phức cousin của các môđun trên vành giao hoán

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
LÊ HỮU GIÁP
PHỨC COUSIN CỦA CÁC MÔĐUN
TRÊN VÀNH GIAO HOÁN
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
LÊ HỮU GIÁP
PHỨC COUSIN CỦA CÁC MÔĐUN
TRÊN VÀNH GIAO HOÁN
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60. 46. 01. 04
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HOÀNG
THÁI NGUYÊN - 2014
Xác nhận của khoa
chuyên môn
Xác nhận của cán bộ
hướng dẫn
i
Mục lục
Mở đầu 1
1 Kiến thức chuẩn bị 4
1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . 4
1.2 Môđun mở rộng Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Vành Cohen-Macaulay và vành Gorenstein . . . . . . . . 11
2 Xây dựng phức Cousin 14
2.1 Một số tính chất về tập các iđêan nguyên tố . . . . . . . . 14
2.2 Xây dựng phức Cousin cho một môđun . . . . . . . . . . 19

2.3 Tính chất của phức Cousin cho một môđun . . . . . . . . 21
3 Đặc trưng một số vành qua phức Cousin 25
3.1 Phức Cousin và vành các phân thức . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Đặc trưng của vành Cohen-Macaulay qua phức Cousin . . 32
3.3 Đặc trưng của vành Gorenstein qua phức Cousin . . . . . 36
Kết luận 41
Tài liệu tham khảo 42
1
Mở đầu
Phức Cousin của các môđun trên vành giao hoán là một công cụ để nghiên
cứu về cấu trúc của một số lớp môđun quan trọng của Đại số giao hoán và
Hình học đại số. Phức Cousin của các môđun trên vành giao hoán được nghiên
cứu bởi tác giả R. Y. Sharp năm 1969 (xem [17]). Từ đó đến nay phức Cousin
đã được ứng dụng khá nhiều bởi các nhà toán học trên thế giới, chẳng hạn R.
Y. Sharp ([17], [18]), P. Schenzel ([19]), T. Kawasaki ([10]), M. Dibaei ([5]),
Cho A là vành giao hoán Noether và M là A−môđun. Trong [17], Sharp đã
xây dựng phức Cousin của môđun M:
C
A
(M) : 0 −→ M
d
−1
−−→ M
0
d
0
−→ M
1
−→ −→ M
n

d
n
−→ M
n+1
−→
thỏa mãn tính chất Supp(Coker(d
n−2
)) ⊆ U
n
(M) với mọi n ≥ 0, trong đó
U
n
(M) = {p ∈ Supp(M) | dim
A
p
(M
p
) ≥ n}
(xem Định nghĩa 2.2.1). Tiếp theo Sharp đã sử dụng phức Cousin để đặc trưng
được lớp vành Cohen-Macaulay và vành Gorenstein, đó là các vành quan trọng
của Đại số
Mục đích chính của luận văn là trình bày lại chi tiết các chứng minh của
các kết quả trong bài báo [17] của R. Y. Sharp "The Counsin Complex for a
Module over a Commutative Noetherian Ring, Math. Z. 112 (1969), 340-356"
về phức Cousin và một số áp dụng của nó như đã nêu tóm tắt ở trên. Luận
văn được chia làm 3 chương.
• Chương 1. Trình bày các kiến thức cơ sở để chứng minh các kết quả
chính của luận văn, bao gồm: tập giá và tập iđêan nguyên tố liên kết của
môđun, khái niệm chiều, độ cao, môđun Ext, môđun Cohen-Macaulay,
vành Gorenstein.

2
• Chương 2. Trình bày một số tính chất về một số tập các iđêan nguyên tố
đặc biệt (ở Mục 2.1). Trên cơ sở đó trình bày định nghĩa về xây dựng phức
Cousin C
A
(M) cho một A−môđun M (ở Mục 2.2). Phần tiếp của Chương
2 dành để trình bày một số tính chất quan trọng khác của phức Cousin
(ở Mục 2.3).
• Chương 3. Phần đầu trình bày mối liên hệ giữa phức Cousin và địa phương
hóa, thể hiện ở Định lý 3.1.8. Phần tiếp của chương là nghiên cứu một
đặc trưng của vành Cohen-Macaulay thông qua phức Cousin, đó là Định
lý 3.2.6: Vành giao hoán A là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi phức Cousin
C
A
(A) là dãy khớp. Cuối cùng, sau khi nhắc lại một số kiến thức quan
trọng cần thiết về môđun nội xạ, phần còn lại của chương này dành để
mô tả đặc trưng của vành Gorenstein thông qua phức Cousin đó là Định
lý 3.3.5: Vành giao hoán A là Gorenstein khi và chỉ khi phức Cousin C
A
(A)
là một phép giải nội xạ của A−môđun A.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ
NGUYỄN VĂN HOÀNG - Giảng viên Trường Đại học sư phạm - Đại học
Thái Nguyên. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người
đã hướng dẫn tôi cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần
làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức hoàn thành luận văn
này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của Viện Toán
học và Đại học Thái Nguyên những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ,
động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Tôi xin cảm ơn ban

lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học,
Sở LĐTBXH tỉnh Thái Nguyên, Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo và khoa Văn
hóa cơ sở Trường Trung cấp nghề Nam Thái Nguyên (Phổ Yên - Thái Nguyên)
đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập. Cuối
cùng tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tôi để
tôi có thể hoàn thành tốt khóa học của mình.
Thái Nguyên, ngày tháng năm 2014
TÁC GIẢ
3
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này nhằm trình bày một số kiến thức cơ sở cần thiết cho chứng
minh các kết quả của các chương sau. Ta sử dụng các thuật ngữ theo
Atiyah-Macdonald [1], và Matsumura [6]. Ta luôn giả thiết A là một vành
giao hoán Noether có đơn vị và M là một A−môđun.
1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản
Kí hiệu 1.1.1. i) Cho N là môđun con của A−môđun con của M và Y
là một tập con của M. Khi đó ta dễ thấy tập hợp
{a ∈ A | ay ∈ N, ∀y ∈ Y }
là một iđêan của A, ta kí hiệu nó là (N : Y )
A
. Đặc biệt, ta còn kí hiệu
(0 : M)
A
bởi ann
A
(M) (hay Ann
A
(M)) và gọi là linh hóa tử của M; hơn
nữa, với mỗi x ∈ M, ta kí hiệu (0 : x)

A
= ann
A
(x) = Ann
A
(x) = {a ∈
A | ax = 0}, và gọi là linh hóa tử của x.
ii) Nếu S là một tập đóng nhân của A, và f : M −→ N là một đồng cấu
của các A−môđun, thì ta kí hiệu
S
−1
f : S
−1
M −→ S
−1
N
4
là một đồng cấu của các S
−1
A-môđun xác định bởi quy tắc

S
−1
f

(
m
s
) =
f(m)

s
với mọi
m
s
∈ S
−1
M.
Định nghĩa 1.1.2. (Giá của môđun) Cho M là một A−môđun, giá của
môđun M được kí hiệu là Supp(M) hoặc Supp
A
(M), nó là một tập con
của Spec(A) được xác định bởi:
Supp
A
(M) = {p ∈ Spec(A) | M
p
= 0} .
Chú ý rằng M = 0 khi và chỉ khi Supp(M) = ∅.
Hàm tử địa phương hóa S
−1
(−) có một số các tính chất sau đây.
Mệnh đề 1.1.3. Cho S là một tập đóng nhân của A và M là một
A−môđun. Giả sử N và P là các môđun con của M, với P là hữu hạn
sinh. Khi đó các phát biểu sau là đúng.
(i) S
−1
((N : P )
A
) = (S
−1

N : S
−1
P )
S
−1
A
.
(ii) Với x ∈ M, ta có S
−1
((N : x)
A
) = (S
−1
N :
x
1
)
S
−1
A
. Đặc biệt ta có
S
−1
((0 : x)
A
) = (0 :
x
1
)
S

−1
A
.
Chứng minh. (i) ” ⊆ ”: Lấy a/s ∈ S
−1
((N : P )
A
) với a ∈ (N : P )
A
. Khi
đó aP ⊆ N. Từ đó

a
s

S
−1
P ⊆ S
−1
N. Do vậy
S
−1
((N : P )
A
) ⊆ (S
−1
N : S
−1
P )
S

−1
A
.
” ⊇ ”: Với mọi a/s ∈ (S
−1
N : S
−1
P )
S
−1
A
, ta có

a/s

S
−1
P ⊆ S
−1
N.
Suy ra a/1(S
−1
P ) = (s/1)(a/s)(S
−1
P ) ⊆ S
−1
N. Do P hữu hạn sinh nên
có m
1
, . . . , m

n
sao cho P = m
1
, . . . , m
n
. Ta có (a/1)(m
i
/1) ∈ S
−1
N với
mọi i. Suy ra tồn tại s
i
∈ S để s
i
(am
i
) ∈ N với mọi i. Đặt s

= s
1
. . . s
n
.
Khi đó s

am
i
∈ N với mọi i, suy ra s

aP ⊆ N. Vì thế a/s = s


a/s

s và
(s

a)P ⊆ N (hay s

a ∈ (N : P )). Như vậy a/s = s

a/s

s ∈ S
−1
(P : N).
Do đó
S
−1
((N : P )
A
) ⊇ (S
−1
N : S
−1
P )
S
−1
A
.
5

(ii) Đặt P = x. Khi đó P hữu hạn sinh, do đó theo i), ta có
S
−1
((N : P )
A
) = (S
−1
N : S
−1
P )
S
−1
A
hay
S
−1
((N : Ax)
A
) = (S
−1
N : S
−1
(Ax))
S
−1
A
.
Ta lại có (N : Ax)
A
= (N : x)

A
và
(S
−1
N : S
−1
(Ax))
S
−1
A
= (S
−1
N : x/1)
S
−1
A
;
nên
S
−1
((N : x)
A
) = S
−1
((N : Ax)
A
)
= (S
−1
N : S

−1
(Ax))
S
−1
A
= (S
−1
(N : x/1)
S
−1
A
,
đó là điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.1.4. Cho S là tập đóng nhân của A và M là A−môđun. Khi
đó ta có
Supp
S
−1
A
(S
−1
M) = {S
−1
p | p ∈ Supp
A
(M), p ∩ S = ∅}.
Chứng minh. ” ⊇ ”: Lấy P ∈ {S
−1
p | p ∈ Supp
A

(M), p∩S = ∅}. Khi đó
tồn tại p ∈ Supp
A
(M) sao cho p ∩ S = ∅ và P = S
−1
p. Suy ra M
p
= 0.
Mặt khác theo [6, Hệ quả 4, trang 24 và Định lý 4.4, trang 26] và [1, Bài
tập 2.15], ta có
(S
−1
M)
S
−1
p
∼
=
(M ⊗
A
S
−1
A) ⊗
S
−1
A
(S
−1
A)
S

−1
p
∼
=
M ⊗
A

S
−1
A ⊗
S
−1
A
(S
−1
A)
S
−1
p

∼
=
M ⊗
A

(S
−1
A)
S
−1

p

∼
=
M ⊗
A
A
p
∼
=
M
p
= 0.
Suy ra S
−1
p ∈ Supp
S
−1
A
(S
−1
M) hay
Supp
S
−1
A
(S
−1
M) ⊇ {S
−1

p | p ∈ Supp
A
(M), p ∩ S = ∅}.
6
” ⊆ ”: Lấy P ∈ Supp
S
−1
A
(S
−1
M). Suy ra (S
−1
M)
P
= 0 và tồn tại
p ∈ Spec(A) sao cho p ∩ S = ∅, P = S
−1
p. Vì 0 = (S
−1
M)
P
=
(S
−1
M)
S
−1
p
∼
=

M
p
, nên p ∈ Supp
A
(M). Do đó
Supp
S
−1
A
(S
−1
M) ⊆ {S
−1
p | p ∈ Supp
A
(M), p ∩ S = ∅}.
Vậy ta có điều cần chứng minh.
Tiếp theo ta nhắc lại sơ lược về lý thuyết iđêan nguyên tố liên kết.
Định nghĩa 1.1.5. (Iđêan nguyên tố liên kết) Cho M là một A−môđun
và p ∈ Spec(A). Ta nói p là một iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn
tại một phần tử 0 = x ∈ M sao cho Ann
A
(x) = p. Tập các iđêan nguyên
tố liên kết của M được ký hiệu bởi Ass
A
(M) hoặc Ass(M).
Mệnh đề 1.1.6. Cho A là vành Noether, S là tập đóng nhân của A và
M là A−môđun. Khi đó ta có
Ass
S

−1
A
(S
−1
M) = {S
−1
p | p ∈ Ass
A
(M), p ∩ S = ∅}.
Chứng minh. (⊆). Lấy P ∈ Ass
S
−1
A
(S
−1
M) khi đó tồn tại p ∈ Spec(A)
và tồn tại x/s ∈ S
−1
M sao cho P = S
−1
p, p ∩ S = ∅ và S
−1
p =
Ann
S
−1
A
(x/s).
Tiếp theo ta chứng minh p ∈ Ass
A

(M). Vì A là Noether nên tồn
tại a
1
, . . . , a
n
∈ p sao cho p = a
1
, . . . , a
n
. Với mỗi i = 1, . . . , n, ta có
a
i
/1 ∈ S
−1
p hay (a
i
/1)(x/s) = 0; suy ra tồn tại t
i
∈ S sao cho a
i
t
i
x = 0.
Đặt t = t
1
. . . t
n
. Lúc đó t ∈ S và a
i
(tx) = 0 với mọi i = 1, . . . , n. Do đó

a
i
∈ Ann
A
(tx) với mọi i = 1, . . . , n. Vì thế p ⊆ Ann
A
(tx).
Mặt khác, lấy b ∈ Ann
A
(tx) suy ra b(tx) = 0 suy ra (bt/1)(x/s) = 0.
Do đó (bt)/1 ∈ S
−1
p. Suy ra tồn tại a

∈ p, s

∈ S sao cho (bt)/1 = a

/s

.
Từ đó có u ∈ S để b(uts

) = ua

∈ p; suy ra b ∈ p (vì us

t ∈ S mà
S ∩ p = ∅ nên us


t /∈ p). Do đó Ann
A
(tx) ⊆ p.
Vậy p = Ann
A
(tx) ∈ Ass
A
(M). Nói cách khác
Ass
S
−1
A
(S
−1
M) ⊆ {S
−1
p | p ∈ Ass
A
(M), p ∩ S = ∅}.
7
(⊇). Lấy p ∈ Ass
A
(M) khi đó tồn tại 0 = x ∈ M sao cho p =
Ann
A
(x). Ta sẽ chứng minh S
−1
p = Ann
S
−1

A
(x/1) (do đó S
−1
p ∈
Ass
S
−1
A
(S
−1
M)).
Lấy tùy ý a ∈ p và s ∈ S. Khi đó (a/s)(x/1) = (ax)/s = 0/s = 0,
suy ra a/s ∈ Ann
S
−1
A
(x/1). Từ đó suy ra S
−1
p ⊆ Ann
S
−1
A
(x/1).
Mặt khác lấy tùy ý b/s ∈ Ann
S
−1
A
(x/1) suy ra (b/s)(x/1) = 0 khi
đó tồn tại u ∈ S sao cho (bu)x = 0 suy ra bu ∈ p suy ra b ∈ p. Vì thế
Ann

S
−1
A
(x/1) ⊆ S
−1
p.
Từ đó suy ra S
−1
p = Ann
S
−1
A
(x/1). Nên ta có
{S
−1
p | p ∈ Ass
A
(M), p ∩ S = ∅} ⊆ Ass
S
−1
A
(S
−1
M).
Vậy Ass
S
−1
A
(S
−1

M) = {S
−1
p | p ∈ Ass
A
(M), p ∩ S = ∅}.
Mệnh đề 1.1.7. Cho M là một A−môđun hữu hạn sinh và p ∈ Spec(A).
Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương.
(i) Tồn tại môđun con thực sự N của M sao cho p ∈ Ass
A
(M/N);
(ii) p ∈ Supp(M);
(iii) p ⊇ (0 : M)
A
;
(iv) p chứa một iđêan nguyên tố q nào đó thuộc Ass(M).
Chứng minh. (i) ⇒ (ii) Lưu ý rằng Ass(M/N) ⊆ Supp(M/N). Từ giả
thiết (i) kết hợp với dãy khớp
0 → N → M → M/N → 0
ta suy ra p ∈ Supp(M) (vì Supp(M) = Supp(N) ∪ Supp(M/N)).
(ii) ⇒ (iii) Ta có M
p
= 0 nên tồn tại 0 = x ∈ M sao cho sx = 0 với
mọi s ∈ A \ p. Do đó (0 : x)
A
⊆ p. Ta lại có (0 : M)
A
⊆ (0 : x)
A
. Suy ra
(0 : M)

A
⊆ p.
8
(iii) ⇒ (iv) Gọi q là phần tử cực tiểu trong tập các iđêan nguyên tố của
A chứa Ann(M) sao cho p ⊇ q. Khi đó qA
q
là iđêan nguyên tố duy nhất
của A
q
chứa ann
A
q
(M
q
). Từ đó suy ra {qA
q
} = Supp
A
q
(M
q
) (vì M hữu
hạn sinh). Do đó qA
q
∈ Ass
A
q
(M
q
). Suy ra q ∈ Ass(M) (theo Mệnh đề

1.1.6).
(iv) ⇒ (i) Giả sử p ⊇ q với q ∈ Ass(M). Khi đó có một môđun con N của
M sao cho có đẳng cấu f : N → A/q. Ta lại có toàn cấu g : A/q → A/p.
Do đó ta có toàn cấu gf : N → A/p. Khi đó A/p
∼
=
N/ Ker(gf). Rõ ràng
{p} = Ass
A
(N/ Ker(gf)) và N/ Ker(gf) là môđun con của M/ Ker(gf).
Do vậy p ∈ Ass
A
(M/ Ker(gf)). Lưu ý rằng Ker(gf) môđun con thực sự
của M (vì Ker(gf) là môđun con thực sự của N mà N ⊆ M).
Định nghĩa 1.1.8. (Đa tạp liên kết) Cho M là A−môđun hữu hạn sinh.
Khi đó tập tất cả các iđêan nguyên tố của A thỏa mãn các điều kiện của
Mệnh đề 1.1.7 được gọi là đa tạp liên kết với M, nó được ký hiệu là
V (ann
A
(M)). Như vậy
V (Ann
A
(M)) = {p ∈ Spec(A) | p ⊃ Ann
A
(M)}.
Đặc biệt, ta có V (ann(A)) = V (0) = Spec(A) là phổ nguyên tố của
vành A, đó là tập tất cả các iđêan nguyên tố của A. Lưu ý rằng nếu M
là A−môđun hữu hạn sinh thì V (ann(M)) = Supp
A
(M).

Tiếp theo ta giới thiệu khái niệm chiều của vành và của môđun dựa
vào cuốn sách [6, Trang 30, 31].
Định nghĩa 1.1.9. (Chiều) Cho A là vành giao hoán có đơn vị. Chiều
Krull của A được kí hiệu là dim(A), đó là cận trên đúng của hàm độ
dài r, lấy trên tất cả các dãy giảm thực sự p
0
⊃ p
1
⊃ . . . ⊃ p
r
gồm các
iđêan nguyên tố của A nếu cận trên đúng này tồn tại, và dim(A) = ∞
nếu cận trên đúng không tồn tại. Cho p ∈ Spec(A), khi đó ta có các
vành A
p
và A/p, ta gọi ht(p) = dim(A
p
) là độ cao của p; và ta gọi
coht(p) = dim(A/p) là đối độ cao của p. Cho M là A−môđun, chiều
9
Krull của M, kí hiệu dim
A
(M) hoặc dim(M), nó được xác định là chiều
của vành A/ Ann
A
(M). Nói cách khác dim
A
(M) = dim(A/ Ann
A
(M)).

Lưu ý rằng khi A là vành Noether ta có dim(A) < ∞ (vì mọi
dãy tăng các iđêan đều dừng). Khi M là A−môđun hữu hạn sinh thì
dim(M) = dim Supp
A
(M) bằng cận trên đúng của độ dài của mọi dãy
giảm thực sự p
0
⊃ p
1
⊃ . . . ⊃ p
r
gồm các phần tử của Supp
A
(M).
Định nghĩa 1.1.10. (M−độ cao) Cho p ∈ Supp
A
(M). Khi đó, ta nói
M−độ cao của p, kí hiệu là ht
M
(p), là cận trên đúng của độ dài của
các dãy các iđêan nguyên tố của Supp
A
(M) có điểm chặn trên là p. Nói
cách khác ht
M
(p) = dim
A
p
(M
p

). (Lưu ý rằng ht
M
(p) = dim
A
p
(M
p
) ≤
dim(A
p
) = ht(p) = ht
A
(p).)
1.2 Môđun mở rộng Ext
Mục này ta giới thiệu lớp môđun mở rộng Ext, đây là lớp môđun có
vai trò quan trọng của đại số giao hoán và đại số đồng điều.
Định nghĩa 1.2.1. Cho M là một A−môđun. Xét hàm tử F =
Hom
A
(M, −) (lưu ý F có tính chất tuyến tính, khớp trái, hiệp biến
trên phạm trù các A−môđun). Môđun dẫn xuất phải thứ i của F đối với
A−môđun N được gọi là môđun mở rộng thứ i của M và N và được ký
hiệu Ext
i
A
(M, N).
Để xây dựng môđun mở rộng Ext
i
A
(M, N) ta có cách sau:

Cách 1: Lấy một giải nội xạ của N, chẳng hạn là
0 → N

−→ E
0
d
0
−→ E
1
d
1
−→ .
Khi đó ta có phức
0 → E
0
d
0
−→ E
1
d
1
−→ .
Tác động hàm tử F = Hom
A
(M, −) vào phức trên ta thu được đối phức
0 → Hom
A
(M, E
0
)

(d
0
)
∗
−−→ Hom
A
(M, E
1
)
(d
1
)
∗
−−→ .
10
Khi đó
Ext
i
A
(M, N) = Ker((d
i
)
∗
)/ Im((d
i−1
)
∗
),
trong đó (d
i

)
∗
= F (d
i
).
Lưu ý rằng, người ta còn có cách khác để xây dựng môđun mở rộng
Ext
i
A
(M, N) như sau: Xét hàm tử F
1
= Hom
A
(−, N) (đó là hàm tử phản
biến, tuyến tính, khớp trái trên phạm trù các A−môđun). Khi đó môđun
dẫn xuất phải thứ i của F
1
đối với M cũng chính là môđun Ext
i
A
(M, N).
Do đó ta có thể tính môđun Ext
i
A
(M, N) như sau:
Cách 2: Lấy một giải xạ ảnh của M

d
1
−→ P

1
d
0
−→ P
0
α
−→ M → 0.
Khi đó ta có phức

d
1
−→ P
1
d
0
−→ P
0
→ 0.
Tác động hàm tử F
1
= Hom
A
(−, M) vào phức trên ta được đối phức
0 → Hom
A
(P
0
, M)
(d
0

)
∗
−−→ Hom
A
(P
1
, M)
(d
1
)
∗
−−→
Khi đó
Ext
i
A
(M, N) = Ker((d
i
)
∗
)/ Im((d
i−1
)
∗
),
trong đó (d
i
)
∗
= F

1
(d
i
).
Dưới đây là một tính chất quan trọng của môđun Ext.
Bổ đề 1.2.2. (Xem [21, 2.6.11]) Nếu M là A−môđun hữu hạn sinh thì

i∈I
Ext
n
A
(M, C
i
)
∼
=
Ext
n
A
(M,

i∈I
C
i
)
trong đó (C
i
)
i∈I
là một họ tùy ý các A−môđun.

1.3 Vành Cohen-Macaulay và vành Gorenstein
Những kiến thức ở mục này được tham khảo từ sách [6].
11
Định nghĩa 1.3.1. Cho M là A−môđun. Khi đó
a) Một phần tử a ∈ A được gọi là M−chính quy nếu ax = 0 với mọi
0 = x ∈ M (nghĩa là, nếu ax = 0 với x ∈ M thì kéo theo x = 0).
b) Một dãy các phần tử a
1
, . . . , a
n
∈ A được gọi là một M−dãy (hoặc
M−dãy chính quy) nếu nó thỏa mãn các điều kiện:
i) M/(a
1
, . . . , a
n
)M = 0, và
ii) a
i
là phần tử M/(a
1
, . . . , a
i−1
)M−chính quy, với mọi i = 1, . . . , n.
Định nghĩa 1.3.2. Cho M là A−môđun và a
1
, . . . , a
n
là các phần tử
thuộc iđêan I của A. Ta nói a

1
, . . . , a
n
là một M−dãy cực đại trong I
nếu a
1
, . . . , a
n
là một M−dãy, và a
1
, . . . , a
n
, b không là một M−dãy với
mọi phần tử b ∈ I.
Tính chất sau cho ta mối quan hệ giữa môđun Ext và dãy chính quy.
Định lý 1.3.3. (xem [6, Định lý 16.7]) Cho A là vành giao hoán Noether
và M là A−môđun hữu hạn sinh. Lấy I là iđêan của A sao cho M = IM.
Khi đó mọi M−dãy chính quy cực đại trong I đều có cùng một độ dài
n, với số n được xác định bởi
Ext
i
A
(A/I, M) = 0 với mọi i < n, và Ext
n
A
(A/I, M) = 0.
Ta viết n = depth(I, M) và gọi là độ sâu của M trong I. (Nếu M = IM
thì ta đặt depth(I, M) = ∞.)
Chú ý 1.3.4. Khi (A, m) là vành địa phương Noether và M là A−môđun
hữu hạn sinh. Ta gọi depth(m, M) là độ sâu của M và kí hiệu là

depth(M).
Định nghĩa 1.3.5. (Môđun Cohen-Macaulay) Cho (A, m) là một vành
địa phương Noether và M là một A−môđun hữu hạn sinh. M được gọi
là môđun Cohen-Macaulay nếu M = 0, hoặc M = 0 và depth(M) =
dim(M). Nếu (A, m) là một A−môđun Cohen-Macaulay thì ta nói A là
vành Cohen-Macaulay.
12
Trong trường hợp A là vành giao hoán (không nhất thiết địa phương),
thì ta nói A là vành Cohen-Macaulay nếu mọi địa phương hóa của A là
vành Cohen-Macaulay.
Định nghĩa 1.3.6. (Chiều nội xạ) Cho A là một vành giao hoán, M
là một A−môđun. Khi đó chiều nội xạ của M (kí hiệu là injd(M) hoặc
injd
A
(M)) là số nguyên không âm n nhỏ nhất sao cho tồn tại một phép
giải nội xạ E
•
của M với E
i
= 0 với mọi i > n. Nếu không có số n như
vậy thì ta nói chiều nội xạ của M là vô hạn (tức là injd(M) = ∞).
Định nghĩa 1.3.7. (Vành Gorenstein) Một vành Noether địa phương
(A, m) được gọi là vành Gorenstein nếu injd
A
(A) < ∞.
Trong trường hợp A là vành giao hoán (không nhất thiết địa phương),
thì ta nói A là vành Gorenstein nếu mọi địa phương hóa của A là vành
Gorenstein.
Chú ý 1.3.8. Theo [6, Định lý 18.1], thì một vành Gorenstein là vành
Cohen-Macaulay.

13
Chương 2
Xây dựng phức Cousin
Trong chương này, ta luôn giả thiết vành A sẽ là một vành giao hoán
Noether có đơn vị 1 = 0. Kiến thức của chương này được viết dựa theo
phần đầu của bài báo [17]. Mục đích chính của chương là xây dựng phức
Cousin của một A−môđun M cho trước, sau đó trình bày một số tính
chất của nó. Trước tiên cần xây dựng một số kiến thức bổ trợ trong mục
dưới đây.
2.1 Một số tính chất về tập các iđêan nguyên tố
Định nghĩa 2.1.1. Giả sử U là một tập con của Spec(A). Một tập con
U

của U được gọi là đáy đối với U khi và chỉ khi mỗi phần tử của U

là
phần tử tối tiểu của U (đối với quan hệ bao hàm).
Ví dụ 2.1.2. Cho i ≥ 0, ta đặt
U
i
= {p ∈ Spec(A) | ht(p) ≥ i}.
Khi đó
U
i
− U
i+1
= {p ∈ Spec(A) | ht(p) = i}
là đáy đối với U
i
.

Thật vậy, rõ ràng ta có U
i
− U
i+1
⊆ U
i
. Hơn nữa, lấy tùy ý
p ∈ U
i
− U
i+1
, khi đó ta có i ≤ ht(p) < i + 1. Suy ra ht(p) = i,
14
nghĩa là p là phần tử tối tiểu của U
i
.
Mệnh đề 2.1.3. Cho U

và U là các tập con của Spec(A) (với U

⊆ U)
sao cho U − U

là đáy đối với U. Giả sử M là một A−môđun có
Supp(M) ⊆ U. Với mỗi p ∈ U − U

, ta kí hiệu g
p
: M → M
p

là
A−đồng cấu môđun xác định bởi g
p
(m) =
m
1
(với m ∈ M). Khi đó với
mỗi m ∈ M đã chọn, ta có g
p
(m) = 0 với tất cả chỉ trừ một số hữu hạn
các p ∈ U − U

.
Chứng minh. Giả sử p ∈ U − U

sao cho g
p
(m) =
m
1
= 0. Khi đó
p ∈ Supp(Am) ⊆ Supp(M) và A−môđun Am là hữu hạn sinh. Do
đó Supp(Am) = V (ann(Am)).
Nếu p không là phần tử tối tiểu của V (ann(Am)) thì sẽ có một iđêan
nguyên tố q ⊆ p với q = p và q ∈ V (ann(Am)) ⊆ Supp(M) ⊆ U. Nhưng
điều này là không thể xảy ra, bởi vì p ∈ U − U

mà U − U

là đáy đối

với U. Như vậy p là phần tử cực tiểu của V (ann(Am)). Từ đó và theo
Mệnh đề 1.1.7 ta thấy p phải thuộc vào tập Ass(Am). Mà rõ ràng rằng
Ass(Am) là tập hợp hữu hạn. Vậy ta có g
p
(m) = 0 với tất cả chỉ trừ một
số hữu hạn các p ∈ Ass(Am) (⊆ U − U

).
Từ mệnh đề trên ta có ngay hệ quả sau đây.
Hệ quả 2.1.4. Tồn tại một A−đồng cấu môđun ξ xác định như sau
ξ : M −→

p∈U−U

M
p
, m −→

p∈U−U

m
1
trong đó, nếu m ∈ M, thì các thành phần của ξ(m) trong các hạng tử
trực tiếp M
p
là
m
1
.
Chú ý 2.1.5. Giả sử X là một tập con của Spec(A) và N là một

A−môđun. Khi đó Supp(N) ⊆ X nếu và chỉ nếu với mọi p ∈ Spec(A)\X
và mọi x ∈ N ta có (0 : x)
A
⊆ p. Đặc biệt, ta có p /∈ Supp(N) nếu và
chỉ nếu với mọi x ∈ N, ta có (0 : x)
A
⊆ p.
15
Thật vậy, (⇒) giả sử Supp(N) ⊆ X. Lấy tùy ý p ∈ Spec(A) − X
và lấy tùy ý x ∈ N. Khi đó vì Supp(Ax) ⊆ Supp(N) và p /∈ X, nên
p /∈ Supp(Ax). Suy ra Ann
A
(x)  p.
(⇐) giả sử với mọi p ∈ Spec(A)−X và mọi x ∈ N ta đều có ann
A
(x)  p.
Khi đó phải có Supp(N) ⊆ X (vì nếu Supp(N)  X thì tồn tại
q ∈ Supp(N) − X. Suy ra N
q
= 0 và q /∈ X. Từ đó tồn tại y ∈ N
sao cho
y
1
= 0 trong N
q
. Suy ra sy = 0 với mọi s ∈ A − q. Do đó
(A − q) ∩ Ann(y) = ∅. Vì thế Ann
A
(y) ⊆ q. Điều này mâu thuẫn với giả
thiết ann

A
(x)  q với mọi x ∈ N).
Mệnh đề 2.1.6. Dùng các ký hiệu ở Mệnh đề 2.1.3 và Hệ quả 2.1.4. Khi
đó các phát biểu sau là đúng.
(i) Supp
A
(Ker ξ) ⊆ U

;
(ii) Nếu p ∈ U − U

và xem M
p
như một A
p
−môđun, thì linh hóa tử
của phần tử khác không bất kì của M
p
đều là iđêan pA
p
−nguyên sơ; và
do đó khi xem M
p
như một A−môđun thì mỗi phần tử khác không của
M
p
bị giết bởi một lũy thừa nào đó của p.
(iii) Supp
A
(Coker ξ) ⊆ U


.
Chứng minh. (i) Vì Ker ξ ⊆ M, nên ta có Supp(Ker ξ) ⊆ Supp(M) ⊆ U.
Nhưng, với mọi m ∈ Ker ξ và mọi p ∈ U−U

, ta có
m
1
= 0 trong M
p
, và do
đó Ann
A
(m) ⊆ p. Từ đó, sử dụng Chú ý 2.1.5, ta được p /∈ Supp(Ker ξ).
Chứng tỏ rằng Supp(Ker ξ) ⊆ U

.
(ii) Giả sử p ∈ U − U

, và
m
t
là một phần tử tùy ý khác không của M
p
(với m ∈ M, t ∈ A − p). Vì
1
t
là ước của đơn vị trong A
p
, nên

Ann
A
p
(
m
t
) = Ann
A
p
(
m
1
).
Do đó từ Mệnh đề 1.1.3, ta có
Ann
A
p
(
m
t
) = ((0 : m)
A
)A
p
.
16
Vì đây là một iđêan thực sự của A
p
, nên (0 : m)
A

⊆ p. Do đó ta chỉ
cần chứng tỏ rằng p là iđêan nguyên tố cực tiểu chứa (0 : m)
A
. Thật vậy
nếu q là iđêan nguyên tố của A và (0 : m)
A
⊆ q ⊆ p, thì q ∈ Supp(M)
(theo Chú ý 2.1.5), và vì thế ta có q ∈ U (lưu ý Supp(M) ⊆ U). Từ đó
ta có q = p (vì U − U

là đáy đối với U). Như vậy, (0 :
m
t
)
A
p
là iđêan
pA
p
−nguyên sơ.
Từ đó ta suy ra hệ quả rằng khi xem M
p
như một A−môđun, thì
m
t
bị triệt tiêu bởi một lũy thừa nào đó của p.
(iii) Đặt
M
0
=


p∈U−U

M
p
.
Khi đó ta có
Coker ξ = M
0
/ξ(M),
vì thế Coker ξ là một thương của M
0
. Do đó
Supp(Coker ξ) ⊆ Supp(M
0
).
Giả sử q /∈ Supp(M), lúc đó M
q
= 0. Sử dụng các đẳng cấu
N
q
∼
=
N ⊗
A
A
q
với N là A−môđun nào đó, ta thu được đẳng cấu sau
đây
(M

0
)
q
= (M
0
) ⊗
A
A
q
∼
=

p∈U−U

(M ⊗
A
A
p
)⊗
A
A
q
.
Lưu ý rằng
(M ⊗
A
A
p
) ⊗
A

A
q
∼
=
(M ⊗
A
A
q
) ⊗
A
A
p
= (M
q
) ⊗
A
A
p
= 0.
Do đó (M
0
)
q
= 0, suy ra q /∈ Supp(M
0
).
Do đó Supp(M
0
) ⊆ Supp(M), và vì vậy Supp(Coker ξ) ⊆ U. Từ đó
kết hợp với Chú ý 2.1.5, ta chỉ cần chỉ ra rằng với mỗi x ∈ M

0
và mỗi
p ∈ U − U

, ta có (ξ(M) : x)
A
⊆ p.
Giả sử x là phần tử tùy ý của M
0
= ⊕
p∈U−U

M
p
có các thành phần
khác không
m
i
t
i
trong M
p
i
(với m
i
∈ M, t
i
∈ A − p
i
, p

i
∈ U − U

) với mọi
17
i = 1, . . . , n và x có các thành phần bằng không trong các hạng tử trực
tiếp khác. Theo phần cuối của (ii), suy ra tồn tại một số nguyên dương
k
i
sao cho p
k
i
i
⊆ (0 :
m
i
t
i
)
A
với mọi i = 1, , n. Bây giờ chỉ cần chỉ ra rằng
(ξ(M) : x)
A
không chứa trong bất kì phần tử p của U − U

. Ta xét hai
trường hợp sau:
a) p /∈ {p
1
, . . . , p

n
}. Trong trường hợp này
n

j=1
p
j
⊆ p
(vì nếu không thì có một j nào đó để p
j
⊆ p; khi đó do p và p
j
cùng
thuộc U − U

, nên p
j
= p). Do đó có một phần tử
a ∈

n

j=1
p
j

− p
và có số tự nhiên N > 0 sao cho p
N
j

(
m
j
t
j
) = 0 với mọi j = 1, , n. Từ đó
dẫn đến a
N
x = 0, và vì vậy a
N
∈ (ξ(M) : x)
A
− p.
b) p bằng một trong các p
1
, , p
n
, giả sử p = p
1
, khi đó bằng lập luận
tương tự như ý a), tồn tại một phần tử
a ∈

n

j=2
p
j

− p

1
và một số nguyên N > 0 sao cho t
1
a
N
x có thành phần trong M
p
1
là
a
N
m
1
/1, và mọi thành phần khác của nó bằng không.
Giả sử ξ(a
N
m
1
) có các thành phần khác không trong M
p
1
và trong
M
q
2
, , M
q
m
, với q
j

∈ U − U

(Nếu t
1
a
N
x = ξ(a
N
m
1
), thì
t
1
a
N
∈ (ξ(M) : x) − p
1
,
chứng minh hoàn tất.) Khi đó có một phần tử
b ∈
m

j=2
q
j
− p
1
18
và một số nguyên K > 0 sao cho ξ(b
K

a
N
m
1
) = b
K
t
1
a
N
x, và vì thế ta có
b
K
a
N
x ∈ (ξ(M) : x)
A
− p
(Nhớ rằng p = p
1
.)
Do đó, trong cả hai trường hợp, ta đều có (ξ(M) : a)
A
⊆ p với mọi
p ∈ U − U

, và do vậy Supp(Coker ξ) ⊆ U

theo Chú ý 2.1.5.
2.2 Xây dựng phức Cousin cho một môđun

Định nghĩa 2.2.1. Cho A là vành giao hoán có đơn vị 1 = 0, và M là
một A−môđun. Với mỗi số nguyên i ≥ 0, ta đặt
U
i
(M) = {p ∈ Supp(M) | ht
M
(p) ≥ i}
trong đó ht
M
(p) = dim
A
p
(M
p
) (là kí hiệu ở 1.1.10). Chú ý rằng
U
0
(M) = Supp(M); U
i+1
(M) ⊆ U
i
(M); và
U
i
(M) − U
i+1
(M) là đáy đối với U
i
(M).
Ta đặt M

−2
= 0, M
−1
= M và d
−2
: M
−2
→ M
−1
là đồng cấu không.
Khi đó Coker(d
−2
) = M
−1
/{0} = M, và do đó ta có
Supp(Coker(d
−2
)) ⊆ U
0
(M).
Việc xây dựng phức Cousin sẽ được thực hiện bằng phép qui nạp như
sau:
- Bước cơ sở: Đồng cấu d
−2
: M
−2
−→ M
−1
(tức là đồng cấu 0 : 0 → M)
cho ta hai mắt xích đầu tiên của phức cần xây dựng.

- Bước giả thiết quy nạp: Giả sử n ≥ 0 và ta đã xây dựng được một phức
có dạng
M
−2
d
−2
−−→ M
−1
d
−1
−−→ M
0
−→ −→ M
n−2
d
n−2
−−→ M
n−1
trong đó nó có tính chất Supp(Coker(d
n−2
)) ⊆ U
n
(M)).
19
Đặt N = Coker(d
n−2
). Bây giờ ta áp dụng các Mệnh đề 2.1.3, Hệ quả
2.1.4 và Mệnh đề 2.1.6 cho môđun N và các tập con U
n+1
(M) ⊆ U

n
(M)
của Spec(A). Lưu ý rằng
U
n
(M) − U
n+1
(M) = {p ∈ Supp(M) | ht
M
(p) = n}
là đáy đối với U
n
(M). Ta đặt
M
n
=

p∈U
n
−U
n+1
N
p
=

p∈Supp(M)
ht
M
(p)=n
N

p
(1)
(ở đây ta sử dụng quy ước nếu cần thiết rằng tổng trực tiếp của một họ
rỗng các A−môđun là môđun không). Theo Mệnh đề 2.1.3 và Hệ quả
2.1.4, ta suy ra rằng có một A−đồng cấu môđun
ξ : N → M
n
, n −→ ξ(n) =

p∈Supp(M)
ht
M
(p)=n
n
1
,
nghĩa là với n ∈ N thì các thành phần của ξ(n) trong hạng tử trực tiếp
N
p
là
n
1
. (Nếu M
n
= 0, dĩ nhiên ta lấy ξ là đồng cấu không). Bây giờ, ta
định nghĩa đồng cấu d
n−1
: M
n−1
−→ M

n
là hợp thành của toàn cấu tự
nhiên π : M
n−1
→ N = Coker(d
n−2
) và ξ : N → M
n
, nghĩa là
d
n−1
= ξπ : M
n−1
π
−→ N
ξ
−→ M
n
.
Ta thấy d
n−1
d
n−2
= 0 (vì nếu x ∈ M
n−2
thì d
n−2
(x) ∈ Im(d
n−2
), suy ra

d
n−1
(d
n−2
(x)) = ξπ(d
n−2
(x)) mà π(d
n−2
(x)) = d
n−2
(x) + Im(d
n−2
) = 0
trong N = Coker(d
n−2
). Do đó ξπ(d
n−2
(x)) = 0 hay d
n−1
d
n−2
(x) = 0).
Hơn nữa Coker(d
n−1
) = Coker(ξ), do đó theo Mệnh đề 2.1.6, ta có
Supp(Coker(d
n−1
)) ⊆ U
n+1
(M).

(Rõ ràng rằng điều này vẫn đúng ngay cả khi M
n
= 0.) Do đó bước qui
nạp được hoàn tất.
Và như vậy bằng cách sử dụng phép qui nạp này, ta đã xây dựng được
phức C
A
(M) (hay C(M)) đó là
C
A
(M) : 0 −→ M
d
−1
−−→ M
0
d
0
−→ M
1
−→ −→ M
n
d
n
−→ M
n+1
−→ . (2)
20
Ta gọi phức C
A
(M) là phức Cousin của M. Ta sẽ sử dụng ký hiệu như dãy

(2) như trên để ám chỉ một phức Cousin của A−môđun M; thêm nữa,
nó sẽ rất có ích khi ta viết M
−2
= 0, M
−1
= M và d
−2
: M
−2
−→ M
−1
là đồng cấu không, như đã xây dựng ở trên. Với mỗi i ≥ −1, ta sẽ kí
hiệu môđun đối đồng điều thứ i của C
A
(M) bởi H
i
(M); nói cách khác
H
i
(M) = Ker(d
i
)/ Im(d
i−1
).
2.3 Tính chất của phức Cousin cho một môđun
Mục này sẽ trình bày một số tính chất của phức Cousin C
A
(M) của
A−môđun M
C

A
(M) : 0
d
−2
−−→ M
d
−1
−−→ M
0
d
0
−→ M
1
−→ −→ M
n
d
n
−→ M
n+1
−→
Mệnh đề 2.3.1. Nếu M
n
= 0 thì M
n+r
= 0 với mọi r > 0.
Chứng minh. Theo cách xây dựng phức C
A
(M) trong định nghĩa trên,
ta thấy nếu M
n

= 0 thì
M
n+1
=

p∈Supp(M)
ht
M
(p)=n+1
(Coker(d
n−1
))
p
= 0
(bởi vì Coker(d
n−1
) là môđun thương của M
n
). Vì vậy bằng qui nạp ta
suy ra được M
n+r
= 0 với mọi r > 0.
Chú ý 2.3.2. (i) Khi dim
A
(M) = s < ∞ thì hiển nhiên ta có
U
s+1
(M) = {p ∈ Spec(A) | dim
A
p

(M
p
) = ht
M
(p) ≥ s + 1} = ∅,
do đó theo (1) ta có
M
s+1
=

p∈U
s+1
(M)−U
s+2
(M)
N
p
= 0.
Điều đó có nghĩa là phức Cousin C
A
(M) của M trong trường hợp M có
chiều hữu hạn chỉ có hữu hạn hạng tử (tức là M
n
= 0 khi n đủ lớn).
21
(ii) Theo (1) trong định nghĩa phức Cousin, với mọi n ≥ 0 ta có công
thức tính
M
n
=


p∈Supp(M)
ht
M
p=n
N
p
trong đó N = Coker(d
n−2
). Đặc biệt, khi n = 0, ta có
M
0
=

p∈min(M)
M
p
.
Một số tính chất sau đây ta có thể dễ thấy từ định nghĩa phức Cousin,
nhưng vì chúng được dùng nhiều về sau nên vẫn được đưa ra ở đây cho
tiện lợi.
Mệnh đề 2.3.3. Kí hiệu
π : M
n−1
→ Coker(d
n−2
) = M
n−1
/ Im(d
n−2

) = N
là toàn cấu tự nhiên, và d
n−1
: M
n−1
→ M
n
=

p∈Supp(M)
ht
M
(p)=n
N
p
. Giử
sử n ≥ 0 và x ∈ M
n−1
. Khi đó π(x)/1 xuất hiện như là một thành
phần của d
n−1
(x) trong hạng tử trực tiếp N
p
của M
n
(với p ∈ Supp(M)
có ht
M
(p) = n). Đặc biệt, nếu m ∈ M = M
−1

và p ∈ Supp(M) có
ht
M
(p) = 0 thì d
−1
(m) nhận m/1 làm một thành phần của nó trong
hạng tử trực tiếp M
p
của M
0
.
Mệnh đề 2.3.4. Nếu n ≥ 0 thì Supp(Coker(d
n−2
)) ⊆ U
n
(M). Do đó,
nếu n ≥ 0, y ∈ Coker(d
n−2
) và p ∈ Spec(A) − U
n
(M), thì (0 : y)
A
⊆ p
hay Ann
A
(y)  p.
Chứng minh. Theo định nghĩa phức Cousin ta có Supp(Coker(d
n−2
)) ⊆
U

n
(M). Do đó nếu coi X = U
n
(M) và N = Coker(d
n−2
) như trong Chú
ý 2.1.5, thì ta suy ra được (0 : y)
A
⊆ p hay Ann
A
(y)  p với mọi y ∈ N
và mọi p ∈ Spec(A) − X.
Mệnh đề 2.3.5. Giả sử n ≥ 0 và p ∈ Supp(M) có ht
M
(p) = n. Khi đó
mọi phần tử của (Coker(d
n−2
))
p
(khi xét như A−môđun) bị triệt tiêu bởi
22