Giải bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số

Khóa học: Bất đẳng thức trong đề thi ĐH


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –ThS. Nguyễn Thế Chinh

BÀI GIẢNG SỐ 4. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Dạng 1. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Cho hàm số f(x). Khi đó, ta có:
 Nếu f(x) đồng biến


0
f '(x)

thì f(x) > f()  x > ; f(x) < f()  x < .
 Nếu f(x) nghịch biến


0
f '(x)

thì f(x) > f()  x < ; f(x) < f()  x > .
 Nếu f(x) đồng biến hoặc nghịch biến, ta đều có f(x) = f()  x = .

Ví dụ 1: Chứng minh mọi x > 0, ta có:
a) e
x
> 1 + x.
b)

2
x
x1e
2
x
 .
c)
2
cos 2 , .
2
x
x
x e x x R
     

Lời giải
a) Xét f(x) = e
x
– x – 1, x > 0.
Có f
’
(x) = e
x
– 1 > e
0
– 1 = 0  f(x) đồng biến trên x > 0.
Do đó với x > 0 thì f(x) > f(0)  e
x
– x – 1 > 0  e
x

> x + 1  đpcm.
b) Xét 1x
2
x
e)x(g
2
x
 , x > 0.
Có g
’
(x) = e
x
– x – 1 > 0 (theo a)  g(x) đồng biến trên x > 0.
Do đó với x > 0 thì g(x) > g(0)
1x
2
x
e01x
2
x
e
2
x
2
x

 đpcm.
c)
2
cos 2 0, .

2
x
x
x e x x R
      

Xét hàm số
2
( ) cos 2 ( ).
2
x
x
f x x e x x R
       Ta có

'
( ) sin 1
x
f x x e x
    
và
''
( ) cos 1 1 cos 0,
x x
f x x e x e x R
         

Vậy
'
( ) 0

f x

có nghiệm duy nhất
0.
x


Bảng biến thiên.



Khóa học: Bất đẳng thức trong đề thi ĐH


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –ThS. Nguyễn Thế Chinh



x


0


'( )
f x

- 0 +
( )

f x



Từ bảng biến thiên chúng ta suy ra:
( ) 0
f x

với
x R
 
. (đpcm).

Ví dụ 2: Chứng minh 0yx
ylnxln
yx
2
yx





.
Lời giải
Có )yx(2)ylnx)(lnyx(
ylnxln
yx
2
yx







0
1
y
x
1
y
x
2
y
x
ln
1
y
x
1
y
x
2
y
x
ln
yx
yx
2ylnxln 









 .
Đặt
1
y
x
t 
, ta được: 1t,1
1
t
1t
2tln 


 .
Xét 1t),
1
t
2
1(2tln
1
t
1t

2tln)t(f 




 .
Có 1t0
)1t(t
)1t(
)1t(
4
t
1
)t(f
2
2
2
'






 f(t) đồng biến với t > 1  f(t) > f(1) = 0  t > 1  đpcm.

Ví dụ 3. Cho a  6, b  -8, c  3. Chứng minh mọi x  1, ta có: x
4
– (ax
2

+ bx + c)  0.
Lời giải
Xét f(x) = x
4
– (ax
2
+ bx + c), x  1.
Có f
’
(x) = 4x
3
– (2ax + b).
f
’’
(x) = 12x
2
– 2a  12 – 2a = 2(6 – a)  0 (do x  1, a  6)
 f
’
(x) đồng biến trên x  1


0




Khóa học: Bất đẳng thức trong đề thi ĐH

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –ThS. Nguyễn Thế Chinh

 Với x  1 thì f
’
(x)  f
’
(1) = 4 – (2a + b)  4 – (12 – 8) = 0
 f(x) đồng biến trên x  1
 Với x  1 thì f(x)  f(1) = 1 – (a + b + c)  1 – (6 – 8 + 3) = 0
 x
4
– (ax
2
+ bx + c)  0  đpcm.

Dạng 2. Sử dụng hàm đặc trưng

Ví dụ 4. Cho 0 < a < b < 1. Chứng minh rằng
a
2
lnb – b
2
lna > lna – lnb (1)
Lời giải
Có
1
b
bln
1

a
aln
aln)1b(bln)1a()1(
22
22



 (2)
Xét hàm số đặc trưng
1t0,
1
t
tln
)t(f
2



.
Có
1t00
)1t(
tlnt2
t
1
t
)t(f
22
'





 f(t) đồng biến với 0 < t < 1.
Do đó với 0 < a < b < 1  f(a) < f(b)  (2) đúng  (1) đúng  đpcm.

Ví dụ 5. Chứng minh: 2005
2006
> 2006
2005

Lời giải
Có 2005
2006
> 2006
2005
 ln2005
2006
> ln2006
2005

 2006ln2005 > 2005ln2006
2006
2006ln
2005
2005ln

(1)
Xét

x
xln
)x(f  , x  e.
Có ex0
x
xln1
)x(f
2
'


  f(x) nghịch biến trên x  e.
Do đó với 2005 < 2006 thì f(2005) > f(2006)
2006
2006ln
2005
2005ln

 (1) đúng  đpcm.

Ví dụ 6. [Khối D – 2007]. Cho a  b > 0. Chứng minh
a
b
bb
a
a
)
2
1
2()

2
1
2(  (1)
Khóa học: Bất đẳng thức trong đề thi ĐH


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –ThS. Nguyễn Thế Chinh

Lời giải
Có
abbaabba
ab
ab
ab
ba
)14ln()14ln()14()14(
2
)14(
2
)14(
)1( 





b
)14ln(
a

)14ln(
)14ln(a)14ln(b
ba
ba




(2)
Xét
0t,
t
)14ln(
)t(f
t



.
Có




















 )14ln(
14
4ln.t.4
t
1
)14ln(t.
14
)14(
t
1
)t(f
t
t
t
2
t
t
't
2
'




 0t0
)14(t
)14ln()14(4ln4
t2
tttt
f(t) nghịch biến trên miền t > 0.
Do đó với a  b > 0  f(a)  f(b)
b
)14ln(
a
)14ln(
ba




 (2) đúng  (1) đúng.
Ví dụ 7: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có 3 góc nhọn thỏa mãn điều kiện
1 1 5
(cos3 cos3 ) (cos2 cos2 ) (cos cos )
3 2 6
A B A B A B
     

Thì tam giác ABC là tam giác đều.
Lời giải
Trước hết ta viết vế trái về dạng:

1 1 1 1
( cos3 cos2 cos ) ( cos3 cos2 cos ) ( , 0;
3 2 3 2 2
VT A A A B B B A B

 
      
 
 

Xét hàm đại diện
1 1
( ) cos3 cos2 cos ( 0; )
3 2 2
f x x x x x

 
   
 
 
. Ta cú
'( ) sin3 sin 2 sin
f x x x x
   

sin3 sin2 sinx 0 sin 2 (1 2cos ) 0
3
x x x x x

        

Bảng biến thiên
X
0
3


2


f’(x)



0

+

f(x)

5
12


Từ bảng biến thiên ta có

5
( ) ( ) 2 ( )
3 6
VT f A f B f


   
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
3
A B

 
.
Khóa học: Bất đẳng thức trong đề thi ĐH


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –ThS. Nguyễn Thế Chinh

Suy ra tam giác ABC đều.

BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1. Chứng minh mọi
)
2
,0(x


, ta có:
a) sinx + tgx – 2x > 0 b) 2sinx + tgx – 3x > 0
c) .
1xtgxxsin
2
2
2




d) .
1
2
x3
tgxxsin2
2
2
2




Bài 2. Chứng minh:
e
e 

.
Bài 3. Cho ABC nhọn. Chứng minh:
a) sinA + sinB + sinC +tgA + tgB + tgC > 2 .
b) 2(sinA + sinB + sinC) + tgA + tgB + tgC > 3.
Bài 4. Cho 0 < a < b < 1. Chứng minh: )ab(4
)b1(a
)a1(b
ln 


.

Bài 5.
a. Tìm giá trị lớn nhất của
1x
3x
y
2



.
b. Cho a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 101c1b1a
222
 .
Bài 6. Cho hai số
*
, , (0 )
2
p q N

   
. Chứng minh rằng:
 
sin cos
p q
p q
p q
p q
p q

  



Bài 7. Cho a, b, x > 0 và
a b

. Chứng minh rằng:
b x b
a x a
b x b


   

   

   

Bài 8. Chứng minh rằng với
0
x

, ta có:
2 3
log (1 2 ) log (3 ( 2) )
x x x
  

Bài 9. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng
a.
1 1 1

cot cot cot 3 3 2( )
sin sin sin
A B C
A B C
     
b.
2 2 2
125
(1 cos )(1 cos )(1 cos )
64
A B C   
Bài 10. Chứng minh rằng với mọi
0;
2
x

 

 
 
, ta luôn có:
2
2
4 4
sin
x x x
 
 