Máy tính bỏ túi lớp 12 năm 2009 - 2010

Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Thừa Thiên Huế Giải toán trên máy tính CầM TAY
Đề thi chính thức Khối 12 THPT - Năm học 2009-2010
Thi gian lm bi: 150 phỳt
Ngy thi: 20/12/2009 - thi gm 5 trang
Điểm toàn bài thi
Các giám khảo
(Họ, tên và chữ ký)
Số phách
(Do Chủ tịch Hội đồng thi
ghi)
Bằng số Bằng chữ
GK1
GK2
Qui nh: Hc sinh trỡnh by vn tt cỏch gii, cụng thc ỏp dng, kt qu tớnh toỏn vo
ụ trng lin k bi toỏn. Cỏc kt qu tớnh gn ỳng, nu khụng cú ch nh c th, c
ngm nh chớnh xỏc ti 4 ch s phn thp phõn sau du phy
Bi 1 . (5 im) Tớnh giỏ tr ca hm s
( )f x
ti
0,75x =
:

( )
( )
2
3
3 3
2
2
2 sin cos

( )
log tan 1 1
x
x
x x
f x
e x x

+ +
=
+ + +
Túm tt cỏch gii: Kt qu:
Bi 2. (5 im)
Tỡm ta giao im ca ca th hai hm s
4 2
3 4y x x= +
v
2
2
2 5
2
x x
y
x
+ +
=
+
.
Túm tt cỏch gii: Kt qu:
MTCT12THPT-Trang 1

Bài 3. (5 điểm) Tính gần đúng giá trị lớn nhất v giá trị nhỏ nhất của hm số:
2
4 3 5 2y x x x= − + − + −

Tóm tắt cách giải: Kết quả:
Bài 4. (5 điểm) Cho dãy hai số
n
u
xác định như sau:
2
1 1 1
1; 5 8 ( 2,3,4, )
n n n
u u u ku n
− −
= = + − =
,
k
l số nguyên dương cho trước.
a) Chứng tỏ rằng chỉ có một giá trị
k
bé hơn 30 để cho các giá trị của dãy số đều
nguyên. Khi đó tính chính xác các giá trị
10; 11 12 13
; ; .u u u u
b) Với giá trị
k
tìm được ở câu a), lập công thức truy hồi tính
2n
u

+
theo
1n
u
+
v
n
u
.
Chứng minh.
Tóm tắt cách giải: Kết quả:
Bài 5. (5 điểm) Tìm các chữ số hng đơn vị, hng chục v hng trăm của số tự nhiên:
2010
9
2A
=
MTCT12THPT-Trang 2
Tóm tắt cách giải: Kết quả:
Bài 6. (5 điểm)
Bác An gửi tiết kiệm số tiền ban đầu l 20 triệu đồng theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất
0,72%/tháng. Sau một năm, bác An rút cả vốn lẫn lãi v gửi lại theo kỳ hạn 6 tháng với
lãi suất 0,78%/tháng. Gửi đúng một số kỳ hạn 6 tháng v thêm một số tháng nữa thì bác
An phải rút tiền trước kỳ hạn để sửa chữa nh được số tiền l 29451583,0849007 đồng
(chưa lm tròn). Hỏi bác An gửi bao nhiêu kỳ hạn 6 tháng, bao nhiêu tháng chưa tới kỳ
hạn v lãi suất không kỳ hạn mỗi tháng l bao nhiêu tại thời điểm rút tiền ? Biết rằng gửi
tiết kiệm có kỳ hạn thì cuối kỳ hạn mới tính lãi v gộp vo vốn để tính kỳ hạn sau, còn
nếu rút tiền trước kỳ hạn, thì lãi suất tính từng tháng v gộp vo vốn để tính tháng sau.
Nêu sơ lược quy trình bấm phím trên máy tính để giải.
Tóm tắt cách giải: Kết quả:
Bài 7. (5 điểm) Cho đa thức

( ) ( ) ( ) ( )
2 3 20
( ) 2 3 2 3 2 3 2 3P x x x x x= + + + + + +×××+ +
a) Tính gần đúng
2
3
P
 
−
 ÷
 
MTCT12THPT-Trang 3
b) Tìm hệ số chính xác của số hạng chứa
5
x
trong khai triển v rút gọn đa thức P(x).
Tóm tắt cách giải: Kết quả:
Bài 8. (5 điểm)
Trong ngy thi giải toán trên máy tính cầm tay (20/12/2009), bạn Bình đố bạn
Châu tìm số nguyên x nhỏ nhất sao cho khi bình phương lên thì được một số nguyên có 4
chữ số đầu l 2012 v 4 chữ số cuối l 2009. Em hãy giúp bạn Bình tìm số
x
ny v viết
chính xác số
2
x
. Nêu sơ lược cách giải.
Tóm tắt cách giải: Kết quả:
Bài 9. (5 điểm)
Tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình:

2
3
2
3 log 12
27 log 25
x
x
y
y

+ =

− =

Tóm tắt cách giải: Kết quả:
MTCT12THPT-Trang 4
Bài 10. (5 điểm) Một chậu nước hình bán cầu bằng nhôm có bán kính
10R cm
=
, đặt
trong một khung hình hộp chữ nhật (hình 1). Trong chậu có chứa sẵn một khối nước hình
chỏm cầu có chiều cao
4h cm
=
. Người ta bỏ vo chậu một viên bi hình cầu bằng kim loại
thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2). Tính bán kính của viên bi (kết quả
lm tròn đến 2 chữ số lẻ thập phân)
Cho biết công thức tính thể tích khối chỏm cầu của hình cầu (O, R), có chiều cao
h
l:

2
hom
3
c cau
h
V h R
π
 
= −
 ÷
 
Hình 1 Hình 2
Tóm tắt cách giải: Kết quả:
HẾT
MTCT12THPT-Trang 5
Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Thừa Thiên Huế Giải toán trên máy tính CầM TAY
Đề thi chính thức Khối 12 THPT - Năm học 2009-2010
ỏp ỏn v biu im
Bài Cách giải
Điểm
TP
Điểm
toàn
bài
1
( )
( )
2
3

3 3
2
2
2 sin cos
( )
log tan 1 1
x
x
x x
f x
e x x

+ +
=
+ + +
Trc khi tớnh, cn chuyn v
Mode tớnh n v o gúc bng Radian
(0,75) 0,6063f
5
2
Phng trỡnh cho honh giao im ca th hai hm s:
4 2
3 4y x x= +
v
2
2
2 5
2
x x
y

x
+ +
=
+
l:

2 2
4 2 4 2
2 2
2 5 2 5
3 4 3 4 0
2 2
x x x x
x x x x
x x
+ + + +
+ = + =
+ +
.
Dựng chc nng SOLVE ta tỡm c hai nghim (khi ly giỏ tr u
l 0 v 1):
1
0,701149664x
v
2
1,518991639x
.
Dựng chc nng CALC tớnh cỏc giỏ tr tung giao im:
1
2,7668y

v
2
2,4018y
.
Vy: Hai th ca hai hm s ó cho ct nhau ti hai im
( )
0,7011; 2,7668 , (1,519; 2,4018)A B
3
Hm s:
2
4 3 5 2y x x x= + +
cú tp xỏc nh ca hm s l:
5
1;
2



o hm ca hm s:
( )
2
2 2
2 5 2 4 3
2 4 2
'
2 5 2
2 4 3 4 3 5 2
x x x x
x
y

x
x x x x x
+ +
+
= =

+ + ì
( ) ( )
2 2
' 0 2 5 2 4 3 0 2 5 2 4 3y x x x x x x x x
= + + = + = +
( ) ( ) ( )
2
2 2
2 5 2 4 3 2 5 2 4 3 (1 2,5)x x x x x x x x x
+ = + + = +
3 2
2x 14 32 23 0 (1 2,5)x x x + =
Gii phng trỡnh, ch cú mt nghim thc
[ ]
2 1,434802283 1; 2,5x =
v hai nghim o.
Dựng chc nng CALC tớnh giỏ tr ca hm ti 2 cn v ti im
cc i, ta c:
MTCT12THPT-Trang 6
Tương tự, ta có:
3
(1,434802283) 2,284542897; (1) 3 1,732050808; (2,5) 0,866025403
2
f f f

≈ = ≈ = ≈
Vậy:
3
( ) 2,2845; ( ) 0,866
2
Max f x Min f x≈ = ≈
4
2
1 1 1
1; 5 8 ( 2,3,4, )
n n n
u u u ku n
− −
= = + − =
a)
2
1 2 1 1
1; 5 8 5 8u u u ku k= = + − = − −
.
Để
2
u ∈N
thì
8 0, 1, 4, 9, 16 8, 9, 12, 17,24k k− = ⇔ =
(k < 30).
Thử với
8, 9, 12, 17k =
: chỉ có
1 2
,u u

l số nguyên, còn
3
u ∉Z
. Khi
thử với
24k
=
thì đúng với nhiều u
n
liên tiếp.
Với
24k =
: Ta có:
1 2 3 4 5 6 7
1, 9, 89; 881; 8721; 86329; 854569;u u u u u u u= = = = = = =
8 9 10
8459361; 83739041; 828931049.u u u= = =
11 12 13
8205571449; 81226783441; 804062262961;u u u= = =
b) Công thức truy hồi của u
n+2
có dạng:
2 1 2n n n
u au bu
+ + +
= +
. Ta có hệ
phương trình:
3 2 1
4 3 2

9 89
10; 1
89 9 881
u au bu
a b
a b
u au bu
a b
= +
+ =


⇔ ⇔ = = −
 
= +
+ =


Do đó:
2 1
10
n n n
u u u
+ +
= −
Chứng minh sơ lược:
Ta có:
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
5 24 24 5 24 24 10 24 0

n n n n n n n n n n
u u u u u u u u u u
− − − − − −
= + − ⇒ − = − ⇒ − + + =
(1)
Thay n bởi n +1:
2 2
1 1
10 24 0
n n n n
u u u u
+ +
− + + =
(2).
Trừ (1) cho (2) ta có:
( ) ( ) ( )
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
10 0 10 0
n n n n n n n n n n
u u u u u u u u u u
+ − + − + − + −
− − − = ⇔ − + − =
Dãy số đơn điệu tăng, nên:
1 1 1 1
10 10
n n n n n n
u u u u u u
+ − + −
+ − ⇔ = −

Hay:
2 1
10
n n n
u u u
+ +
= −
5
Ta có:
( )
1
9 9
2 2 512 mod1000= ≡
( )
2
9
9 9 9 9 9 5 4
2 2 2 512 512 512 352 (mod1000)
×
= = ≡ ≡ × ≡
( )
3 2 2
9
9 9 9 9 9
2 2 2 352 912 (mod1000)
×
= = ≡ ≡
( )
4 3 3
9

9 9 9 9 9
2 2 2 912 952 (mod1000)
×
= = ≡ ≡

( ) ( )
5 4 6 5
9 9
9 9 9 9 9 9
2 2 952 312 (mod 1000);2 2 312 552 (mod1000);= ≡ ≡ = ≡ ≡
( ) ( )
6 5 7 6
9 9
9 9 9 9 9 9
2 2 312 552 (mod1000);2 2 552 712 (mod1000);= ≡ ≡ = ≡ ≡
MTCT12THPT-Trang 7
( ) ( )
8 7 9 8
9 9
9 9 9 9 9 9
2 2 712 152 (mod1000);2 2 152 112 (mod1000);= ≡ ≡ = ≡ ≡
( ) ( )
9 8 10 9
9 9
9 9 9 9 9 9
2 2 152 112 (mod1000);2 2 112 752 (mod1000);= ≡ ≡ = ≡ ≡
( )
11 10
9
9 9 9

2 2 752 512 (mod 1000);= ≡ ≡
Do đó chu kỳ lặp lại l 10, nên
Vậy:
2010
9
2A =
có ba chứ số cuối l: 752
6
Số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau 4 kỳ hạn 3 tháng v sau 1; 2; 3 ;
4; 5; 6; 7 kỳ hạn 6 tháng lần lượt l:
( ) ( )
4
20000000 1 0,72 3 100 1 0,78 6 100
A
+ × ÷ + × ÷
. Dùng phím CALC lần
lượt nhập giá tri của A l 1; 2; 3; 4; 5; 6 ta được: 22804326,3 đồng;
232871568,78 đồng; 24988758,19 đồng; 26158232,06 đồng;
27382437,34 đồng ; 28663935,38 đồng; 30005407,56 đồng
Ta có: 28663935,38 < 29451583,0849007< 30005407,56,
Nên số kỳ hạn gửi sáu tháng đủ l: 6 kỳ hạn.
Giải phương trình sau, bằng dùng chức năng SOLVE v nhập cho A
lần lượt l 1 ; 2; 3 ; 4; 5, nhập giá trị đầu cho X l 0,6 (vì lãi suất
không kỳ hạn bao giờ cũng thấp hơn có kỳ hạn)
( ) ( ) ( )
4 6
20000000 1 0,72 3 100 1 0,78 6 100 1 100 29451583.0849007 0
A
X
+ × ÷ + × ÷ + ÷ − =

X = 0,68% khi A = 4.
Vậy số kỳ hạn 6 tháng bác An gửi tiết kiệm l: 6 kỳ hạn ; số tháng
gửi không kỳ hạn l: 4 tháng v lãi suất tháng gửi không kỳ hạn l
0,68%
7
a)
2
68375,2807
3
P
 
− ≈
 ÷
 
b) Hệ số của số hạng chứa
5
x
l:

20
5 5 5 5
5
2 3 2 296031627712=9473012086784
k
k
k
C
−
=
× = ×

∑
8
Các số có 4 chữ số m khi bình phương lên có 4 chữ số cuối l 2009
l:
2003, 7003, 3253, 8253, 1747, 6747, 2997, 7997.
4485 2012 4487; 14184 2012 14189abcd abcde< < < <
44855 2012 44866; 141844 2012 141880abcdef abcdefg< < < <
Số cần tìm l: x = 14186747
2
201263790442009x =
9
2
3
2
3 log 12
27 log 25
x
x
y
y

+ =

− =

MTCT12THPT-Trang 8
Đặt
2
3 0 ; log
x

u v y= > =
, Hệ phương trình trở thnh:
3 3
12
25
u v
u v
+ =


− =

( )
3
3 2
3 3
3
12
12
12 (1)
2 36 432 1753 0 (2)
25
12 25
v u
u v
v u
u u u
u v
u u
= −


+ =
= −



⇔ ⇔
  
− + − =
− =
− − =




Giải phương trình (2) ta được một nghiệm thực duy nhất:
6,11572639u ≈
.
Thay vo (1) ta được:
5,88427361v ≈
3
3 6,11572639 log 6,11572639 1,6483
x
u x= ≈ ⇒ ≈ ≈
;
5,88427361
2
log 5,88427361 2 59,0667v y y= ≈ ⇒ ≈ ≈
Vậy: Hệ phương trình có nghiệm gần đúng l:
( )

1,6483; 59,0667x y≈ ≈
10
Gọi
x
l bán kính viên bi hình cầu. Điều kiện:
0 2 10 0 5x x< < ⇔ < <
Thể tích khối nước hình chỏm cầu khi chưa thả viên bi vo:
2
1
4 416
16 10 435,6341813
3 3 3
h
V h R
π
π π
   
= − = − = ≈
 ÷  ÷
   

Khi thả viên bi vo thì khối chỏm cầu gồm khối nước v viên bi có
thể tích l:
( )
( )
2
2
2
4 30 2
2

2
3 3
x x
x
V x R
π
π
−
 
= − =
 ÷
 

Ta có phương trình:
( )
3 2 3
2 1
4
4 30 2 416 4
3
V V x x x x
π π π π
− = ⇔ − − =
3 2
3 30 104 0x x⇔ − + =
.
Giải phương trình ta có các nghiệm:
1
9,6257 5x ≈ >
(loại);

2
2,0940 5x ≈ <
v
3
1,8197 0x ≈ − <
(loại).
Vậy: Bán kính viên bi l
2,09r cm≈
MTCT12THPT-Trang 9