tài liệu ôn thi toán cao cấp - độc lập tuyến tính tối đại

HỆ CON ĐLTT TỐI ĐẠI
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
Xét hệ M gồm một số hữu hạn các vectơ trong KGVT V.
P M⊂
được gọi là hệ con ĐLTT tối đại nếu:Tập
1/ P ĐLTT
2/ Với mọi P’ thỏa
P P M⊆
′
⊂
/
thì P’ PTTT
Nhận xét: Nếu M ĐLTT thì M là hệ con ĐLTT tối đại
của chính nó.

Ví dụ: Tìm tất cả các hệ con ĐLTT tối đại
( ) ( ) ( ) ( )
3
x y z2/ 1,2,3 ; 1,0,1 ; 2,4,6 ; 2,0,2 t nt ro g = = = = R
[ ]
2 2
1 0 2 0 3 0 4 0
3/ ; ; ; trong
0 0 0 0 0
A B C D
0 0
M
0
×
       

= = = =
       
       
R
[ ]
3
2 3 2
1/ 1 x x x ; 1 x x ; 1 x;f g h k 1 Ptrong x= + + + = + + = + =
HỆ CON ĐLTT TỐI ĐẠI
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
{ }
x, y
{ }
x,t
hoặc
{ }
y,z
hoặc
{ }
z,t
hoặc
{ }
A
hoặc
{ }
B
hoặc
{ }
C
hoặc

{ }
D
{ }
f,g,h,k

HẠNG CỦA HỆ VECTƠ
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
Định lý 1
Số lượng phần tử của các hệ con ĐLTT tối đại của M
luôn bằng nhau.
Con số không đổi này được gọi là hạng của hệ vectơ M (rank M)

Ví dụ: Tìm hạng của hệ vectơ
( ) ( ) ( ) ( )
3
x y z2/ 1,2,3 ; 1,0,1 ; 2,4,6 ; 2,0,2 t nt ro g = = = = R
[ ]
2 2
1 0 2 0 3 0 4 0
3/ ; ; ; trong
0 0 0 0 0
A B C D
0 0
M
0
×
       
= = = =
       
       

R
[ ]
3
2 3 2
1/ 1 x x x ; 1 x x ; 1 x;f g h k 1 Ptrong x= + + + = + + = + =
{ }
f,g,hrank ,k 4=
{ }
x, y,zrank ,t 2=
{ }
A,B,Crank ,D 1=
HẠNG CỦA HỆ VECTƠ
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

Phương pháp tìm
HẠNG CỦA HỆ VECTƠ
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
{ }
1 2 n
M x ,x , ,x= K
( )
( )
( )
1 2 k1 1 1 1
2 21 2 k
1 2
2 2
n n n kn
x a ,a , ,a
x a ,a , ,a

x a ,a , ,a
=
=
=
K
K
M
K

11 1 1
2 2 2
n n n
2 k
1 2 k
1 2 k
a a a
a a a
M
a a
rank
a
rank
 
 
 
=
 
 
 

K
K
M M M
K

HẠNG CỦA HỆ VECTƠ
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
Ví dụ: Tìm hạng của hệ vectơ
( ) ( ) ( ) ( )
3
2,4,6 ; 1,0,1 ; 1,2,3 ; 2,0,2 tr nx y t g z o= = = = R
4 4 2
2 2 1
1 3 3 3 1
2h h h
h h h
h h h h 2h
2 4 6 1 2 3 1 2 3
1 0 1 1 0 1 0 2 2
1 2 3 2 4 6 0 0 0
2 0 2 2 0 2 0 0 0
→ −
→ −
↔ → −
     
     
− −
     
→ →
     

     
     
{ }
x, y,zrank ,t 2=
(1)
(2)
(3)
(4)
(3)
(2)
(1)
(4)
(3)
(2)
(1)
(4)
Hơn nữa, ta còn có 1 hệ con ĐLTT tối đại là .
{ }
z, y