giải tích chuyên đề tích phân suy rộng

I. Tích phân suy rộng loại một
Bài toán
Tìm diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi đường cong:
, trục hoành, đường thẳng x = a.
( ) 0y f x
b
()
a
s f x dx



lim ( )
b
b
a
f x dx



 
Tích phân suy rộng loại một
Tích phân
()
a
f x dx


lim ( )
b
b

a
f x dx



khả tích trên đoạn , với mọi
()y f x
 
,ab
ba
được gọi là tích phân suy rộng loại một.
Các tích phân sau cũng là tích phân suy rộng loại một
()
a
f x dx


lim ( )
a
b
b
f x dx



()f x dx



( ) ( )

a
a
f x dx f x dx




Hai vấn đề đối với tích phân suy rộng
1) Tính tích phân suy rộng (thường rất phức tạp)
2) Khảo sát sự hội tụ.
( ) lim ( )
b
b
aa
f x dx f x dx




Nếu giới hạn tồn tại và hữu hạn thì tích phân gọi là hội tụ.
Ngược lại, nếu giới hạn không tồn tại hoặc bằng vô
cùng, thì tích phân gọi là phân kỳ.
Tính tích phân suy rộng (công thức Newton – Leibnitz)
( ) lim ( )
b
b
aa
f x dx f x dx





Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x) trên


,a 
 
lim ( ) ( )
b
F b F a


Tích phân tồn tại khi và chỉ khi tồn tại
lim ( ): ( )
b
F b F


( ) ( ) ( ) ( )
a
a
f x dx F x F F a


   

Ví dụ
Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi
2
1

y
x

, trục hoành và đường thẳng x = 1.
2
1
dx
S
x



2
1
lim
b
b
dx
x



1
1
lim
b
b
x







1
lim 1 1
x
b



  


Diện tích của miền S
bằng 1, hữu hạn.
S là miền có diện tích
vô hạn, bằng

Ví dụ
Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi
1
y
x

, trục hoành và đường thẳng x = 1.
1
dx
S
x




1
lim
b
b
dx
x



 
1
lim ln | |
b
b
x


 
lim ln
b
b

  
Ví dụ
Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi
2
1

1
y
x


, trục hoành.
2
1
dx
S
x





 
0
2 lim arctan
b
b
x


2
0
2
1
dx
x







Diện tích của miền S
bằng .

Ví dụ
Tính tích phân
2
1
x
I e dx




2
1
x
I e dx




2
1
2

x
e



2
22
ee
 

  


2
1
2e

Ví dụ
Tính tích phân
2
ln
e
dx
I
xx



2
ln

e
dx
I
xx



2
(ln )
ln
e
dx
x



1
ln
e
x


11
ln( ) lne

  



1.

Ví dụ
Tính tích phân
2
4
56
dx
I
xx




2
11
( 2)( 3)
56
xx
xx



11
32xx


4
11
32
I dx
xx








4
3
ln
2
x
I
x




3 4 3
lim ln ln
2 4 2
x
x
x








1
ln1 ln
2

ln2
44
ln | 3| ln | 2|xx
 
   
( ) ( )   
Dạng vô định.?
Không được phép dùng:
lim ( ) lim lim
x x x
f g f g
  
  
khi chưa đảm bảo hai giới hạn vế phải chắc chắn tồn tại.
Ví dụ
Tính
5 10
1
1
dx
I
x x x





Đổi biến:
Đổi cận:
6
1
10 5
11
1
dx
I
x
xx




5
1
t
x

6
1
dt dx
x
  
11xt  
0xt   
0
2

1
1
dt
I
tt



 
1
2
0
1/2 3/4
dt
t



   
1
2
0
ln 1/2 1/2 3/4tt    
Ví dụ
Tính
2
0
cos
x
I e xdx





Đặt
22
2
xx
u e du e dx

   
cos sindv xdx v x  
22
0
0
sin 2 sin
xx
I e x e xdx





2
0
2 sin
x
I e xdx





Ta có nên
 
2
lim sin 0
x
x
ex



22
2
xx
u e du e dx

   
sin cosdv xdx v x   
 
22
0
0
2 cos 4 cos
xx
I e x e xdx



  


24I
2
5
I
Ví dụ
Tính
 
3/2
2
0
arctan
1
x
I dx
x




arctantx
Đổi biến:
 
3/2
2
0
arctan
1
x
I dx

x




2
2
1
tan 1
cos
x t x
t
   
Đổi cận:
2
1
dx
dt
x


00xt  
2
xt

   
2
2
0
arctan

1
1
x dx
x
x





/2
0
cost tdt



1
2


0
1
a
dx
x




Kết quả (được sử dụng để khảo sát sự hội tụ)

Trường hợp 1:
1


1
11
1
a
x






1
11
1 a





hữu hạn, khác 0.
0
1
a
dx
x





Trường hợp 2:
1


1
1
a
x






 
Tích phân phân kỳ.
tích phân hội tụ.
Trường hợp 3:
1


0
1
a
dx
x




ln | |
a
x


 
Tích phân phân kỳ.
Kt qu (c s dng kho sỏt s hi t)
0
1
1
1
hoọi tuù, neỏu
phaõn kyứ, neỏu
a
dx
x

2
1
ln
I dx
xx




1,Neỏu thỡ hoọi tuù.I


1,Neỏu thỡ phaõn kyứ.I


1, 1,Neỏu thỡ hoọi tuù.I


1, 1,Neỏu thỡ PK.I


Tích phân hàm không âm
và khả tích trên
 
( ) 0, ( ) 0x a f x g x   


,a 
( ) ( )f x g x

ở lân cận của
.
Khi đó:
1) Nếu hội tụ, thì hội tụ.
()
a
g x dx


()
a
f x dx


2) Nếu phân kỳ, thì phân kỳ.
()
a
f x dx


()
a
g x dx


Tiêu chuẩn so sánh 1.
Để khsát sự hội tụ của , thường đem so sánh
()
a
I f x dx




với đã biết kết quả.
a
dx
x



Ví dụ
Khảo sát sự hội tụ
22
1
2 sin 3
dx
I
xx




Ta có
2 2 2
11
( ) ( )
2 sin 3 2
f x g x
x x x
  


Vì
hội tụ
2
1
2
dx
x


, nên hội tụ theo tchuẩn so sánh 1.
I
Chú ý (trong tiêu chuẩn 1):
2) Chỉ cần tồn tại


 
, ( ) ( )a x f x g x

    
3) Cận dưới của tích phân là số dương ( )
a
dx
x



0.a 
1) f(x) và g(x) là hai hàm không âm.
Ví dụ

Khảo sát sự hội tụ
22
1
sin 3
dx
I
xx




Ta có
222
12
( ) ( )
sin 3
f x g x
xxx
  

Vì
hội tụ
2
1
dx
x


, nên hội tụ theo tchuẩn so sánh 1.
I

Ví dụ
Khảo sát sự hội tụ
3
1
ln
5
xdx
I
x




Ta có
3
ln 1 1
( ) ( )
5 5 2
x
f x g x
x x x
   

Vì
phân kỳ
1
2
dx
x



, nên phân kỳ theo tchuẩn ssánh 1.
I
5x 
Tích phân hàm không âm
và khả tích trên
 
( ) 0, ( ) 0x a f x g x   


,a 
()
lim
()
x
fx
K
gx


Khi đó:
nếu hội tụ, thì hội tụ.
()
a
g x dx


()
a
f x dx



và cùng HT hoặc cùng PK.
()
a
f x dx


()
a
g x dx


Tiêu chuẩn so sánh 2.
1) :0 K 
2) :0 höõu haïn, K 
nếu hội tụ, thì hội tụ.
()
a
f x dx


()
a
g x dx


3) : K  
Để khảo sát sự hội tụ của
()

a
f x dx


Cách sử dụng tiêu chuẩn so sánh 2.
1) kiểm tra f(x) có là hàm không âm (trong lân
cận của )

2) Tìm hàm g(x) bằng cách: tìm hàm tương
đương của f(x) khi x tiến ra dương vô cùng.
3) Tính , kết luận.
()
lim
()
x
fx
K
gx


Hai hàm f(x) và g(x) không âm: nếu , thì
( ) ( )
x
f x g x

( ) ( ) vaø
aa
f x dx g x dx
 


cùng tính chất.
Hội tụ tuyệt đối
Nếu hội tụ, thì hội tụ.
()
a
f x dx


()
a
f x dx


Định lý
Nếu hội tụ, thì gọi là hội tụ tuyệt đối
()
a
f x dx


()
a
f x dx


Định nghĩa
Nếu hàm f(x) có dấu tùy ý, để khảo sát sự hội tụ của
()
a
f x dx



()
a
f x dx


ksát sự HT của
tích phân hàm
không âm
để sử dụng
được hai tiêu
chuẩn so sánh
Ví dụ
Khảo sát sự hội tụ
1
5 ln
dx
I
xx




Ta có
1/2
11
()
5 ln 5
x

fx
x x x



Chọn
1/2
1
()gx
x

Khi đó:
( ) 1
lim
()
5
x
fx
gx


hữu hạn, khác 0.
Tích phân và cùng hội tụ hay phân kỳ.
1
()f x dx


1
()g x dx



Vì phân kỳ ( ), nên tích phân I phân kỳ.
1
()g x dx


1
1
2


Ví dụ
Khảo sát sự hội tụ
3
1
3
2 sin3
xdx
I
xx




Ta có
3 3 2
3 3 3
()
2 sin3 2 2
x

xx
fx
x x x x



Chọn
2
1
()gx
x

( ) 1
lim
()
5
x
fx
gx


hữu hạn, khác 0.
Tích phân và cùng hội tụ hay phân kỳ.
1
()f x dx


1
()g x dx



Vì hội tụ ( ), nên tích phân I hội tụ.
1
()g x dx


21


Ví dụ
Khảo sát sự hội tụ
2
1
arctan
2 2ln
xdx
I
xx




Ta có
2
arctan
()
2 2ln
x
x
fx

xx



Chọn
2
1
()gx
x

()
lim
( ) 4
x
fx
gx



hữu hạn, khác 0.
Tích phân và cùng hội tụ hay phân kỳ.
1
()f x dx


1
()g x dx


Vì hội tụ ( ), nên tích phân I hội tụ.

1
()g x dx


21


22
2 2 4xx



Ví dụ
Khảo sát sự hội tụ
0
(3 1) 1
dx
I
xx




Ta có
3/2
11
()
3
(3 1) 1
x

fx
x
xx



Chọn
3/2
1
()gx
x

Khi đó:
( ) 1
lim
( ) 3
x
fx
gx


hữu hạn, khác 0.
Tích phân và cùng hội tụ hay phân kỳ.
0
()f x dx


0
()g x dx



Vì hội tụ ( ), nên tích phân I hội tụ.
0
()J g x dx



3
1
2


Sai! vì J phân kỳ (xem phần tích phân suy rộng loại hai)
Ví dụ
Khảo sát sự hội tụ
0
(3 1) 1
dx
I
xx




Ta có
3/2
11
()
3
(3 1) 1

x
fx
x
xx



Chọn
3/2
1
()gx
x

Khi đó:
( ) 1
lim
( ) 3
x
fx
gx


hữu hạn, khác 0.
Tích phân và cùng hội tụ hay phân kỳ.
1
()f x dx


1
()g x dx



Vì HT ( ), nên I
1
HT, suy ra I HT.
1
()g x dx


3
1
2


Cách giải đúng!
1
12
01
(3 1) 1 (3 1) 1
dx dx
I I I
x x x x

   
   

I
1
là tích phân xác định nên hội tụ. Xét tích phân I
2