7
F(x)củaf(x)vàF(0)8.
(x1)
++-
==
+

b/ Tìm nguyên hàm F(x) của
2
x
f(x)sinvàF.
224
pp
ỉư
==
ç÷
èø

ĐS: a/
2

x8
F(x)x;
2x1
=++
+
b/
1
F(x)(xsinx1)
2
=-+
Bài 5. a/ Xác đònh các hằng số a, b, c sao cho hàm số:

2
F(x)(axbxc)2x3=++- là một nguyên hàm của hàm số:

2
20x30x73
f(x)trênkhoảng;
2
2x3
-+
ỉư
=+¥
ç÷
èø
-

b/ Tìm nguyên hàm G(x) của f(x) với G(2) = 0.
ĐS: a/ a4;b2;c1;==-= b/
2

G(x)(4x2x10)2x322.=-+--








Tích phân Trần Só Tùng
Trang 8
Vấn đề 2: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG VIỆC SỬ DỤNG BẢNG
CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

Ví dụ 1: CMR , nếu
f(x)dxF(x)C=+
ò
thì
1
f(axb)dxF(axb)Cvớia0.
a
+=++¹
ò

Giải:
Ta luôn có:
1
f(axb)dxf(axb)d(axb)vớia0.
a
+=++¹

Áp dụng tính chất 4, ta được:
11
f(axb)dx(axb)d(axb)F(axb)C(đpcm)
aa
+=++++
òò
.
Ghi chú: Công thức trên được áp dụng cho các hàm số hợp:

f(t)dtF(t)Cf(u)duF(u)C,vớiuu(x)=+Þ=+=
òò

Ví dụ 2: Tính các tích phân bất đònh sau:
a/
3
(2x3)dx+
ò
b/
4
cosx.sinxdx
ò
c/
x
x
2e
dx
e1+
ò
d/
2

(2lnx1)
dx
x
+
ò

Giải:
a/ Ta có:
44
33
11(2x3)(2x3)
(2x3)dx(2x3)d(2x3).CC.
2248
++
+=++=+=+
òò

b/ Ta có:
5
44
cosx
cosx.sinxdxcosxd(cosx)C
5
=-=-+
òò

c/ Ta có:
xx
x
xx

2ed(e1)
dx22ln(e1)C
e1e1
+
==++
++
òò

d/ Ta có:
2
23
(2lnx1)11
dx(2lnx1)d(2lnx1)(2lnx1)C.
x22
+
=++=++
òò

Ví dụ 3: Tính các tích phân bất đònh sau:
a/
2
x
2sindx
2
ò
b/
2
cotgxdx
ò
c/

tgxdx
ò
d/
3
tgx
dx
cosx
ò

Giải:
a/ Ta có:
2
x
2sindx(1cosx)dxxsinxC
2
=-=-+
òò

b/ Ta có:
2
2
1
cotgxdx1dxcotgxxC
sinx
ỉư
=-=--+
ç÷
èø
òò

c/ Ta có:
sinxd(cosx)
tgxdxdxlncosxC
cosxcosx
==-=-+
òòò

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 9
d/ Ta có:
3
3443
tgxsinxd(cosx)11
dxdxcosxCC.
cosxcosxcosx33cosx
-
==-=-+=-+
òòò

Ví dụ 4: Tính các tích phân bất đònh sau:
a/
2
x
dx
1x+
ò
b/
2
1
dx

x3x2-+
ò

Giải:
a/ Ta có:
2
2
22
x1d(1x)1
dxln(1x)C
1x21x2
+
==++
++
òò

b/ Ta có:
2
1111
dxdxdx
x3x2(x1)(x2)x2x1
ỉư
==-
ç÷
-+----èø
òòò


x2
lnx2lnx1ClnC.

x1
-
=---+=+
-


BÀI TẬP
Bài 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số:
a/
2
x
f(x)cos;
2
= b/
3
f(x)sinx.
ĐS: a/
1
(xsinx)C;
2
++ b/
3
1
cosxcosxC.
3
-++
Bài 7. Tính các tích phân bất đònh :
a/
xx
e(2e)dx;

-
-
ò
b/
x
x
e
dx;
2
ò
c/
2xxx
x
2.3.5
dx
10
ò
.
d/
25x
x
e1
dx;
e
-
+
ò
e/
x
x

e
dx
e2+
ò

ĐS: a/
x
2exC;-+ b/
x
x
e
C;
(1ln2)2
+
-
c/
x
6
C
ln6
+
d/
26xx
1
eeC;
6
--
--+ e/
x
ln(e2)C++.

Bài 8. Tính các tích phân bất đònh :
a/
44
xx2dx
-
++
ò
; b/
3
5
xxdx
ò
; c/
2
xx1dx+
ò
;
d/
2001
(12x)dx;-
ò
e/
34lnx
dx
x
-
ò

ĐS: a/
3

x1
C;
3x
-+ b/
57
5
xC;
7
+ c/
22
1
(x1)x1C
3
+++ ;
d/
2002
1(12x)
.C;
22002
-
-+ e/
1
(34lnx)34lnxC.
6
+++
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 10

Vấn đề 3: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH

Phương pháp phân tích thực chất là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu
thức dưới dấu tích phân thành tổng các biểu thức mà nguyên hàm của mỗi biểu thức đó
có thể nhận được từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết.
Chú ý quan trọng: Điểm mấu chốt là phép phân tích là có thể rút ra ý tưởng cho riêng
mình từ một vài minh hoạ sau:
· Với
3263
f(x)(x2)thìviếtlạif(x)x4x4.=-=-+
· Với
2
x4x52
f(x)thìviếtlạif(x)x3
x1x1
-+
==-+
--
.
· Với
2
111
f(x)thìviếtlạif(x)
x5x6x3x2
==-
-+--

· Với
11
f(x)thìviếtlạif(x)(32x2x1)
2
2x132x

==--+
++-

· Với
xx2xxx
f(x)(23)thìviếtlạif(x)42.69.=-=-+
· Với
3
f(x)8cosx.sinxthìviếtlạif(x)2(cos3x3cosx).sinx==+
2cos3x.sinx6cosx.sinxsin4xsin2x3sin2xsin4x2sin2x.=+=-+=+
·
22
tgx(1tgx)1=+-
·
22
cotgx(1cotgx)1=+-
·
n2
n
22
x(1x)11
x
1x1x
++
=+
++
.
Đó chỉ là một vài minh hoạ mang tính điển hình.

Ví dụ 1: Tính tích phân bất đònh:

2002
Ix(1x)dx.=-
ò

Giải:
Sử dụng đồng nhất thức : x = 1 – (1 – x)
ta được:
2002200220022003
x(1x)[1(1x)](1x)(1x)(1x).-=---=---
Khi đó:

2002200320022003
20032004
I(1x)dx(1x)dx(1x)d(1x)(1x)d(1x)
(1x)(1x)
C.
20032004
=---=---+--
--
=-++
òòòò


Tổng quát: Tính tích phân bất đònh:
Ix(axb)dx,vớia0
a
=+¹
ò

Sử dụng đồng nhất thức:

11
x.ax[(axb)b]
aa
==+-
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 11
Ta được:

1
11
x(axb)[(axb)b)(axb)[(axb)d(axb)(axb)d(ax d)]
aa
aaa+a
+=+-+=++-++
òò

Ta xét ba trường hợp :
· Với a = 2, ta được:
12
2
1
I[(axb)d(axb)(axb)d(axb)]
a
--
=++-++
òò


2
11

[lnaxb]C.
aaxb
=+++
+

· Với a = –1, ta được:

1
22
11
I[d(axb)(axb)d(axb)][axblnaxb]C.
aa
-
=+-++=+-++
òò

· Với R\{2;1},-- ta được:
21
2
1(axb)(axb)
I[]C.
a21
a+a+
++
=++
a+a+


Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh:
2

dx
I
x4x3
=
-+
ò

Giải:
Ta có:
2
111(x1)(x3)111
..
x4x3(x3)(x1)2(x3)(x1)2x3x1
---
ỉư
===-
ç÷
-+------
èø

Khi đó:
--
ỉư
=-=-=---+
ç÷
----èø
òòòò
1dxdx1d(x3)d(x1)1
I.['.(lnx3lnx1)C
2x3x12x3x12

-
=+
-
1x3
lnC.
2x1


Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh:
dx
I
x2x3
=
++-
ò

Giải:
Khử tính vô tỉ ở mẫu số bằng cách trục căn thức, ta được:

11
22
33
11
I(x2x3)dx[(x2)d(x2)(x3)d(x3)]
55
2
[(x2)(x3)]C.
15

=++-=+++--
=++-+
òòò

Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh:
2
dx
I.
sinx.cosx
=
ò

Giải:
Sử dụng đồng nhất thức:
22
sinxcosx1,+=
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 12
Ta được:
22
2222
2
1
1sinxcosxsinx1sinx1
2
..
xx
sinx.cosxsinx.sinxcosxsinxcosx
costg
22

+
==+=+
Suy ra:
22
2
x
1
dtg
sinxd(cosx)1x
2
2
IdxdxlntgC.
xxx
cosxcosxcosx2
costgtg
222
ỉư
ç÷
èø
=+=-+=++
òòòò

Ví dụ 5: Tính tích phân bất đònh:
4
dx
I.
cosx
=
ò

Giải:
Sử dụng kết quả:
2
dx
d(tgx)
cosx
=
ta được:
223
22
1dx1
I.(1tgx)d(tgx)d(tgx)tgxd(tgx)tgxtgxC.
cosxcosx3
==+=+=++
òòòò


BÀI TẬP
Bài 9. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a/
23
f(x)(12x);=- b/
3x2
3
2xxe3x
f(x)
x
--
= ;
c/

2
(2x)
f(x);
x
+
=
d/
1
f(x)
3x43x2
=
+-+

ĐS: a/
357
128
x2xxxC
57
-+-+ ; b/
x
4
elnxC;
3xx
--++

c/
3322
6
243
6xxxxxC;

75
+++ d/
33
1
(3x4)(3x2)C.
9
éù
-+++
ëû

Bài 10. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a/
2
1
f(x);
x6x5
=
-+
b/
2
4x6x1
f(x);
2x1
++
=
+

c/
32
4x4x1

f(x);
2x1
+-
=
+
d/
3
2
4x9x1
f(x);
94x
-++
=
-

ĐS: a/
1x5
lnC;
4x1
-
+
-
b/
2
1
x2xln2x1C;
2
+-++
c/
32

2111
xxxln2x1C
3224
+--++; d/
2
x12x3
lnC.
2122x3
-
-+
+

Bài 11. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
Tran Sú Tuứng Tớch phaõn
Trang 13
a/
2
(sinxcosx);+ b/ cos2x.cos2x;
34
pp
ổửổử
-+
ỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ
c/
3
cosx;
d/

4
cosx; e/
44
sinxcosx;+ f/
66
sin2xcos2x.+

ẹS: a/
1
xcos2xC
2
-+ ; b/
171
sin5xsinxC
1012212
pp
ổửổử
++-+
ỗữỗữ
ốứốứ

c/
31
sinxsin3xC;
412
++ d/
311
xsin2xsin4xC;
8431
+++

e/
3sin4x
xC;
416
++ f/
53
xsin8xC.
864
++
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 14

Vấn đề 4: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân bất
đònh. Phương pháp đổi biến số để xác đònh nguyên hàm có hai dạng dựa trên đònh lý sau:
Đònh lý:
a/ Nếu
f(x)dxF(x)Cvàu(x)=+=j
ò
là hàm số có đạo hàm thì
f(u)duF(u)C=+
ò
.
b/ Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = j(t) trong đó j(t) cùng với đạo hàm của nó
(j’(t) là những hàm số liên tục, ta sẽ được:
f(x)dxf[(t)].'(t)dt.=jj
òò

Từ đó ta trình bày hai bài toán về phương pháp đổi biến như sau:
Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tích tích phân bất đònh

If(x)dx.=
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Chọn x = j(t), trong đó j(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp.
+ Bước 2: Lấy vi phân dx = j’(t)dt
+ Bước 3: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
+ Bước 4: Khi đó
Ig(t)dt.=
ò

Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:
Dấu hiệu Cách chọn
22
ax-
xasintvớit
22
xxcostvới0t
pp
é
=-££
ê
ê
=££p
ê
ë

22
xa-

a
xvớit;\{0}
sint22
a
xvớit[0;]\{}
cost2
é pp
éù
=Ỵ-
ê
êú
ëû
ê
p
ê
=Ỵp
ê
ë

22
ax+
xatgtvớit
22
xacotgtvới0t
pp
é
=-<<
ê
ê
=<<p

ê
ë

axax
hoặc
axax
+-
-+

x = acos2t
(xa)(bx)--
x = a + (b – a)sin
2
t

Ví dụ 1: Tính tích phân bất đònh:
2
dx
I.
(1x)
=
-
ò

Giải:
Đặt xsint;t
22
pp
=-<<
Trần Só Tùng Tích phân

Trang 15
Suy ra:
32
23
dxcostdtdt
dxcostdt&d(tgt)
costcost
(1x)
====
-

Khi đó:
2
x
Id(tdt)tgtCC.
1x
==+=+
-
ò

Chú ý: Trong ví dụ trên sở dó ta có:
233
2
x
(1x)costvàtgt
1x
-==
-

là bởi:

2
22
costcost
tcost0
22
cost1sint1x
ì
=
pp
ï
-<<Þ>Þ
í
=-=-
ï
ỵ

Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh:
2
2
xdx
I
x1
=
-
ò

Giải:
Vì điều kiện x1> , ta xét hai trường hợp :
· Với x > 1
Đặt:

1
x;0t
sin2t4
p
=<< Suy ra:
2
2cos2tdt
dx
sin2t
=
ú
2222
333
2
xdx2dt2(costsint)dt
sin2t8sintcost
x1
+
=-=-
-


22
222
1111
(cotgt.tgt.)dt
4sintcostsintcost
11121
(cotgt.tdt.)
4sintcosttgtcost

1d(tgt)
[cotgt.d(cotgt)tgt.d(tgt)2].
4tgt
=-++
=-++
=--++

Khi đó:
1d(tgt)
I[cotgt.d(cotgt)tgt.d(tgt)2]
4tgt
=--++
òòò


2222
22
11111
(cotgttgt2lntgt)C(cotgttgt)lntgtC
42282
11
xx1lnxx1C.
22
=--+++=--+
=----+

· Với x < –1 Đề nghò bạn đọc tự làm
Chú ý: Trong ví dụ trên sở dó ta có:
2222
cotgttgt4xx1vàtgtxx1-=-=--

là bởi:
442
22
22222
costsint4cos2t41sin2t41
cotgttgt1
cost.sintsin2tsin2tsin2tsin2t
--
-====-
tgt =
-
===-
22
2
sint2sint1cos2t1cos2t
cost2sint.costsin2tsin2t
sin2t
= --
2
11
1
sin2t
sin2t

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 16
Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh:
23
dx
I

(1x)
=
+
ò

Giải:
Đặt: xtgt;t
22
pp
=-<< . Suy ra:
3
22
23
dtdxcostdt
dx&costdt.
costcost
(1x)
===
+

Khi đó:
2
x
IcostdtsintCC
1x
==+=+
+
ò

Chú ý:

1. Trong ví dụ trên sở dó ta có:
22
1x
costvàsint
1x1x
==
++

là bởi:
2
2
costcost
tcost0
x
22
sinttgt.cost
1x
ì
=
pp
ï
-<<Þ>Þ
í
==
ï
+
ỵ

2. Phương pháp trên được áp dụng để giải bài toán tổng quát:

222k1
dx
I,vớikZ.
(ax)
+
=Ỵ
+
ò


Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tích tích phân
If(x)dx.=
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Chọn t = y(x), trong đó y(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp
+ Bước 2: Xác đònh vi phân =ydt'(x)dx.
+ Bước 3: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
+ Bước 4: Khi đó
Ig(t)dt.=
ò

Dấu hiệu Cách chọn
Hàm số mẫu có t là mẫu số
Hàm số f(x,(x)j t(x)=j
Hàm
a.sinxb.cosx
f(x)
c.sinxd.cosxe
+
=
++

xx
ttg(vớicos0)
22
=¹
Hàm
1
f(x)
(xa)(xb)
=
++

· Với x + a > 0 & x + b > 0, đặt:
txaxb=+++
· Với x + a < 0 & x + b < 0, đặt:
txaxb=-+--

Trần Só Tùng Tích phân

Trang 17
Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh:
328
Ix(23x)dx.=-
ò

Giải:
Đặt:
2
t23x=- . Suy ra: dt6xdx=

328228898
2t2t11
x(23x)dxx(23x)xdx.t.dt(t2t)dt.
33618
--
ỉư
-=-==-=-
ç÷
èø

Khi đó:
98109109
111211
I(t2t)dtttCttC
181810918081
ỉư
=-=-+=-+
ç÷
èø

ò

Ví dụ 5: Tính tích phân bất đònh:
2
xdx
I
1x
=
-
ò

Giải:
Đặt:
2
t1xx1t=-Þ=-
Suy ra:
222
42
xdx(1t)(2tdt)
dx2tdt&2(t2t1)dt
t
1x
--
=-==-+
-

Khi đó:
425342
122
I2(t2t1)dt2tttC(3t10t15)tC

5315
ỉư
=-+=--++=--++
ç÷
èø
ò

22
22
[3(1x)10(1x)15]1xC(3x4x8)1xC
1515
=----+-+=-++-+

Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh:
522
3
Ix(12x)dx.=-
ò

Giải:
Đặt:
3
3 22
1t
t12xx
2
-
=-Þ= . Suy ra:
2
3

2xdxttdt,
2
=-

3
5222222274
33
1t33
x(12x)dxx(12x)xdx.ttdt(tt)dt.
248
-
ỉư
-=-=-=-
ç÷
èø

Khi đó:
7485632
33113
I(tt)dtttC(5t8t)tC
8885320
ỉư
=-=-+=-+
ç÷
èø
ò


22222
3

3
[5(12x)8(12x)](12x)C
320
=----+

4222
3
3
(20x4x3)(12x)C.
320
=---+
Ví dụ 7: Tính tích phân bất đònh:
3
Isinxcosxdx.=
ò

Giải:
Đặt:
2
tcosxtcosx=Þ=
dt = sinxdx,
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 18

322
462
sinxcosxdxsinxcosxsinxdx(1cosx)cosxsinxdx
(1t).t.(2tdt)2(tt)dt.
==-
=-=-

Khi đó:
627362
112
I2(tt)dt2ttC(3t7t)tC
7321
ỉư
=-=-+=-+
ç÷
èø
ò


3
2
(cosx7cosx)cosxC.
21
=-+
Ví dụ 8: Tính tích phân bất đònh:
3
2
cosx.sinxdx
I
1sinx
=
+
ò

Giải:
Đặt:

22
t1xx1tat1sinx=-Þ=-=+
Suy ra: dt2sinxcosxdx,=

32
22
cosx.sinxdxsinx.cosx.sinxdx(t1)dt11
1dt.
1sinx1sinx2t2t
-
ỉư
===-
ç÷
++
èø

Khi đó:
22
111
I1dtf12(tlntC[1sinxln(1sinx)]C
2t2
ỉư
=-=-+=+-++
ç÷
èø
ò

Ví dụ 9: Tính tích phân bất đònh:
2
8

cosxdx
I.
sinx
=
ò

Giải:
Đặt: t = cotgx
Suy ra:
2
1
dtdx,
sinx
=-

22
2222
862422
222
cosxdxcosxdx1dxdx
cotgxcotgx.(1cotgx)
sinxsinxsinxsinxsinxsinx
t.(1t)dt.
===+
=+

Khi đó:
22642753
121
It.(1t)dt(t2tt)dttttC

753
ỉư
=+=++=+++
ç÷
èø
òò


753
1
(15cotgx42cotgx35cotgx)C.
105
=+++
Ví dụ 10: Tính tích phân bất đònh:
xx/2
dx
I
ee
=
-
ò

Giải:
Đặt:
x/2
te
-
=

Suy ra:

x/2
x/2
1dx
dtedx2dt,
2e
=-Û-=

x/2
xx/2xx/2x/2x/2
dxdxedx2tdt1
2(1)dt
eee(1e)e(1e)1tt1
-
--
-
====+
-----

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 19
Khi đó:
x/2x/2
1
I21dt2(elne1)C.
t1
--
ỉư
=+=+++
ç÷
-

èø
ò

Chú ý: Bài toán trên đã dùng tới kinh nghiệm để lựa chọn cho phép đổi biến
x/2
te,
-
=
tuy nhiên với cách đặt
x/2
te=
chúng ta cũng có thể thực hiện được bài toán.
Ví dụ 11: Tính tích phân bất đònh:
x
dx
I
1e
=
+
ò
.
Giải:
Cách 1:
Đặt:
x2x
t1et1e=+Û=+
Suy ra:
x
222
x

2tdtdx2tdt2tdt
2tdtedxdx&.
t1t(t1)t1
1e
=Û===
---
+

Khi đó:
x
2
x
dtt11e1
I2lnClnC
t1t1
1e1
-+-
==+=+
-+
++
ò

Cách 2:
Đặt:
x/2
te
-
=
Suy ra:
x/2

x/2
1dx
dtedx2dt,
2e
-
=Û-=

xxxx/2x2
dxdxdx2dt
1ee(e1)ee1t1
--
-
===
++++

Khi đó:
2x/2x
2
dt
I22lntt1C2lnee1C
t1
--
=-=-+++=-+++
+
ò

Ví dụ 12: Tính tích phân bất đònh:
2
dx
I,vớia0.

xa
=¹
+
ò
.
Giải:
Đặt:
2
txxa=++
Suy ra:
2
222
xxaxdxdt
dt1dxdx
t
xaxaxa
++
ỉư
=+=Û=
ç÷
+++
èø

Khi đó:
2
dt
IlntClnxxaC.
t
==+=+++
ò

Ví dụ 13: Tính tích phân bất đònh:
dx
I
(x1)(x2)
=
++
ò
.
Giải:
Ta xét hai trường hợp:
· Với
x10
x1
x20
+>
ì
Û>-
í
+>
ỵ

Đặt: tx1x2=+++
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 20
Suy ra:
11(x1x2)dxdx2dt
dtdx
t
2x12x22(x1)(x2)(x1)(x2)

+++
ỉư
=+=Û=
ç÷
++++++
èø

Khi đó:
dt
I22lntC2lnx1x2C
t
==+=++++
ò

· Với
x10
x2
x20
+<
ì
Û<-
í
+<
ỵ

Đặt: t(x1)(x2)=-++-+
Suy ra:
[(x1)(x2)]dx
11
dtdx

2(x1)2(x2)2(x1)(x2)
-++-+
éù
=--=
êú
-+-+++
ëû


dx2dt
t
(x1)(x2)
Û=-
++

Khi đó:
dt
I22lntC2ln(x1)(x2)C
t
=-=-+=--++-++
ò

BÀI TẬP
Bài 12. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
29
f(x)x(x1);=- b/
4
10
x

f(x);
x4
=
-
c/
2
3
xx
f(x);
(x2)
-
=
-
d/
2
4
x1
f(x);
x1
-
=
+

ĐS: a/
121110
121
(x1)(x1)(x10)C.
121110
-+-+-+ b/
5

5
1x2
lnC.
20x2
-
+
+

c/
2
2x5
lnx2C;
(x2)
-
--+
-
d/
2
2
1xx21
lnC.
22xx21
-+
+
++

Bài 13. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
2
2x

f(x);
xx1
=
+-
b/
223
1
f(x)(a0)
(xa)
=>
+
; c/
32
1
f(x).
xx
=
-

ĐS: a/
323
22
x(x1)C;
33
--+ b/
222
x
C;
axa
+

+

c/
3
66
x
6xlnx1C.
2
ỉư
++-+
ç÷
èø

Bài 14. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
5
3
cosx
f(x);
sinx
=
b/
1
f(x)
cosx
= ; c/
3
sinxcosx
f(x)
sinxcosx

+
=
-
;
d/
3
cosx
f(x);
sinx
= e/
4
1
f(x).
sinx
=
ĐS: a/
2148
333
333
sinxsinxsinxC;
2144
+-+
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 21
b/
x
lntgC;
24
p
ỉư

++
ç÷
èø
c/
3
3
1sin2xC;
2
-+
d/
2
1
lnsinxsinxC;
2
-+ e/
3
1
cotgxcotgxC.
3
--+
Bài 15. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
2x
1
f(x);
1e
=
+
b/
x

x1
f(x);
x(1xe)
+
=
+

c/
xx
xx
2.3
f(x);
94
=
-
d/
1
f(x);
xlnx.ln(lnx)
=

ĐS: a/
x2x
ln(ee1)C;
--
-+++ b/
x
x
xe
lnC;

1xe
+
+

c/
xx
xx
132
,lnC;
2(ln3ln2)32
-
+
-+
d/ lnln(lnx)C.+

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 22
Vấn đề 5: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Công thức tính tích phân từng phần: udvuvvdu.=-
òò

Bài toán 1: Sử dụng công thức tích phân từng phần xác đònh If(x)dx.=
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng:
12

If(x)dxf(x).f(x)dx.==
òò

+ Bước 2: Đặt:
1
2
uf(x)
du
dvf(x)dxv
=
ì
ì
Þ
íí
=
ỵ
ỵ

+ Bước 3: Khi đó: Iuvvdu.=-
ò

Ví dụ 1: Tích tích phân bất đònh:
2
2
xln(xx1)
I
x1
++
=
+

ò
.
Giải:
Viết lại I dưới dạng:
2
2
x
Iln(xx1)dx.
x1
=++
+
ò

Đặt :
2
2
22
2
2
1x
uln(xx1)
dx
x1
du
x
xx1x1
dv
x1
vx1
+

ì
ì
ï
=++
+
ï
ï
==
Þ
íí
+++
=
ïï
+
ỵ
ï
=+
ỵ

Khi đó:
2222
Ix1ln(xx1)dxx1ln(xx1)xC.=+++-=+++-+
ò

Ví dụ 2: Tích tích phân bất đònh: Icos(lnx)dx.=
ò

Giải:
Đặt :
1

ucos(lnx)
dusin(lnx)dx
x
dvdx
vx
-
ì
=
=
ì
ï
Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ỵ

Khi đó: Ixcos(lnx)sin(lnx)dx.=+
ò
(1)
Xét Jsin(lnx)dx.=
ò

Đặt:
1
usin(lnx)
ducos(lnx)dx
x

dvdx
vx.
ì
=
=
ì
ï
Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ỵ

Khi đó: Jx.sin(lnx)cos(lnx)dxx.sin(lnx)I=-=-
ò
(2)
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 23
Thay (2) vào (1), ta được:
x
Ix.cos(lnx)x.sin(lnx)II[cos(lnx)sin(lnx)]C.
2
=+-Û=++
Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu tính giá trò của một cặp tích phân:
12
Isin(lnx)dxvàIcos(lnx)dx==
òò

ta nên lựa chọn cách trình bày sau:
· Sử dụng tích phân từng phần cho I
1
, như sau:
Đặt :
1
usin(lnx)
ducos(lnx)dx
x
dvdx
vx
ì
=
=
ì
ï
Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ỵ

Khi đó:
12
Ix.sin(lnx)cos(lnx)dxx.sin(lnx)I.(3)=-=-
ò

· Sử dụng tích phân từng phần cho I

2
, như sau:
Đặt :
1
ucos(lnx)
dusin(lnx)dx
x
dvdx
vx
ì
=
=-
ì
ï
Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ỵ

Khi đó:
21
Ix.cos(lnx)sin(lnx)dxx.cos(lnx)I.(4)=-=+
ò

· Từ hệ tạo bởi (3) và (4) ta nhận được:

12
xx
I[sin(lnx)cos(lnx)]C.I[sin(lnx)cos(lnx)] C.
22
=-+=++

Ví dụ 3: Tích tích phân bất đònh:
2
ln(cosx)
Idx.
cosx
=
ò

Giải:
Đặt :
2
uln(cosx) sinx
dudx
cosx
dx
dv
vtgx
cosx
=
ì ì
=-
ïï
Þ
íí

=
ïï
=
ỵ
ỵ

Khi đó:
2
2
1
Iln(cosx).tgxtgxdxln(cosx).tgx1dx
cosx
ỉư
=+=+-
ç÷
èø
òò

ln(cosx).tgxtgxxC.=+-+

Bài toán 2: Tính IP(x)sinxdx(hoặcP(x)cosxdx)=aa
òò
với P là một đa thức thuộc
*
R[X]vàR.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 24
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
· Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần). Ta thực hiện theo các bước sau:

+ Bước 1: Đặt :
duP'(x)dx
uP(x)
.
1
dvsinxdx
vcosx
=
ì
=
ì
ï
Þ
íí
=a
=-a
ỵ
ï


+ Bước 2: Khi đó:
11
IP(x)cosP'(x).cosx.dx.=-a+a
aa
ò

+ Bước 3: Tiếp tục thủ tục trên ta sẽ “khử” được đa thức.
· Cách 1: (Sử dụng phương pháp hệ số bất đònh). Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Ta có: IP(x)cosxdxA(x)sinxB(x)cosxC.(1)=a=a+a+
ò

trong đó A(x) và B(x) là các đa thức cùng bậc với P(x).
+ Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được:
P(x).cosx[A'(x)B(x)].sin[A(x)B'(x)].cosx (2)a=+a++
Sử dụng phương pháp hệ số bất đònh ta xác đònh được các đa thức A(x) và B(x)
+ Bước 3: Kết luận.
Nhận xét: Nếu bậc của đa thức P(x) lớn hơn hoặc bằng 3 ta thấy ngay cách 1 tỏ ra quá
cồng kềnh, vì khi đó ta cần thực hiện thủ tục lấy tích phân từng phần nhiều hơn ba lần.
Do đó ta đi tới nhận đònh chung sau:
– Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn hoặc bằng 2, ta lựa chọn cách 1.
– Nếu bậc của P(x) lớn hơn 2, ta lựa chọn cách 2.
Ví dụ 4: Tính :
2
Ix.sinxdx=
ò
(ĐHL_1999)
Giải:
Biến đổi I về dạng cơ bản:

2
1cos2x1111
Ixdxxdxxcos2xdxxxcos2xdx(1)
22242
-
ỉư
==-=-
ç÷
èø
òòòò

Xét Jxcos2xdx.=
ò

Đặt :
2
dx
dudx
ux
x1
dvcos2xdx
1
vsin2x
2
ì
==
ï
=
ì
ï
+
Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ï
ỵ

Khi đó:

x1x1
Jsin2xsin2xdxsin2xcos2xC.
2224
=-=++
ò
(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
2
1x1
Ixsin2xcos2xC.
448
=+++
Ví dụ 5: Tính :
32
I(xx2x3)sinxdx.=-+-
ò

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 25
Giải:
Ta có:
32
I(xx2x3)sinxdx=-+-
ò


3232
11112222
(axbxcxd)cosx(axbxcxd)sinxC(1)=++++++++
Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được:

3232
2121212
32
1212121
(xx2x3)sinx[ax(3ab)x(2bc)xcd].cosx
[ax(3ab)x(2bc)xcd].sinx(2)
-+-=++++++-
-----+-

Đồng nhất đẳng thức, ta được:

22
1221
1221
1221
a0a1
3ab03ab1
(I)và(II)
2bc02bc2
cd0cd3
=-=
ìì
ïï
+=-=-
ïï
íí
+=-=
ïï
ïï

+=-+=-
ỵỵ

Giải (I) và (II), ta được:
11112222
a1,b1,c4,d1,a0,b3,c2,d4.=-======-=-
Khi đó:
322
I(xx4x1)cosx(3x2x4)sinxC.=-++++-++

Bài toán 3: Tính
( )
axax
Iecos(bx)dxhoặcesin(bx)vớia,b0.=¹
òò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
· Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần). Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Đặt :
ax
ax
dubsin(bx)dx
ucos(bx)
.
1
ve
dvedx
a
=-

ì
=
ì
ï
Þ
íí
=
=
ỵ
ï
ỵ

Khi đó:
axax
1b
Iecos(bx)esin(bx)dx.(1)
aa
=+
ò

+ Bước 2: Xét
ax
Jesin(bx)dx.=
ò

Đặt
ax
ax
dubcosx(bx)dx
usin(bx)

1
ve
dvedx
a
=
ì
=
ì
ï
Þ
íí
=
=
ỵ
ï
ỵ

Khi đó:
axaxax
1b1b
Jesin(bx)ecos(bx)dxesin(bx)I.(2)
aaaa
=-=-
ò

+ Bước 3: Thay (2) vào (1), ta được:
ãax
1b1b
Iecos(bx)[esin(bx)I]
aaaa

=+-

ax
22
[a.cos(bx)b.sin(bx)e
IC.
ab
+
Û=+
+

· Cách 2: (Sử dụng phương pháp hằng số bất đònh). Ta thực hiện theo các bước :
+ Bước 1: Ta có:
axax
Iecos(bx)dx[Acos(bx)B.sin(bx)]eC.(3)==++
ò

trong đó A, B là các hằng số.