tích phân hàm vô tỉ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (333.69 KB, 11 trang )
Bài 7. Tích phân hàm vô tỉ
199
BÀI 7. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
I. TÍCH PHÂN CÓ CHỨA CÁC CĂN THỨC CỦA BIẾN ĐỘC LẬP
1.
Xét dạng cơ bản thường gặp:
( )
p
m n
I x a bx dx
= +
∫
với
m, n, p
hữu tỉ
1.1.
Nếu
p
∈
Z
thì gọi
k
là mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số tối giản biểu
thị bởi
m
và
n
, khi đó đặt
x
=
t
k
.
1.2.
Nếu
1
m
n
+
∈
Z thì gọi
S
là mẫu số của
p
và đặt
n s
a bx t
+ =
1.3.
Nếu
1m
p Z
n
+
+ ∈
thì gọi
S
bằng mẫu số của
p
và đặt
n
s
n
a bx
t
x
+
=
2.
Xét
1
1
j
j
r
r
q
q
I R x, x , , x dx
=
∫
với
r
1
, q
1
,…r
j
, q
j
là các số nguyên dương.
Gọi
k
là bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số
q
1
, …, q
j
. Khi đó ta có:
1 1
1
j j
j
r
r
; ;
q k q k
= =
α
α
. Đặt
(
)
( )
1
1
1
j
k k k
x t I R t ,t , ,t kt dt R t a
−
= ⇒ = =
∫ ∫
α
α
3.
Xét
(
)
(
)
m r
n s
ax b ax b
I R x, , , dx
cx d cx d
+ +
=
+ +
∫
với
m, n, …, r, s
nguyên dương
Đặt
ax b
t
cx d
+
=
+
⇒
( )
2
t d b ad bc
x ;dx dt
a ct
a ct
− −
= =
−
−
⇒
( )
2
m r
n s
td b ad bc
I R ,t , ,t dt
a ct
a ct
− −
=
−
−
∫
Gọi
k
là bội số chung nhỏ nhất của các số:
{
}
n, s
. Đặt
t
=
u
k
thì
( )
( )
1 1
1
2 2
k
m
r
m r
k
n s
k
td b ad bc u td b ad bc
I R ,t , ,t dt R ,u , ,u ku d u
a ct a ct
a ct
a cu
−
− − − −
= =
− −
−
−
∫ ∫
II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA
1. Dạng 1:
( )
∫
p
m
n
I = x a + bx dx
với m, n, p
∈
∈∈
∈
Q
•
(
)
1
1 3
4 4
1
x x dx
−
= +
∫ ∫
4
1
4
3
xdx
I =
1 + x
⇒
1 3
m ; n ; p 1 Z k 4
4 4
−
= = = − ∈ ⇒ =
www.VNMATH.com
Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương
200
Đặt
4
t x
=
⇒
4 3
4
x t dx t dt
= ⇒ =
⇒
4
4
1
3 3
3
4
x dx 4t dt 4t
I 4t dt
1 t 1 t
1 x
= = = −
+ +
+
∫ ∫ ∫
( ) ( )
( )
( )
2
2
t 1 t 1
2t 2 dt
t 1 t t 1
+ + −
= −
+ − +
∫
(
)
( )
( )
2 2
2
2
2
dt t t t 1
2t 2 2 dt
t t 1
t 1 t t 1
− − +
= − −
− +
+ − +
∫ ∫
(
)
2
2
2 3
2
dt t dt dt
2t 2 2 2
t 1
t 1
3
1
t
2 2
= − − +
+
+
− +
∫ ∫ ∫
2 3
4 2t 1 2
2t arctg ln 1 t 2 ln 1 t c
3
3 3
−
= − − + + + +
4
3
4
4
4 2. x 1 2
2 x arctg ln 1 x 2ln 1 x c
3
3 3
−
= − − + + + +
•
( )
( )
2
1 2 1 3
1
x x dx
−
= +
∫ ∫
2
2
3
xdx
I =
1 + x
⇒
1 1
m ; n ; p 2 Z
2 3
= = = − ∈
⇒
k
=
6
Đặt
6 5
6
6
t x x t dx t dt
= ⇒ = ⇒ =
. Khi đó:
(
)
( ) ( )
3 5 8
2
2 2
2 2
t 6t dt 6t dt
I
1 t 1 t
= =
+ +
∫ ∫
( ) ( )
2
4 2 4 2
2 2 2
2 2
4t 3 4 dt
6 t 2t 3 dt 6 t 2t 3 dt 6
t 1
t 1 t 1
+
= − + − = − + − +
+
+ +
∫ ∫ ∫
=
5 3
t 2t
6 3t 4arctg t 6J
5 3
− + − +
. Đặt
( )
2 2
2
dt dt
I ; J
t 1
t 1
= =
+
+
∫ ∫
Ta có:
( )
2
2 2 2 2 2
2
1 t t t dt
1
I dt td 2
t 1 t 1 t 1 t 1
t 1
= = − = +
+ + + +
+
∫ ∫ ∫
(
)
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
2 2
t t 1 1 t dt dt t
2 dt 2 2 2I 2J
t 1 t 1 t 1 t 1
t 1 t 1
+ −
= + = + − = + −
+ + + +
+ +
∫ ∫ ∫
⇒
( )
2
2
t t 1
2J I J arctg t c
2
t 1
2 t 1
= + ⇒ = + +
+
+
⇒
( )
5 3
2
2
t 2t t 1
I 6 3t 4 arctg t 6 arctg t c
5 3 2
2 t 1
= − + − + + +
+
5 3
2
5 38 8
8
8
4
3 6t 20t 90t
21arctg t c
5
t 1
6 x 20 x 90 x
3
21arctg x c
5
x 1
− +
=
− + +
+
− +
= − + +
+
www.VNMATH.com
Bài 7. Tích phân hàm vô tỉ
201
•
( )
1 2
2 3
1
x x dx
= +
∫ ∫
3
3
2
xdx
I =
1 + x
⇒
2 1 1
1; ; 3
3 2
m
m n p
n
+
= = = ⇒ = ∈
»
Đặt
( ) ( )
3 2
3 3
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 6 1
t x t x t x x dx t t dt
= + ⇒ = + ⇒ − = ⇒ = −
( )
( ) ( )
2
2
2
2 4 2
3
23
x dx 3t t 1 dt
I 3 t 1 dt 3 t 2t 1 dt
t
1 x
−
⇒ = = = − = − +
+
∫ ∫ ∫ ∫
(
)
(
)
(
)
5 2 3 2
5 3 2 2 23 3 3
3 3
t 2t 3t c 1 x 2 1 x 3 1 x c
5 5
= − + + = + − + + + +
•
( )
1 3
3 3
2
x x dx
−
−
= −
−
∫ ∫
4
3
3 3
dx
I =
x 2 x
⇒
1 1
3; 3, 1
3
m
m n p p
n
− +
= − = = ⇒ + = − ∈
»
Đặt
3
3
2
x
t
x
−
=
⇒
( )
3 2
3 3 2
3 3 3 2
3
2 2 2 2
1
1
1
x t dt
t x x dx
x x t
t
− −
= = − ⇒ = ⇒ =
+
+
⇒
( )
2 2
4
2 2
3 3 3
3 3
3
6
3
dx x dx 1 2t dt
I
2
x 2 x 2 x
t 1
t
x
t 1
x
−
= = = ⋅
− −
+
+
∫ ∫ ∫
2
3
2 3
1 t 2 x
t dt c c
2 4 2x
− − −
= = + = − +
∫
•
−
∫
3
3
5
I = 3x x dx
⇒
1 1 1
; 2, 1
3 3
m
m n p p
n
+
= = = ⇒ + = ∈
»
Đặt
( )
3
3 3 2
3 2
3 2 3 2
3
3 3 3 3 9
1 2
1
1
x x x x t dt
t t x x dx
x
x x t
t
− − −
= ⇒ = = − ⇒ = ⇒ =
+
+
⇒
( )
( )
3 3
3
3
3
5
2 3
3
1 3x x 9 t dt 3
1
I
3x x dx 2x dx td
2 x 2 2
t 1
t 1
− −
= − = = =
+
+
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
3
3 3
3t 3 dt 3t 3
I
2 2
t 1
2 t 1 2 t 1
= − = −
+
+ +
∫
với
3
1
dt
I
t
=
+
∫
( )
( )
2
1 1
dt
I
t t t
=
+ − +
∫
(
)
( ) ( ) ( )
( )
2 2
d t 1 du
u u 3u 3
t 1 t 1 3 t 1 3
+
= =
− +
+ + − + +
∫ ∫
(
)
(
)
( )
( )
2 2
2
2
1 u 3u 3 u 3u 1 du u 3 du
du
3 3 u
u 3u 3
u u 3u 3
− + − − −
= = −
− +
− +
∫ ∫ ∫
( )
2 2
1 du 1 2u 3 du 3 du
3 u 2 2
u 3u 3 u 3u 3
−
= − +
− + − +
∫ ∫ ∫
www.VNMATH.com
Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương
202
(
)
(
)
2
2 2
2
2
1 du 1 d u 3u 3 3 du
3 u 2 2
3
u 3u 3
3
u
2
4
1 1 u 2u 3
ln 3arctg c
3 2
u 3u 3
3
− +
= − +
− +
− +
−
= + +
− +
∫ ∫ ∫
( )
( ) ( )
( )
2
2
1 t 1 1 2 t 1 3
ln arctg c
6
3 3
t 1 3 t 1 3
+ + −
= + +
+ − + +
2
2
1 t 2t 1 1 2t 1
ln arctg c
6
2 3 3t t 1
+ + −
= + +
− +
⇒
( )
2
5
2
3
3t 3 1 t 2t 1 1 2t 1
I ln arctg
2 6
2 3 3
t t 1
2 t 1
+ + −
= − +
− +
+
( )
3
3 3 3
3 3 3
x 3x x 1 x 3x x x 3 2 3x x x
ln arctg c
2 4 3 4
x 3
− − + − −
= − − +
•
( )
1 2
4 2
1
x x dx
−
−
= +
∫ ∫
6
4 2
dx
I =
x 1+ x
1 m 1
m 4, n 2, p p 2 Z
2 n
− +
⇒ = − = = ⇒ + = − ∈
Đặt
( )
2 2
2 2
2 2 2 2
2
1 1 1 1
1
1
1
x x t dt
t t x x dx
x
x x t
t
+ + −
= ⇒ = = + ⇒ = ⇒ =
−
−
⇒
( )
( )
( )
3
2
2
6
2
4 2 2
2
6
dx x dx t 1 t dt
I t 1 dt
t
x 1 x 1 x
t 1
x
x
− −
= = = ⋅ = − −
+ +
−
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
3
3 2 2 2 2
3 3
t 1 x 1 x 2x 1 1 x
t c c c
3 x
3x 3x
− − + + − +
= + + = + + = +
•
( )
( )
4
1
1 1 2
7
1
1
x x dx
−
−
= +
∫ ∫
4
1
dx
I =
x 1 + x
⇒
1
m 1,n , p 1 Z
2
= − = = − ∈
Đặt
2
2
t x t x dx t dt
= ⇒ = ⇒ =
⇒
( )
( )
( )
( )
2 2 2
7
2
1 1 1
2t dt dt 1 t t
I 2 2 dt
t 1 t t 1 t
t 1 t
+ −
= = =
+ +
+
∫ ∫ ∫
( )
( )
2
2
1
1
1 1 4
2 dt 2 ln t ln t 1 2 ln 2 ln 3 ln1 ln 2 2 ln
t t 1 3
= − = − + = − − + =
+
∫
www.VNMATH.com
Bài 7. Tích phân hàm vô tỉ
203
2. Dạng 2:
∫
j
1
j
1
r
r
q
q
I = R x, x , , x dx
•
( )
1 2
1 3
1
1
x
dx
x x
−
− −
=
+
∫ ∫
1
3
2
x 1
I = dx
x + x
. Gọi
k
=
BSCNN
(2, 3)
=
6
Đặt
6 5
6
6
t x x t dx t dt
= ⇒ = ⇒ =
⇒
(
)
3 4
5 2
1
6 4 2 2
t 1 6 t t t 1
I 6t dt dt 6 t 1 dt
t t t 1 t 1
− − −
= ⋅ = = − −
+ + +
∫ ∫ ∫
3 2
6 3
2t 6t 3ln 1 t 6arctg t c 2 x 6 x 3ln 1 x arctg x c
= − − + + + = − − + + +
•
( ) ( )
1 4 1 8
4
1
− −
=
+
∫ ∫
8
4
2
4
x x
I = dx
x 1 + x
x x
dx
x x
. Gọi
k
=
BSCNN
(4, 8)
=
8
Đặt
8 7
8
8
t x x t dx t dt
= ⇒ = ⇒ =
⇒
( )
2
7
2
2
8 2
t t t 1
I 8t dt 8 dt
t 1
t t 1
− −
= =
+
+
∫ ∫
2
8
4
4 ln 1 t 8arctg t c 4ln 1 x 8arctg x c
= + − + = + − +
•
( )
( )
1 2
1 3
1 1
1 1
− − +
=
+ +
∫ ∫
3
3
1 1 + x
I = dx
1 + 1 + x
x
dx
x
. Gọi
k
=
BSCNN
(2, 3)
=
6
Đặt
6 5
6
1 1 6
t x x t dx t dt
= + ⇒ = − ⇒ =
⇒
3
5 6 4 3 2
3
2 2
3
1 1 x 1 t t 1
I dx 6t dt 6 t t t t t 1 dt
1 1 x
1 t t 1
− + − −
= = ⋅ = − + + − − + +
+ +
+ +
∫ ∫ ∫
7 5 4 3 2
2
t t t t t 1
6 t ln t 1 arctg t c
7 5 4 3 2 2
= − − − + + − − + + +
( ) ( ) ( )
7 5 4
6 6 6
6 3 6
6 6 4
1 x 1 x 1 x 2 1 x
7 5 5
6 1 x 3 ln 1 x 1 arctg 1 x c
−
= + + + + + − +
+ + + + + + + +
•
5
∫
8
3
3
1
dx
I =
x 1 + x
. Đặt
3 2
3
3
t x t x dx t dt
= ⇒ = ⇒ =
www.VNMATH.com
Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương
204
⇒
2 2
2
5
3
33
1 1
3t dt dt
I 3
t. 1 t
t 1 t
= =
+
+
∫ ∫
. Đặt
3 2
3
u 1 t u 1 t dt 3u du
= + ⇒ = + ⇒ =
⇒
( )
( )
( )
3 3
3 3
2 3 3
2
5
3 2
3
1
2 2
dt 3u du 3udu
I 3 3 3
t. 1 t
u 1 u u 1 u u 1
= = =
+
− − + +
∫ ∫ ∫
3 3 3
3 3 3
3 3 3
2 2
2 2 2
1 u 1 du 3 2u 2
3 du 3 du
u 1 u 1 2
u u 1 u u 1
− −
= − = −
− −
+ + + +
∫ ∫ ∫
( )
(
)
3 3
3
3
3 3
3 3
3
2 2
2
2
2 2
3 2u 1 du 9 du
3ln u 1
2 2
u u 1
3
1
u
2 2
+
= − − +
+ +
+ +
∫ ∫
( )
( )
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
3
33
3
3
3
3 2u 1
3ln u 1 ln u u 1 3 3 arctg
2
3
2 3 1 2 2 1
3 3 1
ln 3 3 arctg 3 3 arctg
2
3 3
2 2 1
+
= − − + + +
+ +
−
= + −
−
•
( )
6
−
−
∫
1
3
3
dx
I =
x + 4 + x + 4
. Đặt
2
4 4 2
t x t x dx t dt
= + ⇒ = + ⇒ =
3 3
3
6
3 2
1
1 1
2t dt dt
I 2 2arctg t 2
3 4 6
t t 1 t
π π π
= = = = − =
+ +
∫ ∫
•
7
−
∫
3 2
2
2
dx
I =
x 1 x
. Đặt
2 2 2
1 1
t x x t t dt x dx
= − ⇒ = − ⇒ = −
( )
3 2
3 2 1 2 3 2
7
2
2
2 2
1 2
1 2 1 2
3 2
x dx t dt dt 1 t 1 2 3
I ln ln
2 t 1
3
1 t
1 t t
x 1 x
− + +
= = = = =
−
−
−
−
∫ ∫ ∫
•
∫
2
8
3
1
dx
I =
x 1 + x
. Đặt
3 2 3 2
1 1 2 3
t x t x t dt x dx
= + ⇒ = + ⇒ =
( )
( )
3
2 2 3 3
2
8
2
2
3 3 3
2
1 1
2 2
dx 3x dx 2t dt 2 dt 1 t 1
I ln
3 3 t 1
t 1
3 t 1 t
x 1 x 3x 1 x
1 1 2 1 1 1 3 2 2
ln ln ln 2 2 ln 2 1 ln
3 2 3 3 2
2 1
−
⇒ = = = = =
+
−
−
+ +
− +
= − = − + + =
+
∫ ∫ ∫ ∫
www.VNMATH.com
Bài 7. Tích phân hàm vô tỉ
205
3. Dạng 3:
(
)
(
)
∫
m r
n s
ax + b ax + b
I = R x, , , dx
cx + d cx + d
•
( )( )
3
1 1
1 1
x
dx
x x
+
= ⋅
− +
−
∫ ∫
1
2
3
dx
I =
x 1 x + 1
.
Đặt
( )
3 2
3
3
3 2
3
1 1 2 1 6
1
1 1 1
1
1
x x t t dt
t t x dx
x x x
t
t
+ + + −
= ⇒ = = + ⇒ = ⇒ =
− − −
−
−
⇒
( )
3 2
3
1
3 2 3
3
x 1 dx t 1 6t dt dt
I t 3
x 1 x 1
2t t 1
t 1
+ − −
= ⋅ = ⋅ ⋅ = −
− +
−
−
∫ ∫ ∫
(
)
(
)
( ) ( )
2 2
2
2
2
2 3
2 3
1 t 2 1 2t 1 3
dt ln t 1 dt
t 1 2
t t 1 t t 1
1 3 dt
ln t 1 ln t t 1
2 2
3
1
t
2 2
1 t t 1 2t 1 1 t 1 2t 1
ln 3 arctg c ln 3 arctg c
2 2
3 3
t 1 t 1
+ + +
= − + = − − +
−
+ + + +
= − − + + + + +
+ +
+ + + − +
= + + = + +
− −
∫ ∫
∫
⇒
( )
( )
3
3 3 3
1
3
3
3 3
1 2 x 1 2 x 1 x 1
I ln 3 arctg c
2 x 1
3 x 1
x 1 x 1
− + + −
= ⋅ + +
−
−
+ − −
( )
3 3
3
3
3 3
1 2 2 x 1 x 1
ln 3 arctg c
2
3 x 1
x 1 x 1
+ + −
= + +
−
+ − −
•
( )
2
−
⋅
−
∫
3
2
2 x 1
I = dx
2 + x
2 x
. Đặt
( )
2
3
3 2
3
2 4 12
2
2
1
1
x t dt
t x dx
x
t
t
− −
= ⇒ = − ⇒ =
+
+
+
⇒
( )
( )
2
2
3 2
3
2
6 2 3 2
3
1 t 12t dt 3 dt 3 3 2 x
I t c c
4 8 2 x
16t t 8t
1 t
+ − − +
= ⋅ ⋅ = = + = ⋅ +
−
+
∫ ∫
•
−
∫
1
3
0
1 x
I = dx
1 + x
. Đặt
( )
2
2
2 2
2
1 1 1 4
1 1
1
1
x x t t dt
t t x dx
x x
t
t
− − − −
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
+ +
+
+
⇒
( )
(
)
( )
1 0 1 1
2 2
3
2 2 2
2 2
0 1 0 0
1 x 4t dt d 1 t
1
I dx 2t 2 t d
1 x
1 t
1 t 1 t
− − +
= = = ⋅ = −
+
+
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
1 1
1
2 2
0
0
0
2t dt
2 1 2arctg t 1
2
1 t 1 t
− π
= + = − + = −
+ +
∫
www.VNMATH.com
Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương
206
•
(
)
(
)
(
)
(
)
2 3 5 6
2
1
1 1
1 1
1
+ +
− = −
− − − −
− −
∫ ∫
2 5
3 6
4
2
1
x + 1 x + 1
I = dx
x 1 x 1
x 1
x x
dx
x x
x
Đặt
6
1
1
x
t
x
+
=
−
⇒
( )
5
6
6 2
6
1 2 2 12
1 1
1 1
1
1
x t dt
t x dx
x x
t
t
+ −
= = + ⇒ − = ⇒ =
− −
−
−
⇒
(
)
( )
(
)
( ) ( )
( )
4 5 5 4 5 5 9
4
2 2 2 2 6
6 6 6
6
t t 12t dt t t t dt 1 t t dt
I 12 12
4t
2
t 1 t 1 t 1
1 1
t 1
− − − −
= ⋅ = − = −
− + − −
+ −
−
∫ ∫ ∫
( )
( )
5 2
5 4
3 4 3
6 3
3t 3t 3 x 1 3 x 1
3 1 t t dt 3 t t dt c c
5 4 5 x 1 4 x 1
+ +
= − − = − = − + = ⋅ − ⋅ +
− −
∫ ∫
•
5
−
⋅
∫
6
4
x 4 dx
I =
x + 2 x + 2
. Đặt
2
4 4 6
1
2 2 2
x x
t t
x x x
− −
= ⇒ = = −
+ + +
⇒
( )
2 2
2
6 12t dt
x 2 dx
1 t
1 t
+ = ⇒ =
−
−
⇒
( )
1 2
6
2
5
2
2
4 0
x 4 dx 1 t 12t dt
I t
x 2 x 2 6
1 t
− −
= ⋅ = ⋅ ⋅
+ +
−
∫ ∫
1 2
1 2 1 2
2
2 2
0
0 0
t dt 1 1 t
2 2 1 dt 2 ln t 2 ln 3 1
1 t
1 t 1 t
+
= = − = − = −
−
− −
∫ ∫
•
−
∫
3
6
x + 1
I = dx
x 1
. Đặt
3
3
3
1 1 2 2
1 1
1 1 1
1
x x
t t x
x x x
t
+ +
= ⇒ = = + ⇒ − =
− − −
−
⇒
( )
2
2
3
6t dt
dx
t 1
−
=
−
⇒
( )
(
)
( )
3 3
3
6
2 2
3 3
x 1 6t dt td t 1
I dx 2
x 1
t 1 t 1
+ − −
= = = −
−
− −
∫ ∫ ∫
3 3 3
2t dt
1
2 td 2
t 1 t 1 t 1
= = −
− − −
∫ ∫
( )
( )
2
3
2
0
2t dt
2
t 1
t 1 t t 1
= −
−
− + +
∫
3 2
2t 2 1 t 2
dt
3 t 1
t 1 t t 1
+
= − −
−
− + +
∫
(
)
3 2
2t 2 1 2t 1 3
ln t 1 dt
3 3
t 1 t t 1
+ +
= − − +
− + +
∫
(
)
( )
2
3 2
2
2
3 2
2t 2 1 dt
ln t 1 ln t t 1
3 3
t 1
3
1
t
2 2
2t 1 t 1 2 2t 1
ln arctg c
3
3 3t 1 t t 1
= − − + + + +
−
+ +
− +
= − + +
− + +
∫
www.VNMATH.com
Bài 7. Tích phân hàm vô tỉ
207
•
(
)
( )
7
−
⋅
∫
3
2
3
2
2
dx
x 1
I =
x + 1
x - 1
. Đặt
3
3
1 2
1
1
1
1 1
x
x
t t
x
x x
−
−
= ⇒ = = −
+
+ +
⇒
( )
3 2
3 3 2
3
2 2t 6t dt
x 1 x 1 ;dx
1 t 1 t
1 t
+ = ⇒ − = =
− −
−
⇒
(
)
( )
3
2
3
7
2
2
dx
x 1
I
x 1
x 1
−
= ⋅
+
−
∫
( )
( )
3
3
2
1 2
3 2
2
6 2
3
1 3
1 t 6t dt
t
4t
1 t
−
= ⋅ ⋅
−
∫
( )
3
3
3
3
1 2
1 2
3
3
2
1 3
1 3
3 dt 3 3
3 2
2 2t 2
t
−
= = = −
∫
•
8
−
⋅
− −
∫
5
3
3
x + 3 dx
I =
x 4 x 4
. Đặt
3
3
3 3 7
1
4 4 4
x x
t t
x x x
+ +
= ⇒ = = +
− − −
⇒
3
7
4
1
x
t
− =
−
⇒
( )
2
2
3
21
1
t dt
dx
t
−
=
−
⇒
( )
5 2 2
3 2 3
3
8
2 3
3
3 0 0
x 3 dx t 1 21t dt t dt
I t 3
x 4 x 4 7
t 1
t 1
−
+ − −
= ⋅ = ⋅ ⋅ = −
− −
−
−
∫ ∫ ∫
( )
( )
2 2
2
3
0
2
0 0
1 dt
3 1 dt 3t 3
t 1
t 1 t t 1
= − + = − −
−
− + +
∫ ∫ 2
1 t 2
6 dt
t 1
t t 1
+
= − − −
−
+ +
∫
( )
(
)
2
2
2
2 2
0
2
0
1 2t 1 3 1 3 dt
6 ln t 1 dt 6 ln t t 1
2 2 2
t t 1
3
1
t
2 2
+ +
= − − − + = − + + + +
+ +
+ +
∫ ∫
2
0
1 2t 1 1 5 3 3
6 ln 7 3 arctg 6 ln 7 3 arctg
2 2 3 6
3
+ π
= − + + = − + + −
•
( )
4
=
−
−
∫ ∫
9
3
4
xdx
I =
x a x
x
dx
a x
(a > 0)
.
Đặt
4
4
1
x x a
t t
a x a x a x
= ⇒ = = −
− − −
⇒
4 4
1
1 1
a
a x dx ad
t t
− = ⇒ =
+ +
⇒
4
9
4 4 4 4
x at dt at
1
I dx a td a aJ
a x
t 1 t 1 t 1 t 1
= = = − = −
−
+ + + +
∫ ∫ ∫
Xét
4
1
dt
J
t
=
+
∫
(
)
(
)
2 2 2 2
4 4 4
1 t 1 t 1 1 t 1 t 1
dt dx dt
2 2
t 1 t 1 t 1
+ − − + −
= = −
+ + +
∫ ∫ ∫
www.VNMATH.com
Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương
208
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
1
1
1 1
d x d x
1 1
x x
x x
dx dx
1 1
2 2
1 1
x x
x 2 x 2
x x
x x
+ −
− +
= − = −
+ +
− + + −
∫ ∫ ∫ ∫
2 2
2
1 1 x 1 1 x x 2 1
arctg ln c
2
2 x 2 2 2 x x 2 1
− − +
= − +
+ +
⇒
2 2
9
4 4
2
at at a 1 x 1 1 x x 2 1
I aJ arctg ln c
2
t 1 t 1
2 x 2 2 2 x x 2 1
− − +
= − = − − +
+ +
+ +
•
( ) ( )
(
)
( )
1
2
− −
=
−− −
−
−
∫ ∫
10
n
n+ 1 n 1
dx
I =
x a x b
n
n
dx
x b
x a
x a
Đặt
( )
( )
1
2
1
1
1
n
n
n
n
n
x b x b a b a b b a nt dt
t t x a dx
x a x a x a
t
t
−
− − − − −
= ⇒ = = + ⇒ − = ⇒ =
− − −
−
−
( )
( )
n 1
10
2 2
n
n 1
n
1 b a nt dt n nt
I dt c
b a b a
a b
t 1
t
t 1
−
−
−
= ⋅ = = +
− −
−
−
−
∫ ∫
•
∫
11
dx
I =
1 + x + x + 1
. Đặt
1 1
1 1 2
t x x x x x t
t t
= + + ⇒ = + − ⇒ = −
⇒
2
2 4
3
1 1
2
2
t t
x dx dt
t
t
− −
= ⇒ =
⇒
( )
4
11
3
dx t 1
I dt
1 x x 1
2t 1 t
−
= =
+ + + +
∫ ∫
( )
3 2
3 2 3 2
2
t t t 1 1 1 1 1 1 1 1
dt 1 dt t ln t c
2 t 2 t
2t t t 2t
1 x 1
x ln x x 1 x x c
2 2 2
− + −
= = − + − = − − + +
= − + + + − + +
∫ ∫
•
( )
− −
∫
12
3 2
xdx
I =
1 x 1 x
. Đặt
( )
2
2
2 2
2
1 1 1 4
1 1
1
1
x x t t dt
t t x dx
x x
t
t
+ + −
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
− −
+
+
⇒
( )
( )
2
12
3 2 2
3 2 2
2 2
2
2
2
x dx 1 1 t 1 4t dt
I
t 1
1 x 1 x
t 1
1 t
t 1
1
1
t 1
t 1
−
= = ⋅ ⋅
+
− −
−
+
−
−
−
+
+
∫ ∫
www.VNMATH.com
Bài 7. Tích phân hàm vô tỉ
209
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
(
)
( )
(
)
2 2 4 4
4
3 3 2 2 4 2
2 2 2 2
t 1 t 1 4t dt t 1 4t dt t 1 dt
3t 1
2 3t 1 4t
t 1 t 1 t 1 t 1
+ − − −
= = =
+
+
+ − − + − −
∫ ∫ ∫
(
)
( )
4
4 4 4 4
4 4
4
1 4 1 t 4 dt t 4 d 3t t 4 du
dt
3 3 3 3 3 3
3t 1 3t 1 u 1
3 3 3 3
3t 1
= − ⋅ = − = − = −
+ + +
+
∫ ∫ ∫ ∫
Xét
4
1
du
J
u
=
+
∫
(
)
(
)
2 2 2 2
4 4 4
1 u 1 u 1 1 u 1 u 1
d u d u du
2 2
u 1 u 1 u 1
+ − − + −
= = −
+ + +
∫ ∫ ∫
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
1 1
1 1
1 1
d u d u
1 1
u u
u u
du du
1 1
2 2
1 1
u u
u 2 u 2
u u
u u
1 1 u 1 1 u 2u 1
arctg ln c
2
2 u 2 2 2 u 2u 1
+ −
− +
= − = −
+ +
− + + −
− − +
= − +
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
2 2
4
2
4 4
1 1 t 3 1 1 t 3 t 12 1
arctg ln c
2
2 t 12 2 2 t 3 t 12 1
− − +
= − +
+ +
với
1 x
t
1 x
+
=
−
⇒
2 2
4
12
2
4 4
4
t 2 1 t 3 1 1 t 3 t 12 1
I arctg ln c
3
3 3 2 t 12 2 2 t 3 t 12 1
− − +
= − − +
+ +
, với
1 x
t
1 x
+
=
−
•
−
∫
1
13
0
1 x
I = dx
1 + x
. Đặt
2
2
t x x t dx t dt
= ⇒ = ⇒ =
⇒
1 1
13
0 0
1 x 1 t
I dx 2t dt
1 t
1 x
− −
= =
+
+
∫ ∫
. Đặt
t cos u dt sin udu
= ⇒ = −
( )
( ) ( )
0 0
13
2
2 2
2 2 2
0 0 0
2
0
1 cos u 1 cos u
I 2cos u sin u du 2 sin u cos u du
1 cos u
1 cos u
2 1 cos u cos u du 2 cos u du 1 cos 2u du
1
2sin u u sin 2u 2
2 2
π π
π π π
π
− −
⇒ = − = −
+
−
= − = − +
π
= − − = −
∫ ∫
∫ ∫ ∫
www.VNMATH.com
