Quan hệ vuông góc trong không gian

Tài liệu thể tích lớp 12

Vấn đề 1: Ôn tập quan hệ vuông góc
I. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Bài 1. Cho hìmh chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều; Tam
giác SCD vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB, CD
1. Tìm độ dài các cạnh của tam giác SIJ
2. Chưng minh rằng:
)(),( SABSJSCDSI 

3. Gọi H là hình chiếu của S trên IJ. Chứng minh rằng
ACSH 

4. Gọi M là điểm trên đường thẳng CD sao cho
SABM 
. Tính AM theo a
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và
2aSC 
. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD.
1. Chứng minh rằng:
)(ABCDSH 

2. Chứng minh rằng:
SDAC  CKSK,
.
Bài 3. Cho tam giác MAB vuông tại M. Trên đường thẳng vuông góc với (MAB) tại A ta lấy hai
điểm C, D ở hai phía điểm A. Gọi C’ là hình chiếu vuông góc của C trên MD, H là giao điểm của
AM và CC’.
1. Chứng minh rằng
)(' MBDCC 

2. Gọi K là hình chiếu của H trên AB. Chứng minh rằng K là trực tâm tam giác BCD.
II. Quan hệ vuông góc giữa hai mặt phẳng
Bài 4: Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông tâm O,
 
AB a,SO ABCD
và
2
a
SO .
Gọi
I,J
lần lượt là trung điểm của các đoạn
AD,BC.
Chứng minh rằng:
a)
   
SAC SBD
b)
   
IJS SBC
c)
   
SAD SBC

Bài 5: Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD =
BC = BD = a, CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Tính AB, IJ theo a và x.
b) Với giá trị nào của x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc.
Bài 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
SB,SC. Tính diện tích tam giác AMN biết rằng hai mặt phẳng (AMN) và( SBC) vuông góc .
Bài 7: Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a,SA
vuông góc với mặt
phẳng
( )
ABCD .
Gọi
M,N
lần lượt là hai điểm trên hai cạnh
BC,D C
sao cho
3
24
aa
BM ,DN .==
Chứng minh rằng hai mặt phẳng
( )
SAM
và
( )
SMN
vuông góc với nhau.

Tài liệu thể tích lớp 12

III. Khoảng cách và góc
Bài 8: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’.
a) Chứng minh rằng BC’ vuông góc với mặt phẳng (A’B’CD)
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB’ và BC’. Đs:
3
3
a

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a.
( ), .SA ABCD SA a
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:
a) SC và BD b) AC và SD.
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi, góc A = 120
0
, BD = a, cạnh bên SA vuông với
đáy, góc giữa mặt (SBC) và đáy là 60
0
. Tính
a) Đường cao của hình chóp Ds:
3
2
a

b) Khoảng cách từ A đến (SBC). Ds:
3
4
a

Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, CA = CB = a,
AA’ =
2a
. Gọi M là điểm giữa của AC.
a) Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) chứa MB’ và vuông góc với (AB’C) cắt lăng trụ.
b) Tính cosin của góc tạo bởi (P) và (ABC).
Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
2aSA 
và SA vuông góc với
đáy. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A lên các đường thẳng SB và SD. Tính:
a) Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (AMN)
b) Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)
IV. Diện tích thiết diện
Bài 13: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, đường cao bằng
2
6a
. Mặt
phẳng (

) qua A và vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.Tính diện tích tứ
giác AB’C’D’ theo a. Đs:
3
3a
2

Bài 14: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. A’B’C’D’. Một mặt phẳng
)(
hợp với mặt đáy
Tài liệu thể tích lớp 12

(ABCD) một góc 45
0
và cắt các cạnh bên của lăng trụ tại M, N, P, Q. Tính diện tích thiết diện,
biết rằng cạnh đáy của lăng trụ là a. Đs:
2a
2

Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông có chiều cao AB=a , đáy BC =a
AD=2a , SA=a
2
và SA

mp(ABCD).
a. CMR: các mặt bên hình chóp là tam giác vuông
b. Lấy M

BC với BM=x (0

x

a) và gọi (

) là mp qua M và song song SA, DC cắt
AD, SD, SC tại N, P, Q .Tính diện tích S của (MNPQ) theo a,x

vị trí của M để S max.