Ôn thi Đại học môn Toán Chuyên đề: Nguyên Hàm Tích phân ứng dụng (Có Lời giải)

Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 1

CỔNG LUYỆN THI ĐẠI HỌC TRỰC TUYN

ĐặNG VIệT HùNG

BI GING TRNG TM

TCH PHN

Tham gia cỏc gúi học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia


Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 2

01. ĐẠI CƯƠNG VỀ NGUYÊN HÀM
I. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức dy = df ( x ) = y ' dx = f '( x )dx
Ví dụ:

d(x2 – 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx
d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx
Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau
1
d ( 2 x ) = 2dx ⇒ dx = d ( 2 x )
2

1
d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x )
3
 x2  1
1
1
xdx = d   = d x 2 = d x 2 ± a = − d a − x 2
 2  2
2
2
 

( )

(

)

(

)

 x3  1
1
1
x 2 dx = d   = d x3 = d x3 ± a = − d a − x3
 3  3
3
3
 

dx
1 d ( ax + b ) 1
dx
=
= d ( ln ax + b ) 
→ = d ( ln x )
ax + b a ax + b
a
x
1
1
1
sin ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − d ( cos ( ax + b ) )  sin 2 xdx = − d ( cos2 x ) ...
→
a
a
2
1
1
1
cos ( ax + b ) dx = cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = d ( sin ( ax + b ) )  cos 2 xdx = d ( sin 2 x ) ...
→
a
a
2
1
1
1
eax +b dx = e ax +b d ( ax + b ) = d e ax +b  e2 x dx = d e 2 x ...
→

a
a
2
dx
1 d ( ax + b )
1
dx
1
=
= d  tan ( ax + b )  
→
= d ( tan 2 x ) ...


2
2
2
cos ( ax + b ) a cos ( ax + b ) a
cos 2 x 2

( )

(

)

(

dx
sin

2

( ax + b )

=

(

)

)

( )

1 d ( ax + b )
1
dx
1
= − d cot ( ax + b )  
→ 2
= − d ( cot 2 x ) ...


2
a sin ( ax + b )
a
2
sin 2 x

II. KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM

Cho hàm số f(x) liên tục trên một khoảng (a; b). Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) =
f(x) và được viết là ∫ f ( x)dx . Từ đó ta có : ∫ f ( x)dx = F ( x)
Nhận xét:
Với C là một hằng số nào đó thì ta ln có (F(x) + C)’ = F’(x) nên tổng quát hóa ta viết

∫ f ( x)dx = F ( x) + C ,

khi đó F(x) + C được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x). Với một giá trị cụ thể của C thì ta được một
nguyên hàm của hàm số đã cho.
Ví dụ:
Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x2 + C, vì (x2 + C)’ = 2x
Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx
III. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM

Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục và tồn tại các nguyên hàm tương ứng F(x) và G(x), khi đó ta có các tính
chất sau:
a) Tính chất 1:

( ∫ f ( x)dx )′ = f ( x)

Chứng minh:

Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia


Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có

Trang 3

( ∫ f ( x)dx )′ = ( F ( x) )′ = f ( x) ⇒ đpcm.

( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx

b) Tính chất 2:
Chứng minh:

Theo tính chất 1 ta có,

( ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx )′ = ( ∫ f ( x)dx )′ + ( ∫ g ( x)dx )′ = f ( x) + g ( x)

Theo định nghĩa nguyên hàm thì vế phải chính là ngun hàm của f(x) + g(x).

( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx
c) Tính chất 3: ( ∫ k . f ( x)dx ) = k ∫ f ( x)dx, ∀k ≠ 0

Từ đó ta có

Chứng minh:

(

)

′
→
Tương tự như tính chất 2, ta xét k ∫ f ( x)dx = k . f ( x)  ∫ k . f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ⇒ đpcm.

∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du..

d) Tính chất 4:

Tính chất trên được gọi là tính bất biến của nguyên hàm, tức là nguyên hàm của một hàm số chỉ phụ thuộc vào
hàm, mà khơng phụ thuộc vào biến.
IV. CÁC CƠNG THỨC NGUN HÀM

Cơng thức 1: ∫ dx = x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( x + C )′ = 1 ⇒ ∫ dx = x + C
Chú ý:
Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ du = u + C

Công thức 2: ∫ x n dx =

x n +1
+C
n +1

Chứng minh:
 x n +1
′
x n +1
Thật vậy, do 
+ C  = x n ⇒ ∫ x n dx =
+C
n +1
 n +1


Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ u n du =

u n +1
+C
n +1

1
dx
dx
du
+ Với n = − ⇒ ∫
= 2∫
= 2 x + C ← ∫
→
=2 u +C
2
x
2 x
u
dx
1
du
1
→
+ Với n = −2 ⇒ ∫ 2 = − + C ← ∫ 2 = − + C
x
x
u

u
Ví dụ:
x3
a) ∫ x 2 dx = + C
3
x5
b) ∫ ( x 4 + 2 x ) dx = ∫ x 4 dx + ∫ 2 xdx = + x 2 + C
5
1

c)

∫

3

1

2
−
x − x2
x3
x2 x 3 x2
x2
dx = ∫ dx − ∫ xdx = ∫ x 3 dx − =
− + C = 33 x − + C
1
x
x
2

2
2
3

( 2 x + 1) + C
1
4
u n du
→
d) I = ∫ ( 2 x + 1) dx = ∫ ( 2 x + 1) d ( 2 x + 1)  I =
2
5
5

4

Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia


Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

e) I = ∫ (1 − 3x )
f) I = ∫

Trang 4

(1 − 3x )
1
2010
u n du

→
∫ (1 − 3x ) d (1 − 3x )  I = − 2011 + C
3
du
1 d ( 2 x + 1) u 2
1 1
1
= ∫
 I = − .
→
+C =−
+C
2
2 ( 2 x + 1)
2 2x + 1
2 ( 2 x + 1)
2011

2010

dx

( 2 x + 1)

2

dx = −

g) I = ∫ 4 x + 5dx =
Công thức 3: ∫

3
3
1
1 2
3
∫ 4 x + 5d ( 4 x + 5 ) ⇒ I = 4 . 3 ( 4 x + 5 ) 2 + C = 8 ( 4 x + 5 ) 2 + C
4

dx
= ln x + C
x

Chứng minh:
1
dx
Thật vậy, do ( ln x + C )′ = ⇒ ∫ = ln x + C
x
x
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được

du

∫u

= ln u + C

1
 dx

 ∫ 2x + k = 2 ln 2 x + k + C
1 d ( ax + b ) 1
dx

+ ∫
= ∫
= ln ax + b + C  
→
ax + b a
ax + b
a
 dx = − 1 ln k − 2 x + C
∫ k − 2 x
2

Ví dụ:
1 1
1
dx x 4

a) ∫  x3 +
+  dx = ∫ x3 dx + ∫
dx + ∫ =
+ 2 x + ln x + C
x
4
x x
x

du

dx
1 d ( 3x + 2 ) u
1
= ∫
 I = ln 3x + 2 + C
→
3x + 2 3
3x + 2
3
2
2x + x + 3
3 
dx
3 d ( 2 x + 1)
3

c) ∫
dx = ∫  2 x +
= x2 + ∫
= x 2 + ln 2 x + 1 + C
 dx = ∫ 2 xdx + 3∫
2x + 1
2x + 1 
2x + 1
2
2x + 1
2


b) I = ∫

Công thức 4: ∫ sinxdx = − cos x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( − cos x + C )′ = sin x ⇒ ∫ sinxdx = − cos x + C
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ sinudu = − cos u + C
+ ∫ sin ( ax + b ) dx =

1
1
1
sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − cos ( ax + b ) + C  ∫ sin 2 xdx = − cos 2 x + C
→
a∫
a
2

Ví dụ:
3
1 
dx
1 d ( 2 x − 1)

= ∫ x 2 dx − cos x + ∫
=
a) ∫  x x + s inx +
dx = ∫ x xdx + ∫ sinxdx + ∫

2x −1 
2x −1

2 2x −1

5

2x 2
1
=
− cos x + ln 2 x − 1 + C
5
2
3 
dx
1
3 d ( 4 x − 3)
1
3

b) ∫  sin 2 x +
= ∫ sin 2 xd ( 2 x ) + ∫
= − cos2 x + ln 4 x − 3 + C
 dx = ∫ sin 2 xdx +3∫
4x − 3 
4x − 3 2
4
4x − 3
2
4

x



c) ∫  sin + sinx + sin 3 x  dx
2


1
1
 x 1
x
Ta có d   = dx ⇒ dx = 2d   ; d ( 2 x ) = 2dx ⇒ dx = d ( 2 x ) ; d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x )
2
3
2 2
2
T ừ đó :
x
x
x  x 1
1




∫  sin 2 + sinx + sin 3x  dx = ∫ sin 2 dx + ∫ sin 2 xdx + ∫ sin 3xdx = 2∫ sin 2 d  2  + 2 ∫ sin 2 xd ( 2 x ) + 3 ∫ sin 3xd ( 3x )


Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia


Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 5

x 1
1
= −2cos − cos2 x − cos3x + C
2 2
3

Công thức 5: ∫ cos xdx = sin x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( sin x + C )′ = cos x ⇒ ∫ cos xdx = sin x + C

Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ cosudu = sin u + C
+ ∫ cos ( ax + b ) dx =

1
1
1
→
∫ cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = a sin ( ax + b ) + C  ∫ cos 2 xdx = 2 sin 2 x + C
a

Ví dụ:
4x − 1 
5 


a) ∫  cos x − sin x +

 dx = ∫ cos xdx − ∫ sin xdx + ∫  4 −
 dx = sinx + cos x + 4 x − 5ln x + 1 + C
x +1 
x +1


1
x2
b) ∫ ( cos 2 x + sin x − x ) dx = ∫ cos 2 xdx + ∫ sin xdx − ∫ xdx = sin 2 x − cos x − + C
2
2
1 − cos 2 x
1 1
1
1
1
1


c) ∫ sin 2 xdx = ∫
dx = ∫  − cos 2 x  dx = x − ∫ cos 2 xd ( 2 x ) = x − sin 2 x + C
2
2
4
2
4
2 2

Công thức 6: ∫

dx
= tan x + C
cos 2 x

Chứng minh:
Thật vậy, do ( tan x + C )′ =

1
dx
⇒∫
= tan x + C
2
cos x
cos 2 x

Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được
+

dx

1

d ( ax + b )

du

∫ cos u = tan u + C
2

1

dx
1
= tan 2 x + C
2
2x 2

→
∫ cos ( ax + b ) = a ∫ cos ( ax + b ) = a tan ( ax + b ) + C  ∫ cos
2

2

Ví dụ:
dx
1
 1

a) ∫ 
+ cos x − sin 2 x  dx = ∫
+ ∫ cos xdx − ∫ sin 2 xdx = tan x + sin x + cos 2 x + C
2
2
cos x
2
 cos x


1

2 
dx
dx
1 d ( 2 x − 1)
2 d (5 − 4x)
b) I = ∫ 
+
 cos 2 ( 2 x − 1) 5 − 4 x  dx = ∫ cos 2 ( 2 x − 1) + 2 ∫ 5 − 4 x = 2 ∫ cos 2 ( 2 x − 1) − 4 ∫ 5 − 4 x



du

1
1
tan ( 2 x − 1) − ln 5 − 4 x + C
2
2
du
dx
1 d (3 − 2x )
1
cos 2 u
c) I = ∫
=− ∫
 I = − tan ( 3 − 2 x ) + C
→
2
2
cos ( 3 − 2 x )

2 cos ( 3 − 2 x )
2
cos u
 =
→
2

Công thức 7: ∫

dx
= − cot x + C
sin 2 x

Chứng minh:
Thật vậy, do ( − cot x + C )′ =

1
dx
⇒ ∫ 2 = − cot x + C
2
sin x
sin x

Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được
+

dx

1

d ( ax + b )

1

du

∫ sin u = − cot u + C
2

dx
1
= − cot 2 x + C
2
2x
2

→
∫ sin ( ax + b ) = a ∫ sin ( ax + b ) = − a cot ( ax + b ) + C  ∫ sin
2

2

Ví dụ:
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia


Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 6

1
dx
1
x


a) ∫  cos 2 x − 2 + 2 x5  dx = ∫ cos 2 xdx − ∫ 2 + ∫ 2 x 5 dx = sin 2 x + cot x + + C
sin x
sin x
2
3


du
dx
1 d (1 − 3 x )
1
1
sin 2 u
=− ∫ 2
 I = − − cot (1 − 3 x )  + C = cot (1 − 3x ) + C
→
b) I = ∫ 2


sin (1 − 3x )
3 sin (1 − 3 x )
3
3

6

c) I = ∫

dx
 x
sin 2  
2

 x
d 
du
 2   I = −2 cot  x  + C
sin 2 u
= 2∫
→
 
x
2
sin 2  
2


Công thức 8: ∫ e x dx = e x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( e x + C )′ = e x ⇒ ∫ e x dx = e x + C
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ eu du = eu + C

1 ax + b

1
e d ( ax + b ) = e ax + b
a∫
a

+ ∫ e ax + b dx =

1 2 x+k
 2 x+ k
+C
 ∫ e dx = 2 e

+ C  
→
 e k − 2 x dx = − 1 e k − 2 x + C
∫
2


Ví dụ:
1
4 
dx
4
1
1 d ( 3x )

−2 x +1
a) ∫  e −2 x +1 − 2 +
dx − ∫ 2 + ∫

dx = − ∫ e −2 x +1d ( −2 x + 1) − ∫ 2 + 4.2 x
 dx = ∫ e
sin 3x
sin 3 x
2
3 sin 3 x
x
x

1
1
= − e −2 x +1 + cot 3x + 8 x + C
2
3

b)

∫ ( 4e

3 x+2

+ cos (1 − 3x ) ) dx = 4 ∫ e3 x + 2 dx + ∫ cos (1 − 3 x ) dx =

4 3x+2
1
∫ e d ( 3x + 2) − 3 ∫ cos (1 − 3x ) d (1 − 3x )
3

4
1

= e3 x + 2 − sin (1 − 3 x ) + C
3
3

Công thức 9: ∫ a x dx =

ax
+C
ln a

Chứng minh:
 ax
′ a x ln a
ax
Thật vậy, do 
+C =
= a x ⇒ ∫ a x dx =
+C
ln a
ln a
 ln a

Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ a u du = a u + C
+ ∫ a kx + m dx =

1 kx + m
1 kx + m
∫ a d ( kx + m ) = k a + C
k

Ví dụ:
1 3x
1
23 x
32 x
a u du
2 d ( 3x ) + ∫ 32 x d ( 2 x )  I =
→
+
+C
3∫
2
3ln 2 2ln 3
1
3
21− 2 x 3 4 x + 3
− e 4 x + 3 ) dx = ∫ 21− 2 x dx − ∫ 3e 4 x + 3 dx = − ∫ 21− 2 x d (1 − 2 x ) − ∫ e 4 x + 3 d ( 4 x + 3) = −
+ e
+C
2
4
2ln 2 4

a) I = ∫ ( 23 x + 32 x ) dx = ∫ 23 x dx + ∫ 32 x dx =
b)

∫ (2

1− 2 x

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1) I1 =
I3 =

∫(

∫(x
5

5

)

 1

2) I 2 =  7 − 3 3 x 5  dx
x


∫

+ 2 x dx

)

3)

x 2 − 4 x3 + 2 x3 dx

Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia


Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

 1
2 x
4) I 4 = 
− 4 x 3 + 2  dx
 5

x 
 x

∫

7) I 7 = ∫

(

)

x −1

8) I 8 = ∫ ( 2 x − 1) dx

dx

3 x 4 + 2 x3 − x 2 + 1
dx

x2
3

(

x − 24 x

2

3

1 

13) I13 = ∫  x −
 dx
x


16) I16 = ∫

)( x − x ) dx

11) I11 = ∫

9) I 9 = ∫

x2 − x x − x
dx
x

∫

∫

∫

∫

dx
cos 2 4 x

29) I 29 = ∫ tan 4 x dx

32) I 32 = ∫

dx
1 − cos 6 x

1 

35) I 35 = ∫  sin 2 x −
 dx
2 − 5x 


2 x4 + 3
dx
x2

(x

27) I 27 = ∫

dx
cos ( 2 x − 1)
2

2

+ 4)

2

dx

x2

1 
 1
12) I12 = ∫ 
− 3  dx
x
 x

2

1 

14) I14 = ∫  x + 3  dx
x


1
17) I17 =
dx
(2 x − 3)5

x
 x π

19) I19 = sin  +  dx
20) I 20 =  sin 2 x + sin  dx
3
2 7

 
π
x +1
2 x
22) I 22 =  sin  3x +  − sin
 dx 23) I 23 = ∫ cos dx
4
2 
2
 

26) I 26 = ∫

6) I 6 = ∫

2

x

10) I10 = ∫

1 

5) I 5 = ∫  x +
dx
x


Trang 7

(

2 x − 3 3x

15) I15 =

∫

18) I18 =

∫ ( x − 3)

)

2

x
x +1

4

dx

dx

x


21) I 21 = ∫  sin + x  dx
2


x
24) I 24 = ∫ sin 2 dx
2

28) I 28 = ∫ ( tan 2 x + 2 x ) dx
dx
sin ( 2 x + 3)

30) I 30 = ∫ cot 2 x dx

31) I 31 = ∫

1



33) I 33 = ∫  x 2 + 2 + cot 2 x  dx
x


x+2
36) I 36 = ∫
dx
x−3

1 

34) I 34 = ∫  x 2 +
 dx
3x + 2 

2x −1
37) I 37 = ∫
dx
4x + 3

x 2 + x + 11
dx
x+3

2

2x2 − x + 5
dx
x −1

38) I 38 = ∫

x
dx
6 − 5x

39) I 39 = ∫

41) I 41 = ∫

3x 3 + 2 x 2 + x + 1
dx
x+2

42) I 42 = ∫

43) I 43 = ∫

44) I 44 = e−2x +3dx

4 x3 + 4 x 2 − 1
dx
2x + 1
45) I 45 = ∫  cos(1 − x) + e3 x −1  dx






2
47) I 47 = ∫  e− x + 2
 dx
sin (3 x + 1) 



e− x 
48) I 48 = ∫ e x  2 +
 dx
cos 2 x 


49) I 49 = ∫ ( 21− 2 x − e 4 x + 3 ) dx

∫

50) I 50 =

∫

1
dx
2x

51) I 51 =

∫

2x

dx
7x

40) I 40 = ∫

4 x2 + 6x + 1
dx
2x + 1
2
46) I 46 = ∫ x.e − x +1dx

∫

52) I 52 = 32 x +1 dx

Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia


Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 8

02. PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM
CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG
1
1
1
1. xdx = d ( x 2 ) = d ( x 2 ± a ) = − d ( a − x 2 )
2
2

2

6.

dx
= −d ( cot x ) = −d ( cot x ± a ) = d ( a − cot x )
sin 2 x

1
1
1
2. x 2 dx = d ( x 3 ) = d ( x 3 ± a ) = − d ( a − x3 )
3
3
3

7.

dx
=d
2 x

3. sin x dx = −d (cos x) = −d (cos x ± a ) = d (a − cos x)

8. e x dx = d ( e x ) = d ( e x ± a ) = −d ( a − e x )

4. cos x dx = d (sin x) = d (sin x ± a ) = −d (a − sin x)

9.

5.

dx
= d ( tan x ) = d ( tan x ± a ) = −d ( a − tan x )
cos 2 x

( x) = d(

10. dx =

( )

(

)

1
1
d ( ax + b ) = − d ( b − ax )
a
a

∫

( )

(

dx
= d ( ln x ) = d ( ln x ± a ) = −d ( a − ln x )

x

Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
x
a) I1 =
dx
b) I 2 = x(1 + x 2 )10 dx
2
1+ x
Hướng dẫn giải:
2

x  1
1
2
2
 xdx = d   = d x = d x ± a

2
 2  2
a) Sử dụng các công thức vi phân 
 du
 u = d ( ln u )


∫

)

x ± a = −d a − x

(

c) I 3 = ∫

x 2 dx
x3 + 1

)

)

2
2
du
x
1 d x
1 d x +1
1
∫ u = ∫ d (ln u ) =ln u +C
dx =
=
←→ I1 = ln x 2 + 1 + C.
Ta có I1 =
2
2
2
2 1+ x
2
2

1+ x
1+ x

 x2  1
1
2
2
 xdx = d   = d x = d x ± a
2

 2  2
b) Sử dụng các công thức vi phân 
 u n +1 
 n
u du = d 


 n +1


∫

∫

∫

(

( )

∫ (

Ta có I 2 = x 1 + x 2

)

10

1
dx =
2

∫ (1 + x ) d ( x
2

10

2

)

+1

(

(1 + x )
=
2

)

11

22

 2
 x3  1
x dx = d   = d x 3 ± a


 3 3
c) Sử dụng các công thức vi phân 
 du
2 u = d u


(

)

+ C.

)

( )

3
3
1 d ( x + 1) 2 d ( x + 1) 2 x3 + 1
Ta có I 3 = ∫

= ∫
= ∫
=
+ C.
3 2 x3 + 1
3
x3 + 1 3
x3 + 1
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx
a) I 4 = ∫ x 1 − x 2 dx
b) I 5 = ∫
2x −1
Hướng dẫn giải:

x 2 dx

c) I 6 = ∫ 5 − 2 x dx

Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia


Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95


 x2  1
1
2
2
 xdx = d   = d x = − d a − x

2  2
2


a) Sử dụng các công thức vi phân 
 u n +1 
 n
u du = d 


 n +1


( )

(

Trang 9

)

(1 − x )

2 3

1
1
1
1
Ta có I 4 = ∫ x 1 − x 2 dx = ∫ (1 − x 2 ) 2 d ( x 2 ) = − ∫ (1 − x 2 ) 2 d (1 − x 2 ) = −

2
2
1
1

dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax )

b) Sử dụng các công thức vi phân 
 du = d u

2 u

+ C.

3

( )

du
d ( 2 x − 1) 2 u = d ( u )
dx
1 d ( 2 x − 1)
= ∫
=∫
← I 5 = 2 x − 1 + C .
→
2x −1 2
2x − 1
2 2x −1
1

1

 dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax )

c) Sử dụng các công thức vi phân 
 n +1 
u n du = d  u 

 n +1


Ta có I 5 = ∫

3

1
(5 − 2x)
1
1
1 2 (5 − 2x )2
⇒ I 6 = ∫ 5 − 2 x dx = ∫ 5 − 2 x d ( 2 x ) = − ∫ ( 5 − 2 x ) 2 d ( 5 − 2 x ) = − .
+C = −
+ C.
2
2
2
3
3
Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2 x3

ln 3 x
dx
a) I 7 =
dx
b) I 8 = ∫
c) I 9 = ∫
dx
5 4
(3 − 2 x)5
x
x −5
3

∫

Hướng dẫn giải:
 3
x  1
1
4
4
 x dx = d   = d x ± a = − d a − x
4  4
4


a) Sử dụng các công thức vi phân 
 u − n +1 
 du
=d


 un
 −n + 1 

 x4 
4
d 
1
3
5 5 x4 − 5
5 x4 − 5 5
−
4  1
2x
1

4
5 d x4 − 5 =
⇒ I7 =
dx = 2
=
x −5
.
+C =
5 4
5 4
2
4
8
x −5

x −5 2

(

4

∫

∫(

∫

)

(

)

(

(

)

)

(

)

)

4

+ C.

( 3 − 2 x ) + C.
dx
1
5
b) Ta có I 8 = ∫
= − ∫ (3 − 2x ) d (3 − 2x) = −
5
(3 − 2 x)
2
12
6

dx
ln 3 x
ln 4 x
= d ( ln x ) ta được I 9 = ∫
dx = ∫ ln 3 x d ( ln x ) =
+ C.
x
x
4
Ví dụ 4. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
3 dx
cos x

a) I10 = ∫
b) I11 =
dx
c) I12 = cos x sin x dx
2010
x
( 4 − 2x)

c) Sử dụng công thức vi phân

∫

∫

Hướng dẫn giải:

a) Ta có I10 = ∫

( 4 − 2x )

3
3 (4 − 2x)
−2010
= − ∫ ( 4 − 2x )
d (4 − 2x) = −
2
2 −2009

−2009

3 dx
2010

cos u du = d ( sin u )

b) Sử dụng các công thức vi phân  dx
=d x

2 x

+C =

3
4018 ( 4 − 2 x )

2009

+ C.

( )

Ta có I11 =

∫

cos x
cos x
dx = 2
dx = 2 cos x d
x

2 x

∫

∫

( x ) = 2sin

x + C.

Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia


Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 10

cos u du = d ( sin u )

c) Sử dụng các công thức vi phân 
sin x dx = −d ( cos x )

3

Ta có I12 =

∫

1
2

cos x sin x dx = − ( cos x ) d ( cos x ) = −

∫

2 ( cos x ) 2

=−

3

2 cos3 x
+ C.
3

Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
sin x
dx
cos5 x
Hướng dẫn giải:
sin u du = −d ( cos u )

a) Sử dụng các công thức vi phân 
cos x dx = d ( sin x )


a) I13 =

∫

3

Ta có I 3 =

b) I14 = ∫

sin x cos x dx

∫

3

sin x cos x dx =

1
4
3  
u 3 du = d  u 3 
 
4
 

1
3

c) I15 = ∫ sin 4 x cos x dx

4

→

∫ ( sinx ) d (sin x ) ← I13 =

3 ( sinx ) 3
4

+C =

3 3 sin 4 x
+C
4

( cos x ) + C = 1 + C.
sin x
d (cos x)
dx = − ∫
=−
5
5
cos x
cos x
−4
4 cos 4 x
cos x dx = d ( sin x )

c) Sử dụng các công thức vi phân  n
 u n +1 

u du = d 
 n +1


−4

b) Ta có I14 = ∫

 u5 
u 4 du = d  
 5 
 

Khi đó ta được I15 = ∫ sin x cos x dx = ∫ sin x d ( sin x ) ← I15 =
→
4

4

sin 5 x
+ C.
5

Ví dụ 6. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
a) I16 = ∫ tanx dx

b) I17 =

∫

sin 4 x cos 4 x dx

Hướng dẫn giải:
sin x dx = −d (cos x)



a) Sử dụng các công thức  du
 ∫ u = ln u + C

d ( cos x )
sin xdx
= −∫
= − ln cos x + C.
Ta có I16 = ∫ tan x dx = ∫
cos x
cos x
1
1
b) Ta có I17 = sin 4 x cos 4 x dx =
sin 4 x cos 4 x d ( 4 x ) =
4
4

∫

∫

∫

c) I18 = ∫

sin x dx
1 + 3cos x

sin 4 x d ( sin 4 x )

3

1 2 ( sin 4 x ) 2
sin 3 4 x
= .
+C =
+ C.
4
3
6
d ( cos x )
sin x dx
1 d ( 3cos x + 1)
1
c) Ta có I18 = ∫
= −∫
=− ∫
= − ln 1 + 3cos x + C.
1 + 3cos x
1 + 3cos x
3
1 + 3cos x
3
Ví dụ 7. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2cos x dx
cos x dx
a) I19 = ∫
b) I 20 = ∫

c) I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx
2
4sin x − 3
( 2 − 5sin x )

Hướng dẫn giải:
cos xdx = d (sin x)

a) Sử dụng công thức vi phân  du
 1
 u2 = d  − u 



2 d ( sin x )
2cos x dx
2 d ( 2 − 5sin x )
2
⇒ I19 = ∫
=∫
=− ∫
=
+ C.
2
2
2
5 ( 2 − 5sin x )
5 ( 2 − 5sin x )
( 2 − 5sin x )
( 2 − 5sin x )

cos xdx = d (sin x)

b) Sử dụng công thức vi phân  du
2 u = d u


( )

Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia


Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Ta được I 20 = ∫

Trang 11

d ( sin x )
cos x dx
1 d ( 4sin x ) 1 d ( 4sin x − 3) 1
=∫
= ∫
= ∫
=
4sin x − 3 + C.
4sin x − 3
4sin x − 3 4
4sin x − 3 2 2 4sin x − 3 2


d ( cos x )
sin xdx
=−
= − ln cos x + C
 tan xdx =

cos x
cos x
c) Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản 
2
 u du = u + C


2
d ( cos x )
sin x
Ta có I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx = ∫ ln ( cos x )
dx = − ∫ ln ( cos x )
= − ∫ ln ( cos x ) d ( ln cos x ) =
cos x
cos x
ln 2 (cos x)
ln 2 (cos x)
=−
+ C  I 21 = −
→
+ C.
2
2

Ví dụ 8. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
tan x
tan 3 x
tan 2 x + 1
a) I 22 =
dx
b) I 23 =
dx
c) I 24 =
dx
4
2
cos 2 2 x
cos x
cos x
Hướng dẫn giải:
 dx
 cos 2 x = d ( tan x )

a) Sử dụng các công thức 
2
 u du = u + C
∫

2
dx
tan x
tan 2 x
tan 2 x
Ta có I 22 =

dx = tan x.
= tan x d ( tan x ) =
+ C  I 22 =
→
+ C.
2
2
cos 2 x
cos 2 x
 dx
 cos 2 x = d ( tan x )

b) Sử dụng các công thức 
 1 = 1 + tan 2 x
 cos 2 x


∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

(

)

∫(

)

tan 3 x
1
dx
dx = tan 3 x. 2 .
= tan 3 x. 1 + tan 2 x d (tan x) = tan 5 x + tan 3 x d (tan x)
4
cos x
cos x cos 2 x
tan 6 x tan 4 x
tan 6 x tan 4 x
=
+
+ C  I 23 =
→
+

+ C.
6
4
6
4
1 d (ax) 1
 dx
 cos 2 ax = a cos 2 ax = a d ( tan(ax) )

c) Sử dụng các công thức 
2
 u du = u + C
∫

2
tan 2 x + 1
tan 2 x dx
dx
1 tan 2 x d (2 x) 1 d (2 x)
Ta có I 24 =
dx =
+
=
+
2
2
2
2 cos 2 2 x
cos 2 x
cos 2 x

cos 2 x 2
cos 2 2 x
1
1
tan 2 2 x tan 2 x
tan 2 2 x tan 2 x
=
tan 2 x d (tan 2 x) +
d (tan 2 x) =
+
+ C  I 24 =
→
+
+ C.
2
2
4
2
4
2
Ví dụ 9. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
cot x
tan x
cot x
a) I 25 = ∫ 2 dx
b) I 26 = ∫
dx
c) I 27 = ∫
dx
3

π
sin x
cos x

cos  x + 
2

Hướng dẫn giải:
 dx
 sin 2 x = − d ( cot x )

a) Sử dụng các công thức 
2
 u du = u + C
∫


2
cot x
dx
cot 2 x
cot 2 x
dx = cot x. 2 = − cot x d ( cot x ) = −
+ C  I 25 = −
→
+ C.
Ta có I 25 =
2
2
sin 2 x

sin x
Ta có I 23 =

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia

Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 12

sin x dx = −d ( cos x )

b) Sử dụng các công thức  du u − n +1
+C
∫ n =
−n + 1
 u
d ( cos x )
( cos x ) + C = 1 + C  I = 1 + C.
tan x
sin xdx
Ta có I 26 = ∫
dx = ∫
= −∫
=−
→ 26
3
4
4
cos x
cos x
cos x
−3
3cos3 x

3cos3 x

cos x dx = d ( sin x )

π
 
c) Sử dụng các công thức cos  x +  = − sin x
2
 
 du
1
∫ 2 = − + C
u
 u
cot x
cos x
cos x dx
d (sin x)
1
1
Ta có I 27 = ∫
dx = ∫
dx = − ∫
= −∫
=
+ C  I 27 =
→
+ C.
2
2

π
sin x. ( − sin x )
sin x
sin x
sin x
sin x

cos  x + 
2

Ví dụ 10. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
−3

a) I 28 =

∫

x

3e

x

b) I 29 = ∫

dx

e tan x + 2 dx
cos 2 x

c) I 30 = ∫ x.e1− x dx
2

e 2 ln x + 3
dx
x
Hướng dẫn giải:

d) I 31 = ∫ ecos x sin x dx

e) I 32 = ∫

( )

 dx
=d x

a) Sử dụng các công thức  2 x
 eu du = eu + C
∫
Ta có I 28 =

∫

3e

x

x

∫

dx = 3.2 e

x

dx
= 6 e xd
2 x

∫

( x ) = 6e

x

+ C  I 28 = 6e
→

x

+ C.

 dx
 cos 2 x = d ( tan x ) = d ( tan x ± k )
b) Sử dụng các công thức 
 eu du = eu + C
∫
tan x + 2
e

dx
dx
Ta có I 29 = ∫
= ∫ e tan x + 2
= ∫ e tan x + 2 d ( tan x + 2 ) = e tan x + 2 + C  I 29 = e tan x + 2 + C.
→
2
2
cos x
cos x
1
1

2
2
 x dx = 2 d ( x ) = − 2 d (1 − x )
c) Sử dụng các công thức 
 eu du = eu + C
∫
2
2
2
2
2
1
1
1
Ta có I 30 = ∫ x.e1− x dx = ∫ e1− x x dx = − ∫ e1− x d (1 − x 2 ) = − e1− x + C  I 30 = − e1− x + C .
→
2

2
2
sin x dx = −d ( cos x )

d) Sử dụng các công thức  u
u
 ∫ e du = e + C

Ta có I 31 = ∫ ecos x sin x dx = − ∫ ecos x d ( cos x ) = −ecos x + C  I 31 = −ecos x + C .
→
 dx
 = d ( ln x ) = d ( ln x ± k )
e) Sử dụng các công thức  x
 eu du = eu + C
∫
2 ln x + 3
e
dx
1
1
dx = ∫ e 2 ln x + 3
= ∫ e 2 ln x + 3 d ( ln x ) = ∫ e 2 ln x + 3 d ( 2ln x + 3) = e 2 ln x + 3 + C.
Ta có I 32 = ∫
x
x
2
2
e2 ln x + 3
1 2 ln x + 3
Vậy I 32 = ∫

dx = e
+ C.
x
2
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia


Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
x
1) I1 =
dx
1 + x2

∫

4) I 4 =

∫

cos x sin xdx

x
dx
x2 + 5
ln 3 x
I10 = ∫
dx
x

sin x
I13 = ∫
dx
cos5 x
e tan x
I16 = ∫
dx
cos 2 x
dx
I19 = ∫
(3 − 2 x)5

7) I 7 = ∫
10)
13)
16)

∫

Trang 13

∫

2) I 2 = x(1 + x 2 )10 dx

3) I 3 =

sin x
dx
3

x
dx
4) I 8 = ∫
2x −1

6) I 6 =

5) I 5 =

∫ cos

cos x
dx
x

∫

3

sin x cos xdx

3) I 9 = ∫ 5 − 2 xdx

11) I11 = ∫ x.e x +1dx

12) I12 = ∫ sin 4 x cos xdx

14) I14 = ∫ cot x dx

15) I15 = ∫

2

17) I17 = ∫

e

x

18) I18 = ∫ x x 2 + 1 dx

dx

x

tan x
dx
cos 2 x

x 2 dx

20) I 20 = ∫ x 2 x3 + 5 dx

21) I 21 = ∫

22) I 22 = ∫ x 1 − x 2 dx

23) I 23 = ∫ cos x 1 + 4sin x dx

24) I 24 = ∫ x x 2 + 1 dx

25) I 25 = ∫ ecos x sin x dx

26) I 26 = ∫ x.e x

19)

∫

28) I 28 = x.e1− x dx
2

29) I 29 =

∫ (e

2

+2

sinx

x3 + 1

sin x dx
1 + 3cos x
e2 ln x +1
30) I 30 = ∫
dx
x

27) I 27 = ∫

dx

)

+ cos x cos x dx

Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia


Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 14

03. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM
DẠNG 1: ĐỔI BIẾN SỐ HÀM LƯỢNG GIÁC

Nếu hàm f(x) có chứa

dx = d (a sin t ) = a cos t dt

a 2 − x 2 thì đặt x = a sin t   2
→
2
2
2
2
 a − x = a − a sin t = a cos t



Nếu hàm f(x) có chứa

adt

dx = d (a tan t ) = cos 2 t

a 2 + x 2 thì đặt x = a tan t  
→
 a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 t = a

cos t


Nếu hàm f(x) có chứa


 a  − a cos t dt
dx = d  sin t  = sin 2 t


a

x 2 − a 2 thì đặt x =
 
→
sin t
a
a2

 2
− a2 =
x − a2 =
2

sin t
cot t


Ví dụ 1. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
dx
a) I1 =
; ( a = 2)
4 − x2

∫

c) I 3 =

∫

x 2 dx
1− x

2

; ( a = 1)

b) I 2 =

∫

1 − x 2 dx ; ( a = 1)

d) I 4 = x 2 9 − x 2 dx ; ( a = 3)

∫

Hướng dẫn giải:
 dx = d (2sin t ) = 2cos t dt
dx
2cos t dt

a) Đặt x = 2sin t  
→
 I1 = ∫
→
=∫
= ∫ dt = t + C
2
2
2
2cos t
4− x
 4 − x = 4 − 4sin t = 2cos t

x
 x
Từ phép đặt x = 2sin t ⇔ t = arcsin    I1 = arcsin   + C
→

2
2
dx = d (sin t ) = cos t dt

b) Đặt x = sin t  
→
2
2
 1 − x = 1 − sin t = cos t

Khi đó I 2 =

∫

∫

1 − x 2 dx = cos t.cos t dt =

∫

1 + cos 2t
1
1
t 1
dt =
dt +
cos 2t dt = + sin 2t + C
2
2
2

2 4

∫

∫

cos t = 1 − sin 2 t = 1 − x 2

Từ x = sin t ⇒ 
 sin 2t = 2sin t.cos t = 2 x 1 − x 2
→
t = arcsin x


arcsin x 1
 I 2 =
→
+ x 1 − x2 + C
2
2
dx = d (sin t ) = cos t dt

c) Đặt x = sin t  
→
2
2
 1 − x = 1 − sin t = cos t

x 2 dx
sin 2 t.cos t dt

1 − cos2t
1 1
Khi đó, I 3 = ∫
=∫
= ∫ sin 2 t dt = ∫
dt = t − sin 2t + C
cos t
2
2 4
1 − x2
cos t = 1 − sin 2 t = 1 − x 2

Từ x = sin t ⇒ 
 sin 2t = 2sin t.cos t = 2 x 1 − x 2
→
t = arcsin x

arcsin x 1
 I 3 =
→
− x 1 − x2 + C
2
2
 dx = d (3sin t ) = 3cos t dt

d) Đặt x = 3sin t  
→
2
2
 9 − x = 9 − 9sin t = 3cos t


81
81 1 − cos4t
Khi đó, I 4 = x 2 9 − x 2 dx = 9sin 2 t.3cos t.3cos t dt = 81 sin 2 t.cos 2 t dt =
sin 2 2t dt =
dt
4
4
2

∫

∫

∫

∫

∫

Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia


Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

=

Trang 15

81  1

1
 81  t 1

 2 dt − 2 cos4t dt  = 4  2 − 8 sin 4t  + C
4




∫

∫


x2
2
cos t = 1 − sin t = 1 −
x2
2x

9
Từ x = 3sin t ⇒ 
 sin 2t =
→
1−
3
9
t = arcsin  x 
 


3

2

2x2
2x
x2  2x2 
 x
Mặt khác, cos2t = 1 − 2sin 2 t = 1 − 2   = 1 −
1 − .1 −
 sin 4t = 2sin 2t.cos2t = 2.
→

9
3
9 
9 
3


 x
arcsin  
81 
x
x2  2 x2 
3 −
1 − .1 −
Từ đó ta được I 4 = 
  + C.
4

2
6
9 
9 





Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx
a) I1 = 2
; ( a = 1)
b) I 2 =
x 2 + 2 x + 5 dx
x +1

∫

∫

c) I 3 =

∫

x 2 dx
x2 + 4

; ( a = 2)

Hướng dẫn giải:

dt

= (1 + tan 2 t )dt
(1 + tan 2 t )dt
 dx = d (tan t ) =
2
→
 I1 = ∫
→
= ∫ dt = t + C
cos t
a) Đặt x = tan t  
1 + tan 2 t
1 + x 2 = 1 + tan 2 t

Từ giả thiết đặt x = tan t ⇔ t = arctan x  I1 = arctan x + C.
→

b) Ta có I 2 =

∫

x 2 + 2 x + 5 dx =

∫

t = x +1
( x + 1) 2 + 4 d ( x + 1)  I =

→

∫

t 2 + 4 dt

2du

 dt = d (2 tan u ) = cos 2 u
2du
du
cos u du

→
 I 2 = ∫
→
=∫
=∫
Đặt t = 2 tan u  
2
cos u
cos 2 u
 4 + t 2 = 4 + 4 tan 2 u = 2
.cos 2 u
cos u

cos u

d (sin u ) 1 (1 + sin u ) + (1 − sin u )
1 d (sin u ) 1 d (sin u ) 1 1 + sin u

=∫
= ∫
d (sin u ) = ∫
+
= ln
+ C.
2
1 − sin u 2 (1 + sin u )(1 − sin u )
2 1 − sin u 2 ∫ 1 + sin u 2 1 − sin u
t
1
t2
4
t2

→
= 1 +  sin 2 u = 1 − cos 2u = 1 −
→
=
2
cos 2 u
4
4 + t2 4 + t2
t
x +1
1+
1+
2
2
1 1 + sin u

1
4 + t + C = 1 ln
x + 2 x + 5 + C.
Từ đó ta được I 2 = ln
+ C = ln
t
x +1
2 1 − sin u
2 1−
2 1−
2
2
4+t
x + 2x + 5
2dt

2
 dx = d (2 tan t ) = cos 2 t = 2(1 + tan t ) dt
→
c) Đặt x = 2 tan t  
 x 2 + 4 = 4 tan 2 t + 4

2
4 tan t.2(1 + tan 2 t ) dt
sin 2 t
sin 2 t.cos t dt
sin 2 t. d (sin t )
 I 3 = ∫
→
= 4 ∫ tan 2 t 1 + tan 2 t dt = 4 ∫

dt = 4 ∫
= 4∫
2
cos3 t
cos 4 t
2 1 + tan 2 t
(1 − sin 2 t )
Từ phép đặt t = 2 tan u ⇔ tan u =

2

 1 (1 + u ) − (1 − u ) 
 u 
Đặt u = sin t  I 3 = 4∫
→
du = 4 ∫ 
du = 4 ∫ 
 du
2 
2 2
1− u 
 2 (1 + u )(1 − u ) 
(1 − u )
u2

2

1 
du
du

2du
d (1 − u )
d (1 + u )
(1 − u ) + (1 + u )du
 1
= ∫
−
+∫
−∫
= −∫
+∫
−∫
 du = ∫
2
2
2
2
(1 − u )
(1 + u )
(1 − u )(1 + u )
(1 − u )
(1 + u )
(1 − u )(1 + u )
1− u 1+ u 
1
1
1 
1
1
du

du
1
1
 1
−
−
− ∫
+
−
−∫
−∫
=−
−
− ln 1 + u + ln u − 1 + C
 du = −
1− u 1+ u
1− u 1+ u
1+ u
1− u
1− u 1+ u
1+ u 1− u 
2

Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia


Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 16

1
1
u −1
1
1
u −1
1
1
sin t − 1
−
+ ln
+ C  I 3 =
→
−
+ ln
+C =
−
+ ln
+ C.
u −1 1+ u
u +1
u −1 u +1
u +1
sin t − 1 sin t + 1
sin t + 1
x
1
x2
4
x2

Từ giả thiết x = 2 tan t ⇔ tan t = 
→
= 1 + tan 2 t = 1 +
⇔ cos 2t =
 sin 2 t =
→
2
cos 2t
4
4 + x2
4 + x2
x
−1
1
1
x
4 + x2
⇔ sin t =
 I 3 =
→
−
+ ln
+ C.
x
x
x
4 + x2
−1
+1
+1

4 + x2
4 + x2
4 + x2
=

Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx
dx
dx
a) I1 =
b) I 2 =
c) I 3 =
2
2
2
2
x −1
x x −4
x − 2x − 2
Hướng dẫn giải:

 1  − cos t dt
− cos t dt

 dx = d  sin t  = sin 2t
1
dx
− cos t dt




 dx = sin 2 t
 
→
← 
→
 I1 = ∫
→
=∫ 2
a) Đặt x =
2
sin t
sin t.cot t
1
x −1
 x2 − 1 =
 x 2 − 1 = cot t
−1

2

sin t


∫

= −∫

∫

∫

sin t dt
d (cos t )
d (cos t )
1 (1 − cos t ) + (1 + cos t )
1 1 + cos t
=∫
=∫
= ∫
d (cos t ) = ln
+ C.
2
2
sin t
1 − cos t
(1 − cos t )(1 + cos t ) 2 (1 − cos t )(1 + cos t )
2 1 − cos t

Từ phép đặt x =

1
1
 cos 2 t = 1 − sin 2 t = 1 − 2 ⇔ cos t =
→
sin t
x

x2 − 1
1

x −1
x
 I1 = ln
→
+ C.
2
x
2
x −1
1−
x
1+

2


 2  −2cos t dt
−2 cos t dt

dx = d  sin t  = sin 2 t
 dx = sin 2 t
2




 
→
← 
→

b) Đặt x =
sin t
4
 2
 x 2 − 4 = 2cot t ⇒ x 2 x 2 − 4 = 8cot t

 x − 4 = sin 2 t − 4
sin 2 t


dx
−2cos t dt
1
1
Khi đó, I 2 =
=
= − sin t dt = cos t + C.
2
2
8cot t
4
4
x x −4
sin 2 t. 2
sin t

∫

∫

∫

2
4
 cos 2t = 1 − sin 2 t = 1 − 2 ⇔ cos t =
→
sin t
x
dx
d ( x − 1)
t = x −1
c) I 3 =
=
 I 3 =
→
2
2
x − 2x − 2
( x − 1) − 3
Từ x =

∫

∫

∫

x2 − 4
x2 − 4
 I 2 =

→
+ C.
x
4x
dt
dt
=
2
t2 − 3
t2 − 3

∫

( )


 3  − 3 cos u du

 dt = d 
− 3 cos u du
 sin u  =

sin 2u
3
 dt =



 
→

← 
→
sin 2 u
Đặt t =
sin u
 2
 2
3
−3
 t − 3 = 3 cot u
 t −3 =
2
sin u

 I 3 = ∫
→
=

1
2∫

dt

=∫

− 3 cos u du

= −∫

sin u du

d (cos u )
d (cos u )
=∫
=∫
2
2
sin u
1 − cos u
(1 − cos u )(1 + cos u )

sin u. 3 cot u
t2 − 3
(1 − cos u ) + (1 + cos u )
1 1 + cos u
d (cos u ) = ln
+ C.
(1 − cos u )(1 + cos u )
2 1 − cos u
2

t2 − 3
x2 − 2x − 2
1+
t −3
3
3
1
1
t
x −1

⇒ cos 2u = 1 − 2 ⇔ cos t =
 I 3 = ln
→
+ C = ln
+ C.
Từ t =
2
sin u
t
t
2
2
t −3
x2 − 2 x − 2
1−
1−
t
x −1
Chú ý: Tổng hợp các kết quả ta thu một số kết quả quan trọng sau:
2

1+

Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia


Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 17

dx
1
x
= arc tan   + C.
2
+a
a
a
dx
1
x+a
∫ x 2 − a 2 = 2a ln x − a + C.
dx
1
x−a
∫ a 2 − x 2 = 2a ln x + a + C.
dx
2
∫ x 2 ± a = ln x + x ± a + C.

∫x

2

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1) I1 = ∫
4) I 4 =

∫

x 2 dx
x2 + 4
1
3x − 2 x
2

2) I 2 = ∫
5) I 5 =

dx

∫

1 − x2
dx
x2

9) I 3 = ∫

2 x 2 + 1 dx

6) I 6 =

x 2 dx
4 − x2
dx

∫

2 x2 − 5

DẠNG 2: ĐỔI BIẾN SỐ HÀM VÔ TỶ

Phương pháp giải:
Nếu hàm f(x) có chứa

n

g ( x) thì đặt t = n g ( x) ⇔ t n = g ( x)  n.t n −1 = g '( x)dx
→

Khi đó, I = ∫ f ( x)dx = ∫ h(t )dt , việc tính nguyên hàm ∫ h(t )dt đơn giản hơn so với việc tính ∫ f ( x)dx.

Ví dụ 1. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
xdx
a) I1 =
b) I 2 = x3 x 2 + 2 dx
4x + 1
Hướng dẫn giải:

∫

∫

2tdt = 4dx

2
a) Đặt t = 4 x + 1 ⇔ t = 4 x + 1  
→
→

t 2 − 1  I1 =
x=

4

3


1  t3
1  (4 x + 1)
=  −t+C = 
− 4 x + 1  + C.

8 3
8
3




∫

c) I 3 =

∫

x 2 dx
1− x

t 2 − 1 tdt

.
xdx
4
2 = 1 (t 2 − 1)dt
=
t
8
4x + 1

∫

∫

b) Đặt t = x 2 + 2 ⇔ t 2 = x 2 + 2  x 2 = t 2 − 2 ⇔ 2 xdx = 2tdt  x3 dx = x 2 .xdx = (t 2 − 2).tdt
→
→

(

)

(

5

)

3

x2 + 2

2 x2 + 2
t5
t3
2
3
2
4
2
Khi đó I 2 =
x + 2 .x dx = t. t − 2 tdt = t − 2t dt = − 2. + C =
−
+C
5
3
5
3
2
dx = −2tdt
1 − t 2 .tdt
x 2 dx

c) Đặt t = 1 − x ⇔ t 2 = 1 − x ⇔ x = 1 − t 2   2
→
→
= −2
2  I 3 =
2
t
1− x
x = 1 − t


 (1 − x)5 2 (1 − x)3

2
 t 5 2t 3

= −2 1 − t 2 dt = −2 t 4 − 2t 2 + 1 dt = −2  −
+ t  + C = −2 
−
+ 1− x  + C


3
5
3
5




∫ (

∫

)

∫(

)

(

∫(

)

Khi đó I 2 =

∫

∫(

)

∫

(

)

)

∫ (

)

x 2 + 2 .x 3 dx = t. t 2 − 2 tdt =

∫ (t

4

− 2t 2

)

t5
t3
dt = − 2. + C =
5
3

Ví dụ 2. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
ln x dx
ln 2 x dx
a) I 4 =
b) I 5 =
x 1 + ln x
x 3 2 − ln x

∫

∫

∫

(x

2

+2

)

5

5

c) I 6 =

−

∫

2

(x

2

3

+2

)

3

+ C.

ln x 3 + 2ln x dx
x

Hướng dẫn giải:

Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia


Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 18

(

)

ln x = t 2 − 1
t 2 − 1 .2tdt
ln x dx

→
 I 4 =
→
=
a) Đặt t = 1 + ln x ⇔ t = 1 + ln x   dx
t
1 + ln x x
 = 2tdt
x
 (1 + ln x)3


 t3

2 (1 + ln x)3
= 2 ∫ ( t 2 − 1) dt = 2  − t  + C = 2 
− 1 + ln x  + C  I 4 =
→
− 2 1 + ln x + C .


3
3
3




∫

2

∫

ln x = 2 − t 3
dx
ln 2 x
(2 − t 3 ) 2 .3t 2 dt

b) Đặt t = 2 − ln x ⇔ t = 2 − ln x   dx
→

 I 5 = 3
→
.
=
2
t
2 − ln x x
 = 3t dt
 x
 3 (2 − ln x)8 4 3 (2 − ln x)5

 t 8 4t 5
7
4
2

= 3∫ ( t − 4t + 4t ) dt = 3  −
+ 2t  + C = 3
−
+ 2 3 (2 − ln x)2  + C


5
8
5
8





t2 − 3
ln x =


2
c) Đặt t = 3 + 2ln x ⇔ t 2 = 3 + 2ln x  
→
 2dx = 2tdt
 x


∫

3

3

Từ đó ta có I 6 =

∫

∫

 t2 − 3 
ln x 3 + 2ln x dx
dx
1
= ln x 3 + 2ln x .
= 
 .t.tdt =

x
x
2
 2 

∫


t5 t3
1  t5
=  − t3  + C = − + C =
2 5
10 2


∫

( 3 + 2 ln x )5
10

−

( 3 + 2ln x )3
2

Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx
e 2 x dx
a) I 7 =
b) I8 =

3
ex −1
ex + 1

∫

∫

(

+ C  I 6 =
→

c) I 9 =

)

∫x

∫ (t

4

)

− 3t 2 dt

( 3 + 2ln x )5
10

dx

( 3 + 2ln x )3

−

2

d) I10 =

x +4
2

∫x

+ C.

dx
x4 + 1

Hướng dẫn giải:
e x = t 2 − 1
e x = t 2 − 1


x
2
x
→
← 

→
a) Đặt t = e − 1 ⇔ t = e − 1   x
2tdt
e dx = 2tdt
dx = 2

t −1

dx
2tdt
2dt
2dt
(t + 1) − (t − 1)
dt
dt
Khi đó I 7 =
=
= 2
=
=
dt =
−
2
x
(t − 1)(t + 1)
(t − 1)(t + 1)
t −1
t +1
t.(t − 1)
t −1

e −1

∫

∫

∫

= ln t − 1 − ln t + 1 + C = ln

∫

t −1
+ C = ln
t +1

ex −1 −1
ex − 1 + 1

∫

=

∫

(t

2

)

− 1 .2tdt
t3

=2

∫

ex −1 − 1

+ C  I 7 = ln
→

e x = t 2 − 1

b) Đặt t = e + 1 ⇔ t = e + 1   x
→
 I8 =
→
e dx = 2tdt

2

x

∫

x

∫

ex −1 + 1

e 2 x dx

(e

x

)

+1

3

=

∫

∫

+ C.

e x .e x dx

(e

x

)

+1

3

=

∫

(t

2

)

− 1 .2tdt

t

3


t2 −1
dt 
1 

 1
dt = 2  dt − 2  = 2  t +  + C = 2  e x + 1 +
 + C.



t2
t 

 t
ex + 1 


∫

∫

 x2 = t 2 − 4
x2 = t 2 − 4


→
←  dx xdx
→
c) Đặt t = x 2 + 4 ⇔ t 2 = x 2 + 4  
tdt
2 xdx = 2tdt

 = 2 = 2
x
t −4
x
dx
1
dx

1 tdt
dt
1 (t + 2) − (t − 2)
1  dt
dt 
Khi đó, I 9 =
=
= . 2
= 2
=
dt = 
−

4 t −2
t t −4
t +2
t − 4 4 (t + 2)(t − 2)
x x2 + 4
x2 + 4 x

∫

=

∫

∫

1
−

( ln t − 2 − ln t + 2 ) + C = 1 ln tt + 2 + C = 1 ln
4
4
2
4

∫

x2 + 4 − 2
x2 + 4 + 2

∫

+ C  I 9 =
→

∫

1
ln
4

x2 + 4 − 2
x2 + 4 + 2

∫

+ C.

Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia

Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 19

 x4 = t 2 − 1
 x4 = t 2 − 1


d) Đặt t = x 4 + 1 ⇔ t 2 = x 4 + 1   3
→
←  dx x3 dx
→
tdt
4 x dx = 2tdt
 = 4 =

x
x
2(t 2 − 1)

dx
1
dx
1 tdt
1 dt
1 (t + 1) − (t − 1)
Khi đó, I10 =
=

. = . 2
=
=
dt
2
4
4
t 2(t − 1) 2 t − 1 4 (t + 1)(t − 1)
x x +1
x +1 x

∫

∫

∫

∫

∫

1  dt
dt  1
1 t −1
1
= 
−
+ C = ln
 = ( ln t − 1 − ln t + 1 ) + C = ln
4  t −1

t +1 4
4 t +1
4

∫

x4 + 1 − 1

∫

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx
a) I11 =
1 + 2 − 5x

∫

c) I13 = ∫

b) I12 =

x 3 dx
3

d) I14 =

4 + x2

x dx

∫1−
∫

+ C.

x4 + 1 + 1

2 + x2

1 + 4ln 2 x ln x
dx
x

Hướng dẫn giải:

2tdt
5
dx
2 t dt
2 1+ t −1
2 
1 
2
Khi đó, I11 =
=−
=−
dt = − 1 −
 dt = − ( t − ln t + 1 ) + C
5 1+ t
5 1+ t

5  1+ t 
5
1 + 2 − 5x
2
 I11 = −
→
2 − 5 x − ln 2 − 5 x + 1 + C .
5

a) Đặt t = 2 − 5 x ⇔ t 2 = 2 − 5 x ⇔ 2tdt = −5dx  dx = −
→

∫

∫

∫

(

∫

)

b) Đặt t = 2 + x 2 ⇔ t 2 = 2 + x 2 ⇔ 2tdt = 2 xdx  xdx = tdt
→
x dx
t dt
1 − (1 − t )
d (1 − t )

 1

Khi đó, I12 =
=
=
dt = 
− 1 dt = −
− dt = − ln 1 − t − t + C
2
1− t
1− t
1− t
1− t 
1− 2 + x

∫

∫

∫

∫

∫

∫

 I12 = − ln 1 − 2 + x 2 − 2 + x 2 + C .
→
x2 = t3 − 4

 x2 = t 3 − 4
3 3


2
c) Đặt t = 3 4 + x 2 ⇔ t 3 = 4 + x 2   2
→
← 
→
→ 3
3t 2 dt  x dx = 2 t − 4 t dt
3t dt = 2 xdx
 xdx =

2


(

 I13 = ∫
→

3
2
3 ( t − 4 ) t dt 3 4
= ∫
= ∫ ( t − 4t ) dt =
t
2
4 + x2 2

x 3 dx

3

3
3  t5
2
 − 2t  + C =
2 5


d) Đặt t = 1 + 4 ln 2 x ⇔ t 2 = 1 + 4ln 2 x ← 2tdt = 4.2ln x.
→
 I14 =
→

∫

(4 + x )

2 5

10

−

33 ( 4 + x2 )

2

4

+ C.

dx
ln x dx tdt

→
=
x
x
4

ln x dx
tdt 1 2
t3
1 + 4ln 2 x
= t.
=
t dt = + C =
x
4 4
12

∫

3

)

∫

(1 + 4 ln x )
2

12

3

+ C.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1) I1 =

∫

dx
1 + 1 + 3x

4) I 4 = ∫ x 3 1 − x 2 dx

2) I 2 = ∫

x3 dx
3

5) I 5 = ∫

1 + x2

dx

7) I 7 = ∫ x 3 x + 4 dx

x x3 + 1
x +1
8) I 8 = ∫
dx
x

10) I10 = ∫ x 2 3 − 2 x dx

11) I11 = ∫

4 − 3x
dx
x +1

3) I 3 =

1 + 3ln x ln x
dx
x
xdx
2x + 1

∫

6) I 6 = ∫
9) I 9 = ∫

xdx
1 + x −1
e 2 x dx

12) I12 = ∫

1 + ex −1

DẠNG 3: ĐỔI BIẾN SỐ HÀM ĐA THỨC BẬC CAO

Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia


Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 20

Phương pháp giải:
dt = adx

→
Nếu hàm f(x) có chứa (ax + b) thì đặt t = ax + b  
t −b
x = a

n

Ví dụ. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I1 = x ( 3 x + 1) dx

∫

∫

19

b) I 2 = x 2 (2 − x)99 dx

c) I 3 =

∫

x2 + 2
dx
( x + 1) 2010

Hướng dẫn giải:

dt = 3dx
t − 1 19
19

.t .3dt =
→
→
a) Đặt t = 3x + 1  
t − 1  I1 = x ( 3x + 1) dx =
3
x = 3



∫

 I1
→

∫

∫(

)

t 20 − t19 dt =

t 21 t 20
−
+C
21 20

( 3x + 1)21 − ( 3x + 1)20 + C.
=
21

20

dt = −dx
99
2
b) Đặt t = 2 − x  

→
 I 2 = x 2 ( 2 − x ) dx = − ( 2 − t ) .t 99 dt = − 4t 99 − 4t100 + t101 dt
→
x = 2 − t

∫

∫(

∫

 t100
(2 − x)
t101 t102 
t100 4t101 t102
= −  4.
− 4.
+
+
−
+C =
+C =
101 102 
25 101 102
25
 100

100

V ậy I 2 =

4(2 − x)

101

+

101

−

)

( 2 − x )102
102

+ C.

( 2 − x )100 + 4 ( 2 − x )101 − ( 2 − x )102 + C.
25

101
102
dt = dx
( t − 1)2 + 2 dt = t 2 − 2t + 3 dt =  1 − 2 + 3  dt
c) Đặt t = x + 1  
→
 I 3 =
→
 2008


t 2010
t 2010
t 2009 t 2010 
t
x = t −1
1
1
3
1
1
3
=−
+
−
+C = −
+
−
+ C.
2007
2008
2009
2007
2008
2009
2007t
1004t
2009t
2007 ( x + 1)
1004 ( x + 1)

2009 ( x + 1)

∫

 I 3 = −
→

1
2007 ( x + 1)

2007

+

1
1004 ( x + 1)

2008

∫

−

∫

3
2009 ( x + 1)

2009

+ C.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

∫

1) I1 = x(1 − x) 20 dx
4) I 4 =

x + 2x + 2
2

∫ ( 2 x − 1)

6

dx

∫

∫

2) I 2 = x(3 x + 1)9 dx

(

)

3) I 3 = (2 x + 1)( x + 3) 4 dx

5) I 5 = ∫ x 2 + 3 x − 5 ( 2 x − 3) dx
10

6) I 6 = ∫ ( x − 1) ( x + 2 ) dx
2

21

Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia


Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 21

04. PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN TÌM NGUYÊN HÀM
CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP:

Công thức nguyên hàm từng phần I = ∫ P ( x).Q ( x)dx = ∫ udv = uv − ∫ vdu
Độ ưu tiên khi lựa chọn đặt u:
Hàm logarith, lnx → hàm đa thức → hàm lượng giác = hàm mũ.

(

)

Nếu I có chứa ln n [ g ( x)] thì đặt u = ln n [ g ( x)]  du = ln n [ g ( x)] '
→

Nếu I có chứa hàm đa thức (khơng chứa hàm loga) thì đặt u = P(x)

Nếu I có chứa cả hàm lượng giác và hàm mũ thì ta có thể đặt tùy ý, tuy nhiên qua trình tính sẽ gồm các vịng
lặp. Để việc tính tốn đúng thì trong mỗi vịng lặp, các thao tác đặt u phải cùng dạng hàm với nhau.
Chú ý:
Với các bài tốn tìm ngun hàm từng phần, chúng ta có thể sử dụng cách giải truyền thống (đặt u, tìm v) hoặc
cách giải nhanh(chuyển nguyên hàm cần tính về dạng ∫ udv ) mà không cần đặt u, v. Tuy nhiên cách giải nhanh
chỉ có thể dùng được khi học sinh phải rất thành thạo vi phân.
Ví dụ 1. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
a) I1 = x sin x dx
b) I 2 = xe3 x dx
c) I 3 = x 2 cos x dx

∫

∫

∫

∫

d) I 4 = x ln x dx

Hướng dẫn giải:

∫

a) I1 = x sin x dx

u = x
du = dx
Cách 1: Đặt 

← 
→
sin xdx = dv
v = − cos x

∫

∫

 I1 = x sin xdx = − x cos x + cos xdx = − x cos x + sin x + C.
→

Cách 2: I1 = x sin x dx = − xd (cos x) = −  x cos x − cos x dx  = − x cos x + sin x + C


----------------------------------------------------

∫

∫

∫

∫

b) I 2 = xe3 x dx

du = dx
u = x



← 
→
Cách 1: Đặt  3 x
1 3x
e dx = dv

v = 3 e

1
1
1
1 3x
1
1
 I 2 = xe3 x dx = xe3 x − e3 x dx = xe3 x −
→
e d (3 x) = xe3 x − e3 x + C
3
3
3
9
3
9
1
1
1
1 3x
1
 1


Cách 2: I 2 = xe3 x dx =
x d e3 x =  xe3 x − e3 x dx  =  xe3 x −
e d (3 x)  =  xe3 x − e3 x  + C

 3
3
3
3
3 
 3
-----------------------------------------------------------c) I 3 = x 2 cos x dx

∫

∫

∫

∫

∫ ( )

∫

∫

∫

u = x 2

 du = 2 xdx

← 
→
Cách 1: Đặt 
cos x dx = dv
v = sin x


∫

∫

Khi đó I 3 = x 2 cos x dx = x 2 sin x − 2 x sin x dx = x 2 sin x − 2 J

u = x
 du = dx
Xét J = ∫ x sin x dx. Đặt 
← 
→
 J = − x cos x + cos xdx = − x cos x + sin x
→
sin x dx = dv
v = − cos x
 I 3 = x 2 sin x − 2 ( − x cos x + sin x ) + C.
→

∫

∫

∫

∫

∫

Cách 2: I 3 = x 2 cos x dx = x 2 d (sin x) = x 2 sin x − sin x d ( x 2 ) = x 2 sin x − 2 x sin x dx

∫

∫

= x sin x + 2 xd (cos x) = x sin x + 2 x cos x − 2 cos x dx = x sin x + 2 x cos x − 2sin x + C.
2

2

2

-----------------------------------------------------------Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia


Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 22

∫

d) I 4 = x ln x dx

dx

 du = x
u = ln x
x2
x 2 dx x 2
x2

← 
→
 I 4 = x ln x dx = ln x −
→
. = ln x −
+ C.
Cách 1: Đặt 
2
2
2 x
2
4
 x dx = dv
v = x

2


∫

∫

 x2  x2
x2
x2
x 2 dx x 2
x2
Cách 2: I 4 = x ln x dx = ln x d   = ln x −
d ( ln x ) = ln x −
= ln x −
+ C.
2
2
2 x
2
4
 2  2
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I 5 = x 2 ln x dx
b) I 6 = x ln 2 ( x + 1) dx

∫

∫
= ∫ ln ( x +

c) I 7

∫

∫

∫

)

1 + x 2 dx

d) I8

∫
= ∫e

x

sin x dx

Hướng dẫn giải:

∫

a) I 5 = x 2 ln x dx

dx

 du = x
u = ln x
x3
x 3 dx x 3
x3



← 
→
 I 5 = x 2 ln x dx = ln x −
→
. = ln x − + C .
Cách 1: Đặt  2
3
3
3 x
3
9
 x dx = dv

v = x

3

 x3  x3
x3
x3
x3 dx x3
x3
Cách 2: I 5 = x 2 ln x dx = ln x d   = ln x −
d ( ln x ) = ln x −
= ln x − + C.
3
3
3 x
3

9
 3  3
-----------------------------------------------------------b) I 6 = x ln 2 ( x + 1) dx

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

 x2  x2
x2
Ta có I 6 = x ln 2 ( x + 1) dx = ln 2 ( x + 1) d   = ln 2 ( x + 1) −
d ln 2 ( x + 1)
2
 2  2
2
2
2
2
x
x 2ln ( x + 1)

x
x
x2
= ln 2 ( x + 1) −
dx = ln 2 ( x + 1) −
.
ln ( x + 1) dx = ln 2 ( x + 1) − J
2
2
x +1
2
x +1
2
2
2
x
x −1 +1
1 

Xét J =
ln ( x + 1) dx =
ln ( x + 1) dx =  x − 1 +
 ln ( x + 1) dx =
x +1
x +1
x +1


∫

∫

∫

∫

(

)

∫

∫

∫

∫

 x2

dx
= ln ( x + 1) d  − x  + ln ( x + 1) d ( ln ( x + 1) ) =
x +1
 2

2
2
2
x


x

ln ( x + 1)  x 2

ln 2 ( x + 1)
1 x2 − 2 x
=  − x  ln ( x + 1) −  − x  d ( ln ( x + 1) ) +
=  − x  ln ( x + 1) −
dx +
2
2
x +1
2
 2

 2

 2

2
2
x − 2x
3 
x

Xét K =
dx =  x − 3 +
− 3x + 3ln x + 1
 dx =
x +1

x +1
2

=

∫ ( x − 1) ln ( x + 1) dx + ∫ ln ( x + 1)

∫

∫

∫

∫

∫

∫

 x2

 ln 2 ( x + 1)
1  x2
 J =  − x  ln ( x + 1) −  − 3x + 3ln x + 1  +
→
+ C.
2 2
2
 2



x 2 ln 2 ( x + 1)  x 2

 ln 2 ( x + 1)
1  x2
Từ đó ta được I 6 =
−  − x  ln ( x + 1) +  − 3x + 3ln x + 1  −
+ C.
2
2 2
2
 2


------------------------------------------------------------

∫

)

(

c) I 7 = ln x + 1 + x 2 dx
Ta có

(

)

(

)

(

)

(

)

1+

x

1 + x 2 x dx
I 7 = ln x + 1 + x 2 dx = x ln x + 1 + x 2 − xd  ln x + 1 + x 2  = x ln x + 1 + x 2 −




x + 1 + x2

∫

∫

∫

Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia

Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

(

)

= x ln x + 1 + x 2 −

(

∫

x dx
1 + x2

)

)

(

= x ln x + 1 + x 2 −

(

)

Trang 23

)

2
1 d x +1
= x ln x + 1 + x 2 − 1 + x 2 + C.
2
2
1+ x

∫

(

Vậy I 7 = x ln x + 1 + x 2 − 1 + x 2 + C.
-----------------------------------------------------------d) I8 = e x sin x dx

∫

( )

( )

Ta có I8 = e x sin x dx = sin x d e x = e x sin x − e x d ( sin x ) = e x sin x − e x cos x dx = e x sin x − cos x d e x
= ex

∫
∫
sin x − ∫ cos x d ( e ) = e
x

x

∫

∫

∫

sin x − e x cos x − e x d ( cos x )  = e x sin x −  e x cos x + e x sin x dx 





∫

∫

e sin x − e cos x
+ C.
2
Nhận xét: Trong nguyên hàm I8 chúng ta thấy rất rõ là việc tính nguyên hàm gồm hai vòng lặp, trong mỗi vòng
ta đều nhất quán đặt u là hàm lượng giác (sinx hoặc cosx) và việc tính tốn khơng thể tính trực tiếp được.
= e x sin x −  e x cos x + I8  = e x sin x − e x cos x − I8  I8 =
→



x

x

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1

1) I1 = ∫  x +  ln x dx
x


2) I 2 = ∫ x ln(3 + x 2 )dx

3) I 3 = ∫ ( x 2 + 2 x)sin x dx

4) I 4 = ∫ ln ( x 2 + x ) dx

5) I 5 = ∫ x ln( x 2 + 1) dx

6) I 6 = ∫ x tan 2 x dx

Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia


Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 24

05. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ
Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ I = ∫

P ( x)
dx
Q( x)

Nguyên tắc giải:
Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn
mẫu số.
I. MẪU SỐ LÀ BẬC NHẤT

Khi đó Q(x) = ax + b.
Nếu bậc của P(x) lớn hơn thì ta chia đa thức,
Khi P(x) là hằng số (bậc bằng 0) thì ta có I = ∫

P( x)
k
k d (ax + b) k
dx = ∫
dx = ∫
= ln ax + b + C.
Q( x)
ax + b
a
ax + b
a

Ví dụ 1. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
4
x +1
2x + 1
x2 + x + 4

a) I1 =
dx
b) I 2 =
dx
c) I 3 =
dx
d) I 4 = ∫
2x − 1
x −1
3 − 4x
x+3
Hướng dẫn giải:
4
4 d (2 x − 1)
a) Ta có I1 =
dx =
= 2ln 2 x − 1 + C.
2x −1
2
2x − 1
x +1
x −1+ 2
2 
dx

b) I 2 =
dx =
dx = 1 +
= x + 2ln x − 1 + C.
 dx = dx + 2

x −1
x −1
x −1 
x −1

1
5
− (3 − 4x ) +


2x + 1
5
1
5
dx
1
5 d (3 − 4x )
2
2 dx =  − 1 +
c) I 3 =
dx =
=− x−
 dx = − x +
 2 2 (3 − 4x ) 
3 − 4x
3 − 4x
2
2 3 − 4x
2
8

3 − 4x



∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

1
5
1
5
= − x − ln 3 − 4 x + C  I 3 = − x − ln 3 − 4 x + C.
→
2
8
2
8
2
d ( x + 3) x 2
x +x+4
10 

d) I 4 = ∫
= ∫ x − 2 +
dx = ∫ ( x − 2 ) dx + 10 ∫
=
− 2 x + 10ln x + 3 + C.

x+3
x +3
x+3
2


Ví dụ 2. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
x3 − x + 7
3 x3 + 3 x 2 + x + 2
4 x 4 + 3x 2 + x + 2
a) I 5 = ∫
b) I 6 = ∫
c) I 7 = ∫
dx
dx
dx
2x + 5
x −1
2x + 1
Hướng dẫn giải:
49
x3 − x + 7 1 2 5
21
a) Chia tử số cho mẫu số ta được
= x − x+ − 8
2x + 5
2
4
8 2x + 5
49 

1 2 5

x3 − x + 7
21
5

21 
49
dx
1
Khi đó I 5 = ∫
dx = ∫  x − x + − 8  dx = ∫  x 2 − x +  dx − ∫
2x + 5
4
8 2x + 5 
4
8 
8 2x + 5
2
2


1 x3 5 x 2 21
49 d ( 2 x + 5 ) x 3 5 x 2 21x 49
= . − . + x− ∫
= −
+
− ln 2 x + 5 + C.
2 3 4 2
8
16
2x + 5
6
8
8
16

3
2
3x + 3x + x + 2
9 

3
2
b) Ta có I 6 = ∫
dx = ∫  3 x 2 + 6 x + 7 +
 dx = x + 3x + 7 x + 9ln x − 1 + C.
x −1
x −1 

5
4 x 4 + 3x 2 + x + 2
1
c) Chia tử số cho mẫu số ta được
= 2 x3 − x 2 + 2 x − + 2
2x +1
2 2x + 1
5 

 3

dx
4 x 4 + 3x 2 + x + 2
1
1
5


2
Khi đó I 7 = ∫
dx = ∫  2 x − x + 2 x − + 2  dx = ∫  2 x 3 − x 2 + 2 x −  dx + ∫
2x + 1
2 2x + 1 
2
2 2x + 1





Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia


Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

= 2.

Trang 25

x
x
1
5 d ( 2 x + 1) x
x
1
5
− + x2 − x + ∫
=

− + x 2 − x + ln 2 x + 1 + C.
4 3
2
4
2x + 1
2
3
2
4
4

3

4

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
2x −1
1) I1 = ∫
dx
x+3
x3 − x + 7
4) I 4 = ∫
dx
2x + 5

3

x 2 + 3x − 1
dx
x +1

x +1
5) I 5 = ∫
dx
4 − 3x

3 x3 + 3x 2 + x + 2
dx
x −1
5x 4 − 3x2 + x
4) I 6 = ∫
dx
3x + 1

2) I 2 = ∫

3) I 3 = ∫

II. MẪU SỐ LÀ TAM THỨC BẬC HAI

Khi đó Q(x) = ax2 + bx + c. Ta có ba khả năng xảy ra với Q(x).
TH1: Q(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
Nếu P(x) là hằng số thì ta sử dụng thuật phân tích tử số có chứa nghiệm của mẫu số.
Nếu P(x) bậc nhất thì ta có phân tích
P( x)
P ( x)
1 A
B 
Q( x) = a ( x − x1 )( x − x2 ) 
→
=

= 
+

Q( x) a ( x − x1 )( x − x2 ) a  x − x1 x − x2 
Đồng nhất hệ số ở hai vế ta được A, B. Từ đó, quy về bài tốn nguyên hàm có mẫu số là hàm bậc nhất đã xét ở
trên.
Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta chia đa thức, quy bài tốn về hai trường hợp có bậc của P(x) như
trên để giải.
Chú ý:
Việc phân tích đa thức thành nhân tử với các phương trình bậc hai có hệ số a khác 1 phải theo quy tắc
ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 )
( x − 1)(3 x − 1) : dung '.
Ví dụ: 3x − 4 x + 1 =
2

1

( x − 1)  x −  : sai.
3

Khi tử số là bậc nhất thì ngồi cách đồng nhất ở trên, ta có thể phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu, rồi
tách thành 2 nguyên hàm (xem các ví dụ dưới đây).
Ví dụ 1. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
dx
2dx
a) I1 = 2
dx
b) I 2 = ∫
2
−3 x + 4 x − 1

x − 2x − 3
2x + 3
3x + 4
c) I 3 = 2
dx
d) I 4 = ∫ 2
dx
5x + 6x + 1
x − 3x − 4
Hướng dẫn giải:
dx
dx
1 ( x + 1) − ( x − 3)
1  dx
dx  1 x − 3
dx =
=
dx = 
−
+ C.
a) I1 = 2
 = ln
( x + 1)( x − 3) 4 ( x + 1)( x − 3)
4 x−3
x +1 4 x +1
x − 2x − 3
−2 (3 x − 1) − 3( x − 1)
2dx
dx
dx

b) I 2 = ∫
= −2 ∫ 2
= −2 ∫
=
dx
−3 x 2 + 4 x − 1
3x − 4 x + 1
( x − 1)(3 x − 1) 4 ∫ ( x − 1)(3 x − 1)

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

1  dx
dx 
1
1 d (3 x − 1)
1
1
1 3x − 1

= − ∫
− 3∫
= − ln x − 1 + ln 3 x − 1 + C = ln
+ C.
 = − ln x − 1 + ∫
2  x −1
3x − 1 
2
2 3x − 1
2
2
2
x −1
2x + 3
c) I 3 = 2
dx
x − 3x − 4
Cách 1:
2x + 3
2x + 3
A
B
Nhận thấy mẫu số có hai nghiệm x = –1 và x = 4, khi đó 2
=
=
+
x − 3 x − 4 ( x + 1)( x − 4 ) x + 1 x − 4

∫

1

A = − 5
2 = A + B

Đồng nhất ta được 2 x + 3 ≡ A ( x − 4 ) + B ( x + 1)  
→
← 
→
3 = −4 A + B
 B = 11

5


Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia