chuyên đề “20 cách chứng minh định lý py-ta-go”

( Word Reader - Unregistered )
www.word-reader.comEbooktoan.com
A- ĐẶT VẤN ĐỀ.
1. CƠ SỞ LÍ LUẬN.
Trong chương trình phổ thông, môn toán là môn chiếm nhiều thời gian về
số tiết dạy trên lớp. Được đưa ngay vào năm đầu tiên của cấp tiểu học,
nhưng đến năm cấp THCS mới đưa phần hình học vào chương trình. “
Hình học” có nghĩa là “ đạc điền”, “ đo đạc”, nhưng không phải người
học sinh nào cũng hiểu được như vậy. Giải được một bài toán hình học là
rất khó, hầu như ai cũng “ngại” học môn hình học.
Trong quá trình giảng dạy ở trường THCS tôi nhận thấy rằng người học
sinh muốn học tốt môn hình học thì ngoài kiến thức sẵn có và ý thức học
tập tốt cần phải xác định đúng đắn động cơ và phương pháp học tập tốt,
đắc biệt là kích thích được sự “ hứng thú” học bộ môn này.
2. CƠ SỞ THỰC TẾ.
Thực tế tháy rằng hầu như học sinh nào cũng trả lời rằng thích học đại số
hơn hình học, có em còn cho rằng rất ngại học môn này và còn cho rằng
rất không thích học.
Qua thực tế đó để kích thích sự hứng thú học bộ môn hình học, từ đó hiểu
sâu hơn bộ môn, tôi viết chuyên đề “ 20 cách chứng minh định lý
Py-ta-go”, một là giúp các em nắm chác hơn về một định lý hình học nổi
tiếng, hai là qua chuyên đề giúp các em ôn lại các cách suy luận một bài
toán hình học, ba là giúp học sinh thấy được sự phong phú của toán học.
Từ đó học sinh sẽ thấy hứng thú học môn hình học nói riêng và học môn
toán nói chung.
( Word Reader - Unregistered )
www.word-reader.comEbooktoan.com
B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
Pythagore sinh vào khoảng năm 580 TCN tại Samos-Hi lạp. Ông nghiên cứu
nhiều môn khoa học như Triết học, Khoa học tự nhiên, Âm nhạc và đặc biệt là
Toán học. Trong toán học ông đặc biệt thích thú với môn Hình học. Định lý

Pythagore có một vị trí đặc sắc trong Hình học và đời sống, không những nó có
( Word Reader - Unregistered )
www.word-reader.comEbooktoan.com
nhiu ng dng c th trong Toỏn hc, trong cỏc mụn khoa hc khỏc, trong thc
t m ngay vic khai thỏc cỏc bi toỏn xung quanh nh lý ny cng úng gúp
cho Toỏn hc núi chung nhiu kt qu quan trng.
Tuy nh lý mang tờn ụng , nhng trc ú 2 ngn nm ngi Trung Quc v
ngi n cng ó phỏt hin ra nú v ó ng dng vo vic o c, nht l
khi xõy ct cỏc lõu i, ỡnh chựa, miu mo. Thi ú, ngi ta chng minh nh
lý Pythagore bng cỏch ghộp hỡnh. n nay, ngi ta ó su tp c khong
367 cỏch chng minh. Trong chuyờn ny tụi xin a ra 20 cỏch chng minh
ch yu tp chung vo hai cỏch l ghộp hỡnh v suy lun toỏn hc, gii hn trong
chng trỡnh toỏn THCS.
20 cách chứng minh định lí Py-ta-go
A. GHẫP HèNH
Cách 1.
Xếp các tam giác vuông bằng nhau nh hình vẽ
Ta có: S
BCDE
= S
AMPN
+ 4.S
ABC
=> a
2
= ( c b )
2
+ 4. bc/2
<=> a
2

= c
2
2.bc + b
2
+ 2.bc
<=> a
2
= c
2
+ b
2
.
( Word Reader - Unregistered )
www.word-reader.comEbooktoan.com
C¸ch 2.
XÕp c¸c tam gi¸c vu«ng b»ng nhau nh h×nh vÏ
Ta cã: S
ADEF
= S
BCPQ
+ 4.S
ABC
=> ( b + c )
2
= a
2
+ 4. bc/2
<=> b
2
+ 2.bc + c

2
= a
2
+ 2.bc
<=> b
2
+ c
2
= a
2
C¸ch 3.
( Word Reader - Unregistered )
www.word-reader.comEbooktoan.com
XÕp c¸c tam gi¸c vu«ng b»ng nhau nh h×nh vÏ
Ta cã: S
BCPQ
= S
EFGH
+ 4.S
ABC
=> a
2
= ( c – b )
2
+ 4.bc/2 (1)
MÆt kh¸c: S
ADMN
= S
BCPQ
+ 4.S

ABC
=> S
BCPQ
= S
ADMN
– 4.S
ABC
<=> a
2
= ( b + c )
2
– 4.bc/2 (2)
Céng (1) vµ (2) ta ®îc: 2a
2
= ( c – b )
2
+ ( b + c )
2
= 2b
2
+ 2c
2
<=> a
2
= b
2
+ c
2
C¸ch 4.
( Word Reader - Unregistered )

www.word-reader.comEbooktoan.com
XÕp c¸c tam gi¸c vu«ng b»ng nhau nh h×nh vÏ
Ta cã: ABED lµ h×nh thang vu«ng, BCE lµ tam gi¸c vu«ng c©n.
S
ABED
= 2.S
ABC
+ S
BCE
=>
<=> ( b + c)
2
= 2.bc + a
2
<=> b
2
+ 2.bc + c
2
= a
2
+ 2.bc
<=> b
2
+ c
2
= a
2
C¸ch 5.
( Word Reader - Unregistered )
www.word-reader.comEbooktoan.com

XÕp c¸c tam gi¸c vu«ng b»ng tam gi¸c ABC nh h×nh vÏ
=> BDEF lµ h×nh thang
=> S
BDEF
= 1/2.( 2b + 2c ). ( b + c ) = ( b + c )
2
(1)
S
ECF
+ S
BCD
+ S
ECD
+ S
BCF
= = 2bc + a
2
(2)
Tõ (1) vµ (2) => ( b + c )
2
= 2bc + a
2
<=> b
2
+ c
2
= a
2
B. Dùng h×nh-suy luËn
( Word Reader - Unregistered )

www.word-reader.comEbooktoan.com
C¸ch 6.
KÎ AH vu«ng gãc víi BC.
Ta cã c¸c tam gi¸c vu«ng ABC, HAC, HBA ®ång d¹ng
=> AB
2
= BC.BH Vµ AC
2
= BC.HC
=> AB
2
+ AC
2
= BC.( BH + HC ) = BC
2
C¸ch 7.
Dùng h×nh vu«ng BCDE. KÎ AH vu«ng gãc víi BC, c¾t DE t¹i F.
( Word Reader - Unregistered )
www.word-reader.comEbooktoan.com
Theo hệ thức lợng trong tam giác vuông ta có:
c
2
= a.x
b
2
= ( a x ).x
Mặt khác: S
BHFE
= BH.BE = x.a = c
2

S
CDFH
= CH.CD = ( a x ).a = b
2
=> S
BHFE
+ S
CDFH
= c
2
+ b
2
<=> S
BCDE
= c
2
+ b
2
<=> a
2
= c
2
+ b
2
Cách 8.
Qua B dung đờng thẳng vuôn góc với BC
cắt AC ở C
Dựng các hình bình hành ABCB, BCCA
=> ABC = ABC
S

ABC
+ S
ABC
= S
BCC
= S
BCA
<=> AB.AC + AB.AC = BC.CA (*)
Ta có: AC =
Và CAB ~ ABC => CA.CA = BA.BC
=> CA =
Thay vào (*) đợc:
( Word Reader - Unregistered )
www.word-reader.comEbooktoan.com
AB.AC + AB. = BC.
<=> AC + =
<=> AC
2
+ AB
2
= BC
2
Cách 9.
Vẽ đờng tròn ( B; a ). Gọi DE là đờng kính qua B.
Ta có : AE = a c ; BD = BC = a; AD = a + c
Tam giác CDE vuông ở C => AC
2
= AD.AE
<=> b
2

= ( a + c ).( a c )
<=> b
2
= a
2
c
2
<=> b
2
+ c
2
= a
2
( Word Reader - Unregistered )
www.word-reader.comEbooktoan.com
C¸ch 10.
KÎ ®êng th¼ng qua B vu«ng gãc víi BC c¾t AC ë D.
Ta cã: S
ABD
+ S
ABC
= S
BDC
AB.AD + AB.AC = BD.BC ( * )
Do AB
2
= AD.AC => AD = AB
2
/AC
ABD vµ BDC ®ång d¹ng => AB.DC = BD.BC => BD = AB.DC/BC

Thay vµo (*) ta ®îc: AB. (AB
2
/AC) + AB.AC = BC. (AB.DC/BC)
<=> AB
2
/AC + AC = DC
<=> AB
2
+ AC
2
= DC.AC = BC
2
C¸ch 11.
( Word Reader - Unregistered )
www.word-reader.comEbooktoan.com
Dùng tam gi¸c EDF = tam gi¸c ABC ( h×nh vÏ )
Ta cã: CAF ~ DEF =>
=> BF = BA + AF = c +
S
BDF
=
<=> a.a = c.( c + )
<=> a
2
= c
2
+ b
2
C¸ch 12.
Trªn BC lÊy D, E sao cho: CD = CE = CA = b

=> ADE vu«ng ë A ( v× cã AC = DE/2, CD = CE )
Ta cã: BAD ~ BEA ( g.g )
(V× cã gãc B chung, vµ gãc BAD = gãc EAC = E)
( Word Reader - Unregistered )
www.word-reader.comEbooktoan.com
C¸ch 13.
VÏ ®êng trßn (C;b) c¾t BC ë D, E
VÏ ®êng trßn (B;c) c¾t BC ë G, F
Ta cã: BA lµ tiÕp tuyÕn, BDE lµ c¸t tuyÕn víi ®êng trßn (C)
=> BA
2
= BD.BE
<=> c
2
= ( a – b ).( a + b ) = a
2
– b
2
<=> c
2
+ b
2
= a
2
( Word Reader - Unregistered )
www.word-reader.comEbooktoan.com
C¸ch 14.
Gäi (I;r) lµ ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC tiÕp xóc víi c¸c canh AB, BC,
CA t¹i D, E, F.
DÔ c/m ADIF lµ h×nh vu«ng => AD = AF = r

Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: BD = BE = c – r
CE = CF = b – r
=> BC = a = c – r + b – r = c + b – 2r
=> 2r = b + c – a => r = p – a ( p lµ nöa chu vi tam gi¸c ABC )
=> S
ABC
= p.r = p.(p – a)
MÆt kh¸c: S
ABC
= 1/2.b.c
=> p.(p – a ) = 1/2.bc
<=>
<=> ( b + c )
2
– a
2
= 2bc
( Word Reader - Unregistered )
www.word-reader.comEbooktoan.com
<=> b
2
+ c
2
= a
2
C¸ch 15.
Trªn AC lÊy F sao cho CF = CB
Gäi D, E lµ trung ®iÓm cña BF, AF => CD BF, DE AF
BFA ~ CD2E ( g.g)
=>

Ta cã: AF = CF – AC = CB – CA
CE = CA + AE = AC + AF/2 = AC +
DE = AB/2 ( t/c ®êng trung b×nh )
( Word Reader - Unregistered )
www.word-reader.comEbooktoan.com
Thay vµo (*) ta ®îc:
C¸ch 16.
( Word Reader - Unregistered )
www.word-reader.comEbooktoan.com
Vẽ đờng tròn ( A; b ) cắt AB ở D; H, cắt BC ở E.
Kẻ AL EC
Có: BD.BH = BE.BC ú ( c b ).(c + b ) = a.( a 2 CL ) (*)
Mà AC
2
= CL.CB => CL = AC
2
/BC = b
2
/a. Thay vào (*) đợc:
c
2
b
2
= a.( a 2.b
2
/a ) = a
2
2b
2
<=> c

2
+ b
2
= a
2
Cách 17.
Dựng tam giác vuông AEK = tam giác ABC nh hình vẽ.
Dựng hình bình hành BKEF => BK = EF = c b; BF = EK = a
Và S
BKEF
= BK.AE = c.( c b )
Ta có:
S
BCEF
= S
ABC
+ S
AKE
+ S
BKEF
= b.c + c.( c b ) (1)
Mặt khác: S
BCEF
= S
BCF
+ S
CEF
= a
2
/2 + (c b ).( c + b ) /2 (2)

( Word Reader - Unregistered )
www.word-reader.comEbooktoan.com
Từ (1) và (2) => b.c + c.( c b ) = a
2
/2 + (c b ).( c + b ) /2
<=> b.c + c
2
b.c =
<=> 2.c
2
= a
2
+ c
2
b
2
<=> c
2
+ b
2
= a
2
Cách 18.
Dựng các hình vuông ABNP; ACMQ
ABC = APQ ( c.g.c) => PQ = BC = a
Gọi M là trung điểm BC; MA cắt PQ ở R
Dễ c/m MA PQ tại R
Do khoảng cách từ M đến AP = AB/2 = c/2
=> S
AMP

= 1/2.c.c/2 = c
2
/4
( Word Reader - Unregistered )
www.word-reader.comEbooktoan.com
MÆt kh¸c: S
AMP
= 1/2.AM.PR = PR.a/4
T¬ng tù: S
AMQ
= b
2
/4 vµ S
AMQ
= QR.a/4
=>
C¸ch 19.
Dùng c¸c h×nh vu«ng ABGF, ACDE, BCIJ.
Dùng tam gi¸c vu«ng KIJ = tam gi¸c vu«ng ABC ( h×nh vÏ )
DÔ c/m G, A, D th¼ng hµng vµ GA lµ ph©n gi¸c gãc G
A, O, K th¼ng hµng vµ AK lµ ph©n gi¸c gãc A
C¸c h×nh ABIK, ACJK, BGDC, FGDE cã diÖn tÝch b»ng nhau (1)
Ta cã: S
ABC
= S
KJI
= S
AFE
= S (2)
( Word Reader - Unregistered )

www.word-reader.comEbooktoan.com
Tõ (1) vµ (2) => S
ABIK
+ S
ACJK
= S
BGDC
+ S
FGDE
<=> S
BCJI
+ 2.S = S
ABGF
+ S
ACDE
+ 2.S
<=> BC
2
= AB
2
+ AC
2
C¸ch 20.
Dùng c¸c h×nh vu«ng ABKH, ACFG, BCKD
=> CBF = CKA ( c.g.c)
( Word Reader - Unregistered )
www.word-reader.comEbooktoan.com
KÎ AM vu«ng gãc víi BC c¾t DK t¹i L
Ta cã: S
CBF

= 1/2. S
ACFG
( chung c¹nh CF vµ chung ®êng cao)
S
CKA
= 1/2. S
CKLM
( chung c¹nh CK vµ chung ®êng cao )
=> S
CKLM
= S
ACFG
(1)
T¬ng tù: S
ABKH
= S
BDLM
(2)
Tõ (1) vµ (2) => S
ACFG
+ S
ABKH
= S
CKLM
+ S
BDLM
= S
BCKD
<=> AC
2

+ AB
2
= BC
2
.
C- KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.
Trên đây là 20 cách chứng minh định lý Py-ta-go, ngoài ra còn nhiều cách
khác mong các đồng nghiệp bổ sung để chuyên đề được phong phú hơn nữa.
- Phạm vi chuyên đề được áp dụng cho tất cả các đối tượng học sinh từ
khối lớp 7 – 9, các em có thể nghiên cứu và tìm thêm các cách chứng minh
khác.
- Ngoài ra các đồng nghiệp cũng có thể nghiên cứu và bổ sung thêm cho
chuyên đề được hoàn chỉnh hơn.
· Kiến nghị:
- Phòng giáo dục cần thường xuyên tổ chức viết chuyên đề trong toàn
huyện để kích thích phong trào dạy học trong tất cả giáo viên bộ môn.
- Trường sở tại cần tạo điều kiện để giáo viên ai cũng viết chuyên đề, và
cũng cần phải triển khai tất cả các chuyên đề đến học sinh.
( Word Reader - Unregistered )
www.word-reader.comEbooktoan.com
www.VNMATH.com