tài liệu ôn thi toán cao cấp - hệ phương trình tuyến tính
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (221.22 KB, 17 trang )
HỆ PHUƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
11 12 1n 1
21 22 2n 2
1 2
1 2 n
1
m m
2 n
m1 nm2 n
a a a b
a a a b
a a a b
x x x
x x x
x x x
+ + + =
+ + + =
+ + + =
K
K
M
K
m phương trình – n ẩn
Nghiệm của hệ là 1 bộ gồm n số
( )
1 2
, , ,
n
δ δ δK
thỏa m phương trình trên.
HỆ PHUƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
11 12 1n 1
21 22 2n 2
1 2
1 2 n
1
m m
2 n
m1 nm2 n
a a a b
a a a b
a a a b
x x x
x x x
x x x
+ + + =
+ + + =
+ + + =
K
K
M
K
11 12 1n
21 22 2n
1m m m2 n
a a a
a a a
A
a a a
=
K
K
M M M
K
1
2
n
X
x
x
x
=
M
m
1
2
b
b
B
b
=
M
A X B× =
HỆ PHUƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
11 12 1n 1 1
21 22 2
m m m
n 2 2
2 n n m1
a a a b
a a a b
a a a b
x
x
x
× =
K
K
M M M M M
K
A X B× =
11 1 12 2 1n n 1
21 1 22 2 2n n 2
1 1 2 2 nm m nm m
a a a b
a a a b
a a a b
x x x
x x x
x x x
+ + +
+ + +
=
+ + +
K
K
M M
K
HỆ CRAMER
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
11 12 1n 1
21 22 2n 2
1 2
1 2 n
1
n n
2 n
n1 nn2 n
a a a b
a a a b
a a a b
x x x
x x x
x x x
+ + + =
+ + + =
+ + + =
K
K
M
K
n phương trình – n ẩn và det(A) ≠ 0
HỆ CRAMER
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
Hệ Cramer có duy nhất 1 nghiệm
11 1 1n
21 2 2n
n n nn
j
1
j
j
a a a
a a a
A
a a a
=
K K
K K
M M M
K K
11 1 1n
21 2 2
j
j
j
n n nj
n
1 n
a a a
a a a
A
a a a
=
K K
K K
M M M
K K
1
2
n
b
b
b
M
với:Nghiệm của hệ Cramer là 1 bộ gồm n số
( )
1 2
, , ,
n
x x xK
j
j
det A
det A
x =
HỆ CRAMER
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
Ví dụ:
2 3 5 10
3 7 4 3
2 2 3
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
2 3 5
A 3 7 4
1 2 2
=
10
B 3
3
=
3 5
A 7 4
2 2
10
3
3
x
=
10
3
3
2 5
A 3 4
1 2
y
=
2 3
A 3 7
1 2
10
3
3
y
=
det A 3
x
=
det A 2
y
= −
det A 2
z
=
0det A 1 = ≠
det A
3
det A
x
x = =
det A
2
det A
y
y = = −
det A
2
det A
z
z = =
Vậy, nghiệm
của hệ là bộ:
( ) ( )
, , 3, 2,2x y z = −
HỆ CRAMER
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
Khối lượng tính toán
Số lượng (x,÷) cho 1 đt cấp n
( )
1 1 1 1
!
1! 2! 3! 1 !
n
n
+ + + +
−
K
Số lượng (+,−) cho 1 đt cấp n
! 1n −
Số lượng (x,÷) cho 1 hệ cấp n
( )
( )
1 1 1 1
1 !
1! 2! 3! 1 !
n n
n
+ + + + + +
−
K
Số lượng (+,−) cho 1 hệ cấp n
( ) ( )
1 ! 1n n+ − +
( )
3
1 !
2
n≥ +
HỆ CRAMER
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
Khối lượng tính toán
n
n
(+,
(+,
−
−
)
)
(x,
(x,
÷
÷
)
)
2 3 9
3 20 36
4 115 180
5 714 1080
10 39916789 59875200
30
≈ 2,7x10
32
≈ 123,3x10
32
10
9
phép tính/s
32
17
9
126 10
4 10
10 365 24 3600
×
×
× × ×
≈
(
(
năm
năm
)
)
3 bất lợi
PP KHỬ GAUSS
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
11 12 1n 1
21 22 2n 2
1 2
1 2 n
1
m m
2 n
m1 nm2 n
a a a b
a a a b
a a a b
x x x
x x x
x x x
+ + + =
+ + + =
+ + + =
K
K
M
K
11 12 1n
21 22
m m m
2n
1 2 n
a a a
a a a
a a a
K
K
M M M
K
2
m
1
b
b
b
M
B
A =
(ma trận các hệ số mở rộng)
PP KHỬ GAUSS
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
11 12 1n 1
21 22 2n 2
1 2
1 2 n
1
m m
2 n
m1 nm2 n
a a a b
a a a b
a a a b
x x x
x x x
x x x
+ + + =
+ + + =
+ + + =
K
K
M
K
Đổi chỗ hai phương
trình.
Nhân hai vế của 1 phương trình với 1 số ≠ 0.
Cộng trừ các vế tương ứng của 2 phương trình với nhau.
Ta được hệ mới tương đương với hệ đã cho.
Nhận xét:
Nhận xét: chỉ có các hệ số thay đổi
m m
11 12 1n 1
21 22 2n 2
1 2 mn m
a a a b
a a a b
a a a b
K
K
M M M M
K
Đổi chỗ hai hàng.
Nhân 1 hàng với 1 số ≠ 0.
Nhân 1 hàng với 1 số ≠ 0 đồng thời cộng vào hàng khác.
Các PBĐSC trên hàng
PP KHỬ GAUSS
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
Phương pháp
Gauss
Gauss
A
B
các PBĐSC trên hàng
MT bậc thang
A
B
C
D
rank(A) = rank(C)
rank(A
B
) = rank(C
D
)
CẨN THẬN KHI THỰC HiỆN
PBĐSC
TRÊN CỘT
TRÊN CỘT
PP KHỬ GAUSS
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
Ví dụ 1:
Ví dụ 1:
2 3 5 10
3 7 4 3
2 2 3
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
2 3 5 10
3 7 4 3
1 2 2 3
2 2 1
3 3 1
3
2
1 2 2 3
0 1 2 6
0 1 1 4
→ −
→ −
→ − −
−
h h h
h h h
1 3
1 2 2 3
3 7 4 3
2 3 5 10
↔
→
h h
3 3 2
1 2 2 3
0 1 2 6
0 0 1 2
→ +
→ − −
− −
h h h
2z =
2 6 2y z= − = −
3 2 2 3x y z= − − =
Vậy hệ có duy nhất 1 nghiệm:
( ) ( )
, , 3, 2,2x y z = −
PP KHỬ GAUSS
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
Ví dụ 2:
Ví dụ 2:
2 1
2 4 3
4 8 3 5
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
1 2 1 1
2 4 1 3
4 8 3 5
2 2 1
3 3 1
2
4
1 2 1 1
0 0 1 1
0 0 1 1
→ −
→ −
→ −
−
h h h
h h h
3 3 2
1 2 1 1
0 0 1 1
0 0 0 0
→ −
→ −
h h h
1z = −
2 1x y z+ + =
2 2x y+ =
Đặt
( )
y = α α∈R
2 2x = − α
Tập nghiệm của hệ là:
( )
2 2 , , 1 − α α − α∈
R
Vậy hệ có vô số nghiệm.
PP KHỬ GAUSS
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
Ví dụ 3:
Ví dụ 3:
2 1
2 4 3
4 8 3 6
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
1 2 1 1
2 4 1 3
4 8 3 6
2 2 1
3 3 1
2
4
1 2 1 1
0 0 1 1
0 0 1 2
→ −
→ −
→ −
−
h h h
h h h
3 3 2
1 2 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1
→ −
→ −
h h h
Vậy hệ vô nghiệm.
0 0 0 1 !!!x y z + + =
PP KHỬ GAUSS
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
1 2 2 3
0 1 2 6
0 0 1 2
− −
− −
1 2 1 1
0 0 1 1
0 0 0 0
−
1 2 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1
−
VD 1 VD 2 VD 3
rank(A) = rank(A
B
) rank(A) = rank(A
B
) rank(A) < rank(A
B
)= n < n
Nhận xét gì về hạng của A và A
B
?
Hệ
vô nghiệm
có vô số nghiệm
có nghiệm duy nhất ⇔
⇔
rank(A) = rank(A
B
) = n
rank(A) = rank(A
B
) < n
rank(A) < rank(A
B
)
Định lý Cronecker – Capelli
PP KHỬ GAUSS
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
Ví dụ:
Ví dụ:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 1
7 5 4
x x x x
x x x x m
m
x x x x
− + + =
+ − + =
+ − − =
1 2 1 2 1
1 1 1 1
1 7 5 1 4
m
m
−
−
− −
Tìm m để hệ vô nghiệm.
3 3 2
3
1 2 1 2 1
0 3 2 1 1
0 0 0 0 2
→ −
−
→ − − −
+
h h h
m
m
Hệ vô nghiệm
⇔
⇔
rank(A) < rank(A
B
)
2 0 2m m⇔ + = ⇔ = −
2 2 1
3 3 1
1 2 1 2 1
0 3 2 1 1
0 9 6 3 4 1
→ −
→ −
−
→ − − −
− − −
h h h
h h h
m
m
PP KHỬ GAUSS
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
Khối lượng tính toán
Số lượng (x,÷) cho 1 hệ cấp n
( )
2
3 1
3
n
n n+ −
Số lượng (+,−) cho 1 hệ cấp n
( )
2
2 3 5
6
n
n n+ −
n
n
(+,
(+,
−
−
)
)
(x,
(x,
÷
÷
)
)
2 3 6
3 11 17
4 26 36
5 50 65
10 375 430
30 9425 9890
