một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp trung học phổ thông

Sáng kiến kinh nghiệm


Một số cách giải bài
1



2
I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
2

2

2
U
3

4
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
4
1. Bất đẳng thức Cô si:
4
2. Bất đẳng thức Bunhiacôpski:
4
3. Tam thức bậc hai:
4
4. Giá trị cực đại hàm số sin hoặc cosin:
4
5. Khảo sát hàm số:
4

II. BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
5
1: Áp dụng bất đẳng thức Côsi:
5
2. Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Côpski:
8
3.Áp dụng tam thức bậc hai:
10
4. Áp dụng giá trị cực đại của hàm số sin và hàm số cosin:
12
5. Dùng phương pháp đạo hàm:
13
C. KẾT LUẬN
15

16

Sáng kiến kinh nghiệm


Một số cách giải bài
2
A.

I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Từ năm học 2005- 2006, Bộ GD – ĐT quyết định chuyển từ hình thức thi tự
luận sang thi trắc nghiệm khách quan đã đem lại sự đổi mới mạnh mẽ trong
việc dạy và học của giáo viên và họ sinh.
Tuy nhiên, qua thời gian thực tế giảng dạy ở trường THPT tôi nhận thấy
một số vấn đề sau:
1. Việc dạy học và đánh giá thi cử theo hình thức trắc nghiệm khách quan đòi
hỏi giáo viên cũng như học sinh phải có sự thay đổi về cách dạy và học. Dạy
học theo phương pháp trắc nghiệm khách quan đòi hỏi giáo viên không những
phải đầu tư theo chiều sâu mà còn phải đầu tư kiến thức theo chiều rộng,
người dạy phải nắm được tổng quan chương trình của môn học. Điều này gây
rất nhiều khó khăn cho giáo viên, đặc biệt là đội ngũ giáo viên trẻ khi chưa có
nhiều kinh nghiệm giảng dạy.
2. Khi chúng ta chuyển sang hình thức dạy học và đánh giá thi cử theo
phương pháp trắc nghiệm khách quan thì một số giáo viên mãi mở rộng kiến
thức kiến thức theo chiều rộng để đáp ứng cho vấn đề thi theo hình thức trắc
nghiệm . Vì vậy vấn đề đầu tư cho việc giải bài toán theo phương pháp tự luận
có thể bị mờ nhạt. Điều này ảnh hưởng khá lớn đến chất lượng, mức độ hiểu
sâu kiến thức về Vật lý của học sinh , đặc biệt là những học sinh khá của
trường.

Trong vật lý sơ cấp THPT có nhiều bài toán được giải theo
phương pháp tính giá trị cực đại, cực tiểu các đại lượng Vật lý. Mỗi loại
bài toán đều có một số cách giải nhất định. Song, để chọn cách giải phù hợp là
điều rất khó khăn cho học sinh và một số giáo viên , Bởi lẽ: Chưa có tài liệu
nào viết về vấn đề này có tính hệ thống .
Để góp phần cải thiện thực trạng trên , tôi quyết định thực hiện đề tài “Một
số cách giải bài toán cực trị trong Vật lý sơ cấp
,

- phương ph
-

III

-
-
-
Sáng kiến kinh nghiệm


Một số cách giải bài
3
-

-

IV
-
-
-

-

Sáng kiến kinh nghiệm


Một số cách giải bài
4

B. NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT:
Khi giải các bài tập Vật lý, để tính giá trị cực đại hoặc cực tiểu của các đại
lượng Vật lý, ta thường một số công thức, kiến thức của toán học. Do đó,
để giải được các bài tập đó cần nắm vững một số kiến thức sau đây:
1. Bất đẳng thức Cô si:
2a b ab
( a, b dương).
3
3a b c abc
( a, b, c dương).
- Dấu bằng xảy ra khi các số bằng nhau.
- Khi tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau.
- Khi tổng hai số không đổi, tích hai số lớn nhất khi hai số bằng nhau.
Phạm vi ứng dụng: Thường áp dụng cho các bài tập điện hoặc bài toán
va chạm cơ học.
2. Bất đẳng thức Bunhiacôpski:

2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( )a b a b a a b b

Dấu bằng xảy ra khi
11
22
ab
ab

Phạm vi ứng dụng: thường dùng trong các bài tập về chuyển động cơ
học.
3. Tam thức bậc hai:

2
()y f x ax bx c

+ Nếu a > 0 thì y
min
tại đỉnh pa rabol.
+ Nếu a < 0 thì y
max
tại đỉnh parabol.
Tọa độ đỉnh:
2
b
x
a
;
4
y
a
(
2

4b ac
).
+ Nếu = 0 thì phương trình :
2
( ) 0y f x ax bx c
có nghiệm kép.
+Nếu
0
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
*Phạm vi ứng dụng:Thường dùng trong các bài tập về chuyển động cơ học và
bài tập phần điện.
4. Giá trị cực đại hàm số sin hoặc cosin:
max
(cos ) 1

0

max
(sin ) 1

0
90
.
*Phạm vi ứng dụng: Thường dùng trong các bài toán cơ học, điện xoay chiều.
5. Khảo sát hàm số:
- Dùng đạo hàm.
- Lập bảng xét dấu để tìm giá trị cực đại, cực tiểu.
*Phạm vi ứng dụng: thường áp dụng cho các bài toán điện xoay chiều.
Sáng kiến kinh nghiệm

Một số cách giải bài
5
+Ngoài ra, trong quá trình giải bài tập chúng ta thường sử dụng một số tính
chất của phân thức:

a c a c a c
b d b d b d



II. BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
1: Áp dụng bất đẳng thức Côsi:
Bài toán 1:
Cho mạch điện như hình vẽ:
Cho biết:
12V
, r = 4 , R là một biến trở.Tìm giá trị
của R để công suất mạch ngoài đạt giá trị cực đại.

BÀI GIẢI
-Dòng điện trong mạch:
I
Rr


- Công suất: P = I
2
.R =
2

2
.
()
R
Rr
2
22
2
R
P
R rR r
=
22
2
2
()
2
r
r
R
Rr
R
R
.
Đặt
()
r
yR
R
2

2
P
y

Nhận xét: Để P
ma x
y
min

Theo bất đẳng thức Côsi: Tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số
bằng nhau => y
min

r
R
R
R = r = 4
()
thì
2 2 2
max
12
9( )
2 4 4.4
PW
r r r r



Bài toán 2:

Cho mạch điện như hình vẽ:
Cho biết:
200 2cos100 ( ).
AB
u t V

1
()LH
,
4
10
( ).
2
CF
R thay đổi.
a. Tìm R để công suất trên R cực đại khi r = 0.
r
R
C
L,r
R
A
B
Sáng kiến kinh nghiệm


Một số cách giải bài
6
b. Tìm R để công suất trên R cực đại khi r = 50

()


BÀI GIẢI

a. + Cảm kháng
100( )
L
ZL
.
+ Dung kháng:
1
200( ).
C
Z
C

+ Tổng trở:
22
()
LC
Z R Z Z
.
+ Công suất : P = I
2
.R =
22
2 2 2

()

LC
UU
RR
Z R Z Z


2
2
()
LC
U
P
ZZ
R
R
Đặt
2
()
LC
ZZ
yR
R

2
U
P
y

+ Nhận xét: Theo bất đẳng thức côsi y
min

100( )
LC
R Z Z
, lúc đó
2 2 2
max
200
200(W)
2 2.100 200
LC
UU
P
ZZ
.
Vậy P
ma x
= 200(W) khi R = 100
()

b. + Tổng trở
22
( ) ( )
LC
Z R r Z Z

+ Công suất
22
2
2 2 2

. . .
( ) ( )
LC
UU
P I R R R
Z R r Z Z

2
2 2 2
.
2 ( )
LC
U
PR
R Rr r Z Z
=
2
22
()
2
LC
U
r Z Z
Rr
R

Đặt
22
()
2

LC
r Z Z
y R r
R

2
U
P
y
.
+Nhận xét: Để P
max

min
y
.
Theo bất đẳng thức Côsi
22
min
()
LC
r Z Z
yR
R

22
()
LC
R r Z Z

2
max
22
22
22
()
( ) 2
()
LC
LC
CC
U
P
r Z Z
r Z Z r
r Z Z
2
max
2 2 2 2
22
2 2 2 2
( ) . ( )
( ) 2
( ) . ( )
L C L C
LC
L C L C
U
P
r Z Z r Z Z

r Z Z r
r Z Z r Z Z

Sáng kiến kinh nghiệm


Một số cách giải bài
7
2
max
22
2. ( ) 2
LC
U
P
r Z Z r

2
max
22
200
124( )
2.( 50 (100 200) 50)
PW


Vậy để P
max
= 124(W) thì
22

( ) 100( )
LC
R r Z Z
.
*Mở rộng: Khi tính P của mạch:
+ Nếu
LC
Z Z r
thì P
max
khi
LC
R Z Z r
.
+Nếu
LC
Z Z r
thì P
max
khi R = 0.


Bài toán 3: Vật m
1
chuyển động với vận tốc
1
v
tại A và đồng thời va chạm
với vật m
2

đang nằm yên tại đó. Sau va chạm, m
1
có

vận tốc
'
1
v
. Hãy xác
định tỉ số
'
1
1
v
v
của m
1
để góc lệch giữa
1
v
và
'
1
v
là lớn nhất
max
. Cho m
1
>
m

2
, va chạm là đàn hồi và hệ được xem là hệ kín.

BÀI GIẢI

* Động lượng của hệ trước va chạm:
1 1 1T
P P mv

* Động lượng của hệ sau va chạm :
' ' ' '
1 2 1 1 2 2S
P P P mv m v

Vì hệ là kín nên động lượng được bảo toàn :
1ST
P P P

Gọi
'
1 1 1
( , ) ( , ).
S
v v P P

Ta có:
'2 '2 2
2 1 1 1 2
2 cosP P P PP
(1).

Mặt khác, vì va chạm là đàn hồi nên động năng bảo toàn:
2 '2 '2
1 1 1 1 2 2
2 2 2
m v m v m v
2 2 2 2 2 '2
1 1 1 1 2 2
1 1 2
2 2 2
m v m v m v
m m m

2 '2 '2
1 1 2
1 1 2
2 2 2
P P P
m m m
2 '2 '2
2 '2 '2
1 1 2 1
1 1 2
1 2 2
. . .
22
P P P m
P P P
m m m

2 '2

'2
2 1 1
2
1
(m P P
P
m
(2).
Từ(1)và(2) ta suy ra
'
2 1 2 1
'
1 1 1 1
(1 ) (1 ) 2cos
m P m P
m P m P
'
2 1 2 1
'
1 1 1 1
(1 ). (1 ). 2cos
m v m v
m v m v

s
p

1
p

2
p

Sáng kiến kinh nghiệm


Một số cách giải bài
8
Đặt
'
1
1
0
v
x
v

22
11
1
(1 ). (1 ). 2cos
mm
x
m m x

Để
max
thì
min
(cos )

Theo bất đẳng thức Côsi
22
min
11
min
1
(cos ) (1 ). (1 ).
mm
x
m m x

Tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau
22
11
1
1 . 1 .
mm
x
m m x

12
12
mm
x
mm

Vậy khi
'
1 1 2

1 1 2
v m m
v m m
thì góc lệch giữa
1
v
và
'
1
v
cực đại.
Khi đó,
22
12
max
1
cos
mm
m
.
2. Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Côpski:

Bài toán 1:
Hai chuyển động trên AO và BO cùng hướng về O với
0
1
2
; 30
3
v

v
. Khi
khoảng cách giữa hai vật cực tiểu là d
min
thì khoảng cách từ vật một đến O
là
'
1
30 3( )d cm
. Hãy tính khoảng cách từ vật hai đến O.


BÀI GIẢI
Gọi d
1
, d
2
là khoảng cách từ vật một và vật hai đến O lúc đầu ta xét ( t = 0
).
Áp dụng định lý hàm sin ta có:
''
1 2 1 1 2 2
sin sin sin sin sin sin
d d d v t d v t
dd
.
Vì
1
2
3

v
v
nên ta có:
1 1 2 1
0
3
sin30 sin
3sin
d v t d v t
d
.
Áp dụng tính chất của phân thức ta có:
1 1 2 1 2 1 1 1 2 1
3 ( 3 ) ( ) 3
sin
3sin 3sin sin 3sin sin
d vt d vt d vt d v t d d

21
0
3
sin30
3sin sin
dd
d

A
O
B
d

1
’
d

d
2
’



Sáng kiến kinh nghiệm


Một số cách giải bài
9
Mặt khác, tacó:
00
sin sin(180 ) sin( ) sin(30 )
0 0 0
3sin 3sin(30 ) 3(sin30 cos cos30 sin )
33
cos sin
22

21
0
3
sin30
3 1 1
cos sin sin

2 2 2
dd
d

0
2 1 2 1
( 3 )sin30 3
3 1 3cos sin
cos sin
22
d d d d
d



Vậy
2 1 2 1
33
3cos sin
d d d d
d
y
.
Khoảng cách giữa hai vật d
min
y
max
với y =
2
( 3cos sin )

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Côpski:

2 2 2 2 2
( 3cos sin ) (( 3) 1 ).(cos sin ) 2

 y
max
= 2
0
3 cos
cot 3 30
1 sin
g
và
0
120

Lúc đó:
''
0
' ' '
12
2 1 1
0 0 0
sin120
. 3 90( )
sin30 sin120 sin30
dd
d d d m

Vậy, khoảng cách từ vật hai đến O lúc này là: d
2
’
= 90(m)

Bài toán 2: Cho cơ hệ như hình vẽ:
Cho biết: Hệ số ma sát giữa M và sàn là k
2
.
Hệ số ma sát giữa M và m là k
1.
Tác dụng một lực
F
lên M theo phương hợp với phương ngang một góc .
Hãy tìm F
min
để m thoát khỏi M.tính góc tương ứng?


BÀI GIẢI

+ Xét vật m:
1 1 21ms
P N F ma
(1).
Chiếu lên Ox: F
ms21
= ma
21

1
mn
F
a
m

Chiếu lên Oy: N
1
– P
1
= 0 N
1
= P
1


F
ms21
= k
1
.N
1
= k
1
.mg

1
11
k mg
a k g

m
. Khi vật bắt đầu trượt thì thì a
1
= k
1
mg.
F


M
m
O
y

1
P

F


2
P

ms
F

21ms
F

12ms

F

1
N

2
N

x
Sáng kiến kinh nghiệm


Một số cách giải bài
10
+ Xét vật M:
2 1 2 12 2
()
ms ms
F P P N F F M m a
.
Chiếu lên trục Ox:
12 2
cos ( )
ms ms
F F F M m a

12
2
cos
ms ms

F F F
a
Mm

Chiếu lên Oy:
1 2 2 2 1 2
sin ( ) 0 sinF P P N N P P F

Ta có:
12 1ms
F k mg


2 2 2 1 2
( sin )
ms
F k N k P P F

1 2 1 2
2
cos ( sin )F k mg k P P F
a
Mm

Khi vật trượt
12
aa
1 2 1 2
1
cos ( sin )F k mg k P P F

kg
Mm

1 2 1 2 1 2
( ) (cos sin ) ( )k g M m F k k mg k P P


1 2 1 2 1 2 1 2
2
( ) (2 ) ( ) (2 )
cos sin
k k Mg k k mg k k Mg k k mg
F
ky

Nhận xét: F
min
y
max
. Theo bất đẳng thức Bunhia Côpski:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
(cos sin ) (1 )(cos sin ) 1y k k k

2
max 2
1yk
.
Vậy
1 2 1 2

min
2
2
( ) (2 )
1
k k Mg k k mg
F
k

Lúc đó:
2
2
sin
cos 1
k
tg k

3.Áp dụng tam thức bậc hai:

Bài toán 1: Một con kiến bám vào đầu B của một
thanh cứng mảnh AB có chiều dài L đang dựng đứng
cạnh một bức tường thẳng đứng. Vào thời điểm mà đầu
B của thanh bắt đầu chuyển động sang phải với vận tốc
không đổi v theo sàn ngang thì con kiến bắt đầu bò dọc
theo thanh với vận tốc không đổi u đối với thanh. Trong
quá trình bò trên thanh , con kiến đạt được độ cao cực đại là bao nhiêu đối
với sàn? Cho đầu A của thanh luôn tì lên sàn thẳng đứng.


BÀI GIẢI

Khi B di chuyển một đoạn s = v.t thì con kiến đi
được một đoạn l = u.t.
Độ cao mà con kiến đạt được:
A
B
h
B
u

Sáng kiến kinh nghiệm


Một số cách giải bài
11
sin sinh l ut
với
2 2 2
sin
L v t
L

2 2 2 4
.
uu
h L t v t y
LL

Vói y =
2 2 2 4
.L t v t

Đặt X = t
2


22
.y v X L X

Nhận xét:
max max
.hy
y là tam thức bậc hai có a = - v
2
< 0 y
max
tại đỉnh
Parabol
2 4 4
max max
22
4 4( ) 4
LL
yy
a v v

4
max
2
4
L
y

v
tại
2
2
22
bL
X
av

Vây độ cao mà con kiến đạt được là :
max max
.
2
u u L
hy
Lv

Bài toán 2:
Cho mạch điện như hình vẽ:
4
200 2 cos100 ( ).
10
100( ); ( )
AB
u t V
R C F

Cuộn dây thuần cảm và có thể thay đổi được độ tự cảm . Hãy xác định L
để hiệu điện thế U
L

đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó?

BÀI GIẢI
+ Cảm kháng:
L
ZL
, dung kháng
1
100( )
C
Z
C

+ Tổng trở:
22
()
CL
Z R Z Z

Ta có:
22
.
.
.
()
L
LL
LC
UZ
UZ

U I Z
Z
R Z Z

22
2
11
( ). 2 . 1
L
CC
LL
UU
U
y
R Z Z
ZZ

+ Nhận xét: để U
Lmax
y
min
, với y là tam thức bậc hai có a = R
2
+Z
C
2
> 0
nên
y
min

tại đỉnh Parabol

2 2 2 2 2 2
'
22
1
C C C C
L
L C C C C
Z R Z R Z R Z
b
x Z L L
a Z R Z Z Z Z

Thay số :
22
100 100 2
()
100.100
LH

C
L
R
A
B
Sáng kiến kinh nghiệm


Một số cách giải bài

12
22
max
200 2( )
C
L
U R Z
UV
R

Mở rộng: Nếu L = cosnt , tụ C có điện dung thay đổi tìm C để U
C
cực
đại ta làm tương tự như trên và kết quả:
22
max
C
C
U R Z
U
R
khi
22
L
C
L
RZ
Z
Z

4. Áp dụng giá trị cực đại của hàm số sin và hàm số cosin:
Bài toán 1:
Hai vật chuyển động từ A và B cùng hướng về điểm O với cùng vận tốc . Biết
AO = 20km; BO = 30km; Góc
0
60
. Hãy xác định khoảng cách ngắn nhất
giữa chúng trong quá chuyển động?

BÀI GIẢI
Xét tại thời điểm t : Vật A ở A
’

Vật B ở B
’
Khoảng cách d = A
’
B
’

Ta có:
sin sin sin
d AO vt BO vt

10
sin sin sin sin sin
d BO AO

10
sin

2cos .sin
22
d
với
0
120

0
0
10sin60 5 3
2cos60 .sin sin
22
dd

Nhận xét: d
min

(sin ) 1
2
min
5 3( )d cm


Bài toán 2:
Cho mạch điện như hình vẽ:
Cho biết:
0.9
()LH
, U
MN

không đổi,
C thay đổi, R
A
= 0, R
V
rất lớn, tần số
của dòng điện f = 50Hz ; r = 90( ).
Hãy chứng tỏ rằng khi điều chỉnh C
để hiệu điện thế trên các vôn kế lệch pha nhau một góc
2
thì U
C
đạt giá trị
cực đại.



A
A’
O
B
B’
C
L,r
M
N
B
V
1
A

V
2
Sáng kiến kinh nghiệm


Một số cách giải bài
13

BÀI GIÀI
Mạch điện được vẽ lại :
Ta có :
90( )
L
ZL

đồ véc tơ:
Từ giản đồ véc tơ ta có:
+
11
1
4
LL
r
UZ
tg
Ur
.
+
1
1

.sin( )
sin sin( ) sin
MN C MN
C
U U U
U


Mà
1
2 2 4 4

1
1
sin( )
2 sin( )
sin
4
MN
C MN
U
UU

Nhận xét: U
C
cực đại khi
11
sin( ) 1
2
=1

Theo bài ra: Hiệu điện thế trên các vôn
kế lệch pha nhau
2
12
( , )
22
BM MN
UU

Điều phải chứng minh
5. Dùng phương pháp đạo hàm:
Bài toán 1:
Cho mạch điện như hình vẽ:
4
200 2 cos100 ( ).
10
100( ); ( )
2
AB
u t V
R C F

Cuộn dây thuần cảm và có độ tự cảm L thay đổi được.
Tìm L để U
AM
đạt giá trị cực đại. Tìm giá trị cực đại đó.


BÀI GIẢI
Dung kháng:

1
200( )
C
Z
C

Tổng trở :
2 2 2 2
( ) ;
L C AM L
Z R Z Z Z R Z

C
L,r
B
N
M
V
1
A
V
2
1
2
C
U

L
U

r
U

BM
U

MN
U

o

M

C
L
R
A
B
Sáng kiến kinh nghiệm


Một số cách giải bài
14
Ta có :

AM AM AM
U
U I Z Z
Z

2 2 2 2
2 2 2 2
22
1
AM
L C L C C C L
LL
UU
U
R Z Z Z Z Z Z Z
R Z R Z

Đăt y =
2
22
2
1
C C L
L
Z Z Z
RZ

Nhận xét: U
AM
cực đại
min
yy

22
'

2 2 2
2(
()
C L C L
L
Z Z Z Z R
y
RZ
.
' 2 2
00
L C L
y Z Z Z R
22
4
241( )
2
CC
L
Z Z R
Z
hoặc
22
4
0
2
CC
L
Z Z R
Z

(loại).
Bảng biến thiên:
Z
L
0 241 +
y’
- 0 +
y

y
min


Vậy, khi Z
L
= 241( ) L = 0,767(H) thì y
min
U
AM
cực đại.
22
max
( 4 )
482( ).
2
CC
AM
U R Z Z
U
R

Bài toán 2:
Cho mạch điện như hình vẽ:
2cos
AB
u U t

R không đổi, cuộn dây thuần cảm có L không đổi. Tụ C có điện dung thay đổi
. Tìm C để U
AM
cực đại? Tính giá trị cực đại đó?


BÀI GIẢI

22
.
.
()
AM
AM AM
LC
UZ
U I Z
R Z Z

2
22
2
1

AM
L L C
C
UU
U
y
Z Z Z
RZ

U
AM
cực đại khi y = y
min
.
M

C
L
R
A
B
Sáng kiến kinh nghiệm


Một số cách giải bài
15
Tương tự như bài toán 1, ta tìm được : Khi
22
4
2

LL
C
R Z Z
Z
thì y
min
và
U
AM
cực đại.

22
max
( 4 )
2
LL
AM
U R Z Z
U
R
khi
22
2
(4
LL
C
R Z Z

Sáng kiến kinh nghiệm


Một số cách giải bài
16
C. KẾT LUẬN

Bằng thực tế giảng dạy ở trường THPT, tôi nhận thấy “các cách giải bài toán
Vật lý ” tìm giá trị cực đại, cực tiểu của
các đại lượng vật lý được nêu trên đã phát huy được những ưu điển , đã cũng
cố được cách làm bài tập Vật lý cho học sinh.
Đây là một đề tài được áp dụng để giải các bài toán tương đối khó trong Vật
lý, nên với kiến thức cá nhân còn hạn chế, đề tài thì
quá rộng nên bài viết còn những sai sót nhất định. Tha thiết kính mong quý
đồng nghiệp trao đổi, góp ý chân thành để đề tài được
, hoàn thiện và có tác dụng hữu hiệu hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!






Người thực hiện

Sáng kiến kinh nghiệm


Một số cách giải bài
17


–
2.Gi - -
- -
4.
:Lê Nguyên Long

Sáng kiến kinh nghiệm


Một số cách giải bài
18


……………………………………………………………………………………….

.………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
… …………………………………………………………………………………
…… ………………………………………………………………………………
……… ……………………………………………………………………………
………… …………………………………………………………………………
…………… ………………………………………………………………………
……………… ……………………………………………………………………
………………… …………………………………………………………………
…………………… ………………………………………………………………
……………………… ……………………………………………………………
………………………… …………………………………………………………
…………………………… ………………………………………………………
……………………………… ……………………………………………………
………………………………… …………………………………………………
…………………………………… ………………………………………………
……………………………………… ……………………………………………
………………………………………… …………………………………………
…………………………………………… ………………………………………
……………………………………………… ……………………………………
………………………………………………… …………………………………
…………………………………………………… ………………………………
……………………………………………………… ……………………………
………………………………………………………… …………………………
…………………………………………………………… ………………………
……………………………………………………………… ……………………
………………………………………………………………… …………………
…………………………………………………………………… ………………
……………………………………………………………………… ……………
………………………………………………………………………… …………

…………………………………………………………………………… ………
……………………………………………………………………………… ……
………………………………………………………………………………… …
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………….
.………………………………………………………………………………………
Sáng kiến kinh nghiệm


Một số cách giải bài
19
……………………………………………………………………………………
… …………………………………………………………………………