Bài soạn Khai thác từ một bài toán

tích lũy: Khai thác từ một bài toán
Hình thành các bài toán mới
từ một bài toán cơ bản
1) từ dễ đến khó, tuy xa mà gần!
Bài toán A( dễ):
Cmr: m
2
- mn + n
2


0 với mọi n, m.
H ớng dẫn :
m
2
- mn + n
2
= (m
2
- mn +
2
4
n
) +
2
3
4
n
=
2
2

3
0
2 4
n n
m

+
ữ

.
Nhận ra rằng nếu cho m = x - 1; n = 1 - y thì có
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 1 1 1 0x x y y +


2 2
2 1 1 1 2 0x x x xy y y y + + + + +



2 2
3 3 3 0x y xy x y+ + +
Ta đến với bài toán 1:
Bài toán 1: Cmr:
2 2
3 3 3 0x y xy x y+ + +
Và nếu cho m = x - 2, n = 1 - y thì
( ) ( ) ( ) ( )
2 2

2 2 1 1 0x x y y +

2 2
4 4 2 2 1 2 0x x x xy y y y + + + + +


2 2
5 4 7 0x y xy x y+ + +
Ta đến với bài toán 2:
Bài toán 2: Cmr:
2 2
5 4 7 0x y xy x y+ + +
Tiếp tục cho m = a, n = -b thì ta có
a
2
- a(-b) + (-b)
2


0

a
2
+ ab + b
2


0
Mà (a - b)
2

0 với mọi a, b
Do đó (a
2
+ ab + b
2
)(a - b)
2


0

( )
( ) ( )
2 2
0a ab b a b a b

+ +


( )
( )
3 3
0a b a b


4 3 3 4
0a a b ab b +

4 4 3 3
a b a b ab+ +
Ta đến với bài toán 3:
Bài toán 3: Cmr:
4 4 3 3
a b a b ab+ +
với mọi a, b.
Từ bài toán 3 nếu cho a = x
2
, b = y
2
và x, y khác 0, ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
4 4 3 3
2 2 2 2 2 2
x y x y x y+ +


8 8 6 2 2 6
2 2 2 2 2 2 2 2
x y x y x y
x y x y x y x y
+ +


6 6
4 4
2 2
x y

x y
y x
+ +
Cho ta bài toán:
Bài toán 4: Chứng tỏ rằng với x, y khác 0, BĐT sau đúng x
4
+ y
4
<
6 6
2 2
x y
y x
+
.
ZZZ
2) Về một bài toán (Lớp 6)
Nguyễn Trọng Hiếu
1
tích lũy: Khai thác từ một bài toán
A/*Ta đi từ bài toán:
Bài toán cơ bản: Tìm số tự nhiên k để 3.k là số nguyên tố.
Lời giải:
* Với k = 0 thì 3.k = 0 không là số nguyên tố.
* Với k = 1 thì 3.k = 3 là số nguyên tố.
* Với k

2 thì 3.k là hợp số vì ngoài các ớc là 1 và chính nó số 3.k còn có ớc là 3.
Dễ thấy rằng thay số nguyên tố 3 bởi các số nguyên tố khác bất kì, ta có các bài
toán mới.

Chẳng hạn:
Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên k để:
a) 17k là số nguyên tố;
b) 101k là số nguyên tố.
Từ lời giải bài toán, ta còn có các bài toán sau:
Bài 2: Tìm số tự nhiên k để 3.k là:
a) Hợp số; b) Không là số nguyên tố.
Thay k bởi n - 15 cho ta bài toán
Bài 3: Tìm số tự nhiên n để 7(n - 15) là số nguyên tố.
Còn nếu để ý đến:
Với x, y

N, ta có: 3 - x = 1 thì x = 3 - 1 = 2,
3 - x là số nguyên tố thì 3 - x = 2; 3 nên x = 1; 0
và 7 - y là số nguyên tố thì 7 - y = 2; 3; 5; 7 nên y = 5; 4; 2; 0.
Cho ta bài toán Hay và Khó sau:
Bài 4: Tìm các số tự nhiên x, y để (3 - x).(7 - y) là số nguyên tố.
B/*Ta đi từ bài toán:
Bài toán cơ bản: Tổng sau có chia hết cho 3 không?
A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ 2
5
+ 2
6
+ 2

7
+ 2
8
+ 2
9
+ 2
10
.
Lời giải:
A = (2 + 2
2
) + (2
3
+ 2
4
) + (2
5
+ 2
6
) + (2
7
+ 2
8
) + (2
9
+ 2
10
)
= 2(1 + 2) + 2
3

(1 + 2) + 2
5
(1 + 2) + 2
7
(1 + 2) + 2
9
(1 + 2)
= 2.3 + 2
3
. 3 + 2
5
.3 + 2
7
.3 + 2
9
.3
Vậy A chia hết cho 3.
Từ lời giải bài toán, ta còn có các bài toán sau:
Bài 1: Tổng sau có chia hết cho 3 không?
a) A = 2 + 2
2
;
b) B = 2 + 2
2
+ 2
3
.
Giải:
a) A = 2(1 + 2) = 2.3 Vậy A chia hết cho 3.
b) B = 2 + 2

2
(1 + 2) = 2 + 2
2
.3
Do 2
2
.3 chia hết cho 3, còn 2 không chia hết cho 3 nên B không chia hết cho 3.
Bài 2: Chứng tỏ rằng C = 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ + 2
2002
chia hết cho 3.
Giải:
C = (2 + 2
2
) + (2
3
+ 2
4
) + + (2
2001
+ 2
2002
)
= 2(1 + 2) + 2
3

(1 + 2) + + 2
2001
(1 + 2)
= 2.3 + 2
3
. 3 + + 2
2001
. 3
Nguyễn Trọng Hiếu
2
tích lũy: Khai thác từ một bài toán
Vậy C chia hết cho 3.
Từ lời giải các bài toán, ta có thể đề xuất bài toán tổng quát:
Bài toán tổng quát 1: Chứng tỏ rằng
a) S
1
= 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ + 2
2k
chia hết cho 3 với k

N
*
b) S
2

= 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ + 2
2k + 1
không chia hết cho 3 với k

N
*
(Chứng minh tổng quát nh bài toán 1)
Bài toán tổng quát 2: Tìm điều kiện của số tự nhiên n

0
để tổng A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ + 2
2n
chia hết cho 3.
Chứng minh đợc chia ra hai trờng hợp là n

N
*
, n chẵn và n

N
*
, n lẻ.
Vậy với n là số tự nhiên chẵn khác không thì A chia hết cho 3.
C/*Ta đi từ bài toán SGK:
Bài toán cơ bản: Tính tổng sau 1 + 2 + 3 + + 98 + 99 + 100
Lời giải: 1 + 2 + 3 + + 98 + 99 + 100
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + + (50 + 51)
=
101 101 ... 101+ + +
1 4 44 2 4 4 43
= 101.50 = 5050
Lời giải trên cũng là lời giải của nhà toán học Đức Gau-Xơ (Gauss; 1777-1855) lúc lên 7
tuổi.
Ghép 1 + 2 = 3; 3 + 4 = 7; 5 + 6 = 11; ; 99 + 100 = 199.
Cho ta bài toán1:
Bài 1: Cho biết 1 + 2 + 3 + 4 + + 99 + 100 = 5050.
Hãy tính nhanh tổng sau: 3 + 7 + 11 ++ 199.
Và nh vậy ta đề xuất đợc nhiều bài toán tơng tự bài toán 1.
Và ta có bài toán ngợc
Bài 2: Tìm x

N biết rằng: 1 + 2 + 3 + 4 + + x = 5050.
D/*Ta đi từ bài toán:
Bài toán cơ bản: Chứng tỏ rằng:
a) Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3;
b) Tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4.
Đây là bài toán khó chỉ dành cho Hs giỏi. Lời giải bài toán này nh sau:
a) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là a; a + 1; a + 2 (a

N)
Ta có: a + (a + 1) + (a + 2) = 3a + 3 chia hết cho 3.
b) Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là a; a + 1; a + 2; a + 3 (a

N)
Ta có: a + (a + 1) + (a + 2) + (a + 3) = 4a + 6 không chia hết cho 4.
Nh vậy ta có bài toán Hơn một chút
Bài 1: Chứng tỏ rằng:
a) Tổng của năm số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 5;
b) Tổng của sáu số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 6.
Và và từ ý tởng nh vậy ta đề xuất giải bài toán tổng quát:
Bài toán tổng quát: Chứng tỏ rằng:
a) Tổng của n số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho n, nếu n lẻ.
b) Tổng của n số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho n, nếu n chẵn.
Lời giải: Gọi n số tự nhiên liên tiếp là: a; a + 1; ; a + n - 1
Nguyễn Trọng Hiếu
3
50 Số hạng
tích lũy: Khai thác từ một bài toán
Ta có: a + (a + 1) + (a + 2) + + (a + n -1)
=
( ) ( )
... 0 1 2 3 ... 1a a a a n+ + + + + + + + + +

1 4 44 2 4 4 43
=
( ) ( )
. 0 1 . : 2 . 1 : 2 .n a n n n a n n+ + = +

a) Nếu n lẻ thì n - 1 chẵn nên (n - 1): 2 là số tự nhiên, do đó
( )
. 1 : 2 .n a n n+


chia hết cho n.
b) Nếu n chẵn thì n - 1 lẻ nên (n - 1): 2 không là số tự nhiên, do đó
( )
. 1 : 2 .n a n n+

không chia hết cho n.
E/*Ta đi từ bài toán:
Bài 1: Chứng tỏ rằng
12 1
30 2
n
n
+
+
là phân số tối giản (n

N)
Gợi ý: Vì n

N nên muốn chứng tỏ
12 1
30 2
n
n
+

+
là phân số tối giản thì cần chứng tỏ 12n + 1
và 30n + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Lời giải:
Gọi d là ớc chung lớn nhất của 12n + 1 và 30n + 2.
Ta có: (12n + 1)
M
d và (30n + 2)
M
d.
Do đó 5(12n + 1) - 2(30n + 2) = 1
M
d.
Vậy d = 1 nên 12n + 1 và 30n + 2 nguyên tố cùng nhau.
Do đó
12 1
30 2
n
n
+
+
là phân số tối giản.
Từ đây ta cũng có lời giải cho các bài toán cùng dạng sau:
Bài 2: Chứng tỏ rằng
14 3
21 4
n
n
+
+

là phân số tối giản (n

N)
Bài 3: Chứng tỏ rằng
18 5
24 7
n
n
+
+
là phân số tối giản (n

N)
Thật ra nếu chỉ cần tìm đợc các số tự nhiên a, b, c, d, e, g
sao cho
( ) ( )
1a bn c d en g+ + =
tức là ab = de,
1ac dg =

thì chúng ta sẽ có
bn c
en g
+
+
và
en g
bn c
+
+

là các phân số tối giản (với n

N).
F/*Ta đi từ bài toán:
Bài 1: Tìm các số tự nhiên a sao cho a chia hết cho 15 và 0 < a

40.
Lời giải: a
M
15

a = 15k (k

N) mà 0 < a

40

0 < 15k

40

k = 1, 2.
Vậy a = 15; a = 30.
Mở rộng số các số chia trong phép chia cùng với việc khai thác về số tự nhiên a ta có
bài toán:
Bài 2: Tìm các số tự nhiên a nhỏ nhất có 3 chữ số biết rằng nó chia hết cho 5 và 12.
Nguyễn Trọng Hiếu
4
n số hạng
tích lũy: Khai thác từ một bài toán

Lời giải: a
M
5; a
M
12

a

BC (5,12) mà (5,12) = 1

a = 60k (k

N). Vì a là số tự
nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số nên 60k > 100 và k nhỏ nhất

k = 2. Vậy a = 120.
Khai thác bài toán 1 và bài toán 2 về số d ta có bài toán:
Bài 3: Tìm các số tự nhiên a nhỏ nhất biết rằng khi chia nó cho 2, 3, 4 ta đợc số d lần lợt
là: 1, 2, 3.
Lời giải: Vì a chia cho 2, 3, 4 có số d lần lợt là 1, 2, 3 nên a + 1 chia hết cho 2, 3, 4

a
+ 1

BC (2, 3, 4) mà BCNN (2, 3, 4) = 12

a + 1 = 12k (k

N
*

).Vì a nhỏ nhất

k = 1
nên a + 1 = 12

a = 11.
Thay đổi hình thức yêu cầu của bài toán 3, nâng cao sự đa dạng của các số d
trong các phép chia ta đợc bài toán:
Bài 4: Một số tự nhiên a khi chia cho 4 d 3, chia cho 17 d 9, chia cho 19 d 13. Hỏi khi
chia a cho 1292 thì có số d là bao nhiêu?
Lời giải:
Vì a chia cho 4 d 3, chia cho 17 d 9, chia cho 19 d 13 nên a + 25 chia hết cho 4,
17, 19

a + 25

BC (4, 17, 19) mà (4, 17, 19) = 1

a + 25 = 4.14.17k (k

N
*
).

a = 1292k - 25

a = 1292(k - 1) + 1267 .Vậy a chia cho 1292 thì có số d là
1267.
Tiếp tục nâng cao hơn nữa sự đa dạng trong các phép chia ta có bài toán:
Bài 5:Tìm số con vịt (tìm x) biết x chia cho 3 d 1; x chia cho 5 d 4; x chia hết cho 7. Biết

số vịt cha đến 200 con.
Lời giải: x chia cho 3 d 1; x chia cho 5 d 4; x chia hết cho 7 nên x + 56 chia hết cho 357

x + 56 = 105k (k

N) vì x < 200

105k - 56 < 200

105k < 256

k = 1, 2 (Theo
cách hiểu của dân gian thì số vịt phải gần 200 con nên loại k = 1) Vậy số vịt cần tìm là
154 con.
Tới đây ta có thể đa ra tổng quát sau:
Cho a chia m d r
1
, a chia cho n d r
2
, a chia cho p d r
3


a - r
1

M
m; a - r
2

M
n;
a - r
3

M
p
Ta phải tìm số tự nhiên t sao cho r
1
+ t
M
m; r
2
+ t
M
n; r
3
+ t
M
p.
Khi đó a - r
1
+ (r
1
+ t)
M
m; a - r
2
+ (r
2

+ t)
M
n; a - r
3
+ (r
3
+

t)
M
p

a + t

BC (m, n, p).
Rõ ràng ở bài toán 1, 2 ta tìm đợc t = 0; còn ở bài toán 3: t = 1; bài toán 4: t = 25;
bài toán 5: t = 56.
Vậy trong các bài toán sau:
Bài 1: Tìm a

N biết a
M
5, a : 7 d 2, a : 9 d 4 và 600 < a < 700.
Bài 2: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất biết
a) a : 2 d 1, a : 3 d 1, a : 5 d 4.
b) a : 2 d 1, a : 3 d 2, a : 5 d 4 , a
M
7.
Thì t bằng bao nhiêu từ đó rút ra phơng hớng tổng quát về cách tính t nhanh chóng nh thế
nào?

ZZZ
3) Về một bài toán (Lớp 7)
A/*Ta đi từ bài toán:
Viết các số 2
27
và 3
18
dới dạng các lũy thừa có số mũ là 9.
Tìm tòi lời giải
Nguyễn Trọng Hiếu
5