nhập môn đại số tuyến tính

0
Trường Đại học Thủy lợi

Phạm Phú Triêm


















NHẬP MÔN
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

1

Euclid
Vào khoảng 365
-275 TCN





2

Lời nói đầu

Theo chương trình cải cách giáo dục của Bộ Giáo dục và Đào tạo, nội dung
môn Đại số tuyến tính có sự thay đổi, bổ sung với mục tiêu nâng cao một bước chương
trình giảng dạy Đại số tuyến tính trong các Trường Đại học Kỹ thuật.
Việc cải cách đòi hỏi phải khẩn trương biên soạn một tài liệu phù hợp với môn

học này, làm cơ sơ sở chuẩn bị bài giảng của giáo viên, đồng thời là tài liệu học tập
thuận lợi cho sinh viên với nhiều bài tập có hướng dẫn cách giải được bổ sung.
Với mục đích đó, Bộ m
ôn Toán Trường Đại học Thủy lợi và tác giả xin trân
trọng giới thiệu giáo trình ” Nhập môn Đại số tuyến tính “ và vô cùng cảm ơn các ý
kiến đóng góp quý giá của đồng nghiệp, độc giả.


Hà nội 10-2004

3

MỤC LỤC


Lời nói đầu 2
Chương I : TRƯỜNG SỐ PHỨC 6
I- KHÁI NIỆM VỀ SỐ PHỨC 6
1- Đặt vấn đề 6
2- Đơn vị ảo 6
3- Số phức 6
4- Số thuần ảo 6
5- Hai số phức bằng nhau 6
6- Hai số phức liên hợp với nhau 7
7- Biểu diễn số phức trên mặt phẳng 7
8- Dạng lượng giác của số phức 7
II- CÁC PHÉP TÍNH 9
1- Cộng và trừ 2 số phức 9
2- Nhân 2 số phức 10
3- Chia số phức cho số phức 12
4- Căn bậc n của số phức 14
III- TRƯỜNG SỐ PHỨC 17
Kiểm tra nhận thức 23
Chương II : MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 23
I- KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN 23

1- Ma trận cấp m.n 23
2- Ma trận không 23
3- Hai ma trận bằng nhau 23
4- Ma trận đối 24
5- Ma trận chuyển vị 24
6- Ma trận vuông 25
7- Ma trận đơn vị 25
8- Ma trận đối xứng 25
II- CÁC PHÉP TÍNH ĐỐI VỚI MA TRẬN 26
1- Cộng và trừ 2 ma trận cùng cấp 26
2- Nhân ma trận với một số 27
3- Nhân 2 ma trận với nhau 28
III- ĐỊNH THỨC 29
1- Định thức cấp 2 29
2- Định thức cấp 3 29
3- Định thức cấp n 31
4- Định lý Laplace 32
5- Tính chất 39
IV- MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO CỦA MA TRẬN VUÔNG 43
1- Định nghĩa 43
2- Tính chất 44
3- Quy tắc tính 45
V- HẠNG CỦA MA TRẬN 48
1- Định nghĩa 48
2- Quy tắc tìm hạng của ma trận 50

4
Kiểm tra nhận thức 59
Chương III: KHÔNG GIAN VECTƠ 60
I- VECTƠ N- CHIỀU 60

1- Khái niệm 60
2- Sự phụ thuộc tuyến tính của hệ các vectơ 60
3- Hạng của hệ vectơ 64
II- KHÔNG GIAN VECTƠ N- CHIỀU 66
1- Khái niệm 66
2- Biến đổi toạ độ của vectơ 69
III- ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 72
1- Khái niệm 72
2- Dạng ma trận của một ánh xạ tuyến tính 73
3- Ma trận đồng dạng 74
IV- KHÔNG GIAN VECTƠ 76
1- Khái niệm 76
2- Không gian con 78
Kiểm tra nhận thức 90
Chương IV: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 91
I- KHÁI NIỆM 91
1- Hệ phương trình tuyến tính 91
2- Hệ thuần nhất 92
II- ĐỊNH LÝ 92
III- PHƯƠNG PHÁP GIẢI 98
1- Phương pháp ma trận nghịch đảo 98
2- Phương pháp Cramer 102
3- Phương pháp Gauss 108
Kiểm tra nhận thức 114
Chương V : VECTƠ RIÊNG - GIÁ TRỊ RIÊNG DẠNG SONG TUYẾN - DẠNG TOÀN
PHƯƠNG 115
I- VECTƠ RIÊNG - GIÁ TRỊ RIÊNG 115
1- Định nghĩa 115
2- Định lý 116
II- DẠNG S

ONG TUYẾN V U C 118
1- Định nghĩa C F(V,U)
118
2- Ma trận của dạng song tuyến 120
III- DẠNG TOÀN PHƯƠNG 123
1- Định nghĩa 123
2- Tính xác định của dạng toàn phương 124
3- Dạng chính tắc của dạng toàn phương 125
4- Phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc 125
5- Luật quán tính 132
IV- ĐƯỜNG BẬC HAI - MẶT BẬC HAI 132
1- Đường bậc hai 133
2- Mặt bậc hai 134
Kiểm tra nhận thức 141
Chương VI: KHÔNG GIAN EUCLID - KHÔNG GIAN UNITA 142
I- KHÁI NIỆM
142
1- Không gian Euclid 142
2- Không gian Unita 142
3- Độ dài của vectơ trong không gian Euclid 143

5
4- Góc giữa 2 vectơ trong không gian Euclid 143
5- Hai vectơ vuông góc với nhau trong không gian Euclid 143
II- CƠ SỞ TRỰC CHUẨN 147
1- Hình chiếu vuông góc 147
2- Cơ sở trực chuẩn 151
3- Phần bù trực giao 153
Kiểm tra nhận thức 158

6

Chương I : TRƯỜNG SỐ PHỨC

I- KHÁI NIỆM VỀ SỐ PHỨC
1- Đặt vấn đề
Trong thực tế có nhiều bài toán dẫn đến phương trình không có nghiệm thực, chẳng
hạn
x
2
+ 1 = 0 (1.1.1)
Vì vậy chúng ta cần mở rộng khái niệm về số, từ tập hợp các số thực ra tập hợp các
số có tính chất tổng quát hơn - đó là tập hợp các số phức, mà chúng ta sẽ đề cập sau
đây.
2- Đơn vị ảo
Đơn vị ảo, được ký hiệu là i, là một số thoả mãn điều kiện
i
2
= – 1 (1.1.2)
Lúc này phương trình (1.1.1) được giải như sau
x
2
+ 1 = 0 ⇔ x
2
= – 1 ⇔

x = 1
±
− ⇔ x =

2
i± ⇔ x = ± i
3- Số phức
Số phức Z là một số được biểu diễn dưới dạng
Z = a + ib ; a , b ∈ Ρ - Tập hợp các số thực (1.1.3)
trong đó a được gọi là phần thực của số phức Z và được ký hiệu
a = ReZ (1.1.4)
còn b được gọi là phần ảo của số phức Z và được ký hiệu
b = ImZ (1.1.5)
Ví dụ 1
1) Z = 1 – 2i ⇔ ReZ = 1, ImZ = – 2
2) Z = – 0,5 + i ⇔ ReZ = – 0,
5 , ImZ = 1
4- Số thuần ảo
Số thuần ảo là số phức có dạng Z = ib (a = 0)
Số thực Z = a là trường hợp riêng của số phức Z = a + ib khi b = 0. Như vậy Ρ ⊂
Χ - Tập hợp các số phức.
(Tập hợp các số thực là tập con của Tập hợp các số phức)
Ví dụ 2
Z = – i , Z = 3i là các số thuần ảo.
5- Ha
i số phức bằng nhau
Hai số phức bằng nhau là hai số phức có phần thực tương ứng bằng nhau, phần ảo
tương ứng bằng nhau.
Như vậy với hai số phức Z
1
= a
1
+ ib
1

, Z
2
= a
2
+ ib
2
; a
1
, b
1
, a
2
, b
2
∈ Ρ
Z
1
= Z
2
⇔
12
12
aa
bb
=
=
⎧
⎨
⎩
(1.1.6)

Ví dụ 3
1) Z
1
= 1 – 2i, Z
2
= 1 + i, Z
3
= – 2i, Z
4
= 3 – i ⇒ Z
1
≠ Z
2
≠ Z
3
≠ Z
4

2)
Z 0,5 i
Z 0,5 iy
Z x i
=− +
=− +
=+
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩

; x , y∈ Ρ ⇒
x 0,5
y 1
=−
=
⎧
⎨
⎩

Từ định nghĩa hai số phức bằng nhau ta có

7
Z = a + ib ≠ 0 ⇔ a
2
+ b
2
> 0 (1.1.7)
( 0 = 0 +i.0)
6- Hai số phức liên hợp với nhau
Hai số phức liên hợp với nhau là hai số phức có phần thực tương ứng bằng nhau,
phần ảo tương ứng đối dấu với nhau.
Như vậy số phức liên hợp với số phức Z = a +ib, ký hiệu là
Z
, sẽ là
Z
= a – ib.
Ví dụ 4
1) Z = 1 – 2i ⇔
Z
= 1 + 2i

2) Z = – 0,5 + i ⇔
Z
= – 0,5 – i
3) Z = 4 ⇔
Z
= 4
4) Z = – i ⇔
Z
= i
Dễ dàng nhận thấy

Z
Z= (1.1.8)
Z ∈ Ρ ⇔
Z
= Z (1.1.9)
7- Biểu diễn số phức trên mặt phẳng
Cho hệ trục toạ độ vuông góc x0y.
Cho số phức Z = a + ib. y Trục ảo
Trên trục 0x xác định một điểm có hoành độ bằng a. b M
Trên trục 0y xác định một điểm có tung độ bằng b.
Như vậy ta hoàn toàn xác định được một điểm M(a;b). Trục thực
Ngược lại, từ một điểm
M(a,b) ta xác định được một 0 a x
số phức tương ứng Z = a + ib.
Vì vậy trục 0x còn gọi là Trục thực (tương ứng với phần thực a của số phức Z),
trục 0y còn gọi là Trục ảo(tương ứng với phần ảo b của số phức Z). Mặt phẳng x0y
còn gọi là Mặt phẳng phức.
Ví dụ 5 y Trục ảo
1) Z

1
= 1 – 2i ⇔ M
1
(1 ; – 2) M
2
1
2) M
2
(– 2 ; 1) ⇔ Z
2
= – 2 + I 1 4 Trục thực
3) Z
3
= 4 ⇔ M
3
(4 ; 0) – 2 – 1 M
4
M
3
x
4) M
4
(0 ; – 1) ⇔ Z
4
= – i – 2 M
1

8- Dạng lượng giác của số phức
Trước tiên ta biểu diễn số phức Z = a + ib trên mặt phẳng.
Bán kính vectơ OM được gọi là Môđun của số phức Z và ký hiệu y Trục ảo

⎜Z⎜≡ r = OM (1.1.10) M
Góc tạo bởi OM với phần dương trục 0x được gọi là b
Argument của số phức Z và ký hiệu ArgZ.
Như vậy r ϕ x

ArgZ = ϕ + 2kπ ; k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . (1.1.11) 0 aTrục thực
Từ hình vẽ ta thấy

a rcos
b
rsin
ϕ
ϕ
=
=
⎧
⎨
⎩
. (1.1.12)
Cho nên Z = a + ib = rcosϕ + irsinϕ .
Vậy ta có cách biểu diễn số phức Z dưới dạng lượng giác như sau
Z = r(cosϕ + i sinϕ) (1.1.13)
Dễ dàng nhận thấy

8
Z ≠ 0 ⇔ r > 0 (1.1.14)
(0 = 0(cosϕ + i sinϕ ))
r
1
(cosϕ

1
+ i sinϕ
1
) = r
2
(cosϕ
2
+ i sinϕ
2
) ⇔ (1.1.15)
Ngược lại, ta sẽ tìm được r và ϕ khi đã cho số phức Z = a + ib, theo công thức

22
r a
tg , a 0
b
b
a
ϕ
=+
=≠
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
(1.1.16)
ở đây góc ϕ phải chọn sao cho b và sinϕ cùng dấu.
Dạng lượng giác tổng quát của số phức Z là
Z = ⎜Z⎜[cos(ArgZ) + i.sin(ArgZ)] (1.1.17)

Ví dụ 6
1) Hãy biểu diễn Z = 1 + i
3 dưới dạng lượng giác.
Giải

r =
22
ab+ =
()
2
2
13+ = 2 Trục sin 3 Trục tang
tgϕ =
3
3
1
b
a
== ⇒ ϕ
1
=
3
π
, ϕ
2
= ϕ
1
+ π =
4
3

π
ϕ
1

tgϕ =
3
3
1
b
a
== ⇒ ϕ
1
=
3
π
, ϕ
2
= ϕ
1
+ π =
4
3
π
0
Trên trục tang xác định một điểm ứng với
3 . . ϕ
2

Nối điểm này với gốc 0 cắt vòng tròn lượng giác tại 2 điểm ứng với ϕ
1

, ϕ
2

Ta chọn ϕ
1
vì sinϕ
1
=
3
2
> 0 cùng dấu với b = 3 > 0.
Vậy Z = 2
cos 2 sin 2
33
kis k
ππ
ππ
++ +
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
; k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . .
2) Hãy biểu diễn Z = 1 – i dưới dạng lượng giác. Trục sin Trục tang
Giải ϕ
2

r =

22
ab+ =
22
1(1) 2+− =
tgϕ =
1
1
1
b
a
==−
−
⇒ ϕ
1
= arctg(– 1) , ϕ
2
= ϕ
1
+ π 0 ϕ
1

Vẽ vòng tròn lượng giác. -1
Trên trục tang xác định một điểm ứng với – 1. Nối điểm này với gốc 0 cắt
– 1
vòng tròn lượng giác tại 2 điểm ứng với ϕ
1
, ϕ
2
. Ta chọn ϕ
1

vì sinϕ
1
< 0 cùng
dấu với b = – 1 < 0.
Vậy Z =
2 [cos(ϕ
1
+ 2kπ ) + i sin(ϕ
1
+ 2kπ )] ; k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . .
3) Khi Z = a , a ∈ Ρ .
Nếu a > 0 thì r = a và ϕ = 0 ( điểm M tương ứng nằm trên phần dương trục
0x).
Z = a[cos(2kπ) + i sin(2kπ)] ; k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . (1.1.18)
Chẳng hạn, dạng lượng giác của Z = 3,1 là Z = 3,1[cos(2kπ ) + i sin(2kπ )]
; k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . .

9
Nếu a < 0 thì r = – a và ϕ = π ( điểm M tương ứng nằm trên phần âm trục 0x).
Z = – a[cos(π + 2kπ ) + i sin(π + 2kπ )] ; k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . (1.1.19)
Chẳng hạn, dạng lượng giác của Z = – 2 là Z = 2[cos(π + 2kπ ) + i sin(π + 2kπ )]
; k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . .
4) Khi Z = ib , b ≠ 0 .
Nếu b > 0 thì r = b và ϕ =
2
π
(điểm M tương ứng nằm trên phần dương trục
0y).
Z = b
cos 2 sin 2

22
ki k
ππ
ππ
++ +
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
; k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . (1.1.20)
Chẳng hạn, dạng lượng giác của Z = 4,5i là Z = 4,5
cos 2 sin 2
22
ki k
ππ
ππ
++ +
⎡
⎤
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎢
⎥
⎝⎠⎝⎠
⎣
⎦
;k =
0 , ± 1 , ± 2 , . . .

Nếu b < 0 thì r = – b và ϕ = –
2
π
(điểm M tương ứng nằm trên phần âm trục 0y).
Z = – b
cos 2 sin 2
22
ki k
ππ
ππ
−+ + −+
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
; k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . (1.1.21)
Chẳng hạn, dạng lượng giác của Z = – i là Z = 1
cos 2 sin 2
22
ki k
ππ
ππ
−+ + −+
⎡
⎤
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎢

⎥
⎝⎠⎝⎠
⎣
⎦
;k=0
, ± 1 , ± 2 , . . .

Dễ dàng nhận thấy

Z
Z= (1.1.22)
Arg
Z
= – ArgZ (1.1.23)

II- CÁC PHÉP TÍNH
1- Cộng và trừ 2 số phức
a- Định nghĩa
Tổng (hoặc Hiệu) của 2 số phức Z
1
, Z
2
, ký hiệu Z
1
+ Z
2
(hoặc Z
1
– Z
2

), là một
số phức có phần thực bằng tổng (hoặc hiệu) phần thực tương ứng, phần ảo bằng tổng
(hoặc hiệu) phần ảo tương ứng.
Như vậy với hai số phức Z
1
= a
1
+ ib
1
, Z
2
= a
2
+ ib
2
; a
1
, b
1
, a
2
, b
2
∈ Ρ ta
có
Z
1
± Z
2
= (a

1
± a
2
) + i(b
1
± b
2
) (1.2.1)
Ví dụ 7
Hãy tính tổng và hiệu của 2 số phức sau đây Z
1
= 1 + 2i, Z
2
= – 2 + i.
Giải
Z
1
+ Z
2
= (1 – 2 ) + i( 2 + 1 ) = – 1 + 3i
Z
1
– Z
2
= (1 + 2 ) + i( 2 – 1 ) = 3 + i
Z
2
+ Z
1
= (– 2 + 1 ) + i(1 + 2 ) = – 1 + 3i

Z
2
– Z
1
= (– 2 – 1 ) + i(1 – 2 ) = – 3 – i
b- Biểu diễn hình học y Trục ảo

* Biểu diễn 2 số phức bằng các điểm tương ứng M
3

10
Z
1
= a
1
+ ib
1
⇔ M
1
(a
1
; b
1
) M
2

Z
2
= a
2

+ ib
2
⇔ M
2
(a
2
; b
2
) M
1

* Áp dụng biểu diễn hình học phép cộng, trừ 2 vectơ
Z
1
+ Z
2
⇔ M
3
( a
1
+ a
2
; b
1
+ b
2
) Trục thực
M
3
là đỉnh đối diện với 0 của hình bình hành 0M

1
M
3
M
2
0 M
4
x
Z
1
– Z
2
⇔ M
4
( a
1
– a
2
; b
1
– b
2
)
M
4
là đỉnh của hình bình hành 0M
2
M
1
M

4
mà M
1
là đỉnh đối diện với 0.


Ví dụ 8
Hãy biểu diễn hình học tổng và hiệu của 2 số phức sau đây Z
1
= 1 + 2i, Z
2
= – 2 +
i.
Giải
* Biểu diễn hình học của Z
1
, Z
2
:
Z
1
= 1 + 2i ⇔ M
1
(1 ; 2)
Z
2
= – 2 + i ⇔ M
2
(– 2 ; 1) .
* Biểu diễn hình học của Z

1
+ Z
2
, Z
1
– Z
2
: y Trục ảo
Z
1
+ Z
2
= –1 + 3i ⇔ M
3
(– 1 , 3 ) M
3

Z
1
– Z
2
= 3 + i ⇔ M
4
( 3 , 1 ) 3


c- Tính chất 2 M
1

1* Giao hoán: Z

1
+ Z
2
= Z
2
+ Z
1
; ∀ Z
1
, Z
2
∈ Χ M
2
M
4

M
4

2* Kết hợp: (Z
1
+ Z
2
) + Z
3
= Z
1
+ (Z
2
+ Z

3
) = -2 -1 0 1 3
Z
1
+ Z
2
+ Z
3
∀ Z
1
, Z
2
, Z
3
∈ Χ
3* Với số không 0 ∈ Χ: Z

+ 0 = 0 + Z

; ∀ Z

∈ Χ
4* Số đối của số phức Z = a + ib , ký hiệu là – Z , là số phức thoả mãn điều kiện
Z

+ (– Z

) = (– Z

) + Z

= Z – Z = 0 ; ∀ Z

∈ Χ
Dễ dàng nhận thấy

– Z = – a – ib (1.2.2)

Z
Z−= (1.2.3)
– (– Z) = Z . (1.2.4)
Arg(– Z) = ArgZ + π (1.2.5)
5* Bất đẳng thức tam giác:
12 1 2
Z
ZZZ±≤+ ; ∀ Z
1
, Z
2
∈ Χ
6* Z +
Z
= 2ReZ ; ∀ Z ∈ Χ
7*
12 12
Z
ZZZ±=± ; ∀ Z
1
, Z
2

∈ Χ
8* – (Z
1
± Z
2
) = – Z
1
m Z
2
; ∀ Z
1
, Z
2
∈ Χ
2- Nhân 2 số phức
a- Định nghĩa
Tích của 2 số phức Z
1
, Z
2
, ký hiệu Z
1
Z
2
, là một số phức thu được như nhân 2 nhị
thức, với chú ý là i
2
=– 1
Như vậy với hai số phức Z
1

= a
1
+ ib
1
, Z
2
= a
2
+ ib
2
; a
1
, b
1
, a
2
, b
2
∈ Ρ ta có
Z
1
Z
2
= (a
1
+ ib
1
)( a
2
+ ib

2
) = a
1
a
2
+ ia
1
b
2
+ ia
2
b
1
+ i
2
b
1
b
2
= a
1
a

2
+ i(a
1
b
2
+ a
2

b
1
) – b
1
b
2

Cuối cùng ta được
Z
1
Z
2
= (a
1
a
2
– b
1
b
2
) + i(a
1
b
2
+ a
2
b
1
) (1.2.6)

11
Ví dụ 9
Hãy tìm tích của 2 số phức sau đây Z
1
= 1 + 2i , Z
2
= – 2 + i.
Giải
Z
1
Z
2
= (1 + 2i)( – 2 + i) = 1.( – 2) + i.1.1 + i.2. (– 2)

+ i
2
.2.1 = – 2
+ i(1 – 4) – 2 = – 4 – 3i
b- Dạng lượng giác
Giả sử 2 số phức Z
1
, Z
2
đã cho dưới dạng lượng giác: Z
1
= r
1
(cosϕ
1
+ i sinϕ

1
) ,
Z
2
= r
2
(cosϕ
2
+ i sinϕ
2
) .
Lúc ấy
Z
1
Z
2
= r
1
(cosϕ
1
+ i sinϕ
1
) r
2
(cosϕ
2
+ i sinϕ
2
)
= r

1
r
2
(cosϕ
1
cosϕ
2
+ icosϕ
1
sinϕ
2
+ i cosϕ
2
sinϕ
1
+ i
2
sinϕ
1
sinϕ
2
)
= r
1
r
2
[(cosϕ
1
cosϕ
2

– sinϕ
1
sinϕ
2
) + i(cosϕ
1
sinϕ
2
+ cosϕ
2
sinϕ
1
)]
Cuối cùng ta có
Z
1
Z
2
= r
1
r
2
[cos(ϕ
1
+ ϕ
2
) + isin(ϕ
1
+ ϕ
2

)] (1.2.7)
Như vậy, Tích 2 số phức dưới dạng lượng giác là một số phức dưới dạng lượng
giác có:Môđun bằng tích 2 Môđun tương ứng và Argument bằng tổng 2 Argument
tương ứng.
Từ đó ta thu được Công thức Moivre sau đây
[r(cosϕ + isinϕ)]
n
= r
n
(cosnϕ + isinnϕ) (1.2.8)
Chú ý
Công thức Moivre đúng cho n = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . với r > 0.
(Hiển nhiên Công thức Moivre vẫn đúng cho n = 0 , 1 , 2 , . . . với r = 0)
Ví dụ 10
Tìm tích 2 số phức sau đây dưới dạng lượng giác Z
1
= 2 + i 2 , Z
2
=
3cos sin
33
i
ππ
−+ −
⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦

Giải
* Biểu diễn Z
1
dưới dạng lượng giác
Z
1
= 2
22
22
i+
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
= 2 cos sin
44
i
π
π
+
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦

* Ta tính được
Z
1

Z
2
= 2 3cos sin
43 43
i
ππ ππ
−+ −
⎡
⎤
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎢
⎥
⎝⎠⎝⎠
⎣
⎦
=
2
3cos sin
12 12
i
ππ
−+ −
⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦

* Hơn nữa, theo cụng thức Moivre ta cú

4
1
Z = 2
4
cos 4. sin 4.
44
i
ππ
+
⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦
= 16(cosπ + isinπ) = – 16

6
1
−
Z = 2
- 6
cos 6. sin 6.
44
i
ππ
−+−
⎡

⎤
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
⎢
⎥
⎝⎠ ⎝⎠
⎣
⎦
=
13 3
1
cos sin
64
64 2 2
i
ππ
−+ − =
⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦

c- Tính chất

12
1* Giao hoán: Z
1
Z

2
= Z
2
Z
1
; ∀ Z
1
, Z
2
∈ Χ
2* Kết hợp: (Z
1
Z
2
)Z
3
= Z
1
(Z
2
Z
3
) = Z
1
Z
2
Z
3
; ∀ Z
1

, Z
2
, Z
3
∈ Χ
3* Phân phối với phép cộng 2 số phức: (Z
1
± Z
2
)Z
3
= Z
1
Z
3
± Z
2
Z
3


; ∀ Z
1
,
Z
2
, Z
3
∈ Χ
4* Với số một 1 ∈ Χ (1 = 1 + i.0): Z.1 = 1.Z = Z

; ∀ Z

∈ Χ
5* Số phức nghịch đảo của số phức Z = a + ib ≠ 0 , ký hiệu là Z
- 1
, là số phức thoả
mãn điều kiện:
Z Z
– 1
= Z
– 1
Z = 1 ; ∀ Z

≠ 0 , Z ∈ Χ (1.2.9)
Dễ dàng nhận thấy
Z = a + ib ≠ 0 ⇔ Z
– 1
=
22 22
ab
i
ab ab
−
++
(1.2.10)
(Z
– 1
)
– 1

= Z (1.2.11)
(Z
1
Z
2
)
– 1
= Z
1
– 1
Z
2
– 1
(1.2.12)

1
1
Z
Z
−
=
. (1.2.13)
Arg Z
– 1
= – Arg Z (1.2.14)
6*
12 1 2
.
Z
ZZZ= ; ∀ Z

1
, Z
2
∈ Χ
7* Với Z = a + ib ta có:

2
22
()
Z
ZZZZab−= = =+ (1.2.15)
3- Chia số phức cho số phức
a- Định nghĩa
Thương của 2 số phức Z
1
, Z
2
, ký hiệu
1
2
Z
Z
(khi Z
2
≠ 0), là một số phức thỏa mãn

1
2
Z
Z

.Z
2
= Z
2
.
1
2
Z
Z
= Z
1
(1.2.16)
Như vậy với hai số phức Z
1
= a
1
+ ib
1
, Z
2
= a
2
+ ib
2
≠ 0; a
1
, b
1
, a
2

, b
2
∈ Ρ ta
có

11212 1221
22 22
222 22
Z
aa bb ab ab
i
Zab ab
+−+
=+
++
(1.2.17)
Dễ dàng kiểm tra lại

1
2
Z
Z
.Z
2
= a
1
+ ib
1
= Z
1

Công thức (1.2.17) rất khó nhớ. Khi thực hành, để tìm
1
2
Z
Z
ta nhân cả tử và mẫu
với
2
Z
. Thật vậy

1
2
Z
Z
=
12
22
Z
Z
ZZ
=
()( )
1122
22
22
aibaib
ab
+−

+
=
2
12 12 21 12
22
22
aa iab iab i bb
ab
−+−
+
=
12 12 12 21
22 22
22 22
aa bb ab ab
i
ab ab
+−+
+
++

.
Dễ dàng nhận thấy

22
1
;,
xiy
x
y

xiy x y
−
=∈
++
Ρ , x
2
+ y
2
> 0
Ví dụ 11

13
Tìm thương
1
2
Z
Z
của 2 số phức Z
1
= 1 – 2i, Z
2
= 2 + i.
Giải

1
2
Z
Z
=
12

22
Z
Z
ZZ
=
(
)
(
)
22
12 2
21
ii
−
−
+
=
(
)
(
)
22
12 2
21
ii
−
−
+
= – i
b- Dạng lượng giác

Giả sử 2 số phức Z
1
, Z
2
đó cho dưới dạng lượng giác: Z
1
= r
1
(cosϕ
1
+ i sinϕ
1
), Z
2

= r
2
(cosϕ
2
+ i sinϕ
2
) ≠ 0
Nếu ta đặt

1
2
Z
Z
= r(cosϕ + i sinϕ)
thì

Z
1
=
1
2
Z
Z
.Z
2
= r.r
2
[cos(ϕ + ϕ
2
) + isin(ϕ + ϕ
2
)]
Vì
Z
1
= r
1
(cosϕ
1
+ i sinϕ
1
)
cho nên
r.r
2
= r

1
⇒ r =
1
2
r
r
; ϕ + ϕ
2
= ϕ
1
⇒ ϕ = ϕ
1
– ϕ
2

Vậy

1
2
Z
Z
=
1
2
r
r
[cos(ϕ
1
– ϕ
2

) + isin(ϕ
1
– ϕ
2
)] (1.2.18)
Như vậy dưới dạng lượng giác, Thương của 2 số phức là một số phức có Mụđun
bằng thương Mụđun của số phức tử số cho Mụđun của số phức mẫu Argument bằng
hiệu Argument của số phức tử số cho Argument của số phức mẫu số
Ví dụ 12
Tìm thương
1
2
Z
Z
của 2 số phức sau đây dưới dạng lượng giác
Z
1
= 2 cos sin
44
i
π
π
+
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
, Z
2
= 3cos sin
33

i
ππ
−+ −
⎡
⎤
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
⎢
⎥
⎝⎠ ⎝⎠
⎣
⎦

.Giải

1
2
Z
Z
=
2
cos sin
43 43
3
i
ππ ππ
++ +
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟

⎢⎥
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
=
77
2
cos sin
12 12
3
i
π
π
+
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦

c- Tính chất

1* Z
– 1
=
Z
1
, ∀ Z ∈ Χ, Z ≠ 0
2*
1

12
21
Z
Z
Z
Z
−
=
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
; ∀ Z
1
, Z
2
∈ Χ, Z
1
≠ 0, Z
2
≠ 0
3*
1
12 2
333
Z
ZZZ
Z
ZZ
±
=±

; ∀ Z
1
, Z
2
, Z
3
∈ Χ, Z
3
≠ 0

14
4*
3
1
24
Z
Z
Z
Z
=
⇔ Z
1
Z
4
= Z
2
Z
3
; ∀ Z
1

, Z
2
, Z
3
, Z
4
∈ Χ, Z
2
≠ 0, Z
4
≠ 0
5*
13
1
2
2
3
Z
Z
Z
Z
Z
Z
=
; ∀ Z
1
, Z
2
, Z
3

∈ Χ, Z
2
≠ 0, Z
3
≠ 0
6*
11 1
222
Z
ZZ
Z
ZZ
−
==−
−
; ∀ Z
1
, Z
2


∈ Χ, Z
2
≠ 0
7*
11
2
2

Z
Z
Z
Z
=
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
; ∀ Z
1
, Z
2


∈ Χ, Z
2
≠ 0
4- Căn bậc n của số phức
a- Định nghĩa
Căn bậc n của số phức Z, ký hiệu là
n
Z
, là một số phức thỏa mãn điều kiện

(
)
n
n
Z
= Z (1.2.19)

b- Dạng lượng giác
Giả sử dưới dạng lượng giác
Z = r(cosϕ + i sinϕ),
n
Z
= r
1
(cosϕ
1
+ i sinϕ
1
)
Lúc này
r(cosϕ + i sinϕ) = [r
1
(cosϕ
1
+ i sinϕ
1
)]
n
= r
1
n
(cosnϕ
1
+ i sinnϕ
1
)
Vì vậy

r
1
n
= r ⇔ r
1
=
n
r ; nϕ
1
= ϕ + 2kπ ⇔ ϕ
1
=
2k
n
ϕ
π
+
; k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . .
Cuối cùng ta được

n
Z
=
n
r
22
cos sin
kk
i
nn

ϕ
πϕπ
++
+
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
; k = 0, ± 1, ± 2 , . . .
Thu gọn lại, ta có công thức cho n giá trị khác nhau của căn bậc n của số phức Z:

n
Z
=
n
r
22
cos sin
kk
i
nn
ϕ
πϕπ
++
+
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦

; k = 0, 1, . . . ,n – 1 (1.2.20)
Ví dụ 13 Trục sin 1 Trục tang
1) Tìm
3
1 i+ . ϕ
1

Giải
* Biểu diễn 1 + i dưới dạng lượng giác r =
22 22
11 2ab+= +=
. 0
tgϕ =
1
1
1
b
a
=
= ⇒ ϕ
1
=
4
π
, ϕ
2
= ϕ
1
+ π =
5

4
π
ϕ
2

Vẽ vòng tròn lượng giác. Trên trục tang xác định một điểm ứng với 1. Nối điểm
này với gốc 0 cắt vòng tròn lượng giác tại 2 điểm ứng với ϕ
1
,ϕ
2
. Ta chọn ϕ
1
vì sinϕ
1
=
2
2
> 0 cùng dấu với b = 1 > 0.
Vậy
1 + i =
2cos sin
44
i
π
π
+
⎡
⎤
⎢
⎥

⎣
⎦

* Áp dụng công thức (1.2.20)

15

3
3
1+i 2 cos sin
44
i
π
π
=+
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

3
22
44
2cos sin
33
kk
i
ππ
π
π
++

=+
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

k = 0, 1, 2 (vì n –
1 = 3 – 1 = 2)
Như vây
3
1+i có ba giá trị khác nhau
k = 0:
6
2cos sin
12 12
i
π
π
+
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦

k = 1:
66
22

99
44
2cos sin 2cos sin
3 3 12 12
ii
ππ
ππ
π
π
++
+=+
⎛⎞
⎜⎟
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎜⎟
⎝⎠

k = 2:
66
2.2 2.2
17 17
44
2cos sin 2cos sin
3 3 12 12
ii
ππ
ππ

π
π
++
+=+
⎛⎞
⎜⎟
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎜⎟
⎝⎠

2) Tìm
1 i− .
Giải

1 i− =
22
2
22
i−
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
= 2cos sin
44
i
ππ
−+ −

⎡
⎤
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
⎢
⎥
⎝⎠ ⎝⎠
⎣
⎦

=
4
22
44
2cos sin
22
kk
i
ππ
π
π
−+ −+
+
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
, k = 0, 1 (vì n – 1 = 2
– 1 = 1)

Như vậy
1 i− có hai giá trị khác nhau
k = 0:
4
2cos sin
88
i
π
π
⎡
⎤
⎛⎞ ⎛⎞
−+ −
⎢
⎥
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎣
⎦

k = 1:
44
22
77
44
2cos sin 2cos sin
22 88
ii
ππ
ππ

π
π
⎡⎤
−+ −+
⎢⎥
⎡
⎤
+=+
⎢⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎢⎥
⎣⎦
.
3) Tính
5
3 .
Giải

5
3 =
5
5
22
3(cos 0 sin 0) 3 cos sin
55
kk
ii

π
π
⎛⎞
+= +
⎜⎟
⎝⎠

k = 0, 1, 2, 3, 4 (vì n – 1 = 5 – 1
= 4)
4) Tính
8
2i−
.
Giải

8
2i− =
8
2cos sin
22
i
ππ
−+ −
⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦
=

8
22
22
2cos sin
88
kk
i
ππ
π
π
−+ −+
+
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠


16
k = 0, 1, . . . ,7 (vì
n – 1 = 8 – 1 = 7)
Chú ý
1) Khi tìm
Z
aib=+ ta có thể thực hiện bằng cách khác như sau
Tìm c, d ∈ R thoả mãn
aib+ = c + id.
Thật vậy, bình phương 2 vế ta được a + ib = (c + id)
2

= c
2
+2icd + i
2
d
2
.
Giải hệ
22
2
cd a
cd b
−=
=
⎧
⎨
⎩
ta sẽ tìm được c, d và như vậy

aib+ = ±
22 22
22
aba aba
i
++ +−
+
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

, khi b ≥ 0 (1.2.21)

aib+
= ±
22 22
22
aba aba
i
++ +−
−
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
, khi b < 0 (1.2.22)
Ví dụ 14
Tìm
1 i+ .
Giải
Vì b = 1 > 0 cho nên theo công thức (1.2.21) ta tìm được 2 giá trị khác nhau của
1 i+


1 i+ = ±
22 22
111 111
22
i
++ +−
+

⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
= ±
21 21
22
i
+−
+
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

2) Khi giải phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) ta vẫn sử dụng công thức
nghiệm
x
1,2
=
2
4
2
bb ac
a
−± −

Ví dụ 15

1) Giải phương trình x
2
+ 2x + 3 = 0.
Giải
Ta có 2 nghiệm
x
1,2
=
2
2 2 4.1.3
2.1
−± −
= – 1 ± 2
−
= – 1 ± i 2−
2) Giải phương trình x
2
– 2x + 3 = 0.
Giải
Ta có 2 nghiệm
x
1,2
=
2
2 ( 2) 4.1.3
1212
2.1
i
±− −
=±−=±

3) Giải phương trình (1 + i)x
2
– 2ix + 3 = 0 .
Giải
x
1,2
=
2
2(2)4.(1).3 43
2.(1 ) 1
ii ii i
ii
±− − + ±−−
=
++

Trước tiên ta tìm
43i−− với b = – 3 < 0 theo công thức (1.2.22)

17

43i−−
= ±
22 22
(4) (3) (4) (4) (3) (4)
19
2222
ii
⎛⎞
⎛⎞

−+−+− −+−−−
⎜⎟
−=±−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎜⎟
⎝⎠

Vậy
x
1,2
=
43
1
ii
i
±−−
+
=
()
1
13
2
1
ii
i
±−
+
=

1
1( 2 3)
2
1
i
i
±+±−
+
⎡
⎤
⎣
⎦
=
22
1
1( 2 3) (1 )
2
11
ii
±
+± − −
+
⎡⎤
⎣⎦

Từ đây ta tìm được 2 nghiệm của phương trình đã cho
x
1
=
()

[]
()()
[]
11
11 1
123(1) 22 24 2
22
2
22 22
ii i i
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
+− −= −+−=− +−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠

x
2
=
()
[]
()()
[]
11
12 1
1 23 (1 ) 22 24 2
22 2

22 22
ii i i
⎛⎞
⎛⎞
− +− − −= ++ + = + ++
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠

3) Tương ứng với n giá trị khác nhau của
1
n
là n đỉnh của đa giác đều nội tiếp
vòng tròn đơn vị mà một đỉnh là M
0
(1 ; 0 ).

III- TRƯỜNG SỐ PHỨC
Ta nhận thấy rằng, trên Ρ và rộng hơn là trên Χ xác định 2 phép tính: Phép cộng 2
số và phép nhân 2 số với các tính chất tương ứng. Vì vậy ta có ý tưởng Tổng quát hóa
điều này cho tập hợp các phần tử (có cùng đặc trưng) . Đó là khái niệm“ Trường “ mà
chúng ta sẽ xét dưới đây.
Định nghĩa
Tập hợp T được gọi là Trường nếu trên T xác định 2 phép tính sau đây với các tính
chât tương ứng.
Phé
p cộng 2 phần tử của T: ∀ x, y ∈ T ⇒ x + y ∈ T với các tính chất:
1* Giao hoán: x + y = y + x ; ∀ x, y ∈ T
2* Kết hợp: (x + y) + z = x + (y + z) = x + y + z

; ∀ x, y, z ∈ T
3* Tồn tại “ Phần tử không “, ký hiệu là 0 ∈ Τ, thoả mãn điều kiện x

+ 0 = 0 + x
= x; ∀ x

∈ T
4* Tồn tại “ Phần tử đối “ của x ∈ T, ký hiệu là – x ∈ T, thoả mãn điều kiện
x

+ (– x

)= (– x

) + x = 0 ; ∀ x

∈ T
Phép nhân 2 phần tử của T: ∀ x, y ∈ T ⇒ xy ∈ T với các tính chất:
1* Giao hoán: xy = yx ; ∀ x, y ∈ T
2* Kết hợp: (xy)z = x(yz) = xyz

; ∀ x, y, z ∈ T
3* Phân phối với phép cộng 2 phần tử của T: (x + y )z = xz + yz ; ∀ x, y, z ∈ T
4* Tồn tại “ Phần tử trung hòa “, ký hiệu là e ∈ T, thoả mãn điều kiện x.e = e.x =
x

; ∀ x

∈ T

5* Tồn tại “ Phần tử nghịch đảo “ của x ∈ T, x ≠ 0, ký hiệu là x
– 1
∈ T, thỏa
mãn
x x
– 1

= x
– 1
x = e ; ∀ x

∈ T
Ví dụ 16

18
1) T = Ρ - Trường số thực với phép cộng 2 số thực và phép nhân 2 số thực, trong
đó Phần tử không là số 0, Phần tử đối của số thực x là – x, Phần tử trung hoà là số 1,
Phần tử nghịch đảo của số thực x ≠ 0 là
1
x
.
2) T = Χ - Trường số phức với phép cộng 2 số phức và phép nhân 2 số phức trong
đó Phần tử không là số 0, Phần tử đối của số phức Z là – Z, Phần tử trung hoà là số 1,
Phần tử nghịch đảo của số phức Z ≠ 0 là
1
Z
.
3) Τ là tập hợp các hàm thực f(x) có hữu hạn điểm gián đoạn và nghiệm trên [a;b]
với phép cộng 2 hàm và phép nhân 2 hàm là một Trường vì
* f(x), g(x) ∈ T thì f(x) + g(x) ∈ T cùng các tính chất, trong đó Phần tử không là

f(x) ≡ 0 ∈ T, Phần tử đối của f(x) ∈ T là – f(x) ∈ T.
* f(x), g(x) ∈ T thì f(x).g(x) ∈ T cùng các tính chất, trong đó Phần tử trung hoà là
f(x) ≡ 1 ∈ T, Phần tử nghịch đảo của f(x) ≠ 0 và f(x) ∈ T là
1
()
f
x
∈ T.
4) Tập hợp TH = {ib : b
∈
Ρ} - tập hợp tất cả các số thuần ảo, với phép cộng là
phép cộng 2 số phức và phép nhân là phép nhân 2 số phức, không phải là một trường.
Thật vậy, vì 2i ∈ TH, 5i ∈ TH nhưng 2i.5i = 10i
2
= – 10 ∉ TH.
Như vậy, để chứng tỏ một tập hợp, với 2 phép tính được xác định, không phải là
một trường, ta chỉ cần chỉ ra một điều kiện nào đó trong định nghĩa không thoã mãn là
đủ.

Bài tập

1) Tìm x, y, z, w ∈ Ρ thoả mãn:
a) (1 + 2i)x + (3 – 5i)y = 1 – 3i b) (– 1 +
2i)x + (4 + 5i) = y + 3i
c)
(1 ) (2 3 ) 4(1 ) 5
(3 2 ) 2(1 )
ix y i iz i
iy z iw x i
+− −+−=+

−+−+=−
⎧
⎨
⎩
. d)
1()
x
iy z iw x iy z iw i
yw
tg tg
xz
+−+ = +++ =
=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩

2) Thực hiện các phép tính:
a) (2 + 3i) + (4 – i) b) (– 5 + 6i) – (7 + 8i) c) (3 + 5i)(4 – i)
d) (6 + 11i)(7 + 3i) e) (4 – 7i)
2
f) (– 2 + 3i)
3

g)
3
45
i

i
−
+
h)
45
3
i
i
+
−
i)
4
i j)
5
i
−

k)
512i−− l)
6
13i− m)
(
)
()
(
)
()
15 15
20 20
13 13

11
ii
ii
−−−
+
−+

n)
7
22i−

3) Đưa các số phức sau đây về dạng lượng giác:

19
a) – 7 b) 8 c) 4i d) – 5i e) 2 + 2i f) 2 – 2i g) 2 + i 3 h) 1 – i
i) – sin
8
π
– icos
8
π

4) Sử dụng công thức Moivre để biểu diễn các biểu thức sau đây:
a) cos2x , sin2x và cos4x , sin4x theo luỹ thừa của cosx , sinx ; x ∈ Ρ
b) tg6x theo luỹ thừa của tgx ; x ∈ Ρ
5) Giải các phương trình sau đây:
a) x
2
+ x + 1 = 0 b) x
2

– x + 1 = 0 c)
x
2
– (2 + i)x – 1 + 7i = 0
d) x
2
– (3 – 2i)x + 5 – 7i = 0 e) x
4
– 3x
2
+ 4 = 0 f) x
4

+ 2x
3
+ 3x
2
+ 4x + 2 = 0
g) x
4
+ 6x
3
+ 9x
2
+ 100 = 0
h)⎮x⎮
2
+ (1 + i)x + i = 0
6) Tính w
1

n
+ w
2
n
với n là số nguyên dương, trong đó w
1
=
13
22
i−+
, w
2
=
13
22
i−−

7) Với n là số nguyên dương, hãy tính:
a) ( 1+ ε)
n
, ε = cos
2
3
π
+ i sin
2
3
π
b) (1 +
cosα + i sinα)

n
, α ∈ Ρ
c)
2
1
1
1
k
n
n
k
e
π
−
=
∏
−
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
biết rằng e
ia
= cosa + isina ; a ∈ Ρ d)
5
1
0
22
cos sin
n
k

kk
i
nn
ππ
−
=
∑
+
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

8) Với ϕ ∈ Ρ và k là số nguyên dương, hãy tính:
A = 1 + cosϕ + cos2ϕ + . . . + coskϕ B =
sinϕ + sin2ϕ + . . . + sinkϕ
9) Chứng minh:
a) Nếu x + iy = (a + ib)
n
; x , y , a , b ∈ Ρ ; n = 1 , 2 , . . . thì x
2
+ y
2
= (a
2
+ b
2
)
n

b) Nếu

aib+ = ± (x + iy) ; x , y , a , b ∈ Ρ thì aib
−
= ± (x – iy)
c) ⎜Z
1
+ Z
2
⎜
2
+ ⎜Z
1
– Z
2
⎜
2
= 2(⎜Z
1
⎜
2
+ ⎜Z
2
⎜
2
)
d)
11
11
n
itgx itgnx
itgx itgnx

++
=
−−
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
; n = 1 , 2 , . . . ; x ∈ Ρ
e) Nếu
1
Z
Z
+ = 2cosθ ; θ ∈ R thì
1
m
m
Z
Z
+ = 2cosmθ ; m = 1 , 2 , . . .
f) Tổng các nghiệm của phương trình 1 + Z + Z
2
+ Z
3
+ Z
4
= 0 bằng – 1
g) cos
2.1.
10
π
+ cos

2.2.
10
π
+ cos
2.3.
10
π
+ . . . + cos
2.9.
10
π
= – 1
sin
2.1.
10
π
+ sin
2.2.
10
π
+ sin
2.3.
10
π
+ . . . + sin
2.9.
10
π
= 0
h)

2 4 6 8 10 12 14 16
16 16 16 16 16 16 16 16
255CCCCCCCC−+−+−+ − + = .
i)
2 4 6 8 10 12 14 16
17 17 17 17 17 17 17 17
CCCCCCCC−+−+− + − +=
13579111315
17 17 17 17 17 17 17 17
CCCCCCCC−+−+ −+ −= 255

20
j) Với z ≠ ± 1: w =
1
1
z
z
+
−
là số thuần ảo ⇔ (Rez)
2
+ (Imz)
2
= 1
k) Với mọi số nguyên n ≥ 1, a ∈ Ρ thì các nghiệm z của phương trình sau đây
đ
ều là thực và khác nhau:

1
1

1
1
n
iz
ia
ia
iz
+
+
=
−
−
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

l) Trong tam giác không vuông ABC : tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
10) Tìm
a) Môđun và Argument của số phức a1) Z =
4
26
13
i
i
+
−
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
a2) Z

t
hoả mãn Z
5
= (1 – i)
3

b) Các số thực a, b, c sao cho
b1) Phương trình (a + 2ib)Z
3
– (2c – ia)Z
2
+ (b + ic)Z – 1 = 0 có nghiệm ± 1
v
à 2
b2) Phương trình Z
2
+ (a + ib)Z + ic = 0
* Chỉ có 1 nghiệm thực duy nhất *
Có đúng 2 nghiệm thực
c) Phần thực , phần ảo của số phức Z = 1 – 2i +
333
22
i+
–
()
()
3
13
1(13)
i

ii
−
−+
.
d) Số tự nhiên n nhỏ nhất để
()
(
)
()
5
4
113
1
n
ii
i
−+
+
là số thực .
11) Trong mặt phẳng x0y xác định các điểm ứng với số phức Z thoả mãn điều
kiện
a) ⎜Z + 2⎜ + ⎜Z – 3⎜ ≤ 4 b) ⎜Z – 1⎜ + ⎜Z + 2⎜ = 5
c) 2Z
Z
+ 3i(Z –
Z
) ≤ 8
12) Chứng minh
a) Tập hợp T các số dạng a + b
3 ; a, b là các số hữu tỷ (với phép cộng 2 số thực

và phép nhân 2 số thực), sẽ là một trường.
b) Tập hợp KT các số dạng a + ib; a, b là các số nguyên (với phép cộng 2 số phức
và phép nhân 2 số phức), không phải là một trường.


Đáp số

1)a) x =
4
11
−
, y =
5
11
b) x = – 1 , y = 5 c) x = 2, y = 0 , z = 1 , w =
1
2
d) ∃ x,y,z,w
2) a) 6 + 2i b) – 12 – 2i c) 17 + 17i d) 9 + 95i e) – 33
– 56i f) 46 + 9i

21
g)
719
41 41
i− h)
719
10 10
i+ . i) cos
2

2
4
k
π
π
+
+ isin
2
2
4
k
π
π
+
; k
= 0 , 1 , 2 , 3
j) cos
2
2
5
k
π
π
−+
+ i sin
2
2
5
k
π

π
−+
; k = 0 , 1 , 2 , 3, 4
k)
23i± m
l)
6
22
33
2cos sin
66
kk
i
ππ
π
π
−+ −+
+
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
; k = 0 , 1 , 2 , 3, 4 , 5
m) 0
n)
7
22
44
22 cos sin

77
kk
i
ππ
π
π
−+ −+
+
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
; k = 0 , 1 , 2 , 3, 4 , 5 , 6
3) a) 7(cosπ + isinπ)
b) 8(cos0 + isin0)
c) 4
cos sin
22
i
π
π
+
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
d) 5 cos sin
22
i
π

π
+
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
e)
2
2 cos sin
22
i
π
π
+
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦

f) 2
2 cos sin
44
i
ππ
−+ −
⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥

⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦
g)
33
7cos sin
22
arctg i arctg+
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦

h)
2 cos sin
44
i
ππ
−+ −
⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦
i) cos
5
8
π

−
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

+ isin
5
8
π
−
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

4) a1) cos2x = cos
2
x – sin
2
x và sin2x = 2sinxcosx .
a2) cos4x = cos
4
x + sin
4
x – 6cos
2
xsin
2
x sin4x =
4(cos
3

xsin x – sin
3
xcosx)
b) cos6x = cos
6
x – 15 cos
4
xsin
2
x + 15 cos
2
xsin
4
x – sin
6
x
sin6x = 6cos
5
xsinx – 20 cos
3
xsin
3
x + 6 cosxsin
5
x tg6x =
246
35
1 15 15
6 20 6
tg x tg x tg x

tgx tg x tg x
−+−
−+

5) a) x
1,2
=
13
22
i−±

b) x
1,2
=
13
22
i±


22
c) x
1,2
=
1 725 7 725 7
2.1
22 2
i
+−
±+
⎡⎤

⎛⎞⎛⎞
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
m d) x
1,2

=
1 481 15 481 15
3.2
22 2
i
−+
±+−±
⎡⎤
⎛⎞⎛ ⎞
⎢⎥
⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜ ⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝ ⎠
⎣⎦

e) x
1,2
= ±
()

1
7
2
i+
x
3,4
= ±
()
1
7
2
i
−
f) x
1,2
=
± i
2 x
3,4
= – 1
g) x
1
= 1 + 2i x
2
= – 4 – 2i x
3
= 1 – 2i x
4
= – 4 + 2i
h) x = a + ib = – 1

6) 2cos
2
3
n
π
.
7) a)
2cos cos i sin
33 3
n
nn
ππ π
+
⎛⎞⎛ ⎞
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
b)
2cos cos i sin
22 2
n
nn n
αα α
+
⎛⎞⎛ ⎞
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠

c) (– 1)
n - 1
n

d- 0 .
8) A =
(1)
sin cos
22
sin
2
kk
ϕ
ϕ
ϕ
+
B
=
(1)
sin sin
22
sin
2
kk
ϕ
ϕ
ϕ
+

10) a) a1) r = ⎢Z ⎢ = 4 ; ArgZ =
2
3
π
+ 2kπ : k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . .

a2) ⎢Z ⎢=
10
8
; Arg Z =
3
2
4
5
k
π
π
−+
+ 2mπ : k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ; m = 0 , ± 1 , ± 2 , . . .
b) b1) Không tồn tại a , b , c .
b2) * Chỉ có 1 nghiệm thực duy nhất : a = 0 , b = 0 , c = 0 * Có 2
n
ghiệm thực : a ≠ 0 , b = 0 , c = 0
c) * ReZ
1
=
9
20
ImZ
1
=
13
510
−
* ReZ
2

=
–
13
20
ImZ
2
=
1113
510
−

d) Không tồn tại n .
11) a)
22
(0,5) 4
1
49
xy−
+≤
b)
22
4( 0,5)
1
25 4
xy+
+
=
c)
22
1

42
xy
−≤


23
Kiểm tra nhận thức

1* Nêu thêm càng nhiều càng tốt dẫn chứng cụ thể cần mở rộng khái niệm số thực
ra số phức.
2* Nêu những điểm giống nhau của số thực và số phức.
3* Nêu những điểm mở rộng của số phức so với số thực.
4* Chứng minh càng nhiều càng tốt các điều Dễ dàng nhận thấy (1.1.8), (1.1.9), . .
.
5* Tại sao Công thức Moivre đúng cho n = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . với r > 0.
(Hiển nhiên Cô
ng thức Moivre vẫn đúng cho n = 0 , 1 , 2 , . . . với r = 0)?
6* Hãy tìm thêm nhiều ví dụ khác chứng tỏ tập hợp T, trên đó xác định 2 phép
tính, sẽ là một Trường hay không phải là một Trường.








Chương II : MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

I- KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN

1- Ma trận cấp m.
n
Ma trận cấp m.n là bảng chữ nhật có m.n số, xếp thành m hàng, n cột, ký hiệu
A ≡ A
m.n
=
1,2,
1,2, ,
jn
ij
im
a
=
=
⎡⎤
⎣⎦
=
11 12 1
21 22 2
12
.


.
n
n
mm mn
aa a
aa a
aa a

⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
(2.1.1)
trong đó a
i j
∈ Χ được gọi là các phần tử của ma trận A ở hàng i, cột j.
2- Ma trận không
Ma trận không là ma trận có các phần tử đều bằng không và được ký hiệu là O (khi
cần thiết thì ta nêu rõ cấp của ma trận không O)
O ≡ O
m x n
=
0 0 0
0 0 0
. .
0 0 0
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥

⎢⎥
⎣⎦
(2.1.2)
3- Hai ma trận bằng nhau
Hai ma trận bằng nhau là 2 ma trận cùng cấp và có các phần tử tương ứng bằng
nhau.
Như vậy với A =
1,2,
1,2, ,
jn
ij
im
a
=
=
⎡⎤
⎣⎦
, B =
1,2,
1,2, ,
jn
ij
im
b
=
=
⎡⎤
⎣⎦

A = B ⇔ a

i j
= b
i j
; i = 1 , 2 , . . . , m ; j = 1 , 2 , . . . , n (2.1.3)
Ví dụ 1

24
1)A =
123
04i−
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
là ma trận cấp 2.3 có phần tử ở hàng 1 cột 2 là a
1 2
= 2, phần tử ở
hàng 2 cột 3 là a
2 3
= i . . .
2) B =
23
04
x
y−
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
là ma trận cấp 2.3.
3) O =
00

00
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
là ma trận không cấp 2.2.
4) O
3x2
≡ O =
00
00
00
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
là ma trận không cấp 3.2.
5) C =
0
0
x
a
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
là ma trận cấp 2.2 có phần tử ở hàng 2 cột 1 là c
2 1
= a . . .
6) D =
1
0

x
a
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
là ma trận cấp 2.2.
6) G =
[
]
1235i+− là ma trận cấp 1.4.
7) A = B ⇔ (x = 1)∧(y = i); A ≠ B ⇔ (x ≠ 1)∨(y ≠ i) mặc dù A, B cùng cấp.
8) C = O ⇔ (x = 0)∧(a = 0); C ≠ O ⇔ (x ≠ 0)∨(a ≠ 0).
9) A ≠ G vì A, G không cùng cấp
(số hàng của A là 2 ≠ số hàng của G là 1, số cột của A là 3 ≠ số cột của G là 4).
10) A ≠ D vì A, D không cùng cấp (số cột của A là 3 ≠ số cột của D là 2).
11) B ≠ C vì B, C không cùng cấp.
(số hàng của B = số hàng của C = 2, số cột của B là 3 ≠ số cột
của C là 2).
12) C ≠ D vì c
11
= 0 ≠ d
11
= 1 mặc dù C, D cùng cấp.
4- Ma trận đối
Ma trận đối của ma trận A, ký hiệu – A, là ma trận cùng cấp với ma trận A và có
các phần tử đối dấu với các phần tử tương ứng của ma trận A.
Như vậy
A =
1,2,
1,2, ,

jn
ij
im
a
=
=
⎡⎤
⎣⎦
⇔ – A =
1,2,
1,2, ,
jn
ij
im
a
=
=
−
⎡⎤
⎣⎦
(2.1.4)
Dễ dàng nhận thấy
– (– A) = A
5- Ma trận chuyển vị
Ma trận chuyển vị của ma trận A, ký hiệu A
C
, là ma trận thu được từ A bằng cách
chuyển hàng thành cột, cột thành hàng.
Như vậy
A =

11 12 1
21 22 2
12
.


.
n
n
mm mn
aa a
aa a
aa a
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⇔ A
C
=
11 21 1
12 22 2
12
.
.

.
m

m
nn mn
aa a
aa a
aa a
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
(2.1.5)
Dễ dàng nhận thấy
(A
C
)
C
= A
Ví dụ 2