GIẢI BÀI TẬP TRẮC ĐỊA ĐẠI CƯƠNG

TR
ẮC ĐỊA


1

0
y
Kinh tuyến
biên
Kinh tuyến
cát tuyến
Kinh tuyến gốc








1-Tọa độ vuông góc Gauss-Ksuger & U.T.M:
- Công thức:
00
0
36 −×= n
n
λ
(Gauss)

00

0
36)30( −×−= n
n
λ
(U.T.M) (Đ-T)
- n = 31(G-K)
⇔
n = 1(U.T.M) (từ 180
0

→
174
0
T).
- Khoảng cách giữa 2 kinh tuyến trục là 500km(cho 2 muối chiếu).

Kinh tuyến trục Kinh tuyến cát tuyến Kinh tuyến biên
Gauss
1
=
k

1
>
k

U.T.M
)3(99996,0)6(9996,0
00
−=k

1
=
k

1
>
k









- Tỉ lệ bản đồ:
=
M
1
Độ dài trên bản đồ / Độ dài nằm ngang(không phải độ dài thật) trên mặt đất.
- Đơn vò:
26242
10101 mmcmm ==
,
210262
10101 cmmkm ==

1 mẫu = 10 công = 10.000m

2
(Nam) , 1 sào = 360m
2
(Bắc)
1
grat
= 100 ø= 10.000 ø ø (
)360400
0
≈≤ grat


π
ρ
2
360
1
0
==
radian
,
02062836003,578343603,578157357
000
′′
=×=
′
=×=
′
==
ρ

- Nguyên tắc làm tròn theo p
2
Gauss:
62,0625,0
≈
=
A
,
64,0635,0
≈
=
B
(làm tròn theo số chẵn(2,4,6,8)
khi số cuối cùng là 5).
- Độ dẹt của quả đất:
a
ba
−
=
α

2-Bản đồ đòa hình:
a-Đòa vật:
- Dựa vào 1 trong 3 yếu tố: Hình dáng, màu sắc, đặc tính.
- Dựa vào 1 trong 3 p
2
: + Tỉ lệ: cho biết vò trí, kích thước, hình dáng.
+ Phi tỉ lệ: chỉ cho biết vò trí công trình bằng cách dùng các kí hiệu.
+ Bán tỉ lệ: VD như cho biết chiều dài 1 con đường mà không cho biết chiều

rộng con đường.
b-Dáng đất:
Được thể hiện bằng đường đồng mức (hay gọi là đường bình độ hay đường đẳng cao).
- Đường đồng mức: Là của những mặt thủy chuẩn quy ước (// với mặt thủy chuẩn gốc) với mặt đất tự
nhiên.
- h: Là khoảng cao đều, là độ chênh cao giữa 2 đường đồng mức kế tiếp nhau.
λ
ϕ
O
A
Vó độ gốc
G
1 (Gauss)
Tây
Đông
0
1 (U.T.M)
Đông
Tây
y
TR
ẮC ĐỊA


2

- Độ cao giữa 2 đường đồng mức = h .n (số nguyên và là bội số).
- Đường đồng mức phải khép kín và liên tục.
- Đường đồng mức có cùng đô cao, nhưng 2 điểm có cùng độ cao thì chưa phải là cùng đường đồng mức.
- Hướng vuông góc với đường đồng mức là hướng có độ dốc lớn nhất.

- Đường đồng mức không bao giờ cắt nhau, mà chỉ có thể có TH chồng lên nhau(đường phía dưới vẽ nét
đứt) ở vò trí chồng nhau.
- Nếu hình dáng của đường đồng mức giống nhau thì căn cứ vào độ cao đường đồng mức để phân biệt là
đồi hay trũng và dùng kí hiệu nét chỉ dốc.



- Bình đồ: thể hiện cho khu vực nhỏ.
- Bản đồ: thể hiện độ cong quả đất và dùng cho khu vực lớn.
- Mắt chỉ phân biệt được 2 điểm
≥
0,1
mm
.

SAI SỐ
1. Sai số hệ thống:

nn
Xl
Xl
Xl
∆=−
∆=−
∆
=
−

22
11

→

[
]
0lim

lim
21
=
∆
=
∆++∆+∆
=
+∞→+∞→
n
n
n
n
n

2. Sai số trung bình cộng:


[
]
n
∆
±=
θ

3. Sai số trung phương:
Là sai số có độ chính xác cao, cũng là sai số tuyệt đối.

n
m
m
][
2
±=

4. Sai số trung phương tương đối:

S
m
T
=
1
(để ở dạng phân số)
- Dùng khi độ lớn sai số phụ thuộc độ lớn đại lượng đo.
- Áp dụng cho đo cạnh hay đo chiều dài.
- Sai số tương đối: là tỷ số sai số tuyệt đối / kết quả đo.
- Sai số tuyệt đối: là sai số có kèm theo đơn vò đo.
5. Sai số giới hạn:

Tùy theo yêu cầu về độ chính xác trong tính toán mà dùng 2.m hay 3.m

m×=∆ 2
lim
hoặc

m
×
3
(m là sai số trung phương)
6. Sai số trung phương của hàm các trò đo:
- Dùng trong đo gián tiếp.
- Sử dụng công thức khi các trò đo độc lập(như đo 3 cạnh để xác đònh thể tích hình vuông).
- Công thức:

222222
.)( )(.)(
tyxu
m
t
u
m
y
u
m
x
u
m
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂

±=

VD: Đo
cbaV
×
×
=


→

cbaV
mbamacmcbm .).(.).(.).(
222
++±=

7. Số trung bình cộng:

n
lll
X
n
+
+
+
=

21

Số trung bình cộng:

n
m
n
m
m
X
±=±=
2
(điều kiện là phải cùng điều kiện đo)
Chú ý: - Đo cùng điều kiện: + Cùng 1 người đo.
+ Cùng 1 dụng cụ.
Đồi
Trũng
TR
ẮC ĐỊA


3

+ Cùng 1 điều kiện ngoại cảnh.
- Vì
mmnn
X
<→>→≥ 12
.
8. Công thức Bessel:

Dùng trong đo gián tiếp.

Xlv

Xlv
Xlv
nn
−=
−=
−=

22
11
, với:
[
]
n
l
X =

→

[
]
[
]
0. =−==
∑
Xnlvv
i

- Sai số trung phương của mỗi lần đo:
1
][

2
−
±=
n
v
m

- Sai số trung phương của trò trung bình cộng:
n
m
nn
v
m
X
=
−
±=
)1.(
][
2

- Chú ý: Đo góc thì dùng công thức sai số tuyệt đối.

DỤNG CỤ - CÁC PP ĐO
1. Bàn(vành) độ ngang:
(
Máy quang học)
 Bàn độ ngang:
 Là vành tròn có khắc vạch theo chiều KĐH.
 Đơn vị: grad

 Độ chính xác:
 Cơng thức:
n
l
t =


l
- Giá trị khoảng chia trên bàn độ.

n
- Số khoảng chia trên thang phụ.
 Nếu kim chỉ nằm trung gian giữa 2 vạch(thang phụ) thì phần lẻ đọc theo bội số của
51
′
′
.Cũng có thể
ước lượng = 1/10 hoặc 1/4 khoảng chia, tức
6
′
.
 Lấy vạch 0 thang phụ vạch chuẩn làm vạch đọc số.
 Khi quay ống kính: vạch chuẩn di chuyển – vành độ đứng n.

2. Ống thăng bằng:
 Ống thăng bằng dài: tiếp tuyến với điểm chuẩn cung tròn.
 Đưa 1 đường thẳng hay mp về vị trí thẳng đứng hay nằm ngang.
 Trục ống thăng bằng dài tiếp tuyến với điểm chuẩn của cung tròn.
 Khi điểm giữa bọt nước trùng điểm chuẩn
→
trục.
 Hai vạch khắc cách nhau 2mm, trừ 2 vạch đầu tiên để xác định bọt thủy.

τ
- Giá trị khoảng chia của ống thăng bằng dài(độ nhạy) và tương ứng với góc ở tâm:

ρτ
′′
×=
mm
mm
R
2


5206268343)(1
′
′
=
′
=
=
′

′
rad
ρ

 Ống thăng bằng tròn: dạng chỏm cầu.
 Độ nghiêng trục thăng bằng là sự di chuyển của bọt nước.
 Đường bán kính qua điểm chuẩn gọi là trục ống thăng bằng.
 Thuận kính: vị trí bàn độ đứng nằm bên trái ống kính.
 Đảo kính: vị trí bàn độ đứng bên phải ống kính.
3. Bàn độ đứng:
 Ống kính xoay thì vành độ đứng xoay, vạch chuẩn
đọc số đứng n.
TR
ẮC ĐỊA


4

 Vạch chuẩn lệch: sai số vạch chuẩn được thể hiện bằng
số đọc ban đầu: MO
 Ghi số liên tục: tăng theo chiều KĐH.
 Ghi số đối xứng: 2 vạch 0
0
và 90
0
đối xứng
qua tâm.
 Sai số vạch chuẩn: số đọc ban đầu MO
để tính góc V chính xác.
 MO: là số đọc được trên bàn độ đứng khi bàn độ

nằm ngang:

MOTrV
+−= )360(
0
(1)
 Khi đảo kính:
MOphV
−
=
(2)
(1) + (2)
⇒

2
360
0
+−
=
trph
V

 Khi đối xứng qua tâm:
2
trph
V
+
=

 Vậy:

2
360
0
±+
=
trph
MO
: dấu + khi
0
360<+ trph
và ngược lại.
 Máy đối xứng qua tâm:
2
phtr
MO
−
=

 Máy ghi theo chiều KĐH, còn đọc thì theo chiều ngược lại.
4. P
2
đo góc bằng: Là góc phẳng nhị diện tạo bởi 2 mp thẳng đứng chứa 2 tia ngắm(
00
3600 →
).
a. Đo đơn giản:
 Đặt máy(ở chế độ thuận kính)
O
≡
.

 Đo ½ thuận:
111
ab −=
β

 Đo
1
a

 Quay kính theo chiều KĐH theo phương ngang đến đo
1
b
.
 Đo ½ đảo:
222
ab
−
=
β
(nếu
22
ab
≥
)

0
222
360+−= ab
β
(nếu

22
ab
<
)
 Quay kính theo phương đứng góc 180
0
(đảo kính).Sau đó quay theo chiều KĐH theo phương ngang
đến đo
2
b
.
 Quay kính theo chiều KĐH theo phương ngang đến đo
2
a
.
 Điều kiện:
t.2
21
±
≤
−
β
β
,
mmt 1,0
=

 Vậy:
)(
2

1
21
βββ
+=

 Đo thuận và đảo kính rồi lấy trung bình cộng nhằm loại trừ SS trục ngắm 2C:
0
1802 ±−= phtrC

Dấu + khi tr < 180
0
.
b. Đo toàn vòng:
 Đặt máy(ở chế độ thuận kính)
O
≡
.
 Đo ½ thuận kính: Chọn hướng ngắm xa nhất(hướng A) làm chuẩn.
 Đo A (
000
0
1
′′′
=a
): Khóa bàn độ ngang để ngắm A , điều chỉnh nút đen to dưới nhất và vặn sao cho
000
0
1
′′′
=a

.
 Mở khóa CĐ ngang , quay ống kính theo chiều KĐH và lần lượt ngắm tiếp B(
1
b
) , C(
1
c
) , D(
1
d
) ,
A(
1
a
′
).
 Điều kiện:
taa ±≤
′
−
11
(là giá trị vạch chia nhỏ nhất trên bàn độ).
 Đo ½ đảo kính:
 Đảo kính và quay kính theo chiều ngược KĐH và ngắm lại A(
2
a
) , D(
2
d
) , C(

2
c
) , B(
2
b
) , A(
2
a
′
) .
 Điều kiện:

t
dd
cc
bb
aa
.2180
0
12
12
12
12
±±≤








−
−
−
−

TR
ẮC ĐỊA


5

0
α
1
β
2
β
3
β
121
α
α
=
0
α
121
αα
=
1

β
2
β
3
β
Chú ý: Góc đứng(V) của 1 tia ngắm(MO) trong không gian là góc nhọn tạo bởi giữa nửa đường thẳng
MO với mp nằm ngang.Giá trị
00
900 ±→
.
5. Định hướng đường thẳng:
a. Góc phương vị(Azumits):
 Góc phương vị là 1 góc bằng được tính từ hướng Bắc kinh tuyến đến hướng đường thẳng theo chiều
KĐH và có giá trị từ
00
3600 →
.

δ
±=
m
AA

Dấu (+) khi độ lệch từ Đông, (-) khi độ lệch từ Tây.

0
180±
′
= AA

Dấu (+) khi
0
180≤
′
A
, (-) khi
0
180>
′
A
.
A (A
th
) - là góc phương vị thực.
A
m
(A
từ
) - là góc phương vị từ.
 Góc phương vị thực là 1 góc bằng được tính từ hướng Bắc kinh tuyến thực đến hướng đường thẳng theo
chiều KĐH và có giá trị từ
00
3600 →
.
 Góc phương vị từ được định nghĩa như góc phương vị thực, nhưng lấy hướng gốc là hướng Bắc kinh
tuyến từ và được đo bằng máy kinh vĩ có gắn la bàn.
b. Góc định hướng
: (
α
) – Chỉ đo được qua gián tiếp.

 Là góc bằng được tính từ hướng Bắc kinh tuyến trục(trên mặt chiếu) đến hướng đường thẳng theo chiều
KĐH và có giá trị từ
00
3600 →
.

γ
α
±
=
A

Dấu (+) khi kinh tuyến trục nằm về phía Đông, (-) khi phía Tây.
A là góc phương vị thực.
Bài toán 1:
Ta có:

0
1
1
180×−+=
∑
=
−
i
i
k
kii
βαα

→
(Góc
i
β
nằm phía trái)
Bài toán 2:
Ta có:

0
1
1
180×+−=
∑
=
−
i
i
k
kii
βαα
→
(Góc
i
β
nằm phía phải)


LƯỚI KHỐNG CHẾ TRẮC ĐỊA
1.Khái niệm:

- Là cơ sở để thống nhất tọa độ của một quốc gia.
- Đo vẽ địa hình và xây dựng công trình.
2.Đường chuyền kinh vĩ:

 Độ dài cạnh S
i
(m):
mSm
i
35020
<
<

(
2
1
≤
+i
i
S
S
hoặc
2
1
≤
+
i
i
S
S

)
 Sai số khép góc
β
f
:
nf
.06
′′
±≤
β
(
n
.04
′′
±≤
trong xây dựng một số công trình)
n
: Số góc khép trong đường chuyền.
 Sai số đo cạnh
S
S
∆
:
1000
1
≤
∆
S
S
(dốc) và

2000
1
≤
∆
S
S
(bằng)
 Sai số khép tương đối của đường chuyền
][S
f
K
S
=
:
1000
1
][
≤
S
f
S
(dốc) và
2000
1
][
≤
S
f
S
(bằng)

[S]: Tổng độ dài các cạnh
a.Chọn và đánh dấu đường chuyền: phải thấy điểm trước và điểm sau của nó.
b.Đo góc và cạnh đường chuyền:
b1.Đo góc:
- Dùng p
2
đo đơn giản để đo góc ngoặc của đường chuyền bằng 1 lần đo và sử dụng máy kinh vĩ kỹ
thuật.
- Đo n góc ngoặc(nếu là đường chuyền khép kín có n cạnh) và đo thêm 1 góc
α
→
Vậy phải đo n+1
góc.
TR
ẮC ĐỊA


6

- Đường chuyền phù hợp thì cũng đo n+1 góc.
b2.Đo góc: Sử dụng dụng cụ thước thép(khơng dùng máy kinh vĩ) hoặc các p
2
khác tương đương.Vậy
trong đường chuyền kinh vĩ ta đo 2n+1 lần: gồm đo n+1 góc và đo n cạnh.
c.Bình sai -Tính tọa độ đường chuyền: Mục đích tìm ra trị trung bình đo.
VD1: Nếu đo góc B, C và cạnh BC thì ta nên đo thêm góc A(gọi là đại lượng đo thừa) để kiểm tra việc
đo góc B bị sai.

β
fCBA =−++

0
180
(Sai số khép)

0180)()()(
0
=−+++++⇒
CBA
VCVBVA


0
=
+
+
+
⇒
β
fVVV
CBA
(gọi là phương trình số hiệu chỉnh sinh ra do điều kiện hình của

ABC
∆
)

β
fVVV
CBA
.

3
1
−===⇒
(điều kiện đặt ra)
(Trị đo – Trị thật = Sai số khép)

CBA
VVV ,,
: Số hiệu chỉnh

AVA
A
′
=
+
(gọi là trị bình sai)
Có bao nhiêu đại lượng đo thừa thì có bấy nhiêu phương trình số hiệu chỉnh.
VD2: Số đại lượng đo thừa của hình bên
3)1.(2)12(
=
−
−
+
=
=
nnr
→
Số ẩn số
)1(
−

n
là tọa độ X,Y của 4
điểm B,C,D,E.
VD3: Đo phù hợp
→
Có A,B,C,D đã biết và các điểm còn lại chưa biết.
VD4: Trở lại VD1: Ta có 3 ẩn số gồm: 1 điều kiện hình và 2 điều kiện tọa độ.
Giải:
- B1: Vẽ sơ đồ lưới:
- B2:
0
180).2(][ −−= nf
β
β
(với
][
β
khơng tính đến góc
N
A
nếu lưới độc lập và khơng tính đến góc
ϕ

nếu là góc phụ thuộc)
Chú ý: Trước khi đo cạnh thì phải kiểm tra tính tốn.
- B3: Tính:
ββ
f
n
V .

1
−=
,
β
ββ
V
ii
+=
′

- B4: Tính:
0
1
180m
′
±=
− iii
βαα

- B5: Tính số gia tọa độ:



=∆
=∆
iii
iii
Sy
Sx
α

α
sin.
cos.


S
f
: Sai số do đo cạnh sinh ra

TRẮC NGHIỆM
 Hệ tọa độ VN2000 sử dụng phép chiếu UTM , Ellipsoid WGS-84 và gốc đặt tại Viện nghiêng cứu Đòa
chính Hà Nội.
 Kinh độ đòa lý của 1 điểm là góc nhò diện tạo bởi mp kinh tyuến đi qua điểm đó và mp kinh tuyến
gốc(
00
1800 →
(Đ,T)).
 Hình dạng chính xác của mặt geoid là mặt:
+ Gần giống mặt Ellipsoid.
+ Không phải là mp hay mặt cầu.
 Mặt Geoid là mặt nước biển TB yên tónh (không phải là mặt đẳng cao) và dùng làm cơ sở để tính độ cao
tuyệt đối trong trắc đòa.
 Để x/đ vò trí mặt bằng của các điểm trên mặt đất tự nhiên thì dựa vào:
+ Mặt ellipsoid Trái đất.
+ Mặt Geoid.
+ Mặt phẳng tọa độ.
 Trong phép chiếu Gauss-Kruger thì: góc không bò biến dạng, chiều dài biến dạng.
 Hệ tọa độ Gauss-Kruger là hệ tọa độ vuông góc và 2 chiều(không là hệ tọa độ trắc đòa và đòa lí).
 Hệ tọa độ quy ước là:
+ Hệ tọa độ Gauss-Kruger.

+ Hệ tọa độ trắc đòa.
+ Hệ tọa độ Gauss-Kruger nhưng dời trục X về hướng Đông.
TR
ẮC ĐỊA


7

 Độ lớn của 1 góc sẽ không thay đổi qua phép chiếu: Gauss - UTM - Mecator - Gauss và UTM đều sai.
 Vó độ của 1 điểm là góc tạo bởi phương dây dội qua điểm đóvới mp xích đạo.
 Tổng 3 góc đo được trong 1
∆
trừ đi 180
0
thuộc về:
+ SS thực.
+ SS trung phương.
+ SS hệ thống.
+ SS gần đúng.
 Để x/đ độ chính xác đo góc, ta thường dùng SS trung phương tương đối.
 Khi trục thủy bình dài không
⊥
với trục quay của máy KV, chúng ta không thể:
+ Cân bằng máy chính xác.
+ Đònh tâm máy chính xác.
+ Bắt mục tiêu chính xác.
+ Đọc số chính xác.
 Để giảm ảnh hưởng của SS hệ thống thì phải:
+ Chọn pp đo thích hợp.
+ Kiểm nghiệm dụng cụ đo rồi hiệu chỉnh vào kết quả đo.

+ Đo nhiều lần rồi lấy TB các kết quả đo.
 Để phát hiện và loại trừ SS hệ thống thì:
+ Kiểm nghiệm và điều chỉnh dụng cụ đo.
+ Dùng pp đo thích hợp.
+ Đo nhiều lần.
+ Kết hợp cả 3 cách trên.
 Khi đo góc bằng, đo thuận kính và đảo kính rồi lấy TB là nhằm loại trừ SS 2C.
 Khi đo góc ngang(bằng) áp dụng thuận và đảo kính thì SS nào sẽ được loại trừ: SS trục ngắm(SS 2C).
 SS do sự dãn nở nhiệt trong thước thép thuộc về SS hệ thống.
 Loại SS nào có thể giảm thiểu hoặc loại trừ được khi tiến hành đo nhiều lần:
+ SS hệ thống.
+ SS ngẫu nhiên.
+ Sai lầm.
 Người ta thường dùng tiêu chuẩn nào để đánh giá độ chính xác kết quả đo:
+ SS trung phương.
+ SS trung bình.
+ SS xác suất.
+ SS giới hạn.
 Trong công tác bố trí mặt bằng, thường bố trí bằng 2 vò trí ống kính nhằm loại trừ:
+ SS MO.
+ SS trục ngắm 2C.
+ SS đọc số.
+ a và b đều đúng.
 Xét về mặt bản chất thì SS khép kín chính là:
+ SS trung phương.
+ SS trung phương.
+ SS xác suất.
+ SS thực.
 Khi trục ngắm của ống kính không
⊥

trục quay ống kính máy KV sẽ gây ra:
+ SS MO.
+ SS trục ngắm.
+ SS đọc số.
+ SS đònh tâm.
 Loại SS nào không thể được loại trừ trong kết quả đo: SS hệ thống - sai lầm - SS trung phương(?) - SS nào
đó khác với câu a đến c(?). (Chú ý: SSNN thì không loại trừ được; SS hệ thống và sai lầm thì loại trừ được).
 PP thường dùng để thể hiện dáng đất trên bản đồ đòa hình làđường đồng mức.
 Đặt máy KV tại O là:
+ Làm cho trục quay của máy đi qua O và thẳng đứng.
TR
ẮC ĐỊA


8

+ Làm cho trục quay của máy đi qua O và vành độ ngang nằm ngang.
 Đòa vật trên bản đồ đòa hình được biểu diễn bằng:
+ Ký hiệu theo tỷ lệ.
+ Ký hiệu nửa tỷ lệ.
+ Ký hiệu phi tỷ lệ.
 Bản đồ khác với bình đồ ở chỗ:
+ Chỉ thể hiện đòa vật mà không thể hiện đòa hình.
+ Có xét đến ảnh hưởng độ cong quả đất.
+ Bản đồ được lưu trữ ở dạng số.
+ Bản đồ chính xác hơn bình đồ.
 Góc phương vò từ của 1 đường thẳng là góc bằng hợp bởi hướng Bắc của kim nam châm với hướng đường
thẳng đó theo chiều KĐH.
 Trục ngắm của ống kính là đường thẳng nối giữa: giao điểm của dây chữ thập và quang tâm kính vật.
 Khi bọt nước của ống thăng bằng tròn ở giữa thì trục của ống thăng bằng tròn sẽ: thẳng đứng.

 Khi đo góc bằng, thường chọn mục tiêu ở xa là để giảm ảnh hưởng của: SS đònh tâm máy - SS đònh tâm
tiêu - SS bắt mục tiêu - Cả 3 đều đúng.
 Góc nhò diện hợp bởi 2 mp ngắm thẳng đứng là: góc đứng - góc bằng - góc thiên đỉnh - góc bằng và góc
thiên đỉnh.
 Góc đònh hướng dùng để xác đònh:
+ Hướng của đường thẳng trên mp.
+ Độ lệch của cạnh lưới khống chế.
+ Hướng của đường thẳng trong không gian.
+ Cả 3 đều sai.
 Các góc:
+ Phương vò từ đo trực tiếp.
+ Góc đònh hướng được đo gián tiếp.
+ Phương vò thực đo trực tiếp.
+ Góc bằng có thể đo trực tiếp hay gián tiếp.
 Quan hệ giữa góc thiên đỉnh(Z) và góc đứng(V) là:
0
90
=+VZ

 Hướng gốc của góc đònh hướng của đường thẳng AB là hướng Bắc của đường thẳng qua A và // với kinh
tuyến trục(hay đường thẳng đứng // với kinh tuyến giữa múi)(không phải hướng của kim la bàn).
 Độ lệch từ (
δ
)(
±
) là góc hợp bởi: Bắc kinh tuyến thực và Bắc kinh tuyến từ.
 Độ hội tụ kinh tuyến(độ gần kinh tuyến)(
γ
) là góc hợp bởi: Bắc kinh tuyến thực và Bắc kinh tuyến trục.
 Loại góc không thay đổi trong không gian là:

+ Góc phương vò thật.
+ Góc phương vò từ.
+ Góc đònh hướng.
+ a và c đều đúng.
 Góc bằng của 2 hướng ngắm là góc hợp bởi:

+ Hai hướng ngắm trong không gian.

+ Hình chiếu của 2 hướng ngắm lên mp thẳng đứng.

+ Hình chiếu của 2 hướng ngắm lên mp nằm ngang.
 Đường thẳng đi qua quang tâm kính vật và quang tâm kính mắt của ống kính máy thủy chuẩn, được
gọi là:

+ Trục ngắm.
+ Trục quang học.
+ Trục hình học.
+ a và c đều đúng.
 Khi máy KV bò va đập làm lệch màng dây chữ thập, trục nào bò ảnh hưởng: trục quang học của ống kính -
trục ống thăng bằng dài - trục hình học của ống kính - 3 câu sai
 Khi lập lưới khống chế tọa độ độc lập trên phạm vi hẹp, để đònh hướng lưới này ta đo: góc phương vò từ -
góc phương vò thực - góc đònh hướng từ - a và c đều đúng.
 Xét về độ chính xác của pp đo dài bằng thước thép bản và pp thò cự thì:
TR
ẮC ĐỊA


9

+ PP thước thép bản chính xác hơn.

+ Tùy theo điều kiện đòa hình.
 Điểm đường chuyền toàn đạc được đưa lên bản vẽ theo pp:
+ Tọa độ cực.
+ Tọa độ vuông góc.
+ Góc giao hội.

+ Tùy theo pp đo.
 Trong đo vẽ toàn đạc điểm chi tiết được chuyển lên bản vẽ theo pp:
+ Tọa độ cực.
+ Tọa độ vuông góc.

+ Góc giao hội.

+ Tùy theo pp đo.
 Chuyển điểm khống chế lên lưới tọa độ thì dùng pp: tọa độ vuông góc.
 Thao tác nào sau nay có thể bỏ qua trong đo cao hình học từ giữa:

+ Đònh tâm máy.

+ Cân bằng máy.

+ Đo chiều cao máy.

+ a và c đều đúng.
 Độ chính xác đo góc bằng chủ yếu phụ thuộc vào:
+ Máy KV.
+ Định tâm máy.
+ Đọc số.
+ Cả 3 đều đúng.
 Trong đo cao lượng giác xác đònh độ chênh cao giữa 2 điểm, thao tác nào sau đây có thể bỏ qua:

+ Đọc số bàn độ ngang.

+ Đọc số bàn độ đứng.

+ Đọc số chỉ giữa trên mia.

+ a và b đều đúng.
 Độ dài cạnh đường chuyền toàn đạc được đo bằng pp:

+ Thước thép bản.

+ Chỉ lượng cự đo đi và đo về trên 1 cạnh. (Nếu TL bản đồ là > 1/500)

+ Cả 2 câu đều đúng.
 Trong đo chi tiết bản đồ đòa hình bằng pp toàn đạc, người ta thường dùng pp: Tọa độ cực.
 Khoảng cách từ điểm trạm đo đến điểm chi tiết trong đo vẽ toàn đạc thường được xác đònh bằng
cách sử dụng:

+ Thước thép.

+ Chỉ lượng cự.
+ Chỉ lượng cự hoặc thước thép.
 Đường chuyền KV:

+ Là 1 loại lưới khống chế đo vẽ mặt bằng mà khi thành lập cần phải đo các yếu tố góc và cạnh.

+ Là 1 loại lưới khống chế đo vẽ độ cao mà khi thành lập cần phải đo các yếu tố góc và cạnh.
+ Là 1 loại lưới khống chế đo vẽ mặt bằng mà khi thành lập cần phải đo tất cả các yếu tố góc, cạnh và độ
cao.

+ a và c đúng.
 Bài toán trắc đòa thuận là bài toán biết: Góc đònh hướng, tọa độ điểm đầu và độ dài cạnh.
 Bài toán trắc đòa nghòch là bài toán biết:
Tọa độ điểm đầu và điểm cuối.
 Trong trắc địa, dùng cùng dụng cụ để đo nhiều lần 1 đại lượng là nhằm giảm ảnh hưởng của SS hệ
thống.
 Xét về độ chính xác của đường chuyền KV và đường chuyền toàn đạc thì: đường chuyền KV có
độ chính xác hơn đường chuyền toàn đạc.
TR
ẮC ĐỊA


10

 Độ chính xác trong bố trí công trình được thực hiện theo nguyên tắc từ thấp đến cao.
 Độ chính xác của lưới khống chế trắc đòa được xây dựng theo nguyên tắc từ cao đến thấp.
 Lưới khống chế trắc đòa ở VN hiện nay được chia làm: 4 bậc
 Trong bình sai tọa độ đường chuyền toàn đạc, số hiệu chỉnh tọa độ được tính theo nguyên tắc
phân phối SS khép:

+ Chia đều cho các điểm.

+ Tỷ lệ thuận với số gia tọa độ.

+ Tỷ lệ thuận với độ dài cạnh.

+ b và c đều đúng.
 Khi đo góc theo pp tồn vòng, cần chọn hướng ngắm chuẩn là hướng xa nhất nhằm:
+ Giảm SS đọc số.

+ Giảm SS định tâm máy.
+ Loại trừ SS trục ngắm.
+ a và c đều đúng.
 Trên bản vẽ mặt cắt dọc thường chọn trục đứng và trục ngang: trục ngang lớn hơn trục đứng 10
lần.
 Bình sai góc trong đường chuyền KV, số hiệu chỉnh góc được tính theo nguyên tắc phân phối SS
khép: chia đều cho số góc đo.
 Máy thủy chuẩn dựng tại điểm khống chế, mia dựng tại điểm cần xác định độ cao đó là pp:

+ Đo cao phía trước.
+ Đo cao từ giữa.
+ Đo cao lượng giác.
+ Cả a và c đều đúng.
 PP đo cao có thể loại trừ được SS do ảnh hưởng độ cong của Trái đất là: đo cao từ giữa.
 Khi số hướng ngắm tại 1 trạm đo nhiều hơn 2 thì pp đo thích hợp nhất là đo toàn vòng.
 Khi xác đònh chênh cao giữa 2 điểm A,B bằng pp đo cao hình học từ giữa dùng 2 mia, người ta phát hiện
mia đặt tại A(điểm sau) có đáy bò mòn mất 6mm.Để nhận được chênh cao đúng giữa 2 điểm A và B(
AB
h
) thì phải:
+ Trừ đi 6mm vào chênh cao tính được từ các số đọc trên mia.
+ Cộng thêm đi 6mm vào chênh cao tính được từ các số đọc trên mia.
+ Trừ đi 6mm vào số đọc mia A.
+ a, c đúng.

Bài 1:

)
(
km

x

y

n

Gauss
18
U.T.M
1245 B 18.420
km
18+30=48

Cách kinh tuyến trục 500 – 420 = 80km về phía Tây và thuộc muối chiếu thứ 18.Cách xích đạo 1245km về
phía Bắc.
Chú ý:
30
+
=
−KGUTM
nn

Bài 2:




=
=
kmy

kmx
B
B
615.19
2042
→
Cách kinh tuyến trục
km115500615
=
−
về phía đông và thuộc muối chiếu thứ 19.Cách
xích đạo 2042km về phía Bắc.
Bài 3:






≈=+=
′
=
′
=
27107
15
1609
60
16
10761107

5216
000
0
Đ
B
A
A
λ
ϕ

→
A cách xích đạo 16
0
25’B

Đn
n
00
0
10536 =−×=
λ

→

378,18
6
327107
00
=
+

=n
→
Cách kinh tuyến trục
Đ61210561107
000
′
=−
′
.
Bài 4: Kinh độ của kinh tuyến biên Tây múi chiếu thứ 14 (loại múi 6
0
) là?

Đ
000
786614 =−×=⇒
λ
(vì thuộc múi 14 nên thuộc phía Đ)
TR
ẮC ĐỊA


11

Bài 5: Kinh độ của kinh tuyến trục(kinh tuyến giữa) của muối chiếu(loại 6
0
) thứ 23 là:
Đ
000
1353623 =−×

Bài 6: Điểm A có kinh độ là 94
0
15’ nằm trong múi chiếu 6
0
có số thứ tự ?
Ta có:
1621,16
6
25,97
6
35194
0
0
0
00
=⇒==
+
′
n

Bài 7: Tọa độ A
kmx
A
231=
,
kmy
A
412.20=
, A thuộc:

Vì
0
>
x
nên thuộc phần tư thứ I hoặc IV
IV
kmkm
⇒∈



<
=−×=
500421
1173620
000
λ

⇒
Múi chiếu có kinh tuyến giữa 117
0
và ở phần tư thứ 4.
Bài 8: Biết tọa độ vuông góc phẳng Gauss-Kruger của điểm A là:
mymx
AA
300.421.18;800.619.2
=
=
.Điểm A nằm
ở: Nửa phía T của muối chiếu

0
6
thứ 18, cách kinh tuyến trục
m78700300.421000.500
=
−
.
Vì:



=−
∈
→<
m
T
kmkm
78700300.421000.500
500421

Bài 9: Tọa độ
⊥
phẳng Gauss-Kruger của 1 điểm A là
kmx
A
231=
,
kmy
A
412.19=

thì tọa độ đòa lý của
),(
λ
ϕ
A

thỏa:
Ta có:
0
00 >⇒>
ϕ
A
x
,
00
000
000
114111
1113618500412
114361919
412.19 <<→





=+×>→<
=−×<→=∈
→=
λ

λ
λ
nA
kmy
A

Bài 10: Trên bản đồ tỉ lệ 1/500, độ cao h
A
là 1
m
25
→
Độ cao của A ngoài thực thế vẫn là 1
m
25.
Bài 11:



±=
=
)(4
)(60
cmm
mS
A
A





±=
=
)(5
)(100
cmm
mS
B
B


1500
1
6000
41
==→
A
T
,
2000
1
10000
51
==
B
T


→
B đo tốt hơn A.

Bài 12:



′
±=
′
=
4
03160
0
A
A
m
β




′
±=
=
3
15080
0
B
B
m
β

→
Cả 2 đều đo góc theo 2 hướng nên vẫn áp dụng sai số trung phương để đánh giá
→
B đo tốt hơn A.
Bài 13:

)(
5
26
11
42
164
42
11
cmm
cm
cm
cm
cm
cm
A
A
±=→










→+
→+
→−
→+
→−

)(
5
22
42
42
42
11
93
cmm
cm
cm
cm
cm
cm
B
B
±=→










→+
→−
→+
→−+
→+


→
B đo tốt hơn A, mặc dù
)(2 cm
BA
±
=
=
θ
θ

Bài 14: Tính sai số trung phương của 1 góc trong đa giác có 16 góc.Biết sai số trung phương của tổng các góc
trong đa giác là
2
′
±
và các góc này được đo cùng điều kiện.
Giải:

1621
xxxT +++=
,
2
′
±
=
T
m


→

mmmmmm
xxxT
.416.1 1.1
62
16
22
2
22
1
2
±=±=+++±=


→

03
4

2

1621
′′
=
′
===== mmmm
xxx

Bài 15: Giá trò góc trung bình nhận được từ 9 lần đo trong cùng điều kiện có sai số trung phương là
4
′
±
.Tính sai
số trung phương của giá trò trung bình nhận được từ 16 lần đo cùng điều kiện.
Giải:

21
9
4
2
9
′
=→±=
′
±= m
m
m
X

3
4
21
16
2
16
′
±=
′
±=±=
m
m
X

Bài 16: Đo một góc n lần đo nhận được trị trung bình có SS trung phương là
5
′
′
±
.Nếu SS trung phương mỗi lần đo
góc là
01
′
′
±
.Tính n .
TR
ẮC ĐỊA

12

Ta có:
4
5
01
2
=






′′
′′
=








=
X
X
m

m
n

Bài 17: Nếu mỗi lần ngắm mục tiêu và đọc số có SS trung phương là
51
′
′
±
thì 1 lần đo góc đơn giản sẽ có SS
trung phương do ngắm mục tiêu và đọc số là?
Ta có:
514.
2
1
)(
2
1
2
2
1122
′′
±=±=






±=⇒−+−= mmmabab
β

β

Bài 18: Tính SS trung phương mỗi lần đo góc trong 1 tứ giác.Biết SS trung phương tổng các góc trong tứ giác
là
51
′
′
và mỗi góc đo 4 lần và có cùng độ chính xác.
Ta có:
5124
2
,,,
′′
±=±=±=
∑
AA
DCBA
mmm


512
24
2
′′
±==⇒=±=
A
A
AA
A
mm

mm
m

Bài 19: Đo 1 góc 2 lần đo bằng pp đo có cùng SS trung phương là 1’.Nếu coi SS trung phương đo mỗi hướng
cùng độ chính xác thì nó bằng?
Ta có:
2
22
mmmmab
ba
=+±=⇒−=
α
α


03
2
'1
2
.22.
2
2
2
1
′′
±=±====⇒==+±=
α
ααα
α
m

mmmmmmmm
ba

Bài 20: Đo góc AOB bằng pp đơn giản một lần đo có SS trung phương là
03
′
′
±
.Trị trung bình cộng của góc này sau
n lần đo có SS trung phương là
01
′
′
±
.Tính số lần đo.
Ta có:
9
01
03
2
2
=






′′
′′

=








=⇒=
β
ββ
β
m
m
n
n
m
m

Bài 21: Tính sai số trung phương đo góc AOB bằng p
2
1 lần đo.Biết sai số trung phương khi ngắm về 1 hướng là
03
′
′
±
.
Giải:
Vì đây là đo gián tiếp nên:

))().((
2
1
2211
abab
−+−=
β


03).4.(
4
1
.
2
1
.
2
1
.
2
1
.
2
1
22222
2211
′′
±=±=±=







−+






+






−+






±=⇒ mmmmmmm
abab
β

Bài 22: Tính sai số trung phương đo góc AOB bằng p
2
2 lần đo.Biết sai số trung phương khi ngắm về 1 hướng là
03
′
′
±
.
Giải:

).(
2
1
21
βββ
+=


2
03
2
03
2
′′
±=±=⇒
′′
±==⇒
β
β
β

m
mmm

Bài 23: Tính số lần đo góc AOB , với
51
′
′
±=
β
m
và sai số trung phương khi ngắm về 1 hướng là
03
′
′
±
.
Giải:

).(
2
1
21
βββ
+=


n
m
n
m

m
ββ
β
±=±=⇒
2
,
03
′
′
±
=
=
mm
β
(1 hướng ngắm)

4
51
03
2
2
=






′′
′′

=








=⇒
β
β
m
m
n
(lần đo)
Bài 24: Góc AOB được đo trong 5 lần cùng điều kiện được các giá trò:
6178
0
′
,
0278
0
′
,
3178
0
′
,
2178

0
′
,
6178
0
′
.Tính trò số đo góc đáng tin cậy nhất và đánh giá độ chính xác của trò này.
Giải: Sử dụng CT Bassel.

425178
5
61782178317802786178
0
00000
′′′
=
′
+
′
+
′
+
′
+
′
=X
(số đáng tin cậy nhất)

421
)15.(5

)425121()425131()425102()425161(2
)1.(
][
22222
′′′
±=
−
′′′
−
′
+
′′′
−
′
+
′′′
−
′
+
′′′
−
′
×
±=
−
±=
nn
v
m
X

TR
ẮC ĐỊA


13

Bài 25: Từ 5 giá trò đo góc ABC:
31106
0
′
,
91106
0
′
,
51106
0
′
,
61106
0
′
,
71106
0
′
thì nhận được giá trò đáng tin cậy nhất
của góc ABC là
61106

0
′
.Tính SS trung phương của trò này.
Ta có:
[
]
1
)15(5
10)1(3)3(
)1(
2222
2
′
±=
−
′
++
′
−+
′
+
′
−
±=
−
±=
nn
m
m
X

Bài 26: Trong
∆
đo 2 góc
α
và
β
với
3
′
±
=
α
M
,
4
′
±
=
β
M
.Tính sai số trung phương của góc tứ 3, nếu góc này
được tính từ 2 góc trên.
Giải:

)(180
0
βαγ
+−=

→

5.)1(.)1(
2222
′
±=−+−±=
βαγ
mmm

Bài 27: Độ dài đoạn thẳng được đo trong 9 lần cùng điều kiện thì trò trung bình cộng sẽ có SS trung phương
tương đối là bao nhiêu nếu mỗi lần đo có SS trung phương tương đối là 1:2000.
Giải:

39
11
9
2
XX
X
mm
m ==


6000
1
2000
1
3
1
1

9
1
9
=×=×=⇒







=
=
T
m
m
T
X
m
T
X
m
T
X
X
X
X

Bài 28: Đo đoạn thẳng
)(150

1
mS
=
,
)(8
1
cmM
±
=
; đoạn thẳng
)(50
2
mS
=
,
)(6
1
cmM
±
=
.Tính sai số trung phương
tương đối của tổng và hiệu độ dài 2 đoạn thẳng này.
Giải:

)(1068
22
cmm
Tong
=+±=
,

)(10)6(8
22
cmm
Hieu
=−+±=


)(000.20)(20050150
cmmS
Tong
==+=
,
)(000.10)(10050150 cmmS
Hieu
==−=


2000
1
000.20
101
==
Tong
T
,
1000
1
000.10
101
==

Hieu
T

Bài 29: Đo chiều dài 5 lần được các kết quả 123,23m; 123,20m; 123,24m; 123,22m; 123,21m.Tính số trung bình
cộng của chiều dài và SS trung phương tương đối của nó.
Ta có:
mX
22,123)21,12322,12324,12320,12323,12(
5
1
=++++=
(Số trung bình cộng)

mm
X
3
2222
10.071,7
)15(5
)01,0(002,0)02,0(01,0
−
±=
−×
−+++−+
±=⇒
17426
1
22,123
10.071,71
3

==⇒
−
X
T

Bài 30: Độ dài đoạn thẳng được đo 9 lần có các SS thực: -2; +1; +2; -3; +1; 0; -3; +2; +2(cm).Tính SS trung
phương 1 lần đo.
Ta có:
mmcmm
AB
202
9
03.21.2)2.(4
222
±=±=
+++
±=

Bài 31: Đo chiều dài các cạnh của 1 hình bát giác đều với SS trung phương tương đối là 1/2000.Tính SS trung
phương tương đối của chu vi hình đó.
Ta có:
2000
1
=
X
m
X
,
XXXP .8
81

=++=


8 8
2
XXP
mmm ±=±=⇒

5657
1
82000
1
8
8
8.
1
=====⇒
X
m
X
m
P
m
T
XXP
P

Bài 32: Trong 1
ABC
∆

vuông tại A, cạnh huyền
mmBC 050
±
=
,
12328
0
′
±
′
=B
.Tính SS trung phương tương đối
của cạnh AC.
Ta có:
BBAC
mBBCmBBCmBBCAC ).cos.(.)cos.(sin.
22
±=±=⇒=


1869
1
2328
8343
1
1
0
=
′
′

′
==⇒
tg
tgB
m
T
B
AC

Bài 33: Tính sai số trung phương tương đối của diện tích hình vuông nếu:
a) Đo 1 cạnh hình vuông được
)(25 ma
=
với
)(1,0 mM
A
±=

b) Đo 2 cạnh hình vuông được trò số và sai số trung phương như trường hợp a.Hãy so sánh và giải thích kết quả 2
trường hợp trên.
TR
ẮC ĐỊA


14

Giải:

2
1

aS =

→

aaS
mamam 2.)2(
22
1
±=±=


baS ×=
2

→

aabaS
mamamambm 2 2.)(.)(
222222
2
±=±=+±=
,
)( ba
=


→

125
11

1
=
S
T
,
2125
11
2
×
=
S
T


→
T.H 2 đo chính xác hơn T.H 1(vì đo nhiều đại lượng hơn).
Bài 34: Đo 2 cạnh a và b của 1
∆
và góc
α
kẹp giữa 2 cạnh đó, được
cmmba
350
±
=
=
và
160
0
′

±=
α
.Tính SS
trung phương tương đối của diện tích.
Ta có:
)(532,108260sin.50.
2
1
sin
2
1
202
mbaS ===
α


2
2
2
2
2
2
.cos
2
1
.sin.
2
1
.sin.
2

1
α
ααα
mbamambm
baS






+






+






±=⇒


)(?)(9412,0.)cos (sin) (
2

1
22222222
mmbamamb
ba
=++±=
α
αα
Với:
3438
1
8
343
1
=
′
′
=
α
m


642
1
532,1082
686,11
===⇒
S
m
T
S

S

Bài 35: SS của độ chênh cao giữa 2 điểm A và B và độ cao điểm A lần lượt là 4cm và 3cm.Tính SS
)(Bh
m
.
Ta có:
cmmmmhhh
BAhAhBhBABA
534
222
)(
2
)()(
±=+±=+±=⇒−=

Bài 36: Đề tương tự bài 27, nhưng đo độ dài đoạn thẳng AB với các giá trò:
m45,83
,
m53,83
,
m44,83
,
m56,83
,
m42,83
.Tính trò số đo đáng tin cậy nhất và đánh giá độ chính xác của trò này.
Giải:

mX 48,83

5
42,056,044,053,045,0
83 =
+
+
+
+
+=
(số đáng tin cậy nhất)

m
nn
v
m
X
7386,2
)15.(5
)4842()4856()4844()4853()4845(
)1(
][
222222
±≈
−
−+−+−+−+−
±=
−
±=

Bài 37(T.S): Chiều dài a của HCN được đo trong 5 lần được các kết quả sau: 120,10m; 120,04m; 119,90m;
120,10m; 119,86m.Chiều rộng b được đo trong 4 lần nhận được kết quả trung bình

mb 60=
.SS trung phương mỗi lần
đo b là
cm5
±
.
1) Hỏi kết quả đo cạnh nào chính xác hơn?Tại sao?
2) Tính SS trung phương tương đối của chu vi và diện tích HCN.
Giải:
1)
)(120
5
86,11910,12090,11904,12010,120
ma =
+
+
+
+
=


)(5)(05,0
)15(5
14,004,01,03
222
cmmm
a
==
−×
++×

±=


2400
1
120
05,0
==
a
m
a


)(5,2
24
2
cm
mm
m
bb
b
±=±=±=


ba
b
TT
b
m
=⇒==

2400
1
60
025,0
: 2 kết quả đo có độ chính xác bằng nhau
2)
)(720060120
)(360)60120(2)(2
2
mbaS
mbaC
=×=×=
=+=+=


)(55)5,25.(4).(4
2222
cmmmm
ba
C
±=+±=+±=


3220
1
360
55
==
C
T

)(3,4245,2120560
22222222
cmmambm
ba
S
±=×+×±=+±=


16970
1
7200
103,424
4
=
×
=
−
S
T

TR
ẮC ĐỊA


15

Bài 38: Đo 1 cạnh của hình vuông 5 lần được kết quả: 100,01m; 100,02m; 99,98m; 99,99m; 100m.Tính SS trung
phương tương đối của chu vi hình vuông?

Ta có:
mXPmX 400.4100)10099,9998,9902,10001,100(
5
1
==⇒=++++=


)(
100
2
5
0)01,0()02,0(02,001,0
2222
mm
X
±=
+−+−++
±=⇒


14142
1
400
50/21
)(
50
2
2.4
2
==⇒±=±=±=⇒

P
XX
P
T
mmmm

Bài 39: Trong
∆
đo cạnh đáy
)(150 mb
=
với
)(1,0
mM
b
±
=
, chiều cao
)(100
mh
=
với
)(05,0 mM
h
±
=
.Tính sai số
trung phương tương đối của diện tích
∆
.

Giải:

2
7500100.150.
2
1
.
2
1
mhbS
===


mmbmhm
hbS
25,605,0.1501,0.100
2
1
.
2
1
.
2
1
22222
2
2
2
±=+±=







+






±=


1200
1
7500
25,61
===⇒
S
m
T
S

Bài 40: Đo bán kính hình tròn được
)(100 mR
=
với
)(5 cmM

R
±=
.Tính sai số trung phương tương đối của chu vi
và diện tích hình tròn này.
Giải:

)(200100 22 mRP
π
π
π
=
=
=


( )
ππππ
1,0)10.5.(2.2.2
22
2
±=±=±=±=
−
RRP
mmm


2000
1
200
1,01

===⇒
π
π
P
m
T
P
P


2
.
RS
π
=


( )
RRS
mRmRm
2 2
2
2
ππ
±=±=


1000
1
100

05,0.2
.2
.
2
1
2
=====⇒
R
m
R
mR
S
m
T
RR
S
S
π
π


Bài 41:

Một hình chữ nhật có chiều dài được đo với độ chính xác 1/4000, chiều rộng có độ chính xác
1/3000.Tính sai số trung phương tương đối diện tích.
Ta có:
2222

baS
mambmbaS +±=⇒=

2400
1
3000
1
4000
1
.

1
22
22
2222
=+=






+






=
+

=
b
m
a
m
ba
mamb
T
ba
ba
S


Bài 42:

Khi đo cạnh hình vuông 1 lần, SS trung phương tương đối x/đ diện tích hình vuông là 1/2000.Khi đo cạnh
hình vuông 4 lần cùng độ chính xác thì SS trung phương tương đối x/đ diện tích là?
Ta có:
2000
1
1
1
1
==
S
m
T
S
S

24
11
4
2
SS
S
mm
m =±=
,
14
SS
=


4000
1
.2
1
14
14
4
===⇒
S
m
S
m
T
SS
S

Bài 43:

Dùng thước thép 20m đo 1 đoạn thẳng được kết quả là 145,04m.Qua kiểm tra nhận thấy độ dài thực
của thước là 19,98m.Nếu bỏ qua các nguồn SS khác thì độ dài thực của đoạn AB?
Số lần kéo thước:
26,798,19/04,145
=
=
n

Mỗi lần kéo thước bò thiếu:
m02,098,1920
=
−

Độ dài thực của AB:
m89,14402,05,704,145
=
×
−


Bài 44:

SS trung phương tương đối của chu vi 1 khu đất hình đa giác đều là 1/2000.SS trung phương tương đối
của diện tích khu đất là: không tính được; 1/1000; 1/2000; cả 3 đều sai

TR

ẮC ĐỊA


16




Bài 45:

Đo đường kính nửa hình vành khăn
cmmD 425
±
=
,
cmmd
320
±
=
.SS trung phương tương đối chu vi
của hình trên là: 1/625=1,6.10
-3
; 1/667=1,5.10
-3
; 1/658=1,52.10
-3
; cả 3 đều sai.

mdDdDP
65,752025)2025(

2
).(
2
=−++=−++=
π
π


mmmm
dDP
1042125,0.)1
2
(.)1
2
(
2222
±=−++±=
ππ


726
1
10.37756,1
65,75
1042125,01
3
===
−
P
T

Bài 46: Diện tích 1 khu đất trên bản đồ tỷ lệ 1:2000 là 12cm
2
.Nếu biểu thò khu đất này lên bản đồ tỷ lệ 1:5000
thì diện tích của nó là?
Ta có:
2
2
5000
92,1
5000
2000
12 cmA =






×=

Bài 47: Diện tích khu đất là 2km
2
.Diện tích này bằng bao nhiêu cm
2
trên bản đồ tỷ lệ 1:5000?
Ta có:
2
2
10

800
5000
102
cmA =
×
=

Bài 48: Diện
tích thực một khu đất là 225m
2
, khi thể hiện lên bản đồ là 9cm
2
.Tìm TL bản đồ.
Ta có:
500
9
10225
4
=
×
=M

Bài 49: Diện tích thực của 1 khu đất hình vuông là 36m
2
, tỷ lệ bản đồ là 1/200.Tính chu vi của khu đất đó trên
bản đồ.
Ta có:
maPmSa
th
24.46 ==⇒==

cmm
M
P
P
th
bd
1212,0
200
24
====⇒

Bài 50: Một đòa vật có kích thước là
mm
5,03,0 ×
.Tỷ lệ nhỏ nhất của bản đồ có thể biểu diễn được đòa vật trên
là:
Ta có:
3000
1
3,0
1,01
min
==
m
mm
M

Bài 51: Độ chính xác của bản đồ tỷ lệ 1/2000 là:

dmmmmm 22001,02000
=
=
×

Bài 52: Có 7 đường đồng mức đi qua giữa 2 điểm A và B trên bản đồ tỷ lệ 1/500, biết khoảng cao đều của bản
đồ là 1,5m.Chênh cao tối thiểu giữa A và B là:
mh
AB
95,1)17(
=
×
−
≥

Bài 53: Góc phương vò từ của đường thẳng AB là 215
0
54’, độ lệch từ tại A là độ lệch từ Tây
751
0
′
=
δ
.Tính góc
phương vò th
ật
của đường thẳng AB.

Ta có:
7521375145215

000
′
=
′
−
′
=−=
δ
m
AA

Bài 54:
Máy kính vĩ có độ phóng đại
20=
x
V
lần.Tính tầm ngắm xa nhất khi ngắm vật thể có
cmd 3
=
.
Ta có:

3
20
0606
′′
=
′
′
=

′
′
=
x
V
β


)(65,2062
206265
3
103
3
2
max
m
d
tg
d
S
=
×
=
′′
′′
==
−
ρ
β

Chú ý:
Mắt chỉ nhìn thấy 06
′
′
trở lên.
Bài 55:
X/đ độ nhạy của ống thăng bằng dài có bán kính
mR 20
=
.
Ta có:

5626,20206265
000.20
22
′′
=×=
′′
×=
mm
mm
mm
mm
R
ρτ

Bài 56:
Ống thăng bằng dài có bán kính
mR 5,16

=
được đặt trên một mp nghiêng so với mp nằm ngang góc
60”.Bọt nước của ống thăng bằng sẽ nằm cách điểm chuẩn?
Ta có:

)(8,4
520626
0616500
mm
R
l
R
l
mmmm
mm
=
′′
′′
×
=
′′
′′
×
=⇒
′′
×=
ρ
τ
ρτ

TR
ẮC ĐỊA


17

C
B
A
C
B
A

4,2
2
8,4
2
==⇒
mm
mm
l
(khoảng chia)(1 khoảng chia = 2mm)
Bài 57:

Ống thăng bằng dài có giá trò khoảng chia
51
′
′
.Tính bán kính cong của ống thăng bằng.
Ta có:

mmmR
R
mmmm
mm
mm
5,2727502520626
5
1
222
==
′′
×
′′
=
′′
×=⇒
′′
×=
ρ
τ
ρτ

Bài 58: Bọt nước của ống thủy bình dài lệch 2 khoảng chia so với điểm giữa.Biết đường kính của thủy bình dài
là
mR 50
=
.Tính góc nghiêng của trục thủy bình dài so với phương dây dội.
Ta có:
5,16520626
50000

22
′′
=
′′
×
×
=
′′
×=
mm
mm
mm
mm
R
l
ρτ

Bài 59:
Ngắm 1 điểm A bằng 2 vị trí ống kính và đọc được trên bàn độ đứng là:

0052356
0
′′′
=
Tr
,
00726
0
′′′
=ph

(chú ý đây là máy KV chia số liên tục, vì có góc lớn)
1) Tính góc đứng V và MO.
2) Làm thế nào để đặt trục ngắm của máy ở vị trí nằm ngang.
Ta có:

105
2
36052356726
2
360
0
0000
′
=
+
′
−
′
=
+−
=
trph
V


621
2
36052356726
2
360

0
0000
′
=
−
′
+
′
=
−+
=
trph
MO
(ngắm kính dưới 1 góc
621
0
′
)
Điều chỉnh kính sao cho trên vành độ đứng đọc ở MO.
Bài 60:
Ngắm
mục tiêu A ở vò trí bàn độ trái được số đọc trên bàn độ đứng là
21010
0
′′′
+
.Sau đó đảo kính ngắm
lại A đọc được số trên bàn độ ngang là
42010
0

′′′
+
.Tính trò số MO của máy KV 3T5K.
Ta có:
6
2
′′
−=
−
=
phtr
MO

Bài 61:

Để x/đ SS 2C của máy KV ta ngắm mục tiêu A ở vò trí bàn độ trái được số đọc trên bàn độ ngang
là
0231300
0
′′′
.Sau đó đảo kính ngắm lại A đọc số đọc trên bàn độ ngang là
0221120
0
′′′
.Tính SS 2C.
Ta có:
0
1802 ±−= phtrC

Vì

0
180>tr
nên:
11802
0
′
+=−−= ptrC

Bài 62:

Dùng máy KV 3T5K thuận kính ngắm chính xác vào 1 điểm A, đọc được số trên bàn độ là
03015
0
′′′
,
biết máy có sai số MO là +30’’.Tính số đọc trên bàn độ đứng của điểm A khi đảo kính:



039050603015.2
2
00
′′′
=
′′
−
′′′
=−=⇒
−
= MOtrph

phtr
MO

Bài 63:

Ng
ắm điểm A bằng 2 vị trí ống kính của 1 máy KV 3T5K, đọc được các chỉ số trên vành độ đứng thuận
kính = 6
0
18’ và đảo kính = 4
0
32’.Để trục ngắm nằm ngang(vị trí thuận kính) thì số đọc trên vành độ đứng là ?


525
2
234816
0
00
′
=
′
+
′
=V

Bài 64:

Góc thiên đỉnh Z của 1 hướng ngắm AB là 134
0

24’ thì góc đứng AB là:

4244421349090
0000
′
−=
′
−=−= ZV

Bài 65:
Tính góc định hướng các cạnh của 1
ABC
∆
đều, biết
0
140=
CA
α
.
Giải:
Ta có:
00000
2018060140180 =−+=−+=
ACAAB
βαα


01001806020180
00000
<−=−+=−+=

BABBC
βαα


000
260360100 =+−=⇒
BC
α
(vì – nên cộng thêm 360
0
)
Bài 66:
Tính góc định hướng các cạnh của 1
ABC
∆
đều, biết
0
240=
AB
α
.
Giải:
Ta có:
00000
12018060240180 =−+=−+=
BABBC
βαα


00000

018060120180 =−+=−+=
CBCCA
βαα


Bài 67:
Cho điểm
51250
0
′
=
AB
α
và
54133
0
′
=
AC
α
.
Tính góc bằng
β
hợp bởi 2 đường thẳng này.

Giải:

Ta có:
031165413351250
000

′
=
′
−
′
=−=
ACABA
ααβ



Bài 68:
Cho điểm A
)500;500( mymx
AA
==
và B
)48,615;75,432( mymx
BB
==
.Tính
?=
BA
α

TR
ẮC ĐỊA


18

5
0
°
7
9
°
5
1
°
A
B
C
3
4°
1
6
4
°
6
7
°
y
x
C
B
A

Giải:

Ta có:
807459
48,11548,615500
25,6775,432500
00
′′′
−=








∆
∆
=⇒



−=−=−=∆
=−=−=∆
BA
BA
BA
BABA
BABA
x
y

arctg
myyy
mxxx
α


2521300360807459360
00000
′′′
=+
′′′
−=+=⇒
BABA
αα
(vì
0>∆
BA
x
)

Bài 69(Đ.T):
Cho số liệu như hình bên.Hãy áp dụng bài tốn trắc địa tính tọa độ các điểm 1 và 2.

Giải:

Ta có:
042220
66,4420,87354,828
23,120110023,1220
00

′′′
−=








∆
∆
=⇒



−=−=−=∆
=−=−=∆
AB
AB
AB
ABAB
ABAB
x
y
arctg
myyy
mxxx
α

0273339360042220
000
′′′
=+
′′′
−=⇒
AB
α


513231018055541500273339180
00000
1
′′′
=−
′′′
+
′′′
=−+=
BABB
βαα


0273159180042220042220
00000
′′′
=+
′′′
−=⇒

′′′
−=








∆
∆
=
BA
BA
BA
BA
x
y
arctg
αα


53253818054443000273159180
00000
2
′′′
=+
′′′
−

′′′
=+−=
ABAA
βαα







=
′′′
+=∆+=
=
′′′
+=∆+=
)(62,7195132310sin.14354,828
)(89,13125132310cos.14323,1220
0
11
0
11
myyy
mxxx
BB
BB








=
′′′
+=∆+=
=
′′′
+=∆+=
)(79,954532538sin.13020,873
)(21,1201532538cos.1301100
0
22
0
22
myyy
mxxx
AA
AA


Bài 70:
Cho điểm A
)500;500( mymx
AA
==
, B
)63,427;15,396( mymx
BB

==
,
0371240
0
′′′
=
B
β
và
mS
BC
45,125=
.Tìm C.

Giải:

Ta có:
142534
37,7250063,427
85,10350015,396
00
′′′
=









∆
∆
=⇒



−=−=−=∆
−=−=−=∆
BA
BA
AB
ABAB
ABAB
x
y
arctg
myyy
mxxx
α


1425214180
000
′′′
=+=⇒
ABAB
αα
(vì
0<∆

AB
x
)






+=⇒<∆
+=⇒>∆
00
00
1800
3600
αα
αα
x
x


115315418003712401425214180
00000
′′′
=+
′′′
−
′′′
=+−=
BABBC

βαα







=
′′′
×+=+=∆+=
=
′′′
×+=+=∆+=
mSyyyy
mSxxxx
BCBCBBCBC
BCBCBBCBC
47,481)1153154sin(45,12563,427sin.
84,282)1153154cos(45,12515,396cos.
0
0
α
α

Bài 71(T.S): Cho
)500;500( mmA
,
)17,578;45,615( mmB
,

)36,625;72,446( mmC
.Hãy dùng các bài toán trong
trắc đòa tính các góc trong của
ABC
∆
.

Giải:


0
180=++
CBA
βββ


606034
50045,615
50017,578
0
′′′
=






−
−

=








−
−
= arctg
xx
yy
arctg
AB
AB
AB
α


037315
45,61572,446
17,57836,625
00
′′′
−=







−
−
=








−
−
= arctg
xx
yy
arctg
BC
BC
BC
α


03221641800373150
000
′′′
=+

′′′
−=⇒<−=∆
BCBCBC
xxx
α


528566
72,446500
36,625500
00
′′′
−=






−
−
=









−
−
= arctg
xx
yy
arctg
CA
CA
CA
α


53102933605285650
000
′′′
=+
′′′
−=⇒>−=∆
CACACA
xxx
α


6334491800322164606034180180
000000
′′′
=+
′′′
−
′′′

=+−=⇒+−=
BCABBBABBC
ααββαα


55025118053102930322164180
00000
′′′
=+
′′′
−
′′′
=+−=
CABCC
ααβ


925578)550251633449(180)(180
00000
′′′
=
′′′
+
′′′
−=+−=
CBA
βββ


Bài 72:

Một máy kinh vĩ đặt tại A và ngắm mia ở B được cho bởi 2 dây thị cự:

mml 2046
1
=
,
mml 1246
2
=
,
5218
0
′
=V

Tính sai số trung phương tương đối độ dài ngang đoạn thẳng AB.Biết
1
′
±=
V
m
và sai số trung phương
đọc số mỗi giây thị cự là
mmm 1
±
=
.
TR
ẮC ĐỊA

19


Giải:

Ta có:

)(31,72015)5218(cos)12462046(100cos) (cos
022
21
2
mmVllkVnkS =
′
×−×=−==


2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1

ρ
V
llS
m
l
S
m
l
S
m
l
S
m








∂
∂
+









∂
∂
+








∂
∂
±=


y
x
C
B
A


2
21
22
]2sin).([)cos.(2. Vll
m

Vmkm
V
S
−+±=
ρ
(mm) , v
ớ
i
:
13751
4
520626
06
8343
1
=
′′
′
′
=
′
′
=
ρ
V
m


?=⇒
S

m
S


Baøi 73(T.S):
Sau khi bố trí phương OB’ trên mặt đất, người ta đo lại góc AOB’ trong n lần thì nhận được
giá trị trung bình là
5471125
0
′′′
=
′
BAO
.Làm thế nào để bố trí được góc AOB theo đúng thiết kế là AOB
t.tế
=
125
0
16’25”.Biết OB’=65m và máy KV sử dụng có độ chính xác trong đo góc là
51
′
′
±
và độ chính xác theo
yêu cầu là 5
.
′
′
±=
kêt

m
β
.Hỏi số lần đo n là bao nhiêu?Làm thế nào để bố trí được góc AOB theo thiết kế?

Giải:


9
5
15
2
2
.
0
=






=









=
têt
m
m
n
β
β
(lần đo)

)(5,2
020628
08
65 cmBOdBB
m
=
′′
′
′
×=
′′
′
′
∆
×
′
==
′
ρ
β

Với:
0802152611255471125
65
00
.
′′
=
′′′
=
′′′
−
′′′
=−
′
=∆
=
′
têt
mBO
βββ


Baøi 74(T.S):
Từ 1 mốc thủy chuẩn A(H
A
= 6,245m), người ta bố trí 1 điểm B có H
B(t.kế)
= 7,068m bằng
pp đo cao từ giữa.Hãy trình bày pp bố trí điểm B.Cho biết khi trục ngắm nằm ngang thì đọc được trị số trên
mia tại A là 2468m.

Giải:


)(712,8468,2245,6 maHH
Am
=
+
=
+
=


)(1645068,7712,8
.
.
mmHHb
kêt
Bmkêt
=
−
=
−
=
⇒

Dựng mia tại B trên mặt đất, di chuyển mia theo phương thẳng đứng sao cho đến vị trí độ cao 1645mm thì
dừng và đánh dấu chân mia.Ta được vị trí điểm B cần bố trí.

Baøi 75:

Điểm B có độ cao thiết kế 6,250m.Độ cao điểm A là 5,725m.Để chuyển điểm B ra công trường
ta dùng máy thủy chuẩn và mia đặt tại A và B.Số đọc mia tại A theo trục ngắm nằm ngang là 1468mm.Tính số
đọc mia tại b.

Giải:


)(193,7468,1725,5 maHH
Am
=
+
=
+
=


)(943250,6193,7
.
.
mmHHb
kêt
Bmkêt
=
−
=
−
=
⇒

Baøi 76:
Để bố trí điểm B có độ cao H
B
= 6,25m người ta dựa vào mốc độ cao A(H
A
= 5,745m).Dùng pp
đo cao từ giữa, nếu đọc số trên mia tại A là a = 1984mm thì số đọc mia tại B?

Giải:


)(147925,6984,1745,5 mmHaHbHHhba
BAABAB
=
−
+
=
−
+
=
⇒
−
=
±
=
−


Baøi 77:
Biết độ cao điểm A là 12m.Đặt máy thủy chuẩn tại A và mia đặt tại B để x/đ độ cao điểm B.Nếu

chiều cao máy i = 1450mm và số đọc theo mia tại B là 2165mm thì độ cao điểm B?

Giải:


)(45,1345,112 miHH
AAm
=
+
=
+
=


)(285,11165,245,13 mbHH
mB
=
−
=
−
=


Baøi 78:
Khoảng cách từ máy thủy chuẩn đến mia là bao nhiêu nếu khoảng chắn trên mia là 2dm; cho hệ
số đo dài của máy là k = 100.

Giải:

)(202,0.1000cos
02
mnkS
m
===

TR
ẮC ĐỊA


20


Bài 79:
Trên bản đồ 1/2000 đo đoạn AB = 25mm, độ dốc
%5,6
−=
AB
i
.Nếu độ cao điểm B là H
B
= 5,65m
thì độ cao của A?

Giải:


)(25,3)2000025,0(065,0 mSih
S
h

i
ABABAB
AB
AB
AB
−=××−=×=⇒=


)(9,8)25,3(65,5 mhHHHHh
ABBAABAB
=
−
−
=
−
=
⇒
−
=


Bài 80:
Khoảng cách giữa 2 đường đồng mức kề nhau trên bản đồ tỉ lệ 1/2000 đo được 14mm, biết
khoảng cao đều là 1m, góc dốc mặt đất tại nơi này?

Giải:


)(282000014,0 mS
=

×
=


4422
28
1
0
′′′
=






=






= arctg
S
h
arctgV

Bài 81:
Cho tọa độ điểm A(x=401,61m; y=322,13m).Góc định hướng

0
20=
AB
α
.Chiều dài cạnh AB =
100m.Tính tọa độ điểm B

Giải:


)(579,49520cos.10061,401cos.cos.
0
mABxxABxxx
ABABABABAB
=+=+=⇒=−=∆
αα


)(332,35620sin.10013,322sin.
0
mAByy
ABAB
=+=+=
α

Bài 82:
Khoảng cách giữa 2 điểm A và B đo được trên bản đồ 1:5000 là 6mm.Điểm A nằm trên đường
đồng mức 10m và điểm B nằm trên đường đồng mức 30m, độ dài nghiêng ngồi thực địa của đoạn AB?

Giải:

)(30006,05000 mS
AB
=
×
=


)(201030 mh
AB
=
−
=


)(06,363020
2222
mShAB
ABAB
=+=+=

Bài 83:

Khoảng cách giữa 2 điểm A và B đo trên bản đồ tỷ lệ 1:5000 là 6mm.Điểm A nằm trên đường đồng
mức 10m và điểm B nằm trên đường đồng mức 20m.Tính độ dài thực của AB ở ngoài đất.

Ta có:
mAB 62,31)1020()5000006,0(
22

=−+×=

Bài 84:
Độ dài nối 2 điểm thực địa A và B bằng 15m, chênh cao giữa chúng bằng 3m.Tính độ dốc đoạn
AB.

Giải:


)(15 mAB
=


)(3 mh
AB
=


%4,20
315
3
%
2222
=
−
=
−
==
AB
AB

AB
AB
AB
hAB
h
S
h
i

Bài 85:
Bán kính của đường cong tròn bằng bao nhiêu nếu: đoạn tiếp cự bằng 100m; góc ngoặc bằng
125
0
30’.

Giải:

)(50,51
)2/03125(
100
)2/(
)2/(.
0
m
tg
tg
T
RtgRT =
′
==⇒=

θ
θ

Bài 86:

Đặt máy KV tại O và mia tại P của vòng tròn.Chênh cao giữa O và P bằng 2m; chiều cao máy bằng
1,3m; số đọc chỉ giữa trên mia 1,5m; góc đứng đo được bằng
5412
0
′
.Tính bán kính của vòng tròn này.
ĐS: 9,24m; 2m; 10,84m; không xác đònh được

Giải:


)(10215001300)54122sin( 100.5,020002sin 5,0
0
mmnnliVnkh
AOP
=⇒−+
′
×=⇒−+=


)(9703)5412(cos.100.102cos
022
mmVknS
OP
=

′
==


)(990797032000
2222
mmShR
OPOP
≈+=+=

Bài 87:
Một lưới độ cao đo vẽ có tổng chiều dài 9km.Tính sai số khép giới hạn độ cao của lưới này.

Giải:

)(3009.100)(.100 mmmmLf
km
h
gh
±=±=±=

Bài 88:
Số hiệu chỉnh của đường chuyền kinh vĩ khép kín gồm 9 cạnh là -15”.Tính SS khép góc của
đường chuyền này.

Giải:

512)51(9.
′′′
=

′′
−×−=−=⇒−=
ii
Vnf
n
f
V
ββ
β
β

TR
ẮC ĐỊA


21

Baøi 89:
Số hiệu chỉnh của đường chuyền phù hợp(toàn đạc) gồm 9 cạnh là -15”.Tính SS khép góc của
đường chuyền này.

Giải:

032)51()19().1(
1
′′′
=
′′
−×+−=+−=⇒
+

−=
ii
Vnf
n
f
V
ββ
β
β

Baøi 90:
SS khép giới hạn của đường chuyền độ cao kỹ thuật bằng
mm100
±
.Tính độ dài đường đo cao
này.

Giải:

032)51()19().1(
1
′′′
=
′′
−×+−=+−=⇒
+
−=
ii
Vnf
n

f
V
ββ
β
β

Baøi 91:
Đo 5 trong một lưới đa giác khép kín được các kết quả:
3180
0
1
′
=
β
,
51115
0
2
′
=
β
,
52120
0
3
′
=
β
,
31135

0
4
′
=
β
,
2588
0
5
′
=
β
.Tính SS khép góc của lưới này.

Giải:

2180).25()25883113552120511153180(][][
000000
′
±=−−
′
+
′
+
′
+
′
+
′
±=−±=

ltđo
f
ββ
β

Baøi 92:
Lập một đường chuyền độ cao đo vẽ giữa 2 mốc thủy chuẩn A và B có độ dài đường đo
1500m.Tính SS giới hạn của đường chuyền này.

Giải:

)(615,1.5050 mmLf
km
±=±=±=
β



Baøi 1(T.S):
Một máy KV đặt tại A ngắm về mia tại B và đọc được các giá trị số đọc là 1627mm, 1286mm
và 945mm.Góc nghiêng của ống kính là -10
0
13’, chiều cao máy i = 1
m
55.Tính:
1) Độ cao của A, nếu H
B
= 6,85m.
2) Góc dốc và độ dốc mặt đất của đoạn AB.
3) SS trung phương tương đối độ dài ngang của đoạn thẳng AB.Cho biết SS trung phương đo góc đứng là

1
′
±
và SS đọc số theo mỗi dây thị cự là
mm1
±
.
4) Nếu vẽ bản đồ với h = 2m thì giữa 2 điểm AB có mấy đường đồng mức và độ cao của những đường đồng
mức này.

Giải:

1)
)(641,1112861550)31102sin().9451627.(100.5,0'2sin 5,0
0
mniVnkh
AAB
−=−+
′
×−−=−+=


)(491,18)641,11(85,6 mhHHHHh
ABBAABAB
=
−
−
=
−
=

⇒
−
=

2)
)(054,66)3110(cos).945,0627,1.(100cos
022
mVnkS
AB
=
′
−−==


14959
054,66
641,11
0
′′′
−=






−
=









=
arctg
S
h
arctgV
AB
AB
AB


%62,17
054,66
641,11
% −=
−
==
AB
AB
AB
S
h
i

3)

VllkS
AB
2
21
cos) ( −=


2
2
21
2222
.]2sin).[()cos.()cos.(.
21








′
′
−++±=
ρ
V
llS
m
VllVmVmkm
AB

2
2
21
22
.]2sin).[()cos (2.








′
′
−+±=
ρ
V
lS
m
VllVmkm
AB


)(139
8343
1
.)]31102sin().9451627[())3110(cos.1.(2.100

2
20202
mmm
AB
S
±=






′
′
′
×−−+
′
−±=


475
1
054,66
10.139
3
==
−
AB
S
S

m
AB

4)
)(491,18 mH
A
=
,
)(85,6 mH
B
=
,
)(2 mh
=

Số lượng các đường đồng mức: 8m, 10m, 12m, 14m, 16m, 18m

Baøi 2:
Để x/đ độ chênh cao giữa 2 điểm A và B người ta dùng máy KV đặt tại điểm A, mia dựng tại B.Biết
số đọc trên mia theo 3 chỉ: 1835mm, 1528mm, 1221mm có SS trung phương theo mỗi chỉ là
mm2
±
.Chiều cao
máy dựng tại A là 1200mm, có SS TP là
mm5
±
.Góc đứng đo được bằng
031
0
′

, có SS TP là
03
′
′
±
.
1) Hỏi độ chênh cao giữa 2 điểm A, B ?
2) Tính SS trung phương của độ chênh cao giữa 2 điểm A, B ?

Giải:

1)
)(279,115281200)0312sin().12211835.(100.5,0'2sin 5,0
0
mniVnkh
AAB
=−+
′
×−=−+=

TR
ẮC ĐỊA


22

2)
22
2
222

.2.)2cos 5,0.2(.)2sin 5,0.2(
li
V
lh
mm
m
VnkmVkm
AAB
++








′
′
+±=
ρ


22
2
222
.2.)2cos (.)2sin.(
li
V
lh

mm
m
VnkmVkm
AAB
++








′
′
+±=
ρ


)(154.225
020628
03
.)]031.2cos().12211835.(100[4.)]031.2sin(.100[
2
2020
mmm
AB
h
±=++







′′
′′
′
−+
′
±=


85
1
279,1
10.15
3
==
−
AB
h
h
m
AB


Baøi 3:
Một máy KV đặt tại A ngắm về mia đặt tại B và đọc được các trị số: khoảng chắn trên mia cho bởi 2
dây thị cự là 1872mm, số đọc mia theo trục ngắm là 1996mm, góc đứng

514
0
′
−=V
, chiều cao máy 1340mm.
a) Tính độ cao điểm A nếu biết
mH
B
625,12=
.
b) Tính độ dốc mặt đất và độ dài nghiêng của đoạn AB.

Giải:

a)





=−=
=+=
−
+=
⇒=−
)(10601872
)(2632
2
1872
1996

2
)(1872
12
21
1
21
mmll
mm
ll
ll
mmll


)(49,1419961340)5142sin(.1872.100.5,0'2sin 5,0
0
mniVnkh
AAB
−=−+
′
×−=−+=


)(115,27)49,14(625,12 mhHHHHh
ABBAABAB
=
−
−
=
−
=

⇒
−
=

b)
)(172,186)514(cos.1872.100cos
022
mVnkS
AB
=
′
−==


20724
172,186
49,14
0
′′′
−=






−
=









=
arctg
S
h
arctgV
AB
AB
AB


%78,7
172,186
49,14
% −=
−
==
AB
AB
AB
S
h
i

)(735,186172,18649,14
2222
mShAB
ABAB
=+=+=


Baøi 4:
Bình sai, tính tọa độ đường chuyền kinh vĩ, biết
02127
0
′′
=
AB
α
.Tọa độ điểm
)400;400( mymxA
=
=
, các
giá trị gốc và độ dài ghi được trong bảng:
Điểm
Trị số góc
đo
Độ dài
cạnh(m)
A 50
0
34’45”
104,70

B 64
0
34’45”
89,40
C 64
0
49’45”
104,52
A

Số gia tọa độ (m) Tọa độ điểm (m)
Tên
điểm
Góc đo
i
β


Góc định
hướng
i
α

Cạnh đo
)(mS
i

x
∆

y
∆

x

y

A -0,007 +0,01 400 400
15” 127
0
20” 104,70 -63,018 +83,611
B
50
0
34’45”
-0,007 +0,009 336,975 483,621
15” 242
0
25’20”

89,40 -41,388 -79,243
C
64
0
34’45”
-0,007 +0,01 295,580 404,387
15” 357
0
35’20”

104,52 +104,427 -4,397
A
64
0
49’45”
400 400
127
0
20”

5195179549464544364544350][
0000
′′′
=
′′′
+
′′′
+
′′′
=
đo
β

TR
ẮC ĐỊA


23

00

180180).23(][ =−=
lt
β


ghltđo
ff
ββ
ββ
=
′′′
±=
′′
±≤
′′
−=−
′′′
=−= 4413.06541805195179][][
00
(thỏa)

5154
3
1
3
1
′′
=
′′
×=−=

ββ
fV


51
′
′
===
CBA
VVV
βββ


536451544364
00
′
=
′′
+
′′′
=+=
′
BBB
V
β
ββ


0252242180536402127180
00000

′′′
=+
′
−
′′
=+
′
−=
BABBC
βαα


056451549464
00
′
=
′′
+
′′′
=+=
′
CCC
V
β
ββ


025335718005640252242180
00000
′′′

=+
′
−
′′′
=+
′
−=
CBCCA
βαα


)(62,29852,10440,8970,104][ mS
=
+
+
=


mSx
ABABAB
018,6302127cos.70,104cos.
0
−=
′′
==∆
α


mSx
BCBCBC

388,410252242cos.40,89cos.
0
−=
′′′
==∆
α


mSx
CACACA
427,1040253357cos.52,104cos.
0
=
′′′
==∆
α


mxf
x
021,0427,104388,41018,63 =+−−=∆=
∑


)(007,0
62,298
7,104
021,0
][
1

1
m
S
S
fV
xx
−=×−=×−=
∆


)(006,0
62,298
4,89
021,0
][
2
2
m
S
S
fV
xx
−=×−=×−=
∆


)(007,0
62,298
52,104
021,0

][
3
3
m
S
S
fV
xx
−=×−=×−=
∆


mxx
ABAB
025,63007,0018,6307,0
−
=
−
−
=
−
∆
=
′
∆


mxxx
ABAB
975,336025,63400

=
−
=
′
∆
+
=


mxx
BCBC
434,41007,0427,41007,0 −=−−=−∆=
′
∆


mxxx
BCBC
541,295434,41975,336 =−=
′
∆+=


mxx
CACA
42,104007,0427,104007,0 =−=−∆=
′
∆

mxxx
CACA
961,39942,104541,295 =+=
′
∆+=


mSy
ABABAB
611,8302127sin.70,104sin.
0
=
′′
==∆
α


mSy
BCBCBC
243,790252242sin.40,89sin.
0
−=
′′′
==∆
α


mSy
CACACA
397,40253357sin.52,104sin.

0
−=
′′′
==∆
α


myf
y
029,0397,4243,79611,83
−=−−=∆=
∑


)(01,0
62,298
7,104
029,0
][
1
1
m
S
S
fV
yy
−=×−=×−=
∆

)(009,0
62,298
4,89
029,0
][
2
2
m
S
S
fV
yy
−=×−=×−=
∆


)(01,0
62,298
52,104
029,0
][
3
3
m
S
S
fV
yy
−=×−=×−=
∆

myy
ABAB
621,8301,0611,8301,0
=
+
=
+
∆
=
′
∆


myyy
ABAB
621,483621,83400
=
+
=
′
∆
+
=


myy
BCBC
234,79009,0243,79009,0 −=+−=+∆=

′
∆


myyy
BCBC
387,404234,79621,483 =−=
′
∆+=


myy
CACA
387,401,0397,401,0 −=+−=+∆=
′
∆


myyy
CACA
400387,4387,404 =−=
′
∆+=


cmfff
yxS
6,39,21,2
2222
=+=+=

2000
1
8295
1
62,298
036,0
][
<==
S
f
S


Baøi 5(Bài 45-T.S):
Bình sai, tính tọa độ đường chuyền kinh vĩ, biết
0
95=
AB
α
.Tọa độ điểm
)400;400( mymxA
=
=
,
)54,321;84,584( mymxM
=
=
, các giá trị gốc và độ dài ghi được trong bảng:

Điểm
Trị số góc
Độ dài
TR
ẮC ĐỊA


24

đo cạnh(m)
A 48
0
41’45”
89,71
B 46
0
50’45”
67,62
C 84
0
26’45”
65,78
A

Số gia tọa độ (m) Tọa độ điểm (m)
Tên
điểm
Góc đo
i
β

Góc định
hướng
i
α

Cạnh đo
)(mS
i

x
∆

y
∆

x

y

A -0,03 -0,007 400 400
15” 72
0

89,71
+27,72 +85,32
B
46
0

50’45”
-0,03 -0,007 427,69 483,621
15” 205
0
09’
67,62
-61,21 -28,74
C
84
0
26’45”
-0,03 -0,006 366,45 404,387
15” 300
0
42’
65,78
+33,58 -56,56
A
48
0
41’45”
400 400
72
0


5195179546284540546541448][
0000
′′′
=

′′′
+
′′′
+
′′′
=
đo
β

00
180180).23(][ =−=
lt
β


ghltđo
ff
ββ
ββ
=
′′′
±=
′′
±≤
′′
−=−
′′′
=−= 4413.06541805195179][][
00
(thỏa)

5154
3
1
3
1
′′
=
′′
×=−=
ββ
fV


51
′
′
===
CBA
VVV
βββ


0000
1571802323
84,584400
54,321400
=+−=⇒−=







−
−
=








−
−
=
′
MA
MA
MA
MA
arctg
xx
yy
arctg
αα

156451540546
00
′
=
′′
+
′′′
=+=
′
BBB
V
β
ββ


00000
7218095157180 =−+=−+=
ϕαα
MAAB


90205180154672180
00000
′
=+
′
−=+
′
−=
BABBC

βαα


726451546284
00
′
=
′′
+
′′′
=+=
′
CCC
V
β
ββ


24300180728490205180
00000
′
=+
′
−
′
=+
′
−=
CBCCA
βαα

)(11,22378,6562,6771,89][ mS
=
+
+
=


mSx
ABABAB
72,2772cos.71,89cos.
0
===∆
α


mSx
BCBCBC
21,6190205cos.62,67cos.
0
−=
′
==∆
α


mSx
CACACA
58,3324300cos.78,65cos.

0
=
′
==∆
α


mxf
x
09,058,3321,6172,27 =+−=∆=
∑


mxx
ABAB
69,2703,072,2703,0
=
−
=
−
∆
=
′
∆


mxxx
ABAB
69,42769,27400
=

+
=
′
∆
+
=


mxx
BCBC
24,6103,021,6103,0 −=−−=−∆=
′
∆


mxxx
BCBC
45,36624,6169,427 =−=
′
∆+=


mxx
CACA
55,3303,058,3303,0 =−=−∆=
′
∆


mxxx

CACA
40055,3345,366 =+=
′
∆+=


mSy
ABABAB
32,8572sin.71,89sin.
0
===∆
α


mSy
BCBCBC
74,2890205sin.62,67sin.
0
−=
′
==∆
α


mSy
CACACA
56,5624300sin.78,65sin.
0
−=
′

==∆
α

TR
ẮC ĐỊA


25


myf
y
02,056,5674,2832,85 =−−=∆=
∑


myy
ABAB
313,85007,032,85007,0
=
−
=
−
∆
=
∆


myyy
ABAB

313,485313,85400
=
+
=
′
∆
+
=


myy
BCBC
747,28007,074,28009,0 −=−−=+∆=
′
∆


myyy
BCBC
566,456747,28313,485 =−=
′
∆+=


myy
CACA
566,56006,056,56006,0 −=−−=−∆=
′
∆

myyy
CACA
400566,56566,456 =−=
′
∆+=


cmfff
yxS
2,929
2222
=+=+=


2000
1
2425
1
11,223
092,0
][
<==
S
f
S


Baøi 6(Bài 46-T.S):
Bình sai, tính độ cao của đường chuyền độ cao kỹ thuật sau, cho:

mH
M
306,10=
,
mH
N
506,13=
,
mh 968,2
1
+=
,
mh 054,1
2
−=
,
mh 234,2
3
+=
,
mh 826,0
4
−=
.

Giải:


)(2886104
4321

kmllllL =+++=+++=


)(26528.50.50 mmLf
gh
±=±=±=


ghMNđh
fmmmHHhf <==−−−+−=−−= )(122)(122,0)306,10506,13()826,0234,2054,1968,2()(][


)(035,0
28
8
122,0
4
4
m
L
l
fV
hh
−=×−=×−=


)(026,0
28
6
122,0

3
3
m
L
l
fV
hh
−=×−=×−=


)(044,0
28
10
122,0
2
2
m
L
l
fV
hh
−=×−=×−=


)(017,0122,0)044,0026,0035,0(
1
mV
h
−=−++=

)(861,0035,0826,0
444
mVhh
h
−=−−=+=
′


)(445,9861,0306,10
4
mhHH
MC
=−=
′
+=


)(208,2026,0234,2
333
mVhh
h
=−=+=
′


)(653,11208,2445,9
3
mhHH
CB

=+=
′
+=


)(098,1044,0054,1
222
mVhh
h
−=−−=+=
′


)(555,10098,1653,11
2
mhHH
CA
=−=
′
+=


)(951,2017,0968,2
111
mVhh
h
=−=+=
′

)(506,13951,2555,10
1
mhHH
AN
=+=
′
+=

Điểm
)(
mh
i

)(
kml
i

)(
mV
hi

)(
mh
i
′

)(
mH
i

M 10,306
-0,826 8 -0,035 -0,861
C 9,445
+2,234 6 -0,026 +2,208
B 11,653
-1,054 10 -0,044 -1,098
A 10,555
+2,968 4 -0,017 +2,951
N 13,506
∑

3,322 28 0,122 3,2

Baøi 7(Bài 50-T.S):
Bình sai, tính độ cao của đường độ cao kỹ thuật sau, cho:
mH
M
625,12=
.

Giải:


)(153543
4321
kmllllL =+++=+++=


)(19415.50.50 mmLf
gh

±=±=±=


ghđh
fmmmhf <=−=++−−== )(150)(15,0849,4236,1375,1388,2][