Tính khung phẳng có xét đến độ đàn hồi của nút bằng phương pháp chuyển vị

Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008


132
TÍNH KHUNG PHẲNG CÓ XÉT ĐẾN ĐỘ ĐÀN HỒI CỦA
NÚT BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN VỊ

ANALYSING PLANAR FRAMES WITH CONSIDERATION OF THE LINEAR
ELASTIC ROTATIONAL SPRINGS USING DISPLACEMENT METHOD

SVTH : BÙI ANH NGỌC
Lớp: 07X1LT, Trường Đại học Bách khoa, ĐHĐN
GVHD: Ths. ĐỖ MINH ĐỨC
Khoa XDDD&CN , Trường Đại học Bách khoa, ĐHĐN

TÓM TẮT
Báo cáo này trình bày kết quả xây dựng phương pháp tính khung phẳng có xét đến tính quây
đàn hồi tuyến tính của nút khung bằng phương pháp chuyển vị. Để áp dụng, tác giả đã lập
trình, phân tích bằng số cho một số bài toán cụ thể, từ đó đánh giá và so sánh kết quả với
cách tính truyền thống. Kết quả thu được từ quá trình nghiên cứu có thể áp dụng vào học tập,
nghiên cứu và thiết kế kết cấu.
ABSTRACT
This paper presents the results of building method for analysing planar frames including refer
the linear elastic rotational springs using displacement method. For calculation, author program
and analyse numerically some examples in order to assess and compare to conventional
caculation. The results which are gotten from those studying can be applied for learning,
research as well as design.

1. Mở đầu

Kết cấu khung là loại kết cấu chịu lực được sử dụng rộng rãi trong thực tế. Ngày nay,

với yêu cầu xây dựng cao, nhiều công trình đòi hỏi không gian và nhịp các kết cấu lớn, phức
tạp thì việc tính toán kết cấu khung đòi hỏi phải càng chính xác hơn nữa mới đáp ứng được.

Trong cơ học vật rắn biến dạng, có nhiều phương pháp tính toán hệ kết cấu này:
phương pháp lực, phương pháp chuyển vị, phương pháp phần tử hữu hạn…Để đơn giản trong
thực hành, các phương pháp này đều được thiết lập trên giả thiết: nút liên kết giữa các phần tử
trong hệ là tuyệt đối cứng. Kết quả tính toán không gây sai số đáng kể khi nút khung được
thiết kế và cấu tạo có độ cứng đủ lớn như khung bê tông cốt thép đổ toàn khối. Tuy nhiên,
trong nhiều trường hợp thực tế, ví dụ như khung bê tông cốt thép lắp ghép hoặc bán lắp ghép,
khung thép... được sử dụng ngày càng phổ biến trong các công trình cao tầng, công trình nhà
công nghiệp. Các kết cấu này có nút liên kết với độ đàn hồi nhất định sẽ ảnh hưởng đáng kể
đến kết quả tính toán nội lực và biến dạng theo quan điểm trên.

Để kết quả nội lực và biến dạng sát với thực tế làm việc của hệ kết cấu khung, quá
trình tính toán cần phải xét đến độ đàn hồi của nút, khi đó việc tính toán sẽ phức tạp hơn
nhiều. Để góp phần làm sáng tỏ những vấn đề đó, đề tài được chọn: “Tính khung phẳng có xét
đến độ đàn hồi của nút bằng phương pháp chuyển vị”.

2. Tổng quan

Quan điểm tính khung có xét đến tính đàn hồi của nút đã được nghiên cứu trong nhiều
tài liệu và có những cách tiếp cận và phân tích khác nhau:
+ Trong [1], tác giả tập trung nghiên cứu để giải bài toán bằng phương pháp lực và áp
dụng kết quả để phân tích đánh giá một số kết cấu cụ thể.
Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008

133
+ Trong [3] & [5] các tác giả xây dựng cách giải bài toán bằng phương pháp phần tử
hữu hạn và áp dụng các tiêu chuẩn vào thực tế thiết kế xây dựng.
+ Trong [4], các tác giả đi sâu vào việc mô hình hóa tính đàn hồi của nút từ các số liệu

thí nghiệm thực tế cũng như xây dựng các sơ đồ cơ học cho các liên kết.
Các nghiên cứu này cho phép giải quyết được nhiều vấn đề về tính đàn hồi của nút
khung nhưng vẫn chưa thấy xây dựng cách tiếp cận bài toán bằng phương pháp chuyển vị, một
phương pháp rất cơ bản khi giải các bài toán kết cấu.
Trong phạm vi đề tài, các tác giả xây dựng cách giải bài toán bằng phương pháp
chuyển vị mà nội dung chủ yếu là nghiên cứu, lập các phần tử mẫu, đánh giá ảnh hưởng bởi
tính đàn hồi của nút khung đến nội lực và biến dạng của hệ khung phẳng.

3. Những nghiên cứu lý thuyết
3.1. Độ đàn hồi của nút khung

Để đánh giá tính đàn hồi của nút khung,
người ta dùng đại lượng R gọi là độ cứng đàn hồi
của nút, là tỷ số giữa mômen tác dụng tại nút M với
góc xoay biến dạng của nút

.


M
R 
(3.1)
R có thứ nguyên (Lực x chiều dài/rad)
Theo [1] và [4], để xác định giá trị độ cứng
đàn hồi của nút khung theo cần có các kết quả tính
toán góc xoay bằng lý thuyết và xác góc xoay thực tế bằng thực nghiệm. Từ đó xác định được
góc xoay biến dạng của nút khung

ứng với mômen M và xác định độ cứng đàn hồi theo
công thức (3.1).

Cũng theo [1], R là khác nhau tùy theo vật liệu cũng như cách cấu tạo nút và nằm trong
khoảng (6,5.10
7
– 200.10
7
)kN.m/rad.
Do cách cấu tạo khung lắp ghép và khung thép là các cột thường liền khối và các liên
kết thường được chế tạo tại vị trí nách dầm (H.3.1). Chính các liên kết này tạo ra độ đàn hồi
của nút khung. Do vậy, trong đề tài này chỉ xét tính đàn hồi tại vị trí liên kết của dầm vào cột.
Theo một số nghiên cứu trước đây [1], nếu độ cứng đàn hồi của nút quá lớn thì sẽ gây
tốn kém cho công tác chế tạo khung; nếu độ cứng đàn hồi của nút quá bé, thì nội lực và
chuyển vị trong hệ khung gia tăng vượt quá giới hạn cho phép, khung bị phá hoại.
3.2. Phương pháp chuyển vị
Cách tính khung có xét đến độ đàn hồi của nút bằng phương pháp chuyển vị vẫn được
thực hiện theo nguyên tắc chung, chỉ khác là ở bảng tra các phần tử mầu. Theo [2], trình tự các
bước có thể tiến hành như sau:
+ Bước1: Xác định số lượng ẩn số của hệ.
+ Bước2: Tạo hệ cơ bản.
+ Bước3: Thiết lập phương trình chính tắc













0 R R R .Zr ... .Zr .Zr .Zr
.....
0 R R R .Zr ... .Zr .Zr .Zr
0 R R R .Zr ... .Zr .Zr .Zr
nzntnpnnn3n32n21n1
2z2t2pn2n323222121
1z1t1pn1n313212111
(3.2)


M
R
Hình 3.1 Hình ảnh nút đàn hồi
Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008


134
+ Bước4: Xác định các hệ số và số hạng tự do của phương trình chính tắc.
+ Bước5: Giải hệ phương trình, xác định nội lực và chuyển vị của hệ ban đầu.

Để giải hệ phương trình chính tắc xác định nội lực và chuyển vị, trong đề tài, các tác
giả lập trình tính toán trên máy tính bằng chương trình Matlab.
3.3. Một số phần tử mẫu
Điều quan trọng khi lập hệ cơ bản là trong hệ cơ bản chỉ tồn tại những phần tử mẫu đã
được nghiên cứu trước, tức là biểu đồ nội lực được cho sẵn trong bảng. Trong đề tài này, các
tác giả đã thiết lập một số phần tử mẫu điển hình, kết quả cho trong Bảng 3.1

Bảng 3.1: Bảng tra nội lực cho một số phần tử

M
tr
=

l
EI4
.
4
3
21
1
rr
r


M
ph
=

l
EI4
.
4
3

.
2
21
12
rr
rr











M
tr
=



.
l
EI6
.
4
)2(
2

21
21
rr
rr

M
ph
=



.
l
EI6
.
4
)2(
2
21
12
rr
rr







M

tr
=
21
21
2
4
)2(3
.
12 rr
rrql



M
ph
=
21
12
2
4
)2(3
.
12 rr
rr
ql



Trong bảng 3.1 đặt:
EIl.R

l.R
r
3
1
1
1


(3.3),
EIl.R
l.R
r
3
2
2
2


(3.4)
Khảo sát biểu thức (3.3) và (3.4) cho thấy r
1,
r
2
nằm trong khoảng [0;1]
r
1,
r
2
= 0, ứng với liên kết ở nút khung là liên kết khớp.
r

1,
r
2
= 1, ứng với liên kết ở nút khung là tuyệt đối cứng.
r
1,
r
2
có thể xem như là các hệ số không thứ nguyên.
Theo tài liệu [3], các đại lượng r
1,
r
2
nằm trong khoảng
94,077,0 

3.4. Bài toán tính khung phẳng điển hình
3.4.1. Các giả thiết
- Chỉ xét ảnh hưởng của biến dạng uốn.
- Chỉ xét đến tính đàn hồi tại vị trí liên kết của
dầm vào cột.
- Độ cứng đàn hồi (R) của nút là hằng số

3.4.2. Số liệu ban đầu
Cho khung phẳng có 3 tầng, 1 nhịp:
+ Chiều cao tầng: a = 3,6(m).
+ Chiều dài nhịp: l = 5(m).
+ Tải trọng ngang: P = 60(kN).
+ Tải trọng phân bố: q = 20(kN/m).
+ r

1
= r
2
= r.
R
2

R
1


EI
l
q
l
R
1

R
2

l
M
tr


M
ph



l
R
2

R
1

M
tr

M
ph

l
8
.
2
lq

M
ph

M
tr

q
q
P
P
P

q
2EI
2EI
2EI
0,8EI
EI
EI
l
a
a
a
r
1

r
2

r
2

r
1

r
2

r
1

H.3.4

Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008

135
+ Độ cứng chống uốn EI = const.
Tiến hành xác định nội lực và chuyển vị tại một số tiết diện theo r ứng với trường hợp
không chịu tải trọng ngang (P = 0) và có chịu tải trọng ngang.
3.4.3. Kết quả
Sau khi thực hiện theo trình tự tính toán trong Mục 3.2 với các phần tử mẫu tra trong
Bảng 3.1, sử dụng chương trình Matlab, lập trình tính giải nội lực và chuyển vị tại một số tiết
diện. Kết quả thể hiện trong Bảng 3.2

Bảng 3.2: Kết quả mômen và chuyển vị tại một số tiết diện.
r

Mômen đầu trái
dầm tầng 1 (kNm)
Mômen đầu phải
dầm tầng 1 (kNm)
Mômen giữa dầm
tầng 1 (kNm)
Mômen chân cột
trái tầng 1(kNm)
P = 0
(kN)
P = 60
(kN)
P = 0
(kN)
P = 60
(kN)

P = 0
(kN)
P = 60
(kN)
P = 0
(kN)
P = 60
(kN)
0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 6,2500 6,2500 0,0000 -64,800
0,1 -0,5690 8,6774 -0,5690 -9,8154 5,6810 5,6810 0,1275 -36,406
0,2 -1,0457 12,0870 -1,0457 -14,1790 5,2043 5,2043 0,2308 -29,649
0,3 -1,4518 14,2500 -1,4518 -17,1540 4,7982 4,7982 0,3170 -26,181
0,4 -1,8023 15,7960 -1,8023 -19,4010 4,4477 4,4477 0,3903 -23,957
0,5 -2,1081 16,9690 -2,1081 -21,1860 4,1419 4,1419 0,4536 -22,371
0,6 -2,3773 17,8950 -2,3773 -22,6500 3,8727 3,8727 0,5089 -21,166
0,7 -2,6162 18,6470 -2,6162 -23,8790 3,6338 3,6338 0,5576 -20,213
0,75 -2,7259 18,9720 -2,7259 -24,4240 3,5241 3,5241 0,5799 -19,806
0,8 -2,8297 19,2700 -2,8297 -24,9290 3,4203 3,4203 0,6010 -19,436
0,85 -2,9281 19,5440 -2,9281 -25,4000 3,3219 3,3219 0,6209 -19,098
0,9 -3,0216 19,7960 -3,0216 -25,8390 3,2284 3,2284 0,6398 -18,788
0,95 -3,1104 20,0300 -3,1104 -26,2500 3,1396 3,1396 0,6577 -18,502
1 -3,1950 20,2460 -3,1950 -26,6360 3,0550 3,0550 0,6748 -18,238

r

Mômen đầu trái
dầm tầng 3 (kNm)
Mômen đầu phải
dầm tầng 3 (kNm)
Mômen giữa dầm

tầng 3 (kNm)
(1/ EJ) Chuyển vị
giữa dầm tầng (m)
P = 0
(kN)
P = 60
(kN)
P = 0
(kN)
P = 60
(kN)
P = 0
(kN)
P = 60
(kN)
P = 0
(kN)
P = 60
(kN)
0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 6,2500 6,2500 16,276 16,276
0,1 -0,5328 8,0676 -0,5328 -9,1332 5,7172 5,7172 14,498 14,498
0,2 -0,9317 7,9017 -0,9317 -9,7651 5,3183 5,3183 13,008 13,008
0,3 -1,2441 7,1769 -1,2441 -9,6650 5,0059 5,0059 11,739 11,739
0,4 -1,4966 6,4681 -1,4966 -9,4613 4,7534 4,7534 10,644 10,644
0,5 -1,7058 5,8547 -1,7058 -9,2662 4,5442 4,5442 9,6883 9,6883
0,6 -1,8822 5,3361 -1,8822 -9,1005 4,3678 4,3678 8,8469 8,8469
0,7 -2,0334 4,8978 -2,0334 -8,9646 4,2166 4,2166 8,1004 8,1004
0,75 -2,1012 4,7041 -2,1012 -8,9064 4,1488 4,1488 7,7577 7,7577
0,8 -2,1645 4,5250 -2,1645 -8,8540 4,0855 4,0855 7,4333 7,4333
0,85 -2,2237 4,3592 -2,2237 -8,8067 4,0263 4,0263 7,1257 7,1257

0,9 -2,2794 4,2054 -2,2794 -8,7641 3,9706 3,9706 6,8336 6,8336
0,95 -2,3317 4,0623 -2,3317 -8,7256 3,9183 3,9183 6,5560 6,5560
1 -2,3809 3,9289 -2,3809 -8,6907 3,8691 3,8691 6,2916 6,2916

Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008


136
4. Đánh giá kết quả
Từ kết quả trong Bảng 3.2 ta thấy:
Khi chịu tải trọng ngang, độ cứng đàn hồi của các nút khung càng giảm thì mômen uốn
và chuyển vị tại các mặt giữa nhịp cằng tăng lên, làm giảm độ bền của khung.
Khi không chịu tải trọng ngang, nếu độ cứng đàn hồi của nút khung càng tăng thì
mômen uốn tại các tiết diện đầu dầm cũng tăng theo, khi r > 0,95 thì khung làm việc gần như
trường hợp nút cứng (r = 1 hay R = )
Theo nghiên cứu đề cập trong [3], thì độ cứng đàn hồi của nút khung thường có giá trị
trung bình là r = 0,85. Như vậy, khi tính toán kể đến độ đàn hồi của nút khung so với nút cứng
tuyệt đối r = 1 thì:
+ Mômen tại các tiết diện đầu dầm tầng 3 tăng khoảng 10%.
+ Mômen tại các tiết diện đầu dầm tầng 1 giảm 3,5% đến 4,5%.
+ Mômen tại giữa nhịp tăng 4% đến 8 %.
+ Chuyển vị tại giữa nhịp tăng hơn 13%.
Điều đó chứng tỏ nội lực và chuyển vị trong khung có nút đàn hồi lớn hơn nội lực và
chuyển vị trong khung có nút cứng.
Kết quả này càng cũng cố những nhận xét trong nghiên cứu của các tác giả khác trước
đây [1], [4].
5. Kết luận

Đề tài đã trình bày một cách tổng quan về lý thuyết tính kết cấu khung phẳng có kể đến
độ đàn hồi của nút khung. Cách sử dụng phương pháp chuyển vị quen thuộc để giải bài toán.

Các tác giả đã thiết lập được các phần tử mẩu điển hình, lập trình giải hệ phương trình chính
tắc trên chương trình Matlab nhằm giải bài toán một cách nhanh chóng.

Bằng việc xác định nội lực và chuyển vị cho một bài toán điển hình, các tác giả đã
đánh giá được ảnh hưởng của độ đàn hồi của nút tới sự làm việc thực tế của khung, để đi đến
kết luận: “Kết quả tính toán khi kể đến độ đàn hồi của nút khung và khi coi nút khung là cứng
tuyệt đối là có sự khác nhau. Nội lực và chuyển vị trong khung có nút đàn hồi lớn hơn khi
khung có nút cứng tuyệt đối”.

Từ kết luận đó đề xuất: cần tính toán đến độ đàn hồi của nút khung, đặc biệt là đối với
các kết cấu khung có độ cứng đàn hồi của nút khung không lớn như kết cấu khung lắp ghép,
bán lắp ghép và các khung thép thông thường.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

[1] Ngô Thanh Dũng (2004), Tính khung phẳng có kể đến độ đàn hồi của nút khung, Luận
văn thạc sỹ kỹ thuật, Hà Nội.
[2] Lều Thọ Trình (2000), Cơ học kết cấu, Nhà xuất bản khoa học & kỹ thuật, Hà Nội.


Tiếng Anh
[3] W Chen (2000), Practical Analysis for semi – rigid Frame design, Pubished World
Scienticfic Pulishing Co Pte.Ttd, Singapore.
[4] C.Faella, V.Piluso and G.Rizzano (2000), Structural steel semirigid connections,
Published by CRC Press LLC.
[5] Ali Ugur Ozturk and Hikmet H.Catal (2005), Dynamic Analysis of semi – rigid Frames.