tài liệu ôn thi toán cao cấp - ma trận nghịch đảo

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
CỦA MA TRẬN VUÔNG
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
1
B A AB BA I
−
= ⇔ = =
def
Một vài tính chất
( )
1
1
A A
−
−
=
( ) ( )
1
1
t
t
A A
−
−
=
( )
1
1 1

B BA A
−
− −
=
( )
t
t t
AB B A=
tương tự
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Tìm ma trận nghịch đảo bằng công thức
b1. kiểm tra det(A) ≠ 0
b2.
tính các
( )
i j
ij ij
A 1 M
+
= −
b3.
sắp xếp các
ij
A
vào bảng (theo cột)
11 1 1
2 2 2
1

n n n
2 n
1 2 n
1 2 n
A A A
A A A
1
A
det A
A A A
−
 
 
 
= ×
 
 
 
K
K
M M M
K
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Ví dụ
1
4 3
A A
1 2

?
−
 
= → =
 
 
b1.
det A 5 0= ≠
b2.
( )
[ ]
1 1
11
A 1 2 2
+
= − =
( )
[ ]
1 2
12
A 1 1 1
+
= − = −
( )
[ ]
2 1
21
A 1 3 3
+
= − = −

( )
[ ]
2 2
22
A 1 4 4
+
= − =
b3.
1
A
−
=

1

5
 
×
 
 
2 1−
1−
3−
4
3
2
5 5
1 4
5 5
−

 
=
 
−
 
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Các phép biến đổi sơ cấp trên hàng
ji j i
Ah h E⇔ ×↔
0 1
1 0
0
0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1
1
1
1
0 0 0 0 0
0

E
ij
 
 
 
 
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
K
M M
K K
K
K
M M M M M M
K
K

K K
M M
O
O
O
K
cột i
cột j
hàng i
hàng j
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Các phép biến đổi sơ cấp trên hàng
( ) ( )
i i i
h a h Ea a0 A≠ ⇔
×
×↔
( )
a
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1
1
1

1
1
E a
i
 
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
 
K K
K K
M M M M M M
K K
K K
K K
M M M M M
K
O M
K
O
cột i
hàng i

Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Các phép biến đổi sơ cấp trên hàng
( ) ( )
i j iji
i E Ah ah h ja ⇔≠↔ + ×
×
( )
1
1
1
1
1
1
1
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
0 0 0
0
a
0 0
0
E
ij
a
 
 

 
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
K K
O
K
K
M M
O
O
M
cột j
hàng i
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Tìm ma trận nghịch đảo bằng các

PBĐSC
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a a
a a a
a a a
 
 
 
 
 
 
K
K
M M M
K
0 0
0 0

0
1
1
10







K
K
M M M
K
1
1


0 0
0

0 1
0

0
 
 
 
 
 
 
K
K
M M M
K
1
A
−
Biến đổi SC
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Tìm ma trận nghịch đảo bằng các
PBĐSC
A
1
P ×
2
P ×
K
P × ×K
I
1
P ×
2
P ×
K
P × ×K
Cùng lúc đó
Khi
K 2 1
P P P× × ×= K

K 1
1
2
P P P A
−
× × × =K
(2)

K 2 1
P P AP I× × × × =K
Mà
Vậy theo (2), ma trận đơn vị I đã bị thay đổi và trở thành
1
A
−
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Ví dụ
1
1 1 1
A 1 1 0 A
2 0 2
?
−
 
 
= − → =
 
 
 
( )
1 1 1
det A 1 1 0 1.1.2 2.1.1 2.1. 1 2 0
2 0 2
= − = − − − = ≠
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Ví dụ
1 1 1 1 0 0
1 1 0 0 1 0
2 0 2 0 0 1
 
 
−
 
 
 
1 2
h h
2 0 2 0 0 1
1 1 0 0 1 0
1 1 1 1 0 0
↔
 
 
→ −
 
 
 
1 2
1
2
1
2
h h
1 0 1 0 0

1 1 0 0 1 0
1 1 1 1 0 0
→
 
 
→ −
 
 
 
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Ví dụ
1 2
1
2
1
2
h h
1 0 1 0 0
1 1 0 0 1 0
1 1 1 1 0 0
→
 
 
→ −
 
 
 
2 2 1

3 3 1
1
2
1
2
1
2
h h h
h h h
1 0 1 0 0
0 1 1 0 1
0 1 0 1 0
→ +
→ −
 
 
→
 
 
−
 
3 3 2
1
2
1
2
h h h
1 0 1 0 0
0 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1

→ −
 
 
→
 
 
− − −
 
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Ví dụ
3 3 2
1
2
1
2
h h h
1 0 1 0 0
0 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1
→ −
 
 
→
 
 
− − −
 
3 3

1
2
1
2
h h
1 0 1 0 0
0 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1
→−
 
 
→
 
 
−
 
1 1 3
2 2 3
1
2
1
2
h h h
h h h
1 0 0 1 1
0 1 0 1 0
0 0 1 1 1 1
→ −
→ −
 

− −
 
→ −
 
 
−
 
= B
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Ví dụ
1
2
1
2
1 1 1 1 1
A B 1 1 0 1 0
2 0 2 1 1 1
× ×
− −
 
 
 
 
= − −
 
 
−
 

 
 
 
Kiểm tra kết quả
Vậy
1
2
1
1
2
1 1
A 1 0
1 1 1
−
− −
 
 
= −
 
−
 
 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
 
=
 
 

 
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
det A 0=
I
PBDSC
A →
impossible
impossible
???
???
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công