Kiểu đa thức của môđun trên vành noether địa phương

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM






PHẠM HỒNG NAM






KIỂU ĐA THỨC CỦA MÔĐUN
TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG




L
L
U
U
Ậ
Ậ
N

N


V
V
Ă
Ă
N
N


T
T
H
H
Ạ
Ạ
C
C


S
S
Ĩ
Ĩ


T
T
O

O
Á
Á
N
N


H
H
Ọ
Ọ
C
C















Thái Nguyên - năm 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM






TRẦN DANH TUYÊN




KIỂU ĐA THỨC CỦA MÔĐUN
TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60.46.05


L
L
U
U
Ậ
Ậ

N
N


V
V
Ă
Ă
N
N


T
T
H
H
Ạ
Ạ
C
C


S
S
Ĩ
Ĩ


T
T

O
O
Á
Á
N
N


H
H
Ọ
Ọ
C
C





Người hướng dẫn khoa học:
GS-TSKH. NGUYỄN TỰ CƯỜNG





Thái Nguyên - năm 2009
▼ô❝ ❧ô❝
▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✹
✶ ❚Ý♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ❝ñ❛ ❤➭♠ ➤é ❞➭✐ ✺

✶✳✶ ▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺
✶✳✷ ◆❤❐♥ ①Ðt ♠ë ➤➬✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽
✶✳✸ ➜➷❝ tr➢♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤❛ t❤ø❝ ❝ñ❛ ❤➭♠ ➤é ❞➭✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾
✶✳✹ ▼ét sè ➳♣ ❞ô♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺
✷ ❑✐Ó✉ ➤❛ t❤ø❝ ✶✽
✷✳✶ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽
✷✳✷ ❑✐Ó✉ ➤❛ t❤ø❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶
✷✳✸ ❈➳❝ ❝❤➷♥ tr➟♥ ✈➭ ❞➢í✐ ❝ñ❛ ❦✐Ó✉ ➤❛ t❤ø❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹
✷✳✹ ❚r➢ê♥❣ ❤î♣ A ❧➭ ✈➭♥❤ t❤➢➡♥❣ ❝ñ❛ ✈➭♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✳ ✳ ✳ ✸✷
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻
✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ờ ó
ột ý tở q trọ tr ì ọ số số
t q ệ ứ t q ứ t ế số ể
ó trú ủ t trú ủ ề
ó tể t rõ tr ữ ý tết ổ tế ý tết t ế ủ
r ý tết ỳ ị ủ r ột í ụ ể ì tr
số ột ớ q trọ t tr
số (A, m) ột ị tr
ó ề A = d ột q A ợ ọ ột t số ế
q m s s ở d tử ó A
ỉ tồ t ột t số q s l
A
(A/q) = e(q; A) ở
l
A
() í ệ ộ A e(q; A) số ộ rs
ủ A ố ớ t số q ũ ết r ớ ọ t số q tì

l
A
(A/q) e(q; A) t I(q; A) = l
A
(A/q) e(q; A) ó ế I(q; A)
ột số ổ ớ ọ t số q ú ý r A
tì I(q; A) = 0 ớ ọ t số q tì ớ ó
ợ ọ
ế s
q
I(q; A) < , tr ó q tr t t số
ủ A tì ó ó ợ ọ s rộ
ớ q tộ tr số ề ợ tr q ý
tết ộ ộ ụ í í ủ trì
ết q ủ ễ ự ờ ề ể tứ tr tr
ị tr
r sốt t ý ệ (A, m) ị
tr M ột A ữ s ó ề M = d.
ột ệ tử x = (x
1
, . . . , x
d
) ủ A ợ ọ ệ t số ủ M ế
l
A
(M/xM) < . n = (n
1
, . . . , n
d
) ột ộ d số tỳ

ý ó ú t ó tể ệ
I
M
(n, x) = l
A
(M/(x
n
1
1
, . . . , x
n
d
d
)M) n
1
. . . n
d
e(x, M)
ột số t n ó trị ớ ọ ế tr ó
e(x; M) số ộ t ĩ rr ủ M ố ớ ệ t số x. M = A
tì ó í số ộ rs r r ỏ ở
P I
M
(n; x) ột tứ t n n ủ ớ ý ệ n 0
ột t í ụ ợ r ể ứ tỏ r I
M
(n; x)
tứ n 0. ừ s r ột ỏ tì I
M
(n; x)

tứ t n n 0 ột tr ờ trọ ẹ ỏ ợ
r tr ó r I
M
(n; x) tứ ỉ x ột
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

I
M
(n; x) ò tứ tì t t r I
M
(n; x)
ị tr ở tứ n
1
. . . n
d
l(M/(x
1
, . . . , x
d
)M) tr
é t ủ tt tứ tr t n I
M
(n; x)
tồ t ề ó ế ột t ế ớ tr M, ọ ể tứ ủ
M. t ế ợ t từ ột ết q s tr
é t ủ tt tứ t n tr I
M
(n; x)
ụ tộ ệ t số x. é t ột t ế ủ M.
ý ệ t ế ó p(M) ọ ó ể tứ ủ M.

q ớ ủ tứ . ó t ễ t
r M ỉ p(M) = . õ r
M s rộ ỉ p(M) 0. tí
ợ ễ tr q tí tứ ợ
t
ó ề tí tứ ủ I
M
(n; x) tr tr
ị (A, m). ết q q trọ t ủ ị ý
ó ũ tr ờ trọ ẹ ỏ ở ủ r ó r
số I
M
(n; x) tứ t n ớ n 0 ỉ ệ t số
x = (x
1
, . . . , x
d
)
r ệ ể tứ p(M) ủ ột M tr
tr ị ệ q trọ t tr
r ột t tí t ủ ể tứ ũ tr
ớ ợ tr ột ết q q trọ ị ý
ệ q ó ý ĩ ì ọ ủ ể tứ ó r
sử A ó ứ ố A t ủ
ế M ề tì
p(M) = (M).
ú ý r qỹ tí M ợ ị ở
(M) = {p Supp(M)|M
p
}.

ợ t ớ sự ớ t tì ủ
ễ ự ờ ị tỏ ò ết s s tớ
tỏ ò ết t tr ệ
ọ t tì ú ỡ rt ề tr q trì

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
✹
❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ tr➢ê♥❣ ➜❍ ❑❤♦❛ ❍ä❝ ✲ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❑❤♦❛
❚♦➳♥ ✲ ❚✐♥ ➤➲ t➵♦ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ t❤✉❐♥ ❧î✐ ❝❤♦ t➠✐ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ❦Õ ❤♦➵❝❤ ❤ä❝ t❐♣ ❝ñ❛
♠×♥❤✳
❚➠✐ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ♥❣➢ê✐ t❤➞♥✱ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣✱ ❜➵♥ ❜❒ ➤➲ ❝æ ✈ò✱ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ t➠✐
tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❈❤➢➡♥❣ ✶
❚Ý♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ❝ñ❛ ❤➭♠ ➤é ❞➭✐
❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❧✉➠♥ ❣✐➯ t❤✐Õt (A, m) ❧➭ ✈➭♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥✱ ➤Þ❛
♣❤➢➡♥❣✱ ◆♦❡t❤❡r ✈í✐ m ❧➭ ✐➤➟❛♥ ❝ù❝ ➤➵✐ ✈➭ M ❧➭ A✲♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ❝ã
❝❤✐Ò✉ ❞✐♠M = d.
✶✳✶ ▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ
❚r➢í❝ ❤Õt t❛ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ➤Þ♥❤ ❧ý q✉❛♥ trä♥❣ s❛✉ ➤➞②
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✶✳ ❈❤♦ q ❧➭ ✐➤➟❛♥ ❝ñ❛ A s❛♦ ❝❤♦ l(M/qM) < ∞✳ ❑❤✐ ➤ã
l(M/q
n
M) ❧➭ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ ✈í✐ ❤Ö sè ❤÷✉ tû ❦❤✐ n  0 ✈➭
d = dim M = deg(l(M/q
n
M)
= inf{t|∃ x
1
, . . . , x

t
∈ m ➤Ó l(M/(x
1
, . . . , x
t
)M) < ∞}.
➜❛ t❤ø❝ l(M/q
n
M)✱ ❦❤✐ n  0 ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ❍✐❧❜❡rt✲❙❛♠✉❡❧
❝ñ❛ ▼ ø♥❣ ✈í✐ q. ❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý tr➟♥ tå♥ t➵✐ ❤Ö {x
1
, . . . , x
d
} ⊆ m s❛♦ ❝❤♦
l(M/(x
1
, . . . , x
d
)M) < ∞. ▼ét ❤Ö {x
1
, . . . , x
d
} t❤♦➯ ♠➲♥ tÝ♥❤ ❝❤✃t tr➟♥
➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè ❝ñ❛ M. ❈❤ó ý r➺♥❣ ♥Õ✉ x = (x
1
, . . . , x
d
) ❧➭ ♠ét
❤Ö t❤❛♠ sè ❝ñ❛ M t❤× (x
n

1
1
. . . , x
n
d
d
) ❝ò♥❣ ❧➭ ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè ❝ñ❛ M ✈í✐ ♠ä✐
(n
1
, . . . , n
d
) ∈ N
d
.
❈❤♦ x = (x
1
, . . . , x
d
) ❧➭ ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè ❝ñ❛ M. ➜➷t q = (x
1
, . . . , x
d
)A
t❤× ❦❤✐ ➤ã t❛ ❣ä✐ q ❧➭ ✐➤➟❛♥ t❤❛♠ sè ❝ñ❛ ▼✳ ❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý tr➟♥✱ l(M/q
n
M) ❧➭
♠ét ➤❛ t❤ø❝ ✈í✐ ❤Ö sè ❤÷✉ tû ❦❤✐ n  0, ➤❛ t❤ø❝ ♥➭② ♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ ♥❣✉②➟♥ ✈í✐
✺
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✻

♠ä✐ ❜✐Õ♥ ♥❣✉②➟♥✳ ❱× t❤Õ ♥ã ❝ã ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥
l(M/q
n+1
M) = e
0
(q; M)

n + d
d

+e
1
(q; M)

n + d − 1
d − 1

+. . .+e
d
(q; M),
tr♦♥❣ ➤ã e
i
∈ Z, e
0
> 0 ✈í✐ ♠ä✐ i = 0 . . . , d.
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✷✳ ❙è e
0
tr♦♥❣ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ tr➟♥ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ sè ❜é✐ ❩❛r✐s❦✐ ✲
❙❛♠✉❡❧ ❝ñ❛ M ø♥❣ ✈í✐ ✐➤➟❛♥ t❤❛♠ sè q ✈➭ ➤➢î❝ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭ e(q; M).
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✸✳ ▼ét ❤Ö ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö x = (x

1
, . . . , x
t
) ❝ñ❛ A ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭
❤Ö ❜é✐ ❝ñ❛ M ♥Õ✉ l(M/(x
1
, . . . , x
t
)M) < ∞.
◆Õ✉ t = 0 t❤× ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ tr➟♥ ➤➢î❝ ❤✐Ó✉ ❧➭ l(M) < ∞. ❑❤✐ ➤ã ❦ý ❤✐Ö✉ ❜é✐
e(x; M) ➤è✐ ✈í✐ ❤Ö ❜é✐ x ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ q✉② ♥➵♣ t❤❡♦ t ♥❤➢ s❛✉✿
◆Õ✉ t = 0, tø❝ ❧➭ l(M) < ∞. ❑❤✐ ➤ã t❛ ➤➷t e(∅; M) = l(M).
◆Õ✉ t > 0, tø❝ ❧➭ l(M/(x
1
, . . . , x
t
)M) < ∞. ❚õ ➤ã t❛ s✉② r❛
l((0
M
: x
1
)/(x
1
, . . . , x
t
)(0
M
: x
1
)) < ∞,

tø❝ ❧➭ (x
2
, . . . , x
t
) ❧➭ ❤Ö ❜é✐ ❝ñ❛ 0
M
: x
1
. ❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣ t❤×
e((x
2
, . . . , x
t
); M/x
1
M) ✈➭ e((x
2
, . . . , x
t
); 0
M
: x
1
)
❧➭ tå♥ t➵✐✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛
e(x; M) = e((x
2
, . . . , x
t
); M/x

1
M) − e((x
2
, . . . , x
t
); 0
M
: x
1
).
❙è e(x; M) ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♥❤➢ tr➟♥ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ sè ❜é✐ ❝ñ❛ M ø♥❣ ✈í✐ ❤Ö
❜é✐ x.
❈❤ó ý ✶✳✶✳✹✳ ❈❤♦ x = (x
1
, . . . , x
t
) ❧➭ ❤Ö ❜é✐ ❝ñ❛ M. ❉➢í✐ ➤➞② ❝❤ó♥❣ t❛ sÏ
➤➢❛ r❛ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ sè ❜é✐ e(x; M) t❤➢ê♥❣ ➤➢î❝ sö ❞ô♥❣ tr♦♥❣
❧✉❐♥ ✈➝♥✳
✭✐✮ 0 ≤ e(x
; M) ≤ l(M/(x
1
, . . . , x
t
)M). ◆Õ✉ tå♥ t➵✐ i s❛♦ ❝❤♦ x
n
i
M = 0,
✈í✐ n ❧➭ ♠ét sè tù ♥❤✐➟♥ ♥➭♦ ➤ã t❤× e(x; M) = 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

✼
✭✐✐✮ ✭➜Þ♥❤ ❧ý ❝é♥❣ tÝ♥❤ ❝ñ❛ ❜é✐✮✳ ●✐➯ sö
0 −→ M
n
−→ . . . −→ M
1
−→ M
0
−→ 0
❧➭ ❞➲② ❦❤í♣ ❝➳❝ A− ♠➠➤✉♥ ◆♦❡t❤❡r ✈➭ x ❧➭ ❤Ö ❜é✐ ❝ñ❛ M
i
, ✈í✐ ♠ä✐
i = 0, . . . , n. ❑❤✐ ➤ã✱
n

i=0
(−1)
i
e(x; M
i
) = 0.
✭✐✐✐✮ ❈❤♦ x = (x
1
, . . . , x
t
) ❧➭ ♠ét ❤Ö ❜é✐ ❝ñ❛ M. ❑❤✐ ➤ã e(x; M) = 0 ❦❤✐
✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ t > dim M.
✭✐✈✮ ❈❤♦ (n
1
, . . . , n

t
) ∈ N
t
. ❑❤✐ ➤ã✱
e((x
n
1
1
, . . . , x
n
t
t
); M) = n
1
. . . n
t
e(x; M)
✭✈✮ ◆Õ✉ x ❧➭ ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè ❝ñ❛ M tø❝ ❧➭ t = d, t❤× t❛ ❝ã ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❧✐➟♥
❤Ö ❣✐÷❛ sè ❜é✐ ❤×♥❤ t❤ø❝ ✈➭ sè ❜é✐ ❩❛r✐s❦✐ ✲ ❙❛♠✉❡❧ ❧➭ e
0
(q; M) = e(x; M),
tr♦♥❣ ➤ã q = (x
1
, . . . .x
d
)A.
✭✈✐✮ ❈➠♥❣ t❤ø❝ ❆✉s❧❛♥❞❡r ✲ ❇✉❝❤s❜❛✉♠ ❬❆✲ ❇❪✳ ❱í✐ ♥❤÷♥❣ ❦Ý ❤✐Ö✉ tr➟♥ t❤×
l(M/(x
1
, . . . , x

d
)M) − e(x; M)
=

d−1
i=0
e((x
i+1
, . . . , x
d
); (x
1
, . . . , x
i−1
)M : x
i
/(x
1
, . . . , x
i−1
)M.
❑❤✐ ➤ã M ❧➭ A✲♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ tå♥ t➵✐ ♠ét ❤Ö
t❤❛♠ sè x = (x
1
, . . . , x
d
) s❛♦ ❝❤♦
l(M/(x
1
, . . . , x

d
)M) = e(x; M).
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✺✳ ✭✐✮ ▼ét A✲♠➠➤✉♥ M ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②
s✉② ré♥❣ ♥Õ✉
I(M) = s✉♣{l(M/(x
1
, . . . , x
d
)M − e(x; M))} < ∞
tr♦♥❣ ➤ã x = (x
1
, . . . , x
d
) ❝❤➵② ❦❤➽♣ t❐♣ ❝➳❝ ❤Ö t❤❛♠ sè ❝ñ❛ M.
✭✐✐✮ ▼ét ❤Ö t❤❛♠ sè x = (x
1
, . . . , x
d
) ❝ñ❛ M ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤Ö t❤❛♠ sè ❝❤✉➮♥
t➽❝ ❝ñ❛ M ♥Õ✉
l
A
(M/(x
1
, . . . , x
d
)M)−e(x; M) = l
A
(M/(x
2

1
, . . . , x
2
d
)−e((x
2
1
, . . . , x
2
d
); M)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ú ý ó t ó ột số tr ề s
rộ
M s rộ ỉ M ó ít t ột
ệ t số t ữ I(M) = l
A
(M/(x
1
, . . . , x
d
)M) e(x; M)
ế x ột ệ t số t
sử M s rộ ó M
p

M
p
+ A/p = d ớ ọ tố p

M \{m}. ữ ế A t ủ tì
ề ợ ũ ú
ý ệ

M ủ m ủ M. ó M
s rộ ỉ

M s rộ
M s rộ ó
(R/p) = M ớ ọ p ssM, p = m.
ét ở
ệ t số x = (x
1
, ..., x
d
) ủ M ột t số
n = (n
1
, ..., n
d
) t t x(n) = (x
n
1
1
, ..., x
n
d
d
) ét ệ
I

M
(n; x) = (M/x(n)M) n
1
...n
d
e(x; M)
ột ủ n
1
, ..., n
d
tr ó e(x; M) số ộ ủ M t ứ ớ
x. ó ì I
M
(n; x) tứ ớ n
1
, ..., n
d
ủ ớ t
ú trị t t ét í ụ s
A = k[[X, Y, Z]]/I, tr ó k[[X, Y, Z]] ỗ ỹ từ ì
tứ t ế X, Y, Z tr trờ ó số k I = (X
2
, XY Z). õ
r t ó A = 2 ệ x = (x
1
, x
2
) ệ t số ủ A, tr ó x
1

ủ Y + Z tr A x
2
ủ Y tr A. ó t ó
x
n
1
A : x
m
2
=

(x, x
n
1
)A ế m n + 1
(x, x
n
1
)A (x
2
, z, x
nm
2
)A ế m n
tr ó x ủ X tr A z ủ Z tr A. n = (n, m)
x = (x
1
, x
2
). sử I

M
(n; x) = (M/x(n)M) nme(x; M) tứ
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
✾
❚❤❡♦ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❬❆✲❇❪ t❛ ❝ã
l(M/(x
n
1
, x
km
2
)M) − l(M/(x
n
1
, x
m
2
)M)
= l(x
n
1
M : x
km
2
/x
n
1
M) − l(x
n
1

M : x
m
2
/x
n
1
M)
+ e((x
n
1
, x
(k−1)m
2
); M) + e(x
(k−1)m)
2
; 0 :
M
x
n
1
)
= l(M/(x
n
1
, x
km
2
)M) − l(M/(x
n

1
, x
m
2
)M)
+ l(M/(x
n
1
, x
(k−1)m
2
)M) − l(x
n
1
M : x
(k−1)m
2
/x
n
1
M)
✈í✐ ♠ä✐ sè tù ♥❤✐➟♥ k. ❈è ➤Þ♥❤ n t❤× ❞♦ ♠ä✐ ❞➲② t➝♥❣ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M
➤Ò✉ ❞õ♥❣ ♥➟♥ t❛ ❧✉➠♥ t×♠ ➤➢î❝ k s❛♦ ❝❤♦
x
n
1
M : x
km
2
= x

n
1
M : x
(k−1)m
2
.
❚õ ➤ã s✉② r❛
l(x
n
1
M : x
m
2
/x
n
1
M) = l(M/(x
n
1
, x
m
2
)M)
+l(M/(x
n
1
, x
(k−1)m
2
)M) − l(M/(x

n
1
, x
km
2
)M).
❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt ❝➳❝ sè ❤➵♥❣ ❜➟♥ ♣❤➯✐ ❝ñ❛ ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❧➭ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ✈í✐ n  0.
❱❐② l(x
n
1
M : x
m
2
/x
n
1
M) ❝ò♥❣ ❧➭ ➤❛ t❤ø❝✳ ❈è ➤Þ♥❤ n, ❦❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ sè m
0
s❛♦
❝❤♦
x
n
1
M : x
m
2
= x
n
1
M : x

m
0
2
,
➤✐Ò✉ ♥➭② ❧➭ ♠➞✉ t❤✉➱♥✳ ❱❐② I
M
(n; x) = (M/x(n)M) − n
1
...n
d
e(x; M)
❦❤➠♥❣ ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ✈í✐ n  0.
❉♦ ➤ã ♠ét ❝➞✉ ❤á✐ ➤➢î❝ ➤➷t r❛ ❧➭✿ ❑❤✐ ♥➭♦ t❤× I
M
(n; x)) = (M/x(n)M)−
n
1
...n
d
e(x; M) ❧➭ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ ✈í✐ n  0? ❈➞✉ ❤á✐ ♥➭② ➤➢î❝ ❣✐➯✐ q✉②Õt trä♥
✈Ñ♥ trä♥❣ ♠ô❝ 1.3
✶✳✸ ➜➷❝ tr➢♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤❛ t❤ø❝ ❝ñ❛ ❤➭♠ ➤é ❞➭✐
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✸✳✶✳ ✭✐✮ ▼ét ♣❤➬♥ ❤Ö t❤❛♠ sè x
1
, x
2
, . . . , x
j
❝ñ❛ M ➤➢î❝ ❣ä✐
❧➭ ♣ ✲ ❞➲② ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ♠ét sè tù ♥❤✐➟♥ n

0
s❛♦ ❝❤♦
(x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
)M : x
n
i
i
= (x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
)M : x
n
0
i
✈í✐ ♠ä✐ n
1
, . . . , n
j

 0 ✈➭ i = 1, . . . , j ✭ ë ➤➞② t❛ ➤➷t x
0
= 0).
✭✐✐✮ ❉➲② x
1
, x
2
, . . . , x
j
➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♣ ✲ ❞➲② ❦❤➠♥❣ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥✱ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✶✵
✉✳♣ ✲ ❞➲② ♥Õ✉ ♥ã ❧➭ ♣ ✲ ❞➲② ✈í✐ ♠ä✐ ❤♦➳♥ ✈Þ ❝ñ❛ ❞➲② ➤ã✳
❚r➢í❝ ❦❤✐ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ❝ñ❛ ♠ô❝ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t❛ ❝➬♥ sö ❞ô♥❣ ♠ét
sè ❦Õt q✉➯ s❛✉✳
▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✸✳✷✳ ❈❤♦ x = (x
1
, . . . , x
d
) ❧➭ ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè ❝ñ❛ M. ❑❤✐ ➤ã ❝➳❝
♣❤➳t ❜✐Ó✉ s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿
✭✐✮ x ❧➭ ♠ét ✉✳♣✲❞➲②❀
✭✐✐✮ ❚å♥ t➵✐ ♠ét sè tù ♥❤✐➟♥ n
0
s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐ n
1
, . . . , n
d
≥ n
0

✈➭ ✈í✐
♠ä✐ ❤♦➳♥ ✈Þ α ❝ñ❛ t❐♣ {1, . . . , d} t❛ ❝ã
((x
n
α(1)
α(1)
, . . . , x
n
α(i−1)
α(i−1)
)M : x
n
α(i)
α(i)
)

(x
n
α(1)
α(1)
, . . . , x
n
α(i)
α(i)
)M
= (x
n
α(1)
α(1)
, . . . , x

n
α(i−1)
α(i−1)
)M, ∀i = 1, . . . , d;
✭✐✐✐✮ ❚å♥ t➵✐ ♠ét sè tù ♥❤✐➟♥ n
0
s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐ n
1
, . . . , n
d
≥ n
0
✈➭ ✈í✐ ♠ä✐
❤♦➳♥ ✈Þ α ❝ñ❛ t❐♣ {1, . . . , d} t❛ ❝ã
((x
n
α(1)
α(1)
, . . . , x
n
α(d−1)
α(d−1)
)M : x
n
α(d)
α(d)
)

(x
n

α(1)
α(1)
, . . . , x
n
α(d)
α(d)
)M
= (x
n
α(1)
α(1)
, . . . , x
n
α(d−1)
α(d−1)
)M;
✭✐✈✮ ❚å♥ t➵✐ ♠ét sè tù ♥❤✐➟♥ n
0
s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐ n
1
, . . . , n
d
≥ n
0
✈➭ ✈í✐ ♠ä✐
❤♦➳♥ ✈Þ α ❝ñ❛ t❐♣ {1, . . . , d} t❛ ❝ã
(x
n
α(1)
α(1)

, . . . , x
n
α(d−1)
α(d−1)
)M : x
n
α(d)
α(d)
= (x
n
α(1)
α(1)
, . . . , x
n
α(d−1)
α(d−1)
)M : x
n
0
α(d)
.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✿ ✭✐✮ =⇒ ✭✐✐✮✳ ❇➺♥❣ ❝➳❝❤ ➤➳♥❤ sè ❧➵✐ ❞➲② x
1
, . . . , x
d
t❛ ❝❤Ø ❝➬♥
❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣
((x
n
1

1
, . . . , x
n
i−1
i−1
)M : x
n
i
i
)

(x
1
)
n
1
, . . . , x
n
i
i
)M = (x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
)M.
●✐➯ sö a ∈ ((x

n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
)M : x
n
i
i
)

(x
n
1
1
, . . . , x
n
i
i
)M✳ ❚❛ ❝ã t❤Ó ✈✐Õt
a =

i
j=1
y
j
x
j

n
j
✈í✐ y
j
∈ M✳ ❱× ax
n
i
i
∈ (x
n
1
1
, . . . , x
n
(i−1)
i−1
)M : x
n
i
i
♥➟♥
y
i
x
2ni
i
∈ (x
n
1
1

, . . . , x
n
(i−1)
i−1)
)M✳ ❱❐② ✈í✐ ♠ä✐ n
i
≥ n
0
t❛ ➤➢î❝
y
i
∈ (x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
)M : x
2ni
i
= (x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1

)M : x
n
i
i
.
❚õ ➤ã t❛ s✉② r❛ y
i
x
ni
i
∈ (x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
)M, tø❝ a ∈ (x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
)M✳
✭✐✐✮ =⇒ ✭✐✐✐✮ ❧➭ ❤✐Ó♥ ♥❤✐➟♥✳
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✶✶

✭✐✐✐✮ =⇒ ✭✐✈✮✳ ❱í✐ n
1
, . . . , n
d
≥ n
0
t❛ ❝ã
((x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M : x
n
0
d
)

(x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
, x

n
0
d
)M = (x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M.
❈❤✐❛ ❝➯ ❤❛✐ ✈Õ ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ ❝❤♦ x
n
0
d
t❛ t❤✉ ➤➢î❝
(x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M : x
2n
0
d
= (x

n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M : x
n
0
d
.
❚õ ➤➞② t❛ s✉② r❛
(x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M : x
kn
0
d
= (x
n
1
1
, . . . , x

n
d−1
d−1
)M : x
n
0
d
✈í✐ ♠ä✐ n
1
, . . . , n
d
≥ n
0
✈➭ k ≥ 1. ❱× ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tr➟♥ ❦❤➠♥❣ ♣❤ô t❤✉é❝ ✈➭♦
t❤ø t❤ù ❝ñ❛ ❞➲② x
1
, . . . , x
d
♥➟♥ t❛ s✉② r❛ ✭✐✈✮✳
✭✐✈✮ =⇒ ✭✐✮✳ ❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý ❣✐❛♦ ❑r✉❧❧✱ tõ ✭✐✈✮ t❛ s✉② r❛
(x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
)M : x
n

i
i
⊆
∞

k=n
0
((x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
, x
k
i+1
, . . . , x
k
d
)M : x
n
i
i
)
=
∞

k=n

0
((x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
, x
k
i+1
, . . . , x
k
d
)M : x
n
0
i
)
= (x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
)M : x
n

0
i
⊆ (x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
)M : x
n
i
i
,
✈í✐ ♠ä✐ i = 1, . . . , d ✈➭ n
1
, . . . , n
d
≥ n
0
. ❈ò♥❣ ♥❤➢ tr➟♥✱ ♣❤Ð♣ ❝❤ø♥❣
♠✐♥❤ ❦❤➠♥❣ ♣❤ô t❤✉é❝ ✈➭♦ t❤ø tù ❝ñ❛ ❞➲② x
1
, . . . , x
d
. ❱❐② x
1
, . . . , x
d

❧➭ ♠ét
✉✳♣ ✲ ❞➲② ✈➭ ♠Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✸✳✷ ➤➢î❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
❇æ ➤Ò ✶✳✸✳✸✳ ●✐➯ sö l(M/(x
n
1
1
, . . . , x
n
d
d
)M) ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ t❤❡♦ n ❦❤✐ n  0. ❑❤✐
➤ã ➤❛ t❤ø❝ tr➟♥ ❧➭ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ t❤❡♦ tõ♥❣ ❜✐Õ♥ n
1
, . . . , n
d
.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ sÏ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜æ ➤Ò ❜➺♥❣ q✉② ♥➵♣ t❤❡♦ ❞✐♠M = d. ❱×
t❛ ❝ã I
M
(n; x) = l(M/(x
n
1
1
, . . . , x
n
d
d
)M) − n
1
. . . n

d
e(x; M) ♥➟♥ t❛ ❝❤Ø ❝➬♥
❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤❛ t❤ø❝ I
M
(n; x) ❧➭ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ t❤❡♦ tõ♥❣ ❜✐Õ♥ n
1
, . . . , n
d
✳ ❚❤❐t
✈❐②✱ ✈í✐ d = 1 ❦❤✐ ➤ã t❛ ❝ã I
M
(n; x) = l(M/x
n
1
1
M) − n
1
e(x
1
; M) ❧➭ ➤❛ t❤ø❝
t❤❡♦ n
1
✈í✐ n
1
 0. ❚❤❡♦ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ▲❡❝❤ t❛ ❝ã
lim
n
1
→∞
lM/(x

n
1
1
M)
n
1
= e(x
1
; M)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✶✷
♥➟♥ s✉② r❛ ❜❐❝ ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝ I
M
(n; x) ❧➭ ❜➺♥❣ 0. ❉♦ ➤ã ➤❛ t❤ø❝ I
M
(n; x) ❧➭ ➤❛
t❤ø❝ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ t❤❡♦ n
1
.
●✐➯ sö d > 1. ❈è ➤Þ♥❤ n
1
➤➷t E = M/x
n
1
1
M t❤× ❞✐♠E = d − 1. ❑❤✐ ➤ã
t❛ ❝ã
l(M/(x
n
1

1
, . . . , x
d
)M) = l(E/(x
n
2
2
, . . . , x
n
d
d
)E).
❑❤✐ ➤ã I
M
(n; x) = l(E/(x
n
2
2
, . . . , x
n
d
d
)E) − n
1
.n
2
. . . n
d
e(x; M). ❚❤❡♦ ❣✐➯
t❤✐Õt q✉② ♥➵♣ s✉② r❛ I

M
(n; x) ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ t❤❡♦ n
2
, . . . , n
d
. ❈è ➤Þ♥❤
n
2
, . . . , n
d
➤➷t F = M/(x
n
2
2
, . . . , x
n
d
d
)M t❤× ❞✐♠F = 1. ❑❤✐ ➤ã
l(M/(x
n
1
1
, . . . , x
n
d
d
)M) = l(F/x
n
1

1
F ).
❙✉② r❛ I
M
(n; x) = l(F/x
n
1
1
F ) − n
1
. . . n
d−1
n
d
e(x; M). ❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉②
♥➵♣ s✉② r❛ I
M
(n; x) ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ t❤❡♦ n
1
.
❚✐Õ♣ t❤❡♦ ❧➭ ♠ét ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ❝ñ❛ t✐Õt ♥➭② ❝ò♥❣ ❧➭ ♠ét tr➯ ❧ê✐ trä♥ ✈Ñ♥
❝❤♦ ❝➞✉ ❤á✐ tr♦♥❣ ♠ô❝ ✶✳✷✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✹✳ ❍➭♠ sè I
M
(n; x) ❧➭ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ t❤❡♦ n ✈í✐ n  0 ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø
❦❤✐ ❤Ö t❤❛♠ sè x ❧➭ ✉✳♣✲❞➲②✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥✿ ❚❤❡♦ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❬❆✲❇❪ t❛ ❝ã
l(M/(x
n
1

1
, . . . , x
n
d−1
d−1
, x
kn
d
d
)M) − l(M/(x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
, x
n
d
d
)M)
= l((x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1

)M : x
kn
d
d
/(x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M)
−l((x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M : x
n
d
d
/(x
n
1
1
, . . . , x

n
d−1
d−1
)M)
+
d−1

i=1
e((x
n
i+1
i+1
, ..., x
n
d−1
d−1
, x
kn
d
d
); (x
n
1
1
, ..., x
n
i−1
i−1
)M : x
n

i
i
/(x
n
1
1
, ..., x
n
i−1
i−1
)M)
−
d−1

i=1
e((x
n
i+1
i+1
, ..., x
n
d−1
d−1
, x
n
d
d
); (x
n
1

1
, ..., x
n
i−1
i−1
)M : x
n
i
i
/(x
n
1
1
, ..., x
n
i−1
i−1
)M)
= l((x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M : x
kn
d
d

/(x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M)
−l((x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M : x
n
d
d
/(x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M)

+
d−1

i=1
e((x
n
i+1
i+1
, ..., x
n
d−1
d−1
, x
(k−1)n
d
d
); (x
n
1
1
, ..., x
n
i−1
i−1
)M : x
n
i
i
/(x
n

1
1
, ..., x
n
i−1
i−1
)M)
= l((x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M : x
kn
d
d
/(x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M)
−l((x
n

1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M : x
n
d
d
/(x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✶✸
+l(M/(x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
, x

(k−1)n
d
d
)M)
−l((x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M : x
(k−1)n
d
d
/(x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M)
✈í✐ ♠ä✐ sè tù ♥❤✐➟♥ k. ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ d − 1 sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ n
1
, . . . , n
d
1

t❛ ❧✉➠♥
❝ã t❤Ó t×♠ ➤➢î❝ ♠ét sè k s❛♦ ❝❤♦
(x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M : x
kn
d
d
= (x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M : x
(k−1)n
d
d
.
❚õ ➤➞② s✉② r❛
l((x
n

1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M : x
n
d
d
/(x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M) = l(M/(x
n
1
1
, . . . , x
n
d
d
)M)
+l(M/(x
n
1

1
, . . . , x
n
d−1
d−1
, x
(k−1)n
d
d
)M) − l(M/(x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
, x
kn
d
d
)M).
❚❤❡♦ ♠Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✸✳✸ ❝➳❝ sè ❤➵♥❣ ❜➟♥ ♣❤➯✐ ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❧➭ ♥❤÷♥❣ ➤❛ t❤ø❝ t✉②Õ♥
tÝ♥❤ t❤❡♦ tõ♥❣ ❜✐Õ♥ n
i
✈í✐ n  0. ❉♦ ➤ã
l((x
n
1
1

, . . . , x
n
d−1
d−1
)M : x
n
d
d
/(x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M)
❝ò♥❣ ❧➭ ➤❛ t❤ø❝✳ ❈è ➤Þ♥❤ n
1
, . . . , n
d−1
t❤× tå♥ t➵✐ sè tù ♥❤✐➟♥ n
0
s❛♦ ❝❤♦
(x
n
1
1
, . . . , x
n

d−1
d−1
)M : x
n
d
d
= (x
n
1
1
, . . . , x
n
d
d−1
)M : x
n
0
d
✈í✐ n
d
≥ n
0
. ❉♦ ➤ã ➤❛ t❤ø❝ tr➟♥ ❦❤➠♥❣ ♣❤ô t❤✉é❝ ✈➭♦ n
d
. ❱❐② tå♥ t➵✐ ♠ét
sè tù ♥❤✐➟♥ n
0
s❛♦ ❝❤♦
(x
n

1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M : x
n
d
d
= (x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M : x
n
0
d
✈í✐ ♠ä✐ n
1
, . . . , n
d
≥ n
0
. ❱× ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❦❤➠♥❣ ♣❤ô t❤✉é❝ ✈➭♦ t❤ø tù ❝ñ❛
❞➲② x

1
, . . . , x
d
♥➟♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ➤➢î❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ➤ñ✳ ➜➷t
e(∅; (x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M : x
n
d
d
/(x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M
= l((x
n
1
1

, . . . , x
n
d−1
d−1
)M : x
n
d
d
/(x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M.
❑❤✐ ➤ã t❤❡♦ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❬❆✲❇❪ t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤
e((x
n
i+1
i+1
, . . . , x
n
d−1
d−1
, x
n
d
d

); (x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
)M : x
n
i
i
/(x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
)M)
❧➭ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ t❤❡♦ n
1
, . . . , n
i
 0, ✈í✐ i = 0, . . . , d. ❚❛ sÏ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ q✉②
♥➵♣ t❤❡♦ d ✈➭ i.
◆Õ✉ d = 1 ❤♦➷❝ i = 0 ✈➭ d ❜✃t ❦ú t❤× ♠Ö♥❤ ➤Ò tr➟♥ ❤✐Ó♥ ♥❤✐➟♥ ➤ó♥❣✳
❈❤♦ d > 1 ✈➭ i ≥ 1. ●✐➯ sö ♠Ö♥❤ ➤Ò ➤ó♥❣ ✈í✐ d − 1 ❤♦➷❝ i − 1, t❛ ❝➬♥
❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤

e((x
n
i+1
i+1
, . . . , x
n
d
d
); (x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
)M : x
n
i
i
/(x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
)M)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên