tài liệu ôn thi toán cao cấp - hạng của ma trận

HẠNG CỦA MA TRẬN
Định thức con của 1 ma trận
1 1 0 1 1
2 1 0 2 1
4 0 1 4 0
1 2 3 1 2
 
 
 
 
 
 
1 0
4 1

1 0 1
1 0 2
0 1 4

Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

HẠNG CỦA MA TRẬN
Định thức con của 1 ma trận
Mọi ĐT con cấp k = 0 Mọi ĐT con cấp cao hơn k = 0
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

HẠNG CỦA MA TRẬN
Định nghĩa
Xét tất cả các định thức con khác 0 của A
cấp của định thức lớn nhất trong số đó

A =

rank
Tìm hạng bằng định nghĩa
Tìm 1 định thức con cấp 1 khác 0 của A
nếu có
Tìm 1 định thức con cấp 2 khác 0 của A
nếu có
…………
Tìm được 1 định thức con cấp k khác 0 của A
Tất cả các định thức con cấp k+1 = 0
STOP !!!
STOP !!!
Giả sử
Nhưng
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

HẠNG CỦA MA TRẬN
1 1 0 1 1
2 1 0 2 1
4 0 1 4 0
1 2 3 1 2
A
 
 
 
=
 
 
 

Ví dụ
A = 3

rank
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

HẠNG CỦA MA TRẬN
Ma trận bậc thang
1 1 0 1 1
0 1 0 2 1
0 0 0 4 0
0 0 0 0 2
 
 
 
 
 
 
1 2 3 4 5 6 7
1 2 2 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 3
0 0 0 0 0 0 2
0 0 0 0 0 0 0
 
 
 
 
 
 
 

 
1 1 0 1 1
0 0 0 2 1
0 1 7 4 0
0 0 0 0 0
 
 
 
 
 
 
1 2 3 4 5 6 7
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 3
0 0 0 0 0 0 2
0 0 0 0 0 0 0
 
 
 
 
 
 
 
 
Hạng của MTBT = số dòng khác 0
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

HẠNG CỦA MA TRẬN
Các phép BĐSC
ji

h h↔
( )
0
i i
h h k k→ × ≠
( )
0
ji i
h h h k k→ + × ≠
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

HẠNG CỦA MA TRẬN
Định lý
Các PBĐSC không làm thay đổi hạng của ma trận.
Tìm hạng bằng các PBĐSC
Ma trận ban đầu
PBDSC
→
Ma trận bậc thang
Ví dụ:
1 2 3 4
A 1 0 1 2
3 2 5 8
 
 
=
 
 
 
2 2 1

3 3 1
3
1 2 3 4
0 2 2 2
0 4 4 4
→ −
→ −
 
 
→ − − −
 
− − −
 
 
h h h
h h h

3 3 2
2
1 2 3 4
0 2 2 2
0 0 0 0
→ −
 
 
→ − − −
 
 
 
h h h

A = 2

rank
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công