TÍNH KHUNG PHẲNG CÓ NÚT NỬA CỨNG CHỊU TẢI TRỌNG NHIỆT

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010

69
TÍNH KHUNG PHẲNG CÓ NÚT NỬA CỨNG CHỊU TẢI TRỌNG NHIỆT
ANALYSING THE PLANAR FRAME WITH SEMI-RIGID CONNECTIONS
UNDER THERMAL LOADS

Đỗ Minh Đức
Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng

TÓM TẮT

Với yêu cầu tính toán kết cấu ngày càng phản ảnh chính xác hơn các phản ứng thực tế
của nó, báo cáo này trình bày cách tính khung phẳng có nút nửa cứng chịu tải trọng nhiệt bằng
phương pháp phần tử hữu hạn. Các ma trận độ cứng, vec tơ tải trọng, vec tơ tải trọng nhiệt của
phần tử thanh phẳng có liên kết góc quay đàn hồi tuyến tính tại hai đầu được thiết lập. Để
áp
dụng, tác giả ứng dụng phần mềm Matlab lập trình, phân tích và đánh giá nội lực và chuyển vị
cho một khung phẳng cụ thể có xét đến sự thay đổi của nhiệt độ và độ cứng của nút. Kết quả
đạt được góp phần bổ sung thêm vào thư viện các phần tử mẫu của phương pháp phần tử hữu
hạn và có thể phục vụ cho tính toán thiết kế cũng như
nghiên cứu kết cấu khung có nút nửa
cứng chịu tải trọng nhiệt.
ABSTRACT
The calculation of structural requirements has increasingly reflected more accurately its
real responses. This article presents the calculation of the planar frames with semi-rigid
connections by means of a finite element method. The stiffness matrix, the load vector and the
thermal load vector for a planar frame member in reference to the two linear elastic rotational
springs at both ends are established. For application, the author has used the Matlab Software
to programme, analyse and assess the internal force and displacement of a planar frame with a
change of temperatures and hardness of the join. The results obtained can contribute to the

addition of sample elements library of the finite element method and the application of the
design as well as the study of frame structures with semi-rigid connections under thermal loads.

1. Mở đầu
Trước đây, khi tính toán kết cấu thường sử dụng giả thiết các nút của khung là
tuyệt đối cứng. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp thực tế, ví dụ như khung bê tông cốt
thép lắp ghép hoặc bán lắp ghép, khung thép Các kết cấu này có nút liên kết với độ
đàn hồi nhất định - còn được gọi là nút nửa cứng, sẽ ảnh hưởng đến kết quả tính toán
nội lực và bi
ến dạng theo quan điểm trên.
Hiện nay, đã có nhiều đề tài quan tâm nghiên cứu giải bài toán kết cấu có xét
đến độ đàn hồi của nút, như:
+ Trong [1] và [2], các tác giả tập trung nghiên cứu để giải bài toán bằng
phương pháp lực, phương pháp chuyển vị chịu tải trọng và áp dụng kết quả đạt được để
phân tích đánh giá một số kết cấu cụ thể.
+ Trong [7], các tác giả xây dựng cách giải bài toán b
ằng phương pháp phần tử
hữu hạn và áp dụng các tiêu chuẩn vào thực tế thiết kế xây dựng.
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010

70

+ Trong [9], các tác giả đi sâu vào việc mô hình hóa tính đàn hồi của nút từ các
số liệu thí nghiệm thực tế cũng như xây dựng các sơ đồ cơ học cho các liên kết.

+ Trong [3], [5] và [6], các tác giả nghiên cứu hệ chịu tải trọng tác dụng động và
đánh giá ảnh hưởng tính đàn hồi của nút đến sự làm việc thực tế của kết cấu.

Nhìn chung, các đề tài đã đi sâu và giải quyết được cho nhiều trường hợp của hệ
với các đặc điểm liên kết và các hình thức tải trọng tác dụng khác nhau. Còn với tải

trọng nhiệt độ, tác giả nhận thấy có rất ít các nghiên cứu và chỉ dẫn để có thể áp dụng
cho hệ thanh nói chung và hệ thanh có nút nửa cứng nói riêng theo phương pháp phần
tử hữu hạn.
Để góp một phần vào việc nghiên cứu kết cấu có nút nửa cứng, trong bài báo
này, tác giả trình bày kết quả nghiên cứu xác định ma trận độ cứng, vec tơ tải trọng và
vec tơ tải trọng nhiệt độ của phần tử thanh phẳng có xét đến tính quay đàn hồi của nút
theo phương pháp phần tử hữu hạn. Từ đó ứng dụng phần mềm Matlab [10] và [13] để
lập trình tính toán, đánh giá cho một khung phẳng cụ thể. Kết quả nghiên cứu có thể
được áp dụng vào việc phân tích các khung phẳng có nút nửa cứng chịu tải trọng nhiệt.
2. Cơ sở lý thuyết
Phương trình cân bằng tổng quát của hệ kết cấu theo phương pháp phần tử hữu
hạn mô hình chuyển vị [4]:

[]
{}
[]
FuK = (2 - 1)
Trong đó:
[]
K
là ma trận độ cứng,
[
]
F
là
vec tơ tải trọng. Các ma trận này được
lắp ghép từ các ma trận độ cứng và tải
trọng phần tử.
Giải phương trình (2 - 1) sẽ xác định được chuyển vị và từ đó xác định được nội
lực trong hệ.

2.1. Ma trận độ cứng phần tử thanh phẳng:
Dùng phương pháp chuyển vị đơn vị, tác giả lập được ma trận độ cứng của phần
tử trên hình 1. Kết quả được biểu diễn ở biểu thức (2 - 2).

[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=

66
56
65
55
63
53
62
52
36353332
26252322
0
0
0
0
0000
00
0
0
0000
k
k
k
k
k
k
k
k
l
EA
l

EA
kkkk
kkkk
l
EA
l
EA
K
e
(2 -2)
H
ình 1. Phần tử thanh có liên kết quay đàn hồi
EA
EJ
4
5
1
2
l
r
1
r
2
3
6
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010

71
Trong đó:

21
2121
3
22
4
12
rr
)rrrr(
l
EJ
k
−
++
=
;
21
21
2
3223
4
2
6
rr
)r(r
l
EJ
kk
−
+
==

;
225225
kkk −
=
=


21
12
2
6226
4
2
6
rr
)r(r
l
EJ
kk
−
+
==
;
21
1
33
4
3
4
rr

r
l
EJ
k
−
=
;
235335
kkk
−
=
=


21
21
6336
4
3
2
rr
rr
l
EJ
kk
−
==
;
2255
kk

=
;
266556
kkk
−
=
=
;
21
2
66
4
3
4
rr
r
l
EJ
k
−
=

Theo [7], r là hệ số ngàm đàn hồi (end-fixity factor), r biến thiên trong đoạn
[0,1]; r = 0 ứng với liên kết khớp; r = 1 ứng với liên kết tuyệt đối cứng; r là đại lượng
không thứ nguyên.
Ma trận độ cứng được thiết lập là trùng khớp với kết quả trong [7].
2.2. Vec tơ tải trọng do lực phân bố tác dụng lên phần tử
Dựa vào ý nghĩa vật lý, tác giả lập được vec tơ tải trọng cho phần tử trên hình 2

[] [ ]
'
654321
,,,,, PPPPPPP
e
=
(2 – 3)
Trong đó:

0
41
== PP
;

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
−
= 1
42
21
21
2
rr

rr
ql
P
;
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−=
21
21
2
3
4
)2(3
12 rr
rr
ql
P
;

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣

⎡
+
−
−
= 1
412
21
12
5
rr
rr
ql
P
;
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
21
12
2
6
4
)2(3
12 rr

rr
ql
P
;
2.3. Vec tơ tải trọng do nhiệt độ tác dụng lên phần tử
Cũng dựa vào ý nghĩa vật lý, tác giả lập được vec tơ tải trọng nhiệt độ cho phần
tử trên hình 3

[] [ ]
'
654321
,,,,, TTTTTTT
e
= (2 – 4)
Trong đó:
H
ình 2. Phần tử chịu tải trọng phân bố đều
l
q
6
4
1
r
1
r
2
5
3
2
r

2

r
1
l
2
1
3
5
4
6
H
ình 3. Phần tử chịu tải trọng nhiệt
t
2
t
1
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010

72

EA
tt
EAtT
c
2
21
1
+
−=−=

αα
;
14
TT
−
=
;
21
12
122
4
)(
6
rr
rr
ttEJ
h
T
−
−
−=
α
;
21
21
123
4
)2(3
)(
rr

rr
ttEJ
h
T
−
−
−=
α
;
21
21
125
4
)(
6
rr
rr
ttEJ
h
T
−
−
−=
α
;
21
12
126
4
)2(3

)(
rr
rr
ttEJ
h
T
−
−
−−=
α
.
Với α là hệ số giãn nở vì nhiệt, h là chiều cao của tiết diện phần tử.
Kiểm tra cho thấy ứng với trường hợp r
1
= r
2
= 0 và r
1
= r
2
= 1, các biểu thức (2 -
2) và (2 - 3) cho kết quả trùng khớp với trường hợp phần tử có hai đầu khớp lý tưởng và
tuyệt đối cứng trong thư viện phần tử mẫu phương pháp phần tử hữu hạn.

3. Áp dụng tính khung phẳng chịu tải trong nhiệt
3.1. Số liệu bài toán
Xét 1 khung phẳng 3 tầng có nút nửa cứng như
trên hình 4. Khung có cấu tạo như sau:
- Vật liệu có E = 2,1.10
6

(kN/cm
2
), α = 1.10
-5
(
o
C
-1
)
- Tiết diện cột (20.30)(cm); tiết diện dầm (20.40)(cm)
- t
1
= 30(
o
C); q = 0,02(kN/cm); l = 600(cm);
- h = 360(cm).
- Giả thiết r
1
= r
2
= r.
3.2. Phân tích
Để xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ và độ cứng
của nút, bài toán được phân tích với các giá trị khác
nhau của t
2
[30; 50; 100; 150; 200; 300; 400; 500;
600; 700; 800; 900; 1000] (
o
C) và r [0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1].

q

t
2
t
1
q

r
1
r
2

r
2

r
1
r
2

r
1
H
ình 4
.
Mô h
ì
nh khun
g

l
h
h
h
q

H
ình 5 . Đồ thị chuyển vị đứng tại giữa nhịp tầng 1 ứng với các giá trị r và theo t
2

-12.0
-10.0
-8.0
-6.0
-4.0
-2.0
0.0
2.0
4.0
30 50
100 150 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Chuyển vị (cm)
r =
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5

0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
t
2
(
0
C)
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010

73
Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn với các ma trận độ cứng, vec tơ tải trọng
phần tử thiết lập ở trên kết hợp lập chương trình tính toán với sự hỗ trợ bằng phần mềm
Matlab [10] và [13], giải được nội lực và chuyển vị trong hệ. Sự thay đổi của nội lực và
chuyển vị tại một số tiết diện theo t
2
và r được thể hiện trên hình 5, hình 6 và hình 7.
3.3. Đánh giá kết quả
Kết quả phân tích cho thấy các giá trị của nội lực và chuyển vị thay đổi đáng kể
khi nhiệt độ t
2
và r thay đổi. Tốc độ thay đổi tăng nhanh khi t
2
tăng. Với r = 0,8 thì so
với nhiệt độ t
2
= 30
o

C, ở nhiệt độ t
2
= 500
o
C, chuyển vị đứng nhịp tầng 1 tăng -0,002 lên
0,408 (cm); mômen nhịp tầng 1 tăng 2,14 lên -2833,7(kN.m); mômen tại chân cột trái
giảm -38,08 xuống -35,16(kN.m)
Khi r tăng – độ cứng của nút tăng, xét trường hợp r =1 (nút tuyệt đối cứng) và r
trung bình là 0,8 [7], ở tại thời điểm t
2
= 500
o
C thì chuyển vị đứng nhịp tầng 1 tăng
0,408 lên 1,473(cm); mômen nhịp tăng -2833,7 lên -3363,90(kN.m); mômen chân cột
trái tăng -35,16 lên 170,83(kN.m)
r =
900 1000

t
2
(
0
C
)

M (kN.m)
0,0
0,1
0,2
0,3

0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
H
ình 6 . Đồ thị mômen
g
iữa nhị
p

t
ần
g
1 ứn
g
v
ớ
i các
g
iá trị r và theo
t
2
-8000
-7000
-6000
-5000
-4000

-3000
-2000
-1000
0
1000
30 50 100 150 200 300 400 500 600 700 800
H
ình 7 . Đồ thị mômen tại chân trái cột tầng 1 ứng với các giá trị r và theo t
2

-1000.0
-800.0
-600.0
-400.0
-200.0
0.0
200.0
400.0
600.0
30
50 100 150 200 300 400 500 600 700 800
900
M (kN.m)

r =
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4

0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
t
2
(
0
C)

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010

74

4. Kết luận
Kết quả nghiên cứu đã lập được ma trận độ cứng [K]
e
, véc tơ tải trọng phần tử
[P]
e
và [T]
e
phần tử thanh phẳng có xét đến tính quay đàn hồi của nút dưới dạng tường
minh, góp phần bổ sung thêm vào thư viện các phần tử mẫu của phương pháp phần tử
hữu hạn.
Kết quả nghiên cứu có thể sử dụng để phân tích kết cấu khung phẳng có nút nửa
cứng chịu tải trọng và tải trọng nhiệt.
Kết quả nghiên cứu cho thấy, nội lực và chuyển vị nói chung tăng khá nhanh khi

nhiệt độ tăng. Và khi độ cứng của nút khác nhau thì kết quả thu được cũng có sự thay
đổi đáng kể.
Cần xét đến ảnh hưởng độ cứng của nút và tải trọng nhiệt khi phân tích kết cấu
để kết quả đạt được tin cậy hơn.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Ngô Thanh Dũng, Tính khung phẳng có kể đến độ đàn hồi của nút khung, Luận văn
thạc sỹ kỹ thuật, Hà Nội, 2004.
[2] Bùi Anh Ngọc, Đỗ Minh Đức, Tính khung phẳng có kể đến độ đàn hồi của nút
khung bằng phương pháp chuyển vị, Tuyển tập Báo cáo khoa học Hội nghị sinh
viên nghiên cứu khoa học Đại học Đà Nẵng, 2008.
[3] Nguyễn Hồng Sơn, Phân tích kết cấu khung thép phẳng có liên kết nửa cứng phi
tuyến, Luận án tiến sĩ kỹ thuật, Hà Nội, 2007.
[4] Võ Như Cầu, Tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất bản Xây
dựng, Hà Nội, 2006.
[5] Đỗ Minh Đức, Tần số dao động riêng của khung thép có nút nửa cứng, Tạp chí
khoa học và công nghệ – Đại học Đà Nẵng, Đà Nẵng, 2008.
[6] P S Joana, Prof GM Samuel Knight, Dynamic response of steel beam with semi –
rigid connection, IE (I) Journal – CV, 2005.
[7] W Chen, Practical Analysis for semi – rigid Frame design, Pubished World
Scienticfic Pulishing Co Pte.Ttd, Singapore, 2000.
[8] S.L Chan & P.T.T Chui, Non – linear static and cyclic analysic of steel freams with
semi – rigid connections, Pubisher Elsevier 2000.
[9] C.Faella, V.Piluso and G.Rizzano, Structural steel semirigid connections,
Published by CRC Press LLC, 2000.
[10] Young W. Kwon, Hyochoong Bang, The Finite Element Method Using Matlab,
second edition, CRC Press LLC, 2000.
[11] M. Soares Filho, M. J. R. Guimaraes, C. L. Sahlit and J. L. V. Brito, Wind
Pressures in Frame Structures with Semi-rigid Connections, 2004.
[12] M. A. Bradford, K. T. Luu, A. Heidarpour, Numerical studies of a steel beam in a

frame sub-assembly at elevated temperatures, 2007.
[13] Matlab, Version 7.0, Mathworks, Inc, 2004.