skkn khai thác từ một bài toán số học lớp 6

Sáng kiến kinh nghiêm
KHAI THÁC TỪ MỘT BÀI TOÁN SỐ HỌC LỚP 6
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
"KHAI THÁC TỪ MỘT BÀI TOÁN SỐ HỌC LỚP 6"
Phần I: MỞ ĐẦU
A. Sự cần thiết và tính khả thi của đề tài:
Toán học có vai trò và vị trí đặc biệt quan trọng trong khoa học kĩ thuật và
đời sống, giúp con người tiếp thu một cách dễ dàng các môn khoa học khác có
hiệu quả. Thông qua việc học toán, người học có thể nắm vững được nội dung
toán học và phương pháp giải toán, từ đó vận dụng vào các môn học khác nhất là
các môn khoa học tự nhiên, kỹ thuật. Hơn nữa Toán học còn là cơ sở của mọi
ngành khoa học khác, chính vì thế môn toán có vai trò đặc biệt quan trọng trong
trường phổ thông.
Giải toán là một nghệ thuật thực hành, cũng giống như bơi lội , chơi đàn, …
Vì vậy để có kỹ năng giải bài tập toán phải qua quá trình luyện tập. Tuy rằng
không phải cứ giải bài tập là có kỹ năng. Việc luyện tập có hiệu quả nếu như khéo
léo khai thác một bài toán sang một loạt bài toán tương tự nhằm vận dụng một tính
chất nào đó. Thực tiển cho thấy học sinh học toán thường không chú ý đến phương
pháp trên nên khi gặp những bài toán tương tự người làm thường hay lúng túng.
Vậy với sự đam mê học toán và sự tâm huyết với nghề tôi đã tích lũy và
soạn ra đề tài này.
B. Nhiệm vụ:
Thông qua đề tài này, nhằm rèn luyện cho học sinh khả năng linh hoạt khi
phân tích và đưa ra hướng giải một bài toán. Giúp các em biết cách làm các bài
toán liên quan đến bài toán đã học không chỉ riêng đối với bài toán trong đề tài này
mà còn cho tất cả các bài toán khác trong chương trình học. Đề tài còn là tài liệu
cho giáo viên tham khảo và bồi duỡng học sinh giỏi.
- Cơ sở lý luận của đề tài:
Việc khai thác một bài tập toán có ý nghĩa hay không.
- Vận dụng lý luận vào thực tiễn:
Giáo viên

: TRẦN MINH HÙNG-TRƯỜNG THCS TAM QUAN
Trang
1
Sáng kiến kinh nghiêm
KHAI THÁC TỪ MỘT BÀI TOÁN SỐ HỌC LỚP 6
Khai thác các ứng dụng từ một bài toán Số học 6 trong sách bài tập để giải các bài
toán liên quan.
C. Phương pháp tiến hành:
Thông qua thực tế giảng dạy cũng như việc bồi dưỡng học sinh giỏi ở
trường.
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn, lý thuyết.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
D. Cơ sở và thời gian tiến hành nghiên cứu:
1) Cơ sở tiến hành:
- Đề tài khai thác các ứng dụng một bài toán trong sách giáo khoa, áp dụng
dạy học toán ở cấp THCS.
- Mục đích của đề tài là phục vụ cho công tác dạy học toán ở THCS, bồi
dưỡng cho học sinh giỏi và làm tài liệu cho học sinh học tập.
Cơ sở thực hành đối tượng học sinh trường THCS Tam Quan.
2) Thời gian tiến hành:
Từ tháng 03 năm 2009 đến hết tháng 12 năm 2010.
Phần II: KẾT QUẢ
A. Tình trạng sự việc hiện tại:
Giải bài tập toán là quá trình suy luận logic nhằm tìm mối liên hệ giữa cái
đã cho (giả thuyết bài toán) và cái phải tìm (kết luận bài toán). Nhưng các quy tắc
suy luận cũng như kỹ năng giải quyết của học sinh còn nhiều lúng túng, nhiều học
sinh giải bài toán này được nhưng gặp bài toán khác với nội dung tương tự hoặc
khai thác kết quả để giả bài toán khác thì gặp nhiều khó khăn.
B. Nội dung và giải pháp mới:

Xét bài toán mở đầu:
Chứng minh rằng:
1 1 1
1 ( 1)n n n n
− =
+ +
(1)
Giáo viên
: TRẦN MINH HÙNG-TRƯỜNG THCS TAM QUAN
Trang
2
Sáng kiến kinh nghiêm
KHAI THÁC TỪ MỘT BÀI TOÁN SỐ HỌC LỚP 6
Hướng dẫn:
Ta có:
1 1 1 1 1
1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
n n n n
n n n n n n n n n n
+ + −
− = − = =
+ + + + +
(đpcm).
* Nhận xét 1:
Đặc điểm của đẳng thức (1). Vế trái là hiệu của hai phân số có tử là 1, còn
mẫu số hơn kém nhau 1 đơn vị thì bằng phân số có tử là 1, còn mẫu là tích hai mẫu
số của hai phân số đã cho.
* Nhận xét 2:
Đẳng thức (1) chẳng những đúng cho n
∈

N mà còn đúng cho x
∈
R, chẳng
những đúng mẫu là tích của 2 số hơn kém 1 đơn vị mà còn đúng cho tích của 3, 4,
… số cách đều. Ví dụ ở sách bài tập toán 8 có bài toán sau:
a) Chứng minh rằng:
1 1 1
1 ( 1)x x x x
− =
+ +

b) Đố: Đố em tính nhẩm được tổng sau:
1 1 1 1 1 1
( 1) ( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 3)( 4) ( 4)( 5) 5x x x x x x x x x x x
+ + + + +
+ + + + + + + + + +
.
Hướng dẫn:
a)
1 1 1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
x x x x
VT VP
x x x x x x x x
+ + −
= − = = =
+ + + +
(đpcm).
b) Xét đặc điểm đẳng thức ở câu a). Biểu thức là tổng của các phân thức có
mẫu là tích hai đa thức cách nhau 1 và 1 cũng chính là tử của các phân thức đó.

Áp dụng hệ thức:
1 1 1
1 ( 1)x x x x
− =
+ +
Khi đó ta có:
1 1 1 1 1 1
( 1) ( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 3)( 4) ( 4)( 5) 5x x x x x x x x x x x
+ + + + +
+ + + + + + + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5x x x x x x x x x x x x
= − + − + − + − + − + =
+ + + + + + + + + +
* Chú ý: Các dạng mở rộng của công thức (1) là:
1)
1 1 1
1 ( 1)x x x x
− =
+ +
(2)
Giáo viên
: TRẦN MINH HÙNG-TRƯỜNG THCS TAM QUAN
Trang
3
Sáng kiến kinh nghiêm
KHAI THÁC TỪ MỘT BÀI TOÁN SỐ HỌC LỚP 6
2)
1 1 1 1
( )x x a a x x a

 
 ÷
 
= −
+ +
(3)
3)
1 1 1 1
( 1)( 2) 2 ( 1) ( 1)( 2)x x x x x x x
 
 ÷
 
= −
+ + + + +
(4)
4)
1 1
( )( 2 ) 2 ( ) ( )( 2 )
a a
x x b x b b x x b x b x b
 
= −
 ÷
+ + + + +
 
(5)
I. KHAI THÁC ỨNG DỤNG TRONG TÍNH TOÁN VÀ CHỨNG MINH
ĐẲNG THỨC:
Bài 1: Tính tổng
a)

1 1 1

1.2 2.3 2009.2010
A = + + +
b)
1 1 1

1.2 2.3 ( 1)
B
n n
= + + +
+
(với n
≥
1).
Hướng dẫn:
a)
1 1 1 1 1 1 1 2009
1
1 2 2 3 2009 2010 2010 2010
A = − + − + + − = − =
b) Nhận xét thấy bài toán ở câu b) là một bài toán tổng quát của bài toán ở
câu a).
Với n
≥
1 ta có:
1 1 1 1 1 1 1
1
1 2 2 3 1 1 1
n

B
n n n n
= − + − + + − = − =
+ + +
.
* Nhận xét 3: Nếu đặc điểm của mẫu các phân thức là tích của hai nhân tử cách
nhau 2, 3, … thì bài toán giải như thế nào?
Bài 2: Tính tổng
a)
1 1 1

1.3 3.5 2009.2011
A = + + +
b)
1 1 1

2.5 5.8 ( 3)
B
n n
= + + +
+
(Với n
∈
N, n>1)
c)
1 2 2 3
1

. . .
k k

n n n
C
a a a a a a
+
= + + +
( Với a
i
- a
i+1
= b, i =
1,k
)
Hướng dẫn:
Giáo viên
: TRẦN MINH HÙNG-TRƯỜNG THCS TAM QUAN
Trang
4
Sáng kiến kinh nghiêm
KHAI THÁC TỪ MỘT BÀI TOÁN SỐ HỌC LỚP 6
a) Áp dụng công thức (2). Viết mỗi hạng tử trong tổng dưới dạng:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
; ; ;
1.3 2 1 3 3.5 2 3 5 2009.2011 2 2009 2011
     
 ÷  ÷  ÷
     
= − = − = −
Do đó:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1005
+ 1

2 1 3 3 5 2009 2011 2 2011 2011
A
   
 ÷  ÷
   
= − + − + − = − =
b) Phương pháp làm như câu a).
Xét hạng tử tổng quát: Với k>1 ta có
1 1 1 1
( 3) 3 3k k k k
 
 ÷
 
= −
+ +
Khi đó:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+
3 2 5 5 8 n 3 3 2 3 6( 3)
n
B
n n n
   
 ÷  ÷
   
+
= − + − + − = − =
+ + +
c) Biến đổi C về dạng:
1 2 2 3

1
1 1 1

. . .
k k
C n
a a a a a a
+
 
 ÷
 ÷
 
= + + +
.
Rồi áp dụng kết quả
1 1
1 1 1 1
.
i i
i i
a a b a a
+ +
 
 ÷
 
= −
, ( Với a
i
- a
i+1

= b, i =
1,k
)
* Nhận xét 4: Còn nếu là mẫu là tích của 3, 4, … số tự nhiên cách đều thì sao?
Bài 3: Tính tổng
a)
1 1 1

1.2.3 2.3.4 ( 1) ( 1)
A
n n n
= + + +
− +
(Với n
∈
N, n >1).
b)
1 1 1

1.3.5 3.5.7 (2 1)(2 1)(2 3)
B
n n n
= + + +
− + +
(Với n
∈
N, n
≥
1).
Hướng dẫn:

a) Xét số hạng tổng quát ta có:
1 1 1 1
( )
( 1) ( 1) 2 ( 1) ( 1)k k k k k k k
= −
− + − +
( với k > 1)
Do đó:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1.2 2.3 2.3 3.4 ( 1) ( 1) 2 2 ( 1)
A
n n n n n n
   
 ÷  ÷
   
= − + − + + − = −
− + +
b) Tương tự xét số hạng tổng quát ta có:
1 1 1 1
(2 1)(2 1)(2 3) 4 (2 1)(2 1) (2 1)(2 3)k k k k k k k
 
 ÷
 
= −
− + + − + + +
,
Do đó:
1 1 1 1 1 1 1

4 1.3 3.5 3.5 5.7 (2 1)(2 1) (2 1)(2 3)
B
n n n n
 
 ÷
 
= − + − + + −
− + + +
Giáo viên
: TRẦN MINH HÙNG-TRƯỜNG THCS TAM QUAN
Trang
5
Sáng kiến kinh nghiêm
KHAI THÁC TỪ MỘT BÀI TOÁN SỐ HỌC LỚP 6

1 1 1
4 3 (2 1)(2 3)n n
 
 ÷
 
= −
+ +
* Nhận xét 5: Từ (1) ta có đẳng thức tổng quát hơn:
1 1 b a
a b ab
−
− =
(Với a, b
∈
R và

a, b
≠
0). Khi đó việc áp dụng công thức trên trong thực tế rất nhiều. Chẳng hạn bài
toán sau.
Bài 4: Cho biết a, b, c là các số khác 0. Chứng minh rằng:

2 2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
a b b c c a
c a c b a b a c b c b a a b b c c a
− − −
+ + = + +
− − − − − − − − −
Hướng dẫn:
Đối với bài toán này ta quy đồng mẫu số thì quá trình thực hiện rất phức tạp.
Quan sát các số hạn ở vế trái ta thấy các tử số vừa đúng bằng hiệu của các mẫu số.
Điếu đó gợi cho ta áp dụng đẳng thức:
1 1b a
ab a b
−
= −
.
Tức là:
1 1
( )( )
a b
c a c b c a c b
−
= −
− − − −

.
Do đó:
1 1 1 1 1 1
VT VP
c a c b a b a c b c b a
= − + − + − =
− − − − − −
(đpcm).
* Chú ý: Các dạng bài tập ở mục này áp dụng cho tất cả đối tượng là học sinh
THCS.
II. KHAI THÁC ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC:
Bài 1: Với n là số tự nhiên lớn hơn 1, chứng minh rằng:
a)
1 1 1
1
1.2 2.3 ( 1)n n
+ + + <
−
b)
2 2 2 2
1 1 1 1 1
2
1 2 3 n n
+ + + < −
c)
3 3 3 3
1 1 1 1 5

1 2 3 4n
+ + + + <

Hướng dẫn:
a) Với k > 1, ta có:
1 1 1
( 1) 1k k k k
= −
− −
.
Giáo viên
: TRẦN MINH HÙNG-TRƯỜNG THCS TAM QUAN
Trang
6
Sáng kiến kinh nghiêm
KHAI THÁC TỪ MỘT BÀI TOÁN SỐ HỌC LỚP 6
Từ đó suy ra:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
1.2 2.3 ( 1) 2 2 3 1n n n n n
+ + + = − + − + + − = − <
− −
(đpcm)
b) Để áp dụng kết quả (1) cần sử dụng phương pháp làm trội. Vậy sử dụng
như thế nào? Hãy xem nhận xét sau.
Với k > 1, ta có:
2
1 1
( 1)k k k
<
−
hay
2

1 1 1
1k k k
< −
−
.
Khi đó
1 1 1 1 1 1 1
1 2
1 2 2 3 1
VT VP
n n n
< + − + − + + − = − =
−
(đpcm)
c) Tương tự ta cũng sử dụng phương pháp làm trội.
Với k > 1, ta có:
3 3 3
1 1 1 1 1 1 1
( 1) ( 1) 2 ( 1) ( 1)k k k k k k k k k k k
 
< = ⇒ < −
 ÷
− − + − +
 
Khi đó:
3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 .
1 2 1.2 2.3 2.3 3.4 ( 1) ( 1) 2 2 ( 1) 2 2
5

4
VT
n n n n n n
VP
   
< + − + − + + − = + − < +
 ÷  ÷
− + +
   
= =
Vậy:
3 3 3 3
1 1 1 1 5

1 2 3 4n
+ + + + <
, với n > 1 (đpcm).
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1 ta có:
1 2 3 1
1
2! 3! 4! !
n
n
−
+ + + + <
Hướng dẫn:
Với k > 1 ta có:
1 1 1
! ( 1)! !
k

k k k
−
= −
−
.
Do đó:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
1! 2! 2! 3! 3! 4! ( 1)! ! !
VT VP
n n n
= − + − + − + + − = − < =
−
(đpcm).
* Chú ý: Các bài toán có sử dụng phương pháp làm trội chỉ áp dụng cho đối tượng
là học sinh lớp 8 và lớp 9.
CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG TRONG NỘI DUNG NÀY:
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n
≥
1 ta có:
Giáo viên
: TRẦN MINH HÙNG-TRƯỜNG THCS TAM QUAN
Trang
7
Sáng kiến kinh nghiêm
KHAI THÁC TỪ MỘT BÀI TOÁN SỐ HỌC LỚP 6
a)
2 2 2 2
1 1 1 1 1

2 4 6 (2 ) 2n
+ + + + <
b)
2 2 2 2
1 1 1 1 1

3 5 7 (2 1) 4n
+ + + + <
+
Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
a)
2 2
3 5 7 2 1
1
4 36 144 ( 1)
n
n n
+
+ + + + <
+
b)
2 2
1 1 1 1 9

5 13 25 ( 1) 20n n
+ + + + <
+ +
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1 ta có:
2
1 5 11 1

2
2! 3! 4! !
n n
n
+ −
+ + + + <
III. KHAI THÁC ỨNG DỤNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT
PHƯƠNG TRÌNH:
Bài 1: Giải các phương trình:
1 1 1 1 148 98
( 2)
1.3 3.5 5.7 97.99 99 99
x x x
 
+ + + + − + = −
 ÷
 
Hướng dẫn:
Xét
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 49
1 1
1.3 3.5 97.99 2 3 3 5 97 99 2 99 99
   
+ + + = − + − + + − = − =
 ÷  ÷
   
Khi đó (a)
49 148 98
( 2) 49( 2) 99 148 98
99 99 99

0. 0
x x x x x x
x x R
⇔ − + = − ⇔ − + = −
⇔ = ⇔ ∈

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = R.
Bài 2: Giải phương trình sau:
2 2 2
2 1 1
( 1)( 1) 1 3 5x x x x
= −
− + − +
Hướng dẫn:
Đây là phương trình chứa ẩn ở mẫu, nếu ta quy đồng, khử mẫu và đi không
đúng hướng thì ra phương trình bậc 4 rất phức tạp. Nhưng áp dụng kết quả của bài
toán mở đầu ta biến đổi đưa về một phương trình đơn giảng hơn rất nhiều.
Giáo viên
: TRẦN MINH HÙNG-TRƯỜNG THCS TAM QUAN
Trang
8
Sáng kiến kinh nghiêm
KHAI THÁC TỪ MỘT BÀI TOÁN SỐ HỌC LỚP 6
Chú ý rằng:
2 2 2 2
2 1 1
( 1)( 1) 1 1x x x x
= −
− + − +
Do đó, với điều kiện

1x ≠ ±
và
5
3
x ≠ −
phương trình đa tương đương với phương
trình sau:
2
2
1
1 1
3 4 0 ( 1)( 4) 0
4
1 3 5
x
x x x x
x
x x
= −

− = − ⇔ − − = ⇔ + − = ⇔

=
+ +

Kiểm tra với ĐKXĐ, ta thấy chỉ có nghiệm x = 4 thỏa
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =
{ }
4
Bài 3: Giải các phương trình sau:

a)
2 2 2
1 1 1 3
3 2 5 6 4x x x x x x
+ + =
+ + + + +
b)
2 2
1 1 1
4 3 8 15 6x x x x
+ =
+ + + +
c)
2 2 2
1 2 3 6
5 6 8 15 13 40 5x x x x x x
+ + = −
− + − + − +
Hướng dẫn:
a) Dễ nhận thấy các mẫu thức của các phân thức ở vế trái có dạng tích của
hai biểu thức hơn kém nhau 1 đơn vị, cụ thể:
x
2
+ x = x(x + 1); x
2
+ 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) và x
2
+ 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Do đó: Phương trình xá định khi x
≠

0, -1, -2, -3 và:

1 1 1 3 1 1 3 3 3
( )
( 1) ( 1)( 2) ( 2)( 3) 4 3 4 ( 3) 4
a
x x x x x x x x x x
⇔ + + = ⇔ − = ⇔ =
+ + + + + + +
2
( 3) 4 3 4 0
1 0 1
( 1)( 4) 0
4 0 4
x x x x
x x
x x
x x
⇔ + = ⇔ + − =
− = =
 
⇔ − + = ⇔ ⇔
 
+ = = −
 
Cả hai nghiệm x = 1, x = - 4 đều thỏa ĐKXĐ.
Vậy tập nghiệm phương trình là: S =
{ }
4;1−
b) Nhận xét: x

2
+ 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)
x
2
+8x + 15 = (x + 3)(x + 5)
ĐKXĐ: x
≠
- 1; - 3; - 5.
Giáo viên
: TRẦN MINH HÙNG-TRƯỜNG THCS TAM QUAN
Trang
9
Sáng kiến kinh nghiêm
KHAI THÁC TỪ MỘT BÀI TOÁN SỐ HỌC LỚP 6
2 2
1 1 1 1
( ) ( 3) 4
2 1 5 6
b x
x x
 
⇔ − = ⇔ + =
 ÷
+ +
 
3 4 7
3 4 1
x x
x x
+ = − = −

 
⇔ ⇔
 
+ = =
 
(đều thỏa ĐKXĐ)
Vậy tập nghiệm phương trình là: S =
{ }
7;1−
c) Cánh trình bày tuơng tự như câu b).
Bài 4:Giải bất phương trình:
1 1 1 1 1 1

1.51 2.52 10.60 1.11 2.12 50.60
x
 
+ + + < + + +
 ÷
 
Hướng dẫn:
Cánh làm tương tự như bài 1 ở mục này, chỉ có chú ý dấu bất đẳng thức thay
bằng dấu đẳng thức.
Kết quả: x < 5.
* Chú ý: Các dạng bài tập ở mục này áp dụng nhiều cho đối tượng học sinh lớp 8
và lớp 9. Học sinh lớp 6 và lớp 7 làm được dạng bài 1 với nội dung tìm x.
CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG TRONG NỘI DUNG NÀY:
Bài 5: Giải các phương trình:
a)
1 1 1 1 149 99
2

1.2 2.3 99.100 2 50 200
x x x
  
+ + + − + = −
 ÷ ÷
  
b)
1 1 1 1 1 1
.
1.101 2.102 10.110 1.11 2.12 100.110
x
 
+ + + = + + +
 ÷
 
c)
2 2
1 1 1
9 20 13 42 18x x x x
+ =
+ + + +
d)
2 2 2
1 1 1
( 1) 3 5x x x x
= −
+ +
Phần III: KẾT KUẬN
A. Khái quát các kết luận:
Phương pháp giải bài toán có hệ thống và logic là một yếu tố cơ bản giúp

học sinh nắm vững kiến thức, giải quyết linh hoạt các bài toán và đạt kết quả cao
Giáo viên
: TRẦN MINH HÙNG-TRƯỜNG THCS TAM QUAN
Trang
10
Sáng kiến kinh nghiêm
KHAI THÁC TỪ MỘT BÀI TOÁN SỐ HỌC LỚP 6
trong học tập. Điều quan trọng nhất cần đề cập bài toán theo nhiều cách khác
nhau, nghiên cứu, khảo sát kỹ từng chi tiết của bài toán để mở rộng cho các bài
toán khác.Đồng thời qua đó có thể khai thác các ứng dụng của một bài toán cơ bản
vào giải quyết các bài toán cùng loại.
B. Lợi ích và khả năng vận dụng:
Hi vọng rằng với một số ứng dụng tôi đưa ra trong đề tài này giúp các em
học sinh biết cách làm chủ được kiến thức của mình, thêm yêu mến môn toán, tự
tin trong quá trình học tập và nghiên cứu sau này.
C. Đề xuất, kiến nghị:
Đây mới là kinh nghiệm của bản thân tôi nên chắc chắn còn nhiều khiếm
khuyết, hi vọng được đồng nghiệp và các độc giả quan tâm góp ý để đề tài được
hoàn chỉnh hơn.
Tam Quan, ngày 30/12/2010
Người thực hiện
Trần Minh Hùng
Ý kiến và xếp loại của tổ chuyên môn. Duyệt của Ban Giám Hiệu.
Giáo viên
: TRẦN MINH HÙNG-TRƯỜNG THCS TAM QUAN
Trang
11