khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm tích phân tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
o0o




HUỲNH THỊ HOÀNG DUNG




KHẢO SÁT MỘT LỚP CÁC HỆ PHƯƠNG
TRÌNH HÀM – TÍCH PHÂN PHI TUYẾN


LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Ngành: Toán Giải tích
Mã số : 1. 01. 01






Thành Phố Hồ Chí Minh – 2004

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
o0o

KHẢO SÁT MỘT LỚP CÁC HỆ PHƯƠNG
TRÌNH HÀM – TÍCH PHÂN PHI TUYẾN


LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Ngành Toán Giải tích
Mã số : 1. 01. 01

Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Long
Khoa Toán – tin học, Đại học
Khoa học Tự nhiên TP. HCM
Học viên: Huỳnh Thi Hoàng Dung





Thành Phố Hồ Chí Minh – 2004
Luận văn được hoàn thành tại:
Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh.



Người hướng dẫn
: TS. NGUYỄN THÀNH LONG

Khoa Toán-Tin học,
Đại học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh.


Người nhận xét
1: PGS. TS. Nguyễn Bích Huy,

Khoa Toán –Tin học,
Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh.


Người nhận xét
2: TS. Trần Minh Thuyết,

Khoa Toán –Tin học,
Đại học Kinh tế TP. Hồ Chí Minh.


Học viên cao học
: Huỳnh Thò Hoàng Dung



Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận án cấp Trường tại
Trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh.
Vào lúc …….giờ ……ngày… tháng … năm 2004.

Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện Trường Đại
học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh.

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên trong bản luận văn này, tôi trân trọng kính gởi đến Thầy
Nguyễn Thành Long người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi vượt qua mọi khó khăn
để hoàn thành luận văn, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc.
Xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Quý Thầy, Cô trong và ngoài Khoa Toán
– tin học, trường Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy
truyền đạt kiến thức cũng như các hỗ trợ khác về tinh thần và tư liệu cho tôi trong
suốt thời gian học tập và làm việc.
Chân thành cảm ơn các Thầy, Cô trong ban chủ nhiệm Khoa Toán –tin
học, các Thầy, Cô thuộc Phòng Quản lý Khoa học Công nghệ Sau Đại học, trường
Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ, động viên, tạo mọi
điều kiện thuận lợi về thủ tục hành chính cho tôi trong suốt quá trình học tập.
Chân thành cảm ơn các Thầy PGS.TS. Lê Hoàn Hoá, PGS. TS. Nguyễn
Bích Huy, TS. Đậu Thế Cấp, TS. Trần Minh Thuyết đã đọc và đóng góp nhiều ý
kiến quý báu cho luận văn của tôi.
Chúng tôi cám ơn chân thành đến Ban Lãnh Đạo trường, Bộ môn Khoa
học Cơ bản trường Đại học Kiến Trúc, đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi mọi mặt để
tôi yên tâm học tập và làm việc, đặc biệt là hai Thầy Ninh Quang Thăng và Thầy
Bùi Tiến Dũng với lời biết ơn chân thành nhất.
Xin cảm ơn các bạn bè đồng nghiệp và các Bạn cùng lớp cao học giải
tích khóa 12 đã luôn động viên và quan tâm giúp đỡ tôi trong thời gian học tâp và
làm luận văn, tôi cũng không quên cám ơn người em Nguyễn Văn Hản đã giúp tôi
rất nhiều trong công việc in ấn luận văn.
Vì kiến thức bản thân còn nhiều hạn chế, nên luận văn khó tránh khỏi
thiếu sót, rất mong được sự chỉ bảo của quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành của
các bạn bè đồng nghiệp.

Thành Phố Hồ Chí Minh tháng 10 năm 2004

Huỳnh Thò Hoàng Dung.


Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến
Trang 1
Luận văn thạc sỹ Toán học

Huỳnh Thò Hoàng Dung




CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN
o0o

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm – tích
phân sau:


() ()
),()(
)())((,)(
11
)(
0
1111
xgdttfc

xSfbxRfxaxf
i
m
k
n
j
xX
jijk
m
k
n
j
ijkjijk
m
k
n
j
ijkjijki
ijk
++
+Φ=
∑∑
∫
∑∑∑∑
==
====
ε
(1.1)
,, ,1; nix =Ω∈∀
trong đó

],[ ba
=
Ω
hoặc
Ω
là một khoảng không bò chận
của
,IR
ijkijkijk
cba , ,
là các hằng số thực cho trước; ,: IRg
i
→Ω
,:,, Ω→Ω
ijkijkijk
XSR
và IRIR →
×
Ω
Φ : là các hàm số liên tục cho trước thỏa

một số điều kiện nào đó mà ta sẽ đặt sau. Các hàm IRf
i
→
Ω
: là các ẩn
hàm,
ε
là một tham số bé.
Trong [9], các tác giả C.Q. Wu, Q.W. Xuan, D.Y. Zhu (1991) nghiên

cứu hệ (1.1) sau đây ứng với
,2],,[
=
=
−
=
Ω
nmbb
0
=
ijk
a
và
ijk
S
là các nhò
thức bậc nhất.


(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
() ( ) ( ) ( ) ()

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
++++++=
++++++=
,
,
22323223222222221211212
11313113121221211111111
xgcxbfacxbfacxbfaxf
xgcxbfacxbfacxbfaxf
(1.2)

với mọi
],,[ bbx −=Ω∈ trong đó, các hằng số
bcba
ijijij
,,,
cho trước thỏa các
điều kiện:

⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣

⎡
−
≥<
ij
ij
ji
ij
b
c
bb
1
max,1
,
,
1max
3
1
<
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∑
=j
ij
i

a
. (1.3)
Các hàm số
21
, gg
liên tục cho trước và
21
, ff
là các ẩn hàm. Nghiệm của
hệ (1.2) lúc này cũng được xấp xỉ bởi một dãy qui nạp hội tụ đều và ổn
đònh đối với các
.
i
g
Trong [4], Long, Danh, Khôi (2002) đã nghiên cứu hệ phương trình
tích phân tuyến tính
Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến
Trang 2
Luận văn thạc sỹ Toán học

Huỳnh Thò Hoàng Dung





),()())(()(
2
1
)(

0
2
1
xgdttfxSfaxf
i
j
xX
jij
j
ijjiji
ij
∑
∫
∑
==
++=
α
(1.4)
,,2,1 IRxi ⊂Ω∈=
trong đó
Ω
là một khoảng đóng bò chận hoặc khoảng
không bò chận của
.IR Các hàm
Ω
→
Ω
→
Ω
:,,:

ijiji
XSIRg
là các hàm số
liên tục cho trước,
IRa
ijij
∈
α
, là các hằng số và
21
, ff
là các ẩn hàm.
Trong [2], Danh, Dung, Long (2003) đã khảo sát hệ (1.1) tương ứng
với
,0≡Φ )(),( xXxS
ijkijk
là các nhò thức bậc nhất, mà cụ thể có dạng như sau


()
),()()(
11
0
xgdttfcxbfaxf
i
m
k
n
j
x

jijkijkijkjijki
ijkijk
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++=
∑∑
∫
==
+
γβ
α
(1.5)
].,[,, ,2,1 bbxni −=Ω∈= Với IRg
i
→
Ω
: là các hàm liên tục, nghiệm của hệ
(1.5) được xấp xỉ bằng một dãy các đa thức hội tụ đều [2, 7], trong đó
IRcba
ijkijkijkijkijkijk
∈
γ
β

α
,,,,, là các hằng số thực cho trước thỏa các điều kiện:

(
)
,1max,1,1
11
1
<+<<
∑∑
==
≤≤
ijkijk
m
k
n
i
nj
ijkijk
bab
αβ


bb
b
c
ijk
ijk
mknji
ijk

ijk
mknji
≤
−
≤
−
≤≤≤≤≤≤≤≤
β
γ
1
max;
1
max
1,,11,,1
.
Trong [8], Long (2004) đã nghiên cứu hệ phương trình hàm phi tuyến


()
,)())(())(()(
1111
∑∑∑∑
====
++Φ=
m
k
i
n
j
ijkjijk

m
k
n
j
ijkjijki
xgxSfbxRfaxf
ε
(1.6)

,,, ,2,1 Ω∈= xni
trong đó
Ω
là một khoảng đóng bò chận hoặc khoảng
không bò chận của
.IR Các hàm
Ω
→
Ω
→
Ω
:,,:
ijkijki
SRIRg và
IRIR →Φ:
là
các hàm số liên tục cho trước;
IRba
ijkijk
∈,
là các hằng số. Một số kết quả

liên quan đến khai triển tiệm cận của nghiệm cho hệ (1.6) theo một tham số
bé
ε
cũng được xem xét trong bài báo [8].
Trong [3], các tác giả Nghóa, Khôi (2000) đã xét hệ phương trình hàm
cụ thể để kiểm tra một thuật toán số.
Trong [5], các tác giả Long, Nghóa, Khôi, Ruy (1998) đã nghiên cứu
một trường hợp riêng của (1.1) với
1
=
p và ],[ bb
−
=
Ω
hay Ω là khoảng
không bò chận của
.IR

Bằng cách sử dụng đònh lí điểm bất động Banach, các tác giả trong [5] đã
thu được kết quả về sự tồn tại, duy nhất và tính ổn đònh nghiệm của hệ (1.1)
đối với các hàm
.
i
g

Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến
Trang 3
Luận văn thạc sỹ Toán học

Huỳnh Thò Hoàng Dung

Trong trường hợp
0
=
ijk
a
và
ijk
S
là các nhò thức bậc nhất,
);(
nr
IRCg Ω∈ và
],[ bb−=Ω
các tác giả trong [5] đã thu được một khai triển
Maclaurin của nghiệm của hệ (1.1) cho đến cấp
.
r
Hơn nữa, nếu
i
g
là các
đa thức bậc
,
r
thì nghiệm của hệ (1.1) cũng là đa thức bậc .

r
Kế đó, nếu
i
g
là các hàm liên tục, nghiệm
f
của (1.1) được xấp xỉ bởi một dãy các đa
thức hội tụ đều. Sau đó, các kết quả trên đây đã được nới rộng trong [6] bởi
các tác giả Long, Nghóa (2000) cho miền nhiều chiều
p
IR⊂
Ω
và
ijk
S
là các
hàm affine. Hơn nữa, điều kiện đủ về hội tụ cấp hai của hệ phương trình
hàm cũng được đề cập [6].
Một phần kết quả trong luận văn chúng tôi đã công bố trong [1, 2].
Luận văn này được trình bày trong 6 chương, phần kết luận và cuối
cùng là phần tài liệu tham khảo.
Trong chương 1, là phần tổng quan về hệ phương trình hàm, một số
kết quả đã có trước đó và một số nội dung trình bày trong các chương của
luận văn.
Trong chương 2, là phần giới thiệu về các kí hiệu, các không gian
hàm và một số công cụ cơ bản được sử dụng trong luận văn.
Trong chương 3, dựa vào đònh lí điểm bất động Banach, chúng tôi
chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ (1.1).
Trong chương 4, chúng tôi nghiên cứu một điều kiện đủ để thu được
thuật giải hội tụ cấp hai cho hệ (1.1).

Trong chương 5, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm– tích
phân (1.1) bò nhiễu bởi một tham số bé
ε
. Ở đây chúng tôi sẽ chứng tỏ
rằng nghiệm của hệ (1.1) có một khai triển tiệm cận đến cấp
1+N theo ,
ε

với
ε
đủ nhỏ.
Trong chương 6, nghiên cứu tính khả vi của nghiệm phụ thuộc vào
tính khả vi của các hàm
.,,,,
ijkijkijki
XSRgΦ
Chương kết luận nêu lên một số kết quả thu được trong luận văn và
một số chú ý kèm theo.
Cuối cùng là phần tài liệu tham khảo.








Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến
Trang 4
Luận văn thạc sỹ Toán học

Huỳnh Thò Hoàng Dung




CHƯƠNG 2
CÁC KÍ HIỆU VÀ KHÔNG GIAN HÀM
o0o

Trong chương 2, là phần giới thiệu về các kí hiệu, các không gian
hàm và một số công cụ cơ bản được sử dụng trong luận văn.

2.1. Các kí hiệu

Ta kí hiệu
],[ ba=Ω hay
Ω
là khoảng không bò chặn trong
.IR

Với
],,[ ba=Ω ta kí hiệu );(
n
IRCX Ω= là không gian Banach của các hàm
số
) ,,,(
21 n
ffff =
n

IR→Ω: liên tục trên
Ω
đối với chuẩn

.)(sup
1
∑
=
Ω∈
=
n
i
i
x
X
xff (2.1)
Khi
Ω là khoảng không bò chặn, ta kí hiệu );(
n
b
IRCX Ω= là không gian
Banach của các hàm số
n
IRf →Ω: liên tục, bò chặn trên Ω đối với chuẩn
(2.1).
Tương tự, với số nguyên không âm
,
r
ta đặt

{
}
.1,0),;(:);();(
)(
nirkIRCfIRCfIRC
k
i
nnr
≤≤≤≤Ω∈Ω∈=Ω

Với
Ω
là khoảng không bò chặn, ta kí hiệu


{
}
.1,0),;(:);();(
)(
nirkIRCfIRCfIRC
b
k
i
n
b
nr
b
≤≤≤≤Ω∈Ω∈=Ω

);(
nr
IRC Ω và );(
nr
b
IRC Ω cũng là các không gian Banach đối với chuẩn

.)(supmax
1
)(
1
∑
=
Ω∈
≤≤
=
n
i
k
i
x
rk
r
xff (2.2)
Ta viết hệ (1.1) theo dạng của một phương trình toán tử trong
);(
n
IRCX Ω=

,gBfAff

+
+=
ε
(2.3)

trong đó

,) ,,(
1 n
fff =

),)(, ,)((
1 n
fAfAfA =


),)(, ,)((
1 n
fBfBfB =
Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến
Trang 5
Luận văn thạc sỹ Toán học

Huỳnh Thò Hoàng Dung



với

()

,))((,)()(
11
∑∑
==
Φ=
m
k
n
j
ijkjijki
xRfxaxAf


,)1( ,)())(()()(
11
)(
0
11
nidttfcxSfbxBf
m
k
n
j
xX
jijk
m
k
n
j
ijkjijki

ijk
≤≤+=
∑∑
∫
∑∑
====
.Ω∈∀x

2.2. Đònh lí điểm bất động Banach

Đònh lí sau đây là một công cụ được sử dụng trong toàn bộ luận văn
mang tên đònh lí điểm bất động Banach và được phát biểu dưới dạng:


Đònh lí 2.1:
Cho
X
là không gian Banach với chuẩn
.
,
X
K
⊂
là tập đóng
và
.: KKT →
Giả sử tồn tại số thực
)1,0[
∈
σ

sao cho


,gfTgTf −≤−
σ
với mọi
., Kgf
∈


Khi đó ta có

(i)

Tồn tại duy nhất
Kf
∈
sao cho
.Tff
=


(ii)

Với mỗi
(
)
,
0
Kf ∈

xét dãy
}{
)(
ν
f
cho bởi
(
)
(
)
,
1−
=
vv
fTf , 2,1
=
ν
ta có


(j)

()
,0lim =−
∞→
ff
v
v

(jj)

() () ()
,
1
00
σ
σ
−
−≤−
v
v
Tffff

, 2,1
=
ν


(jjj)

() () ( )
,
1
1−
−
−
≤−
vvv
ffff

σ
σ

, 2,1
=
ν


Chứng minh đònh lí 2.1 có thể tìm thấy trong các quyển sách về nhập môn
giải tích.





Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến
Trang 6
Luận văn thạc sỹ Toán học

Huỳnh Thò Hoàng Dung




CHƯƠNG 3
ĐỊNH LÍ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM
o0o

Trong chương này, dựa vào đònh lí điểm bất động Banach, chúng tôi
chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ (2.3).

Đặt
.max][
11
1
ijk
n
i
m
k
nj
ijk
bb
∑∑
==
≤≤
=

Đầu tiên, ta cần bổ đề sau:

Bổ đề 3.1.
Giả sử
1][][ <+
ijkijk
cbb
và
Ω
→
Ω
:,

ijkijk
XS
liên tục. Khi đó

i)
(
)
X
ijkijk
X
fcbbBf ][][ +≤

.Xf
∈
∀

(3.1)

ii) Toán tử tuyến tính
XXBI →
−
:
là khả đảo và


.
][][1
1
)(
1

ijkijk
cbb
BI
−−
≤−
−

Chứng minh bổ đề 3.1.

i) Với mọi
,Xf ∈ ta có

∑
=
Ω∈
=
n
i
i
x
X
xBfBf
1
)()(sup

()
(
)
∑∑∑
∫

∑∑
=====
Ω∈
+=
n
i
m
k
n
j
xX
jijkijkj
m
k
n
j
ijk
x
ijk
dttfcxSfb
111
0
11
)()(sup

()
⎪
⎭
⎪
⎬

⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+≤
∑∑∑
∫
∑∑∑
======
Ω∈
n
i
m
k
n
j
xX
jijk
n
i
ijkj
m
k
n
j
ijk
x
ijk

dttfcxSfb
111
)(
0
111
)()(sup


()
∑∑∑
=
Ω∈
==
≤≤
≤
n
1j11
1
)(supmax xSfb
ijkj
x
n
i
m
k
ijk
nj


∫

∑∑∑
===
Ω∈
≤≤
+
)(
0
111
1
)(supmax
xX
j
n
j
n
i
m
k
x
ijk
nj
ijk
dttfc


(
)
. ][][
X
ijkijk

fcbb +≤


ii) Trước hết, ta chứng minh toán tử
Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến
Trang 7
Luận văn thạc sỹ Toán học

Huỳnh Thò Hoàng Dung





),)(, ,)((
:
1 n
BfBfBff
X
X
B
=
→
a

với

()
∑∑
∫

∑∑
====
+=
m
k
n
j
xX
jijk
m
k
n
j
ijkjijki
ijk
dttfcxSfbxBf
11
)(
0
11
)()()()(


thỏa
.1<B
Thật vậy, theo (i) ta có


(
)

. ][][ XffcbbBf
X
ijkijk
X
∈∀+≤


Do đó

.1][][sup
0
<+≤=
∈≠
ijkijk
X
X
Xf
cbb
f
Bf
B

Tiếp theo, ta chứng minh rằng nếu
1<B
thì )( BI
−
khả nghòch, hay với
mỗi
,Xg ∈ phương trình gBff
+

=
có nghiệm duy nhất .Xf
∈
Đặt

gBffTf
XXT
+=
→
~
:
~
a

thì
T
~
là một ánh xạ co. Thật vậy, với mọi ,
~
, Xff ∈ ta có


.
~
)
~
(
~
~
~

XXX
ffBffBfTfT −≤−=−

Vậy phương trình
gBff
+
= có nghiệm duy nhất một nghiệm
XgBIf ∈−=
−1
)( tương ứng với .Xg
∈
Từ đây ta có


,
XXXX
gfBgBff +≤+=

hay
.
1


B
g
f
X
X
−
≤

Vì
gBIf
1
)(
−
−= nên
.
1

)(
1
B
g
gBI
X
X
−
≤−
−

Do đó
.
][][1
1
1
1
)(
sup)(
1

0
1
ijkijk
X
X
Xg
cbb
Bg
gBI
BI
−−
≤
−
≤
−
=−
−
∈≠
−


Bổ đề (3.1) đã được chứng minh.

Do bổ đề 1, ta viết lại hệ (2.3) như sau:
Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến
Trang 8
Luận văn thạc sỹ Toán học

Huỳnh Thò Hoàng Dung

TfgAfBIf ≡+−=
−
)()(
1
ε
. (3.2)

Ta thành lập các giả thiết sau:

)(
1
H Ω→Ω:,,
ijkijkijk
XSR liên tục;
)(
2
H Xggg
n
∈= ), ,(
1
;
)(
3
H
1][][ <+
ijkijk

cbb ;
)(
4
H
IRIR →×ΩΦ : thỏa điều kiện Lipschitz đòa phương theo biến thứ hai,
tức là, với mọi
,0>M tồn tại hằng số 0)(
1
>MC sao cho


.],,[,)(),(),(
2121121
Ω∈∀−∈∀−≤Φ−Φ xMMyyyyMCyxyx


)(
5
H

()
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Φ+
−−
<<
−−
>
Ω∈
.
][)0,(sup)(2
][][1
0
,
][][1
2
1
0
ijk
x
ijkijk
ijkijk
X
axnMMC
cbbM
cbb
g

M
ε


Với mỗi
,0>M ta đặt }:{ MfXfK
X
M
≤∈= .
Khi đó, ta có bổ đề sau đây.

Bổ đề 3.2.
Giả sử
)(
1
H - )(
4
H
đúng. Khi đó, ta có

i)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Φ+≤
Ω∈
)0,(sup)(][

1
xnfMCaAf
x
X
ijk
X
,
M
Kf
∈
∀


ii)
X
ijk
X
ffaMCfAAf
~
][)(
~
1
−≤−

M
Kff ∈∀
~
, .
Chứng minh.

i)
,
M
Kf ∈∀ ta có

(
)
(
)
)0,()0,())((,))((, xxxRfxxRfx
ijkjijkj
Φ
+
Φ
−
Φ=Φ .

Từ giả thiết
)(
4
H ta có


Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến
Trang 9
Luận văn thạc sỹ Toán học

Huỳnh Thò Hoàng Dung

()()
.)0,(sup))(()(
)0,()0,())((,))((,
1
xxRfMC
xxxRfxxRfx
x
ijkj
ijkjijkj
Φ+≤
Φ+Φ−Φ≤Φ
Ω∈

Suy ra


()
∑∑∑∑
====
Φ≤
n
i
m
k
n
j
ijkjijk

n
i
i
xRfxaxAf
1111
))((,)()(


∑∑∑
===
≤
n
i
m
k
n
j
ijkjijk
xRfMCa
111
1
))(()(

∑∑∑
===
Ω∈
Φ+
n
i
m

k
n
j
x
ijk
xa
111
)0,(sup

∑∑ ∑
== =
Ω∈
≤≤
≤
n
i
m
k
n
j
ijkj
x
ijk
nj
xRfaMC
11 1
1
1
))((supmax)(

∑∑∑
===
Ω∈
Φ+
n
i
m
k
n
j
x
ijk
xa
111
)0,(sup


∑∑
==
≤≤
≤
n
i
m
k
X
ijk
nj
faMC
11

1
1
max)(

∑∑∑
===
Ω∈
Φ+
n
i
m
k
n
j
x
ijk
xa
111
)0,(sup

X
ijk
faMC ][)(
1
≤ )0,(sup][ xan
x
ijk
Φ+
Ω∈

.)0,(sup)(][
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Φ+≡
Ω∈
xnfMCa
x
X
ijk

Vậy

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Φ+≤
Ω∈
)0,(sup)(][
1
xnfMCaAf
x

X
ijk
X

M
Kf
∈
∀
.
(ii)
,
~
,
M
Kff ∈∀ sử dụng giả thiết )(
4
H một lần nữa, ta được


()
()
∑∑∑
∑
===
=
Φ−Φ≤
−
n
i
m

k
n
j
ijkjijkjijk
n
i
ii
xRfxxRfxa
xfAxAf
111
1
))((
~
,))((,
)()
~
()()(


∑∑ ∑
== =
Ω∈
≤≤
−≤
n
i
m
k
n
j

jj
y
ijk
nj
yfyfaMC
11 1
1
1
)(
~
)(supmax)(


.
~
][)(
1
X
ijk
ffaMC −=

Vậy

.
~
][)(
)()
~
()()(sup
~

1
1
X
ijk
n
i
ii
x
X
ffaMC
xfAxAffAAf
−≤
−=−
∑
=
Ω∈

Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến
Trang 10
Luận văn thạc sỹ Toán học

Huỳnh Thò Hoàng Dung




Bổ đề 3.2 được chứng minh.
Khi đó, ta có đònh lí sau đây.
Đònh lí 3.1.
Giả sử

)(
1
H -
)(
5
H
đúng. Khi đó, với mỗi
,
ε
với
,
0
εε
≤
hệ
(3.2)

có một nghiệm duy nhất
.
M
Kf
∈


Chứng minh. Hiển nhiên rằng
,XTf
∈
với mọi
.Xf
∈

Xét
,
~
,
M
Kff ∈
ta dễ
dàng suy ra từ do bổ đề 3.1 và 3.2 rằng


)()()()(
11
XX
X
X
gAfBIgAfBITf +−≤+−=
−−
εε



≤

,)0,(sup)(][
][][1
1
10
⎥
⎦
⎤

⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Φ+
−−
Ω∈
X
x
ijk
ijkijk
gxnMMCa
cbb
ε
(3.3)


X
X
X
fAAfBIfAAfBIfTTf
~
)()
~

()(
~
1
0
1
−−≤−−=−
−−
εε


.
~
][][1
][)(
10
X
ijkijk
ijk
ff
cbb
aMC
−
−−
≤
ε
(3.4)
Chú ý rằng, từ
)(
5
H ta có

(
)
][][1)0,(sup)(][
10 ijkijk
X
x
ijk
cbbMgxnMMCa −−≤+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Φ+
Ω∈
ε

hay

.
][][1
)0,(sup)(][
10
M
cbb
gxnMMCa
ijkijk
X

x
ijk
≤
−−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Φ+
Ω∈
ε
(3.5)
Từ đây ta suy ra

.1
][][1
][)(
10
<
−−
ijkijk
ijk
cbb
aMC
ε
(3.6)

Ta suy từ (3.3), (3.5), rằng
M
M
KKT →:
và từ (3.4), (3.6) ta có
T
là ánh xạ
co. Khi đó, sử dụng đònh lí điểm bất động Banach, ta có duy nhất một hàm

M
Kf ∈ sao cho .Tff = Vậy đònh lí 3.1 được chứng minh.
Chú thích 3.1. Nhờ đònh lí điểm bất động Banach, nghiệm
f của hệ (3.2)
được xấp xỉ bởi thuật giải sau:


),()(
)1(1)1()(
gAfBITff +−≡=
−−−
ννν
ε
(3.7)

M
Kf ∈
)0(
cho trước.
Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến
Trang 11

Luận văn thạc sỹ Toán học

Huỳnh Thò Hoàng Dung




Khi đó

ff →
)(
ν
trong
X
khi ,
+
∞→
ν
(3.8)
và


,
1
)0()0()(
σ
σ
ν
ν
−

−≤−
XX
Tffff

, 2,1
=
∀
ν
,
(3.9)

với
.1
][][1
][)(
10
<
−−
=
ijkijk
ijk
cbb
aMC
ε
σ

Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến

Trang 12
Luận văn thạc sỹ Toán học

Huỳnh Thò Hoàng Dung



CHƯƠNG 4
THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI
o0o

Trong đònh lí 3.1 cho ta một thuật giải xấp xỉ liên tiếp (3.7), theo
nguyên tắc ánh xạ co (chú thích 3.1), sự hội tụ của dãy lặp
}{
)(
ν
f về
nghiệm
f của hệ (3.2) cũng là hội tụ cấp 1. Sự hội tụ nầy thể hiện qua
đánh giá sai số
,
)(
νν
σ
Cff
X
≤−
, 2,1
=
∀

v (4.1)
trong đó
,10
<
≤
σ
0>C
là các hằng số độc lập với
.
ν

Trong phần này chúng ta nghiên cứu một thuật giải cấp hai cho hệ (1.1), tức
là thiết lập một dãy lặp dãy lặp
}{
)(
ν
f thỏa bất đẳng thức

() ()
,
2
1
X
v
X
v
ffff −≤−
−
β
, 2,1

=
∀
v (4.2)

trong đó
0>
β
là hằng số độc lập với
.
ν
Một dãy lặp }{
)(
ν
f như vậy còn gọi
là dãy lặp cấp hai. Nếu bước lặp ban đầu
(
)
0
f được chọn đủ gần f sao cho

(
)
,1
0
<−≡
X
ff
βσ
(4.3)

thì dãy
()
{
}
v
f hội tụ về
f
và thoả một đánh giá sai số cấp 2


,
1
2)(
ν
σ
β
ν
≤− ff , 2,1
=
∀
v (4.4)

Rõ ràng bất đẳng thức (4.4) cho sự hội tụ của dãy
(
)
{
}
v
f về
f

nhanh hơn so
với dãy
(
)
{
}
v
f thỏa bất đẳng thức (4.1).
Xét hệ phương trình hàm

()
),()(
))(())((,)(
11
)(
0
1111
xgdttfc
xSfbxRfxaxf
i
m
k
n
j
xX
jijk
m
k
n
j

ijkjijk
m
k
n
j
ijkjijki
ijk
++
+Φ=
∑∑
∫
∑∑∑∑
==
====
ε
(1.1)
., ,1; nix =Ω∈∀

Ta giả sử rằng
).;(
1
IRIRC ×Ω∈Φ
Sử dụng xấp xỉ sau đây:
Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến
Trang 13
Luận văn thạc sỹ Toán học

Huỳnh Thò Hoàng Dung

),)(,(),(),(
)1()()1()1()( −−−
−
∂
Φ
∂
+Φ≅Φ
ννννν
jjjjj
fffx
y
fxfx (4.5)

trong đó
)),((
)()(
xRff
ijkjj
νν
= ta thu được giải thuật sau đây cho hệ (1.1)
Ta thu được giải thuật sau đây cho hệ (1.1)
i) Cho trước
.), ,(
)0()0(
1
)0(
Xfff

n
∈=


ii) Giả sử biết ,), ,(
)1()1(
1
)1(
Xfff
n
∈=
−−−
ννν
ta xác đònh

Xfff
n
∈= ), ,(
)()(
1
)(
ννν

bởi

∑∑
==
Φ=
m
k

n
j
ijkijki
xWaxf
11
)()(
))(()(
νν
ε


[
]
∑∑
==
−
−
∂
Φ∂
+
m
k
n
j
ijk
j
ijk
j
ijk
ijk

xRfxRfxW
y
a
11
)1()()(
))(())(())((
ννν
ε


∑∑
==
+
m
k
n
j
ijkjijk
xSfb
11
)(
))((
ν

),()(
11
)(
0
)(
xgdttfc

i
m
k
n
j
xX
jijk
ijk
++
∑∑
∫
==
ν
, 2,1,1,
=
≤
≤
Ω
∈
ν
nix , (4.6)
trong đó
))).((,()(
)1()(
xRfxxW
ijkjijk
−
=
νν

Ta viết lại (4.6) dưới dạng


∑∑
==
∂
Φ∂
=
m
k
n
j
ijkjijkijki
xRfxW
y
axf
11
)()()(
))(())(()(
ννν
ε


∑∑
==
+
m
k
n
j

ijk
j
ijk
xSfb
11
)(
))((
ν

∑∑
∫
==
+
m
k
n
j
xX
jijk
ijk
dttfc
11
)(
0
)(
)(
ν

∑∑
==

−
∂
Φ∂
−
m
k
n
j
ijk
j
ijk
ijk
xRfxW
y
a
11
)1()(
))(())((
νν
ε

),())((
11
)(
xgxWa
i
m
k
n
j

ijk
ijk
+Φ+
∑∑
==
ν
ε
, 2,1,1,
=
≤
≤
Ω
∈
ν
nix ,
hay



Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến
Trang 14
Luận văn thạc sỹ Toán học

Huỳnh Thò Hoàng Dung




),())((
)())((),()(

)(
11
)(
11
)(
0
)(
11
)()()(
xgxSfb
dttfcxRfxxf
i
n
j
m
k
ijkjijk
m
k
n
j
xX
jijk
n
j
m
k
ijkjijki
ijk
νν

νννν
εα
++
+=
∑∑
∑∑
∫
∑∑
==
====

(4.7)
, 2,1,1, =≤≤Ω∈
ν
nix trong đó
),,(
)(
x
ijk
εα
ν

)(
)(
xg
i
ν
phụ thuộc vào
)1( −
ν

f
như
sau:
)),((),(
)()(
xW
y
ax
ijkijkijk
νν
εεα
∂
Φ∂
=
(4.8)
,))((),())((()()(
11
)1()(
11
)()(
∑∑∑∑
==
−
==
−Φ+=
n
j
m
k
ijkjijk

n
j
m
k
ijkijkii
xRfxxWaxgxg
νννν
εαε
(4.9)
, 2,1,1, =≤≤Ω∈
ν
nix
Khi đó ta có đònh lí sau:
Đònh lí 4.1.
Giả sử
)()(
31
HH −

là đúng
.
Nếu
Xf ∈
− )1(
ν
thỏa

.1][][),(supmax
11
)(

1
<++≡
∑∑
==
Ω∈
≤≤
ijkijk
n
j
m
k
ijk
x
nj
cbbx
εαγ
ν
ν
(4.10)
Khi đó tồn tại duy nhất
Xf ∈
)(
ν
là nghiệm của
(4.7)−(4.9).

Chứng minh.
Hệ (4.7) được viết lại như sau

,

)()(
ν
ν
ν
fTf = (4.11)
với

),())((
)())((),()()(
)(
11
11
)(
0
11
)(
xgxSfb
dttfcxRfxxfT
i
n
j
m
k
ijkjijk
m
k
n
j
xX
jijk

n
j
m
k
ijkjijki
ijk
ν
ν
ν
εα
++
+=
∑∑
∑∑
∫
∑∑
==
====

, 2,1 ,1 , =≤≤Ω∈
ν
nix , .), ,(
1
Xfff
n
∈
= (4.12)

Khi đó ta kiểm tra rằng
XXT →:

ν
thỏa

,
XX
hfhTfT −≤−
ννν
γ
., Xhf
∈
∀
(4.13)
Thật vậy


Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến
Trang 15
Luận văn thạc sỹ Toán học

Huỳnh Thò Hoàng Dung





X
vv
hTfT −
∑
=

Ω∈
−=
n
i
ii
x
xhTxfT
1
)()()()(sup
νν


() ()
()
()
()
)()(),(sup
111
xRhxRfx
ijk
v
jijk
v
j
n
j
m
k
v
ijk

n
i
x
−≤
∑∑∑
===
Ω∈
εα

() ()
()
∑∑
∫
∑
===
Ω∈
−+
n
j
m
k
xX
v
j
v
jijk
n
i
x
ijk

dtthtfc
11
)(
0
1
)()(sup

()
()
()
()
)()(sup
111
xShxSfb
ijk
v
jijk
v
j
n
j
m
k
ijk
n
i
x
−+
∑∑∑
===

Ω∈

()
),(maxsup
11
1
x
v
ijk
n
i
m
k
njx
εα
∑∑
==
≤≤Ω∈
≤
()
()
()
()
∑
=
Ω∈
−×
n
j
ijk

v
jijk
v
j
x
xRhxRf
1
)()(sup

() ()
()
∑∑
∫
∑
== =
Ω∈
≤≤
−+
n
i
m
k
xX
v
j
v
j
n
j
x

ijk
nj
ijk
dtthtfc
11
)(
0
1
1
)()(supmax


()
()
()
()
∑∑∑
=
Ω∈
==
≤≤
−+
n
j
ijk
v
jijk
v
j
x

ijk
n
i
m
k
nj
xShxSfb
111
1
)()(supmax

()
X
ijkijk
v
ijk
n
i
m
k
xnj
hfbcbx −
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++≤
∑∑

==
Ω∈≤≤
][][),(supmax
11
1
εα


.
X
v
hf −≡
γ

Sử dụng đònh lí điểm bất động Banach, đònh lí 4.1 được chứng minh.

Đònh lí 4.2.
Giả sử
),;(
2
IRIRC ×Ω∈Φ
và
)()(
31
HH
−
đúng. Cho
.IRa
ijk
∈

Khi
đó, tồn tại hai hằng số
ε
,M
sao cho, nếu
M
Kf ∈
)0(
cho trước, hệ
(4.7)−
(4.9)
tồn tại duy nhất nghiệm
)(
ν
f
thỏa điều kiện

,
)(
M
Kf ∈
ν

, 2,1,0
=
∀
ν

(4.14)
Chứng minh.

Giả sử
,
)0(
M
Kf ∈ với hai hằng số
ε
,M

mà ta sẽ chọn sau.
Ta cũng giả sử bằng qui nạp rằng:

.
)1(
M
Kf ∈
−
ν
(4.15)
Ta sẽ chứng minh rằng
.
)(
M
Kf ∈
ν

Với mọi
,Ω∈x ta có từ (4.7) rằng:

Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến
Trang 16
Luận văn thạc sỹ Toán học

Huỳnh Thò Hoàng Dung



∑∑∑∑
∑∑∑
∫
∑∑∑∑
====
===
====
++
+
≤
n
i
i
n
i
n
j
m
k
ijkjijk
n
i

n
j
m
k
xX
jijk
n
i
n
j
m
k
ijkjijk
n
i
i
xgxSfb
dttfc
xRfxxf
ijk
1
)(
111
)(
111
)(
0
)(
111
)()(

1
)(
)())((
)(
))((),()(
νν
ν
ννν
εα

X
n
i
m
k
n
j
ijkjijk
nj
n
i
n
j
m
k
ijkjjijkijk
n
i
m
k

n
j
ijkjijk
nj
gxSfb
xXtfxXc
xRfx
)(
11 1
)(
1
111
)(
11 1
)()(
1
))((max
))(()(
))((),(max
νν
ν
νν
εα
++
+
≤
∑∑ ∑
∑∑∑
∑∑ ∑
== =

≤≤
===
== =
≤≤

X
n
i
m
k
X
ijk
nj
n
i
n
j
X
ijk
nj
n
i
m
k
X
ijk
nj
gfb
fcb
fx

)(
11
)(
1
11
)(
1
11
)()(
1
max
max
),(max
νν
ν
νν
εα
++
+
≤
∑∑
∑∑
∑∑
==
≤≤
==
≤≤
==
≤≤

()
.][][
),(supmax
)()(
)(
11
)(
1
XX
ijkijk
X
n
i
m
k
ijk
x
nj
gfbcb
fx
νν
νν
εα
+++
≤
∑∑
==
Ω∈
≤≤
(4.16)

Do đó

.
][][),(supmax
)(
)(
11
)(
1
)(
X
X
ijkijk
n
i
m
k
ijk
x
nj
X
g
fbcbxf
ν
ννν
εα
+
⎟
⎠
⎞

⎜
⎝
⎛
++≤
∑∑
==
Ω∈
≤≤
(4.17)
Mặt khác, với mọi
,Ω∈x
ta có từ (4.7), (4.15), rằng:

()
,)(),(
1
)()(
ijkijkijkijk
aMxW
y
ax
εεεα
νν
≤
∂
Φ∂
≤ (4.18)
trong đó
}.,:),(sup{
1

Myxyx
y
M ≤Ω∈
∂
Φ∂
=
Ta suy từ (4.18) rằng
.][),(supmax
1
11
)(
1
ijk
n
j
m
k
ijk
x
nj
aMx
εεα
ν
≤
∑∑
==
Ω∈
≤≤
(4.19)

Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến
Trang 17
Luận văn thạc sỹ Toán học

Huỳnh Thò Hoàng Dung



Mặt khác, ta cũng có từ (4.8), (4.9) và bổ đề 2, (i), chương 3, rằng:

∑∑
==
−
∂
Φ∂
−Φ+=
n
j
m
k
ijkjijkijkijkii
xRfxW
y
xWaxgxg
11
)1()()()(
))](())((())((([)()(
νννν
ε

. (4.20)

Dùng công thức khai triển Taylor

,10,),(
2
1
),()0,(),(
2
2
2
<<−
∂
Φ∂
−
∂
Φ∂
+Φ=Φ
θθ
yyx
y
yyx
y
xyx

với
),( yx thay bởi
))),((,()(
)1()(
xRfxxW

ijkjijk
−
=
νν
ta có

))(())(()0,())((
)1()()(
xRfxW
y
xxW
ijkjijkijk
−
∂
Φ
∂
+Φ=Φ
ννν


()
,))(())(
~
(
2
1
2
)1()(
2
2

xRfxW
y
ijkjijk
−
∂
Φ∂
−
νν

với
.10))),((,()(
~
)1()(
<<−=
−
ijkijkjijkijk
xRfxxW
θθ
νν

Từ đây ta suy ra

()
,))((
2
1
)0,(sup
))(())(())((
2
)1(

2
)1()()(
xRfMx
xRfxW
y
xW
ijkj
x
ijkjijkijk
−
Ω∈
−
+Φ≤
∂
Φ∂
−Φ
ν
ννν
(4.21)
trong đó
}.,:),(sup{
2
2
2
Myxyx
y
M ≤Ω∈
∂
Φ∂
=

Ta suy ra từ (4.20), (4.21) rằng

∑∑
==
≤
n
i
i
n
i
i
xgxg
11
)(
)()(
ν
∑∑∑
===
Ω∈
Φ+
n
i
m
k
n
j
x
ijk

xa
111
)0,(sup
ε


∑∑∑
===
−
+
n
i
m
k
n
j
ijkjijk
xRfaM
111
2
)1(
2
))((
2
1
ν
ε

∑
=

−
Ω∈
Ω∈
+
Φ+≤
n
j
ijkj
x
ijk
x
ijk
X
xRfaM
xang
1
2
)1(
2
))((sup][
2
1
)0,(sup][
ν
ε
ε
2
)1(
2
][

2
1
)0,(sup][
X
ijk
x
ijk
X
faMxang
−
Ω∈
+Φ+≤
ν
εε


Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến
Trang 18
Luận văn thạc sỹ Toán học

Huỳnh Thò Hoàng Dung



⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

+Φ+≤
Ω∈
2
2
2
1
)0,(sup][ MMxnag
x
ijk
X
ε

Vậy
.
2
1
)0,(sup][
2
2
)(
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+Φ+≤
Ω∈
MMxnagg
x

ijk
X
X
ε
ν
(4.22)

Từ (4.17), (4.19) và (4.22), ta được


(
)
X
ijkijkijk
X
fbcbaMf
)(
1
)(
][][][
νν
ε
++≤


X
x
ijk
gMMxna +
⎥

⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+Φ+
Ω∈
2
2
2
1
)0,(sup][
ε

hay


(
)
.
2
1
)0,(sup][
][][][1
2
2
)(
1
X
x

ijk
X
ijkijkijk
gMMxna
fbcbaM
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+Φ≤
−−−
Ω∈
ε
ε
ν
(4.23)
Với
0>M
đã chọn như trong
),(
5
H
ta chọn
ε
sao cho hai điều kiện sau được
thỏa

,1][][][
1
<++
ijkijkijk
bcbaM
ε
(4.24)
và
()
.][][][1
2
1
)0,(sup][
1
2
2
ijkijkijk
X
x
ijk
bcbaMM
gMMxna
−−−≤
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

+Φ
Ω∈
ε
ε
(4.25)
Khi đó, ta suy ra từ (4.23), (4.24) và (4.25) rằng

.
][][][1
2
1
)0,(sup][
1
2
2
)(
M
bcbaM
gMMxna
f
ijkijkijk
X
x
ijk
X
≤
−−−
+
⎥
⎦

⎤
⎢
⎣
⎡
+Φ
≤
Ω∈
ε
ε
ν
(4.26)
Điều nầy khẳng đònh (4.14).
Ta chú ý rằng (4.25) dẫn đến (4.24), do đó (4.24) và (4.25) tương đương với
(4.25). Như vậy, ta chỉ cần chọn
ε
,M

thỏa (4.25) và đònh líù 4.2 được chứng
minh hoàn tất.



Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến
Trang 19
Luận văn thạc sỹ Toán học

Huỳnh Thò Hoàng Dung

Đònh lí 4.3.
Giả sử
),;(
2
IRIRC ×Ω∈Φ và )()(
31
HH
−
đúng. Cho
.IRa
ijk
∈
Khi
đó, tồn tại hai hằng số
ε
,M
sao cho

(i)
Với
M
Kf ∈
)0(
cho trước, dãy
}{
)(
ν
f
xác đònh bởi hệ
(4.7)−(4.9)

là dãy
lặp cấp hai. Chính xác hơn, ta có
, 2,1
2
)1()(
=∀−≤−
−
νβ
νν
,
X
M
X
ffff (4.27)
trong đó

0
][][][1
][
2
1
1
2
>
−−−
=
ijkijkijk
ijk
M
aMcbb

aM
ε
ε
β

(4.28)

và f là nghiệm của hệ
(1.1).

(ii)
Nếu
)0(
f
được chọn đủ gần f sao cho

1
)0(
<−
X
M
ff
β
, (4.29)
thì dãy
}{
)(
ν
f
hội tụ cấp hai đến f và thỏa một đánh giá sai số

, 2,1
1
)0()(
=∀
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−≤−
νβ
β
ν
ν
,
2
X
M
M
X
ffff

(4.30)
Chứng minh.

Đặt
)()()(
)()(

xfxfxe
νν
−= và
))),((,()(
)1()(
xRfxxW
ijkjijk
−
=
νν
ta có

[]
[]
∑∑
∑∑
==
−
==
−
∂
Φ∂
−
Φ−Φ=
−=
m
k
n
j
ijk

j
ijk
j
ijk
ijk
m
k
n
j
ijk
ijkijk
i
i
i
xRexRexW
y
a
xWxWa
xfxfxe
11
)()1()(
11
)(
)()(
))(())(())((
))(())((
)()()(
ννν
ν
νν

ε
ε


∑∑
∫
==
+
m
k
n
j
xX
jijk
ijk
dttec
11
)(
0
)(
)](
ν
∑∑
==
+
m
k
n
j
ijk

j
ijk
xSeb
11
)(
))((
ν


∑∑
∑∑
==
==
−
∂
Φ∂
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
Φ∂
−Φ−Φ=
m
k
n
j

ijkjijkijk
m
k
n
j
ijkjijkijkijkijkijk
xRexW
y
a
xRexW
y
axWxWa
11
)()(
11
)1()()(
))(())((
))(()(())(())((
νν
ννν
ε
ε



Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến
Trang 20
Luận văn thạc sỹ Toán học

Huỳnh Thò Hoàng Dung

∑∑
∫
==
+
m
k
n
j
xX
jijk
ijk
dttec
11
)(
0
)(
)](
ν
∑∑
==
+
m
k
n
j
ijk

j
ijk
xSeb
11
)(
))((
ν


).()())(())((
))(()(())(())((
)(
11
)()(
11
)1()()(
xBexRexW
y
a
xRexW
y
axWxWa
i
m
k
n
j
ijkjijkijk
m
k

n
j
ijkjijkijkijkijkijk
ννν
ννν
ε
ε
+
∂
Φ∂
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
Φ∂
−Φ−Φ=
∑∑
∑∑
==
==
−
(4.31)

Mặt khác, khai triển Taylor hàm
,.)(x
Φ

đến cấp 2, ta có:

.10,)())(,(
2
1
))(,(),(),(
2
000
2
2
000
<<−×−+
∂
Φ∂
=
−
∂
Φ
∂
−Φ−Φ
θθ
wwwwwx
y
wwwx
y
wxwx

Thay
),( wx và ),(
0

wx lần lượt bởi )(xW
ijk
và )(
)(
xW
ijk
ν
ta được

))(())(())(())((
)1()()(
xRexW
y
xWxW
ijkjijkijkijk
−
∂
Φ
∂
−Φ−Φ
ννν



2
)1()(
2
2
))(())(
~

(
2
1
xRexW
y
ijkjijk
−
∂
Φ∂
=
νν
, (4.32)
trong đó


()
.10,))(())((,)(
~
)1()1()(
<<+=
−−
ijkijkjijkijkjijk
xRexRfxxW
θθ
ννν


Ta suy ra từ (4.31), (4.32) rằng

∑∑

∑∑
==
−
==
∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
+=
m
k
n
j
ijkjijkijk
m
k
n
j
ijkjijkijkii
xRexW
y
a
xRexW
y
axBexe
11
2
)1()(
2

2
11
)()()()(
))(())(
~
(
2
))(())(()()()(
νν
νννν
ε
ε

hay


),())((),()()()(
)(
11
)()()()(
xGxRexxBexe
i
m
k
n
j
ijkjijkii
ννννν
εα
++=

∑∑
==
(4.33)



Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến
Trang 21
Luận văn thạc sỹ Toán học

Huỳnh Thò Hoàng Dung



trong đó
),,(
)(
x
ijk
εα
ν

)(
ν
i
G phụ thuộc vào
)1( −
ν
f như sau:

)),((),(
)()(
xW
y
ax
ijkijkijk
νν
εεα
∂
Φ
∂
= (4.34)

.))(())(
~
(
2
)(
11
2
)1()(
2
2
)(
∑∑
==
−
∂
Φ∂
=

m
k
n
j
ijkjijkijki
xRexW
y
axG
ννν
ε
(4.35)
Sử dụng các đánh giá

,][)(supmax
1
11
)(
1
ijk
n
j
m
k
ijk
x
nj
aMx
εα
ν
≤

∑∑
==
Ω∈
≤≤

với
},,:),(sup{
1
Myxyx
y
M ≤Ω∈
∂
Φ∂
=
và
(
)
X
ijkijk
X
fcbbBf ][][ +≤
Ta suy ra một cách tương tự như trong chứng minh của đònh lí 4.2, như sau:


XX
ijk
XX
GeaMBee
)()(
1

)()(
][
νννν
ε
++≤


(
)
XX
ijkijkijk
GeaMcbb
)()(
1
][][][
νν
ε
+++≤ (4.36)
Mặt khác, ta cũng có từ (4.35) rằng


∑∑∑∑
===
−
=
∂
Φ∂
≤
n
i

m
k
n
j
ijkjijkijk
n
i
i
xRexW
y
axG
111
2
)1()(
2
2
1
)(
))(())(
~
(
2
)(
ννν
ε



∑∑∑
===

−
≤
n
i
m
k
n
j
ijkjijk
xReaM
111
2
)1(
2
))((
2
ν
ε

2
)1(
2
][
2
X
ijk
eaM
−
≤
ν

ε
.

Vậy

.][
2
2
)1(
2
)(
X
ijk
X
eaMG
−
≤
νν
ε
(4.37)
Từ (4.36) và (4.37), ta thu được

(
)
X
ijkijkijk
X
eaMcbbe
)(
1

)(
][][][
νν
ε
++≤ .][
2
2
)1(
2
X
ijk
eaM
−
+
ν
ε

Điều nầy dẫn đến