ĐỒ án môn học Tối ưu hóa tuyến tính 9.5đ cuối học phần

GVHD: Ths Nguyễn Thị Ánh Nguyệt Môn Tối ưu hóa
MỤC LỤC
Nội dung Trang
Lời nói đầu 2
Phần mở đầu 3
CHƯƠNG 1: LẬP KẾ HOẠCH SẢN XUẤT TỐI ƯU
BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH TOÁN HỌC 4
CHƯƠNG 2: LẬP KẾ HOẠCH SẢN XUẤT TỐI ƯU 8
2.1 Tối ưu hóa năng lực sản xuất 9
2.2 Bài toán tối ưu hóa hợp phần 20
2.3 Tối ưu hóa năng lực vận chuyển 22
2.4 Tối ưu hóa trong công nghệ pha phôi 26
2.5 Bài toán tối ưu về dự trữ nguyên liệu và lưu kho sản phẩm 28
CHƯƠNG 3: DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP
QUI HOẠCH THỰC NGHIỆM 30
3.1 Bài toán nguyên cứu các thông số
công nghệ tối ưu trong sản xuất ván dăm 30
3.2 Bài toán tối ưu hóa trong ván ghép thanh 40
3.3 Xác định độ bám dính đối với phương án PA – GT05 47
Tài liệu tham khảo 50
SVTH:Nguyễn Thị Thanh Truyền Trang 1
GVHD: Ths Nguyễn Thị Ánh Nguyệt Môn Tối ưu hóa
LỜI MỞ ĐẦU
Môn học tối ưu hóa quá trình sản xuất là môn học hay, bước đầu gợi cho sinh
viên về cách phát hiện vấn đề để có thể tối ưu hóa được trong các mắc xích hoạt động
sản xuất và kinh doanh. Khi nghiên cứu một vấn đề nào đó, điều chúng ta quan tâm
nhất là xác định được mối quan hệ nhân quả và định hướng chúng. Kết quả nghiên cứu
này thể hiện ở mức độ cao nhất là thiết lập được các mô hình toán học diến tả mối quan
hệ nhân quả đó. Nhờ vào các mô hình toán học mà chúng ta có thể suy diễn, dự tính dự
báo các vấn đề ngoài tầm nghiên cứu một cách tuơng đối dễ dàng và chính xác. Trong
nhiều truờng hợp, đặc biệt là các nghiên cứu ứng dụng, chúng ta cần biết các giá trị tối

ưu căn cứ vào mô hình toán học đã được thiết lập.Ta thấy rằng trong thực tế cuộc sống
và tất cả các ngành nghề đều có thể áp dụng tối ưu hoá trong sản xuất nhằm nâng cao
hiệu quả kinh tế. Áp dụng tối ưu hoá trong sản xuất, tối ưu hoá trong kinh doanh, tối
ưu hoá trong công nghệ sinh, tối ưu hoá trong lâm nghiệp, ….Qua đó ta thấy rằng tối
ưu hoá rất quan trọng và cần thiết trong cuộc sống.
SVTH:Nguyễn Thị Thanh Truyền Trang 2
GVHD: Ths Nguyễn Thị Ánh Nguyệt Môn Tối ưu hóa
PHẦN MỞ ĐẦU
Tối ưu hóa còn gọi là qui họach toán học, là một bộ phận quan trọng của toán
học nói chung và của toán học ứng dụng nói riêng. Nó là một công cụ hết sức sắc bén
để giải quyết một lọai bài toán trong các họat động kinh tế, kỹ thuật. Vì lý do đó mà tối
ưu hóa cũng là một phần kiến thức không thể thiếu được đối với những người làm công
tác kỹ thuật nói chung và chế biến gỗ nói riêng.
Mục đích chính là gợi cho chúng ta phương pháp tư duy về cách phát hiện các
vấn đề có thể tối ưu hóa được trong các mắt xích họat động sản xuất và kinh doanh.
Trong trường hợp này phương pháp toán học chỉ được xem như là công cụ để giải
quyết các vấn đề đó.
Các bước giải bài toán:
 Bước 1: Mô hình hóa các mối quan hệ “ nhân – qủa ” để thu thập các số liệu cần
thiết
 Bước 2: Thiết lập các mô hình toán học diễn tả các mối quan hệ “ nhân –> quả “
đó trong những điều kiện nhất định (nếu có ): y = f(x), với x= (x
1
, x
2
, x
3
, … x
n)
là các nguyên nhân và y là kết quả.

 Bước 3: Xác định nghiệm tối ưu (phương án tối ưu)x
*
sao cho f(x)
*
=min f(x)
hoặc f(x)
*
= max f(x).
SVTH:Nguyễn Thị Thanh Truyền Trang 3
GVHD: Ths Nguyễn Thị Ánh Nguyệt Môn Tối ưu hóa
CHƯƠNG 1: LẬP KẾ HOẠCH SẢN XUẤT TỐI ƯU
BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH TOÁN HỌC
Nhiệm vụ cơ bản của công tác lập kế hoạch sản xuất ở các xí nghiệp chế biến gỗ là
phải chỉ ra được khối lượng của từng mặt hàng cần sản xuất trong mỗi tháng, mỗi quý
hoặc mỗi năm, căn cứ trên các yếu tố ảnh hưởng như nhu cầu tiêu thụ, biến động của
thị trường, nhịp điệu cung cấp nguyên liệu, tình trạng vận hành của thiết bị… Ở đây
chúng ta yêu cầu là kế hoạch đặt ra phải là kế hoạch tối ưu. Một kế hoạch được gọi là
tối ưu khi nó thoả mãn các điều kiện:
 Sản phẩm sản xuất ra phải đáp ứng được nhu cầu của người tiêu dùng về
phương diện khối lượng và chất lượng.
 Phải phù hợp khả năng cung cấp về nguyên liệu, sức sản xuất của máy móc,
thiết bị và nhiều điều kiện nội tại khác tại xí nghiệp. Đối với các xí nghiệp chế biến gỗ,
điều kiện về nguyên liệu được xem là yếu tố quan trọng nhất, vì nó luôn biến động tùy
thuộc nguồn cung cấp…
 Phải đạt được một chỉ tiêu kinh tế nào đó có lợi nhất, ví dụ: tiết kiệm nguyên
liệu nhất, giá thành thấp nhất, chi phí năng lượng ít nhất, thời gian quay vòng vốn lưu
động nhanh nhất…
Việc tìm kiếm một phương án như vậy không phải là quá khó nhưng cũng không
phải khi nào ta cũng làm được, bởi vì trong sản xuất có rất nhiều yếu tố chi phối đến
quá trình sản xuất mà ta chưa lường hết được, hoặc những giới hạn mà chúng ta phải

tuân thủ. Trong lý thuyết quy hoạch toán học thường gọi những giới hạn đó là những
ràng buộc hoặc là điều kiện biên hoặc là điều kiện ràng buộc.
Bài toán quy hoạch sẽ cho ta nhiều nghiệm số.Trong nhiều nghiệm số đó ta phải
chọn lấy một. Nghiệm này phải thoả mãn các điều kiện giới hạn và phải làm cực đại
hoặc cực tiểu một chỉ tiêu kinh tế nào đó. Để giải quyết vấn đề này, quy hoạch toán học
là công cụ chủ yếu mà ta phải sử dụng. Điều khó khăn lớn nhất là ta phải khắc phục khi
sử dụng phương pháp này là đồng thời một lúc phải giải nghệ nhiều phương trình và
nghiệm của bài quy hoạch không phải bao giờ cũng ổn định.
Việc lựa chọn phương án tốt nhất (tối ưu) trong một tập hợp nhiều phương án chấp
nhận được là một quá trình toán khá phức tạp, đơn thuần mang tính chất toán học. Để
thực hiện được quá trình tính toán đó ta phải sử dụng những phương pháp tính riêng.
SVTH:Nguyễn Thị Thanh Truyền Trang 4
GVHD: Ths Nguyễn Thị Ánh Nguyệt Môn Tối ưu hóa
Giải bài toán để tìm một phương án tối ưu cho sản xuất thuộc loại bài toán tìm cực trị,
có điều kiện, nghĩa là ta phải đi tìm giá trị lớn nhất hoặc bé nhất của hàm nhiều biến
đồng thời phải thoả mãn các điều kiện ràng buộc của các biến đó.
Trong khi lập kế hoạch sản xuất, vấn đề có ý nghĩa quan trọng hơn cả là phải xác
định chỉ tiêu mà ta cần tối ưu. Ứng với một chỉ tiêu cần tối ưu ta có các giới hạn tương
ứng. Một điểm ta cần lưu ý là đối với một dạng bài toán khi ta chọn chỉ tiêu tối ưu khác
nhau thì nghiệm của bài toán cũng hoàn toàn khác nhau. Chỉ tiêu tối ưu tức là một đại
lương, một chỉ số nào đó mà ta cần phải cưc đại hóa hoặc cực tiểu hóa. Chỉ tiêu cần tối
ưu hoá thì có rất nhiều. Các ngành khác nhau có các chỉ tiêu tối ưu khác nhau, thậm chí
trong một ngành hoặc trong một dây chuyền sản xuất của một loại sản phẩm cũng có
thể có các chỉ tiêu khác nhau.
Trong công nghiệp chế biến gỗ, các chỉ tiêu tối ưu thường là những đại lượng sau:
• Giá thành công xưởng thấp nhất.
• Lợi nhuận nhiều nhất
• Nguyên liệu tiêu tốn ít nhất
• Năng suất máy cao nhất
• Nhân lực tham gia sản xuất ít nhất

• Chi phí vận tải thấp nhất
• Dữ trữ nguyên liệu và lưu kho sản phẩm hợp lý nhất
• Tiêu hao năng lượng ít nhất
• Các chỉ số đặc tính của sản phẩm đạt giá trị min hay max
Ngành chế biến gỗ ngày càng chiếm tỷ trọng không nhỏ trong nền kinh tế
quốc dân…Yêu cầu của công tác quản lý sản xuất ngày càng khoa học và chặt chẽ.
Trình độ sản xuất càng tiên tiến thì tính khoa học trong công tác quản lý càng cao.
Lập kế hoạch sản xuất là một trong những khâu quan trọng nhất trong công tác
quản lý. Kế hoạch sản xuất của một ngành, một xí nghiệp là động lực thúc đẩy sản xuất
của ngành, xí nghiệp đó phát triển. Lập kế hoạch tối ưu là một bước phát triển cao
trong công tác quản lý sản xuất. Một kế hoạch tối ưu bao giờ cũng cho ta một phương
án cụ thể để sử dụng nhân lực, vốn đầu tư, quỹ thời gian, quỹ thiết bị, quỹ nguyên liệu,
… để sản xuất các mặt hàng theo một chiều hướng có lợi nhất.
Để giải bài toán khi cần lập một kế hoạch tối ưu, phải tiến hành các bước sau:
SVTH:Nguyễn Thị Thanh Truyền Trang 5
GVHD: Ths Nguyễn Thị Ánh Nguyệt Môn Tối ưu hóa
Bước một: Xây dựng mô hình định tính cho vấn đề thực tế, tức là xác lập các yếu
tố có ý nghĩa quan trọng nhất và xác lập các qui luật mà chúng phải tuân theo. Hay nói
cách khác là phải thể hiện được ý tưởng của ta bằng lời trên đối tượng cần quan tâm.
Ở đây cần phải xác định được mục tiêu cần đạt là cái gì, và cái đó bị chi phối bởi
những yếu tố nào.
Bước hai: Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang nghiên cứu. Từ những tư
liệu này và ý tưởng đã được xác định ở bước một, ta diễn tả lại chúng dưới dạng ngôn
ngữ toán học. Như vậy, mô hình toán học là trừu tượng hóa dưới dạng ngôn ngữ toán
học của hiện tượng thực tế, cần phải được xây dựng sao cho việc phân tích nó cho phép
ta hiểu được bản chất của hiện tượng. Mô hình toán học thiết lập các mối quan hệ giữa
các biến số và các tham số điều khiển hiện tượng. Việc làm rất quan trọng ở bước này
là phải xác định hàm mục tiêu, tức là một đặc trưng bằng số mà giá trị càng lớn (hoặc
càng nhỏ) của nó tương ứng với hiệu quả càng tốt hơn giải quyết vấn đề mà người
nhận lời giải (người lập kế hoạch) mong muốn. Tiếp theo, phải diễn tả bằng các

phương trình hoặc bất phương trình các điều kiện kinh tế kỹ thuật. Đó là các ràng buộc
toán học mà các biến số phải tuân theo. Công việc ở bước này đòi hỏi người lập kế
hoạch cần có những kiến thức toán học nhất định.
Bước ba: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán đã thiết
lập ở bước hai.Căn cứ trên bài toán đã được xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng
phương pháp giải cho phù hợp. Tiếp đó phải cụ thể hóa phương pháp giải bằng các
thuật toán tối ưu. Nếu bài toán có kích thước lớn không giải được bằng tay thì phải sử
dụng máy vi tính.
Bước bốn: Phân tích và kiểm tra lại kết quả tính toán thu được ở bước ba. Trong
bước này cần xác lập mức độ phù hợp của mô hình lý thuyết với vấn đề thực tế mà nó
mô tả. Để thực hiện bước này, có thể làm thực nghiệm hoăc áp dụng phương pháp
phân tích chuyên gia. Ví dụ, khi thiết lập bài toán tính các thông số công nghệ để thu
được sản phẩm ván có các chỉ tiêu về chất lượng được xác định trước (theo điều kiện
biên) thì sau khi thu được lời giải, ta phải tiến hành thực nghiệm theo kết quả đó và
phân tích các chỉ tiêu chất lượng của sản phẩm xem chúng có thoả mãn các điều kiện
ràng buộc hay không.
Sau khi thực hiện bước bốn, có hai khả năng sẽ xảy ra:
Khả năng thứ nhất là kết quả tính toán phù hợp với thực tế. Khi đó có thể áp dụng
nó vào việc giải quyết vấn đề từ thực tế đặt ra. Nếu bài toán đặt ra có qui mô lớn và có
SVTH:Nguyễn Thị Thanh Truyền Trang 6
GVHD: Ths Nguyễn Thị Ánh Nguyệt Môn Tối ưu hóa
khả năng ứng dụng nhiều lần thì nên lập một bảng tổng kết ghi rõ cách đặt vấn đề, mô
hình toán học thuật toán tối ưu để tiến xây dựng phần mềm bảo đảm giao diện thuận
tiện giữa người sử dụng và máy tính, không đòi hỏi người sử dụng phải có trình độ
chuyên môn cao về toán.
Khả năng thứ hai là các kết quả tính toán không phù hợp với thực tế. Trong trường
hợp này cần phải kiểm tra:
- Thuật toán và phương thức tính toán ở ba bước (bằng tay hay bằng máy tính điện
tử) có đủ độ tin cậy hay không? Nếu kiểm tra thấy chắc chắn là bài toán thu được
tương ứng với quy hoạch đã xây dựng thì điều đó có nghĩa là “trục trặc” sẽ nằm ở bước

hai hoặc bước một.
- Kiểm tra lại xem ở bước hai, với các thông tin thu được ở bước một, việc xây
dựng dạng của mô hình đã hợp chưa, đã phản ảnh đúng quy luật của hiện tượng hay
chưa?
- Kiểm tra lại bước một xem có bỏ sót thứ nào hay không? Các yếu tố đưa vào mô
hình đã được đặc trưng chưa? Nếu thấy có nghi ngờ thì phải rà sát lại một lần nữa và
thực hiện lại các bước đã nêu trên đây. Việc kiểm tra, điều chỉnh và sửa đổi lại mô hình
có thể phải lặp đi lặp lại nhiều lần cho đến khi thu được kết quả tính toán phù hợp với
thực tế để có thể áp dụng vào việc giải quyết các vấn đề do thực tế sản xuất đặt ra.
SVTH:Nguyễn Thị Thanh Truyền Trang 7
GVHD: Ths Nguyễn Thị Ánh Nguyệt Môn Tối ưu hóa
CHƯƠNG 2: LẬP KẾ HOACH SẢN XUẤT TỐI ƯU
Với cơ sở vật chất kỹ thuật hiện có thì cần phải lập kế hoạch sản xuất như thế
nào sao cho có hiệu quả nhất.
Giả sử R
1,
R
2,…
R
n
là các yếu tố tham gia phục vụ cho sản xuất với khả năng tối đa
tương ứng là b
1
, b
1
, b
n
Giả sử T
1
, T

1
, T
1
, T
1
, T
n
là các sản phẩm được làm ra và a
ij
là khả năng sản xuất
của từng yếu tố tham gia làm ra một đơn vị sản phẩm T
j
j= 1,…n.
Yêu cầu đặt ra ở đây là cần phải lập kế hoạch sản xuất bao nhiêu sản phẩm cho mỗi
loại để thu được lợi nhuận cao nhất, biết rằng lợi nhuận thu được từ một đơn vị sản
phẩm là C
j
= 1,, n Hoặc lập kế hoạch sản xuất sao cho chi phí để sản xuất đạt tới mức
thấp nhất biết rằng chi phí cho một đơn vị sản phẩm T
j
là C
j.
Tóm tắt bài toán như sau:
Các yếu
tố tham gia
Chi phí tạo ra một đơn vị sản phẩm
Khả năng sản xuất
tối ưu
T
1

T
2
… Tn
R
1
a
11
A
1
a
1n
B
1
R
2
a
21
A
2n
B
2
R
3
R
m
a
m1
a
mn
b

n
Lợi nhuận từ
1 đvsp
C
1
C
2
C
n
Lượng sản
phẩm
x
1
X
2
x
n
Từ đó dẫn tới việc giải bài toàn qui hoạch tuyến tính
F(x) =
∑
n
i
i
cix
-> max
∑
n
i
i
cix

2.1Tối ưu hóa năng lực sản xuất
a. Một xí nghiệp sản xuất 3 loại sản phẩm ghế, bàn, giường với các số liệu sau:
SVTH:Nguyễn Thị Thanh Truyền Trang 8
GVHD: Ths Nguyễn Thị Ánh Nguyệt Môn Tối ưu hóa
Loại sản phẩm Ghế Bàn Giường
Giá bán (1000đ/đv) 35 50 60
Chi phí sản xuất (1000đ/đv) 25 30 45
Thời gian hoàn tất sản phẩm
(giờ/đv)
1 2 3
Biết rằng xí nghiệp hiện có số vốn dùng cho sản xuất là 3 triệu đồng. Quỹ thời
gian sản xuất là 180 giờ. Theo các hợp đồng đã ký với khách hàng, yêu cầu sản phẩm
ghế phải có lượng sản xuất ít nhất là 100 đv. Giả sử mọi sp sản xuất ra đều được tiêu
thụ hết.
Tìm kế hoạch sản xuất cho tổng lợi nhuận lớn nhất.
Giải:
Gọi x
1
, x
2
, x
3
là lượng sp loại ghế, bàn, giường cần sản xuất (đv).
Phương trình hồi quy cho tổng lợi nhuận
f = (35x
1
+ 50x
2
+ 60x
3

) – (25x
1
+ 30x
2
+ 45x
3
) = 10x
1
+ 20x
2
+ 15x
3
→ max
Các điều kiện ràng buộc
x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
≤ 180
25x
1
+ 30x
2
+ 45x
3
≥ 3000
x
1

≥ 100
x
j
≥ 0, j = 1,2,3
Giải hệ phương trình trên ta được:
x
1
= 100
x
2
= 40
x
3
= 0
f = 10x
1
+ 20x
2
+ 15x
3
= 1800 (ngàn đồng)
SVTH:Nguyễn Thị Thanh Truyền Trang 9
GVHD: Ths Nguyễn Thị Ánh Nguyệt Môn Tối ưu hóa
Giải bằng phần mềm excel ta được bảng sau:
Microsoft Excel 11.0 Answer Report
Worksheet: [Book1]Sheet1
Report Created: 12/27/2009 9:44:37 PM
Target Cell (Max)
Cell Name
Original

Value Final Value
$E$2 f 1800 1800
Adjustable Cells
Cell Name
Original
Value Final Value
$A$
2 x1 100 100
$B$
2 x2 40 40
$C$
2 x3 0 0
Constraints
Cell Name Cell Value Formula Status Slack
$G$
2 c2 3700 $G$2>=3000
Not
Binding 700
$F$2 c1 180 $F$2<=180 Binding 0
$H$
2 c3 100 $H$2>=100 Binding 0
$A$
2 x1 100 $A$2>=0
Not
Binding 100
$B$
2 x2 40 $B$2>=0
Not
Binding 40
$C$

2 x3 0 $C$2>=0 Binding 0
SVTH:Nguyễn Thị Thanh Truyền Trang 10
GVHD: Ths Nguyễn Thị Ánh Nguyệt Môn Tối ưu hóa
b. Một công ty muốn thực hiện chiến lược quảng cáo 1 loại sản phẩm của mình với
chi phí ước tính là 150 triệu đồng/tháng. Có 3 loại hình quảng cáo được chọn là:
ti vi, báo, đài với các dữ liệu cho như sau:
Loại hình quảng cáo Ti vi Báo Đài
Chi phí một lần quảng cáo (triệu đồng) 2 1.5 0.8
Số lần quảng cáo tối đa trong tháng 65 50 60
Dự đoán số tiếp nhận quảng cáo mỗi lần (ngàn
người)
10 15 8
Chiến lược quảng cáo xác định phải có ít nhất 30 lần quảng cáo trên tivi trong 1 tháng.
Yêu cầu:
Lập mô hình bài toán để xác định kế hoạch quảng cáo tối ưu?
Giải:
Gọi x
1
, x
2
, x
3
là số lần quảng cáo trên ti vi, báo, đài trong tháng.
Phương trình hồi quy cho kế hoạch quảng cáo:
f = 10x
1
+ 15x
2
+ 8x
3

→ max
Các điều kiện ràng buộc
2x
1
+ 1.5x
2
+ 0.8x
3
≤ 150
x
1
≤ 65
x
2
≤ 50
x
3
≤ 60
x
1
≥ 30
x
j
≥ 0 ;(nguyên)
Giải hệ phương trình trên ta được:
x
1
= 30
x
2

= 50
x
3
= 19
f = 10x
1
+ 15x
2
+ 8x
3
= 1202
SVTH:Nguyễn Thị Thanh Truyền Trang 11
GVHD: Ths Nguyễn Thị Ánh Nguyệt Môn Tối ưu hóa
Giải bằng phần mềm excel ta được bảng sau:
Microsoft Excel 11.0 Answer Report
Worksheet: [Book1]Sheet1
Report Created: 12/24/2009 9:24:23 AM
Target Cell (Max)
Cell Name
Original
Value Final Value
$D$
2 f 650 1199.999998
Adjustable Cells
Cell Name
Original
Value Final Value
$A$
2 x1 65 30
$B$

2 x2 0 50
$C$
2 x3 0 18.7499998
Constraints
Cell Name Cell Value Formula Status Slack
$E$2 c1
-1.57519E-
07 $E$2<=0 Binding 0
$B$
2 x2 50 $B$2>=0
Not
Binding 50
$A$
2 x1 30 $A$2<=65
Not
Binding 35
$B$
2 x2 50 $B$2<=50 Binding 0
$C$
2 x3 18.7499998 $C$2<=60
Not
Binding 41.2500002
$A$ x1 30 $A$2>=0 Not 30
SVTH:Nguyễn Thị Thanh Truyền Trang 12
GVHD: Ths Nguyễn Thị Ánh Nguyệt Môn Tối ưu hóa
2 Binding
$A$
2 x1 30 $A$2>=30 Binding 0
$C$
2 x3 18.7499998 $C$2>=0

Not
Binding 18.7499998
c. Một doanh nghiệp sản xuất sản xuất 4 loại kẹo A, B, C, D. Biết rằng nguyên liệu
hiện có, định mức tiêu hao nguyên liệu cho 1 kg kẹo và lãi thu được khi bán 1
kg kẹo cho ở bảng sau:
Nguyên
liệu
Số lượng

(kg)
Định mức tiêu hao (kg)
A B C D
Đường 1500 0.6 0.2 0.2 0.7
Sữa 400 0.3 0.9 0.8 0.2
Cà phê 1000 0.1 0.1 0.9 0.1
Lãi (đ) 5000 4500 3000 4000
Giả sử các nguyên vật liệu khác không tính đến và sản xuất bao nhiêu thì tiêu thụ hết
bấy nhiêu. Hãy lập mô hình bài toán với yêu cầu số lãi thu được là nhiều nhất?
Giải:
Gọi x
j
lần lượt là số lượng kẹo A, B, C, D cần sản xuất (kg)
Phương trình hồi quy cho lãi thu
f(x) = 5000x
1
+ 4500x
2
+ 3000x
3
+ 4000x

4
→ max
Các điều kiện ràng buộc
0.6x
1
+ 0.2x
2
+ 0.2x
3
+ 0.7x
4
≤ 1500
0.3x
1
+ 0.9x
2
+ 0.8x
3
+ 0.2x
4
≤ 400
0.1x
1
+ 0.1x
2
+ 0.9x
3
+ 0.1x
4
≤ 1000

x
j
≥ 0, j = 1, 2, 3, 4
Giải hệ phương trình trên ta được:
x
1
= 0
x
2
= 0
x
3
= 0
x
4
= 2000
f = 5000x
1
+ 4500x
2
+ 3000x
3
+ 4000x
4
= 8000000
Giải bằng phần mềm excel ta được bảng sau:
Microsoft Excel 11.0 Answer Report
Worksheet: [Book1]Sheet1
SVTH:Nguyễn Thị Thanh Truyền Trang 13
GVHD: Ths Nguyễn Thị Ánh Nguyệt Môn Tối ưu hóa

Report Created: 12/27/2009 9:53:48 PM
Target Cell (Max)
Cell Name
Original
Value Final Value
$E$2 f 8431250 8000000
Adjustable Cells
Cell Name
Original
Value Final Value
$A$2 x1 30 0
$B$2 x2 50 0
$C$2 x3 18.75000005 0
$D$2 x4 2000 2000
Constraints
Cell Name Cell Value Formula Status Slack
$G$2 c2 400 $G$2<=400 Binding 0
$F$2 c1 1400 $F$2<=1500
Not
Binding 100
$H$2 c3 200 $H$2<=1000
Not
Binding 800
$A$2 x1 0 $A$2>=0 Binding 0
$B$2 x2 0 $B$2>=0 Binding 0
$C$2 x3 0 $C$2>=0 Binding 0
$D$2 x4 2000 $D$2>=0
Not
Binding 2000
d. Một xí nghiệp có 80 công nhân, mỗi người được bố trí làm việc trên 1 máy. Dựa

vào năng suất lao động, XN đã phân chia công nhân thành 3 nhóm :
- Nhóm 1 : gồm 30 công nhân
nam trẻ
- Nhóm 2 : gồm 30 công nhân
nữ trẻ
- Nhóm 3 : gồm 20 công nhân
lớn tuổi
XN có 15 máy loại A, 25 máy loại B, 40 máy loại C
SVTH:Nguyễn Thị Thanh Truyền Trang 14
GVHD: Ths Nguyễn Thị Ánh Nguyệt Môn Tối ưu hóa
Bảng sau cho biết năng suất (chi tiết/giờ) của mỗi một công nhân thuộc từng nhóm làm
việc trên mỗi máy của mỗi loại :
CN Máy A B C
Nhóm 1 60 40 50
Nhóm 2 50 45 30
Nhóm 3 30 25
Hãy lập BT phân công công nhân làm việc trên các máy sao cho tổng số chi tiết làm
được trong 1 giờ là lớn nhất. Biết rằng công nhân lớn tuổi không làm việc trên máy loại
A.
Giải :
Gọi x
ij
là số CN nhóm i làm việc trên máy loại j, j = 1, 2, 3 : máy A, B, C
Vì CN lớn tuổi không làm việc trên máy loại A nên không có ẩn x
31
f(x) = 60x
11
+ 40x
12
+ 50x

13
+ 50x
21
+ 45x
22
+ 30x
23
+ 30x
32
+ 25x
33
→ max
Các điều kiện ràng buộc
x
11
+ x
12
+ x
13
= 30
x
21
+ x
22
+ x
23
= 30
x
32
+ x

33
= 20
x
11
+ x
21
= 15
x
12
+ x
22
+ x
32
= 25
x
13
+ x
23
+ x
33
= 40
x
ij
≥ 0, với mọi i, j
Giải hệ phương trình trên ta được:
CN Máy A B C
Nhóm 1 0 0 30
Nhóm 2 15 15 0
Nhóm 3 0 10 10
f(x) = 60x

11
+ 40x
12
+ 50x
13
+ 50x
21
+ 45x
22
+ 30x
23
+ 30x
32
+ 25x
33
= 3475 (chi tiết)
Giải bằng phần mềm excel ta được bảng sau:
Microsoft Excel 11.0 Answer Report
Worksheet: [Book1]Sheet1
Report Created: 12/28/2009 9:37:52 AM
Target Cell (Max)
Cell Name Original Final
SVTH:Nguyễn Thị Thanh Truyền Trang 15
GVHD: Ths Nguyễn Thị Ánh Nguyệt Môn Tối ưu hóa
Value Value
$D$
2 f 330 3475
Adjustable Cells
Cell Name
Original

Value
Final
Value
$A$
2 1 0
$B$
2 1 0
$C$
2 1 30
$A$
3 1 15
$B$
3 1 15
$C$
3 1 0
$A$
4 0 0
$B$
4 1 10
$C$
4 1 10
Constraints
Cell Name Cell Value Formula Status Slack
$E$2 c1 30 $E$2=30
Not
Binding 0
$F$2 c2 30 $F$2=30
Not
Binding 0
$G$

2 c3 20 $G$2=20
Not
Binding 0
$H$ c4 15 $H$2=15 Not 0
SVTH:Nguyễn Thị Thanh Truyền Trang 16
GVHD: Ths Nguyễn Thị Ánh Nguyệt Môn Tối ưu hóa
2 Binding
$I$2 c5 25 $I$2=25
Not
Binding 0
$J$2 c6 40 $J$2=40
Not
Binding 0
$A$
2 0 $A$2>=0 Binding 0
$B$
2 0 $B$2>=0 Binding 0
$C$
2 30 $C$2>=0
Not
Binding 30
$A$
3 15 $A$3>=0
Not
Binding 15
$B$
3 15 $B$3>=0
Not
Binding 15
$C$

3 0 $C$3>=0 Binding 0
$A$
4 0 $A$4>=0 Binding 0
$B$
4 10 $B$4>=0
Not
Binding 10
$C$
4 10 $C$4>=0
Not
Binding 10
SVTH:Nguyễn Thị Thanh Truyền Trang 17
GVHD: Ths Nguyễn Thị Ánh Nguyệt Môn Tối ưu hóa
e. Một xí nghiệp đồ mộc sản xuất 1 cái giường gồm có 3 dạng: thường, tốt, siêu
hạng với các dữ kiện sau :
Dạng sản phẩm Thường Tốt Siêu hạng
Giá bán 1 đv sản
phẩm (1000đ)
90 160 250
Chi phí nguyên
liệu cho 1 đv sản
phẩm (1000đ)
50 90 110
Thời gian hoàn tất
1 đv sản phẩm
(giờ)
0.2 0.3 0.8
Nhu cầu tối đa
trong 1 tuần (đv)
1000 400 100

Xí nghiệp có lực lượng lao động là 10 người, làm việc 40 giờ/tuần, được trả lương
400.000đ/tuần/người dù họ có làm việc đủ 40 giờ hay không. Hãy lập mô hình bài toán
tìm kế hoạch sản xuất sao cho tổng lợi nhuận thu được nhiều nhất.
Giải :
Gọi x
1
, x
2
, x
3
là số sản phẩm thường, tốt, siêu hạng được sản xuất trong 1 tuần (đvsp)
Phương trình hồi quy cho tổng lợi nhuận
f(x) = 40x
1
+ 70x
2
+ 140x
3
– 4000 (ngàn đồng) → max
Các điều kiện ràng buộc
0.2x
1
+ 0.3x
2
+ 0.8x
3
≤ 240 (giờ)
x
1
≤ 1000

x
2
≤ 400
x
3
≤ 100
xj ≥ 0, j = 1, 2, 3
Giải hệ phương trình trên ta được:
x
1
= 600
x
2
= 400
x
3
= 0
f = 40x
1
+ 70x
2
+ 140x
3
– 4000 = 48000
Giải bằng phần mềm excel ta được bảng sau:
Microsoft Excel 11.0 Answer Report
SVTH:Nguyễn Thị Thanh Truyền Trang 18
GVHD: Ths Nguyễn Thị Ánh Nguyệt Môn Tối ưu hóa
Worksheet: [Book1]Sheet1
Report Created: 12/27/2009 10:15:14 PM

Target Cell (Max)
Cell Name
Original
Value Final Value
$E$2 f -4000 48000
Adjustable Cells
Cell Name
Original
Value Final Value
$A$
2 x1 0 600
$B$2 x2 0 400
$C$2 x3 0 0
Constraints
Cell Name Cell Value Formula Status Slack
$G$
2 c2 600 $G$2<=1000
Not
Binding 400
$F$2 c1 240 $F$2<=240 Binding 0
$H$
2 c3 400 $H$2<=400 Binding 0
$I$2 c4 0 $I$2<=100
Not
Binding 100
$A$
2 x1 600 $A$2>=0
Not
Binding 600
$B$2 x2 400 $B$2>=0

Not
Binding 400
$C$2 x3 0 $C$2>=0 Binding 0
2.2 Bài toán tối ưu hóa hợp phần.
Bài toán tối ưu hóa thường gặp là các bài toán về tỉ lệ phối trộn dăm từ các nguyên liệu
khác nhau làm nguyên liệu sản xuất ván dăm. Sau đây là một số bài toán
SVTH:Nguyễn Thị Thanh Truyền Trang 19
GVHD: Ths Nguyễn Thị Ánh Nguyệt Môn Tối ưu hóa
a. Để tạo Bkg dăm phối trộn cao su và dăm trấu cần x
1
kg dăm cao su và x
2
kg dăm trấu. Dăm hỗn hợp có các thành phần dăm như sau :
Thành phần của dăm phối
trộn
Tỉ lệ các loại trong nguyên liệu
(%)
Yêu cầu về thành

phần các dăm
trong hỗn hợp dăm
Dăm gỗ cao su Dăm trấu
Băm ngắn (5 – 10 mm) 20 20 ≤ 2
Băm trung bình (10 – 20
mm)
20 30 ≥ 3
Băm dài (≥ 21 mm) 60 50 7 – 12
Giá 1 kg nguyên liệu (100đ) 4 6
Lượng nguyên liệu cần
dùng

x
1
x
2
Xác định lượng dăm cao su và dăm trấu để tạo hỗn hợp dăm phối trộn là tối ưu nhất về
chi phí nguyên liệu.
Giải:
Phương trình hồi quy cho lượng dăm phối trộn
f(x) = 4x
1
+ 6x
2
→ min
Các điều kiện ràng buộc
0.2x
1
+ 0.1x
2
≤ 2
0.1x
1
+ 0.2x
2
≥ 3
7 ≤ 0.7x
1
+ 0.7x
2
≤ 12
x

j
> 0, j = 1, 2
Giải hệ phương trình trên ta được:
x
1
= 4.81 kg
x
2
= 6.3 kg
f = 4x
1
+ 6x
2
= 57.04
Vậy mức chi phí tạo hỗn hợp dăm thấp nhất là 57.04 x 100đ = 5 704 đồng
Giải bằng phần mềm excel ta được bảng sau:
Microsoft Excel 11.0 Answer Report
Worksheet: [Book1]Sheet1
Report Created: 12/27/2009 10:06:12 PM
Target Cell (Min)
SVTH:Nguyễn Thị Thanh Truyền Trang 20
GVHD: Ths Nguyễn Thị Ánh Nguyệt Môn Tối ưu hóa
Cell Name
Original
Value Final Value
$E$2 f 60 57.03703704
Adjustable Cells
Cell Name
Original
Value Final Value

$A$
2 x1 15 4.814814815
$B$2 x2 0 6.296296296
Constraints
Cell Name Cell Value Formula Status Slack
$F$2 c1 1.111111111 $F$2<=2
Not
Binding 0.888888889
$G$
2 c2 3 $G$2>=3 Binding 0
$H$
2 c3 7 $H$2>=7 Binding 0
$H$
2 c3 7 $H$2<=12
Not
Binding 5
$A$
2 x1 4.814814815 $A$2>=0
Not
Binding 4.814814815
$B$2 x2 6.296296296 $B$2>=0
Not
Binding 6.296296296
SVTH:Nguyễn Thị Thanh Truyền Trang 21
GVHD: Ths Nguyễn Thị Ánh Nguyệt Môn Tối ưu hóa
2.3 Tối ưu hóa năng lực vận chuyển
Vận chuyển nguyên liệu và san phẩm là một khâu quan trọng trong hệ thống hoạt động
sản xuất, phân phối và lưu thông.
Bài toán tổng quát : Yêu cầu vận chuyển gỗ là a
i

ở địa điểm A
i
với i = 1,2,…m tới các
địa điểm B
j
có nhu cầu là b
j
, j = 1,2,…n với chi phí vận chuyển tương ứng theo các
tuyến đường vận chuyển là C
ij
.
Giả sử xij là lượng nguyên liệu gỗ sẽ được vận chuyển từ AA
i
tới B
j.
.
Nơi đến
Nơi đi
B
1
B
2
… B
n
Tổng số gỗ
chở đi
A
1
X
11

X
12
… X
1n
A
1
A
2
X
21
X
22
… X
2n
A
2
…
A
m
X
m1
X
m2
… X
mn
A
m
Tổng số gỗ
nhận được
B

1
B
2
… B
n
∑a
i
=∑b
j
Tối ưu hóa năng lực vận chuyển nghĩa là cần phải xác định lượng gỗ cần được vận
chuyển xij sao cho đạt hiệu quả kinh tế nhất, dẫn tới việc giải bài toán qui hoạch tuyến
tính sau đây.
F(x) = ∑Cij.xij  min
miaixij
n
j
, 1,
1
==
∑
=
∑
=
==
m
i
njbjxij
1
, 1,
x

ij
0, i = 1,…m ; j = 1,…n
b. Một công ty cần chuyển hàng từ các kho đến các đại lý. Lượng hàng có ở
các kho là 90, 80 tấn ; lượng hàng yêu cầu ở các đại lý là 30, 40, 50, 30
tấn. Chi phí (chục ngàn) vận chuyển 1 tấn hàng từ kho A
i
đến đại lý B
j
như sau :
B
1
B
2
B
3
B
4
A
1
8 7 5 6
A
2
6 4 8 5
Hãy lập kế hoạch vận chuyển hàng sao cho tổng chi phí là thấp nhất
SVTH:Nguyễn Thị Thanh Truyền Trang 22
GVHD: Ths Nguyễn Thị Ánh Nguyệt Môn Tối ưu hóa
Giải :
Tổng phát = 170 > 150 = tổng thu
Phương trình hồi quy cho tổng chi phí
f(x) = 8 x

11
+ 7 x
12
+ 5 x
13
+ 6 x
14
+ 6 x
21
+ 4 x
22
+ 8 x
23
+ 5 x
24
→ min
x
11
+ x
21
= 30
x
12
+ x
22
= 40
x
13
+ x
23

= 50
x
14
+ x
24
= 30
x
11
+ x
12
+ x
13
+ x
14
≤ 90
x
21
+ x
22
+ x
23
+ x
24
≤ 80
xij ≥ 0, i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, 3, 4
Giải hệ phương trình trên ta được:
B
1
B
2

B
3
B
4
A
1
0 0 50 20
A
2
30 40 0 10
f(x) = 8 x
11
+ 7 x
12
+ 5 x
13
+ 6 x
14
+ 6 x
21
+ 4 x
22
+ 8 x
23
+ 5 x
24
= 760 (chục ngàn)
Giải bằng phần mềm excel ta được bảng sau:
Microsoft Excel 11.0 Answer Report
Worksheet: [Book1]Sheet1

Report Created: 12/27/2009 10:46:01 PM
Target Cell (Min)
Cell Name
Original
Value
Final
Value
$E$2 f 760.0000001 760
SVTH:Nguyễn Thị Thanh Truyền Trang 23
Đại lý B
1
B
2
B
3
B
4
Tổng lượng
hàng chở đi
Nơi đi
A
1
x
11
x
12
x
13
x
14

90
A
2
x
21
x
22
x
23
x
24
80
Lượng hàng
đại lý nhận
được (tấn)
30 40 50 30
GVHD: Ths Nguyễn Thị Ánh Nguyệt Môn Tối ưu hóa
Adjustable Cells
Cell Name
Original
Value
Final
Value
$A$
2 x1 0 0
$B$
2 x2 0 0
$C$
2 x3 50 50
$D$

2 x4 20.00000002 20
$A$
3 x1 30.00000001 30
$B$
3 x2 40.00000001 40
$C$
3 x3 0 0
$D$
3 x4 9.999999983 10
Constraints
Cell Name Cell Value Formula Status Slack
$H$
2 c3 50 $H$2=50
Not
Binding 0
$F$2 c1 30 $F$2=30
Not
Binding 0
$G$
2 c2 40 $G$2=40
Not
Binding 0
$I$2 c4 30 $I$2=30
Not
Binding 0
$J$2 70 $J$2<=90
Not
Binding 20
$K$
2 80 $K$2<=80 Binding 0

$A$
2 x1 0 $A$2>=0 Binding 0
SVTH:Nguyễn Thị Thanh Truyền Trang 24
GVHD: Ths Nguyễn Thị Ánh Nguyệt Môn Tối ưu hóa
$B$
2 x2 0 $B$2>=0 Binding 0
$C$
2 x3 50 $C$2>=0
Not
Binding 50
$D$
2 x4 20 $D$2>=0
Not
Binding 20
$A$
3 x1 30 $A$3>=0
Not
Binding 30
$B$
3 x2 40 $B$3>=0
Not
Binding 40
$C$
3 x3 0 $C$3>=0 Binding 0
$D$
3 x4 10 $D$3>=0
Not
Binding 10
SVTH:Nguyễn Thị Thanh Truyền Trang 25