skkn kỹ thuật hằng số vắng trong giải phương trình chứa căn thức

KỸ THUẬT HẰNG SỐ VẮNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Dạy học môn toán ở trường phổ thông là hướng tới việc dạy
cho học sinh biết giải toán. Tuy nhiên khả năng của mỗi học sinh là
khác nhau. Cùng một thầy cô giáo truyền đạt với cùng một nội dung
nhưng có học sinh làm được và có những học sinh gặp khó khăn với
vấn đề đó. lí do ở đây là từ phía học sinh hay phía thầy cô? Theo bản
thân tôi thì từ hai phía:
Từ phía thầy cô là không đơn giản hoá những vấn đề phức tạp
để học sinh nắm được dễ dàng hơn; thầy cô truyền đạt kiến thức một
cách máy móc; thầy cô chỉ mô tả lại những gì đã được viết trong
sách giáo khoa hay các tài liệu tham khảo, không phân tích, không
nhấn mạnh những nội dung trọng tâm, không giải mã được các điểm
mấu trốt của bài toán.
Từ phía trò là khả năng của một bộ học sinh còn hạn chế; cảm
thấy khó tiếp thu với cách thầy cô truyền đạt.
Bài toán giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình
chứa căn là dạng toán chúng ta thường gặp trong các kì thi tuyển
sinh ĐH&CĐ. Và chúng ta đã biết có rất nhiều cách để giải bài toán
này như: biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, phương pháp đánh giá,
phương pháp hàm số tuy nhiên đối với học sinh lớp 10 thì có một
vài phương pháp là chưa thể dùng được hoặc có những bài toán đã
được tích hợp rất nhiều kĩ năng trong đó mà một bộ phận học sinh
không thể phát hiện ra cách giải và thầy cô cũng chưa khái quát
được phương pháp chung cho nó.
Lê Văn Tiến - GV Trường THPT Yên Định 2
1
KỸ THUẬT HẰNG SỐ VẮNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Sau khi tìm hiểu, tiến hành giải các bài toán loại này tôi đã chọn
đề tài

“ Kỹ thuật hằng số vắng trong giải phương trình chứa căn
thức”
1.2. Cơ sở thực tiễn
Từ việc đọc tài liệu, thông qua các tiết luyện tập và dạy bồi
dưỡng cho các đối tượng học sinh. Tôi nhận thấy cần thiết phải khái
quát dạng bài toán trên nhằm đưa ra một lối tư duy đơn giản và hiệu
quả trong dạy học, gỡ bỏ những rào cản về mặt kiến thức cho học
sinh, giúp các em có thêm một công cụ trong giải toán.
1.3. Cơ sở khoa học
Giải quyết tốt nội dung trong đề tài sẽ giúp đa số học sinh có thể
làm được bài tập, hơn thế nữa là giúp một bộ phận Thầy, Cô giáo
trong việc đánh giá, nhìn nhận năng lực tiếp thu của học sinh, trên cơ
sở đó để lựa chọn cách thực hiện hoạt động giáo dục phù hợp với
năng lực của từng đối tượng học sinh.
1.4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài này tập trung giải quyết các nội dung:
- Khái quát cách giải cho một lớp bài toán, gỡ bỏ rào cản về mặt
kiến thức cho học sinh.
- Chỉ ra cách tạo “hằng số vắng” cho bài toán.
- Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu lí luận và thực nghiệm
sư phạm.
2. NỘI DUNG
Lê Văn Tiến - GV Trường THPT Yên Định 2
2
KỸ THUẬT HẰNG SỐ VẮNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
2.1. Cách tạo “ Hằng số vắng”:
Bài toán 1: Giải phương trình:
2
3 1 6 3 14 8 0x x x x+ − − + − − =
(1)

(Đề thi ĐH khối B – 2010)
Đáp án của Bộ giáo dục và đào tạo
Điều kiện:
1
6
3
x− ≤ ≤
Pt(1)
( ) ( )
2
3 1 4 1 6 3 14 5 0x x x x⇔ + − + − − + − − =




( )
( ) ( )
( )
3 5
5
5 3 1 0
3 1 4 6 1
3 1
5 3 1 0
3 1 4 6 1
x
x
x x
x x
x x

x x
−
−
⇔ + + − + =
+ + − +
 
⇔ − + + + =
 
+ + − +
 

5
3 1
3 1 0 (*)
3 1 4 6 1
x
x
x x
=


⇔

+ + + =

+ + − +

Pt(*) vô nghiệm, do VT > 0 với
1
6

3
x− ≤ ≤
Vậy phương trình có một nghiệm x = 5.
Bình luận: Đáp án trên không có gì sai sót, tuy nhiên tôi đã nhận
được rất nhiều thắc mắc của học sinh là con số 4 và 1 được lấy từ
đâu? tại sao lại là hai con số đó mà không phải là hai con số khác và
Lê Văn Tiến - GV Trường THPT Yên Định 2
3
tạo ra
như thế
nào?
tạo ra
như
thế
nào?
KỸ THUẬT HẰNG SỐ VẮNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
nó được tạo ra như thế nào? Đúng thật là một vấn đề cần chú ý đối
với học sinh và việc tạo ra hai con số đó là tự phát hay có một qui
luật nào không?
Việc tạo ra hai con số trên là có một qui luật. tôi sẽ giúp các em tìm
ra qui luật đó và đây cũng là nội dung của đề tài “Kỹ thuật hằng số
vắng” .
Khi thực hiện tìm hằng số vắng của bài toán các em hãy nhẫm một
nghiệm của phương trình, nhận thấy phương trình (1) có nghiệm x
0
=
5.
Tìm hằng số vắng:
con số 4 =
0

3 1 3.5 1 4x + = + =
con số 1 =
0
6 6 5 1x− = − =
Đây là lí do và cách để tạo hai con số 4 và 1.
Bài toán 2:
Giải phương trình:
2 2
12 5 3 5x x x+ + = + +
(1)
(OLYMPIC 30/4 đề nghị)
Giải: Để phương trình có nghiệm thì :
2 2
5
12 5 3 5 0
3
x x x x+ − + = − ≥ ⇔ ≥
Ta nhận thấy : x
0
= 2 là nghiệm của phương trình, như vậy có thể
tạo ra hằng số vắng như sau:

2 2
0
12 2 12 4x + = + =

2 2
0
5 2 5 3x + = + =
Lê Văn Tiến - GV Trường THPT Yên Định 2

4
Hằng số 1
Hằng số 2
KỸ THUẬT HẰNG SỐ VẮNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Pt(1)
⇔
(
)
(
)
2 2
12 4 5 3 3 6x x x+ − − + − = −


( )
2 2
2 2
4 4
3 2
12 4 5 3
x x
x
x x
− −
⇔ − = −
+ + + +


( )
2 2

2 2
2 3 0 2
12 4 5 3
x x
x x
x x
 
+ +
⇔ − − − = ⇔ =
 ÷
+ + + +
 
(Do
2 2
2 2 5
3 0,
3
12 4 5 3
x x
x
x x
+ +
− − < ∀ >
+ + + +
)
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
2.2. Gỡ bỏ rào cản kiến thức
Bài toán 1:
Giải phương trình:
2

3
6 7 1x x x+ + = − −
(3)
(Đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng)
Đáp án:
Điều kiện:
1x
≥
Pt (3)
2
3
6 1 7x x x⇔ + + − + =
+) Nhận thấy x = 1 không phải là nghiệm của phương trình;
+) Với x > 1, xét hàm số:
( ) ( )
2
3
6 1 1f x x x x x= + + − + >
Ta có
( )
( )
2
3
1 1
' 2 0, 1
2 1
3 6
f x x x
x
x

= + + > >
−
+
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
( )
1;+∞
nên pt(3) có không quá 1
nghiệm trên
( )
1;+∞
, mặt khác f(2) = 7 nên phương trình (3) có nghiệm
duy nhất x = 2.
Lê Văn Tiến - GV Trường THPT Yên Định 2
5
KỸ THUẬT HẰNG SỐ VẮNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Bình luận: Với cách giải sử dụng phương pháp hàm số như trên thì
học sinh lớp 10 là chưa phù hợp. tuy nhiên nếu sử dụng kỹ thuật
hằng số vắng thì sẽ phù hợp với kiến thức của học sinh lớp 10.
Cách giải phù hợp đối với học sinh lớp 10 – “Gỡ rào cản kiến
thức”
Tạo hằng số vắng:
Nhận thấy x
0
= 2 là nghiệm của phương trình (3),

3
3
0
6 2 6 2x + = + =

0
1 2 1 1x − = − =
Bài làm
Điều kiện:
1x
≥
Pt (3)
( ) ( )
2
3
6 2 1 1 4 0x x x⇔ + − + − − + − =

( )
( ) ( )
2
3
3
2 2
2 2 0
1 2
6 2 6 4
x x
x x
x
x x
− −
⇔ + + − + =
− +
+ + + +

( )
( )
( )
2
3
3
1 1
2 2 0
1 2
6 2 6 4
x x
x
x x
 
 
⇔ − + + + =
 
− +
+ + + +
 

( )
2
3
3
2
1 1
2 0 (*)
1 2
6 2 6 4

x
x
x
x x
=


⇔

+ + + =

− +
+ + + +

Phương trình (*) vô nghiệm với
1x∀ ≥
.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
Lê Văn Tiến - GV Trường THPT Yên Định 2
6
Hằng số 1
Hằng số 2
KỸ THUẬT HẰNG SỐ VẮNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Bài toán 2
Giải hệ phương trình:
3
2 2 3 2 (1)
6 1 4 (2)
x y x y
x y


+ = − −


+ + − =


(Đề thi HSG tỉnh Vĩnh
Phúc)
Giải:
Điều kiện:
2 0
1
x y
y
+ ≥


≤

Pt (1)
( )
2 1 ( / )
2 2 2 3 0
2 3 ( )
x y t m
x y x y
x y l

+ =

⇔ + + + − = ⇔


+ = −

Với
2 1 1 2x y y x+ = ⇔ = −
thay vào (2), ta có:
3
6 2 4x x+ + =
(*)
“ Ta sử dụng kỹ thuật hằng số vắng để giải phương trình (*):
nhận thấy phương trình có nghiệm x
0
= 2 và
3
3
0
6 2 6 2x + = + =
;
0
2 2.2 2x = =
”
phương trình (*)
( ) ( )
3
6 2 2 2 0x x⇔ + − + − =

( )
( )

2
3
3
2 2
2
0
2 2
6 2 6 4
x
x
x
x x
−
−
⇔ + =
+
+ + + +

( )
( )
2
3
3
1 2
2 0
2 2
6 2 6 4
x
x
x x

 
 
⇔ − + =
 
+
+ + + +
 

( )
2
3
3
2
1 2
0 (**)
2 2
6 2 6 4
x
x
x x
=


⇔

+ =

+
+ + + +


Phương trình (**) vô nghiệm với
0x
≥
. Với x = 2, suy ra y = - 3.
Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; - 3).
Lê Văn Tiến - GV Trường THPT Yên Định 2
7
KỸ THUẬT HẰNG SỐ VẮNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Thông thường thì phương trình (*) được giải bằng phương pháp
hàm số. Nhưng nếu thế thì sẽ không phù hợp với học sinh lớp
10 và chúng ta thấy nếu sử dụng kỹ thuật hằng số vắng thì bài
toán này rất quen thuộc với các em học sinh lớp 10.
2.3. Bài tập vận dụng
Giải các phương trình
1.
3
1 5 4x x x− − = −
2.
3
1 4 5x x x− = − − +
3.
2
2 1 3 4x x x− + + = −
4.
2 2
15 2 3 8x x x+ + = + +
5.
2
2 4 6 11x x x x− + − = − +

Lê Văn Tiến - GV Trường THPT Yên Định 2
8
KỸ THUẬT HẰNG SỐ VẮNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
3. KẾT LUẬN
Đề tài đã giải quyết được các vấn đề sau:
1) Đề tài đã chỉ ra được các vướng mắc của một lớp đối tượng
học sinh trong khi giải toán, tiếp thu kiến thức mà khi viết tài liệu
các tác giả xem nó như là những nội dung mà tất cả học sinh
đều nắm được một cách đơn giản.
2) Đề tài đã chỉ ra hướng đi nhằm đơn giản các đơn vị kiến làm
cho học sinh tiếp thu kiến thức nhẹ nhàng hơn, rễ hiểu hơn.
3) Đề tài đã tạo ra cho các thầy, cô giáo một thay đổi trong quá
trình nhìn nhận, đánh giá năng lực của một bộ phận học sinh.
4) Đề tài có thể được dùng trong những tiết luyện tập để nâng cao
kết quả hoạt động giáo dục.
5) Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng
dạy lớp 10, được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng
cao khả năng giải phương trình chứa căn thức. Các em hứng
thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ thuật này các
em học sinh với mức học trung bình trở lên đã có kỹ năng giải
các bài tập. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt. Cụ thể ở các lớp
khối 10 sau khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy thì số HS
hiểu và có kỹ năng giải được các dạng toán nói trên, kết quả
qua các bài kiểm tra thử như sau :
Năm Lớp Tổng Điểm 8 trở Điểm từ 5 Điểm dưới 5
Lê Văn Tiến - GV Trường THPT Yên Định 2
9
KỸ THUẬT HẰNG SỐ VẮNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
học số
lên đến 8

Số
lượng
Tỷ lệ
Số
lượng
Tỷ lệ
Số
lượng
Tỷ lệ
2011-
2012
10C1 46 36
78.2
%
7
15.2
%
3 6.6 %
10C2 48 30 62.5% 10 20.8% 8
16.7
%
10C4 48 15
31.3
%
20
41.7
%
13 27 %
Như vậy tôi thấy kỹ thuật hằng số vắng có hiệu quả trong giảng
dạy. Theo tôi khi dạy phần toán giải phương trình vô tỉ giáo viên cần

chỉ rõ các dạng toán và cách giải tương ứng để học sinh nắm được
bài tốt hơn.
Các bạn đồng nghiệp thân mến. Các kỹ thuật giải toán được tôi
nêu trong đề tài này tưởng như không có gì đặc biệt, tuy nhiên nó lại
tạo ra một hướng giải toán hiệu quả và phù hợp với đại bộ phận học
sinh. Quá trình giảng dạy tôi đã nhận được không ít những câu hỏi,
thắc mắc và bằng cách sử dụng kỹ thuật trên hướng dẫn cho học
sinh thì học sinh nắm được vấn đề và giải tốt các bài toán tương tự.
Đề tài này có thể không tránh khỏi những sai sót nhỏ, mong các bạn
đóng góp ý kiến để đề tài được hoàn thiện hơn. Xin chân thanh cảm
ơn!
Yên Định, tháng 4 năm
2012
Lê Văn Tiến - GV Trường THPT Yên Định 2
10