Tài liệu PT HPT tổng hợp trên diễn đàn học mãi
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (346.62 KB, 52 trang )
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
[Toán 9] Tân phương trình và hệ
phương trình
»»»»—««««
___________________________
Box Toán học 1
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
Nhóm Moderator box Toán diễn đàn hocmai.vn
Các bạn thân mến, Nếu các bạn đam mê môn toán, các bạn sẽ không thể bỏ qua một
mảng kiến thức rất rộng và hay đó là phương trình và hệ phương trình.
Tại diendan.hocmai.vn, box Toán chúng tôi đã có nhiều topic về phương trình, hệ
phương trình gồm khá nhiều dạng bài từ cơ bản đến nâng cao. Nhưng các bài viết
còn lẻ tẻ, rời rạc, gây khó khăn cho các bạn trong việc tham khảo. Xuất phát từ sự
thiếu sót đó, nhóm Moderator box Toán đã họp bàn và với ý tưởng của mod forum_,
chúng tôi quyết định tổng hợp tất cả các bài tập về phương trình, hệ phương trình
thành 1 file PDF để tiện làm tư liệu cho các bạn.
Chuyên đề này là tổng hợp khá đầy đủ các bài viết riêng lẻ từ các topic trên diễn
đàn. Thay mặt box Toán tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến Mod demon311 (Lê
Hồng Phúc -11B5, THPT Của Tùng - Vĩnh Linh - Quảng Trị) đã bỏ thời gian làm
file này cùng với tập thể các Mod Toán và các mem diễn đàn học mãi đã góp ý để
file được hoàn thiện hơn.
Do thời gian khá gấp rút nên việc tổng hợp và làm file không thể tránh có những
sai sót dù đã rất cố gắng, vì vậy rất mong có sự đóng góp, chia sẻ của các bạn gửi
về để đội ngũ biên tập có thể chỉnh sửa và hoàn thiện hơn. Mọi ý kiến đóng góp xin
liên hệ về địa chỉ hoặc liên hệ nick diễn đàn
học mãi demon311
Tôi hy vọng chuyên đề này sẽ có ích cho các bạn trong việc tìm tòi và khám phá
phương trình và hệ phương trình - những vẻ đẹp của Toán học
Thay mặt đội ngũ mod toán, tôi xin chân thành cảm ơn!
Trưởng nhóm box Toán congchuaanhsang (Đỗ Thùy Anh - 10T THPT chuyên Lam
Sơn)
Box Toán học 2
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
Thread này được lập ra bởi bigbang195.
Bạn có thể xem toàn bộ thread tại: />Sau đây là những bài được tổng hợp:
Box Toán học 3
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
B1 Giải phương trình:
x
2
+
√
x + 5 = 5
Giải: Ta có:
x
2
+
√
x + 5 = 5
⇔ x
2
= 5 −
√
x + 5
⇔ x
2
+ x +
1
4
= x + 5 −2.
1
2
√
x + 5 +
1
4
⇔ (x +
1
2
)
2
= (
√
x + 5 −
1
2
)
2
B2 Giải phương trình:
a) x
2
+ x + 12
√
x + 1 = 36
b) 2
√
2x + 4 + 4
√
2 − x =
√
9x
2
+ 16
Giải:
a)
36 − x
2
− x − 2.6.
√
x + 1 = 0
x + 1 −2.6.
√
x + 1 + 36 − (x
2
+ 2x + 1) = 0
(
√
x + 1 −6)
2
− (x + 1)
2
= 0
(
√
x + 1 −6 − x − 1)(
√
x + 1 −6 + x + 1) = 0
b)
2
√
2x + 4 + 4
√
2 − x =
√
9x
2
+ 16
⇒ 4(2x + 4) + 16(2 − x) + 16
(4 − x
2
)2 = 9x
2
+ 16
⇔ 8x + 16 + 32 − 16x + 16
√
8 − 2x
2
− 9x
2
− 16 = 0
Box Toán học 4
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
⇔ 16
√
8 − 2x
2
− 8x + 32 −9x
2
= 0
⇔ 4(8 −2x
2
) + 16
√
8 − 2x
2
+ 16 − 8x − 9x
2
+ 8x
2
− 16 = 0
⇔ (2
√
8 − 2x
2
+ 4)
2
− x
2
− 8x − 16 = 0
⇔ (2
√
8 − 2x
2
+ 4)
2
− (x + 4)
2
= 0
⇔
B3 Giải phương trình:
x +
√
4 − x
2
= 2 + 3x
√
4 − x
2
Giải
Đặt
√
4 − x
2
= a (a ≥ 0)
⇒ 4 −x
2
= a
2
⇔ x
2
= 4 − a
2
và x + a = 2 + 3xa ⇒ x =
2 − a
1 − 3a
⇒ x
2
=
(2 − a)
2
(1 − 3a)
2
⇒ 4 −a
2
=
4 − 4a + a
2
1 − 6a + 9a
2
⇒ (1 −6a + 9a
2
)(4 − a
2
) = 4 −4a + a
2
⇔ 4 −a
2
− 24a + 6a
3
+ 36a
2
− 9a
4
= 4 − 4a + a
2
⇔ 9a
4
− 6a
3
− 34a
2
+ 20a = 0
⇔ a(9a
3
− 6a
2
− 34a + 20) = 0
⇔ a(a −2)(9a
2
+ 12a − 10) = 0
⇔ a = 0; a = 2; 9a
2
+ 12a − 10 = 0 (1)
∆
= 6
2
+ 10.9 = 129 ⇒ a =
−6 +
√
129
9
(a ≥ 0)
B4 Giải phương trình:
x
2
+
√
x
2
+ 11 = 31
Giải:
x
2
+
√
x
2
+ 11 = 31 ⇔ (x
2
+ 11) +
√
x
2
+ 11 − 42 = 0 ⇒ x
2
+ 11 = 36 ⇒ x = ±5
B5 Giải hệ phương trình sau:
Box Toán học 5
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
3
√
x − y =
√
x − y
x + y =
√
x + y + 2
Giải:
Ta có:
3
√
x − y =
√
x − y ⇔ (x −y )
2
= (x − y)
3
⇔
x = y
x = y + 1
TH1: x = y
x + y =
√
x + y + 2
⇔ 2x =
√
2x + 2
⇔ 4x
2
= 2x + 2 ⇒ x = y = 1
TH2: x = y + 1
x + y =
x + y + 2
⇔ 2y + 1 =
2y + 3
⇔ 4y
2
+ 4y + 1 = 2y + 3
⇒ y =
1
2
; x =
3
2
B6
1
4x − 2006
+
1
5x + 2004
=
1
15x − 2007
−
1
6x − 2005
Giải:
1
4x − 2006
+
1
5x + 2004
=
1
15x − 2007
−
1
6x − 2005
⇔
9x − 2
(4x − 2006)(5x + 2004)
=
−(9x − 2)
(15x − 2007)(6x −2005)
B7
Box Toán học 6
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
3(x +
1
x
) = 4(y +
1
y
) = 5(z +
1
z
)
xy + yz + zx = 1
Giải:
Viết lại phương trình đầu như sau: với x,y,z khác 0 :
x
3(x
2
+ 1)
=
y
4(y
2
+ 1)
=
z
5(z
2
+ 1)
(1)
(1) ⇒ nếu (x
0
, y
0
, z
0
) là nghiệm ở đây x
0
> 0, y
0
> 0, z
0
> 0 thì −x
0
, −y
0
, −z
0
cũng
là nghiệm (1) dẫn tới (1) có nghiệm cùng dấu
x = tan
A
2
, y = tan
B
2
, z = tan
C
2
Lại có do: (2) tan
A
2
. tan
B
2
+ tan
B
2
. tan
C
2
+ tan
C
2
. tan
A
2
= 1
nên A,B,C là 3 góc của 1 tam giác
lại có: sin A =
tan
A
2
1 + tan
2
A
2
Nên: (1) ⇔
sin A
3
=
sin B
4
=
sin C
5
⇒ các cặp cạnh đối diện cũng tỉ lệ : a,b,c là các cạnh đối diện với góc A,B,C
a
3
=
b
4
=
c
5
Nên tam giác này là tam giác vuông tại C ⇒ C = 90
dẫn tới z = tan 45
o
= 1
Thế vào PT(1) được x =
1
3
, y =
1
2
Nên HPT có 1 nghiệm là (
1
3
,
1
2
, 1)
theo lý luận trên đầu bài dẫn tới hệ cũng có nghiệm (−
1
3
, −
1
2
, −1)
KL :HPT có 2 nghiệm (
1
3
,
1
2
, 1), (−
1
3
, −
1
2
, −1)
B8 :
6
3 − x
+
8
2 − x
= 6
Box Toán học 7
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
Giải:
ĐK : x < 2
⇔
6
3 − x
− 2 +
8
2 − x
− 4 = 0
⇔
6
3 − x
− 4
6
3 − x
+ 2
+
8
2 − x
− 16
8
2 − x
+ 4
= 0
⇔
2(2x − 3)
3 − x
6
3 − x
+ 2
+
8(2x − 3)
2 − x
− 16
8
2 − x
+ 4
= 0
⇔ (2x −3)( ) = 0
mà ( ) khác 0 nên ta được x =
3
2
B9
2(x
2
− 3x + 2) = 3
√
x
3
+ 8
Giải:
ĐK : x ≥ −2
⇔ 2[x
2
− 2x + 4 −(x + 2)] = 3
(x + 2)(x
2
− 2x + 4)
Đặt a =
√
x + 2 ; b =
√
x
2
− 2x + 4 (a, b ≥ 0
Ta được 2(b
2
− a
2
) = 3ab
⇔ (a + 2b)(2a − b) = 0
B10
√
2x + 3 +
√
x + 1 = 3x + 2
√
2x
2
+ 5x + 3 −16
Giải:
Box Toán học 8
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
ĐK: Đặt t = V T (ĐK: t ≥ ) PT trên tương đương với t = t
2
− 20
(t − 5)(t + 4) = 0
B11
√
4x − 1 +
√
4x
2
− 1 = 1 Giải:
ĐK :
⇔
√
4x
2
− 1 = 1 −
√
4x − 1
2 vế không âm bình phương lên thu được
4x − 2
√
4x
2
− 1 = 4x
2
− 1
⇔ 2
√
4x
2
− 1 = −(2x −1)
2
PT đánh giá: V T ≥ 0 ;VP ≤ 0
Ta được nghiệm x =
1
2
B12
√
x
2
+ 2x +
√
2x − 1 =
√
3x
2
+ 4x + 1
Giải:
ĐK là các biểu thức trong dấu căn không âm
Đặt a =
√
x
2
+ 2x , b =
√
2x − 1(a, b ≥ 0)
PT trở thành
a + b =
√
3a
2
− b
2
⇔ a
2
+ 2ab + b
2
= 3a
2
− b
2
⇔ 2a
2
− 2ab − 2b
2
a =
1 +
√
5
2
b
B13
x
2
− 2x + 3 =
√
2x
2
− x +
√
1 + 3x −3x
2
Giải:
Theo AM-GM
Box Toán học 9
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
√
2x
2
− x ≤
2x
2
−x+1
2
√
1 + 3x −3x
2
≤
1+3x−3x
2
+1
2
⇒ x
2
− 2x + 3 ≤
−x
2
+ 2x + 3
2
⇔ 2x
2
− 4x + 6 + x
2
− 2x − 3 ≤ 0
⇔ 3(x −1)
2
≤ 0
⇒ x = 1
B14
√
x + 3.x
4
= 2x
4
− 2008x + 2008
Giải:
tx
4
= 2x
4
− 2008(x − 1) = 2x
4
− 2008(t
2
− 4)
⇔ −2008t
2
− tx
4
+ (2x
4
+ 2008.4) = 0
∆ = x
8
−4(−2008)(2x
4
+ 2008.4) = x
8
+ 2.4.2008x
4
+ (4.2008)
2
= (x
4
+ 4.2008)
2
x
1
=
x
4
− (x
4
+ 4.2008)
−2.2008
= 2
hay
√
x + 3 = 2 ⇔ x = 4 −3 = 1
x
2
=
x
4
+ x
4
+ 4.2008
−2.2008
=
√
x + 3
B15
√
2x + y + 1 −
√
x + y = 1
3x + 2y = 4
Giải:
√
2x + y + 1 = a
√
x + y = b
Hệ
a − b = 1
a
2
+ b
2
= 5
Box Toán học 10
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
⇔
a = 2
b = 1
B16
x
4
− x
3
y + x
2
y
2
= 1
x
3
y − x
2
+ xy = −1
Giải:
Đặt:
x
2
− xy = a
x
3
y = b
Hệ tương đương:
a
2
+ b = 1
a − b = −1
a = −1
b = 0
⇒ (x, y) =
B17
x
4
+
√
x
2
+ 2010 = 2010
Giải:
Đặt x
2
= a ,
√
x
2
+ 2010 = t
Ta có:
a
2
+ t = 2010
t
2
− a = 2010
⇔ (a + t)(a − t + 1) = 0
B18
xy + x + 1 = 7y
x
2
y
2
+ xy + 1 = 13y
2
Box Toán học 11
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
Giải:
Nhận thấy y = 0 không phải nghiệm.
Hệ trên tương đương với:
x +
x
y
+
1
y
= 7
x
2
+
x
y
+
1
y
2
= 13
⇔
x +
x
y
+
1
y
= 7
(x +
1
y
)
2
−
x
y
= 13
Đặt:
x +
1
y
= a
x
y
= b
⇒
a + b = 7
a
2
− b = 13
Từ đây dễ dàng giải tiếp.
B19
x
2
+ x + 12
√
x + 1 = 36 (1)
Giải:
ĐK: x ≥ −1
(1) ⇔ (x + 1)
2
− (x + 1) + 12
√
x + 1 = 36
Đặt: t =
√
x + 1 (t ≥ 0)
t
4
− t
2
+ 12t − 36 = 0
t
4
= (t − 6)
2
B20
√
x + 1 + x + 2 =
√
2x
2
+ 6x + 6 (1)
Box Toán học 12
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
Œt :
√
x + 1 = a (a ≥ 0)
x + 2 = b (b ≥ 1)
(1) ⇔ a + b =
√
2b
2
− 2a
2
⇔ a
2
+ 2ab + b
2
= 2b
2
− 2a
2
⇔ 3a
2
+ 2ab − b
2
= 0
⇔ (3a −b)(a + b) = 0
Do a, b > 0 nên 3
√
x + 1 = x + 2
⇔ 9x + 9 = x
2
+ 4x + 4
⇔ x
2
− 5x − 5 = 0
B21
Giải hệ phương trình:
a)
x(3x + 2y)(x + 1) = 12
x
2
+ 4x + 2y − 8 = 0
(1)
b)
x(x + 2)(2x + y) = 9
x
2
+ 4x + y −6 = 0
(2)
Giải:
a)
(1)⇔
(3x + 2y)(x
2
+ x) = 12
x
2
+ 4x + 2y − 8 = 0
Đặt:
a = 3x + 2y
b = x
2
+ x
Như vậy thì:
ab = 12
a + b = 8
Box Toán học 13
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
⇔
a = 2
b = 6
a = 6
b = 2
b)
(1)⇔
(x
2
+ 2x)(2x + y) = 12
x
2
+ 4x + y −6 = 0
Đặt:
a = x
2
+ 2x
b = 2x + y
Như vậy thì:
ab = 9
a + b = 6
⇔
a = 3
b = 3
⇔
x
2
+ 2x − 3 = 0
2x + y = 3
⇔
x = 1
x = −3
y = 1
y = 9
Nghiệm: (x; y) = (1; 1); (3; −9)
Box Toán học 14
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
B22
42
5 − x
+
60
7 − x
= 6
Giải:
ĐK: x < 5
Nếu x ∈ (−∞;
1
3
) thì V T > 6
Nếu x ∈ (
1
3
; 5) thì V T < 6
Nếu x =
1
3
thì V T = 6
Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =
1
3
B23
x
2
+
3
2
x +
1
2
=
x
2
+ 5x + 7 +
x
2
− 2x − 8
Đặt
√
x
2
+ 5x + 7 = a ;
√
x
2
− 2x − 8 = b (a, b ≥ 0) Ta có:
a
2
+ b
2
2
+ 1 = a + b
a
2
+ b
2
+ 2 − 2a − 2b = 0
(a − 1)
2
+ (b − 1)
2
= 0
Đến đây ta xét đấu bằng xảy ra, thay vào tìm x
Kết quả: vô nghiệm
B24
2
√
2x + 4 + 4
√
2 − x =
√
9x
2
+ 16
Giải:
Bình phương 2 vế:
8x + 16 + 32 − 16 + 16
2(4 − x
2
) = 9x
2
+ 16
⇔ x
2
+ 8x + 16 = 8(4 − x
2
) + 16
2(4 − x
2
) + 16
⇔ (x + 4)
2
= (2
2(4 − x
2
) + 4)
2
⇔ x = 2
2(4 − x
2
)
Box Toán học 15
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
B25
(x + y)(x
2
− y
2
) = 45
(x − y)(x
2
+ y
2
) = 85
Giải:
Ta thấy: x = ±y
Từ đây ta có:
17(x − y)(x + y)
2
= 9(x − y)(x
2
+ y
2
)
⇔ 4x
2
+ 17xy + 4y
2
= 0
⇔ (4x + y)(4y + x) = 0
⇔
x = 4
y = −1
B26
4 − x
2
+ (x − y)
2
= 5
2x(y − x) + x + y = 5
Giải:
Đặt:
a = 2x
b = y − x
⇔
a
2
+ b
2
= 5
ab + a + b = 5
⇔ Hệ đối xứng
B27
x
2
+ y
2
− xy = 1
x
3
+ 3y
3
= x + 3y
Giải:
Box Toán học 16
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
Vì x
2
+ y
2
− xy = 1 nên:
x
3
+ 3y
3
= (x + 3y)(x
2
+ y
2
− xy)
x
3
+ 3y
3
= x
3
+ xy
2
− x
2
y + 3x
2
y + 3y
3
− 3xy
2
2x
3
+ 2x
2
y − 2xy
2
= 0
xy(x −y) = 0
B28
Tìm ngiệm nguyên dương của hệ:
2
x
= 2y
2
y
= 2x
Giải:
Với x > y ⇔ 2
x
> 2
y
⇔ 2y = 2
x
> 2
y
= 2x ⇔ y > x (vô lý)
Với x < y ⇔ 2
x
< 2
y
⇔ ⇔ x > y (vô lý)
Vậy x = y
Thay vào:
2
x
= 2x
Thử với các số 1,2,3,4,
Ta được nghiệm: (x; y) = (1; 1); (2; 2)
B29
x
2
− xy + y
2
= 3
z
2
+ yz + 1 = 0
Giải:
Từ phương trình thứ nhất ta có x là ẩn, y là tham số:
∆ = y
2
− 4y
2
+ 12 = −3y
2
+ 12 ≥ 0 ⇔ y
2
≤ 4
Từ phương trình thứ hai coi z là ẩn, y là tham số:
Box Toán học 17
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
∆ = y
2
− 4 ≥ 0 ⇔ y ≥ 4
Suy ra y
2
= 4 ⇔ y = ±2
Với y = 2 thì x = 1 và z = −1
Với y = −2 thì x = −1 và z = 1
B30
xy + x + 1 = 7y
x
2
y
2
+ xy + 1 = 13y
2
Giải:
Nhận thấy y = 0 không phải nghiệm của hệ
Ta chia 2 vế của phương trinh thứ nhất cho y, chia 2 về của phương trình thứ hai cho
y
2
, ta được:
x +
x
y
+
1
y
= 7
x
2
y
2
+
x
y
+
1
y
2
= 13
⇔
(x +
1
y
) +
x
y
= 7
(x +
1
y
)
2
−
x
y
= 13
Đặt:
a = x +
1
y
b =
x
y
Hệ trở thành:
a + b = 7
a
2
− b = 13
Cộng vế theo về, giải ra a và b sau đó thay vào
B31
Box Toán học 18
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
Tìm nghiệm nguyên dương: 3xyz − 5yz + 3x + 3z = 5
Giải:
Cách 1: Biến đổi phương trình:
x +
z
yz + 1
= 1 +
2
3
⇒ x = 1 ;
z
yz + 1
=
2
3
⇔ z =
2
3 − 2y
x = 1 ; y = 1 ; z = 2 Cách 2:
Từ đề bài ta được:
(3x − 5)(yz + 1) + 3z = 0
Nếu x ≥ 2 thì 3x − 5 ≥ 1 , khi đó (3x − 5)(yz + 1) + 3z > 0
Do đó x = 1
Sau đó thay vào
B32
Giải hệ:
a)
xy + y + 2x + 2 = 4
yz + 2z + 3y = 2
xz + z + 3x = 5
(1)
b)
√
x +
√
y = 4
√
x + 5 +
√
y + 5 = 5
(2)
Giải
a)
(1) ⇔
(x + 1)(y + 2) = 4
(z + 3)(y + 2) = 8
(x + 1)(z + 3) = 8
Lấy pt 1 chia pt 2 rồi nhân pt 3 ta được (x + 1)
2
= 4
Từ đây ta thay vào giải ra
Box Toán học 19
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
b)
Đặt a = x + y ; b = xy (a, b ≥ 0 ; a
2
≥ 4b)
Ta có:
a + 2
√
b = 16
a + 10 + 2
√
5a + b + 25 = 36
⇔
√
5a + b + 25 −
√
b = 5
⇔
5a + b + 25 = 25 + 10
√
b + b
a = 2
√
b
a
2
= 4b
⇔ x = y (nghiệm kép của phương trình bậc 2)
Do đó:
√
x = 2
√
x + 5 = 3
⇔ x = y = 4
B33
x + y + z = 2
2xy − z
2
= 4
Giải:
x + y + z = 2 ⇔ x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2xy + 2yz + 2xz = 2xy − z
2
(x + z)
2
+ (y + z)
2
= 0
⇔
x + z = 0 ⇔ y = 2
y + z = 0 ⇔ x = 2
x = y = 2 ; z = −2
B34
a)
√
x
2
+ x +
√
x − x
2
= x + 1
Box Toán học 20
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
b) (x
2
+ 1)(y
2
+ 2)(z
2
+ 8) = 32xyz (z, y, x ≥ 0)
c)
x + 1
√
x
+
4(y − 1)
3
√
y − 1 + 4
3
(y − 1)
2
= 10
Giải:
a)
Áp dụng BĐT Cauchy:
x
2
+ x ≤
x + x + 1
2
x − x
2
≤
x + 1 −x
2
⇔
x
2
+ x +
x − x
2
≤
x + x + 1 + x + 1 −x
2
= x + 1 Vì phương trình là trường
hợp xảy ra dấu bằng nên:
x = x + 1
x = 1 −x
Do đó phương trình vô nghiệm
b) Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
x
2
+ 1 ≥ 2x
y
2
+ 2 ≥ 2
√
2y
z
2
+ 8 ≥ 4
√
2z
⇒ (x
2
+ 1)(y
2
+ 2)(z
2
+ 8) ≥ 32xyz Phương trình chính là trường hợp dấu bằng xảy
ra nên:
x = 1
y =
√
2
z = 2
√
2
c) Ta có:
x + 1
√
x
≥ 2
Box Toán học 21
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
Đặt: a =
3
√
y − 1 (a = 0)
4(y − 1)
3
√
y − 1 + 4
3
(y − 1)
2
=
4a
4
+ 4
a
2
≥ 8
x + 1
√
x
+
4(y − 1)
3
√
y − 1 + 4
3
(y − 1)
2
≥ 10 Phương trình xảy ra:
x = 1
3
√
y − 1 ⇔ y = 2
⇔ (x; y) = (1; 2)
B35
x
5
− x
4
+ 2x
2
y = 2
y
5
− y
4
+ 2y
2
z = 2
z
5
− z
4
+ 2z
2
x = 2
Giải:
Nhận thấy: x = y = z = 1 là 1 nghiệm của hệ
Nếu x> 1 ⇒ 2 = z
5
− z
4
+ 2z
2
x > z
5
− z
4
+ 2z
2
⇒ (z − 1)(z
4
+ 2z + 2) < 0 ⇒ z < 1 ⇒ y > 1 ⇒ x < 1 (vô lí)
Đối với trường hợp x < 1 thì tương tự
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: x = y = z = 1
B36
a) x
2
−
√
x + 5 = 5
b)
√
2x + 15 = 32x
2
+ 32x − 20
c)
3
√
7x + 1 −
3
√
x
2
− x − 8 +
3
√
x
2
− 8x − 1 = 2
d)
4
√
97 − x +
4
√
x − 15 = 4
e)
√
x + 5 = x
2
− 4x + 3
f)
x
2
√
3x − 2
−
√
3x − 2 = 1 −x
g)
x
x + 1
− 2
√
x + 1
√
x
= 3
Box Toán học 22
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
Giải:
a) ĐK: x ≥ −5
Đặt :
√
x + 5 = t (t ≥ 0)
⇔ t
2
= x + 5 ⇔ t
2
− x = 5
Đưa về hệ:
t
2
− x = 5
x
2
− t = 5
⇔ (x −t)(x + 1 + 1) = 0
b) Biến đổi:
√
2x + 15 −4 = 8(2x − 1)(2x + 3)
2x − 1
√
2x + 15 + 4
= 8(2x − 1)(2x + 3)
Đã xuất hiện nhân tử chung
c) Đặt 3 cái căn bậc 3 lần lượt là a,b,c thì suy ra:
(a − b + c)
3
= a
3
− b
3
+ c
3
d) Đặt:
4
√
97 − x = a ;
4
√
x − 15 = b ; ⇒
a + b = 4a
4
+ b
4
= 82
e) ĐK: x ≥ −5
Phương trình ban đầu:
⇔
√
x + 5 −2 = x
2
− 4x − 5
⇔
x + 1
√
x + 5 + 2
= (x + 1)(x − 5)
⇔
x = −1
1 = [(x + 5) −10](
√
x + 5 + 2) (∗)
Để xử lí (*), ta đặt
√
x + 5 = y (y ≥ 0). Khi đó:
(2) ⇔ (y
2
− 10)(y + 2) = 1
y
3
+ 2y
2
− 10y − 21 = 0
(y + 3)(y
2
− y − 7) = 0
Box Toán học 23
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
y =
1 +
√
29
2
⇒ x =
5 +
√
29
2
f)
x
2
√
3x − 2
−
√
3x − 2 = 1 −x
⇔ x
2
− 3x + 2 = (1 − x)
√
3x − 2
⇔ (x −2)(x − 1) + (x −1)
√
3x − 2 = 0
⇔ (x −1)(x − 2 +
√
3x − 2) = 0
g)
x
x + 1
− 2
√
x + 1
√
x
= 3
ĐK: x > 0
Đặt:
√
x + 1
√
x
= t
⇒ (
1
t
)
2
− 2t = 3
t = 0, 5 ; t = −1 (loại)
⇒
√
x + 1
√
x
=
1
2
x =
−4
3
(loại)
B37
a) 3x
2
+ 2x = 2
√
x
2
+ x + 1 −x
b)
√
x + 1 + 2(x + 1) = x −1 +
√
1 − x + 3
√
1 − x
2
Giải:
a) ĐK: x ≤ −1 hoặc x ≥ 0
3x
2
+ 2x = 2
√
x
2
+ x + 1 −x
⇔ (
√
x
2
+ x − 1)
2
+ 2(x
2
+ x − 1) = 0
⇔ (
√
x
2
+ x − 1)(3
√
x
2
+ x + 1) = 0
b) Đặt:
√
1 + x = a (a ≥ 0)
√
1 − x = b (b ≥ 0)
Box Toán học 24
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
Suy ra:
a
2
+ b
2
= 2
a + a
2
+ 2 = b + 3ab
⇔ 2a
2
+ b
2
+ a − b −3ab = 0
⇔ (a −b)
2
+ (a − b) + a(a −b) = 0
⇔ (a −b)(a − b + 1 + a) = 0
⇔ (a −b)(2a − b + 1) = 0 Đến đây thử từng trường hợp, rút a theo b (b theo a) rồi
thay vào tính
B38
x
2
− 6x − 2y − 15 = 0
x
2
y − 3xy + 2z + 6 = 0
x
2
y
2
+ 2y + 12 −4z ≤ 0
(x, y, z ∈ Z)
Giải:
Ta có:
(x
2
− 3x − 2y − 15) + 2(x
2
y − 3xy + 2z + 6) + (x
2
y
2
+ 2y + 12 −4z) ≤ 0
⇒ (xy + x)
2
− 6(xy + x) + 9 ≤ 0
(xy + x − 3)
2
≤ 0
xy + x − 3 = 0 ⇔ x(y + 1) = 3 (x, y ∈ Z)
B39
x
2
+ y
2
− 4x + 2y = −3
x
2
− xy + y
2
+ x − 2y = 12
Giải:
x
2
+ y
2
− 4x + 2y = −3 (1)
(x − y)
2
+ x
2
+ y
2
+ 2x − 4y = 24 (2)
Lấy (2) trừ (1):
(x − y)
2
+ 6(x − y) = 27
Box Toán học 25
