Sử dụng kĩ năng nhân liên hợp để giải phương trình vô tỉ

www.k2pi.net

1
SỬ DỤNG KỸ NĂNG NHÂN LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Nguyễn Văn Cƣờng Gv THPT Mỹ Đức A-HN:0433741526- 0127.23.34.598

Trong đề thi đại học khối B năm 2010 có câu giải phương trình vô tỷ,câu này gây nhiều khó khăn cho
học sinh khi làm bài thi.Để giúp học sinh nắm vững cách làm dạng phương trình trên,bài viết này tôi xin
trình bày kỹ năng biến đổi sử dụng biểu thức liên hợp trong giải phương trình vô tỷ . Hy vọng rằng sẽ
giúp ích cho các em làm tốt các dạng bài trên .
Cơ sở lý thuyết :

Xét phương trình f(x) = 0 ( f(x) là đa thức).Nếu phương trình có một nghiệm
x = x
0
khi đó ta có thể viết phương trình trên dạng : (x-x
0
)g(x) = 0 (Định lý Bơzu)
ab
ab
ab


(a,b>0 a

b);
33
33
22
3

ab
ab
a ab b




Ví Dụ 1 Giải phương trình
2
3 1 6 3 14 8 0x x x x      
(1) ( ĐHKB-2010)
Phân tích:
Ta tìm một số x (
1
6
3
x  
) sao cho 3x+1 và 6-x là một số chính phương thỏa mãn phương trình trên
.Rễ thấy x=5 thỏa (*).Vì vậy ta đưa phương trình trên về dạng (x-5)f(x)=0,nhưng định lý Bơzu chỉ đúng
đối với f(x) là đa thức ,vì vậy ta cần làm xuất nhân tử chung x-5 từ vế trái của phương trình bằng phương
pháp liên hợp. Muốn vậy tìm hai số a , b > 0 sao cho hệ phương trình sau có nghiệm x=5.
3 1 0 4
6 0 1
x a a
b x b

   




   



Lg: TXĐ
1
6
3
x  

(1)


2
3 5 5
( 3 1 4) (1 6 ) 3 14 5 0 ( 5)(3 1) 0
3 1 4 1 6
xx
x x x x x x
xx

              
   



5 0 5
11
(3 1) 0(*)
3 1 4 1 6

xx
x
xx
   



   

   


Ta thấy phương trình (*) vô nghiệm với
1
6
3
x  
.Vậy x=5 là nghiệm duy nhất .
Ví du 2:Giải phương trình :
2
2 1 3 1 0x x x    
( ĐHKD-06) (2)
Phân tích: Tương tự như trên ,ta thấy x=1 là một nghiệm của phương trình .
Lg: Đk
1
2
x 
.Viết lại phương trình như sau :
 
2

2( 1) 2
( 2 1 1) 3 2 0 ( 1)( 2) 0 1 2 0
2 1 1 2 1 1
1
2
2 0(*)
2 1 1
x
x x x x x x x
xx
x
x
x


               

   






  




Đặt t=

2 1 0x
, (*)
2
2 1 0 2 1 2 2t t t x          
.
Vậy nghiệm của phương trình là x=1,
22x 

Cách 2:Biến đổi
2
2 1 (2 1) 0x x x x     
,Đặt t =
2 1 0x
ta có x
2
- t
2
= x-t
Cách 3: biến đổi tương đương

Ví Dụ 3 Giải phương trình :
 
3 2 2 2 6x x x    
(3) (HVKTQS 2000)
www.k2pi.net

2
Phân tích :
Nhận thấy x=3 là một nghiệm của nghiệm của phương trình .Ta sẽ đưa (2) về dạng
(x-3)f(x)=0 như sau

Lg: Viết lại phương trình (2):
2(x-3) +
8( 3)
( 6 3 2) 0 2( 3) 0
6 3 2
x
x x x
xx

       
  

3
30
3
8
11 3 5
20
6 3 2 4
6 3 2
2
x
x
x
xx
x
xx









  





   




  



Ví Dụ 4 :Giải phưng trình
2
2
12
1
x x x
xx




(4)
Phân tích: Ta thấy phương trình có nghiệm x=
1
2
,ta phân tích như sau
Lg:
Đk
01x
,(3)
   
   
2 2 2
1 1 2 1 1 2 0x x x x x x x x x x x           

 
 
2
3 2 2
12
1 4 2 1
0 1 2 0
1 1 2 1 1 2
xx
x x x x x
x
x x x x x x x x x x


   
      


       


22
21
0(*)
1 1 2
1
2
x x x
x x x x x
x




   







Nhận thấy (*) vô nghiệm với
01x
.Vậy
1
2

x 
là nghiệm duy nhất .
Ví Dụ 5:Giải phương trình :
 
9 4 1 3 2 3x x x    
(5) (HSG k12 Hà Nội -2010)
Lg: Đk
2
3
x 
,Nhận thấy x=6 là một nghiệm của phương trình ,ta phân tích như sau
(5)
   
36( 6) 27( 6)
9 4 1 5 4 3 2 6 6
4 1 5 4 3 2
xx
x x x x
xx



           


   


6
36 27

( 6) 1 0
36 27
1 0(*)
4 1 5 4 3 2
4 1 5 4 3 2
x
x
xx
xx




     


  
   


   


Rễ thấy phương trình (*) vô nghiệm.
Cách khác :
3
(5) 9 3 9 4 1 3 2
4 1 3 2
x
x x x

xx


       

  


Bình phương hai vế ta cũng thu được x=6
Ví Dụ 6 Giải phương trình :
22
12 5 3 5x x x    
(6)
Phan tích: Để phương trình có nghiệm thì :
22
5
12 5 3 5 0
3
x x x x       

Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình .
Lg:
www.k2pi.net

3
 
 
22
22
22

22
44
(6) 12 4 3 6 5 3 3 2
12 4 5 3
22
2 3 0 2
12 4 5 3
xx
x x x x
xx
xx
xx
xx

           
   


      

   


(Dễ dàng chứng minh được :
22
2 2 5
3 0,
3
12 4 5 3
xx

x
xx

    
   
)
Ví Dụ 7. Giải phương trình :
23
3
11x x x   
(7)
Lg : Đk
3
2x 

Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình
 
 
 
 
2
23
3
23
22
3
3
3 3 9
3
1 2 3 2 5 3 1

25
1 2 1 4
x x x
x
x x x x
x
xx

  


          


   



Ta chứng minh :
 


2
2
33
2 2 2
3
33
1 1 2
1 2 1 4 1 1 3

xx
x x x

   
      
2
3
39
25
xx
x




Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3
Ví Dụ 8 Giải phương trình
2
2 4 2 5 1x x x x     
(8) (THTT)
Lg: Đk:
24x

(7)
2
33
( 2 1) ( 4 1) 2 5 3 ( 3)(2 1)
2 1 4 1
xx
x x x x x x

xx

             
   

3
11
2 1(*)
2 1 4 1
x
x
xx





  

   


Nhận xét
1
1
21x


;
1 1 1 1

2 1 2 2
4 1 2 1 2 1 4 1x x x
      
      

Lại có 2x+1
5
với mọi x thỏa
24x
.Vậy (*) vô nghiệm .(7) có nghiệm x=3.
Ví Dụ 9 Giải phương trình
33
22
33
2 1 2 2 1x x x x     
(9)
Phân tích :
VP
1 1 1VT x     
.Nhận thấy nếu 2x
2
= x+1 thì hai vế của pt bằng nhau gợi cho ta nghĩ đến việc phân
tích ra thừa số chung là 2x
2
-x – 1
Lg: (8)
33
22
33
( 2 1 2) ( 2 1) 0x x x x       

22
3
2 2 2 2 4 2 2
3 3 3 3 3
2 1 2 1
(2 1) (2 1)( 2) ( 2) 4 2 ( 1) ( 1)
x x x x
x x x x x x x x
   

         
=0
2
3
2 2 2 2 4 2 2
3 3 3 3 3
2 1 0
11
0(*)
(2 1) (2 1)( 2) ( 2) 4 2 ( 1) ( 1)
xx
x x x x x x x x

  






         


1
1;
2
(*)
xx
vn

   




(Chú ý có thể dùng phương pháp hàm số)
Ví Dụ 10 Giải phương trình :
3
24 12 6xx   
(10)
Lg: Đk:
12x 

(10)
3
2
3
3
33
( 24 3) ( 12 3) 0 0

12 3
( 24) 3 ( 24) 9
xx
xx
x
xx

         

   

www.k2pi.net

4
2
3
3
3
12 ( 24) 3 ( 24) 6 0(*)
x
x x x




      



Thay

3
6 24 12xx   
vào (*) ta có
2
3
3
( 24) 4 ( 24) 0 24; 88x x x x        

Thử lại ta thấy hai nghiệm này đều thỏa mãn (9).
Vậy nghiệm của (9) :x=2;x=-24;x=-88.
Nhận xét: Một số phương trình vô tỷ được giải nhờ vào sự quan sát tinh tế,lựa
chọn hợp lý biểu thức liên hợp trong mỗi phương trình.Ta xét ví dụ sau
VÍ Du 11 Giải phương trình
  
1 1 1 2 5x x x x     
(11)
Lg: Đk x
1
. Nhận xét rằng x=0 không là nghiệm của phương trình ,nhân cả hai
vế của phương trình trên với
1 1 0x  
ta có

   
1 2 5 1 1 1 2 5 1 1 2x x x x x x x x x              

Nhận xét:Qua lời giải trên cho thấy vai trò và tầm quan trọng của việc sử dụng
Nhân biểu thức liên hợp .Bạn hãy giải theo hướng khác để thấy được tầm quan
trọng của phương pháp này .
Ví Dụ 12 Giải phương trình :

22
2 3 5 2 3 5 3x x x x x     
(12)
Lg: Từ vế trái của phương trình dương,suy ra phương trình có nghiệm khi x >0
Nhân cả hai vế của phương trình với
22
2 3 5 2 3 5 0x x x x     

(12)



2 2 2 2
6 3 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2x x x x x x x x x x            
(*)
Lấy (*) cộng với (12) theo vế ta có
2
2 2 3 5 2 3 4x x x x     

Thử lại ta thấy x=4 là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví Dụ 13 Giải phương trình
2 3 2 6x x x   

Lg:Đk
3
2
x 
,pt tương đương
( 2 3 )( 2 3 )
2( 3)

23
x x x x
x
xx
   



31
2( 3) ( 3) 2 0
2 3 2 3
x
xx
x x x x


      

   

,
1
2
23xx


>0
Ví Dụ 14: Giải phương trình
2
9 20 2 3 10x x x   

LG: ĐK
10
3
x 
,pt
  
  
 
2 3 10 1 3 10 1
36
3 10 1
xx
xx
x
   
    


  
 
 
 
6( 3) 6
3 6 3 ( 6) 0
3 10 1 3 10 1
x
x x x x
xx




       

   


 
6
( 6)
3 10 1
x
x


=0(*)
Hoặc x=-3.Mặt khác x>-3 và
10
3
3
x   
phương trình (*) vô nghiệm
Ví dụ 15 Giải phương trình
2
3
2 11 21 3 4 4x x x   

Lg: pt tương đương
 
 

   
 
   
 
   
 
2
3
33
22
33
33
3 4 4 2 4 4 2 4 4 4
12( 3)
( 3)(2 5) ( 3)(2 5)
4 4 2 4 4 4 4 4 2 4 4 4
x x x
x
x x x x
x x x x
     

      
       

x=3 hoặc
 
3
2
12

2 5 0, 4 4
24
x t x
tt
    

.x>3 ,2x-5>1 ,
2
12
24tt
<1,cmtt x<3 ptvn
Ví dụ 16: Giải phương trình
2
64
2 4 2 2
4
x
xx
x

   


www.k2pi.net

5
Lg : Đk x

 
2;2

, Phương trình tương đương
2
2(3 2) 2(3 2)
2 4 2 2
4
xx
xx
x


  


x=3 hoặc
2 4 2 2xx  
=
2
4x 
     
4 2 2 2 2 4 0x x x x      

 
 
2 4 2(2 ) 4 2 0 2x x x x x        

Ví dụ 17 GPT: x-1+
2
1 2 2x x x    
(1)
+) ĐK: x


[-1;2]
2
(1) ( ) ( 2 2 ) (1 1) 0 ( 1) 0
2 2 1 1
0
11
1 0(2)
2 2 1 1
xx
PT x x x x x x
xx
x
x
xx
             
   





   

   


+) Giải (2):
11
( 1 2) (1 2 )

1 2 1 2
(2) ( 1) 0 ( 1) 0
( 2 2 )(1 1) ( 2 2 )(1 1)
11
1 2 1 2
( 1)[1 ] 0 1.Vay PT(1) có 2 nghiem x=0, x=1.
( 2 2 )(1 1)
xx
xx
xx
PT x x
x x x x
xx
xx
xx


    
   
       
       

   
     
   

Ví Dụ18:Tìm a để bất phương tình sau có nghiệm
 
3
32

3 1 1x x a x x    
(13)
Lg: Đk
1x 
;(13)
 
 
 
32
3
32
3
31
3 1 1
1
xx
a x x x x a
xx

       


Xét hàm số g(x) =
32
31xx
>0 , đồng biến trên


1; 

h(x) =
 
3
1xx
>0, đồng biến trên


1; 

suy ra hàm f(x) =
 
 
3
32
3 1 1x x x x   
đồng biến trên


1; 

nên f(x)
(1) 3f
.Vậy a
3
thì phương trình có nghiệm .