tài liệu ôn thi toán cao cấp - phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

PTTT – ĐLTT
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
1 2 n
x ,x , ,xK
PTTT
( ) ( )
1 2 n
, , , 0,0, ,0≠α α αK K
có bộ số
⇔
sao cho:
1 1 2 2 n n
x x x 0α + α + + α =K
1 2 n
x ,x , ,xK
ĐLTT
⇔
1 2 n
x ,x , ,xK
không PTTT
( ) ( )
1 2 n
, , , 0,0, ,0α α α ≠K K
không có bộ số
⇔
sao cho:
1 1 2 2 n n
x x x 0α + α + + α =K
1 2 n
x ,x , ,xK

ĐLTT
⇔
Nếu
1 1 2 2 n n
x x x 0α + α + + α =K
thì
1 2 n
0α = α = = α =K

PTTT – ĐLTT
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
Ví dụ 1: Trong , chứng minh
( ) ( ) ( )
x 1,2, 1,0 ; y 2,1,2,3 ; z 1,4, 7, 6= − = = − − −
4
R
PTTT.
Ta cần tìm 1 bộ số
( ) ( )
, , 0,0,0≠α β γ
sao cho
4
x y z Oα β γ+ + =
R
( ) ( ) ( ) ( )
1,2, 1,0 2,1,2,3 1,4, 7, 6 0,0,0,0α β γ − − − =+ +−
( ) ( )
2 ,2 4 , 2 7 ,3 6 0,0,0,0α β γ α β γ α β γ+ − + + − + − − =β γ
2 0
2 4 0

2 7 0
3 6 0
α β γ
α β γ
α β
+ −
γ
β γ
=


+ + =


− + − =


− =

( ) ( )
, , 3,2,1= −α β γ
là 1 bộ số thỏa (*)
(*)
Vậy 3 vectơ x, y, z PTTT.

PTTT – ĐLTT
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
Ví dụ 2: Trong , chứng minh
2
f 1; g 2 3x; h 1 3x x= = − = + +

[ ]
3
P x
ĐLTT.
Giả sử có bộ số
( )
, ,α β γ
sao cho
[ ]
3
P x
f g h Oα β γ =+ +
( ) ( )
2
2 3 3 x x 0 xα β γ β γ+ + + − + + = ∀γ
2 0
3 3 0
0
+ +α β γ
β γ
γ
=


− + =


=

0α β⇔ = γ= =

Vậy 3 vectơ đa thức f, g, h ĐLTT.

PTTT – ĐLTT
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
Ví dụ 3: Trong , xét xem
1 2 1 0 0 1
A ; B ; C
3 4 1 0 1 2
     
= = =
     
     
[ ]
2 2
M
×
R
PTTT hay ĐLTT.
Giả sử có bộ số
( )
, ,α β γ
sao cho
2 2
A B C O
×
α β γ =+ +
2 0 0
3 4 2 0 0
α β α γ
α β γ α γ

+ +
   
=
   
+ + +
   




0
2 0
3 0
2 0 4
α β
α γ
α β γ
α γ
+ =


+ =


+ + =


+ =

( ) ( )

, , 1, 1, 2= −α β −γ
là 1 bộ số thỏa (*)
(*)
Vậy 3 vectơ ma trận
A, B, C PTTT.

PTTT – ĐLTT
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
Định lý 1
Xét hệ M gồm một số hữu hạn các vectơ trong KGVT V
có ít nhất 1 vectơ biểu diễn được
qua các vectơ còn lại
M PTTT ⇔
1 2 1 0 0 1
A ; B ; C
3 4 1 0 1 2
     
= = =
     
     
Ví dụ: trong ví dụ 3, các vectơ ma trận
PTTT vì
A B 2C= +

PTTT – ĐLTT
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
Định lý 2
Xét hệ M gồm một số hữu hạn các vectơ trong KGVT V
U M⊂
M ĐLTT U ĐLTT

nên các hệ con
{ } { } { } { } { } { }
f ; g ; h ; f,g ; g,h ; h,f
cũng ĐLTT.
Ví dụ: trong ví dụ 2, ta đã chứng minh 3 vectơ
2
f 1; g 2 3x; h 1 3x x= = − = + +
ĐLTT
U PTTT M PTTT