skkn một số phương pháp tính khoảng cách trong không gian

1

PHẦN I. LỜI MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài
Toán học là công cụ giúp học tốt các môn học khác, chính vì vậy nó đóng một
vai trò vô cùng quan trọng trong nhà trường. Bên cạnh đó nó còn có tiềm năng phát
triển các năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ,giúp học sinh hoạt động có hiệu quả
trong mọi lĩnh vực của đời sống sản xuất.
Toán học mang sẵn trong đó chẳng những phương pháp quy nạp thực nghiệm,
mà cả phương pháp suy diễn lôgic. Nó tạo cho người học có cơ hội rèn luyện khả
năng suy đoán và tưởng tượng. Toán học còn có tiềm năng phát triển phẩm chất đạo
đức, góp phần hình thành thế giới quan khoa học cho học sinh. Toán học ra đời từ
thực tiễn và lại quay trở về phục vụ thực tiễn. Toán học còn hình thành và hoàn
thiện những nét nhân cách như say mê và có hoài bão trong học tập, mong muốn
được đóng góp một phần nhỏ của mình cho sự nghiệp chung của đất nước, ý chí
vượt khó, bảo vệ chân lý, cảm nhận được cái đẹp, trung thực, tự tin, khiêm tốn,….
Biết tự đánh giá mình, tự rèn luyện để đạt tới một nhân cách hoàn thiện toàn diện
hơn. Mặt khác toán học còn có nhiệm vụ hình thành cho học sinh những kỹ năng:
- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán để giải các bài tập toán
- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học để học tập các môn học khác.
- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào đơì sống, kỹ năng đo đạc, tính
toán,sử dụng biểu đồ, sử dụng máy tính….
Tuy nhiên cả ba kỹ năng trên đều có quan hệ mật thiết với nhau. Kỹ năng thứ
nhất là cơ sở để rèn luyện hai kỹ năng kia. Chính vì vậy kỹ năng vận dụng kiến thức
để giải bài tập toán là vô cùng quan trọng đối với học sinh. Trong đó việc trình bày
lời giải một bài toán chính là thước đo cho kỹ năng trên. để có một lời giải tốt thì
học sinh cần có kiến thức, các kỹ năng cơ bản và ngược lại có kiến thức, có các kỹ
năng cơ bản thì học sinh sẽ trình bày tốt lời giải một bài toán.
II. Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu mong muốn sẽ giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm đã
nêu về toán học từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán nói riêng và đạt kết quả

cao trong quá trình học tập nói chung.
2

Ý nghĩa rất quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháp tối ưu
nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một hệ thống chương trình
quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải các bài
toán. Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có của học sinh,
gây hứng thú học tập cho các em.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:
- Kỹ năng là gì? Cơ chế hình thành kỹ năng là như thế nào?
- Những tình huống điển hình nào thường gặp trong quá trình giải quyết những
vấn đề liên quan.
- Trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan, học sinh thường gặp những khó
khăn và sai lầm nào?
- Những biện pháp sư phạm nào được sử dụng để rèn luyện cho học sinh kỹ
năng giải quyết các vấn đề liên quan?
- Kết quả của thực nghiệm sư phạm là như thế nào?
IV. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu:
- Các dạng toán về tính khoảng cách trong hình học không gian và phương pháp
giảng dạy toán để giúp nâng cao hứng thú và kết quả học tập của học sinh.
- Học sinh lớp 11B5, 11B9 trường THPT Nguyễn Việt Dũng
V. Phương pháp nghiên cứu:
Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương
pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm.
Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo,
phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…). Bước đầu mạnh dạn
thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có kinh nghiệm về kết quả thu được
(nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả kiểm tra,…) và đi đến kết
luận.

Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học
sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học
sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán.
Qua quá trình dạy hình học không gian 11, tôi nhận thấy rằng, đa số các em học
sinh còn “chưa thạo” trong viêc giải các bài toán về tính khoảng cách trong hình
3

học không gian. Nguyên nhân cơ bản là do học sinh chưa phân biệt rõ ràng dạng bài
tập để lựa chọn công cụ, phương pháp giải cho phù hợp. Để góp phần nhỏ của mình
vào việc hệ thống lại các phương pháp giải toán, tạo sự thích thú cho các em học
sinh. Giúp các em “không còn ngán ngại” khi gặp bài toán tính khoảng cách. Tôi
xin được phép trình bày hai dạng toán tính khoảng cách thường gặp trong hình học
không gian đó là : “Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau”.

4

PHẦN II. NỘI DUNG
I. Bài toán 1: Trong không gian cho điểm  không thuộc mặt phẳng
()

tính
khoảng cách
 
;( )dM

từ  đến mặt phẳng
()

.

Để tính khoảng cách từ  đến mặt phẳng
()

ta có thể sử dụng:
1. Phương pháp trưc tiếp: Xác định chân đường vuông góc H hạ từ M đến mặt
phẳng
()

.

Ví dụ 1: Cho hình chóp   có đáy  là hình thang cân có  
        và có cạnh  vuông góc , với  

a6
. Tính khoảng cách từ  đến .
Giải:


Theo giả thiết ta có: 

 

     
3
.
Ta có
D
D
C AC
C SA






   .
Kẻ 

 tại . Ta có 


Nên suy ra 

. Vậy   
 
;( )d A SCD

Xét tam giác  vuông tại  có  là đường cao,
do đó
2 2 2
22
1 1 1 1 1
( 6) ( 3)
AH SA AC
aa
   
2
1
2a


22
22AH a AH a   


D
B
C
A
S
H
5

Nhận xét: Không phải bài toán nào ta cũng xác định được ngay chân đường vuông
góc hạ từ điểm đó đến mặt phẳng như ở ví dụ 1, vì vậy chúng ta cần phải có những
cách giải khác khi gặp những bài toán phức tạp hơn.

Cách giải khác: Chỉ ra một mặt phẳng
()


đi qua  và
()


()

. Tìm giao tuyến
( ) ( )


  
. Kẻ 


thì 
 
;( )dM

 .

Ví dụ 2: Cho hình chóp   có đáy  là hình thang cân có  
        và có cạnh  vuông góc , với  

a6
. Tính khoảng cách từ  đến .

Nhận xét: Ở ví dụ này ta chưa thể tìm ngay được chân đường vuông góc hạ từ 
đến  mà ta phải làm như sau.

Giải:

Qua  kẻ 

 











  
Qua  kẻ 





 Vậy  
 
;( )d A SBC

Xét tam giác vuông  ta có

2
2 2 2
2
1 1 1 1 1
( 6)
3
2
AF SA AE
a
a





   
=
2
9
6a
2
2
66
93
aa
AF AF   

E
D
B
C
A
S
F
6

Vậy
 
;( )d A SBC
=
6
3
a

2. Phương pháp gián tiếp:
Tìm đường thẳng

qua  và

cắt 
()


tại . Trên

chọn điểm
 
,A I A M
.
Lúc đó
 
 
 
 
;
;
dM
IM
IA
dA





dẫn đến
 
 
 
;( ) .
;
d A IM
dM
IA





Nhận xét: Ở phương pháp này thay vì tính khoảng cách từ  đến mp
()

ta đưa về
tính khoảng cách từ một điểm khác  thuộc đường thẳng

đi qua  mà khoảng
cách đó tính được một cách dễ dàng.

Ví dụ 3: Cho hình chóp   có đáy  là hình vuông cạnh .  vuông
góc với ,   
a3
. Gọi  là trọng tâm tam giác . Tính khoảng
cách từ  đến .

Giải:

Gọi  là tâm hình vuông .
Ta có đường thẳng  cắt mặt phẳng  tại .
O
G
F
C
A
D
B
S
I
A
M


7

Khi đó
 
 
 
 
;
1
3
;

d G SAC
FG
FB
d B SAC


Mà
()
OB SA
OB SAC
OB AC






nên
 
2
;( )
2
a
d B SAC OB

Vậy
 
1 2 2
;( )
3 2 6

aa
d G SAC 
.


Nhận xét: ở bài này nếu ta sử dụng phương pháp trực tiếp để tính khoảng cách sẽ
gặp khó khăn hơn.

II. Bài toán 2: Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau  và . Tính
khoảng cách giữa  và .
Để giải bài toán này có 3 cách sau:

Cách 1: Áp dụng cho trường hợp 


Ta chọn 
()

chứa  và vuông góc với  tại .
Dựng 

 tại . Khi đó    .

Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
có tất cả các cạnh đều bằng . Gọi 
là trung điểm của đoạn . Chứng minh 

 và tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng  và .

Giải:
Do lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
có các cạnh bằng  nên các mặt bên là các hình
vuông bằng nhau còn đáy là các tam giác đều.
Gọi  là trung điểm của
''AC
. Do tam giác
' ' 'A B C
đều nên 
'BI
''AC


' ( ' ')B I ACC A


'BI
'MC
(*)
(1)' ' ' ' ' 'A C M C CI MC A C CI    

Mà
0
' ' 90C CI C IC
(2)
Từ (1), (2) suy ra
0
' ' ' 90MC A C IC




 (**)
Từ (*) và (**) ta suy ra
'MC


8



''
' ( ') '
''
MC B C
B C MBC B C MB
BC B C




   



Gọi  là giao điểm  và 
 
' , ( , )d B C MB d O MB h  
.

Mà
'MBC
có    
2
2
5
42
aa
a 


'MBC
cân đỉnh .
có   
22
1 2 5 2 3
2, ' ,
2 2 4 4 2
a a a a
OB BC OM    

Suy ra    
32
.
. 30
22
10
5
2
aa

OM OB a
MB
a

.

Cách 2: Dựng mặt phẳng
()

chứa  và 
()


Khi đó
     
; ;( ) ;( )d a b d b d B


với  là một điểm bất kì thuộc .

Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
đáy  là tam giác vuông và
    ,
'2AA a
. Gọi  là trung điểm của cạnh . Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng  và .
O
I
M

A
C
B'
C'
A'
B
H
9

Giải:
Gọi  là trung điểm của  khi đó 

 nên
 
     
'; ' ;( ) ;( ) ;( )d B C AM d B C AMN d C AMN d B AMN  






Mặt khác tứ diện  vuông đỉnh  nên

 
;( )d B AMN
  với  là trực tâm
AMN



2 2 2 2
1 1 1 1
BH BA BM BN
  
7
a
BH
.
Vậy
 
;'
7
a
d AM B C 


Cách 3: + Dựng mặt phẳng
()

chứa  và 
()

.
+ Dựng mặt phẳng
()

chứa  và 
()

.

Khi đó
     
; ( );( ) ;( )d a b d d A
  

với  là một điểm bất kì thuộc
()



Ví dụ 6: Cho hình lập phương
' ' '.'ABCD A B C D
có cạnh . Lấy    lần lượt là
trung điểm của   . Tính khoảng cách giữa  và .

Giải:
N
M
A
C
B'
C'
A'
B
10


Gọi        lần lượt là trung điểm 

 


 



    
.

Khi đó .
Ta có 

.
Thật vậy hình chiếu của  lên mặt phẳng
(A'B'C'D')
là 
. .
Mà
' ' ' 'A C B D

nên
' ' 'A E B D
(định lí 3 đường vuông góc).
Hình chiếu của  lên
''()AA D D
là  mà
''A F MD


''A E MD
. Từ đó

' ' '()A E MNB D
.
Tương tự
' ()A E BPQD
.
Gọi   lần lượt là giao điểm của  với  và . Khi đó độ dài  chính là
khoảng cách giữa  và 
Áp dụng định lí Talet cho tam giác  ta có
2
2
'
17
.2
' ' ' ' ' 4 4 8
JI RO RO a a
IJ A E a
A E A C A C
     
.
Vậy
7
( ; )
8
a
d MN BP 
.

III. Bài toán vận dụng
Bài 1. Cho hình chóp   có đáy là hình vuông  cạnh  và có tâm ,
   và   . Hãy tính các khoảng cách:

S
J
I
O
T
R
Q
F
E
P
N
M
B'
C'
C
D
A
A'
D'
B
11

a) Từ điểm  đến .
b) Từ điểm  đến .
c) Từ đường thẳng  đến đường thẳng .
Bài 2. Cho hình lăng trụ   có các mặt bên đều là hình vuông cạnh . Gọi
   lần lượt là trung điểm của các cạnh  




 . Tính khoảng cách giữa
các cặp đường thẳng sau:
a)  và .
b)  và .
c)  và .
12

PHẦN III : KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
1. KẾT LUẬN
Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:
1. Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự hình
thành kĩ năng học và giải bài tập toán cho học sinh.
2. Đưa ra được một số dạng toán điển hình liên quan đến nội dung chuyên đề
thực hiện.
3. Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết các
vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.
4. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh học tính khả thi và hiệu quả của
những biện pháp sư phạm được đề xuất.
Như vậy có thể khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu đã được thực hiện,
nhiệm vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận được.
Trong quá trình giảng dạy môn Toán tại trường, từ việc áp dụng các hình
thức rèn luyện cách trình bày lời giải bài toán cho học sinh đã có kết quả rõ rệt, bản
thân tôi rút ra được nhiều bài học kinh nghiệm về phương pháp rèn luyện cách trình
bày lời giải bài toán cho học sinh đó là :
1 – Trình bày bài giải mẫu.
2 – Trình bày bài giải nhưng các bước sắp xếp chưa hợp lý.
3 - Đưa ra bài toán có gợi ý giải.
4 - Đưa ra bài giải sẵn có chứa sai sót để yêu cầu học sinh tìm chỗ sai và sửa lại cho
đúng.
Cũng qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, với nội dung và

phương pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về Toán học nói
chung. Vấn đề tôi thấy học sinh khá, giỏi rất hứng thú với việc làm mà giáo viên đã
áp dụng trong chuyên đề này.
2. KIẾN NGHỊ
1. Với Sở GD&ĐT
Quan tâm hơn nữa đến việc bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ cho giáo viên
dạy toán. Nên tổ chức các hội thảo chuyên đề chuyên sâu về hình học không gian
cho giáo viên trong thành phố.

13

2. Với BGH nhà trường
- Hiện nay, nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên vẫn còn thiếu
những cuốn sách hay, dễ hiểu để cho học sinh có thể tự nghiên cứu. Vì vậy nhà
trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo môn Toán để
học sinh được tìm tòi, học tập khi giải toán để các em có thể tránh được những sai
lầm trong khi làm bài tập và nâng cao hứng thú, kết quả học tập môn toán nói riêng,
nâng cao kết quả học tập của học sinh nói chung.
3. Với PHHS
- Quan tâm việc tự học, tự làm bài tập ở nhà của con cái. Thường xuyên kiểm
tra sách, vở và việc soạn bài trước khi đến trường của các con.