Hệ số đối xứng của giản đồ Feynman và ứng dụng vào mô hình 3-3-1 tiết kiệm

bộ giáo dục & đào tạo

viện hàn lâm
khoa học và công nghệ vn
viện vật lý

HÀ THANH HÙNG

hệ số đối xứng của giản đồ feynman và
ứng dụng vào mơ hình 3-3-1 tiết kiệm

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã nghành: 62 44 01 01
Người hướng dẫn: GS. TS. Hoàng Ngọc Long

Luận án tiến sĩ

Hà Nội—2014


Lời cảm ơn
Trước tiên, tôi xin cảm ơn GS. TS. Hồng Ngọc Long đã hướng dẫn
và động viên tơi rất nhiều, kể từ khi tơi tham gia khóa học thạc sĩ
và trong suốt thời gian tôi làm NCS. Tôi xin cảm ơn nhóm lý thuyết
trường của thầy Long đã tạo nhiều thuận lợi cho tôi cùng làm việc,
cùng học tập và cùng nghiên cứu trong thời gian tôi làm NCS và giúp
đỡ tơi hồn thành luận án này.
Tơi xin cảm ơn các đồng nghiệp TS. Phùng Văn Đồng, TS. Lê
Thọ Huệ và TS. Nguyễn Huy Thảo đã hợp tác và đồng ý cho tôi sử
dụng các công bố chứa các kết quả mà luận án đã sử dụng.
Tôi xin cảm ơn Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, nơi tơi làm

việc đã có những hỗ trợ và động viên cần thiết trong thời gian tôi làm
NCS. Tôi xin cảm ơn phòng sau đại học-Viện Vật lý và Viện Vật lý đã
giúp đỡ tơi hồn thành các thủ tục hành chính trong học tập nghiên
cứu và bảo vệ luận án.
Cuối cùng, tơi xin dành sự biết ơn tới gia đình đã động viên, chia
sẽ những khó khăn và ủng hộ và hỗ trợ vô điều kiện về mọi mặt để
tôi có thể n tâm nghiên cứu và hồn thành luận án này.

ii


Lời cam đoan
Tôi xin đảm bảo luận án này gồm các kết quả chính mà tơi đã thực
hiện trong thời gian làm nghiên cứu sinh. Cụ thể, phần mở đầu là
phần tổng quan giới thiệu những vấn đề trước đó liên quan đến luận
án, đồng thời đưa ra những động lực để thực hiện các kết quả chính
của luận án. Trong chương một tôi đã sử dụng kết quả nghiên cứu
mà tôi đã thực hiện cùng với thầy hướng dẫn và các đồng nghiệp TS.
Phùng Văn Đồng, TS. Lê Thọ Huệ, TS. Nguyễn Huy Thảo. Chương
hai tôi sử dụng các kết quả đã thực hiện cùng với thầy hướng dẫn và
TS. Phùng Văn Đồng.
Cuối cùng tôi xin khẳng định các kết quả có trong luận án "Hệ
số đối xứng của giản đồ Feynman và ứng dụng vào mơ hình 3-3-1 tiết
kiệm" là kết quả mới không trùng lặp với các kết quả của các luận án
và cơng trình đã có trước đây.

iii


Mục lục

Lời cảm ơn

ii

Lời cam đoan

iii

Các ký hiệu chung

vi

Danh sách các bảng

vii

Danh sách hình vẽ

viii

1 Hệ số đối xứng của giản đồ Feynman
1.1 Khai triển bậc cao trong lý thuyết trường . . . . . . .
1.1.1 Ma trận tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Toán tử tiến triển thời gian (evolution operator)
1.1.3 Các định lý Wick . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Hàm Green trong lý thuyết trường . . . . . . .
1.1.5 Hàm Green và yếu tố của S ma trận . . . . . .
1.2 Hệ số đối xứng của giản đồ Feynman . . . . . . . . .
1.2.1 Hệ số đối xứng của các giản đồ Feynman cho
trường vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 Hệ số đối xứng của giản đồ Feynman cho QED
1.2.3 Hệ số đối xứng cho QCD . . . . . . . . . . . .
2

Đối xứng Peccei-Quinn và khối lượng các quark trong
mơ hình E331
2.1 Mơ hình E331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Sắp xếp các hạt trong mơ hình E331 . . . . . .
2.1.2 Các boson chuẩn trong mơ hình E331 . . . . . .
2.1.3 Các dịng trong mơ hình E331 . . . . . . . . . .
2.1.4 Khối lượng các fermions trong mơ hình E331 . .
iv

6
6
6
7
11
13
19
19
20
32
37
41
41
41
44
46
48

2.2 Đối xứng Peccei-Quinn . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Vấn đề Strong-CP . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Đóng góp từ phép biến đổi U (1) chiral vào số
hạng vi phạm CP trong QCD . . . . . . . . . .
2.2.3 Xây dựng lý thuyết giải thích θ nhỏ . . . . . . .
2.2.4 Khử số hạng vi phạm CP . . . . . . . . . . . .
2.3 Đối xứng Peccei-Quinn trong mơ hình E331 . . . . . .
2.4 Khối lượng các up- quark và down-quark trong mơ hình
E331 ở bậc một vịng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51
52
53
56
59
61
64

Danh sách các công bố của tác giả

73

Tài liệu tham khảo

74

Phụ lục

84

A HSĐX của các giản đồ Feynman cho trường vơ hướng
tính đến bậc ba của lý thuyết nhiễu loạn
85
B Các giản đồ Feynman trong QED được tính đến bậc 4
của lý thuyết nhiễu loạn.
91
C

Các giản đồ của q trình rã : µ− → νµ + e− + νe tính
đến bậc 10 của lý thuyết nhiễu loạn
95

D Các tích phân

98

E Các bổ đính

99

v


Các ký hiệu chung
Trong luận án này tôi sử dụng các kí hiệu sau:
Tên
Mơ hình chuẩn
Mơ hình 3-3-1 tiết kiệm

Mơ hình 3-3-1 với neutrinos phân cực phải
Hệ số đối xứng
Giá trị trung bình chân khơng
Đối xứng Peccei-Quinn
Điện động lực học lượng tử
Điện động lực học lượng tử vô hướng
Sắc động học lượng tử
Liên hợp tích chẵn lẽ
Máy gia tốc năng lượng cao (Large Hadron collider)

vi

Viết tắt
SM
E331
331RH
HSĐX
VEV
PQ
QED
sQED
QCD
CP
LHC


Danh sách bảng
1.1 Phân loại các trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.1 Tích B và L cho các đa tuyến trong mơ hình E331. . .
2.2 Số lepton khác không L của các trường trong mô hình
E331. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Ba đối xứng chiral trong mơ hình 3-3-1 tiết kiệm . . .
2.4 Các bổ đính ở bậc một vịng của các phần tử (MuU ). .

43

vii

44
62
67


Danh sách hình vẽ
1.1
1.2
1.3
1.4

10
16
19

1.9
1.10

Ý nghĩa hình học của phương trình 1.17 . . . . . . . .

Quỹ đạo tích phân trong mặt phẳng k0 . . . . . . . . .
Mối liên hệ giữa yếu tố của S ma trận và hàm Green .
Các giản đồ bậc một của hàm hai điểm trong lý thuyết
φ4 thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Các giản đồ bậc hai của hàm hai điểm trong lý thuyết
φ4 thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hàm truyền của trường vô hướng phức . . . . . . . . .
Các giản đồ bậc một của hàm hai điểm trong lý thuyết
ϕ4 phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Các giản đồ bậc hai của hàm hai điểm trong lý thuyết
ϕ4 phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Các đỉnh tương tác trong QED . . . . . . . . . . . . .
Các đỉnh tương tác trong sQED . . . . . . . . . . . .

2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6

Các đỉnh tương tác bảo toàn số lepton . .
Các đỉnh tương tác vi phạm số lepton . . .
Đỉnh tương tác giữa các Higgs . . . . . . .
Bổ đính của giản đồ thứ 2 của (MuU )11 . .
Các giản đồ cho đóng góp của số hạng C1
Các giản đồ cho đóng góp của số hạng C2

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

65
65
66
68
69
70

E.1
E.2
E.3
E.4

Các

Các
Các
Các

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.

. 99
. 100
. 101
. 102

1.5
1.6
1.7
1.8

bổ
bổ
bổ
bổ

đính
đính
đính
đính

cho
cho
cho
cho

phần

phần
phần
phần

tử
tử
tử
tử

(MuU )11
(MuU )12.
(MuU )21.
(MuU )22.

viii

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

22
24
28
29
31
33
36


Mở đầu
Lý do chọn đề tài
Trong vật lý hạt cơ bản, việc xác định đặc tính của các hạt mới
đã và đang là công việc rất quan trọng. Cùng với sự phát triển của
khoa học và kỹ thuật các máy gia tốc đang dần hoạt động ở mức năng
lượng cao hơn, nhiều mơ hình vật lý tiếp tục được phát triển và mở
rộng để kiểm chứng các dự đoán. Một sự kiện mới gần đây, máy gia
tốc năng lượng cao LHC (Large Hadron Colidder) tại CERN-Thuỵ Sĩ
đã phát hiện ra một loại hạt vô hướng tương tự - Higgs với khối lượng
khoảng 125-126 GeV. Đây là hạt đã được dự đoán bởi SM, và cũng là

phần cuối cùng được tiến hành kiểm chứng. Việc xác định hạt Higgs
thuộc mơ hình nào sẽ đóng vai trị là kim chỉ nam cho sự phát triển
của khoa học.
Việc kiểm chứng hạt vô hướng Higgs cũng như các q trình vật
lý khác địi hỏi rất nhiều về kỹ thuật thực nghiệm cũng như phương
pháp tính tốn. ở mức cây, hầu hết các lý thuyết cịn nhiều sai lệch
với thực nghiệm. Vì vậy, để có sự phù hợp lớn hơn giữa thực nghiệm
và lý thuyết, địi hỏi tất yếu là phải tính tốn các bổ đính bậc cao.
Đặc biệt, một số q trình vật lý chỉ xuất hiện ở khai triển bậc cao
như: moment từ của neutrino, rã Higgs thành hai photon... Đây là vấn
đề đã nhận được nhiều sự quan tâm và hiện nay vẫn đang tiếp tục
được phát triển. Khai triển bậc cao trong lý thuyết trường cho chúng
ta xác định các bổ đính bậc cao, một phần rất quan trọng trong các
quá trình vật lý, nhưng khơng được kể đến ở mức cây (tree-level). Đặc
biệt, khi thực hiện khai triển bậc cao trong lý thuyết trường, các yếu
tố của giản đồ Feynman như: hàm truyền, đỉnh tương tác, hệ số đối
xứng sẽ được xác định một cách cụ thể, rõ ràng.
Các quá trình va chạm nói chung sẽ được đón nhận đầy đủ các
thông tin nếu chúng ta xác định được ma trận tán xạ. Cụ thể, mỗi
phần tử của ma trận tán xạ tương ứng với một hoặc nhiều giản đồ
1


Feynman. Một trong những yếu tố quan trọng ở đây là hệ số đối xứng
(HSĐX) của các giản đồ Feynman. Đây là vấn đề phức tạp được nhiều
người quan tâm. Kastening và các đồng nghiệp đã có một số cơng bố
về cách tính hệ số đối xứng cho các giản đồ Feynman dựa trên các
đặc điểm về các yếu tố hình dạng (topo) của các giản đồ [23]. Bên
cạnh đó, cịn có nhiều chương trình sử dụng máy tính để tính hệ số đối
xứng của các giản đồ Feynman như, FeynArt [21], QGRAF [22]...Tuy

nhiên, các chương trình này gần như chỉ mới chú ý đến các trường
thực và các giản đồ liên kết mà chưa chú ý đến các trường phức và các
giản đồ chân không (vacuum diagrams) - các yếu tố có vai trị quan
trọng trong lý thuyết hiệu dụng và chuyển pha trong vũ trụ học. Bên
cạnh đó, chúng ta cũng phải kể đến cơng trình rất chi tiết [11] của
T.P.Cheng và L.F.Li, đã đưa ra HSĐX của một số giản đồ cho trường
vơ hướng thực, nhưng cịn hạn chế là chưa đưa ra cơng thức tổng qt
tính HSĐX. Ngồi ra, M.E.Peskin và D.V.Schroeder có kể đến sự thừa
số hóa chân khơng của các giản đồ nhưng chưa đưa ra được cơng thức
tổng qt để tính HSĐX [12]. Đặc biệt, gần đây C.D.Palmer và các
đồng tác giả đã cơng bố cách tính hệ số đối xứng của giản đồ Feynman
cho nhiều trường hợp: vô hướng, spinor QED, scalar QED, QCD [35].
Tuy nhiên, các tác giả trong [35] chỉ mới xét đến các giản đồ liên kết,
chưa xét đến các giản đồ chân không và chưa chỉ ra được cách xác
định hệ số hoán vị g giữa các đỉnh tương tác trong giản đồ.
Có nhiều cách tiếp cận khác nhau để xây dựng cơng thức tính
hệ số đối xứng của các giản đồ Feynman. Một số công bố sử dụng
phương pháp đạo hàm phiếm hàm (functional derivative method) để
tính HSĐX của các giản đồ [6, 7, 8, 9]. Còn các tác giả trong [10] lại
đưa ra cách tính HSĐX của các giản đồ ở bậc nhiễu loạn cao hơn dựa
trên HSĐX của các giản đồ ở bậc nhiễu loạn thấp hơn. Một số công bố
khác sử dụng cách khai triển bậc cao trong lý thuyết trường để đưa ra
cách tính hệ số đối xứng của các giản đồ Feynman [11, 12, 13, 14, 15].
Cách tiếp cận này rất đơn giản và trực quan, bằng cách khai triển T tích của các hàm Green, HSĐX của các giản đồ được đưa ra một cách
tự nhiên.
Thực tế, các quá trình vật lý xảy ra rất phong phú với sự xuất
hiện của nhiều trường khác nhau. Do vậy, việc xây dựng công thức xác
định hệ số đối xứng cho giản đồ Feynman có các trường khác nhau
là rất quan trọng. Phải nhấn mạnh rằng, chúng ta có kết quả vật lý
2

đúng chỉ khi có HSĐX của giản đồ chính xác. Trong luận án này, với
việc sử dụng kết quả từ [19] và [20], chúng tôi đã xây dựng công thức
xác định hệ số đối xứng tổng quát cho các giản đồ Feynman. Một
trong những kết quả rất ý nghĩa là định lý về HSĐX trong điện động
lực học lượng tử (QED). Đó là, HSĐX của các giản đồ liên kết trong
QED luôn bằng 1, kết quả này thực sự rất bổ ích khi áp dụng cho các
lý thuyết thống nhất các tương tác.
Một vấn đề mang tính thời sự bậc nhất trong khoa học hiện nay
là sự hoạt động trở lại của máy gia tốc LHC, với năng lượng các hạt
được gia tốc cỡ 14 TeV, và điều này cho chúng ta kỳ vọng vào các
hiện tượng vật lý mới. Mơ hình chuẩn với nhiều thành cơng và những
tiên đốn chính xác tiếp tục định hướng cho sự phát triển của vật
lý hạt cơ bản. Tuy nhiên, các tồn tại của mơ hình chuẩn như: giải
thích khối lượng và sự dao động của neutrino, giải thích nguồn gốc tự
nhiên của khối lượng các hạt, vì sao phải cần cơ chế Higss để sinh khối
lượng cho các hạt, giải thích sự phân bậc khối lượng giữa thang yếu
và thang Planck, giải thích sự khơng đối xứng của vật chất và phản
vật chất trong vũ trụ... là bằng chứng tin cậy cho thấy, mơ hình chuẩn
(dựa trên nhóm đối xứng chuẩn SU (3)C SU (2)L U (1)Y ) là một lý
thuyết hiệu dụng của một lý thuyết tổng quát hơn. Để giải quyết các
vấn đề tồn tại của mơ hình chuẩn, chúng ta đã phát triển các mơ hình
chuẩn mở rộng. Các mơ hình 3-3-1(mở rộng nhóm đối xứng chuẩn
thành SU (3)C SU (3)L U (1)X ) đã phát triển theo hướng mở rộng
mơ hình chuẩn và đạt được nhiều thành quả quan trọng. Các mơ hình
3-3-1 đã giải thích một cách rất tự nhiên tại sao số thế hệ phải là 3 [16].
Đồng thời, các mơ hình 3-3-1 cịn giải quyết vấn đề lượng tử hóa điện
tích, khối lượng các neutrinos... Có hai phiên bản của mơ hình 3-3-1,
việc phân chia này phụ thuộc vào phần lepton được đưa vào trong mơ

hình. Phiên bản thứ nhất, gọi là mơ hình 3-3-1 tối thiểu, được đề xuất
bởi Pisano, Pleitez và Frampton vào năm 1992 [99], trong đó, ta đưa
lepton mang điện phân cực phải vào đáy của ba tam tuyến lepton của
nhóm SU (3)L. Phiên bản này đòi hỏi ba tam tuyến và một lục tuyến
vô hướng Higgs để thực hiện phá vỡ đối xứng tự phát, sinh khối lượng
cho các fermions. Phiên bản thứ hai, được các tác giả Foot, Long và
Tuan đề xuất năm 1994, trong đó, thành phần thứ ba của các tam
tuyến lepton của nhóm SU (3)L là các neutrinos phân cực phải [17]. Mơ
hình 3-3-1 tiết kiệm (E331) với hai tam tuyến Higgs [34], có số trường
3


vơ hướng đưa vào trong mơ hình là ít nhất, nhưng đã giải quyết được
hầu hết các vấn đề quan trọng của mơ hình 3-3-1 với neutrino phân
cực phải (331RH) như các kết quả đã thể hiện ở tài liệu tham khảo
[18]. Tuy nhiên, mơ hình E331 có một hạn chế là khối lượng up-quark
và down-quark bằng không ở mức cây (tree-level), điều này do nguyên
nhân rất đơn giản là số trường vơ hướng chúng ta đưa vào mơ hình
là ít nhất. Một nhận định mới đây của nhóm tác giả J.C. Montero và
B.L.Sanchez-Vega [32], cho rằng tồn tại một đối xứng toàn cục U (1) P Q
kiểu đối xứng Peccei-Quinn [33]. Đối xứng này là nguyên nhân làm
cho khối lượng các quark u và quark d bằng không ở mọi bậc của lý
thuyết nhiễu loạn. Khi đó, mơ hình E331 đưa ra như ở tài liệu tham
khảo [17] là khơng đúng. Các kết quả có được từ mơ hình E331, cần
phải được xem xét lại.
Bằng cách xem xét đối xứng kiểu Peccei-Quinn trong mơ hình E331,
chúng tơi đã chỉ ra là sau khi phá vỡ đối xứng tự phát bằng trung bình
chân khơng của các vơ hướng, đối xứng cịn dư khơng phải là đối xứng
kiểu Peccei-Quinn. Đây là kết luận quan trọng, dẫn đến các quark có
thể nhận khối lượng khi chúng ta tính đến các bổ đính ở nhiễu loạn

bậc cao. Tiếp theo, sử dụng các công thức xác định hệ số đối xứng
của các giản đồ ở bậc một vịng, chúng tơi đã chỉ ra các quark đều
có khối lượng ở nhiễu loạn bậc cao. Đồng thời, chúng tơi tính ra khối
lượng của up-quark và down-quark ở bậc nhiễu loạn một vịng. Đó là
một bằng chứng nữa ủng hộ mạnh mẽ các kết quả đã công bố của mơ
hình E331.

Mục đích nghiên cứu
• Xây dựng cơng thức xác định hệ số đối xứng tổng quát cho các
giản đồ Feynman.
• ứng dụng cơng thức xác định hệ số đối xứng tổng quát của các
giản đồ Feynman để tính khối lượng các quark trong mơ hình
E331 ở bậc một vịng.

Đối tượng nghiên cứu
• Các phương pháp khai triển bậc cao trong lý thuyết trường
4


• Các giản đồ Feynman có các trường khác nhau.
• Khối lượng các fermion trong mơ hình E331

Nội dung nghiên cứu
• T-tích của các Lagrangian tương tác.
• Hệ số hốn vị g của các đỉnh tương tác trong giản đồ Feynman
mà khơng làm thay đổi dạng hình học của giản đồ.
• Xây dựng cơng thức xác định hệ số đối xứng của các giản đồ
Feynman.
• Đối xứng kiểu Peccei-Quinn trong mơ hình E331
• Bổ đính khối lượng các quark trong mơ hình E331 ở bậc một

vịng.

Phương pháp nghiên cứu
• Phương pháp lý thuyết trường lượng tử.
• Các phương pháp tính bằng phần mềm Mathematica 7.0

5


Chương 1
Hệ số đối xứng của giản đồ
Feynman
1.1

Khai triển bậc cao trong lý thuyết trường

Một q trình vật lý hồn tồn có thể được mơ tả đầy đủ bằng ma
trận tán xạ hoặc hàm Green toàn phần. Nếu ma trận tán xạ được thể
hiện dưới ngơn ngữ tốn học là các tốn tử thì hàm Green lại thường
được biểu thị ở dạng hàm vector, tenxor... Mỗi một phần tử của ma
trận tán xạ tương ứng với hàm Green ở cùng bậc nhiễu loạn và cũng
chính là một hoặc nhiều giản đồ Feynman cụ thể. Với lý do như vậy,
khai triển bậc cao trong lý thuyết trường là việc làm tất yếu để thu
được thông tin đầy đủ của một quá trình vật lý.
1.1.1

Ma trận tán xạ

Ma trận tán xạ cịn có tên gọi khác: S ma trận (scattering matrix)
là trường hợp giới hạn của toán tử tiến triển thời gian khi thời gian

tiến tới vô cùng
S = lim U (t, t0 ),
(1.1)
t→∞
t0 →−∞

trong đó, U (t, t0 ) là tốn tử tiến triển thời gian và hàm φ trong
U (t, t0) chưa được xác định vì Hamiltonian thực chất lại biểu diễn
qua chúng. Do vậy ta phải xây dựng tương tác của các hạt trên ngôn
ngữ của các trường tự do. Tức là trong định nghĩa (1.1) ta sử dụng
các trường tự do (sóng phẳng) ở trạng thái đầu và cuối.
Kết hợp các điều kiện trên với phương trình Schrodinger, chúng

6


ta thu ma trận tán xạ với kết quả là:
S = T exp −i

dxHint(x) .

(1.2)

Ngồi ra, chúng ta cịn có cách khác để xây dựng S ma trận chỉ
dựa trên ba điều kiện [36]
• Điều kiện hiệp biến tương đối tính (relativistic covariance)
+
S(Lg) = UL S(g)UL

(1.3)

• Điều kiện nhân quả (causality condition)




δ  δS(g) + 
S (g) = 0 với x ≤ y
δg(x) δg(y)

(1.4)

• Điều kiện unita (unitarity condition)
trong đó:
S + (g)S(g) = 1.

(1.5)

Từ ba điều kiện trên, người ta đã thu được S ma trận
S = T exp i

dxLint(x) ≡ T eiSint .

(1.6)

Như chúng ta đã biết Hint(x) = −Lint (x) nên S ma trận thu được từ
phương pháp này và phương pháp dựa trên phương trình Schrodinger
xét ở trên là như nhau. Ma trận tán xạ thực chất là một toán tử và
là trường hợp đặc biệt của toán tử tiến triển thời gian.
Tiếp theo, chúng ta sẽ tóm tắt lại các tính chất của tốn tử tiến triển

thời gian.
1.1.2

Toán tử tiến triển thời gian (evolution operator)

Trong vật lý, việc giải bài toán với tương tác hầu như là vô vọng, nên
người ta phải sử các phương pháp gần đúng. Chẳng hạn, với phương
pháp gần đúng Hatree-Fock chúng ta đã dùng các hàm tự do thay vào
Lagrangian tương tác. Một cách tương tự, trong lý thuyết trường, với
công cụ tốn học phát triển chúng ta mơ tả tương tác của các hạt
theo ngôn ngữ của các trường tự do. Khi đó, chúng ta sử dụng biểu
diễn tương tác.
7


Trong biểu diễn tương tác (interaction picture) các toán tử trường
và vector trạng thái được định nghĩa như sau
φI (t, x) = eiH0 t φS (x)e−iH0t = eiH0 t e−iHtφ(t, x)eiHt e−iH0t
= U (t, 0)φ(t, x)U −1(t, 0),
|a, t I = eiH0 t |a, t S = U (t, 0)|a ,
(1.7)
trong đó
U (t, 0) = eiH0 t e−iHt = e−iHint t = e−iHint (t−t0 ) , với t0 = 0,

(1.8)

là tốn tử unita có tên gọi là tốn tử tiến triển thời gian (evolution
operator) thoả mãn các điều kiện sau
U (t, 0)U −1(t0, 0) = U (t, t0)

U (t, t )U (t , t0) = U (t, t0),

Ngồi ra, tốn tử tiến triển thời gian cịn thoả mãn tính chất nhóm,
nghĩa là có nghịch đảo
U −1(t, t ) = U (t , t) = U † (t, t ).

(1.9)

Trong biểu diễn tương tác, các hàm sóng thoả mãn phương trình
tự do
∂0φI (t, x) = i[H0, φI (t, x)].
(1.10)
Trạng thái cuối ở thời điểm t liên hệ với trạng thái ban đầu ở thời
điểm t0 qua toán tử tiến triển thời gian
|a, t

I

= U (t, t0)|a, t0 I ,

U (t0 , t0) = 1.

(1.11)

Đây là cơ sở cho chúng ta thu được phương trình chuyển động của
tốn tử tiến triển thời gian U (t, t0)
i

∂
U (t, t0) = Hint U (t, t0),

∂t

(1.12)

trong đó
Hint = eiH0 t Hinte−iH0 t
là Hamiltonian trong biểu diễn tương tác
Hint = Hint (φI ).

(1.13)

Dễ dàng nhận ra, trong (1.13) hàm sóng φI thực chất là hàm tự do.
8


Tiếp theo, chúng ta tìm biểu thức cho tốn tử tiến triển thời
gian. Mặc dù có lời giải tường minh một cách hình thức của U (t, t0),
nhưng sẽ thuận lợi hơn, nếu chúng ta tìm lời giải của phương trình
tích phân tương đương với điều kiện biên U (t0, t0 ) = 1,
U (t, t0) = 1 − i

t

dt Hint (t )U (t , t0).

t0

(1.14)

Để cho ngắn gọn, trong phần tiếp theo, chúng ta ký hiệu lại H ≡

Hint. Phương trình này có thể giải bằng phương pháp lặp trình (interactive) dẫn tới dãy tương tác
U (t, t0) = 1 − i
= 1−i
= 1−i

t
t0
t
t0
t
t0

+(−i)n

dt1 H(t1 )U (t1, t0)
t1

dt1 H(t1 ) 1 − i

t0

dt1 H(t1 ) + (−i)2
t
t0

dt1

t1
t0

dt2 · · ·

dt2H(t2 )U (t2, t0)
t

dt1

t0
tn−1
t0

t1
t0

dt2H(t1 )H(t2) + · · ·

dtn H(t1 )H(t2) · · · H(tn ) + · · ·

(1.15)

Theo phương diện vật lý, chúng ta có thể minh hoạ U (t, t0) như là
toán tử cho xác suất U (t, t0) ∼< f |S|i > tìm thấy trạng thái cuối f
khi biết trạng thái đầu i.
Trước hết, chúng ta xét số hạng bậc hai
t
t0

dt1

t1

t0

(1.16)

dt2 H(t1)H(t2 )

mà có thể tách hai tích phân và đổi thứ tự lấy tích phân ở số hạng
thứ hai
t1
t
1 t
1 t
dt1
dt2H(t1 )H(t2) +
dt2 dt1 H(t1)H(t2 )
t0
t2
2 t0
2 t0
Tiếp theo, thay đổi ký hiệu tích phân trong số hạng thứ hai
1
2

t
t0

dt2

t
t2

1
2

dt1 H(t1 )H(t2) =

t
t0

dt1

t
t1

dt2 H(t2)H(t1).

Cùng với số hạng đầu tiên, biểu thức trong (1.16) có thể viết trong
dạng
t
t0

dt1

t1
t0

dt2 H(t1)H(t2 ) =

t
t0

dt1

t1
t0

dt2[H(t1 )H(t2)θ(t1 − t2 )

+H(t2 )H(t1)θ(t2 − t1 )]
9

(1.17)


t2
t

t0
t0

t1

t

Hình 1.1: Ý nghĩa hình học của phương trình 1.17

Một cách hình tượng, chúng ta có thể minh hoạ phương trình trên
bằng hình vẽ 1.1
Nếu chúng ta đưa vào tích theo thứ tự thời gian (gọi là T -tích)
T [H(t1)H(t2) · · · H(tn )] ≡ H(t1)H(t2 ) · · · H(tn )

với ti1 ≥ ti2 ≥ · · · ≥ tin (1.18)
thì khi ti = tj , chúng ta có thể giữ nguyên thứ tự, hoặc tiền định nghĩa.
Như vậy, biểu thức cho toán tử tiến triển thời gian lúc này được đưa
ra
t

U (t, t0) = T exp −i

t0
t

≡ T exp −i

t0

dt Hint (t )
d3 xHint(t , x) .

dt

(1.19)

Nói chung, Hint (t) với các thời gian khác nhau là khơng giao hốn.
Nếu [Hint (t), Hint(t )] = 0 cho tất cả t và t , đây là trường hợp U (t, t0 )
được xác định đơn giản nhất, cơ sở từ phương trình (1.12) cho ta
nghiệm.
U (t, t0) = exp −i

t
t0

dt Hint (t ) .

(1.20)

Tất nhiên, ở đây Hint được viết trong biểu diễn tương tác.
Trường hợp tổng quát, tốn tử tiến triển thời gian là nghiệm của
phương trình (1.12) và được viết dưới dạng:
U (t, t0) = T exp −i

t
t0

dt1Hint (t1, x)

(−i)p
= 1+
p=1 p!
Hint(xp)] .
∞

t
t0

d4 x 1

t
t0

d4 x2...

t
t0

d4xp T [Hint (x1)Hint(x2)...
(1.21)

10


Các q trình vật lý đều được nhận biết thơng qua ma trận tán xạ.
Để xác định S ma trận, ngồi tốn tử tiến triển theo thời gian chúng
ta cần thêm các định lý Wick để khai triển T -tích.
1.1.3

Các định lý Wick

Như chúng ta đã biết ở trên, ma trận tán xạ là trường hợp giới hạn
của toán tử tiến triển thời gian khi thời gian tiến tới vô cùng
S = lim U (t, t0 ).
t→∞
t0 →−∞

Kết hợp với các điều kiện vật lý, chúng ta đã thu được S ma trận
dxLint(x) ≡ T eiSint .

S = T exp i

Để có dạng thuận tiện hơn của ma trận tán xạ, chúng ta bắt đầu
với T -tích.

T -tích trong (1.21) được định nghĩa như sau
T [φ(x1)...φ(xn)] = φ(x1)...φ(xn),

nếu x0 ≥ x0 ≥ ... ≥ x0 . (1.22)
1
2
n

Trong (1.22), khi thời gian bằng nhau (x0 = x0 = ...) xảy ra, chúng
1
2
ta phải tiền định nghĩa (predefinition), một trong những khả năng đó
là
1
[φ1 (x, t0 )φ2(y, t0) + κφ2 (y, t0 )φ1(x, t0)] .
2
(1.23)
ở (1.23), ta qui ước như sau, κ = 1 ứng với trường boson, κ = −1 ứng
với trường fermion.
Đặc biệt, đối với các trường tuân theo thống kê Fermi-Dirac,
chúng ta phải đổi dấu khi hoán vị thứ tự, cụ thể là, với φ là trường
boson
T [φ1(x, t0 ), φ2(y, t0 )] =

T [φ(x1)φ(x2)] =
Còn với ψ là trường Dirac
T [ψα (x1)ψβ (x2)] =









φ(x1)φ(x2) nếu x0 > x0 ,
1
2
0
φ(x2)φ(x1) nếu x2 > x0 .
1

(1.24)

ψα (x1)ψβ (x2) nếu x0 > x0,
1
2
(1.25)
0
−ψβ (x2)ψα (x1) nếu x2 > x0.
1
11


Định nghĩa: Tích chuẩn hay N - tích (Normal product, normal
ordering : : hoặc N ) là tích mà trong đó tốn tử sinh đứng trước (bên
trái), tốn tử hủy đứng sau (bên phải).
Định nghĩa N -tích cho chúng ta các hệ quả sau.
• Trung bình chân khơng của N -tích bằng khơng. Điều này suy ra
từ tác động của tốn tử huỷ cho chân khơng triệt tiêu: a(k) |

0 = 0.
• Để giảm bớt những giản đồ chân khơng (giản đồ khơng có đường
ngồi) khơng cần thiết người ta thường quy ước rằng: các trường
trong Lagrangian hoặc Hamiltonian đã được viết trong dạng N tích.
• Tuy nhiên khi tính các giản đồ chân không, người ta phải bỏ N tích đi.
Để tính các yếu tố ma trận chúng ta sử dụng hai định lý Wick .
Định lý Wick 1: T -tích của các tốn tử bằng tổng các N -tích của
chúng với mọi cặp đơi (pairing, construction) khả dĩ, kể cả N -tích
khơng có cặp đơi
T [φ(x)φ(y)] ≡ N [φ(x)φ(y)] + φ(x)φ(y).
Cặp đôi liên hệ với hàm truyền Feynman như sau
i∆F (x − y) = < 0|T [φ(x)φ(y)]|0 >=< 0| φ(x)φ(y)|0 >,

¯
i[SF (x − y)]β = < 0| ψ α (x)ψ β (y) |0 >,
α

i∆µν (x − y) = < 0| V µ (x)V ∗ν (y) |0 > .
F

(1.26)

Chú ý rằng cặp đôi liên kết chặt chẽ với giao hoán hoặc phản giao
hoán tử của các trường
< 0| φ(x)φ(y)|0 >=< 0| [φ(x), φ(y)]± |0 >,

(1.27)

trong đó giao hốn tử (-) ứng với trường boson, phản giao hoán tử
(+) ứng với trường fermion.

Ngồi ra, chúng ta cịn gặp N -tích với các cặp đơi. Khi tính
trung bình chân khơng, sử dụng (1.27) chúng ta sẽ chuyển từ tích
12


bình thường thành N -tích với tất cả kết cặp khả dĩ. Ví dụ:
< 0|[φ(y)φ(y)φ(y)φ(y))]|0 > → < 0|N [φ(y)φ(y)φ(y)φ(y)]
+6 φ(y)φ(y) N [φ(y)φ(y)] + 3 φ(y)φ(y) φ(y)φ(y) |0 > .

(1.28)

Định lý Wick 1 cịn có thể viết ở dạng tiện lợi sau đây [3].
T [ϕ(x1) · · · ϕ(xn)] = N exp
ˆ
ˆ

1 δ
δ
∆
ϕ(x1) · · · ϕ(xn) |··· (1.29)
2 δϕ δϕ

trong đó ∆ là hàm truyền Feynman cịn |··· ký hiệu việc sau khi lấy vi
phân theo trường cổ điển ϕ, các trường trên được thay bằng trường
lượng tử ϕ.
ˆ
Một trường hợp chúng ta cũng rất hay gặp là T -tích của các thừa
số trong dạng chuẩn. Khi đó chúng ta sẽ sử dụng định lý sau đây:
Định lý Wick 2: T -tích chứa các thừa số trong dạng N -tích bằng
tổng các N -tích của chúng với mọi cặp đơi khả dĩ, kể cả N -tích khơng

có cặp đơi, nhưng khơng có các cặp đơi trong cùng một N -tích.
Chú ý rằng chúng ta chỉ khơng lấy cặp đơi trong số hạng đầu tiên
của (1.28) và rút các cặp đơi ra khỏi N -tích ở các số hạng tiếp theo.
Để minh hoạ chúng ta tính trung bình chân khơng của T-tích gồm hai
thừa số sau
¯
¯
0|T [: ψ(x)γ µψ(x) :: ψ(y)γ ν ψ(y) :]0

= γ µiSF (x − y)γ ν (−)iSF (y − x)
= γ µSF (x − y)γ ν SF (y − x) 1.30)
(

¯
Trong (1.30) chúng ta đã không lấy kết cặp giữa ψ(x) với ψ(x) vì
chúng ở trong cùng một N -tích. Dấu trừ trong đó là do chúng ta phải
đổi chỗ một lần hai hàm spinor.
Các định lý Wick sẽ là công cụ quan trọng cho chúng ta xây
dựng công thức xác định hệ số đối xứng của các giản đồ Feynman,
đặc biệt trong việc xác định các liên kết khả dĩ giữa các trường trong
các Lagrangian tương tác ở nhiễu loạn bậc cao.
1.1.4

Hàm Green trong lý thuyết trường

Hàm Green có vai trị rất quan trọng trong vật lý nói chung và lý
thuyết trường nói riêng. Hàm Green giúp chúng ta tìm nghiệm của
phương trình Klein-Gordon cho cả trường tự do và trường tương tác,
ở mức cây hàm Green chính là hàm truyền Feynman, ở các bậc nhiễu
13

loạn khác nhau mỗi hàm Green tương ứng với một hoặc nhiều giản đồ
Feynman cụ thể. Chúng ta bắt đầu từ phương trình Klein-Gordon:
( + m2 )ϕ(x) = J(x),

(1.31)

int
trong đó nguồn J(x) = ∂Lµ .
∂
Để giải (1.31), chúng ta cần định nghĩa hàm Green thoả mãn phương
trình

( + m2 )G(x − y) = δ(x − y).

(1.32)

ở đây, chúng ta thường quy định dấu trước hàm delta và trước
bình phương khối lượng giống nhau. Có thể thấy rằng hàm Green (ở
bậc thấp nhất - bậc cây) chính là hàm truyền Feynman ∆F (x − y).
Khi đó lời giải của trường tương tác có dạng
ϕ(x) = ϕ0 (x) +

d4 xG(x − y)J(y),

(1.33)

trong đó ϕ0(x) là nghiệm thoả mãn phương trình Klein-Gordon với vế
phải bằng khơng.

Trong phương trình (1.33) dạng của hàm Green phụ thuộc vào từng
trường hợp cụ thể. Để rõ ràng hơn, sau đây chúng ta xét một trường
hợp đơn giản cho trường vơ hướng với Lagrangian tồn phần gồm
phần tự do và phần tương tác. Với các trường khác chúng ta có cách
làm hồn tồn tương tự [4].
Thực hiện biến đổi Fourie (1.33) với ϕ(x) là trường vô hướng, ta có
1
G(x) =
(2π)4

e−ikx
dk;
m2 − k 2

˜
G(k) =

1
,
m2 − k 2

(1.34)

˜
trong đó, G(x) là hàm Green trong khơng gian tọa độ cịn G(k) là
hàm Green trong không gian xung lượng. Biểu thức (1.34) khơng xác
định vì chưa có quy tắc qua cực. Sự không xác định thể hiện sự chưa
kể tới các hệ số tự do khi lấy tích phân dạng aD + + bD− + cD(x),
trong đó D+ và D− là lời giải của phương trình đồng nhất với vế trái
của (1.32) bằng khơng. Các hàm D ± chính là phần tần số dương, âm

của hàm sóng ϕ, vì chúng thoả mãn phương trình Klein-Gordon của
trường vơ hướng tự do. Quy tắc qua cực cho ta xác định được các
hệ số này, đồng thời cho chúng ta xác định Hàm Green sớm và hàm
Green trễ.
14


• Hàm Green sớm và hàm Green trễ

Dựa vào quy tắc qua cực khi tính tích phân phức, ta sẽ xác
định được hàm Green sớm và hàm Green trễ. Đồng thời, ta cịn
có thể tìm được mối liên hệ giữa hàm Green sớm và hàm Green
trễ, trên cơ sở đó chúng ta xây dựng hàm Green nhân quả và tiếp
theo là hàm Green tổng quát.

Để xác định hàm Green trễ (retarded), chúng ta chọn điều kiện
biên
Dret (x) = 0, với x0 < 0
(1.35)
Khi biểu diễn D ret trong dạng gần đúng với (1.34), ta thấy nếu
nhân hàm này với exp(−εx0), trong đó ε > 0, thì từ (1.35), nó
khơng có thêm một kỳ dị mới nào
0

Dret (x)e−εx = Gε (x).

(1.36)

Như vậy ta có thể biểu diễn nó như giới hạn
Dret (x) = lim Gε (x).

ε→0

(1.37)

Theo định nghĩa (1.36), hàm Gε (x) thoả mãn phương trình




∂
−
+ε
∂t

2




− m2  Gε (x) = −δ(x)

(1.38)

và trong biểu diễn xung lượng tại giới hạn ε → 0 có dạng
1
1
→ 2
.
m − k 2 − 2iεk0
m2 − (k0 + iε)2 + k 2

(1.39)

Như vậy, theo (1.37) hàm Green trễ có thể biểu diễn trong dạng
1
D (x) =
(2π)4
ret

e−ikx
dk.
m2 − k 2 − 2iεk0

(1.40)

Dễ dàng chỉ ra rằng biểu thức (1.40) thoả mãn điều kiện (1.35)
bằng cách lấy tích phân theo k0 . Thặng dư tại 2iεk0 trong mẫu
số (1.40) cho thấy hai cực trên mặt phẳng phức của biến k0 phải
vịng qua phía trên. Do vậy khi x0 < 0 tích phân phải khép từ
nửa trên mặt phẳng như minh họa ở hình (1.2). Tương tự khi
x0 > 0, tích phân phải khép ở nửa dưới ứng với hàm Green sớm.
15


Im k0

Re k0
q

q

− k 2 + m2

+ k 2 + m2

Hình 1.2: Quỹ đạo tích phân trong mặt phẳng k0

Sử dụng công thức Cauchy
f (z0) =

1
2πi

f (z)
dz,
G z − z0

(1.41)

ωk ≡ (k 2 + m2 )1/2,

(1.42)

cho (1.40) với
e−ik0 x0
f=
,
(k0 + ωk )(k0 − ωk )
ta có
2πi

D (x) =
(2π)4
1
=
(2π)3i
ret





e−ik0 x0 eik0 x0  −ikx

−
e
dk
2k0
2k0
eik0 x0 − e−ik0x0
|k0 =ωk e−ikx dk = D− (x).
2k0
(1.43)

Vì vậy
Dret (x) = θ(x0)D−(x).

(1.44)

Tương tự, có thể chỉ ra rằng, hàm Green sớm (advanced) xác
định bởi điều kiện biên

Dadv (x) = 0,

với x0 > 0.

(1.45)

có dạng
D

adv

1
(x) =
(2π)4

e−ikx
dk = −θ(−x0)D+ (x). (1.46)
2 − k 2 + 2iεk
m
0

• Hàm Green nhân quả
16


Trong lý thuyết trường lượng tử, hàm Green nhân quả D c (x−y)
đóng một vai trị cực kỳ quan trọng mơ tả mối liên hệ nhân quả
q trình sinh và huỷ các hạt tại các điểm khác nhau của không
thời gian x và y. Trên cơ sở đã xác định hàm Green sớm và hàm
Green trễ, sau đây chúng ta sẽ xác định hàm Green nhân quả.

Quá trình sinh hạt tại điểm x và huỷ nó tại y được mơ tả bởi yếu
tố ma trận
1
< 0|ϕ−(y)ϕ+(x)|0 >= D− (y − x) = iD+ (x − y).
i

(1.47)

Rõ ràng rằng ta coi y0 > x0. Nếu ngược lại, hạt sinh ra tại điểm
y và huỷ tại x, có biểu thức tương ứng
1
< 0|ϕ−(x)ϕ+(y)|0 >= D− (x − y).
i

(1.48)

Như vậy hàm nhân quả D c (x − y) phải tỷ lệ với D − (x − y) khi
x0 > y0 và khi x0 < y0 phải tỷ lệ với hàm D + (x − y). Để xác lập
dạng của hàm này, ta có nhận xét rằng, bất kỳ lời giải nào của
(1.32) có thể biểu diễn trong dạng tổ hợp tuyến tính của lời giải
phương trình đồng nhất. Chọn hàm đó là hàm trễ, ta sẽ có lời
giải của (1.32) ở dạng
G(x) = Dret (x) + aD+ (x) + bD− (x),

(1.49)

trong đó a và b là hệ số bất kỳ. Chọn a = −1, b = 0, ta có biểu
thức
Dret (x−y)−D +(x−y) = θ(x0 −y0)D− (x−y)−θ(y0−x0)D+(x−y),
(1.50)

thoả mãn tất cả điều kiện của D c .
Để có biểu thức trong biểu diễn xung lượng của hàm nhân quả
Dc (x) = θ(x0)D− (x) − θ(−x0)D+ (x).

(1.51)

1
1
Khi sử dụng công thức Sokhovski, x±i0 = P x iπδ(x), trong đó
P là giá trị chính, ta đưa ra tính chất sau: hiệu của D ret − D+ có
thể biểu diễn trong dạng.

1
+ 2πiθ(k0 )δ(k 2 − m2 )
2 − k 2 − 2iεk
m
0
17