tính khoảng cách trong không gian từ một bài toán cơ bản

1
Mục lục Trang
Đặt vấn đề……………… …………………………………………… ………2
Cơ sở lý thuyết…… ………………………………………………… ……….4
Thực trạng – Giải pháp ………………………………………………………….6
Nội dung: Tính khoảng cách trong không gian………………………….………8
I. Bài toán khoảng cách cơ bản……………………………………….… 8
II. Các bước giải…….…………………………………………………… 8
III Các bài toán minh họa…………………………………………………8
Dạng 1: Các bài toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng… …….8
Dạng 2: Các bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau13
IV. Bài tập tự luyện…………………………………………………… 17
Hiệu quả……………………………………………………………………… 18
Kết luận… …………………………………………………………… ……. 19
Tài liệu tham khảo …………………………………………………………… 20
Phụ lục………………………………………………………………………….21

2
TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
TỪ MỘT BÀI TOÁN CƠ BẢN
Nguyễn Hữu Nghĩa – Trường THPT Nguyễn Việt Dũng

ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong chương trình toán phổ thông nhất là lớp 12, hình học không gian là
một môn học rất thú vị, song đây cũng là môn học khó đối với một số học
sinh. Các em cần phài nắm thật kỹ các định lý về lý thuyết, có óc tưởng
tượng phong phú, đặc biệt là khả năng vẽ và nhìn được hình trong không
gian khi vẽ chúng trong mặt phẳng. Điều này rất khó đối với phần lớn học
sinh. Từ đó làm cho kết quả học tập của các em còn thấp, thậm chí đối với cả
học sinh lớp 12A hoặc lớp chọn 12B1.
Nhằm giúp các em tìm kiếm một phương pháp khác để có thể giải quyết
tốt các bài toán hình học không gian, năm học 2012 – 2013 tôi đã đưa ra một
phương pháp là dùng tọa độ để giải quyết các bài toán hình học không gian,
nhất là các bài toán về khoảng cách. Song, vẫn còn đó một số trở ngại:
+ Việc thiết lập hệ trục tọa độ không phải lúc nào cũng dễ dàng, không
phải học sinh nào cũng làm được.
+ Chuyển từ ngôn ngữ hình học không gian thuần túy sang hình học giải
tích là một vấn đề khó khăn. Nó đòi hỏi các em phải có kỹ năng tính toán
nhất định, bài giải thường dài và rườm rà.
Để các em có thêm một công cụ nữa trong việc giải các bài toán khoảng
cách trong các đề thi đại học, tôi đưa ra một hướng đi mới cho các em. Đó là

“Sử dụng một bài toán đơn giản để giải những bài toán phức tạp”. Hướng đi
này tôi sẽ hướng dẫn các em học sinh qua một chuyên đề nhỏ là chỉ cần ta
giải quyết được bài toán cơ bản thì ta sẽ giải quyết được mọi bài toán khác.
Trong chuyên đề này tôi đưa ra bài toán cơ bản và cách giải, sau đó phân
loại theo từng loại khoảng cách (có hai loại chính: khoảng cách từ điểm đến
mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau) theo từng dạng
hình, có minh họa bằng các đề thi đại học, đề tham khảo và bài tập để các em


3
học sinh vận dụng. Học sinh dựa vào đây có thể tự mình giải quyết được bài
toán hình học không gian thuần túy.
Đây là chuyên đề mà bản thân tôi thấy rất thú vị, có ích đối với học sinh
và giáo viên. Qua chuyên đề này, mong các em học sinh khối 11 trường có
thể áp dụng vào các kỳ kiểm tra, các em học sinh khối 12 áp dụng vào các kỳ
thi đại học cao đẳng để đạt kết quả cao nhất. Tuy nhiên chuyên đề cũng
không tránh khỏi những sai sót nhất định, kính mong sự đóng góp của đồng
nghiệp để chuyên đề thêm hoàn chỉnh, góp phần vào việc nâng cao chất
lượng bộ môn của nhà trường.
Về phương pháp nghiên cứu, tôi thực hiện ở ba công đoạn chủ yếu sau:
Thứ nhất, tôi đưa ra cơ sở lý luận, đó là các kiến thức cơ bản cần thiết về
các cách tính khoảng cách trong không gian.
Thứ hai, tôi xác định bài toán khoảng cách cơ bản và phương pháp giải.
Trên cơ sở phân loại theo từng loại khoảng cách, tôi cho học sinh thực hành
giải các ví dụ minh họa, từ đó đưa ra nhận xét đánh giá những ưu điểm, hạn
chế của cách giải.
Sau cùng là phần thực nghiệm phương pháp này trên cung một nhóm đối
tượng là lớp 12B1 bằng hai bài kiểm tra trước tác động và sau khi tác động
để thẩm định lại hiệu quả của phương pháp này.

4
Phần 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng từ điểm A đến mặt phẳng (P) là độ
dài của AH, với H là hình chiếu của A lên (P).
Ký hiệu:
( ,( ))d A P AH

* Phương pháp xác định khoảng cách
+ Tìm mp(Q) chứa A, vuông góc (P)
+ Tìm giao tuyến a của (P) và (Q)
+ Kẻ AH vuông góc a, khi đó

( ,( ))d A P AH



2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là độ dài của đoạn
vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Ký hiệu:
( , )d a b AB
(AB đoạn vuông góc chung của a và b).
* Phương pháp xác định khoảng cách
2.1. Trường hợp a và b vuông góc :
+ Tìm mặt phẳng (P) chứa b và vuông góc a.
Tìm giao điểm A của a và (P).
+ Kẻ AB vuông góc b, khi đó
( , )d a b AB
.
2.2. Trường hợp a và b chéo nhau tùy ý
+ Tìm mặt phẳng (P) chứa b và song song với a
+ Tìm a’ là hình chiếu của a lên (P), giao điểm
của a’ và b là B.
+ Kẻ BA vuông góc với a, khi đó
( , )d a b AB

Chú ý :
( , ) ( ,( )) ( ,( )),d a b d a P d M P M a   

3. Một số tính chất quan trọng :
3.1. Nếu
/ /( )dP
thì khoảng cách từ mọi điểm M trên d tới (P) là như nhau

a
(P)
(Q)

H
A

b
a
(P)
A
B

b
a
a'
(P)
B
A



5




3.2. Nếu
( )/ /( )PQ
thì khoảng cách từ mọi điểm M thuộc (P) đến (Q) đều
như nhau

3.3. Nếu đường thẳng
AB
cắt (P) tại I khác A và B thì
( ,( ))
( ,( ))
d A P IA
d B P IB







Đặc biệt : Nếu I là trung điểm của AB thì
( ,( )) ( , ( ))d A P d B P

3.4. Nếu a, b là hai đường thẳng chéo nhau và (P) là mặt phẳng chứa b và song
song với a thì
   ( , ) ( ,( )) ( ,( )),d a b d a P d M P M a

d
M
N

d
M
N

K
H
K
K
I
A
A
B
I
B

a
b
a'
N
M



6

Phần 2 : THỰC TRẠNG – GIẢI PHÁP
Thực tế cho thấy, trong những năm gần đây nói chung và năm học 2013 -
2014 nói riêng, học sinh khối 11 và cả học sinh khối 12 rất ngại học hình học
không gian, kết quả học tập hình học của các em rất thấp. Nhìn chung, khối 11
các em phần lớn không biết cách tính hoặc không tính được các loại khoảng
cách, từ đó các em gặp rất nhiều khó khăn trong việc học hình học ở lớp 12. Vì
vậy, trong năm học 2013 – 2014 cả hai lớp đầu tàu của trường (12A, 12B1) đa
số đều bị hỏng kiến thức về khoảng cách. Đây là các lớp tạo nguồn để thi học
sinh giỏi và thi đại học sau này. Song, kết quả học tập của các em vẫn chưa
tương xứng với lớp dẫn đầu, chưa đáp ứng được yêu cầu của giáo viên bộ môn
về thành tích học tập (phụ lục điểm kiểm tra 1 tiết HH đầu năm).
Một số nguyên nhân dẫn đến tình trạng học kém hình học không gian của
học sinh, theo bản thân tôi nhận thấy trong thời gian qua là :
- Môn học HHKG là môn học trừu tượng và khó, có thể nói đây là phần
khó nhất trong chương trình toán THPT; chương trình khá nặng nhưng thời
lượng phân bổ cho hình học thì lại ít.
- Học sinh mất căn bản từ lớp 11, vì lớp 11 các em được học các phần
HHKG về định tính nên khi các em hỏng kiến thức thì đến lớp 12 rất khó để tiếp
cận với phần định lượng.
- Học sinh nắm vững kiến thức lớp 11 nhưng khi các em chỉ vận dụng
kiến thức đó trong một thời gian ngắn (kiểm tra, thi,…) thì các em cũng khó có
thể tìm ra được lời giải (đây là nguyên nhân dẫn đến tình trạng học kém HHKG
của lớp 12A, 12B1).
- Giáo viên cung cấp phương pháp tọa độ, nhưng đến học kỳ 2 các em
mới được học, trong khi nội dung hình học của lớp 12 nằm ở học kỳ 1.
- Giáo viên dạy không tìm ra các phương pháp hữu hiệu hoặc nhiều
phương pháp để học sinh có thể chọn lự khi giải toán. Một số giáo viên có tư
tưởng bỏ luôn HHKG vì trong để thi chỉ có 10% tổng số điểm.
Đây là những khó khăn cơ bản của những năm qua. Năm học 2012 –
2013, tôi đã đưa ra một phương pháp giải toán hình học không gian, đó là

7
phương pháp tọa độ. Đây là phương pháp hay và khá hiệu quả. Tuy nhiên, nó
còn những mặt hạn chế nhất định cần được bổ sung thêm một phương pháp khác
và kết hợp lại để học sinh lựa chọn nhằm giải quyết dứt điểm HHKG.
Với mong muốn kết quả học tập của lớp 12A và 12B1 được nâng lên
trong các kỳ kiểm tra, thi học sinh giỏi, thi đại học sau này cũng như trang bị
thêm cho các em vốn kiến thức khi giải toán, đặc biệt là làm thay đổi nhận thức
của giáo viên và học sinh về môn hình học không gian, tôi nghiên cứu và đưa ra
một phương pháp tính mọi loại khoảng cách từ một bài toán khoảng cách cơ
bản. Đó là nội dung nghiên cứu trong chuyên đề này.

8
Phần 3: TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
TỪ BÀI TOÁN CƠ BẢN
I. BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH CƠ BẢN
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC). Xác định khoảng
cách từ A đến mp (SBC) (A là chân đường cao của hình chóp)
Giải
Gọi AM là đường cao của tam giác ABC khi đó:
BC  AM, BC  SA suy ra (SBC)  (SAM)
Vẽ
( ) ( ,( ))AH SM AH SBC d A SBC AH    

Trong tam giác vuông
SAM
, ta có :

2 2 2
22
1 1 1 .AS AM
AH
AH AS AM
AS AM
   


II. CÁC BƯỚC GIẢI:

Bước 1: Xác định bài toán khoảng cách cơ bản, tính khoảng cách cơ bản
d(A, (P)) = AH.
Bước 2: Tìm giao điểm của đường thẳng AB với (P) là I.
Bước 3: Lập tỉ số
  
( ,( ))
( 0)
( ,( ))
d B P IB
kk
d A P IA
suy ra
( ,( )) . ( ,( )) ( 0)d B P k d A P k

III. CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA

(ABCD) và
SA =
2a
. Tính các khoảng cách sau :
a) d(A, (SBC)) b) d(A, (SBD)) c) d(A, (SCD))
d) d(O, (SCD)) e) d(C, (SBD))
f) d(G, (SCD)) với G là trọng tâm của tam giác SAC)
g) d(H, (SCD)) với H là trọng tâm của tam giác SAB)
h) d(DE, CF) với E, F lần lượt là trung điểm của BC và SD
Giải
Ta có: BC AB, BC SA nên BC (SAB) (1)
Dạng 1: Các bài toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

A
B
C
S
M
H



9

O
B
C
A
D
S
J
L
K
M
H
G



b) Từ A, kẻ AK vuông góc với SO, kết hợp với (3) ta suy ra
AK  (SBC) và d(A, (SBD)) = AK
Xét tam giác vuông SAO, ta có:



22
. 2 5
5
AS AO a
AK
AS AO


25
( ,( ))
5
a
d A SBD AK

c) Tương tự câu a,

6
( ,( ))
3
a
d A SCD AL

d) Tính d(O, (SCD))
Ta có AO cắt mặt phẳng (SCD) tại C nên

( ,( )) 1
( ,( )) 2
d O SCD CO
d A SCD CA

Suy ra

16
( ,( )) ( ,( ))
26
a
d O SCD d A SCD

e) Tính d(C, (SBD))
Ta có AC cắt (SBD) tại O, nên

( ,( ))
1
( ,( ))
d C SBD OA
d A SBD OA

Suy ra

25
( ,( )) ( ,( ))
5
a
d C SBD d A SBD

f) Tính d(G, (SCD)) với G là trọng tâm của tam giác SAC)
Ta có, OG cắt (SCD) tại S nên

( ,( )) 2

( ,( )) 3
d G SCD SG
d O SCD SO

CD AD, CD SA nên CD (SAD) (2)
BD AC, BD SA nên BD (SAC) (3)
a) Từ A, kẻ AJ vuông góc với SB, kết hợp
với (1) ta suy ra AJ  (SBC) và d(A,
(SBC)) = AJ
Xét tam giác vuông SAB, ta có:
  

. . 2 6
3
2 2 2 2
2
AS AB a a a
AJ
AS AB a a

Vậy

6
( ,( ))
3
a
d A SBC AJ

10
Suy ra

26
( ,( )) ( ,( ))
39
a
d G SCD d O SCD

g) Tính d(H, (SCD)) với H là trọng tâm của tam giác SAB)
Gọi M là trung điểm của AB, vì AB song song với (SCD) nên
( ,( )) ( ,( )d M SCD d A SCD

Mặt khác, MH cắt (SCD) tại S nên

( ,( )) 2
( ,( )) 3
d H SCD SH
d M SCD SM

Suy ra
  
2 2 2 6
( ,( )) ( ,( )) ( ,( ))
3 3 9
a
d H SCD d M SCD d A SCD

Vậy


6
( ,( ))
3
a
d A SBC AJ

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
3BA a
,
4BC a
, (SBC)

(ABC),

0
2 3, 30SB a SBC
. Tính
 
 
,d B SAC

Giải
Gọi SH là đường cao tam giác SBC suy ra
SH  (ABC).
* Khoảng cách cơ bản:
( ,( ))d H SAC

Xét tam giác SHB, ta có
00
.sin30 3, cos30 3SH SB a BH SB a   

Kẻ HM  AC, HK  SM, suy ra
22
.
( ,( ))
HS HM
d H SAC HK
HS HM



Xét hai tam giác đồng dạng ABC và HMC:
3 3 3 3
()
5 5 5 5
HM AB
HM HC BC HB a
HC AC
      

 
2
2
3
3.
37
5
( ,( ))
14
3

3
5
a
a
a
d H SAC HK
a
a
   





B
A
C
S
H
M
K



11
Mà BH cắt (SAC) tại C nên
( ,( )) 6 7
4 ( ,( )) 4 ( ,( ))
( ,( )) 7
d B SAC CB a

d B SAC d H SAC
d H SAC CH
    

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = a; M
là trung điểm của AB. Hình chiếu vuông góc của S lên mp (ABC) trùng với tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác MBC. Góc giữa SB vớimặt đáy bằng 60
0
.
1) Tính thể tích khối chóp S.ABC
2) Tính khoảng cách từ C đến (SAB)
Giải
Gọi E, I lần lượt là trung điểm của BM, BC. Ta có:

    
2 3 3 2
3 2 4
AI AM a
AO AI
AO AE

     
3 2 2 2
4 2 4
a a a
IO AO AI

   
22
10

4
a
BO IB OI

  
3
.
1 30
.
3 24
S ABC ABC
a
V S SO

2) Tính khoảng cách từ C đến (SAB)
* Khoảng cách cơ bản: kẻ OH SE, thì
  

22
. 3 130
( ,( ))
52
OS OE a
d O SAB OH
OS OE

Mà OI cắt (SAB) tại A nên
   
( ,( )) 2 2
( ,( )) ( ,( ))

( ,( )) 3 3
d I SAB AI
d I SAB d O SAB
d O SAB AO

Mặt khác, CI cắt (SAB) tại B nên

   
( ,( ))
2 ( ,( )) 2 ( ,( ))
( ,( ))
d C SAB BC
d C SAB d I SAB
d I SAB BI


  
4 130
( ,( )) ( ,( ))
3 13
a
d C SAB d O SAB

Bài 4: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác
A’AC vuông cân, A’C = a. Tính khoảng cách từ A đến (BCD’).
* Khoảng cách cơ bản: khoảng cách từ D đến (BCD’).
C
I
B
A

O
S
M
E
H

  
0
30
.tan60
4
a
SO BO


12
Vì A’AC là tam giác vuông tại A nên
   
2
'
22
aa
AA AC AB

Ta có (BCD’)  (DD’C) (vì BC (DD’C)
Kẻ DH  D’C suy ra DH  (BCD’)
Do đó
  

22

. ' 6
( ,( '))
2
'
DC DD a
d D BCD DH
DC DD

Mà C’D cắt (BCD’) tại trung điểm I của CD’ và C’D nên

   
( ', ( ')) '
1
( ,( '))
6
( ', ( ')) ( ', ( ')) ( ,( '))
2
d C BCD IC
d D BCD ID
a
d C BCD d C BCD d D BCD

Bài 5: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,
BC =
2a
, AA’ = 2a, biết A’ cách đều các đỉnh A, B, C. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của AA’ và AC. Tính khoảng cách từ C’ đến (MNB)
Giải
Gọi E là trung điềm của AH suy ra ME  (ABC). Gọi G là
trọng tâm tam giác ABC, kẻ EQ  GN khi đó BN  (MEQ)

suy ra (MEQ) (MNB). Kẻ EK  MQ thì ta được
* Khoảng cách cơ bản:


.
( ,( ))
22
EQ EM
d E MNB EK
EQ EM

Kẻ HE vuông góc BN, ta có BN vuông góc (SHE).
*
   
1 1 14
22
''
2 2 4
a
EM A H A A AH

* Xét hai tam giác đồng dạng EGQ và BGH ta có:
     
22
.
. . 5
2 12
2
20
5

3
3
aa
EQ BH BH EG BH EG a
EQ
EG BG BG
a
BN

Suy ra
  
   

   
   
   
22
14 5
.
14
4 20
( ,( ))
4 71
14 5
4 20
aa
a
d E MNB EK
aa

I
D'
A'
B'
C'
D
A
B
C
H

a
2
2
a
J
G
A
B
C
B'
C'
A'
H
M
N
E
Q
K

13
* AE cắt (MNB) tại G nên
    
( ,( )) 14
4 ( ,( )) 4 ( ,( ))
( ,( ))
71
d A MNB GA a
d A MNB d E MNB
d E MNB GE

* AC’ cắt (MNB) tại J nên
    
( ',( )) ' 3 14
3 ( ',( )) 3 ( ,( ))
( ,( ))
71
d C MNB JC a
d C MNB d A MNB
d A MNB JA




Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,
AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng
(ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC,
cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60

o
. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Giải
* (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt
phẳng (ABC) nên SA  (ABC)
* Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
bằng 60
0
suy ra góc SBA = 60
0

Gọi P là trung điểm của BC, khi đó
AB // (SPN) suy ra
( , ) ( ,( )) ( ,( ))d AB SN d AB SNP d A SNP

Kẻ AE  NP, AH  SE khi đó


   


(
. 2 3. 2 39
,( ))
13
2 2 2
2
23
d

AS AE a a a
A SNP AH
AS AE
aa

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông
góc của trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB.
Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60
0
. Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng SA và BC theo a.
Giải
Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
Dạng 2: Các bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
E
A
B
C
S
M
N
P
H



14
(ABC) là góc



0
60SCH

* Gọi I là trung điểm của AB khi đó ta có:
   
3
,
62
aa
IH IB HB IC

  
22
7
3
a
CH IH IC

  
0
21
.tan60
3
a
SH CH

* Qua A dựng đường thẳng d song song với BC
Khi đó
( , ) ( ,( , )) ( ,( , ))d BC SA d BC SA d d B SA d
.

* Khoảng cách cơ bản:
( ,( , ))d H SA d

Kẻ HE  d, HK  SE suy ra
 ( , )HK SA d
nên


22
.
( ,( , ))
HS HK
HS HE
d H SA d HK

Do HA = 2HB nên

23
33
a
HE AF
(AF là đường cao tam giác ABC hạ từ A)


   

   
   
   
  

22
21 3
.
42
33
12
21 3
33
( ,( , ))
aa
a
aa
d H SA d HK

* Mà BH cắt (SA,d) tại A
  
3
2
( ,( , ))
( ,( , ))
AB
AH
d B SA d
d H SA d



3 42
28
( ,( , )) ( ,( , ))

a
d B SA d d H SA d

Vậy

42
8
( , )
a
d BC SA

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N
lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM.
Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH =
3a
. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
Giải
Vì hai tam giác AMD và NCD bằng nhau nên
góc


0
90DNC
hay DM  CN. Kẻ d qua C và
song song DM , khi đó
( , ) ( ,( , )) ( ,( , ))d DM SC d DM SC d d H SC d

d
A

C
B
S
E
H
I
K

d
H
B
A
D
C
N
M
K



15
* Khoảng cách cơ bản:
( ,( , ))d H SC d

Vì d song song DM nên HC  d. Kẻ HK  SC
Suy ra HK  (SC,d)), do đó



.

( ,( , ))
2
2
HS HC
d H SC d HK
HS HC


Mà
  

22
22
25
5
CD CD a
CH
CN
DN DC

2 57
19
( ,( , ))
a
d H SC d

Vậy

2 57
19

( , )
a
d DM SC

Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, cạnh
bên
'2AA a
, góc giữa AC’ với (BCC’B’) là 30
0
, M là trung điểm BC. Tính
khoảng cách giữa AM và B’C.
Giải
Góc giữa AC’ với (BCC’B’) là góc giữa
AC’ với BC’ hay


0
' 30BC A
.
Dựng d qua C và song song với AM suy ra
AM // (B’C,d) nên
( , ' ) ( ,( ' , ))d AM B C d AM B C d
.
* Xác định bài toán cơ bản:
( ,( ' , ))d B B C d

Kẻ đường thẳng qua B và vuông góc d, cắt d
và AM lần lượt tại E và I. Kẻ BH  B’E, thì
BH  (B’C,d), khi đó

( ,( ' , )) ( ,( ' , ))d AM B C d d I B C d
và


22
.'
'
( ,( ' , ))
BE B B
BE B B
d B B C d BH

Theo giả thiết,

0
'3
tan30
AB
BC a

   
22
''BC C B C C a

Mà
     






2 2 2
2
.
. 5 2 5
2
2
55
2
a
a
BM BA a a
BI BE BI
BM BA
a
a

d
B
A
C
B'
C'
A'
M
I
E
H

16
Vì thế








2 2 2
2
25
.2
. ' 2 7
5
7
'
25
2
5
( ,( ' , ))
a
a
BE B B a
BE B B
a
a
d B B C d

Mặt khác, BI cắt (B’C,d) tại E nên
  
1 1 7
2 2 7
( ,( ' , ))
( ,( ' , )) ( ,( ' , ))
( ,( ' , ))
EI a
EB
d I B C d
d I B C d d B B C d
d B B C d

Vậy

7
7
( , ' )
a
d AM B C

Bài 5: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB = a, BC = 2a,


0
30ACB
, hình chiếu
vuông góc của A’ lên (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, góc giữa
AA’ với (ABC) là 60

0
. Tính khoảng cách giữa B’C’ và A’C.
Giải
Ta có:
( ' ', ' ) ( ' ',( ' )) ( ',( ' ))d B C A C d B C A BC d B A BC

Vì AB’ cắt (A’BC) tại trung điểm O của A’B và
AB’ nên
( ',( ' )) ( ,( ' ))d B A BC d A A BC
.
* Xác định bài toán khoảng cách cơ bản
( ,( ' ))d G A BC

Kẻ GN vuông góc với BC, GH vuông góc với A’N
Suy ra GH vuông góc với (A’BC) nên


22
'.
'
( ,( ' ))
GA GN
GA GN
d G A BC GH

Vì tam giác ABC có AB = a, BC = 2a,


0
30ACB

nên

.sin
sin 1
BC C
A
AB
, hay tam
giác ABC vuông tại A.
Mặt khác
  
2 1 2 3
00
' .tan60 . .tan60
3 2 3
a
A G AG BC
(1)
Gọi AK là đường cao của tam giác ABC suy ra



22
.3
2
AB AC a
AB AC
AK

Suy ra


13
36
a
GN AK
(2)
O
G
A
B
C
A'
C'
B'
M
N
H
K



17
Từ (1) và (2) ta được



22
'. 2 51
51
'

( ,( ' ))
GA GN a
GA GN
d G A BC
.
Mà AG cắt (A’BC) tại M nên


    
2 51
3
17
( ,( ' ))
( ,( ' )) 3. ( ,( ' ))
( ,( ' ))
MA a
MG
d A A BC
d A A BC d G A BC
d G A BC

Vậy

2 5 1
17
( ' ', ' )
a
d B C A C

IV. CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, AC = a, BC = 2a, (SAC)
tạo với (ABC) một góc 60
0
. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với
trung điểm H của BC. Tính khoảng cách giữa AH và SB.
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành,


0
60BAC
, AB = a,
AC = 4a, hai mặt phẳng (SAB), (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy. Cạnh SD tạo
với mặt đáy một góc
0
45
. Gọi E, F là trung điểm của BC, SD. Tính khoảng cách
giữa DE và CF.
3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD =
22a
,
hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác BCD,
góc giữa (SBC) và (ABCD) là 45
0
. Tính khoảng cách giữa AC và SD.
4) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, có
AB = BC = a, AD = 2a. SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa (SAB) và (ABCD)
là 60
0
. Tính khoảng cách giữa CD và SB.
5) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng

3a
, SC vuông
góc với mặt đáy,


0
120ABC
, góc giữa (SAB) và (ABCD) là 45
0
. Tính khoảng
cách từ A đến (SBD) và khoảng cách giữa SA và BD.
6) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông AC = BC = a, A’B
tạo với (ACC’A’) một góc 30
0
. Gọi M là trung điểm A’B’. Tính khoảng cách từ
M đến (A’BC).


18
7) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc
tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 30
0
. Hình chiếu H của A lên mp (A’B’C’)
thuộc đường thẳng B’C’. Tính khoảng cách từ AA’ tới B’C’.
8) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ABC = 60
0
. Hai
mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa (SAB) và
(ABCD) bằng 30
0

. Tính khoảng cách giữa SA và CD.
9) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD = 60
0
,
BB’=
2a
. Hình chiếu vuông góc của D lên BB’ là K sao cho

1
'
4
BK BB
. Hình
chiếu của B’ lên (ABCD) là H thuộc đoạn BD. Tính khoảng cách giữa B’C và
DC’.
10) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có đoạn thẳng nối hai tâm của hai
mặt bên kề nhau bằng a. Tính khoảng cách giữa AC’ và B’D’
Phần 4: HIỆU QUẢ
Phương pháp này mang lại hiệu quả rất lớn về mặt điểm số cũng như sự
hứng thú đối với môn học của tập thể học sinh lớp 12B1 và lớp 12A.
Thứ nhất, hiện tại lớp 12A và 12B1 không lo ngại như trước khi các em
giải một bài toán HHKG nữa. Thay vào đó là thái độ tích cực, tìm hiểu, phân
tích, xem xét kỹ vấn đề để chuyển sang bài toán khoảng cách cơ bản. Phần lớn
học sinh tiếp cận với phương pháp này thì các em tìm tòi những tài liệu, đề thi
có câu hình học tính khoảng cách trong không gian để giải và chia sẻ với bạn bè,
với giáo viên bộ môn.
Thứ hai, từ kết quả thực nghiệm cho thấy, hiệu quả sau khi có tác động
của phương pháp này là rất cao, kết quả học tập của đa số học sinh tăng lên rõ
rệt; điểm trung bình của cả lớp tăng lên đáng kể. Đặc biệt qua hai lần kiểm tra
trên cùng một đối tượng thì tôi thấy phương pháp này có tác động rất lớn đối với

kết quả học tập của học sinh (xem phụ lục 2).






19
KẾT LUẬN
Chuyên đề này giúp học sinh có một cái nhìn khác hơn hơn về hình học
không gian, các em có thể lựa chọn cho mình một phương pháp giải phù hợp với
từng bài tập cụ thể. Đây là một phương pháp cực mạnh và rất hiệu quả trong
việc tính khoảng cách. Bài toán sẽ trở nên rất dễ dàng nếu các em phát hiện ra
bài toán cơ bản và giải quyết được nó. Đây là vấn đề không khó. Tuy nhiên việc
tìm ra mối liên hệ giữa bài toán yêu cầu và bài toán cơ bản còn chút ít khó khăn.
Việc các em tính toán để tìm đủ các dữ liệu cần thiết là một vấn đề khá phức tạp.
Nó đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về quan hệ vuông góc, các tính
chất quan trọng của hình học phẳng, hệ thức lượng trong tam giác vuông,
Một ưu điểm nổi bật của phương pháp này là khi chúng ta xác định được
bài toán cơ bản và liên kết được nó với bài toán yêu cầu thì bài toán chắc chắn
sẽ được giải quyết và đi đến kết quả một cách dễ dàng. Tùy vào khả năng của
mỗi học sinh, các em có thể chọn cho mình một sự liên kết phù hợp, hiệu quả để
giải quyết được bài toán.
Với những ưu khuyết điểm như vậy, tùy từng bài toán cụ thể mà học sinh
có thể lựa chọn một cách giải phù hợp. Phương pháp nay đòi hỏi học sinh phải
có kiến thức rộng về hình học, các em phải nắm thật vững hình học phẳng và có
kỹ năng vẽ hình nên không áp dụng rộng rãi đươc cho mọi đối tượng học sinh.
Nó chỉ sử dụng cho học sinh khá giỏi nhất là lớp A và các lớp chọn Song đây
cũng là một tài liệu khá tốt để giáo viên có thể giảng dạy và nâng cao chuyên
môn. Một lần nữa tôi khẳng định rằng, đây là một phương pháp rất hay, rất lý

thú và rất bổ ích đối với giáo viên và cả học sinh.
Với tư tưởng là “Giải được mọi bài toán thông qua một bài toán cơ bản”
trong tương lai tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu và xây dựng cách giải tương tự cho bài
toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến.
Qua chuyên đề này cũng mong được sự đóng góp, chia sẻ kinh nghiệm
của quí đồng nghiệp để bản thân bổ sung những hạn chế đồng thời được học hỏi
thêm những vấn đề toán học mà bản thân tôi chưa có điều kiện tiếp cận.



20
Tài liệu tham khảo
1. Sách giáo khoa Hình học 12 – Nâng cao.
2 Sách bài tập hình học 12 – Nâng cao .
3. Lê Hoành Phò - Bồi dưỡng học sinh giỏi toán hình học 12, NXB ĐHQG
Hà Nội.
4. Trần Thành Minh - Bồi dưỡng học sinh giỏi toán hình học 11, NXB ĐHQG
TP Hồ Chí Minh.
5. Phan Huy Khải - Phương pháp giải toán trọng tâm, NXB ĐHSP.
6. Các đề tuyển sinh đại học môn Toán khối A, B, D qua các năm từ năm 2002
đến năm 2013.
7. Tuyển chọn các bài toán THPT thi thử đại học các năm 2011 – 2012 – 2013,
Nhiều tác giả.

21
PHỤ LỤC 1
KẾT QUẢ KIỂM TRA 1 TIẾT HH 12B1 – CHƯƠNG 1
STT
HỌ VÀ TÊN
ĐIỂM
1
Nguyễn Tuấn Anh
8.0
2
Trần Hoài Anh
5.0
3
Nguyễn Thị Kim Bình
6.0
4

Nguyễn Thị Băng Châu
4.0
5
Huỳnh Ngọc Chúc
4.0
6
Tô Doanh Doanh
8.5
7
Châu Thị Mỹ Duyên
6.0
8
Bạch Thái Dương
9.0
9
Lâm Văn Hiếu
6.0
10
Lê Trúc Linh
8.0
11
Đỗ Thị Kiều Nga
7.0
12
Đỗ Kim Ngân
8.0
13
Mạc Thùy Nhung
5.0
14

Nguyễn Thị Quỳnh Như
5.0
15
Đặng Hữu Nuôl
2.0
16
Đặng Phi Phàm
4.0
17
Lâm Tấn Phát
9.0
18
Lâm Hoàng Phúc
8.0
19
Trần Thị Lệ Quyên
1.0
20
Lư Hữu Tài
4.0
21
Nguyễn Minh Tân
7.0
22
Nguyễn Thị Kim Thảo
5.0
23
Mai Quốc Thắng
7.0
24

Phạm Thị Bích Thủy
2.0
25
Nguyễn Thị Cẩm Tiên
5.0
26
Võ Thị Thanh Trà
3.0
27
Lê Thị Cẩm Trinh
2.0
28
Nguyễn Trần Quốc Trung
1.0
29
Trần Tuấn
8.0
30
Võ Ngọc Tuyền
9.0
31
Võ Ngọc Tỷ
4.0
32
Nguyễn Bùi Thu Uyên
6.0
33
Trần Ánh Vi
4.0
34

Phạm Văn Vũ
8.0
35
Nguyễn Thị Kim Ý
4.0







22
PHỤ LỤC 2
KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM TRÊN NHÓM 12A
STT
HỌ VÀ TÊN
KT TRƯỚC TÁC ĐỘNG
KT SAU TÁC ĐỘNG
1
Nguyễn Tuấn Anh
8
9
2
Trần Hoài Anh
8
9.5
3
Nguyễn Thị Kim Bình
4.8

7
4
Nguyễn Thị Băng Châu
5
8
5
Huỳnh Ngọc Chúc
6
6.5
6
Tô Doanh Doanh
9
10
7
Châu Thị Mỹ Duyên
6.5
6.5
8
Bạch Thái Dương
6.8
9.3
9
Lâm Văn Hiếu
7
9
10
Lê Trúc Linh
6
9.8
11

Đỗ Thị Kiều Nga
5.8
6.8
12
Đỗ Kim Ngân
7.8
10
13
Mạc Thùy Nhung
6.3
8
14
Nguyễn Thị Quỳnh Như
4
5.5
15
Đặng Hữu Nuôl
5
6
16
Đặng Phi Phàm
7.8
9
17
Lâm Tấn Phát
7
9
18
Lâm Hoàng Phúc
7

9
19
Trần Thị Lệ Quyên
1.8
7
20
Lư Hữu Tài
7
8.5
21
Nguyễn Minh Tân
6.8
8
22
Nguyễn Thị Kim Thảo
7
6.5
23
Mai Quốc Thắng
7.5
9
24
Phạm Thị Bích Thủy
6.5
7.5
25
Nguyễn Thị Cẩm Tiên
4.5
8
26

Võ Thị Thanh Trà
4.8
8
27
Lê Thị Cẩm Trinh
3.5
7.3
28
Nguyễn Trần Quốc Trung
5
5.8
29
Trần Tuấn
6.5
6.5
30
Võ Ngọc Tuyền
6
10
31
Võ Ngọc Tỷ
5
9
32
Nguyễn Bùi Thu Uyên
3.5
7.3
33
Trần Ánh Vi
5

8
34
Phạm Văn Vũ
9
10
35
Nguyễn Thị Kim Ý
3
7.3

HỆ SỐ TƯƠNG QUAN : r
hh
=
0.59

ĐỘ TIN CẬY: R
SB
=
0.74

MỐT
5
9

TRUNG VỊ:
6.3
8

GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH:
6.0

8.05

ĐỘ LỆCH CHUẨN:
1.67
1.32

GIÁ TRỊ p =
3.69916E-10


23
Từ kết quả xử lý số liệu cho thấy:
+ Độ tin cậy của dữ liệu là khá cao ( R
SB
= 0,74 > 0,7), tức là dữ liệu này đáng
tin, không phải là ngẫu nhiên và có độ tập trung cao.
+ Giá trị trung bình sau khi tác động có tăng lên đáng kể.
+ Qua kiểm chứng bằng phép kiểm chứng T-TEST phụ thuộc, thì giá trị của
p = 3.69916E-10 < 0,05 nên sự thay đổi giá trị trung bình này là có ý nghĩa.
Kết luận: Phương pháp này khi tác động vào nhóm học sinh lớp 12B1 đã
làm thay đổi kết quả học tập của các em theo hướng tích cực.