phân bố mẫu và ước lượng tham số thống kê

GV. Nguyen Vu Quang
Thống kê Kinh doanh – Phân bố mẫu và Ước lượng
1
Chương 5 & 6
PHÂN BỐ MẪU & ƯỚC LƯNG THAM SỐ THỐNG KÊ










Tham số TK tập
hợp chính θ
Ước lượng θ
ˆ

(estimator)
Giá trò ước lượng
(estimate)
Số trung bình µ
X

x
Phương sai σ
2
S
2

s
2
Độ lệch chuẩn σ
S s
Tỷ số (tỷ lệ) p
p
ˆ
hay f
p
ˆ
hay f

•
Ước lượng điểm (point estimate):
θ = θ
ˆ

Ước lượng gọi là không chệch (Unbiased estimators) khi
E(
θ
ˆ
) = θ
Độ chệch (the bias) = E(θ
ˆ
) – θ
• Ước lượng khoảng (Interval estimate):
P(a < θ < b) = 1–α
Tập hợp chính
Mẫu ngẫu nhiên
Phương sai σ

2

Trung bình µ
Tỷ lệ p
n phần tử
Phương sai s
2
Trung bình X
Tỷ lệ f=X/n
GV. Nguyen Vu Quang
Thống kê Kinh doanh – Phân bố mẫu và Ước lượng
2

PHÂN PHỐI MẪU

Tập hợp chính ∼ N(µ, σ
2
) →
X
∼ N(µ,σ
2
/n)
→
2
2
σ
1)(nS −
∼
2
1-n

χ

Cỡ mẫu n lớn (n > 30) →
X
∼ N(µ,σ
2
/n)

Cỡ mẫu n lớn (n > 30) → E(f) = p
→ Var(f) = p(1-p)/n ≈ f(1-f)/n



ƯỚC LƯNG CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ

• Khoảng ước lượng của µ với độ tin cậy 100(1– α)%:

Tập hợp chính có phân phối chuẩn, giả sử biết trước
σ
2
:
x –
n
σ
Z
α/2
< µ < x +
n
σ
Z

α/2


Không biết
σ
2
, cỡ mẫu n lớn → σ ≈ s:
x –
n
s
Z
α/2
< µ < x +
n
s
Z
α/2





GV. Nguyen Vu Quang
Thống kê Kinh doanh – Phân bố mẫu và Ước lượng
3
Cỡ mẫu n nhỏ, không biết σ
2
, dùng phân phối t, giả thiết tập hợp
chính có phân phối chuẩn:
x –

n
s
t
α/2 1,-n
< µ < x +
n
s
t
α/21,-n


• Khoảng ước lượng của σ
2
với độ tin cậy 100(1– α)%:

Giả thiết THC có phân phối chuẩn:

2
2
α
1,n
2
χ
1)(ns
−
−
< σ
2
<
2

2
α
1,1n
2
χ
1)(ns
−−
−


• Khoảng ước lượng của p

trong phân phối nhò thức với độ tin
cậy 100(1–
α)%:
Cỡ mẫu n lớn → chuẩn hóa:

f –
n
f)f(1
Z
α/2
−
< p < f +
n
f)f(1
Z
α/2
−

Trong đó: Z
α/2
phân phối chuẩn hóa
t
ν, α/2
phân phối Student, bật tự do ν
2
α/2ν,
χ phân phối Chi-square, bật tự do ν




GV. Nguyen Vu Quang
Thống kê Kinh doanh – Phân bố mẫu và Ước lượng
4
• Xác đònh kích thước lấy mẫu n đối với
khoảng tin cậy của
µ:






Biết trước:
Độ tin cậy (1-α)
Sai số cho phép

ε, hoặc bề rộng khoảng w=2ε
Giả thiết THC có phân phối chuẩn


Trường hợp biết
σ
2
của THC:
n =
2
22
α/2
ε
σZ


Trường hợp chưa biết
σ
2
của THC:
n =
2
22
α/21,-n
ε
st

• Xác đònh kích thước lấy mẫu n đối với
khoảng tin cậy của p trong phân phối nhò thức:

n =
2
2
α/2
ε
f)-f(1Z


θ
ˆ
– ε
θ
ˆ
+ ε
θ
ˆ
W = 2ε
GV. Nguyen Vu Quang
Thống kê Kinh doanh – Phân bố mẫu và Ước lượng
5
Ví dụ:

Trọng lượng các học sinh lớp 2 có phân phối chuẩn với độ lệch
chuẩn = 1,2kg. Chọn ngẫu nhiên 25 học sinh thì có trọng lượng
trung bình là 19,8kg. Tìm khoảng tin cậy 95% đối với trọng lượng
trung bình của học sinh lớp 2.

Giải:
Từ số liệu có:
Độ tin cậy 100(1-α) = 95% => α = 0,05

Biết Sigma tập hợp chính, σ = 1,2
Trung bình mẫu
x = 19,8
Cỡ mẫu n = 25

x –
n
σ
Z
α/2
< µ < x +
n
σ
Z
α/2


Z
α/2
= Z
0,05
= 1,96

Thay vào ta có 19,33 < µ < 20,27
Hay µ =
x ± ε = 19,8 ± 0,4704
ε =
n
σ
Z

α/2
= 0,4704 là dung sai
Bề rộng khoảng là w = 2
ε







• Khi w càng nhỏ thì ước lượng càng chính xác
• Với α và σ cho trước, n càng lớn thì w càng nhỏ
• Với σ và n cho trước, (1-α) càng lớn thì W càng lớn
• Với α và n cho trước, σ càng lớn thì w càng lớn
θ
ˆ
– ε θ
ˆ
+ ε
θ
ˆ
W = 2ε
GV. Nguyen Vu Quang
Thống kê Kinh doanh – Phân bố mẫu và Ước lượng
6
Ví dụ

Mẫu ngẫu nhiên trọng lượng (kg) của 6 học sinh lớp 2 như sau:
18,6 18,4 19,2 20,8 19,4 20,5

Tìm khoảng tin cậy 90% đối với số trung bình của tất cả học sinh
lớp 2. Giả sử phân phối trọng lượng của tất cả học sinh lớp 2 là
chuẩn.

Giải:
Từ số liệu ta có:
Độ tin cậy 100(1-α) = 90% => α = 0,10
Không biết Sigma tập hợp chính σ
Cỡ mẫu n = 6


Phải tính toán:
Trung bình mẫu
x = 19,4833
Độ lệch chuẩn mẫu s = 0,98

x –
n
s
t
α/2 1,-n
< µ < x +
n
s
t
α/21,-n

t
n-1,α/2

= t
5 , 0.05
= 2,015

Thay vào ta có 18,67 < µ < 20,29
Hay µ =
x ± ε = 19,48 ± 0,81

GV. Nguyen Vu Quang
Thống kê Kinh doanh – Phân bố mẫu và Ước lượng
7
Ví dụ
Từ một lô thuốc, chọn ngẫu nhiên mẫu 15 viên thuốc nhức đầu cho
thấy độ lệch chuẩn hàm lượng một chất xxyy trong mẫu là 0,8

Tìm khoảng tin cậy 90% của phương sai của lô thuốc. Giả sử lô
thuốc tuân theo phân phối chuẩn

Giải:

n = 15
s
2
= 0,8
2
= 0,64
100(1-α) = 90% => α = 0,10

2
2

α
1,n
2
χ
1)(ns
−
−
< σ
2
<
2
2
α
1,1n
2
χ
1)(ns
−−
−


χ
2
n-1,α/2
= χ
2
14, 0.05
= 23,68

Thay vào ta có 0,378 < σ

2
< 1,364
=> 0,61 < σ < 1,17
GV. Nguyen Vu Quang
Thống kê Kinh doanh – Phân bố mẫu và Ước lượng
8
Ví dụ

Một công ty nhận lô hàng gồm vài ngàn sản phẩm. Người giám định
lấy ngẫu nhiên 81 sản phẩm và thấy có 8 sản phẩm không đạt yêu
cầu. Tìm khoảng ước lượng của tỷ lệ sản phẩm không đạt trong toàn
bộ lô hàng với độ tin cậy 90%.

Giải:


n = 81
f = 8/81 = 0,099 (tỷ lệ của mẫu)
100(1-α) = 90% => α = 0,1

Vì cỡ mẫu lớn n = 81 nên ta dùng phân phối chuẩn để ước lượng


f –
n
f)f(1
Z
α/2
−
< p < f +

n
f)f(1
Z
α/2
−


Z
α/2
= Z
0.05
= 1,645

Thay vào ta có

0,099 - 1,645*0,033 < p < 0,099 + 1,645*0,033
0,045 < p < 0,153

Nghĩa là tỷ lệ phế phẩm của toàn lô hàng trong khoảng 4,5%
đến 15,3%. Kết luận này có độ tin cậy 90%