ỨNG DỤNG CỦA MÔ HÌNH POĂNGCARÊ VÀ ÁNH XẠ XẠ ẢNH PHẲNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hình học xạ ảnh là một trong những học phần chuyên ngành dành cho
sinh viên ngành ĐHSP Toán. Mục đích của học phần là cung cấp cho sinh viên
cái nhìn tổng quan về các hình học và mối quan hệ giữa chúng. Đồng thời, hình
học xạ ảnh giúp chúng ta có một phương pháp suy luận, phương pháp giải và
sáng tạo một số bài toán thuộc chương trình phổ thông.
Việc ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải và sáng tạo những bài toán hình
học afin là một vấn đề cơ bản và cũng là một trong những mục đích, yêu cầu
quan trọng dành cho các sinh viên khi học môn hình học xạ ảnh để hiểu rõ và
vận dụng trong công tác giảng dạy sau này.
Hiện nay, trong các giáo trình Hình học xạ ảnh đã đề cập đến mối quan
hệ giữa hình học xạ ảnh và hình học sơ cấp. Tuy nhiên còn ở mức độ khiêm tốn,
việc sáng tạo các bài toán mới cũng ít được quan tâm.
Nhằm tìm hiểu sâu hơn về hình học xạ ảnh, đồng thời ứng dụng
nó vào chương trình phổ thông, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu khoa học là:
“ỨNG DỤNG CỦA MÔ HÌNH POĂNGCARÊ VÀ ÁNH XẠ XẠ ẢNH
PHẲNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP”. Chúng tôi chọn đề tài này với mục
đích nghiên cứu một số ứng dụng của hình học cao cấp vào việc tìm tòi và giải
nhanh chóng nhiều bài tập hình học sơ cấp. Trên cơ sở đó hình thành phương
pháp phát hiện và giải một lớp bài toán hình học mới hoặc khám phá ra những
tính chất thú vị từ những bài toán quen thuộc.
Đây là một vấn đề khó và rất rộng, do đó trong khuôn khổ đề tài này,
chúng tôi chỉ dừng lại ở việc trình bày một số ứng dụng của mô hình
Poăngcarê và ánh xạ xạ ảnh phẳng trong một số bài toán hình học sơ cấp.
Nội dung đề tài đề cập đến hai vấn đề sau đây:
Vấn đề thứ nhất: Đây là nội dung cơ bản của đề tài. Ở phần này chúng tôi
sẽ khai thác các tính chất của ánh xạ xạ ảnh và các phép biến đổi xạ ảnh trên các

dạng cấp một và cấp hai vào việc phát hiện nhanh chóng các bài toán hình học
sơ cấp. Dựa trên nền tảng một số kiến thức cơ bản của hình học xạ ảnh phẳng,
chúng tôi cố gắng thể hiện việc dùng hình học xạ ảnh như một công cụ để phát
hiện và cho lời giải sơ cấp thông thường để có thể thấy rõ hơn ứng dụng của
hình học cao cấp trong hình học sơ cấp. Những bài toán đó được chúng tôi sắp
xếp và phân loại theo các chủ đề: chứng minh đại lượng không đổi; chứng minh

2

sự thẳng hàng của các điểm; chứng minh sự đồng quy của các đường thẳng; một
số bài toán quỹ tích và dựng hình.
Vấn đề thứ hai: Chúng tôi khai thác mô hình Poăngcarê (Poincare) của hệ
tiên đề Ơclit – Hinbe của hình học phẳng Ơclit nhằm làm sáng tỏ phần nào giá
trị của phương pháp tiên đề. Qua mô hình này chúng tôi chỉ ra rằng không thể
lấy trực giác mà thay thế cho lý luận trong việc chứng minh các định lý hình học
cũng như việc giải toán. Cũng qua mô hình, ta sẽ thấy rõ hơn rằng nếu gán cho
các khái niệm cơ bản một nội dung cụ thể tùy ý (miễn sao hệ tiên đề được thỏa
mãn) sau đó dùng một lần lý luận để xây dựng hình học trừu tượng, ta sẽ rút ra
được nhiều kết quả mới lạ và thú vị bằng cách thể hiện các kết quả đã biết trong
hình học Ơclit thông thường vào mô hình hình học cụ thể được đề cập đến. Đó
là một công việc tiết kiệm được công sức lao động trí óc.
2. Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài
a. Mục tiêu
Áp dụng các tính chất của ánh xạ xạ ảnh phẳng vào việc phát hiện và giải
các bài toán hình học sơ cấp. Thể hiện các tính chất của hình học Ơclit thông
thường trên mô hình Poăngcarê.
b. Nhiệm vụ
- Trình bày, hệ thống các kiến thức cơ bản về ánh xạ xạ ảnh, biến đổi xạ
ảnh phẳng.
- Đưa ra một số ứng dụng của ánh xạ ảnh trong một số bài toán hình học

sơ cấp.
- Trình bày cách xây dựng mô hình Poăngcarê, chứng minh một số kết
quả của hình học Ơclit thông thường thể hiện trên mô hình.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Mô hình Poăngcarê và một số tính chất xạ ảnh
của ánh xạ xạ ảnh
- Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng của mô hình Poăngcarê và một số tính
chất của ánh xạ xạ ảnh và các biến đổi xạ ảnh trong việc giải toán hình học sơ
cấp.
4. Nội dung nghiên cứu
* Nội dung chính:.
* Nội dung 1: Khai thác các tính chất của ánh xạ xạ ảnh và các phép
biến đổi xạ ảnh
* Nội dung 2: Khai thác mô hình Poăngcarê của hệ tiên đề Ơclit – Hinbe

3

của hình học Ơclit.
* Cấu trúc:
Chương 1. Ánh xạ xạ ảnh phẳng
1.1. Ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp 1
1.2. Ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm và các chùm đường thẳng
1.3. Ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp 2
Chương 2. Ứng dụng của ánh xạ xạ ảnh phẳng trong hình học sơ cấp
2.1. Ứng dụng các tính chất của ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp 1 vào
việc phát hiện và giải các bài toán chứng minh đại lượng không đổi
2.2. Ứng dụng phép biến đổi xạ ảnh loại hyperbolic trên một dạng cấp
một trong một số bài toán hình học sơ cấp
2.3. Ứng dụng phép biến đổi xạ ảnh loại parabolic trên một dạng cấp một
trong một số bài toán hình học sơ cấp

2.4. Ứng dụng phép biến đổi xạ ảnh loại eliptic trên một dạng cấp một
trong một số bài toán hình học sơ cấp
Chương 3. Ứng dụng của mô hình Poăngcarê trong hình học sơ cấp
3.1. Nhắc lại về hệ tiên đề Ơclit – Hinbe
3.2. Xây dựng mô hình Poăngcarê
3.3. Một số kết quả của hình học Ơclit thể hiện trên mô hình
5. Cách tiếp cận, phuơng pháp nghiên cứu
* Cách tiếp cận: Nghiên cứu mô hình Poăngcarê trên mô hình hình học sơ cấp
thông thường, bằng các tính chất của hình học cao cấp tìm cách thể hiện qua
hình học sơ cấp để đưa ra những tính chất và kết quả của hình học sơ cấp.
Nghiên cứu các tính chất của ánh xạ xạ ảnh và các phép biến đổi xạ ảnh
trên các dạng cấp một và cấp hai trong việc phát hiện và giải các bài toán hình
học sơ cấp.
* Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc và nghiên cứu những tài liệu liên quan.
Cụ thể, chúng tôi nghiên cứu các kiến thức về ánh xạ xạ ảnh, tổng hợp và giải
các bài toán hình học sơ cấp có liên quan đến các phép biến đổi xạ ảnh. Tiếp
theo, chúng tôi dùng các tính chất của phép nghịch đảo để chứng minh một số
kết quả của hình học Ơclit thông thường thể hiện trên mô hình.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp, hệ thống hóa lại các kiến thức,
tài liệu liên quan.


4

CHƯƠNG 1.
ÁNH XẠ XẠ ẢNH PHẲNG

1.1 Ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp 1
1.1.1. Định nghĩa dạng cấp 1

Tập hợp tất cả các điểm cùng thuộc một đường thẳng gọi là một hàng
điểm. Đường thẳng này được gọi là giá của hàng điểm.
Tập hợp tất cả các đường thẳng thuộc cùng thuộc một mặt phẳng và cùng
đi qua một điểm được gọi là chùm đường thẳng. Điểm này được gọi là tâm hay
giá của chùm. Mỗi đường thẳng được gọi là một tia của chùm.
Tập hợp tất cả các mặt phẳng cùng thuộc một đường thẳng gọi là một
chùm mặt phẳng. Đường thẳng này được gọi là trục hay giá của chùm.
1.1.2. Nguyên tắc đối ngẫu trong mặt phẳng xạ ảnh
Đi đôi với mỗi mệnh đề xạ ảnh phát biểu nêu những tương quan giữa các
điểm và đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh, ta có một mệnh đề thứ hai tìm ra
bằng cách thay vào mệnh đề thứ nhất mọi chữ “điểm” bằng chữ “đường thẳng”
và ngược lại.
1.1.3. Tỷ số kép của bốn phần tử trong một dạng cấp một
1.1.3.1. Định nghĩa
Giả sử A, B, C, D là bốn điểm thẳng hàng trên một đường thẳng
∆
. Ta gọi
tỷ số:
:
CA DA
CB DB
là t
ỷ
s
ố
kép c
ủ
a b
ố
n

đ
i
ể
m th
ẳ
ng hàng A, B, C, D theo th
ứ
t
ự

đ
ó.
Ký hi
ệ
u là:
(
)
ABCD
. V
ậ
y,
( )
:
CA DA
ABCD
CB DB
= .
1.1.3.1. Các tính chất của tỷ số kép
Tính chất 1:
T

ỷ
s
ố
kép c
ủ
a b
ố
n
đ
i
ể
m th
ẳ
ng hàng A, B, C, D không
đổ
i khi ta
hoán v
ị
c
ặ
p
đ
i
ể
m
đầ
u và c
ặ
p
đ

i
ể
m cu
ố
i v
ớ
i nhau. Nh
ư
v
ậ
y:
(
)
(
)
ABCD CDAB
=
.
Tính chất 2:
T
ỷ
s
ố
kép c
ủ
a b
ố
n
đ
i

ể
m th
ẳ
ng hàng A, B, C, D không
đổ
i khi ta
hoán v
ị

đồ
ng th
ờ
i hai
đ
i
ể
m
đầ
u v
ớ
i nhau, và hai
đ
i
ể
m cu
ố
i v
ớ
i nhau. Nh
ư

v
ậ
y:
(
)
(
)
ABCD BADC
=
.
Tính chất 3:
T
ỷ
s
ố
kép c
ủ
a b
ố
n
đ
i
ể
m th
ẳ
ng hàng A, B, C, D s
ẽ
ngh
ị
ch

đả
o n
ế
u
ta hoán v
ị
ho
ặ
c hai
đ
i
ể
m
đầ
u, ho
ặ
c hai
đ
i
ể
m cu
ố
i v
ớ
i nhau. Nh
ư
v
ậ
y:

5

( )
( ) ( )
1 1
ABCD
BACD ABDC
= = .
Tính chất 4:
T
ỷ
s
ố
kép c
ủ
a b
ố
n
đ
i
ể
m th
ẳ
ng hàng A, B, C, D s
ẽ
tr
ở
thành ph
ầ
n

bù c
ủ
a nó cho
đế
n 1 khi ta hoán v
ị
hai
đ
i
ể
m
ở
gi
ữ
a v
ớ
i nhau, ho
ặ
c
đ
i
ể
m
đầ
u và
đ
i
ể
m cu
ố

i v
ớ
i nhau. Nh
ư
v
ậ
y:
(
)
(
)
(
)
1 1
ABCD ACBD DBCA
= − = −
.
1.1.3.2. Định nghĩa

N
ế
u t
ỷ
s
ố
kép
(
)
1
ABCD

= −
thì ta nói r
ằ
ng b
ố
n
đ
i
ể
m A, B, C, D l
ậ
p thành
m
ộ
t thành m
ộ
t hàng
đ
i
ể
m
đ
i
ề
u hòa.
M
ộ
t chùm
đườ
ng th

ẳ
ng
đ
i qua b
ố
n
đ
i
ể
m c
ủ
a m
ộ
t hàng
đ
i
ể
m
đ
i
ề
u hòa g
ọ
i
là chùm
đ
i
ề
u hòa.
1.2. Ánh xạ xạ ảnh giữa các hàng điểm và các chùm đường thẳng

1.2.1. Các định nghĩa
1.2.1.1. Định nghĩa

N
ế
u gi
ữ
a các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a m
ộ
t hàng
đ
i
ể
m và c
ủ
a m
ộ
t chùm
đườ
ng th
ẳ
ng
thi
ế

t l
ậ
p m
ộ
t song ánh nh
ư
sau:
- M
ỗ
i
đ
i
ể
m c
ủ
a hàng
đ
i
ể
m n
ằ
m trên m
ộ
t tia t
ươ
ng
ứ
ng c
ủ
a m

ộ
t chùm.
- M
ỗ
i tia t
ươ
ng
ứ
ng c
ủ
a chùm
đ
i qua
đ
i
ể
m t
ươ
ng
ứ
ng c
ủ
a hàng.
Thì ta nói r
ằ
ng: hàng
đ
i
ể
m c

ắ
t chùm ho
ặ
c chùm chi
ế
u hàng ho
ặ
c có m
ộ
t
ánh x
ạ
ph
ố
i c
ả
nh gi
ữ
a hàng
đ
i
ể
m và chùm
đườ
ng th
ẳ
ng.
1.2.1.2. Định nghĩa

Hai chùm

đườ
ng th
ẳ
ng g
ọ
i là liên h
ệ
ph
ố
i c
ả
nh v
ớ
i nhau n
ế
u chúng cùng
chi
ế
u m
ộ
t hàng
đ
i
ể
m.
Hai hàng
đ
i
ể
m

đượ
c g
ọ
i là liên h
ệ
ph
ố
i c
ả
nh v
ớ
i nhau n
ế
u chúng cùng c
ắ
t
m
ộ
t chùm
đườ
ng th
ẳ
ng.
Ký hi
ệ
u:
∧
dùng
để
ch

ỉ
liên h
ệ
ph
ố
i c
ả
nh.
Nh
ậ
n xét: Liên h
ệ
ph
ố
i c
ả
nh b
ả
o toàn t
ỷ
s
ố
kép.
1.2.1.3. Định nghĩa

M
ộ
i song ánh gi
ữ
a hai d

ạ
ng c
ấ
p m
ộ
t s
ẽ
g
ọ
i là x
ạ

ả
nh n
ế
u song ánh
đ
ó b
ả
o
toàn t
ỷ
s
ố
kép c
ủ
a b
ố
n ph
ầ

n t
ử
.
Ký hi
ệ
u:
∧
dùng
để
ch
ỉ
song ánh x
ạ

ả
nh.
1.2.2. Điều kiện cần và đủ để một song ánh xạ ảnh trở thành phối cảnh
Định lý 1

6

Đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n và
đủ

để
cho hai hàng
đ
i
ể
m x
ạ

ả
nh thành ph
ố
i c
ả
nh là giao
đ
i
ể
m hai giá t
ự

ứ
ng.
Định lý 2
(
Đố
i ng
ẫ
u c
ủ

a
Đị
nh lý 1)


Đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n và
đủ

để
cho hai chùm
đườ
ng th
ẳ
ng x
ạ

ả
nh thành ph
ố
i c
ả
nh
là

đườ
ng th
ẳ
ng n
ố
i hai tâm t
ự

ứ
ng.
1.2.3. Nghiên cứu ánh xạ ảnh bằng phương pháp tọa độ
1.2.3.1. Định lý
Gi
ả
s
ử

M
và
'
M
là hai
đ
i
ể
m theo th
ứ
t
ự
có t

ọ
a
độ

x
và
'
x
trên hai giá
(hai tr
ụ
c).
Đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n và
đủ

để
hai hàng
đ
i
ể
m
(
)

M x
và
(
)
'
M x
có m
ộ
t song
ánh là gi
ữ
a
x
và
'
x
có liên h
ệ
:
( )
' 1
ax b
x
cx d
+
=
+
.

1.2.3.1. Điểm giới hạn và hệ thức rút gọn

Tr
ườ
ng h
ợ
p
0
c
≠
: G
ọ
i
'
J
là
đ
i
ể
m c
ủ
a hàng
'
s

ứ
ng v
ớ
i
đ
i

ể
m xa vô t
ậ
n
trên hàng s và I là
đ
i
ể
m c
ủ
a hàng s
ứ
ng v
ớ
i
đ
i
ể
m xa vô t
ậ
n trên hàng
'
s
, th
ế
thì I
và
'
J
đượ

c g
ọ
i là hai
đ
i
ể
m gi
ớ
i h
ạ
n.
B
ằ
ng cách cho x và
'
x
giá tr
ị
“vô c
ự
c” trong h
ệ
th
ứ
c '
ax b
x
cx d
+
=

+
ta tìm
đượ
c t
ọ
a
độ
c
ủ
a I là
d
c
−
và t
ọ
a
độ
c
ủ
a
'
J
là
a
c
.
Bây gi
ờ
ta l
ấ

y I,
'
J
làm g
ố
c t
ọ
a
độ
theo th
ứ
t
ự
trên tr
ụ
c s và trên tr
ụ
c
'
s
,
th
ự
c hi
ệ
n phép bi
ế
n
đổ
i t

ọ
a
độ
:
' '
d
x X
c
a
x X
c

= −




= −


.
Khi
đ
ó, h
ệ
th
ứ
c (1) tr
ở
thành

2
'
bc ad
XX
c
−
= không
đổ
i.
Ta chú ý r
ằ
ng các
đ
i
ể
m xa “vô t
ậ
n” không ph
ả
i là m
ộ
t khái ni
ệ
m x
ạ

ả
nh
nên các
đ

i
ể
m gi
ớ
i h
ạ
n c
ũ
ng không ph
ả
i là khái ni
ệ
m x
ạ

ả
nh.
Đứ
ng v
ề
phía
ph
ươ
ng di
ệ
n hình h
ọ
c x
ạ

ả
nh thì không thành v
ấ
n
đề
ph
ả
i xét các
đ
i
ể
m
đ
ó,
nh
ư
ng m
ụ
c
đ
ích c
ủ
a ta là mu
ố
n áp d
ụ
ng các k
ế
t qu
ả

hình h
ọ
c x
ạ

ả
nh vào hình
h
ọ
c s
ơ
c
ấ
p thông th
ườ
ng nên ta
đ
ã xét các
đ
i
ể
m gi
ớ
i h
ạ
n.
Tr
ườ
ng h
ợ

p
0
c
=
: I và
'
J

đề
u xa vô t
ậ
n. Ta có
đị
nh lý:
Định lý
Đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n và
đủ

để
m
ộ
t song ánh x
ạ

ả
nh gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng tr
ở

thành m
ộ
t ánh x
ạ

đồ
ng d
ạ
ng là hai
đ
i
ể
m gi
ớ
i h
ạ
n
đề
u xa vô t

ậ
n.

7

1.2.3.3. Vấn đề xác nhận các song ánh xạ ảnh
Định lý

N
ế
u t
ừ
m
ỗ
i
đ
i
ể
m M c
ủ
a m
ộ
t hàng
đ
i
ể
m s, ta suy ra
đượ
c m
ộ

t
đ
i
ể
m
'
M

c
ủ
a m
ộ
t hàng
đ
i
ể
m
'
s
b
ằ
ng nh
ữ
ng phép d
ự
ng hình sao cho:
-

Gi
ữ

a M và
'
M
có m
ộ
t song ánh (k
ể
c
ả
ph
ầ
n t
ử

ả
o n
ế
u có)
-

Các
đườ
ng và m
ặ
t trong phép d
ự
ng là nh
ữ
ng
đườ

ng và m
ặ
t
đạ
i s
ố
. Khi
đ
ó, ta có th
ể
k
ế
t lu
ậ
n
đượ
c r
ằ
ng hàng
(
)
M
và hàng
(
)
'
M
có liên h
ệ

v
ớ
i nhau b
ằ
ng m
ộ
t song ánh x
ạ

ả
nh, ngh
ĩ
a là có th
ể
t
ừ
hàng này suy ra
hàng kia b
ằ
ng hai hay ba phép chi
ế
u xuyên tâm.
1.2.4. Phép biến đổi (điểm xạ ảnh) trên đường thẳng và phép biến đổi
(tuyến) xạ ảnh tại một điểm
1.2.4.1. Định nghĩa phần tử kép

Trong m
ộ
t phép bi
ế

n
đổ
i x
ạ

ả
nh gi
ữ
a hai hàng
đ
i
ể
m cùng giá hay gi
ữ
a hai
chùm
đườ
ng th
ẳ
ng cùng tâm, n
ế
u có hai ph
ầ
n t
ử
tu
ơ
ng
ứ
ng trùng nhau thì ph

ầ
n
t
ử

đ
ó
đượ
c g
ọ
i là ph
ầ
n t
ử
kép hay ph
ầ
n t
ử
b
ấ
t
độ
ng.
M
ộ
t phép bi
ế
n
đổ
i x

ạ

ả
nh gi
ữ
a hai hàng
đ
i
ể
m cùng giá hay gi
ữ
a hai chùm
đườ
ng th
ẳ
ng cùng tâm
đượ
c g
ọ
i là hyperbolic, parabolic, eliptic n
ế
u nó có hai,
m
ộ
t hay không có
đ
i
ể
m kép.
Nh

ư
v
ậ
y, theo bi
ế
n
đổ
i (1) thì trong m
ộ
t phép bi
ế
n
đổ
i x
ạ

ả
nh, t
ọ
a
độ
c
ủ
a
đ
i
ể
m kép
đượ
c xác

đị
nh b
ở
i ph
ươ
ng trình:
ax b
x
cx d
+
=
+
hay
(
)
(
)
2
0 1'
cx a d x b− − − = .
Trong tr
ườ
ng h
ợ
p
0
c
=
, theo lý lu
ậ

n
ở
trên ta có m
ộ
t liên h
ệ

đồ
ng d
ạ
ng.
Vì
ở

đ
ây hai hàng có cùng giá nên
đ
i
ể
m xa vô t
ậ
n tr
ở
thành
đ
i
ể
m kép. Ng
ượ
c l

ạ
i,
m
ộ
t liên h
ệ

đồ
ng d
ạ
ng là m
ộ
t liên h
ệ
x
ạ

ả
nh có m
ộ
t
đ
i
ể
m kép
ở
vô t
ậ
n.
1.2.4.2. Biến đổi đồng dạng

Định lý
Đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n và
đủ

để
m
ộ
t phép bi
ế
n
đổ
i x
ạ

ả
nh trên m
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng
thành m

ộ
t phép bi
ế
n
đổ
i
đồ
ng d
ạ
ng là m
ộ
t trong hai
đ
i
ể
m kép xa vô t
ậ
n.
1.2.4.3. Biến đổi đẳng cự
Định lý
Đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n và
đủ

để
m
ộ
t bi
ế
n
đổ
i x
ạ

ả
nh trên m
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng thành
m
ộ
t bi
ế
n
đổ
i
đẳ
ng c
ự
là c
ả

hai
đ
i
ể
m kép
đề
u xa vô t
ậ
n.
1.2.4.4. Tính chất của biến đổi xạ ảnh

8

Định lý 1

Trong m
ộ
t phép bi
ế
n
đổ
i Hyperbolic gi
ữ
a hai hàng
đ
i
ể
m, hai
đ
i

ể
m t
ươ
ng
ứ
ng cùng v
ớ
i hai
đ
i
ể
m kép có m
ộ
t t
ỷ
s
ố
kép không
đổ
i.
Định lý 2

Trong m
ộ
t phép bi
ế
n
đổ
i Eliptic gi
ữ

a hai hàng
đ
i
ể
m, bao gi
ờ
c
ũ
ng có hai
đ
i
ể
m
đ
i
ể
m
đố
i x
ứ
ng nhau qua giá chung c
ủ
a hai hàng sao cho t
ừ
m
ỗ
i
đ
i
ể

m
đ
ó
ng
ườ
i ta nhìn hai
đ
i
ể
m t
ươ
ng
ứ
ng d
ướ
i m
ộ
t góc
đị
nh h
ướ
ng không
đổ
i.
Định lý 3

B
ằ
ng phép chi
ế

u xuyên tâm, ta có th
ể
bi
ế
n hai hàng
đ
i
ể
m cùng giá trong
bi
ế
n
đổ
i x
ạ

ả
nh lo
ạ
i Parabolic thành hai hàng
đ
i
ể
m trong m
ộ
t bi
ế
n
đổ
i

đẳ
ng c
ự
c.
Hệ quả

N
ế
u ta ch
ọ
n
đ
i
ể
m kép làm g
ố
c hoành
độ
thì m
ộ
t bi
ế
n
đổ
i x
ạ

ả
nh lo
ạ

i
Parabolic s
ẽ
có d
ạ
ng
1 1
'
x x
−
là m
ộ
t h
ằ
ng s
ố
.
1.2.5. Biến đổi xạ ảnh đối hợp
1.2.5.1. Định nghĩa
M
ộ
t bi
ế
n
đổ
i (
đ
i
ể
m) x

ạ

ả
nh trên m
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng hay bi
ế
n
đổ
i (
đườ
ng) x
ạ

ả
nh t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m
đượ
c g

ọ
i là có tính ch
ấ
t
đố
i h
ợ
p n
ế
u
đ
i
ể
m (hay tia) t
ươ
ng
ứ
ng
v
ớ
i b
ấ
t c
ứ

đ
i
ể
m (hay tia) nào
đ

ã cho không ph
ụ
thu
ộ
c vào vi
ệ
c ta xem
đ
i
ể
m (hay
tia)
đ
ã cho là thu
ộ
c hàng (chùm) này hay hàng (chùm) kia.
Nói m
ộ
t cách khác, m
ộ
t bi
ế
n
đổ
i x
ạ

ả
nh gi
ữ

a hai hàng
đ
i
ể
m (hay hai
chùm) cùng giá s
ẽ
g
ọ
i là có tính ch
ấ
t
đố
i h
ợ
p n
ế
u hai hàng (chùm)
đ
ó có vai trò
nh
ư
nhau. Ta s
ẽ
g
ọ
i t
ắ
t m
ộ

t bi
ế
n
đổ
i x
ạ

ả
nh có tính ch
ấ
t
đố
i h
ợ
p là m
ộ
t bi
ế
n
đổ
i
đố
i h
ợ
p và dùng ký hi
ệ
u
∨
∧

để
ch
ỉ
bi
ế
n
đổ
i x
ạ

ả
nh
đố
i h
ợ
p.
Chú ý:
M
ộ
t bi
ế
n
đổ
i x
ạ

ả
nh
đố
i h

ợ
p ho
ặ
c có hai ho
ặ
c không có
đ
i
ể
m kép.
1.2.5.2. Điểm trung tâm và điểm kép

Trong m
ộ
t bi
ế
n
đổ
i x
ạ

ả
nh gi
ữ
a hai hàng
đ
i
ể
m,
ứ

ng v
ớ
i
đ
i
ể
m xa vô t
ậ
n có
hai
đ
i
ể
m t
ươ
ng
ứ
ng
',
J I
tùy theo ta xem
đ
i
ể
m xa vô t
ậ
n thu
ộ
c hàng th
ứ

nh
ấ
t
hay hàng th
ứ
hai. Trong m
ộ
t liên h
ệ

đố
i h
ợ
p thì I trùng v
ớ
i
'
J
thành m
ộ
t
đ
i
ể
m O
g
ọ
i là
đ
i

ể
m trung tâm c
ủ
a phép bi
ế
n
đổ
i. Do v
ậ
y, trong liên h
ệ

đố
i h
ợ
p ta có
. '
OM OM
không
đổ
i.
1.2.5.3. Định lý Phơrêgiê

9


N
ế
u qua tâm chung c
ủ

a hai chùm
đố
i h
ợ
p, ta d
ự
ng m
ộ
t
đườ
ng cong b
ậ
c
hai
(
)
C
thì các
đườ
ng th
ẳ
ng n
ố
i t
ừ
ng c
ặ
p giao
đ
i

ể
m c
ủ
a
(
)
C
v
ớ
i t
ừ
ng c
ặ
p tia
t
ươ
ng
ứ
ng s
ẽ

đồ
ng quy t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể

m P, g
ọ
i là
đ
i
ể
m Ph
ơ
rêgiê.
Đối ngẫu:

N
ế
u ta d
ự
ng m
ộ
t
đườ
ng b
ậ
c hai
(
)
C
ti
ế
p xúc v
ớ
i giá chung c

ủ
a hai hàng
đ
i
ể
m
đố
i h
ợ
p thì các giao
đ
i
ể
m c
ủ
a c
ặ
p ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
(
)
C
xu
ấ
t phát t

ừ
các c
ặ
p
đ
i
ể
m t
ươ
ng
ứ
ng s
ẽ
th
ẳ
ng hàng.
1.2.5.2. Định lý Đơdacgơ thứ hai

D
ạ
ng m
ộ
t: M
ộ
t
đườ
ng cong b
ậ
c hai bi
ế

n thiên trong m
ộ
t chùm
đườ
ng
cong b
ậ
c hai thì v
ạ
ch lên b
ấ
t c
ứ

đườ
ng th
ẳ
ng nào hai hàng
đ
i
ể
m liên h
ệ
x
ạ

ả
nh
đố
i h

ợ
p v
ớ
i nhau.
D
ạ
ng hai: M
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng
∆
c
ắ
t ba c
ặ
p c
ạ
nh
đố
i di
ệ
n (ba
đườ
ng cong
suy bi
ế
n c

ủ
a chùm)
(
)
(
)
(
)
, ; , ; ,
AB CD AC BD AD BC
c
ủ
a m
ộ
t t
ứ

đ
i
ể
m ABCD và
m
ộ
t
đườ
ng cong b
ậ
c hai ngo
ạ
i ti

ế
p t
ứ

đ
i
ể
m
đ
ó theo b
ố
n c
ặ
p
đ
i
ể
m t
ươ
ng
ứ
ng
trong m
ộ
t bi
ế
n
đổ
i x
ạ

ả
nh
đố
i h
ợ
p.

1.2.5.5. Định lý

Đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n và
đủ

để
ba
đườ
ng th
ẳ
ng
, ,
Ax By Cz
xu
ấ

t phát t
ừ
ba
đỉ
nh
c
ủ
a m
ộ
t tam giác ABC
đồ
ng quy là các c
ặ
p
(
)
(
)
(
)
, ; , ; ,
Ax BC By CA Cz AB
c
ắ
t m
ộ
t
đườ
ng th
ẳ

ng nào
đ
ó theo ba c
ặ
p
đ
i
ể
m t
ươ
ng
ứ
ng trong m
ộ
t phép
đố
i h
ợ
p.
Đối ngẫu

Đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n và
đủ

để
ba
đ
i
ể
m
', ', '
A B C
theo th
ứ
t
ự
l
ấ
y trên ba c
ạ
nh BC,
CA, AB c
ủ
a m
ộ
t tam giác ABC th
ẳ
ng hàng là có m
ộ
t
đ
i
ể

m S sao cho chùm
( ) ( )
, , ', ',
S A B S A B
∨
∧
.
1.3. Ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp hai
Trong m
ụ
c này, ta xét
đườ
ng cong b
ậ
c hai là
đườ
ng tròn. Do
đ
ó, ta nh
ắ
c
l
ạ
i các
đị
nh ngh
ĩ
a và
đị
nh lý sau:

1.3.1. Cực và đối cực
1.3.1.1. Định nghĩa
Hai
đ
i
ể
m M, N g
ọ
i là liên h
ợ
p v
ớ
i nhau
đố
i v
ớ
i
đườ
ng tròn (O) n
ế
u
đườ
ng
tròn
đườ
ng kính MN tr
ự
c giao v
ớ
i

đườ
ng tròn (O).
2.3.1.2. Định lý và định nghĩa

10

Qu
ỹ
tích nh
ữ
ng
đ
i
ể
m liên h
ợ
p v
ớ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m c
ố

đị
nh M (khác O)
đố

i v
ớ
i
m
ộ
t
đườ
ng tròn (O) là m
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng m vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng OM.
Đườ
ng th
ẳ
ng m nh
ư
v
ậ
y
đượ
c g

ọ
i là
đườ
ng
đố
i c
ự
c c
ủ
a
đ
i
ể
m M
đố
i v
ớ
i
đườ
ng
tròn (O).
1.3.1.3. Định lý

M
ọ
i
đườ
ng th
ẳ
ng m trong m

ặ
t ph
ẳ
ng
đề
u có m
ộ
t
đ
i
ể
m M duy nh
ấ
t nh
ậ
n m
làm
đườ
ng
đố
i c
ự
c
đố
i v
ớ
i m
ộ
t
đườ

ng tròn (O) cho tr
ướ
c.
1.3.1.4. Định nghĩa
Đ
i
ể
m M duy nh
ấ
t nói
ở

đị
nh lý trên
đượ
c g
ọ
i là c
ự
c c
ủ
a m
ộ
t
đ
i
ể
m M
đố
i

v
ớ
i
đườ
ng tròn (O) cho tr
ướ
c.
1.3.1.5. Cách dựng đường đối cực của
M
đối với đường tròn
(O)


- Qua M v
ẽ
hai cát tuy
ế
n MAB, MCD tùy ý.
- G
ọ
i:
;
AC BD J AD BC I
∩ = ∩ =

- Khi
đ
ó, IJ là
đườ
ng

đố
i c
ự
c c
ủ
a M
đố
i v
ớ
i (O).
Hình 1.1
C
J
I
D
B
A
M



11
* Đặc biệt:
- N
ế
u M n
ằ
m ngoài (O) thì qua M v
ẽ
2 ti

ế
p tuy
ế
n MA, MB

v
ớ
i (O)
(A, B là các ti
ế
p
đ
i
ể
m).
Đườ
ng
đố
i c
ự
c c
ủ
a M
đố
i v
ớ
i (O) là
đườ
ng th
ẳ

ng AB.

- N
ế
u M n
ằ
m trên (O) thì ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i (O) t
ạ
i M chính là
đườ
ng
đố
i c
ự
c c
ủ
a M
đố
i v
ớ
i (O).
Hình 1.2
O
M

- N
ế
u M n
ằ
m trong (O) thì ta xác
đị
nh
đườ
ng
đố
i c
ự
c c
ủ
a M
đố
i v
ớ
i (O) nh
ư
sau:
+ K
ẻ

đườ
ng vuông góc v
ớ
i MO t
ạ

i M,
đườ
ng th
ẳ
ng này c
ắ
t (O)
ở
A và B.
T
ừ
A, B k
ẻ
ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i (O), các ti
ế
p tuy
ế
n này c
ắ
t nhau
ở
H.
+
Đườ

ng th
ẳ
ng qua H vuông góc v
ớ
i MO chính là
đườ
ng
đố
i c
ự
c c
ủ
a M
đố
i v
ớ
i (O).
Hình 1.3
B
A
O
H
M

- Nhận xét:
V
ậ
y,
đườ
ng

đố
i c
ự
c c
ủ
a m
ộ
t
đ
i
ể
m M
đố
i v
ớ
i
đườ
ng tròn (O; R) cho
tr
ướ
c chính là qu
ỹ
tích nh
ữ
ng
đ
i
ể
m
'

M
sao cho:
2
. '
OM OM R
=
 
.

12
1.3.1.6. Cách dựng cực của một đường thẳng
m
cho trước đối với đường
tròn
(O)

- Trên m l
ấ
y hai
đ
i
ể
m A, B tùy ý, không thu
ộ
c (O).
- Qua
đ
i
ể
m A k

ẻ
hai ti
ế
p tuy
ế
n AI,
AJ
v
ớ
i
đườ
ng tròn (O).
- Qua
đ
i
ể
m B k
ẻ
hai ti
ế
p tuy
ế
n BH, BK v
ớ
i
đườ
ng tròn (O).
- N
ố
i IJ c

ắ
t HK t
ạ
i M. Khi
đ
ó, M chính là c
ự
c c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng m
đố
i v
ớ
i (O).

Hình 1.4
M
K
H
J
I
O
A
B

* Đặc biệt:

- N
ế
u m c
ắ
t (O) t
ạ
i A, B thì qua A, B v
ẽ
2 ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i (O) chúng c
ắ
t nhau t
ạ
i
M chính là c
ự
c c
ủ
a m
đố
i v
ớ
i (O).
- N
ế

u m ti
ế
p xúc v
ớ
i (O) thì c
ự
c c
ủ
a m
đố
i v
ớ
i (O) chính là ti
ế
p
đ
i
ể
m.
1.3.2. các tính chất của cực và đường đối cực
1.3.2.1. Định lý (Quan hệ liên thuộc)
N
ế
u m
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng m và m

ộ
t
đ
i
ể
m N thu
ộ
c nhau thì c
ự
c M và
đườ
ng
đố
i c
ự
c n c
ủ
a chúng c
ũ
ng
đố
i nhau.
1.3.2.2. Định nghĩa

13
Hai
đườ
ng th
ẳ
ng m, n

đ
i qua c
ự
c c
ủ
a nhau g
ọ
i là hai
đườ
ng th
ẳ
ng liên h
ợ
p
v
ớ
i nhau
đố
i v
ớ
i
đườ
ng tròn (O).
1.3.2.3. Định lý
Hai
đườ
ng th
ẳ
ng liên h
ợ

p v
ớ
i nhau
đố
i v
ớ
i
đườ
ng tròn (O) chia
đề
u hòa
hai ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đườ
ng tròn (O) xu
ấ
t phát t
ừ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai

đườ
ng th
ẳ
ng
đ
ã
cho.
1.3.2.4. Định lý

N
ế
u hai
đ
i
ể
m bi
ế
n thiên trên m
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng c
ố

đị
nh d mà luôn liên h
ợ
p

đố
i v
ớ
i
đườ
ng tròn (O) thì chúng v
ạ
ch thành hai hàng
đ
i
ể
m
đố
i h
ợ
p nh
ậ
n hai
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a d v
ớ
i
đườ
ng tròn (O) làm hai
đ

i
ể
m kép.

Đối ngẫu:
N
ế
u hai
đườ
ng th
ẳ
ng quay quanh m
ộ
t
đ
i
ể
m c
ố

đị
nh O luôn
luôn liên h
ợ
p v
ớ
i m
ộ
t
đườ

ng tròn (C) thì chúng t
ạ
o thành hai chùm
đố
i h
ợ
p nh
ậ
n
hai ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đườ
ng tròn (C) xu
ấ
t phát t
ừ
O làm hai tia kép.
1.2.3.5. Định lý

a.
Đườ
ng
đố
i c
ự

c c
ủ
a nhi
ề
u
đ
i
ể
m th
ẳ
ng hàng thì
đồ
ng quy
b. C
ự
c c
ủ
a nhi
ề
u
đườ
ng th
ẳ
ng
đồ
ng quy thì th
ẳ
ng hàng.

14
CHƯƠNG 2.
ỨNG DỤNG CỦA ÁNH XẠ XẠ ẢNH PHẲNG
TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC SƠ CẤP

2.1. Ứng dụng các tính chất của ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp 1 vào việc
phát hiện và giải các bài toán chứng minh đại lượng không đổi
2.1.1. Ứng dụng hệ thức
'
ax b
x

cx d
+
=
+
vào việc sáng tạo những bài toán sơ cấp
trong đó yêu cầu chứng minh những hệ thức
. '
AM AM
là hằng số.
V
ề
b
ả
n ch
ấ
t, nh
ữ
ng h
ệ
th
ứ
c d
ạ
ng
. '
AM AM

là h
ằ
ng s

ố
, ho
ặ
c
1 1
AP AQ
+
là h
ằ
ng s
ố
ch
ỉ
là tr
ườ
ng h
ợ
p
đặ
c bi
ệ
t c
ủ
a h
ệ
th
ứ
c '
ax b
x

cx d
+
=
+
, do
đ
ó
để
t
ạ
o ra các
bài toán d
ạ
ng trên thì ch
ỉ
c
ầ
n t
ạ
o ra m
ộ
t ánh x
ạ
x
ạ

ả
nh r
ồ
i thay

đổ
i g
ố
c t
ọ
a
độ

m
ộ
t cách thích h
ợ
p. Ch
ẳ
ng h
ạ
n ta có bài toán sau:
Bài toán 1.
Cho m
ộ
t hình thoi ngo
ạ
i ti
ế
p
đườ
ng tròn (O). M
ộ
t ti
ế

p tuy
ế
n thay
đổ
i c
ắ
t các
đườ
ng th
ẳ
ng AB, BC, CD, DA theo th
ứ
t
ự
t
ạ
i M, N, P, Q. G
ọ
i E, F,
G, H theo th
ứ
t
ự
là các ti
ế
p
đ
i
ể
m trên các c

ạ
nh AB, BC, CD, DA.
a. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng: Nh
ữ
ng tích sau
đ
ây là các
đạ
i l
ượ
ng không
đổ
i:
. ; . ; . ; . ; . ; .
AM CN AQ CP BM DQ BN DP EM GP FN HO

b. Trên AB, CB l
ấ
y các
đ
i
ể
m U, V sao cho
AU CV OA
= =
. Ch

ứ
ng minh r
ằ
ng
khi
đ
ó:
1 1
UM VN
+ không
đổ
i.
Lời giải :
a. Ta bi
ế
t r
ằ
ng: M
ộ
t ti
ế
p tuy
ế
n bi
ế
n thiên c
ủ
a m
ộ
t

đườ
ng cong b
ậ
c hai c
ắ
t hai
ti
ế
p tuy
ế
n c
ố

đị
nh c
ủ
a
đườ
ng cong b
ậ
c hai
đ
ó theo hai hàng
đ
i
ể
m liên h
ệ
x
ạ

ả
nh.
Do
đ
ó, trong tr
ườ
ng h
ợ
p này ta ch
ỉ
vi
ệ
c xét trên các tr
ụ
c và ch
ọ
n g
ố
c t
ọ
a
độ

thích h
ợ
p.
- Xét tr
ụ
c BA, ch

ọ
n B làm g
ố
c t
ọ
a
độ
,
BA

làm h
ướ
ng d
ươ
ng. G
ọ
i t
ọ
a
độ
c
ủ
a
đ
i
ể
m M là
'
x
.

- Xét tr
ụ
c BC, ch
ọ
n B làm g
ố
c t
ọ
a
độ
,
BC

làm h
ướ
ng d
ươ
ng. G
ọ
i t
ọ
a
độ
c
ủ
a
đ
i
ể
m N là

x
. G
ọ
i
độ
dài c
ủ
a c
ạ
nh hình thoi ABCD là a.
- Ta có: M, N là hai
đ
i
ể
m t
ươ
ng
ứ
ng c
ủ
a liên h
ệ
x
ạ

ả
nh và
2
'
ax OB

x
x a
−
=
−
.

15
Hình 2.1
Q
D
O
A
R
N
C
M
B
U
G
F
E
H

- T
ọ
a
độ
c
ủ

a
đ
i
ể
m gi
ớ
i h
ạ
n I
ở
trên tr
ụ
c BA là (a), v
ậ
y
'
AM X
=
.
- T
ọ
a
độ
c
ủ
a
đ
i
ể
m gi

ớ
i h
ạ
n J’
ở
trên tr
ụ
c BC là (a), v
ậ
y
CN X
=
.
Đổ
i g
ố
c t
ọ
a
độ
c
ủ
a các
đ
i
ể
m gi
ớ
i h
ạ

n:
' ' ' '
x X a X x a
x X a X x a
= + = −
 
⇔
 
= + = −
 

Suy ra,
(
)
(
)
(
)
2
' ' ' '
XX x a x a xx a x x a
= − − = − + +
.
T
ừ

( )
2
2
' ' '

ax OB
x xx a x x OB
x a
−
= ⇔ − + = −
−
nên
2 2 2
'
XX OB AB OA
= − + =

không
đổ
i.
Hoàn toàn t
ươ
ng t
ự
,
2
.
AQ CP OA
= không
đổ
i.
Ch
ọ
n h
ướ

ng thích h
ợ
p ta c
ũ
ng có:
2
. .
BM DQ BN DP OB
= = không
đổ
i;
2
. .
EM GP FN HO R
= =
không
đổ
i.
b.
Ta có:
(
)
AU AO UM X OA
= ⇒ = − +
và
(
)
'
CV AO VN X OA
= ⇒ = − + nên

( )
2
1 1 1 1 ' 2
' ' '
X X OA
X OA X OA XX OA X X OA
UM VN
+ +
 
+ = − + = −
 
+ + + + +
 

( )
2 2
' 2 1
'
X X OA
OA OA X X OA OA
+ +
= − = −
+ + +
không
đổ
i (
đ
pcm).
Nhận xét:
Khi có m

ộ
t song ánh x
ạ

ả
nh và
đ
ã s
ơ
b
ộ

đư
a
đượ
c v
ề
d
ạ
ng
'
xx
là
h
ằ
ng s
ố
,
để
sáng t

ạ
o ra nh
ữ
ng bài toán s
ơ
c
ấ
p d
ạ
ng
1 1
'
y y
+
là h
ằ
ng s
ố
ta làm nh
ư

sau:

16
- Chuy
ể
n g
ố
c t
ọ

a
độ
:
Đổ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
m
ớ
i
( )
0
' '
x y k
k
x y k

= −

>

= −



- Khi
đ

ó:
( )
1 1 1 1 ' 2
'
' ' '
x x k
y y
x k x k xx k x x k
+ +
+ = + =
+ + + + +
.
Thay
'
x k
=
, ta
đượ
c:
1 1 1
'y y
k
+ =
không
đổ
i.
Cách khác:
- G
ọ
i ti

ế
p tuy
ế
n bi
ế
n thiên ti
ế
p xúc v
ớ
i
đườ
ng tròn (O)
ở
K. Khi
đ
ó, (O) là
đườ
ng tròn bàng ti
ế
p
BMN
∆
. V
ậ
y, OM và OB là các tia phân giác ngoài c
ủ
a
BMN
∆
.

- V
ậ
y,




0
90
2 2
N N
MOB AOM
= − ⇒ =
. Từ đó,
OA AM
OAM NOC
NC CO
∆ ∆ ⇒ =∼
2
. . .
AM NC OA OC AM CN OA
⇒
=
⇒
=
không đổi.
- T
ương tự,
2
.

AQ CP OA
= không đổi.
M
ặt khác, (O) cũng bàng tiếp
AQD
∆
. Vậy,



0
90
2
P
QOD OMP
= − = .

Hình 2.2
M
Q
N
R
D
O
A
C
B
U
G
F

E
H
K

T
ừ

đ
ó suy ra:
OMB QOD
∆ ∆
∼

2
.
MB OB
MB DQ OB
OD QD
⇒
=
⇒
= không
đổ
i.
T
ươ
ng t
ự
,
2

.
BN DP OB
=
không
đổ
i.

17
- N
ố
i OE, OG, ta có O, E, G th
ẳ
ng hàng. Khi
đ
ó:



(
)

0
1 1 1
180
2 2 2
EOM EOK GOK P
= = − = . V
ậ
y,
2

. .
OE EM
OEM PGO EM GP OE GO R
PG GO
∆ ∆
⇒
=
⇒
= =
∼
không
đổ
i.
T
ươ
ng t
ự
,
2
.
FN HQ R
=
không
đổ
i.

1 1 1
UM VN OA
+ =
không

đổ
i.
2.1.2. Ứng dụng trường hợp điểm xa vô tận để sáng tạo những hàng điểm
đồng dạng, cho bài toán hình học sơ cấp yêu cầu chứng minh hệ thức dạng
' '
A M
k
AM
=
không đổi
(Trong
đ
ó,
(
)
(
)
' ; '
A A B B
= Γ = Γ
v
ớ
i
Γ
là ánh x
ạ
x
ạ

ả

nh
đồ
ng d
ạ
ng, t
ừ

đườ
ng th
ẳ
ng
'
x Ox
t
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
'
y Oy
. Khi
1
k
=
thì
Γ
là ánh
x

ạ

đẳ
ng c
ự
.)
Bài toán 2.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng cho hai
đườ
ng th
ẳ
ng
'
x x
và
'
y y
c
ắ
t nhau t
ạ
i
đ
i
ể
m

O và m
ộ
t
đ
i
ể
m P n
ằ
m ngoài hai
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
ó. M
ộ
t
đườ
ng tròn c
ố

đị
nh
đ
i qua
O và P c
ắ
t
'
x x

và
'
y y
l
ầ
n l
ượ
t
ở
A và
'
A
, m
ộ
t
đườ
ng tròn thay
đổ
i khác c
ũ
ng
đ
i
qua O và P c
ắ
t
'
x x
và
'

y y
l
ầ
n l
ượ
t
ở
M và
'
M
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
' '
A M
k
AM
=

không
đổ
i khi hai
đườ
ng tròn thay
đổ
i.
xx'
yy'

Hình 2.3
M'
M
A
A'
O
P

Lời giải:

18
Xét ánh x
ạ

: ' '
'
f xx yy
M M
→
֏
xác
đị
nh nh
ư
trên.
Khi
đ
ó, f là ánh x
ạ
x

ạ

ả
nh (
Đị
nh lý 1.3.3) và hai
đ
i
ể
m gi
ớ
i h
ạ
n
đề
u xa vô
t
ậ
n nên ánh x
ạ
này là ánh x
ạ

đồ
ng d
ạ
ng.
Do v
ậ
y,

' '
A M
k
AM
=
không
đổ
i.
Cách khác:
N
ố
i AP, MP,
' ,
A P

'
M P
.
Ta có: t
ứ
giác
'
MPM O
n
ộ
i ti
ế
p
đườ
ng tròn nên



0
' 180
M PM O
+ =
.
T
ương tự, tứ giác
'
APA O
nội tiếp đường tròn nên


0
' 180
A PA O
+ =
.
V
ậy,




' ' ' '
M PM A PA MPA M PA
=
⇒
=

.
Mặt khác,


' '
MAP M A P
=
(cùng bù với góc

'
OA P
)
Do
đó, ta có
' ' '
MAP M A P
∆ ∆
∼
. Suy ra:
' ' ' '
A M P A
AM PA
=
mà
, '
A A
cố định nên tỷ
s
ố
' '

P A
PA
không đổi. Vậy,
' '
A M
k
AM
=
không đổi.
* Nhận xét về Bài toán 2:
1. Từ kết quả
' '
' '
A M
k A M k AM
AM
= ⇔ =
, ở đây A cố định thuộc Ox;
(
)
'
A f A
=
.
Hoàn toàn t
ương tự,
' '
B M k BM
=
mà B cố định thuộc Ox;

(
)
'
B f B
=
.
Vậy,
' '
' '
A M AM
B M BM
=
hay
(
)
(
)
(
)
' ', ' , *
A B M AB M
=
.
T
ừ kết quả (*) có thể suy ra bài toán như sau:
Trong m
ặt phẳng cho hai đường thẳng
'
xx
và

'
yy
cắt nhau tại O và một
điểm P nằm ngoài đường thẳng đó. Trên
'
xx
lấy hai điểm cố định A và B. Các
đường tròn ngoại tiếp tam giác OAP và OBP lần lượt cắt
'
yy
tại
'
A
và
'
B
. Một
điểm M di động trên
'
xx
, đường tròn ngoại tiếp tam giác OMP cắt
'
yy
tại
'
M
.
Ch
ứng minh rằng:
' '

' '
A M AM
B M BM
=
.
2. T
ừ (*) ta thấy: Có một phép đồng dạng
(
)
; ;
P k
ϕ
Γ
tâm P, tỷ số k, góc đồng
dạng
ϕ
trong đó
(
)
; '
ϕ
= ∆ ∆
 
;
'
PA
k
PA
= không
đổ

i.

19
3. Do
đ
ó, n
ế
u
0
M
v
ạ
ch nên m
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng
0
∆
thì các
đườ
ng th
ẳ
ng
0
M M
và
0

'
M M
l
ầ
n l
ượ
t song song v
ớ
i các
đườ
ng th
ẳ
ng c
ố

đị
nh.
Ta có th
ể
minh h
ọ
a b
ằ
ng m
ộ
t s
ố
tr
ườ
ng h

ợ
p
đặ
c bi
ệ
t sau:
a. G
ọ
i hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a
P
lên
'
MM
là
K
. Ta s
ẽ
ch
ỉ
ra
K
di
chuy
ể
n trên m
ộ

t
đườ
ng th
ẳ
ng c
ố

đị
nh.
Th
ậ
t v
ậ
y, k
ẻ

PE OM
⊥
,
'
PF OM
⊥
. Khi
đ
ó,
EF
c
ố

đị

nh.
Do
P
thu
ộ
c
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác
'
OMM
nên
EFK
chính là
đườ
ng th
ẳ
ng Simson c
ố

đị
nh c
ủ
a
P

đố

i v
ớ
i tam giác
'
OMM
(g
ọ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
này là
d
). Ta th
ấ
y,
K
chuy
ể
n
độ
ng trên
đườ
ng th
ẳ
ng
d
c
ố

đị
nh và rõ ràng hàng
đ
i
ể
m v
ạ
ch trên
đườ
ng th
ẳ
ng này
đồ
ng d
ạ
ng v
ớ
i hàng
đ
i
ể
m v
ạ
ch nên b
ở
i
M
trên
'

xx
.

yy'
xx'
Hình 2.4
F
E
K
M
M'
O
P


b. G
ọ
i
H
là tr
ự
c tâm c
ủ
a tam giác
'
OMM
. Ta s
ẽ
ch
ứ

ng minh
H
di chuy
ể
n
trên m
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng c
ố

đị
nh.

20
yy'
xx'
Hình 2.5
F'
H''
H
H'
E'
F
E
K
M

M'
O
P

Th
ậ
t v
ậ
y, l
ấ
y
', '
E F
l
ầ
n l
ượ
t là
đ
i
ể
m
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a
đ
i

ể
m
P
qua
đườ
ng
th
ẳ
ng
'
xx
và
'
yy
. Theo tính ch
ấ
t tr
ự
c tâm tam giác thì
đườ
ng cao
MH
c
ắ
t
đườ
ng
tròn t
ạ
i

''
H
, và
đườ
ng cao
'
MH
c
ắ
t
đườ
ng tròn t
ạ
i
'
H
.
Khi
đ
ó,
' '
PHH E
◊
là hình thang cân nên


' ' '
H HE PH H
=
.

M
ặ
t khác,
''
H

đố
i x
ứ
ng v
ớ
i
H
qua
'
yy
.
Nên
'
HM

đố
i x
ứ
ng v
ớ
i
''
H M
qua

'
yy
,
'
HF

đố
i x
ứ
ng v
ớ
i
''
H P
qua
'
yy

V
ậ
y, ta có:


' ' '' '
M HF PH M
=
. L
ạ
i có:



' '' '
PH H PH M
=
(cùng ch
ắ
n cung
'
M P
).
Do v
ậ
y,


' ' ' '
M HF H HE
=
nên
, ', '
H E F
th
ẳ
ng hàng. Do
đ
ó,
H
di chuy
ể
n

trên m
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng c
ố

đị
nh.
2.1.3. Ứng dụng trường hợp ánh xạ xạ ảnh đồng dạng trở thành ánh xạ
đẳng cự giữa hai đường thẳng
Bài toán 3.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng cho hai
đườ
ng th
ẳ
ng
'
xx
và
'
yy
c
ắ

t nhau t
ạ
i
đ
i
ể
m
O
và
P
là
đ
i
ể
m cách
đề
u hai
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
ó. M
ộ
t
đườ
ng tròn c
ố

đị

nh
đ
i qua
O

và
P
c
ắ
t
'
xx
và
'
yy
l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i
A
và
'
A
. M
ộ
t
đườ

ng tròn bi
ế
n thiên
đ
i qua
O
và
P
c
ắ
t
'
xx
và
'
yy
l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i
M
và
'
M
. Ch
ứ
ng minh r

ằ
ng:
' '
AM A M
=
.
Lời giải:
Bài toán này th
ự
c ch
ấ
t là m
ộ
t tr
ườ
ng h
ợ
p
đặ
c bi
ệ
t c
ủ
a Bài toán 2. T
ừ

P
k
ẻ

PH
và
'
PH
l
ầ
n l
ượ
t vuông góc v
ớ
i
'
xx
và
'
yy
. Do
P
cách
đề
u
'
xx
và
'
yy
nên
'
PH PH
=

.

21
M
ặ
t khác, ta có
' '
PMH PM H
∆ ∆
∼
nên
1
' '
PM PH
PM PH
= =
.
Theo k
ế
t qu
ả
Bài toán 2 thì ta có:
' ' ' '
1
A M PA PM
AM PA PM
= = =
. T
ừ

đ
ó:
' '
AM A M
=
.
yy'
xx'
Hình 2.6
H'
H
M
M'
A'
A
O
P


2.1.4. Một số bài toán khác
Bài toán 4.
Cho tam giác
đề
u
ABC
và m
ộ
t
đ
i

ể
m
P
thay
đổ
i ch
ạ
y trên
đườ
ng tròn
ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác
đ
ó. Các
đườ
ng th
ẳ
ng
BP
và
CP
theo th
ứ
t
ự
c
ắ

t
AC
và
AB

ở

M
và
N
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a.
.
BN CM
không
đổ
i.
b.
1 1
AM AN
+ không
đổ
i.
Lời giải:
a. G
ọ

i
độ
dài c
ạ
nh c
ủ
a tam giác
đề
u
ABC
là
a
. Xét chi
ề
u d
ươ
ng trên
AB
là chi
ề
u
t
ừ

A

đế
n
B
, trên

AC
là chi
ề
u t
ừ

A

đế
n
C
.

22
Hình 2.7
M
N
A
B
C
P

Ta có:
:
f M N
֏
là phép bi
ế
n
đổ

i x
ạ

ả
nh.
G
ọ
i t
ọ
a
độ
c
ủ
a
M
là
x
; t
ọ
a
độ
c
ủ
a
N
là
'
x
. Khi
đ

ó, ta có:
' ' '
ax
x xx x a ax
x a
=
⇒
− =
−
.
Chuy
ể
n g
ố
c t
ọ
a
độ

đế
n
B
,
C
theo công th
ứ
c
đổ
i t
ọ

a
độ
:
X x a
= −
(v
ớ
i
X BN
=
)
' '
X x a
= −
(v
ớ
i
'
X CM
=
)
Ta có:
(
)
(
)
2
. . ' '
BN CM X X x a x a a
= = − − =

không
đổ
i.
b. L
ấ
y l
ạ
i g
ố
c t
ọ
a
độ
là
A
:
' ' ;
AM x X a AN x X a
= = + = = +

1 1 1
a
AM AN
⇒
+ =
không
đổ
i.
Cách khác:

23
D
ễ
th
ấ
y,
( . )
BNC CBM g g
∆ ∆
∼
. V
ậ
y,
2
.
BN BC
BN CM a
CB CM
=
⇒
=
(không
đổ
i).
M
ặ
t khác,
(
)
(

)
2
. . . .
AN AM a BN a CM a a BN a CM BN CM
= + + = + + +
(
)
(
)
.
a a BN a CM a AN AM
= + + + = +

Suy ra,
1 1 1
.
AN AM
AN AM a AN AM
+
= = +
không
đổ
i.
Bài toán 5.
Cho n
ử
a
đườ
ng tròn (
O

)
đườ
ng kính
AB
. V
ẽ
hai ti
ế
p tuy
ế
n
Ax
và
By

c
ủ
a n
ử
a
đườ
ng tròn
đ
ó. M
ộ
t
đ
i
ể
m

P
chuy
ể
n
độ
ng trên n
ử
a
đườ
ng tròn. Ti
ế
p
tuy
ế
n t
ạ
i
P
c
ủ
a n
ử
a
đườ
ng tròn c
ắ
t
Ax
và
By

l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i
M
và
N
. Ch
ứ
ng minh:
AM.BN
không
đổ
i.
Lời giải:
x
y
Hình 2.8
N
M
O
A
B
P

Xét tr
ụ

c
Ax
; ch
ọ
n
A
làm g
ố
c;
Ax
là h
ướ
ng du
ơ
ng, t
ọ
a
độ
c
ủ
a
M
là
x
. Xét
tr
ụ
c
By
, ch

ọ
n
B
làm g
ố
c t
ọ
a
độ
;
By
là h
ướ
ng d
ươ
ng, t
ọ
a
độ
c
ủ
a
N
là
'
x
.
Ta có,
M
và

N
là m
ộ
t t
ươ
ng
ứ
ng c
ủ
a m
ộ
t liên h
ệ
x
ạ

ả
nh và
2
'
R
x
x
= (
R
bán
kính
đườ
ng tròn). T
ừ

đ
ó suy ra:
2
'
xx R
=
không
đổ
i.
Cách khác:
Ta có:
;
MA MP BN PN
= =
(theo tính ch
ấ
t ti
ế
p tuy
ế
n). V
ậ
y,
. .
AM BN PM PN
=
.

24

Dùng tính ch
ấ
t ti
ế
p tuy
ế
n, ch
ỉ
ra
đượ
c
OMN
∆
là tam giác vuông có
đườ
ng cao
OP
. V
ậ
y,
2 2
. .
AM BN PM PN OP R
= = =
. V
ậ
y,
.
AM BN
không

đổ
i.
Nhận xét:
K
ế
t qu
ả
không thay
đổ
i n
ế
u ta thay n
ử
a
đườ
ng tròn (
O
) b
ằ
ng
đườ
ng
tròn (
O
). Tuy nhiên ta khai thác bài toán trên theo h
ướ
ng
AB
không là
đườ

ng
kính c
ủ
a (
O
). Ta có bài toán:
Bài toán 6.
Cho
đườ
ng tròn (
O
) và hai ti
ế
p tuy
ế
n c
ố

đị
nh
Ax
,
By
(dây
AB
không
ph
ả
i là
đườ

ng kính c
ủ
a (
O
)). M
ộ
t
đ
i
ể
m
P
(khác
A
,
B
) di
độ
ng trên
đườ
ng tròn
(
O
); ti
ế
p tuy
ế
n
t
t

ạ
i
P
c
ủ
a
đườ
ng tròn (
O
) c
ắ
t
Ax
và
By
l
ầ
n l
ượ
t
ở

M
và
N
. Tìm
m
ố
i liên h
ệ

gi
ữ
a
AM
và
AN
.
Lời giải:


TH 1: N
ế
u
M

ở
cung l
ớ
n
AB
.
x
y
Hình 2.9
B'
A'
N
M
I
O

A
B
P

Gi
ả
s
ử
hai ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
A
,
B
c
ắ
t nhau
ở

I
. T
ừ

O
k
ẻ

(
)
' ' ' ; '
A B OI A Ax B By
⊥ ∈ ∈
.
Do (
O
) c
ố

đị
nh,
A
,
B
,
I
c
ố

đị
nh nên
', '
A B
c
ố

đị

nh và
' '
AA BB b
= =
không
đổ
i.
Ta có:
(
)
' .
A MO OMN g g
∆ ∆
∼
và
(
)
' .
B ON OMN g g
∆ ∆
∼
nên :
(
)
' ' .
A MO B ON g g
∆ ∆
∼

T

ừ

đ
ó,
2
' '
' . ' ' . ' '
' '
A O A M
A M B N A O B O A O
B N B O
=
⇒
= = .

25
Ta có:
(
)
(
)
2 2
'. ' . . . '
AM AN AM b BN b AM BN b AM b BN b A O
= − − = − − + =
Do
đ
ó,
2 2 2
. . . '

AM BN b AM b BN A O b R
− − = − =
.
V
ậ
y,
2
1
.
R b b
AM BN AM BN
+ + =
.
TH 2: N
ế
u
P

ở
cung nh
ỏ

AB
.
Hoàn toàn t
ươ
ng t
ự
, ta có:
2

1
.
R b b
AM BN AM BN
− − =
.
y
x
Hình 2.10
N
M
I
O
A
B
P

Bài toán 7.
Cho góc
(
)
' ; '
x Ox y Oy
và m
ộ
t
đ
i
ể
m

P
không n
ằ
m trên c
ạ
nh nào c
ủ
a
góc. Hai
đườ
ng th
ẳ
ng
;
u v
P P
quay quanh
đ
i
ể
m
P
sao cho góc
đị
nh h
ướ
ng
(
)
;

u v
P P

luôn b
ằ
ng góc
đị
nh h
ướ
ng
(
)
;
Ox Oy
.
u
P
c
ắ
t
đườ
n th
ẳ
ng
Ox
t
ạ
i
M
và

v
P
c
ắ
t
đườ
ng th
ẳ
ng
Oy
t
ạ
i
'
M
. G
ọ
i
'
0 0
;
M M
là hai v
ị
trí
đặ
c bi
ệ
t c
ủ

a
M
và
'
M
. Ch
ứ
ng
minh:
'
0
0
'
M M
k
M M
=
không
đổ
i.
Lời giải:
Ta có,
:
f M N
֏
t
ừ
Ox
đế
n Oy là m

ộ
t ánh x
ạ
x
ạ

ả
nh và c
ả
hai
đ
i
ể
m gi
ớ
i
h
ạ
n
đề
u
ở
xa vô t
ậ
n nên ánh x
ạ
này là ánh x
ạ

đồ

ng d
ạ
ng.
Do
đ
ó,
'
0
0
'
M M
k
M M
=
không
đổ
i.