CHUYEN DE PHAN TÍCH DA THỨC THÀNH NHÂN tử

Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử GV: Đinh Ngọc Linh
CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG:
1. Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 4x – 6y b) 5x – 20y
c)
2
5 ( 1) 3 ( 1)− − −x x x x
d)
x(x y) 5x 5y+ − −
e)
f )x(x y) y(y x)− + −
g)
2 2
3x (y 2z) 15x(y 2z)− − −
h)
2 2 2
12x y 18xy 30y− −
f)
x(y 1) 3(y 1)− + −
i)
2
16x (x y) 10y(y x)− − −
k)
x(2y z) x(z 2y)− + −
l)
3x(x y) 2y(y x)− + −
2. Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a)
2
5x(x 2y) 2(2y x)− + −

b)
2 3
7x(y 4) (4 y)− − −
c)
2
(4x 8)(x 6) (4x 8)(x 7) 9(8 4x)− + − − + + −
II. PHƯƠNG PHÁP DÙNG HHẰNG ĐẲNG THỨC
A. LÝ THUYẾT:
- Hằng đẳng thức đáng nhớ:
2 2 2
2 2 2
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3
3 3 2 2
3 3 2 2
(a b) a 2ab b
(a b) a 2ab b
(a b) a 3a b 3ab b
(a b) a 3a b 3ab b
(a b) a 3a b 3a b b
a b (a b)(a ab b )
a b (a b)(a ab b )
+ = + +
− = − +
+ = + + +
+ = + + +
− = − + −
+ = + − +
− = − + +

- Nâng cao :
n n n 1 n 2 n 2 n 1
a b (a b)(a ab ab b )
− − − −
− = − + + + +

n n n 1 n 2 n 2 n 1
a b (a b)(a ab ab b )
− − − −
+ = + + + + +
(n lẻ)
Từ đó :
n n
n n
2k 2k 2 2
a b a b (n N,a b)
a b a b (n N,n le, a b)
a b a b (k N,a b)
− − ∈ ≠
+ + ∈ ≠ −
− − ∈ ≠ ±
M
M
M
B. BÀI TẬP
1. Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
2 2 2
6 6 2
a)x 9 b)9x 6xy y
c)x y d)6x 9 x

− + +
− − −
6 6 2 2
e) x y f) x 4y 4xy− + +
2. Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:
2 4 2 2
3 6 3 2 2 3
2 3 4 2 2
a) 4x 12x 9 b) 25x 10x y y
c) 1 - 8x y d)8x 12x y 6xy y
e)27 27x 9x x f) -x y 8x y 16
+ + − +
− + −
+ + + − −
Trường THCS Yên Lương
1
Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử GV: Đinh Ngọc Linh
3 2 4
1
g)64x i) 1 - x y
8
+
3. Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử :
a) 9x
6 2 4
9x 24xy 16y+ +
b)
8 2 2 3
x 36x y 54xy 27y+ + +
c)

3 2 2 3
y 12y x 48yx 64x− + − +
d)
6 4 6
64x y 27y−
e)
2
(x y) 4− −
e)
2 2 2
100x (x 25)− +
f)
2
(x y 5) 2(x y 5) 1+ − − − + +
g)
2 2 2 2 2
(x 4y 5) 16(x y 2xy 1)+ − − + +
h)
3 3
(a b) (a b)+ + −
t)
3 3
(a b) (a b)+ − −
III. PHƯƠNG PHÁP NHÓM CÁC HẠNG TỬ
1. Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
2 2
a) x 4x y 4+ − +
2 2 2
b) 3x 6xy 3y 3z+ + −
c)

2 2 2 2
x 2xy y z 2zx t− + − + −
d)
2 2
x x y y− − −
e)
2 2 2
x 2xy y z− + −
f)
2 2
x y 5x 5y− − +
g)
3 2 2
5x 5x y 10x 10xy− − +
t)
3 2
x 3x 1 3x− + −
i)
2 2 2
3x 6xy 3y 12z− + −
2. Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử :
2 2 2
a)3x 6xy 3y 12z− + −
b)
2 2
3x 3y 12x 12y− − +
c)
2
x xy 5x 5y+ − −
d)

x(2x 7) 4x 14− − +
e)
2xy z 2x yz+ + +
g)
x(x y) x y− + −
h)
2x 2y x(x y)+ − +
i)
2
5x 5xy 10x 10y− − +
k)
2
4x 8xy 3x 6y+ − −
l)
2 2 2
2x 2y x z z y z 2+ − + − −
3. Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử :
a)
2 2
x xz 9y 3xyz− − +
b)
3 2
x x 5x 125− − +
c)
3 2
x 2x 6x 27+ − −
d)
3 2
12x 4x 27x 9+ − −
4. Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử :

a)
4 2
x 25x 20x 4− + −
b)
2 2 2
x (x 6) x 9− − +
c)
2 2 2 2
ab(x y ) xy(a b )+ − +
d)
2 2 2
x 2xy 4z y− − +
e)
4 3 2
x 9x x 9x− + −
f)
2 2 2
x y x y xy x y+ − + − −
g)
2 2
x 2x 4y 4y− − −
h)
2 2 2
x (1 x ) 4 4x− − −
5. Bài 5. Phân tích đa thức thành nhân tử :
a)
(a b c)(ab bc ac) abc+ + + + −
b)
ab(a b) bc(b c) ac(a c)+ − + + −
c)

2 2 2 2 2 2
(a b)(a b ) (b c)(b c ) (a c)((c a )+ − + + − + + −
d)
2 2 2
x (y z) y (z x) z (x y)− + − + −
Lời giải
a) (a b c)(ab bc ac) abc a(ab bc ac) (b c)(ab bc ac) abc+ + + + − = + + + + + + −
2 2
2 2
2
a b abc a c (b c)(ab bc ac) abc
(a b a c) (b c)(ab bc ac)
a (b c) (b c)(ab bc ac)
= + + + + + + −
= + + + + +
= + + + + +
2
(b c)(a ab bc ac)= + + + +
Trường THCS Yên Lương
2
Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử GV: Đinh Ngọc Linh
2
(b c) (a ab) (bc ac)
 
= + + + +
 
[ ]
(b c) a(a b) c(b a)
(b c)(a b)(a c)
= + + + +

= + + +
b)
ab(a b) bc(b c) ac(a c)+ − + + −
[ ]
ab(a b) bc(b c) ac (a b) (b c)= + − + + + − +
[ ] [ ]
ab(a b) bc(b c) ac(a b) ac(b c)
ab(a b) ac(a b) bc(b c) ac(b c)
a(a b)(b c) c(b c)(b a)
(b c)[a(a b) c(b a)]
(b c)(a b)(a c)
= + − + + + − +
= + + + − + + +
= + + − + +
= + + − +
= + + −
c)
2 2 2 2 2 2
(a b)(a b ) (b c)(b c ) (a c)((c a )+ − + + − + + −
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
(a b)(a b ) (b c)[(a c ) (a b )] (a c)(c a )
(a b)(a b ) (b c)(a c ) (b c)(a b ) (a c)(c a )
[(a b)(a b ) (b c)(a b )] [(b c)(a c ) (a c)(c a )]
(a - b )(a - c) (a - c )(b - a)
(a b)(a
= + − + + − − − + + −
= + − + + − − + − + + −

= + − − + − + + − + + −
= +
= − b)(a c) (a c)(a c)(a b)
(a b)(a c)[a b a c]
(a b)(a c)(b c)
+ − − − + −
= − − + − −
= − − −
d)
2 2 2
x (y z) y (z x) z (x y)− + − + −
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
x (y z) y [(z y) (x y)] z (x y)
x (y z) y (z y) y (x y) z (x y)
(y z)(x y ) (x y)(z y )
(y z)(x y)(x y) (x y)(y z)(y z)
(x y)(y z)[(x y) (y z)]
(x y)(y z)(x z)
= − + − − − + −
= − + − − − + −
= − − + − −
= − − + − − − +
= − − + − +
= − − −
IV. PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ
A. DẠNG 1 : Phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử :
2
ax bx c+ +

Phương pháp:Có rất nhiều cách phân tích đa thức dạng này thành nhân tử
nhưng có hai cách đơn giản nhất để phân tích đa thức trên thành nhân tử một cách dễ
nhất.
1) Cách 1: (Tách hạng tử thứ hai)
Từ đa thức ta phân tích :
2 2
1 2
ax bx c ax b x b x c+ + = + + +
sao cho nó thoả mãn:
1 2
1
2
b b b
b c
a b
= +



=


hay
1 2
1 2
b b b
b b ac
= +



=

. Sau đó ta phân tích tiếp .
Các bước giải:
Bước 1: Tính tích ac
Bước 2: Phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên.
Bước 3: Chọn hai số có tổng bằng b.
Trường THCS Yên Lương
3
Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử GV: Đinh Ngọc Linh
2) Cách 2: (Tách hạng tử thứ nhất, hoặc thứ ba)
Cách này tách ra nhằm làm xuất hiện hằng đẳng thức (thường là hiệu của hai
bình phương).
1. Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a)
2
4x 8x 3− +
b)
2
3x 8x 4− +
Lời giải
a)Cách 1:
Bước 1: Nhận thấy a.c = 12
Bước 2: Phân tích ac = 2.6 = (-2).(-6) = 3.4 = (-3).(-4) = 1.12 = (-1).(-12).
Bước 3: Sau đó nhận xét cặp số có tổng bằng -8 . Từ đó: b = -8 = (-6) +(-2)
Phân tích thành nhân tử:
2
4x 8x 3− +
2
4x 6x 2x 3= − − +

2
4x 6x 2x 3
2x(2x 3) (2x 3)
(2x 3)(2x 1)
= − − +
= − − −
= − −
Cách 2:
* Tách hạng tử thứ ba :
( )
2 2
2
2
4x 8x 3 4x 8x 4 1
4x 8x 4 1
(2x 2) - 1
(2x 1)(2x 3)
− + = − + −
= − + −
= −
= − −
*Tách hạng tử thứ nhất :
2 2 2
2
4x 8x 3 16x 8x 12x 3
8x(2x 1) 3(4x 1)
(2x 1)(8x 3(2x 1))
(2x 1)(2x 3)
− + = − − +
= − − −

= − − +
= − −
2. Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử :
a)
2
3x 11x 6− +
b)
2xh2 3x 27+ −
c)
2
8x 10x 3+ −
d)
2
x 5x 6+ +
e)
2
x 2x 15+ −
f)
2
8x 2x 1− −
g)
2
x x 6− −
h)
2
x 9x 14− +
3. Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a)
2 2
2x 5xy 27y− −

b)
2 2
2x 5xy 3y− −
c)
2 2
6x 7xy 2y+ +
d)
2 2
9x 9xy 4y− −
Phương pháp giải: Dạng trên :
2 2
ax bxy cy+ +
ta cũng giải tương tự như dạng:
2
ax bx c+ +
. Ta có :
2 2 2 2
1 2
ax bxy cy ax b xy b xy xy+ + = + + +
trong đó :
1 2
1 2
b b b
b b ac
= +


=

B. DẠNG 2 : Phân tích đa thức bậc ba trở lên thành nhân tử

Phương pháp: Với đa thức bậc 3 trở lên tuỳ theo đặc điểm các hệ số ta có cách
Trường THCS Yên Lương
4
Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử GV: Đinh Ngọc Linh
tách riêng cho phù hợp.
1. Bài 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a)
3
x x 2+ +
b)
3 2 2 3
x 3x y 9xy 5y+ − +
c)
3 2
x 5x 3x 9+ + −
Giải
A
3 3
x x 2 x 1 x 1+ + = + + +

2
2
2
(x 1)(x x 1) (x 1)
(x 1)(x x 1 1)
(x 1)(x x 2)
= + − + + +
= + − + +
= + − +
b)

3 2 2 3 3 3 2 2 3 2
x 3x y 9xy 5y x y 3x y 3xy 5y 5xy+ − + = − + − + −
3 2 2 2 3 2
2 2 2
2
2 2
2 2
2 2
2
(x xy ) (3x y 3xy ) (5y 5xy )
x(x y ) 3xy(x y) 5y (x y)
x(x y)(x y) 3xy(x y) 5y (x y)
(x y)(x xy 3xy 5y )
(x y)(x 4xy 5y )
(x y)[(x xy) (5xy 5y )]
(x y)[x(x y) 5y(x y)]
(x y)(x y)(x 5y)
(x y) (
= − + − + −
= − + − − −
= + − + − − −
= − + + −
= − + −
= − − + −
= − − + −
= − − +
= − x 5y)+
c)
3 2 3 2
x 5x 3x 9 x 1 5x 5 3x 3+ + − = − + − + −

2 2
2
2
2
2
(x 1)(x x 1) 5(x 1) 3(x 1)
(x 1)(x x 1 5(x 1) 3)
(x 1)(x x 1 5x 5 3)
(x 1)(x 6x 9)
(x 1)(x 3)
= − + + + − + −
= − + + + + +
= − + + + + +
= − + +
= − +
V. PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC
A. LÝ THUYẾT :
“Phân tích đa thức :
n n 1
n n 1 1 0
f (x) a x a x a x a
−
−
= + + + +
thành nhân tử.”
1. Định lí Bê – du :
Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc nhất x – a đúng bằng f(a).
2. Hệ quả định lí Bê – du :
Nếu a là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) chia hết cho x – a.
Đặc biệt :

+) Nếu x = a là nghiệm của f(x) thì f(a) = 0.
+) Nếu tổng các hệ số đa thức f(x) bằng 0 thì f(x) chứa nhân tử x -1.
+) Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) chứa x – 1.
+) Nếu f(x) có tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì f(x) chứa
thừa số x + 1.
+) f(x) có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ước của hệ số tự do a
0
.
Trường THCS Yên Lương
5
Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử GV: Đinh Ngọc Linh
B. BÀI TẬP
1. Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a)
3 2
x x 4− −
b)
3 2
x 5x 8x 4− + −
c)
3 2
x 5x 3x 9− + +
d)
3 2
4x 13x 9x 18− + −
e)
3
x 2x 3+ −
f)
3

x 7x 6− +
g)
3 2
x 9x 6x 6− + +
h)
3 2
3x 7x 17x 5− + −
i)
3 2
x 5x 8x 4+ + +
2. Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a)
3 2
x 5x 8x 4+ + +
b)
3 2
x 9x 6x 16− + +
c)
3 2
x x 4− −
d)
3 2
x x x 2− − −
e)
3 2
x x x 2+ − +
f)
3 2
x 6x x 30− − +
g)

3 2
2x x 3x 3− + +
VI. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
A. LÝ THUYẾT
1.1 Một số dạng biểu thức thường gặp :
+)
(x a)(x b)(x c)(x d) m+ + + + +
với a +d = b + c
+) Dạng đối xứng :
4 3 2
ax bx cx bx a+ + + +

Phương pháp giải : Đặt y = x
2
+ (a + b)x
1.2 Đa thức đưa về dạng cơ bản :
3 3 3
a b c 3abc+ + −
B. BÀI TẬP
1. Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a)
2 2 2
(x 3x 1) 12(x 3x 1) 27− − − − − +
b)
2 2 2
(x x) 2(x x) 15+ − + −
c)
2 2
x 2xy y x y 12+ + − − −
2. Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử:

a)
2 2
(x x 1)(x x 2) 12+ + + + −
b)
(x 2)(x 3)(x 4)(x 5) 24+ + + + −
c)
2 2
(x 2xy y ) 3x 3y 4− + + − −
d)
2 2
(12x 12xy 3y ) 10(2x y) 8− + − + +
e)
4
(x a)(x 2a)x 3a)(x 4a) a+ + + + +
f)
2 2 2 2 2
(x y z )(x y z) (xy yz zx)+ + + + + + +
g)
x(x 4)(x 6)(x 10) 128+ + + +
h)
(x 2)(x 3)(x 4)(x 5) 15+ + + + −
i)
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 4
2(x y z ) (x y z ) 2(x y z )(x y z) (x y z)+ + − + + − + + + + + + +
3. Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử :
Trường THCS Yên Lương
6
Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử GV: Đinh Ngọc Linh
a)
3 3 3

A (a b) (b c) (c a)= − + − + −
b)
3 3 3
B (a b 2c) (b c 2a) (c a 2b)= + − + + − + + −
c)
3 3 3 3
C (a b c) 4(a b c ) 12abc= + + − + + −
4. Bài 4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a)
2 2
A (x 2x)(x 2x 1) 6= − − − −
b)
2 2 2 2
B (x 4x 3) 5x(x 4x 3) 6x= + − − + − +
c)
2 2 2 2
C (x x 4) 8x(x x 4) 15x= + + + + + +
d)
2 2 2 2 2 2
D 2(x 6x 1) 5(x 6x 1)(x 1) 2(x 1)= − + + − + + + +

5. Bài 5.
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
3 3 3 3
A (a b c) (a b c) (b c a) (c a b)= + + + − − + − − + − −
b) Chứng minh :
3 3 3 3
(x y z) x y z 3(x y)(y z)(z x)+ + − − − = + + +
VI. PHƯƠNG PHÁP THÊM BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ
A. PHƯƠNG PHÁP:

- Thêm và bớt cùng một hạng tử để làm xuất hiện hiệu của hai bình phương.
- Thêm và bớt cùng một số hạng làm xuất hiện thừa số chung.
B. BÀI TẬP
1. BÀI 1. Phân tích đa thức thành nhân tử : (Thêm và bớt cùng một hạng tử để làm
xuất hiện hiệu của hai bình phương).
a)
4 4
x 4y+
b)
4
x 64+
c)
4
x 4+
d)
4 4
64x y+
e)
4
x 324+
Giải:
Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a)
4 4 4 2 2 4 2 2
x 4y x 4x y 4y 4x y+ = + + −
2 2 2 2
2 2 2 2
(x 2y ) (2xy)
(x 2y 2xy)(x 2y 2xy)
= + −

= + − + +
b)
4 4 2 2
x 64 x 16x 64 16x+ = + + −
2 2 2
2 2
(x 8) (4x)
(x 4x 8)(x 4x 8)
= + −
= + + − +
c,d,e) Tương tự phần a, b.
2. Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử : (Thêm và bớt cùng một số hạng làm xuất
hiện thừa số chung).
a)
7 5
x x 1+ +
b)
8 4
x x 1+ +
c)
7 2
x x 1+ +
d)
8
x x 1+ +
e)
10 5
x x 1+ +
f)
5 4

x x 1+ +
Giải
a)
7 5 7 6 5 6
x x 1 x x x x 1+ + = + + − +
7 6 5 6
5 2 3 3
5 2 2 3
(x x x ) (x 1)
x (x x 1) (x 1)(x 1)
x (x x 1) (x 1)(x x 1)(x 1)
= + + − −
= + + − − +
= + + − − + + +
Trường THCS Yên Lương
7
Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử GV: Đinh Ngọc Linh
2 5 3
2 5 4 3
2 5 4 3
(x x 1)[x (x 1)(x 1)]
(x x 1)(x x x x 1)
(x x 1)(x x x x 1)
= + + − − +
= + + − − + +
= + + − + − +
b) Thêm bớt

8 4 8 2 4 2
x x 1 x x x x 1+ + = − + + +

2 6 4 2
2 3 3 4 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 4 2
x (x 1) (x x 1)
x (x 1)(x 1) (x 2x 1) x
x (x 1)(x x 1)(x x 1) (x x 1)(x x 1)
(x x 1)(x x 1)(x x 1)
= − + + +
 
= − + + + + −
 
= − + + − + + − + + +
= − + + + − +
c)
7 2 7 2
x x 1 x x x x 1+ + = − + + +
6 2
2 3 2
2 5 3 2
x(x 1) (x x 1)
x(x 1)(x x 1)(x 1) (x x 1)
(x x 1)(x x x x `1)
= − + + +
= − + + + + + +
= + + − + − +
d)
8 8 2 2
x x 1 x x x x 1+ + = − + + +
2 6 2

2 2 3 2
2 6 5 3 2
x (x 1) (x x 1)
x (x 1)(x x 1)(x 1) (x x 1)
(x x 1)(x x x x 1)
= − + + +
= − + + + + + +
= + + − + − +
e)

10 5 10 2 5 2
9 2 3 2
3 6 3 2 3 2
2 2 6 3 2
2 8 7 5 2 3 2
2 8 7 5 2 3
x x 1 x x x x x x 1
x(x 1) x (x 1) (x x 1)
x(x 1)(x x 1) x (x 1) (x x 1)
(x x 1) (x x)(x x 1) x (x 1) 1
(x x 1) x x x x x x x 1
(x x 1) x x x 2x x x 1
+ + = − − + + + +
= − − − + + +
= − + + − − + + +
 
= + + − + + − − +
 
 
= + + − + + − − + +

 
 
= + + − + + − − +
 
f)
5 4 5 4 3 3
3 2 2
2 3
x x 1 x x x (x 1)
x (x x 1) (x 1)(x x 1)
(x x 1)(x x 1)
+ + = + + − −
= + + − − + +
= + + − +
Tổng quát:
- Đa thức dạng
3m 1 3n 2
x x 1
+ +
+ +
luôn chứa thừ số
2
x x 1+ +
bằng cách thêm bớt
2
x , x
.
3m 1 3n 2 3m 1 3n 2 2 2
3m 2 3n 2
3 m 2 3 n 2

2
x x 1 x x x x x x 1
x(x 1) x (x 1) (x x 1)
x((x ) 1) x ((x ) 1) (x x 1)
(x x 1)( )
+ + + +
+ + = − + − + + +
= − + − + + +
= − + − + + +
= + +
- Đa thức dạng
2k k
x x 1+ +
luôn chứa thừ số
2
x x 1+ +
.
Trường THCS Yên Lương
8
Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử GV: Đinh Ngọc Linh
2k k 2k 2 k 2
2 2(k 1) k 1 2
x x 1 x x x x x x 1
x (x 1) x(x 1) (x x 1)
− −
+ + = − + − + + +
= − + − + + +
3. Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử:
3 3 3
a)x y z 3xyz+ + −

b)
6 4 2 2 4 6
a a a b b b+ + + −
c)
3 3
x 3xy y 1+ + −
d)
4 2 2 2
3(x x 1) (x x 1)+ + − + +
Giải
3 3 3 3 2 2 3 3 2 2
3 3
2 2 2
a)x y z 3xyz x 3x y 3xy y z 3x y 3xy 3xyz
(x y) z 3xy(x y z)
(x y z)(x y z xy yz zx)
+ + − = + + + + − − −
= + + − + +
= + + + + − − −
b)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
6 6 4 2 2 4
3 3 3 3 4 2 2 4
2 2 2 2 2 2 4 2
6 6
2 4 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 2 2 4

2 2 2 2 2 2
a b a b a a b b
a b a b a a b b
(a b )(a ab b )(a ab b ) a 2a b b a b
(a b )(a ab b )(a ab b ) (a ab b )(a ab b )
(a ab b )(a ab b )(a b 1
b
)
a a b = − + + +
= − + + + +
= − + + − + + + + −
= − + + − + + + + − +
=
+
+ + − + −
+
+
+ −
c)
3 3 3 3
3
2 2
x 3xy y 1 x 3xy(x y) y 1 3xy(x y) 3xy
(x y) 1 3xy(x y 1)
(x y 1)(x y xy x y 1)
+ + − = + + + − − + +
= + − − + −
= + − + − + + +
d)
4 2 2 2 4 2 2 2 2

2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
3(x x 1) (x x 1) 3(x 2x 1 x ) (x x 1)
3(x x 1)(x x 1) (x x 1)
(x x 1)(3x 3x 3 x x 1)
(x x 1)(2x 4x 2)
2(x x 1)(x 1)
+ + − + + = + + − − + +
= + + − + − + +
= + + − + − − −
= + + − +
= + + −
VII. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH
A. PHƯƠNG PHÁP:
Hai đa thức là đồng nhất khi và chỉ khi mội hệ số của đơn thức đồng dạng chứa trong
hai đa thức phải bằng nhau.
B. BÀI TẬP
1. BÀI 1. Phân tích đa thức thành nhân tử :
4 3 2
A x 3x 6x 5x 3= − + − +
Giải
Phương pháp : Nhận thấy hệ số của hạng tử có bậc 4 lớn nhất là 1 nên ta nhận định ta
phân tích thành 2 đa thức bậc 2; hạng tử có bậc nhỏ nhất có hệ số bằng 3 nên hai đa
thức bậc hai có hệ số là 1 và 3 hoặc -1 và -3. Vì vậy ta có phân tích thành hai thức số :
2 2
x ax 1; x bx 3+ + + +
. Hoặc là hai thừa số
2 2

x ax-1; x bx 3+ + −
Trường THCS Yên Lương
9
Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử GV: Đinh Ngọc Linh
TH1:
4 3 2 2 2
4 3 2 4 3 2
x 3x 6x 5x 3 (x ax 1)(x bx 3)
hay x 3x 6x 5x 3 x (a b)x (ab 4)x (3a b)x 3
− + − + = + + + +
− + − + = + + + + + + +
Hệ số của hạng tử cùng bậc hai vế phải bằng nhau nên ta có :
a b 3
ab 4 6
3a b 5
+ = −


+ =


+ = −

Giải hệ phương trình tìm được : a = -1, b = -2
TH2:
4 3 2 2 2
4 3 2 4 3 2
x 3x 6x 5x 3 (x ax - 1)(x bx 3)
hay x 3x 6x 5x 3 x (a b)x (ab 4)x (3a b)x 3
− + − + = + + −

− + − + = + + + − − + +
a b 3
ab 4 6
(3a b) 5
+ = −


− =


− + = −

Vô nghiệm.
Vậy đa thức A được phân tích như sau :
A =
4 3 2 2 2
x 3x 6x 5x 3 (x - x 1)(x 2x 3)− + − + = + − +
BÀI 2 : Phân tích đa thức thành nhân tử :
4 3 2
2 2
4 3 2
4
a) 4x 4x 5x 2x 1
b) 3x 22xy 11x 37y 7y 10
c) x 7x 14x 7x 1
d) x 8x 63
+ + + +
+ + + + +
− + − +
− +

VII. PHƯƠNG PHÁP HOÁN VỊ VÒNG QUANH (PP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG)
Phương pháp :
Xác định các thừa số chứa biến của đa thức, gán cho các biến các giá trị cụ thể
để xác định thừa số . Nhận xét vai trò các biến như nhau từ đó ta phân tích được đa
thức :
BÀI 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử :
a)
3 3 3
Q a b c 3abc= + + −
b)
2 2 2
P a (b c) b (c a) c (a b)= − + − + −
Giải
Giả sử phân tích
3 3 3
F(a,b,c) a b c 3abc= + + −
thành nhân tử trong đó vai trò a, b, c
như nhau.
Trường THCS Yên Lương
10