SKKN Dùng liên hợp giải phương trình vô tỉ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH
TRƢỜNG THPT SỐ 3 AN NHƠN
=====================








SÁNG KIẾN, KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG KỸ THUẬT LIÊN HP
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ













Người thực hiện: Nguyễn Cơng Nhàn

An Nhơn, Năm 2014
2
MỤC LỤC
Nội dung Trang
Mục lục 2
Phần 1. Mở đầu 3
Phần 2. Nội dung của đề tài 7
Tóm tắt kiến thức cơ bản 7
Phương trình mở đầu 10
Sử dụng kỹ thuật liên hợp khi đoán được nghiệm của phương
trình 13
Sử dụng kỹ thuật liên hợp khi khó đoán được nghiệm của
phương trình một cách nhanh chóng 17
Một số bài tập tự luyện 20
Phần 3. Kết luận 21
Tài liệu tham khảo 24


3
PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong quá trình giải phương trình, mục tiêu cuối cùng là phải tìm tất cả các
nghiệm của phương trình đó. Để làm được điều này, chúng ta có rất nhiều cách,
có thể giải trực tiếp, có thể đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là nghiệm

duy nhất, ngoài ra ta cũng có thể đoán nghiệm để đưa về phương trình tích để
giải. Khi giải những bài tập đòi hỏi phải đoán được nghiệm và biến đổi tiếp tục
để giải, thì học sinh gặp rất nhiều khó khăn. Đặc biệt trong các bài toán về
phương trình chứa căn, mà ta gọi là phương trình vô tỉ thì việc đoán nghiệm và
phân tích biểu thức về tích càng trở nên khó khăn hơn. Phương trình vô tỉ là một
nhánh rất hay gặp trong các bài toán về phương trình trong các đề thì tuyển sinh
đại học, cao đẳng và thi học sinh giỏi. Chính vì thế, bản thân luôn mong muốn
có một tài liệu hoàn chỉnh về cách giải phương trình này, trong đó “sử dụng kỷ
thuật liên hợp” là kỹ thuật mà học sinh gặp rất nhiều khó khăn và rất ít tài liệu
viết về điều này. Do đó, tôi đã nghiên cứu và viết sáng kiến, kinh nghiệm về
“Sử dụng kỹ thuật liên hợp để giải một số phƣơng trình vô tỉ”
Mong rằng với tài liệu này, các em học sinh có thêm tự tin để giải tốt bài toán
phương trình vô tỉ.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Với mục đích nêu “Sử dụng kỹ thuật liên hợp để giải phƣơng trình vô
tỉ” nhằm giúp giải quyết một phần các khó khăn khi giải một số bài toán phương
trình vô tỉ thông qua đó nhằm rèn luyện kỹ năng tư duy và sử dụng kiến thức
linh hoạt, tạo hứng thú tìm tòi, khám phá và định hướng cách giải một bài toán
phương trình vô tỉ cho học sinh, cũng như mong muốn được đóng góp một phần
nhỏ bé của mình vào việc nâng cao chất lượng dạy và học, nhằm để học sinh học
tốt môn toán nói chung và từng bước biết vận dụng có hiệu quả bài toán giải
phương trình vô tỉ nói riêng.
4
Trang bị cho học sinh một phƣơng pháp giải phƣơng trình vô tỉ mang
lại hiệu quả rõ nét.
Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học
sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo cho học sinh.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Trang bị cho học sinh một phương pháp giải phương trình vô tỉ thông qua
biểu thức liên hợp

Phân loại bài tập có định hướng giải (đề thi học sinh giỏi, đại học, học kỳ)
Một số bài tập tương tự, mở rộng, nâng cao.
4. ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Các dạng toán giải phương trình vô tỉ nằm trong chương trình toán phổ
thông; luyện thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường phổ thông
Nêu các tính chất của biểu thức liên hợp, kỹ thuật biến đổi biểu thức.
Trong khuôn khổ của một sáng kiến, kinh nghiệm, dù biết không thể sử
dụng một phương pháp để giải hết tất cả các bài toán về phương trình vô tỉ,
nhưng với trách nhiệm của một người giáo viên trong một chừng mực nào đó tôi
hy vọng đây là tài liệu giảng dạy bổ ích cho đồng nghiệp cũng như cho học sinh
trong việc nhận dạng và giải thành thạo một số phương trình vô tỉ.
5. CHUẨN BỊ VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Giáo viên đọc tài liệu sách giáo khoa thật kỹ, sách nghiệp vụ của giáo
viên và sách tham khảo đọc thêm. Biên soạn đề cương theo hướng đổi mới
phương pháp giảng dạy và kiểm tra
Chú trọng phương pháp dạy trên cơ sở phương pháp khoa học
+ Phương pháp tái hiện (phương pháp trí nhớ )
+ Phương pháp tư duy
+ Phương pháp phân tích tổng hợp
+ Phương pháp so sánh
+ Phương pháp trừu tượng và khái quát hoá
5
Hướng dẫn học sinh phát huy khả năng quan sát. Quan sát trong toán học
nhằm hai mục đích: một là thu nhận kiến thức mới, hai là vận dụng kiến thức để
giải bài tập, hai là kết hợp với kiến thức khác để tạo ra kiến thức mới.
Nắm vững phương pháp nhớ khoa học. Trí nhớ là chỉ sự việc đã trải qua
còn giữ lại được trong đầu và quá trình tâm lí tái hiện. Việc làm lại bài tập đã
được hướng dẫn và giải các bài tương tự cũng là một quá trình tái hiện, là mục
đích cuối cùng của trí nhớ. Điều này có ý nghĩa rất lớn với việc học và giải toán.
6. Ý NGHĨA ĐỀ TÀI

Cung cấp một kỹ thuật giải phƣơng trình vô tỉ thích hợp cho việc giải
toán qua đó nhằm rèn luyện kỹ năng tư duy và sử dụng kiến thức linh hoạt, tạo
hứng thú tìm tòi, khám phá và định hướng được cách giải một bài toán cho học
sinh.
Trang bị cho học sinh một kỹ thuật giải phƣơng trình vô tỉ mang lại
hiệu quả rõ nét.
Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó nâng
cao khả năng tư duy, sáng tạo cho học sinh.
Bản thân cũng như nhiều đồng nghiệp, học sinh có thể dùng đề tài này
làm tài liệu để ôn luyện cho học sinh khối THPT trong các kỳ thi cuối kỳ, thi
học sinh giỏi, thi Đại học – Cao đẳng.
7. CƠ SỞ VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU
Dựa trên thực tế giảng dạy học sinh trường THPT, trên cơ sở tích luỹ
trong quá trình soạn giảng và những bức xúc khi học sinh giải các bài toán về
phương trình vô tỉ, bản thân tôi luôn tìm tòi cách dạy hiệu quả nhất cho đối
tượng, cộng tác cùng đồng nghiệp, tham khảo ý kiến sửa chữa kịp thời. Thật
vậy, từ khi biên soạn cho đến nay đã được gần 3 năm, tôi và đồng nghiệp nhận
thấy đa số học sinh sau khi học cách áp dụng phương pháp này thì khả năng
nhận dạng phương trình vô tỉ của các em có tiến bộ rõ rệt.
Trong quá trình biên soạn tôi đã nhận được sự giúp đỡ của các đồng
nghiệp trong tổ Toán, tập thể giáo viên của trường THPT số 3 An Nhơn, tỉnh
6
Bình Định. Tôi xin chân thành cảm ơn và rất mong quy
́
thầy cô và bạn bè đồng
nghiệp góp ý kiến cho đề tài này để tôi tiếp tục hoàn chỉnh nó trong quá trình
giảng dạy của mình, cũng như làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh.
Giáo viên thực hiện

Nguyễn Công Nhàn

7
PHẦN 2. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
I. TÓM TẮT CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Các tính chất về phép biến đổi tƣơng đƣơng đổi với phƣơng trình
Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập
nghiệm.
Một số phép biến đổi tương đương:
 Cộng, trừ hai vế của phương trình với cùng biểu thức mà không làm thay
đổi tập xác định của phương trình.
 Nhân, chia hai vế của phương trình với cùng biểu thức khác không mà
không làm thay đổi điều kiện của phương trình.
2. Phƣơng trình vô tỉ
Định nghĩa: Phương trình vô tỉ là phương trình có chứa ẩn ở dưới dấu căn.
Các bƣớc giải phƣơng trình vô tỉ (dạng chung)
 Tìm điều kiện của phương trình.
 Biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình đã học.
 Giải phương trình vừa tìm được.
 So sánh kết quả với điều kiện và kết luận.
3. Các kiến thức cơ bản về căn thức
 
 
2
2
21
21
22
2 1 2 1
a 0
0
,0

,
n
n
n
n
nn
nn
a khi
aa
a khi a
aa
a b a b a b
a b a b a b










   
   
\
Lũy thừa hai vế của phương trình
Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ hai vế của phương trình.
Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai căn bậc chẵn hai vế khi hai vế của phương trình
cùng không âm.

2 1 2 1
2
2
b 0
nn
n
n
a b a b
ab
ab

  











8
2 1 2 1
22
0 ( b 0)
nn
nn
a b a b

a hay
ab
ab

  











4. Một số phƣơng pháp khác đƣợc dùng để giải bài toán phƣơng trình vô tỉ
4.1 Phương pháp biến đổi tương đương, kết hợp bình phương hai vế hai vế
của một phương trình.
4.2 Biến đổi về phương trình tích.
4.3 Sử dụng kỷ thuật liên hợp.
4.4 Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình hoặc hệ phương trình giải được.
4.5 Phương pháp lượng giác hóa.
4.6 Phương pháp tọa độ và vectơ.
4.7 Phương pháp đánh giá hai vế, có kết hợp tính chất hàm số.
5. Các kết quả sau sử dụng trong phƣơng pháp sử dụng kỷ thuật liên hợp
Tính chất 1. Nếu x
0
là nghiệm của phương trình f(x) = 0
(1)

thì phương trình
(1)  (x – x
0
).g(x) = 0
Tính chất 2.
AB
AB
AB




Tính chất 3.
AB
AB
AB




Tính chất 4.
33
22
33
33
AB
AB
A A B B





Tính chất 5.
33
22
33
33
AB
AB
A A B B




6. Cơ sở của phƣơng pháp:
Khi gặp một phương trình vô tỉ có cấu trúc phức tạp:
 Có sự xuất hiện của nhiều căn thức,
 Có sự xuất hiện của nhiều căn thức khác bậc
 Có sự xuất hiện của một đa thức bậc 2, bậc 3
Đối với các phương trình loại đó, ta khó thực hiện các thao tác
 Biến đổi để đưa về nhân tử chung;
9
 Biến đổi bằng cách bình phương hai vế hai vế, vì như thế sẽ tạo nên
phương trình bậc cao
 Khó có thể đặt ẩn phụ, vì như thế không có mối quan hệ giữa các biểu
thức
 Không thể xét các hàm số ở vế trái và vế phải có tính biến thiên ngược
nhau, từ đó không thể kết luận nghiệm duy nhất, mặc dù ta vẫn đoán được
một nghiệm của phương trình
 Vì vậy, đối với loại phương trình này, chúng ta không thể biến đổi đồng

thời các biểu thức của phương trình, mà phải biến đổi từng căn thức để
tạo ra nhân tử chung. Sau đó đưa phương trình về dạng tích
(x – x
0
).g(x) = 0
Trong đó g(x) = 0 là phương trình vô nghiệm.
 Để chứng minh g(x) = 0 ta thường dùng phương pháp đánh giá hai vế,
hoặc dùng phương pháp hàm số để chứng minh phương trình này vô
nghiệm.
10
II. PHƢƠNG TRÌNH MỞ ĐẦU
 
2 2 2 2
3 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x         

Điều kiện:
2
2
2
2
3 5 1 0
20
10
3 4 0
xx
x
xx
xx



  








  



  




Ta đi tìm cách giải cho phương trình này như sau:
Cách 1: Biến đổi tương đương, cách này không có cơ sở để biến đổi, không thể
bình phương hai vế vì khi bình phương hai vế bài toán sẽ dẫn đến phức
tạp.
Cách 2: Đưa về phương trình tích bình thường, ta không nhận thấy nhân tử
chung hoặc biến đổi thế nào.
Cách 3: Dùng ẩn phụ, nếu đặt ẩn phụ chúng ta phải đặt ít nhất hai ẩn phụ, nhưng
cũng không nhận dạng được ẩn phụ hợp lí.
Cách 4: Lượng giác hóa, chúng ta chưa nhận thấy dấu hiệu rõ ràng nào về cách
đặt lượng giác.
Cách 5: Phương pháp tọa độ và vectơ, để làm điều này ta phải đưa trong căn về
tổng bình phương. Nhưng điều này không nhận ra.

Cách 6: Dùng phương pháp hàm số và đánh giá hai vế, cách này phải biến đổi
đưa về hàm số, chứng minh hàm số đồng biến, nghịch biến, điều này
cũng không khả quan.
Cuối cùng, ta có nhận xét về mối quan hệ của các biểu thức trong dấu căn
nhƣ sau:
11
(3x
2
– 5x + 1) – 3(x
2
– x – 1) = - 2(x – 2)
(x
2
– 2) – (x
2
– 3x + 4) = 3(x – 2)
Với nhận xét như trên, giúp ta nghĩ đến nhân tử x – 2 và x = 2 là một nghiệm
của phương trình đã cho. Chúng ta chuyển vế phương trình (1) đưa về
 
2 2 2 2
3 5 1 3 1 2 3 4x x x x x x x         

Sau đó dùng biểu thức liên hợp cho hai vế, ta được phương trình
 
 
 
 
22
22
2 2 2 2

2( 2) 3( 2)
2 3 4
3 5 1 3 1
20
3 3 5 1 3 1 2 2 3 4 (*)
xx
x x x
x x x x
x
x x x x x x x
  

   
    





         




Phương trình (*) vô nghiệm, nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
2x 

Phương trình trên được giải như sau
 
 

 
 
 
 
2 2 2 2
2 2 2 2
22
22
2 2 2 2
3 5 1 2 3 1 3 4
3 5 1 3 1 2 3 4
2( 2) 3( 2)
2 3 4
3 5 1 3 1
20
3 3 5 1 3 1 2 2 3 4 (*)
x x x x x x x
x x x x x x x
xx
x x x
x x x x
x
x x x x x x x
         
          
  

   
    






          



Qua ví dụ trên, chúng ta nhận thấy, mỗi phương trình có mỗi đặc điểm khác
nhau. Khi đi tìm lời giải đòi hỏi chúng ta phải có nhiều giải pháp khác nhau để
đánh giá và giải phương trình một cách hợp lí. Sau đây tôi xin giới thiệu Một số
12
phƣơng trình vô tỉ đƣợc giải bằng cách sử dụng kỹ thuật liên hợp. Mong
rằng, tài liệu này sẽ là một cẩm nang giúp đỡ các em học sinh nhiều kinh
nghiệm hơn trong việc giải phương trình vô tỉ, một bài toán được xem là khó và
cũng hay xuất hiện trong các đề thi đại học, cũng như thi học sinh giỏi các cấp.
Các dạng phƣơng trình thƣờng gặp trong kỷ thuật liên hợp
1.
( ) ( ) ( ) ( )f x g x h x k x  
, trong đó f(x) – g(x) và h(x) – k(x) có
nghiệm chung x
0

2.
( ) ( ) ( )f x g x h x
, trong đó ta nhẩm được nghiệm của phương trình là
x
0

3.

3
( ) ( ) ( )f x g x h x
, trong đó ta nhẩm được nghiệm của phương trình là
x
0

4.
 
( ) ( ) ( )f x a g x b h x   
, trong đó f(x) – a
2
; g(x) – b
2
và h(x) có
nghiệm chung là x
0


13
III. SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP KHI ĐOÁN ĐƢỢC
NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH
Khi đoán được nghiệm của phương trình, kỷ thuật nhân liên hợp được tiến hành
như sau:
Bước 1: Phân tích và nhẩm nghiệm để có được một nghiệm của phương trình x
0

Bước 2: Sau đó ta thế x
0
vào trong các biểu thức của phương trình để tìm cách
thêm bớt vào biểu thức. Ví dụ

()fx
, khi có nghiệm là 2 thì ta xác định
được
(2)f
, ta thêm bớt để tạo ra
( ) (2)f x f

Bước 3: Nhân biểu thức liên hợp của các biểu thức, ví dụ
 
2 ( )
( ) (2)
( ) (2)
( ) (2) ( ) (2)
x g x
f x f
f x f
f x f f x f


  


Ví dụ 1.
23
3
12x x x   

Nhận xét
 Điều kiện cho phương trình:
3

20x 

 Ta nhận thấy x = 3 là một nghiệm của phương trình
 Lấy x – 3 làm chuẩn để biến đổi bài toán,
3
2x 
cần số 5;
2
3
1x 
cần
số 2. Do đó phương trình đã cho tương đương
 
 
  
 
23
3
3
2
3
22
33
1 2 3 2 5
33
27
3
25
1 2 1 4
x x x

xx
x
x
x
xx
      


   

   

14
 
2
2
3
22
33
2
(2)
2
3
22
33
3 3 9
3 1 0
25
1 2 1 4
3

3 3 9
10
25
1 2 1 4
x x x
x
x
xx
x
x x x
x
xx

  




    








   






  

  


    


Vì
3
2x 
nên
 
2
22
3
22
33
2
3
3 3 3 9
1 1 2
25
1 2 1 4
1 1 3
x x x x
x

xx
x
   
    

   
  

Do đó phương trình (2) vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3.
Ví dụ 2.
2
2 4 2 5 1x x x x     

(Đề thi học sinh giỏi lớp 12, Bình Định, năm 2011 – 2012 )
 Điều kiện
 
2;4x 

 Nhiều học sinh khi gặp bài toán này, nghĩ ngay đến việc đặt ẩn phụ. Với
cách đặt ẩn phụ, ta có hai cách nghĩ:
 Đặt một ẩn t, khi đó vế phải không giải quyết được
 Đặt hai ẩn u, v; khi đó vấn đề vẫn là vế phải không giải quyết được
 Vậy ta phải sử dụng phương pháp nào đây?
 Ta nhận thấy x = 3 là một nghiệm của phương trình đã cho, vậy x – 3 có
tác dụng thế nào?
Tới đây chúng ta lại nghĩ về hàm số để chứng minh x = 3 là nghiệm duy
nhất của phương trình, điều đó làm được không? Vế trái có điểm cực trị x
15
= 3, hàm số đồng biến trên [3; 4] và nghịch biến trên [2; 3]. Nhưng vế

phải đồng biến trên [2; 4], điều này không thể kết luận được gì.
 Ta cố gắng phân tích các biểu thức của phương trình về tích có chứa thừa
số x – 2; từ đó ta thêm, bớt số 1 vào để tạo các biểu thức như ý muốn, sau
đó nhân liên hợp, ta được
  
   
 
(2)
11
3 2 1 0
2 1 4 1
3
11
2 1 0
2 1 4 1
2
2 1 4 1 2 5 3
33
3 2 1
2 1 4 1
xx
xx
x
x
xx
x x x x
xx
xx
xx




     






   






   

   

       

    
   

Vì
24x
nên
1 1 1 1
5 2 1

1
2 1 4 1 2 1
x
xx
     
    

Do đó phương trình (2) vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3.
Ví dụ 3.
   
2
1 2 6 7 7 12x x x x x x       

Điều kiện:
2x 

Ta nhận thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình đã cho
Ta cố gắng xử lý các biểu thức chứa căn nên ta sẽ tạo ra
2 2 2; 7 2 7xx     

Khi đó có phương trình
16
 
 
 
 
      
 
2

1 2 2 6 7 3 2 8
22
1 6 2 4 0
2 2 7 3
16
2 4 0
2 2 7 3
2
16
40
2 2 7 3
x x x x x x
xx
x x x x
xx
xx
xx
xx
x
xx
x
xx
         

       
   



     


   







   

   


Với
2x
thì
1 6 1 6
4 4 0
23
2 2 7 3
x x x x
xx
xx
   
       
   

Nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2
Bài tập tƣơng tự

Bài 1.
2 2 2
1 1 2x x x x x x       

Bài 2.
2 2 2
2 3 2 1 3 3x x x x x x      

Bài 3.
42 60
6
57xx



Bài 4.
2
4 2 22 3 8x x x    


17
IV. SỬ DỤNG KỶ THUẬT LIÊN HỢP KHI KHÓ ĐOÁN ĐƢỢC
NGHIỆM PHƢƠNG TRÌNH MỘT CÁCH NHANH CHÓNG
Trong quá trình giải, chúng ta thấy một phương trình không có dấu hiệu
đặc biệt, cũng như sử dụng các phương pháp khác để giải phương trình này. Khi
đó ta tìm cách thêm bớt hai vế của phương trình cho một đâ thức bậc 1
mx + n
Vậy làm thế nào để xác định được lượng thêm bớt cần thiết (mx + n)
Ta làm như sau:
Bước 1: Đưa phương trình về dạng

( ) ( )f x g x
, trong đó f(x) là đa thức
hoặc là phân thức, g(x) là đa thức
Bước 2: Thêm, bớt vào hai vế của phương trình đa thức mx + n, ta được
   
( ) ( )f x mx n g x mx n    

Bước 3: Chúng ta quy đồng mẫu vế trái và nhân liên hợp cho vế phải của
phương trình
Bước 4: Cho tử của hai vế bằng nhau để được cặp số (m, n).
Khi đó ta xác định được biểu thức cần thêm bớt, sử dụng lượng liên hợp để giải
Ví dụ 1.
 
22
1 2 2 2x x x x x     

Nhận xét:
 x + 2 tham gia vào phương trình để làm gì?
18
 Vì x = -2 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế cho
x + 2 ta được phương trình tương đương với
2
2
1
22
2
xx
xx
x


  

(*)
 Làm thế nào để phương trình (*) xuất hiện biểu thức chung cho hai vế?
Giả sử ta cần thêm vào hai vế của (*) một biểu thức dạng mx + n, khi đó
     
     
 
 
 
2
2
2 2 2
2
2
1
* 2 2
2
1 2 2 2
1 1 2 1 2
2
22
xx
mx n x x mx n
x
m x mn x n
m x m n x n
x
x x mx n


       

     
      


   

Ta chọn (m; n) sao cho
22
1 2 2 2
0; 3
1 1 2 1 2
m mn n
mn
m m n n
   
    
    

Khi đó
2
2
2
2
22
2
2
2
1

22
2
1
3 2 2 3
2
2 7 2 7
2
2 2 3
2 7 0
2 2 2 3 (3)
xx
xx
x
xx
xx
x
x x x x
x
xx
xx
x x x

  


     

   



  

  



    



Phương trình (3) vô nghiệm nên phương trình (1) tương đương phương trình (3)
và có tập nghiệm
 
1 7;1 7S   

19
Ví dụ 2.
32
3 1 8 3x x x   
(1)
Nhận xét: Trong phương trình trên, ta nhận thấy chỉ có một căn bậc hai, có thể
bình phương hai vế để làm mất căn. Nhưng khi thực hiện thao tác bình phương
hai vế, thì ta sẽ tạo ra phương trình bậc 6, dẫn đến khó khăn khi giải phương
trình này.
Điều kiện:
2
8 3 0x

Bằng cách làm như trên, ta biến đổi phương trình tương đương với phương trình
   

 
 
 
 
 
 
 
32
32
2
2
2
2
2
2
3 1 2 8 3 2
2 1 8 3 2
41
11
8 3 2
10
41
1 0 (2)
8 3 2
x x x x x
x x x x
xx
x x x
xx
xx

xx
x
xx
       
      
  
    
  

  





  


  


Xét hàm số
 
2
88
( ) 8 3 2 ; ;
33
f x x x x



     



Ta chứng minh
6 4 6
0 ( )
3
fx


nên
1 8 1
1 1 0
( ) 3
6 4 6
3
x
fx
     


Do đó phương trình (2) vô nghiệm.
Phương trình
 
2
1 1 0xx   

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm
1 5 1 5

;
22
S










20
IV. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1
2
2
12
1
x x x
xx




Bài 2
2
2 4 2 5 1x x x x     

Bài 3
2 2 2
1 1 2x x x x x x       

Bài 4
2 2 2
2 3 2 1 3 3x x x x x x      

Bài 5
42 60
6
57xx



Bài 6
2
3
72
78
6
x
xx

  


21
PHẦN 3. KẾT LUẬN
1. Một số kết luận thực tiễn và kết quả đạt đƣợc

Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ đã được tôi áp dụng ở nhiều
năm học, ở nhiều lớp và như vậy là trên nhiều học sinh. Trong quá trình giảng
dạy tôi đã sử dụng hình thức như sau tiến hành hướng dẫn học sinh giải một số
phương trình vô tỉ và trước hết tôi để các em tự tìm hướng giải, sau đó hướng
dẫn học sinh kỹ thuật liên hợp để giải phƣơng trình vô tỉ. Tôi nhận được sự
ủng hộ của các em rất lớn khi ứng dụng “kỹ thuật liên hợp để giải phƣơng
trình vô tỉ ’’ sau mỗi lần làm xong bài toán tôi đã làm một cuộc điều tra và rút
kinh nghiệm cho bản thân
Trong những năm học vừa qua tiến hành khảo sát thực tế về hiệu quả của
việc nghiên cứu đề tài như sau:
- Các lớp khảo sát: Lớp10 năm học ( 2009 – 2010, 2012 – 2013) và lớp 12
(2012 – 2012)
- Cách tiến hành:
- Kiểm tra ban đầu
- Tiến hành định hướng cho từng đối tượng học sinh
- Kiểm tra tính hiệu quả của đề tài thông qua các bài kiểm tra
- Kết quả cụ thể :
Năm
học
Số
học
sinh
Khảo sát khi chƣa sử dụng đề tài
Kết quả sau khi sử dụng đề tài
Yếu,
kém
TB
Khá
Giỏi
Yếu,kém

TB
Khá
Giỏi
2009
–
2010

104
K10
8
7.69%
56
53.84
%
40
38.46%
0
0%
2
1.92%
35
33.65%
55
52.88
%
12
11.54%
2012
–
2013

108
K12
14
12.96
%
72
66.67
%
22
20.37%
0
0%
4
3.7%
23
21.3%
60
55.56
%
21
19.44%
2012
–
2013

97
K10
18
18.56

%
37
38.14
%
41
42.27%
1
1.03%
3
3.09%
25
25.78%
41
42.27
%
28
28.87%
Qua thực tế giảng dạy và thông qua việc hướng dẫn học sinh một số
phương pháp giải phương trình vô tỉ, tôi nhận thấy đa số học sinh đã chủ động
hơn, tự tin hơn khi tiếp xúc với bài toán giải phương trình vô tỉ. Thật vậy, trong
các tiết ôn tập cuối năm 12 chuẩn bị cho thi tốt nghiệp và dự tuyển sinh vào các
trường Đại học và Cao đẳng hàng năm của học sinh lớp 12. Qua khảo sát, nhìn
chung các em biết vận dụng khá linh hoạt, biết nhận biết vấn đề và xác định
được phương pháp hay ,ngắn gọn để ứng dụng giải phương trình vô tỉ
Chúng ta đã biết rằng không có một “chìa khoá ” vạn năng nào có thể mở được
tất cả các kho tàng tri thức của nhân loại. Cũng vậy một số phương pháp giải
phương trình vô tỉ có thể chưa giải được tất cả các bài toán phương trình trong
chương trình phổ thông, có rất nhiều bài toán giải bằng phương pháp đại số
thông thường hoặc giải bằng phương khác hiệu quả và thuận lợi hơn nhưng nếu
giáo viên hướng dẫn học sinh biết vận dụng tốt, có hiệu quả từng phương pháp.

22
Thiết nghĩ một số phương pháp giải phương trình vô tỉ sẽ giải được một lớp các
bài toán giải phương trình, một cách trọn vẹn, rõ ràng, chặt chẽ, dễ hiểu mà các
phương pháp khác chưa chắc đã có được. Từ những suy nghĩ thực tế giảng dạy
thu được kết quả khả quan tôi đã mạnh dạn viết nên đề tài này .
2. Lợi ích và khả năngvận dụng
Đề tài này khả năng áp dụng dễ và áp dụng tốt cho mọi học sinh khối
THPT từ lớp 10 đến lớp 12 trong quá trình giải một số phương trình vô tỉ . Đồng
thời trang bị cho học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ. Bản thân
cũng như nhiều đồng nghiệp, học sinh có thể dùng đề tài này làm tài liệu để ôn
luyện cho học sinh trong các kỳ thi TSĐH, thi học sinh giỏi các cấp.
3. Hiệu quả
Học sinh dễ hiểu bài, tạo cho học sinh hứng thú, say mê trong học tập, rèn
luyên được tính sáng tạo cho học sinh, nâng cao kỷ thuật tính toán, nhận dạng
cho học sinh. Học sinh vận dụng nhanh ít tốn thời gian đem lại hiệu quả, các em
giải quyết được một số bài toán phương trình khó, biết nhận biết vấn đề và xác
định được phương pháp hay, ngắn gọn để ứng dụng giải phương trình vô tỉ. Qua
đó các em có đầy đủ cách nhìn cho một phương trình vô tỉ, giúp các em tự tin và
đủ bản lĩnh để nhận dạng và giải thành thạo một phương trình vô tỉ.
4. Mức độ triển khai
Dạy học sinh trong các tiết ôn tập, rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô
tỉ, các buổi bồi dưỡng học sinh giỏi, chuẩn bị cho thi đại học, và chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi.
5. Các đề xuất kiến nghị
Tôi luôn nghĩ rằng: sự tiến bộ và thành đạt của học sinh luôn là mục đích
cao cả, và là nguồn động viên tích cực của người thầy. Do đó, tôi mong ước
được chia sẻ với quý đồng nghiệp một số suy nghĩ như sau:
Đối với học sinh, cần kiên nhẫn dìu dắt, động viên các em, hãy tìm ra
những điều tốt để kịp thời động viên, tạo điều kiện cho học sinh ngày càng tiến
bộ, từng bước chủ động, tự tin hơn trong học tập. Bồi dưỡng cho học sinh thói

quen nhận dạng, đánh giá bài tập theo nhiều hướng khác nhau, bên cạnh đó còn
rèn kỹ năng tính toán chính xác, nhanh chóng cho học sinh. Thể hiện qua những
nội dung như: đọc kỹ đề, phân tích đề, tìm giải pháp hợp lý, tính toán tỉ mỉ, kiên
trì, trình bày bài toán một cách lôgic, rõ ràng qua các phép suy luận và kiểm tra
lại kết quả.
Cần tập cho học sinh thói quen có sự chuẩn bị bài trước khi đến lớp. Bởi
vì khi chuẩn bị bài học sinh có dịp làm quen với kiến thức mới, quy luật nhận
23
thức của con người không phải một lần là hoàn thành mà trải qua từ không biết
đến biết, từ đơn giản đến phức tạp. Chuẩn bị bài giúp học sinh xác định được
các ý cơ bản cần chú ý khi học tại lớp, làm cơ sở đề xuất ý kiến với giáo viên về
những vương mắc có liên quan đến bài học. Hướng dẫn học sinh giải toán cần
có phương pháp phù hợp với từng đối tượng học sinh. Vì thực tế dạy toán là dạy
hoạt động toán học cho học sinh, trong đó giải toán là hình thức chủ yếu. Do
vậy, ngay từ khâu phân tích đề, định hướng cách giải cần gợi mở, hướng dẫn
cho các em cách suy nghĩ, cách giải quyết vấn đề đang đặt ra, nhằm từng bước
nâng cao ý thức suy nghĩ độc lập, sáng tạo của các em.
Điều cuối cùng là làm thế nào để học sinh cảm thấy hứng thú và say mê
khi học môn toán? Thiết nghĩ đây không phải nỗi ưu tư của riêng tôi, ưu tư này
cũng chính là mong ước của nhiều đồng nghiệp và học sinh. Giải quyết những
ưu tư này đòi hỏi nơi giáo viên không chỉ lòng nhiệt tình với nghề, với bộ môn
mà còn phải có nghệ thuật ứng xử, có phương pháp giảng dạy tốt và trên hết là
sự cảm thông, thấu hiểu từng hoàn cảnh của học sinh. Đây cũng chính là động
lực thôi thúc người thầy ngày càng vươn lên, vững vàng hơn trên bục giảng .

24
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Báo Toán học tuổi trẻ - Nhà xuất bản giáo dục
2. Phương pháp giải phương trình, bất phương trình Tác giả: Nguyễn văn
Mậu

3. Sách giáo viên, Sách giáo khoa và Sách bài tập Đại số, Giải tích lớp 10, 11,
12 theo chương trình chuẩn và chương trình nâng cao của nhà xuất bản
Giáo Dục (Sách chỉnh lí năm 2000)
4. Tuyển tập đề thi Olympic 30 – 4 lần thứ 7, 8, 9, 10, 11 của Nhà xuất bản
Giáo dục.
5. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi các tỉnh từ năm 2009 đến 2012