tài liệu ôn thi toán cao cấp - không gian véctơ

KHÔNG GIAN VECTƠ
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
V
≠ ∅
( )
: V V V
x, y x y
×+ →
+a
( )
: V V
,x x
×
α α
→
a
g R
1/ x y y x
+ = +
( ) ( )
2/ x y z x y z+ =+ + +
V V V
3/ O V : O x x O x+∈ = +∃ =
V
4/ x V, y V : x y y x O∀ ∈ ∃ ∈ += =+
5/ 1 x x=g
( )
7/ x x x+β =α α β+g g g
( )
8/ x y x y+ =α α α+g g g

( ) ( )
6/ x xα β β= αg gg g
( )
x,y,z V, ,α∀ ∈ ∀ β∈R
(+) và thỏa 8 điều kiện:
( )g
V được gọi là
không gian vectơ
trên trường số thực R

KHÔNG GIAN VECTƠ
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
Ví dụ 1:
( )
{ }
n
2 i1 n
x ,x , ,x x , i 1,n = ∈ ∀ =KR R
( ) ( ) ( )
1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
x ,x , ,x y ,y , , y x y ,x y , ,x y= ++ + +K K K
( ) ( )
1 2 n 1 2 n
x ,x , ,x x , x , , x… =λ λ λ λKg g gg
( ) ( )
i i
i 1,n i 1,n
1/ x y
= =
+

( )
i i
i 1,n
x y
=
= +
( ) ( )
i i
i 1,n i 1,n
y x
= =
+=
phép (+) trong R
có tính chất
giao hoán
Không gian vectơ trên trường số thực R
( )
i i
i 1,n
x y
=
= +

KHÔNG GIAN VECTƠ
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
Ví dụ 1:
( ) ( ) ( )
i i i
i 1,n i 1,n i 1,n
2/ x y z

= = =
+ +
 
 
( ) ( )
i i i
i 1,n i 1,n
x y z
= =
= ++
[ ]
( )
i i i
i 1,n
x y z
=
= + +
[ ]
( )
i i i
i 1,n
x y z
=
= + +
phép (+) trong R có
tính chất kết hợp
( ) ( )
i i i
i 1,n i 1,n
x y z

= =
+= +
( ) ( )
n
i 1,n
3 / O 0 0,0, 0
=
= = K
R
4/
( ) ( )
i 1 2 n
i 1,n
x x ,x , ,x
=
∀ = K
đều có phần tử đối là
( ) ( )
i 1 2 n
i 1,n
x x , x , , x
=
−=− − −K
( ) ( ) ( )
i i i
i 1,n i 1,n i 1,n
x y z
= = =
 
=

 
+ +

KHÔNG GIAN VECTƠ
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
Ví dụ 1:
( ) ( ) ( )
i i i
i 1,n i 1,n i 1,n
1 15/ x x x
= = =
= =g g
( )
i
i 1,n
6/ x
=
α β
 
 
g g
phép (.) trong R
có tính chất
kết hợp
[ ]
( )
i
i 1,n
x
=

= α βg g
[ ]
( )
i
i 1,n
x
=
= α βg g
[ ]
( )
i
i 1,n
x
=
= α β gg
( )
i
i 1,n
x
=
= α βgg

KHÔNG GIAN VECTƠ
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
Ví dụ 1:
[ ]
( )
i
i 1,n
7 / x

=
α β+ g
( )
i i
i 1,n
x x
=
= β+αg g
( ) ( )
i i
i 1,n i 1,n
x x
= =
+α β= g g
( ) ( )
i i
i 1,n i 1,n
x x
= =
+α β= g g
phép (.) trong R
phân phối với (+)
trong R
[ ]
( )
i
i 1,n
x
=
= α +β g

KHÔNG GIAN VECTƠ
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
Ví dụ 1:
( ) ( )
i i
i 1,n i 1,n
8/ x y
= =
+

α
 

g
phép (.) trong R
phân phối với (+)
trong R
[ ]
( )
i i
i 1,n
x y
=
= +αg
( )
i i
i 1,n
x y
=

= α+αg g
( ) ( )
i i
i 1,n i 1,n
x y
= =
+α α= g g
( ) ( )
i i
i 1,n i 1,n
x y
= =
+α α= g g
( )
i i
i 1,n
x y
=
= +αg

KHÔNG GIAN VECTƠ
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
Ví dụ 2:
[ ]
( )
{ }
2
n 2 n io 1
n
P x p x a a x a x a x a , 1,i n

= = + + + + ∈ ∀ =
K R
là tập tất cả các đa thức có bậc ≤ n
(+) là phép cộng 2 đa thức
(.) là phép nhân 1 số với 1 đa thức
là KGVT trên trường số thực R

KHÔNG GIAN VECTƠ
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
Bài tập 1:
Bài tập 1:
Sinh viên tự đọc và trình bày lại chứng minh
các tính chất cơ bản của 1 KGVT bất kỳ.
Bài tập 2:
Bài tập 2:
Sinh viên làm bài tập 4.1 ở sau chương 4.
Lưu ý:
Lưu ý:

phải kiểm tra từng bước như ví dụ 1.
Thời gian làm: 1 tuần kể từ ngày nhận bài tập.
Nộp riêng từng bài trên giấy A4 cho lớp trưởng.
Thầy chỉ nhận bản viết tay.