Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu các hệ phương trình vi phân có trễ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM





HOÀNG THANH NGA




BÀI TOÁN ĐẢM BẢO GIÁ TRỊ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CÁC
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ


LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC


Chuyên ngành : Giải tích
Mã số : 60 46 01

Thái Nguyên, năm 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
• R = (−∞; +∞)
• R
+
= [0; +∞)
• R
n×r
n × r
• R
n
n
< ., . > || . ||.
• C([a; b], R
n
) [a; b]
R
n
.
• L
2
([a, b], R
m
) [a, b]
R

m
.
• A
T
A A
A = A
T
.
• I
• λ(A) A
• λ
max
(A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)}.
• λ
min
(A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)}.
• A > 0 A
• A ≥ 0 A
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

˙x(t) = f (t, x(t)), t ≥ t
0
x(t
0
) = x
0
, t
0

≥ 0,
x(t) ∈ R
n
f(t, x) : R
+
× R
n
→ R
n
f(t, x)
(1.1) x(t
0
) = x
0
, t
0
≥ 0
x(t) = x
0
+

t
t
0
f(s, x(s))ds.
x(t) (1.1)
ε > 0, t
0
≥ 0 δ > 0 ε, t
0

y(t), y(t
0
)) = y
0
 y
0
− x
0
< δ
 y(t) − x(t) < ε, ∀t ≥ t
0
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x(t)
x(t)
t ≥ t
0
x(t) (1.1)
δ > 0  y
0
− x
0
< δ
lim
t→∞
 y(t) − x(t)  = 0.
x(t)
y(t) y
0
x

0
x(t)
(x − y) → z, (t − t
0
) → τ
(1.1)
˙z = F (τ, z)
F (τ, 0) = 0 x(t)
(1.1) (1.2)
(1.2)
(1.1)
f(t, 0) = 0, ∀t ∈ R
+
(1.1)  > 0, t
0
∈ R
+
δ > 0
, t
0
x(t) : x(t
0
) = x
0
 x
0
< δ
 x(t) <  t ≥ t
0
(1.1) δ > 0

 x
0
< δ
lim
t→∞
 x(t)  = 0.
δ > 0
t
0
(1.1) M > 0 δ > 0
(1.1) x(t
0
) = x
0
 x(t) ≤ Me
−δ(t−t
0
)
 x
0
, ∀t ≥ t
0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
˙x = f(x), f(0) = 0, t ∈ R
+
.
V (x) : R
n
→ R
V (x) ≥ 0 x ∈ R

n
V (x) = 0 x = 0
V (x) : R
n
→ R
+
(1.3)
V (x) R
n
.
V (x)
D
f
V (x) :=
∂V
∂x
f (x) ≤ 0, ∀x ∈ R
n
∃c > 0 : D
f
V (x) ≤ −c  x < 0, x ∈ R
n
\{0}
(1.3)
(1.3)
˙x(t) = f (t, x(t)), t ≥ 0,
f(t, x) : R
+
× R
n

→ R
n
f(t, 0) = 0
t ∈ R
+
(1.4)
x(t
0
) = x
0
, t
0
≥ 0
(1.4)
K
a(.) : R
+
→ R
+
a(0) = 0
V (t, x) : R
+
× R
n
→ R
+
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
∃a(.) ∈ K : V (t, x) ≥ a( x ) ∀(t, x) ∈ R
+
× R

n
D
f
V (t, x) =
∂V
∂t
+
∂V
∂x
f(t, x) ≤ 0 ∀(t, x) ∈ R
+
× R
n
∃b(.) ∈ K : V (t, x) ≤ b( x ) ∀(t, x) ∈ R
+
× R
n
∃γ(.) ∈ K : D
f
V (t, x) ≤ −γ( x ) ∀x ∈ R
+
∀x ∈ R
n
\{0}
(1.4)
V (t, x) : R
+
× R
n
→ R

∃λ
1
, λ
2
> 0 : λ
1
 x(t) 
2
≤ V (t, x(t)) ≤ λ
2
 x(t) 
2
, ∀(t, x) ∈
R
+
× R
n
∃α > 0 :
˙
V (t, x(t)) ≤ −2αV (t, x(t)) x(t) (1.1)
(1.1) α N =

λ
2
λ
1
.

˙x(t) = f (t, x(t), u(t)), t ≥ t
0

,
x(t) ∈ R
n
, u(t) ∈ R
m
u(.) ∈ L
2
([0, t], R
m
)∀t ≥ 0
(1.5)
u(t) = h(x(t)) : R
n
→ R
m
˙x(t) = f (t, x(t), h(x(t))), t ≥ 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
u = h(x)
(1.5)
˙x = Ax + Bu
K
(A + BK)
˙x = Ax + Bu
K
˙
x(t) = (A + BK)
h(.) K
(1.5)
g(x) : R
n

→ R
m
˙x(t) = f (t, x(t), g(x(t))), t ≥ 0
(1.1)
t x(t)
x(t) t
(0 ≤ h ≤ +∞),
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x(t) R
+
R
n
x
t
∈ C := C([−h; 0], R
n
) x
t
(s) = x(t + s), ∀s ∈ [−h; 0],
C := C([−h; 0], R
n
) x
t
[t − h; t]
 x
t
= Sup
s∈[−h,0]
 x(t + s)  .
[t − h; t]


˙x(t) = f (t, x
t
), t ≥ 0,
x(t) = φ(t), t ∈ [−h; 0]
f : R
+
× C → R
n
x(t, φ)
x(t) = φ(t), ∀t ∈ [−h, 0].
(1.7) V : R
+
× C → R
∃λ
1
, λ
2
> 0 : λ
1
 x(t) 
2
≤ V (t, x
t
) ≤ λ
2
 x
t

2

, ∀t ≥ 0
˙
V (t, x
t
) ≤ 0, x(t) (1.7) (1.7)
x(t)
∃N > 0 : x(t, φ) ≤ N  φ , ∀t ≥ 0.
˙
V (t, x
t
) < 0 (1.7)
∃λ
3
> 0 :
˙
V (t, x
t
) ≤ −2λ
3
V (t, x
t
) x(t) (1.7)
(1.7) λ
3

λ
2
λ
1


˙x(t) = f (t, x
t
, u(t)), t ≥ 0,
x(t) = φ(t), t ∈ [−h; 0], h > 0,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x(t) ∈ R
n
u(t) ∈ R
m
x
t
∈ C
f : R
+
×C×R
m
→ R
n
f(t, 0, 0) = 0, ∀t ≥ 0
u(.) ∈ L
2
([0; t], R
m
), ∀t ≥ 0.
(1.7)
g : R
n
→ R
m


˙x(t) = f (t, x
t
, g(x(t))), t ≥ 0,
x(t
0
) = φ(t), t
0
∈ [−h; 0],
α > 0 (1.7) α
g : R
n
→ R
m
(1.10) α

˙x(t) = f (t, x
t
, g(x(t))), t ≥ 0,
x(t
0
) = φ(t), t ∈ [−h; 0],





˙x(t) = f (t, x(t), u(t), t ∈ [t
0
, t
1

] = I
x(t
0
) = x
0
, x(t) ∈ R
n
,
u(t) = Ω ⊆ R
m
u(.) ∈ L
2
([t
0
, t
1
], Ω)
f(t, x, u) : I × R
n
× R
m
→ R
n
J(u) =

I
f
0
(t, x, u) dt
f

0
(t, x, u) : I × R
n
× R
m
→ R
u
∗
(t) ∈ U
Ω
1
x
∗
(t) (1.11) (1.12)
u
∗
(t)
J (u
∗
) = min
u(.)∈L
2
([t
0
,t
1
],Ω)

I
f

0
(t, x, u) dt,.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
u
∗
(t)
(u
∗
(t), x
∗
(t)) (1.11) (1.12)
(1.12)
J(u)
J(u) = g(t
1
, x(t
1
)),
t
1
J(u) =

I
f
0
(t, x, u)dt + g(t
1
, x(t
1
)),

(1.12) (1.13)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

˙x = Ax + Bu(t), t ∈ [0; T ]
x(0) = x
0
∈ R
n
, u ∈ R
m
,
J(u) =

T
0
(Qx, x + Ru, u)dt + P
0
x(T ), x(T ) → min,
P
0
, Q, R R
u(t) ∈ L
2
([t
0
, t
1
], R
m
).

(1.14) (1.15)
f
0
(x, u) = Qx, x + Ru, u
f(x, u) = Ax + Bu
h(x(T )) = P
0
x(T ), x(T )
H(p, x, u) = p, Ax + Bu + Qx, x + Ru, u.

˙p(t) = −A

p(t) + 2Qx,
p(T ) = 2p
0
x(T ).
u
∗
∈ R
m
∂H
∂u
= 0
u
∗
(t) = −
1
2
R
−1

B

p
∗
(t).
u
∗
(t) (1.14)
d
dt
(x
∗
(t)) = Ax
∗
(t) −
1
2
BR
−1
B

p
∗
(t).
(1.16) u
∗
(t) x
∗
(t)


˙
x
∗
= Ax
∗
−
1
2
BR
−1
B

p
∗
, x(0) = x
0
˙p
∗
= 2Qx
∗
− A

p
∗
, p
∗
(T ) = 2P
0
x(T ).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

M ∈ R
n×n
δ > 0 ω : [0; δ] → R
n


δ
0
ω(s)ds

T
M


δ
0
ω(s)ds

≤ δ

δ
0
ω
T
(s)Mω(s)ds.
M ∈ R
n×n
x, y ∈ R
n
.

±2x
T
y ≤ x
T
Mx + y
T
M
−1
y
X, Y, Z X =
X
T
, Y = Y
T
≥ 0 R > 0, X + Z
T
Y
−1
Z < 0

X Z
T
Z −Y

< 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

˙x = Ax + Bu;
x(0) = x
0

, x ∈ R
n
, u ∈ R
m
,
A ∈ R
n×n
, B ∈ R
n×m
(n ≥ m)
J(u) =
∞

0
[Qx, x + Ru, u]dt, Q > 0, R > 0.
(2.1)
(2.2). u
∗
(t) = Kx(t)
J
∗
> 0 ˙x = [A + BK]x
(2.2) J(u
∗
) ≤ J
∗
u
∗
J
∗

(2.1) (2.2).
P
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

P A

+ AP − BB

+
1
4
BRB

P Q
QP −Q

< 0
u(t) = −
1
2
B

P
−1
x(t)
J
∗
= λ
max
(P

−1
)  x
0

2
V (x) = P
−1
x, x.
y = P
−1
x
λ
min
(P
−1
)  x 
2
≤ V (.) ≤ λ
max
(P
−1
)  x 
2
.
V (x),
˙
V (x(t)) = 2P
−1
˙x(t), x(t) = 2P
−1

(Ax + Bu), x
= 2P
−1
Ax, x + 2P
−1
Bu, x = 2AP y, y − BB

y, y
= (P A

+ AP )y, y − BB

y, y < −Sy, y.
(2.3)
P A

+ AP − BB

< −
1
4
BRB

− P QP = −S,
S =
1
4
BRB

+ P QP > 0.

˙
V (x(t)) ≤ −λ
min
(S)  y 
2
≤ −λ
min
(S)λ
min
(P
−2
)  x 
2
.
(2.1) u
∗
= −
1
2
B

P
−1
x(t)
(2.1)
J
∗
,
˙
V (x(t)) = (P A


+ AP − BB

)y, y + Qx, x + Ru, u
− Qx, x − Ru, u.
Qx, x = P QP y, y, Ru, u =
1
4
BRB
T
y, y.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
˙
V (x) =

P A

+ AP − BB

+
1
4
BRB

+ P QP

y, y

− [Qx, x + Ru, u].
P A


+ AP − BB

+
1
4
BRB

+ P QP < 0.
˙
V (x) < −[Qx, x + Ru, u].
[Qx, x + Ru, u] < −
˙
V (x).
0 t

t
0
[Qx, x + Ru, u]ds < −

t
0
˙
V (x(s))ds = V (x(0)) − V (x(t))
< V (x(0)) = P
−1
x
0
, x
0

.
t → +∞
J(u) ≤ J
∗
= P
−1
x
0
, x
0
 ≤ (λ
max
(P
−1
))  x
0

2
.
(2.1) (2.2)
A =

−3 0.2
1 −1

; B =

1
0


Q =

1 0
0 2

; R =

2

(2.3)
P =

0.2009 0.0100
0.0100 0.3678

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
u(t) =

−2.4918 0.0677

x(t),
J
∗
= 4, 9916.

˙x(t) = Ax(t) + Dx(t − h) + Bu, t ≥ 0
x(t) = ϕ(t) t ∈ [−h, 0], u ∈ L
2
(R
v

)
J(u) =

∞
0
[Q
1
x, x + Q
2
x(t − h), x(t − h) + Ru(t), u(t)]dt
Q
1
, Q
2
, R > 0
(2.4) (2.5)
P


P A

+ AP − BB

+
1
4
BRB

+ DP D


+ P P Q
1
P Q
2
Q
1
P −Q
1
0
Q
2
P 0 −Q
2


< 0,
u(t) = −
1
2
B

P
−1
x(t)
J
∗
= [(h + 1)λ
max
(P
−1

) + hλ
max
(Q
2
)]  ϕ 
2
V (x
t
) = P
−1
x, x +

t
t−h
Q
2
x, xds +

t
t−h
P
−1
x, xds.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
λ
min
(P
−1
)  x 
2

≤ V (x
t
) ≤ [(h + 1)λ
max
(P
−1
) + hλ
max
(Q
2
)]  x
t

2
( ϕ = max
t∈[−h,0]
ϕ(t)).
V (x
t
),
˙
V (x
t
) = 2P
−1
˙x, x + Q
2
x(t), x(t) − Q
2
x(t − h), x(t − h)

+ P
−1
x(t), x(t) − P
−1
x(t − h), x(t − h).
y = P
−1
x,
˙
V (x
t
) = (P A

+ AP )y, y − BB

y, y + 2DP
y
(t − h), y
+ P Q
2
P y, y − P Q
2
P y(t − h), y(t − h)
+ P y(t), y(t) − P y(t − h), y(t − h)].
1.4.2
2DP y
h
, y = 2y
h
, P D


y ≤ DP D

y, y + P y
h
, y
h
.
˙
V (x
t
) = (P A

+ AP − BB

+ P Q
2
P + DP D

+ P )y, y
− P Q
2
P y(t − h), y(t − h).
[Q
1
x, x + Q
2
x(t − h), x(t − h) + Ru, u],
˙
V (x

t
) = (P A

+ AP − BB

+ P Q
2
P + DP D

+ P )y, y
− P Q
2
P y(t − h), y(t − h)
+ [Q
1
x, x + Q
2
x(t − h), x(t − h) + Ru, u]
− [Q
1
x, x + Q
2
x(t − h), x(t − h) + Ru, u]
= (P A

+ AP − BB

+ P Q
2
P + DP D


+ P
+ P Q
1
P +
1
4
BRB

)y, y
− [Q
1
x, x + Q
2
x(t − h), x(t − h) + Ru(t), u(t)].
P A

+ AP − BB

+
1
4
BRB

+ P + P Q
2
P + P Q
1
P + DP D


< 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


P A

+ AP − BB

+
1
4
BRB

+ DP D

+ P P Q
1
P Q
2
Q
1
P −Q
1
0
Q
2
P 0 −Q
2



< 0.
˙
V (x
t
) < −[Q
1
x, x + Q
2
x(t − h), x(t − h) + Ru, u] ≤ 0.
u
∗
= −
1
2
B

P
−1
x(t)
(2.4)
J
∗
[Q
1
x, x + Q
2
x(t − h), x(t − h) + Ru, u] < −
˙
V (x
t

).

t
0
[Q
1
x, x + Q
2
x(t − h), x(t − h) + Ru(t), u(t)]dt
< −

t
0
˙
V (x
s
)ds = V (x
0
) − V (x
t
)
< V (x
0
),
t
) ≥ 0.
t → +∞
J(u) ≤ V (x
0
) ≤ [(h + 1)λ

max
(P
−1
) + hλ
max
(Q
2
)]  ϕ 
2
= J
∗
.
(2.4) (2.5),
h = 2.
A =

−8 1
0 −2

; B =

1
0

D =

−1 0
2 0.5

Q

1
=

0.1 0
0 0.2

; Q
2
=

0.1 0
0 0.3

; R =

0.2

(2.6)
P =

0.2650 0.0090
0.0090 0.9811

,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
u(t) =

−1.8871 0.0174

x(t)

J
∗
= 11.9241.
2.2.1

˙x(t) = Ax(t) + Dx(t − h(t)) + Bu(t), t ≥ 0
x(t) = ϕ(t) t ∈ [−h, 0],
0 ≤ h(t) ≤ h,
˙
h(t) ≤ δ < 1
J(u) =

∞
0
[Q
1
x, x+Q
2
x(t−h(t)), x(t−h(t))+Ru(t), u(t)]dt,
Q
1
> 0, Q
2
> 0, R > 0.
η = (1 − δ)
−1
(2.7) (2.8)
P



P A

+ AP − BB

+ P + ηDP D

+
1
4
BRB

P Q
1
P Q
2
Q
1
P −Q
1
0
Q
2
P 0 −Q
2


< 0.
u(t) = −
1
2

B

P
−1
x(t)
J
∗
= [(h + 1)λ
max
(P
−1
) + ηhλ
max
(Q
2
)]  ϕ 
2
(2.7)
V (t, x
t
) = P
−1
x(t), x(t) + η

t
t−h(t)
Q
2
x, xds +


t
t−h(t)
P
−1
x, xds
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
η = (1 − δ)
−1
.
λ
min
(P
−1
)  x 
2
≤ V (x
t
) ≤ [(h + 1)λ
max
(P
−1
) + ηhλ
max
(Q
2
)]  x
t

2
.

y = P
−1
x,
˙
V (x
t
) = (P A

+ AP − BB

)y, y + 2DP y(t − h(t)), y(t)
+ ηP Q
2
P y(t), y(t) − P Q
2
P y(t − h(t)), y(t − h(t))
+ P y(t), y(t) − (1 − δ)P y(t − h(t)), y(t − h(t))
+ P Q
1
P y, y + P Q
2
P y(t − h(t)), y(t − h(t))
+
1
4
BRB

y(t), y(t)
− [Q
1

x, x + Q
2
x(t − h(t)), x(t − h(t)) + Ru, u)].
2DP y(t−h(t)), y(t) = ηDP D

y(t), y(t)+(1−δ)P y(t−h(t)), y(t−h(t).
˙
V (x
t
) ≤ (P A

+ AP − BB

+ P + ηDP D

+ ηP Q
2
P + P Q
1
P +
1
4
BRB

)y, y]
− [Q
1
x, x + Q
2
x(t − h(t)), x(t − h(t))

+ Ru, u)].
P A

+ AP − BB

+ P + ηDP D

+ ηP Q
2
P + P Q
1
P +
1
4
BRB

< 0


P A

+ AP − BB

+ P + ηDP D

+
1
4
BRB


P Q
1
P Q
2
Q
1
P −Q
−1
1
0
Q
2
P 0 −Q
−1
2


< 0
˙
V (x
t
) < −[Q
1
x(t), x(t)+Q
2
x(t−h(t)), x(t−h(t))+Ru(t), u(t))] ≤ 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
u
∗
= −

1
2
B

P
−1
x(t)
(2.7)
J
∗

t
0
[Q
1
x, x + Q
2
x(t − h(t)), x(t − h(t)) + Ru(t), u(t)]dt
< −

t
0
˙
V (x
s
)ds = V (x
0
) − V (x
t
) < V (x

0
).
t → +∞
J(u) ≤ V (x
0
) ≤ [(h + 1)λ
max
(P
−1
+ ηhλ
max
(Q
2
)]  ϕ = J
∗
(2.7) (2.8),
h(t) = sin
1
2
t.
A =

−1 0
3 −5

; B =

1
0


D =

−0.2 0
5 0.2

Q
1
=

0.2 0
0 0.3

; Q
2
=

0.1 0
0 0.4

; R =

0.5

(2.9)
P =

0.1108 0.0178
0.0178 0.7486

u(t) =


−4.5308 0.1075

x(t)
J
∗
= 18.9350.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
˙x(t) = A
0
x(t) + A
1
x(t − (h(t)) + A
2

t
t−k
1
(t)
x(s)ds
+ B
0
u(t) + B
1
u(t − h
2
(t)) + B
2

t

t−k
2
(t)
u(s)ds,
x(t) = φ(t), t ∈ [−d, 0], d = max{h
1max
, h
2max
, k
1
, k
2
}
x(t) ∈ R
n
u(t) ∈ R
m
φ(t) ∈ C
1
([−d, 0], R
n
)
 φ = Sup
−d≤t≤0

 φ(t) 
2
+ 
˙
φ(t) 

2
A
0
, A
1
, A
2
, B
0
, B
1
, B
2
h
i
(t), k
i
(t), i =
1, 2
0 ≤ h
imin
≤ h
i
(t) ≤ h
imax
,
0 ≤ k
i
(t) ≤ k
i

, i = 1, 2.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên