bài tập môn đại số tuyến tính có lời giải chi tiết

SÁCH HNG DN HC TP
TOÁN CAO CP (A2)
(Dùng cho sinh viên h đào to đi hc t xa)
Lu hành ni b









HÀ NI - 2006

=====(=====
HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG
Gii thiu môn hc


5

0. GII THIU MÔN HC
1. GII THIU CHUNG:
Toán cao cp A
1
, A
2
, A
3
là chng trình toán đi cng dành cho sinh viên
các nhóm ngành toán và nhóm ngành thuc khi k thut. Ni dung ca toán cao
cp A
1
, A
3
ch yu là phép tính vi tích phân ca hàm mt hoc nhiu bin, còn
toán cao cp A
2
là các cu trúc đi s và đi s tuyn tính. Có khá nhiu sách giáo
khoa và tài liu tham kho vit v các ch đ này. Tuy nhiên vi phng thc đào
to t xa có nhng đc thù riêng, đòi hi hc viên làm vic đc lp nhiu hn, do
đó cn phi có tài liu hng dn hc tp thích hp cho tng môn hc. Tp tài liu
hng dn hc môn toán cao cp A
2
này đc biên son cng nhm mc đích
trên.
Tp tài liu này đc biên son theo chng trình qui đnh nm 2001 ca Hc
vin Công ngh Bu Chính Vin Thông. Ni dung ca cun sách bám sát các giáo
trình ca các trng đi hc k thut, giáo trình dành cho h chính qui ca Hc
vin Công ngh Bu Chính Vin Thông biên son nm 2001 và theo kinh nghim
ging dy nhiu nm ca tác gi. Chính vì th, giáo trình này cng có th dùng làm

tài liu hc tp,tài liu tham kho cho sinh viên ca các trng, các ngành đi hc
và cao đng.
Giáo trình đc trình bày theo cách thích hp đi vi ngi t hc, đc bit
phc v đc lc cho công tác đào to t xa. Trc khi nghiên cu các ni dung chi
tit, ngi đc nên xem phn gii thiu ca mi chng đ thy đc mc đích ý
ngha, yêu cu chính ca chng đ
ó. Trong mi chng, mi ni dung, ngi đc
có th t đc và hiu đc cn k thông qua cách din đt và chng minh rõ ràng.
c bit bn đc nên chú ý đn các nhn xét, bình lun đ hiu sâu hn hoc m
rng tng quát hn các kt qu. Hu ht các bài toán đc xây dng theo lc đ:
đt bài toán, chng minh s tn ti li gii bng lý thuyt và cui cùng nêu thu
t
toán gii quyt bài toán này. Các ví d là đ minh ho trc tip khái nim, đnh lý
hoc các thut toán, vì vy s giúp ngi đc d dàng hn khi tip thu bài hc. Sau
các chng có phn tóm tt các ni dung chính và cui cùng là các câu hi luyn
tp. Có khong t 30 đn 40 bài tp cho mi chng, tng ng vói 3 -5 câu hi
cho mi tit lý thuyt. H thng câu hi này bao trùm toàn b ni dung va đc
h
c. Có nhng câu kim tra trc tip các kin thc va đc hc nhng cng có
nhng câu đòi hi hc viên phi vn dng mt cách tng hp và sáng to các kin
Gii thiu môn hc


6
thc đ gii quyt. Vì vy vic gii các bài tp này giúp hc viên nm chc hn lý
thuyt và kim tra đc mc đ tip thu lý thuyt ca mình.
Các bài tp đc cho di dng trc nghim khách quan, đây là mt phng
pháp rt phù hp vi hình thc đào to t xa. Hc viên có th t kim tra và đi
chiu vi đáp án  cui sách. Tuy nhiên phng pháp trc nghi
m cng có nhng

mt hn ch ca nó, chng hn phng pháp này không th hin đc kh nng
trình bày kt qu, kh nng lp lun, mà đây là mt trong nhng yêu cu chính ca
vic hc toán. Mt bài toán có th gii cho đúng kt qu nhng cách gii sai thm
chí sai c v bn cht. Hai ln sai du tr bin thành du cng và cho kt qu
đúng
nhng thc cht là sai. Mt khác có th gii bài toán trc nghim bng cách th các
trng hp và loi tr, nhng cách làm này khá tiêu cc.  khc phc nhng hn
ch ca phng pháp kim tra trc nghim chúng tôi khuyên ngi đc nên t gii
quyt các bài toán theo phng pháp t lun, sau đó mi đi chiu vi các trng
hp a, b, c, d đ chn phng án đúng.
Giáo trình g
m 7 chng tng ng vi 4 đn v hc trình (60 tit):
Chng I: Lô gích toán hc, lý thuyt tp hp, ánh x và các cu trúc đi s.
Chng II: Không gian véc t.
Chng III: Ma trn.
Chng IV: nh thc.
Chng V: H phng trình tuyn tính
Chng VI: Ánh x tuyn tính.
Chng VII: Không gian véc t Euclide và dng toàn phng.
Ngoài vai trò là công c cho các ngành khoa hc khác, toán hc còn đc
xem là mt ngành khoa hc có ph
ng pháp t duy lp lun chính xác cht ch. Vì
vy vic hc toán cng giúp ta rèn luyn phng pháp t duy. Các phng pháp
này đã đc ging dy và cung cp tng bc trong quá trình hc tp  ph thông,
nhng trong chng I các vn đ này đc h thng hoá li. Ni dung ca chng
I đc xem là c s, ngôn ng ca toán hc hin đi. Mt vài ni dung trong
chng này đã
đc hc  ph thông nhng ch vi mc đ đn gin. Các cu trúc
đi s thì hoàn toàn mi và khá tru tng vì vy đòi hi hc viên phi đc li
nhiu ln mi tip thu đc.

Các chng còn li ca giáo trình là đi s tuyn tính. Kin thc ca các
chng liên h cht ch vi nhau, kt qu ca chng này là công c ca ch
ng
khác. Vì vy hc viên cn thy đc mi liên h này. c đim ca môn hc này
Gii thiu môn hc


7
là tính khái quát hoá và tru tng cao. Các khái nim thng đc khái quát hoá
t nhng kt qu ca hình hc gii tích  ph thông. Khi hc ta nên liên h đn các
kt qu đó.
2. MC ÍCH MÔN HC
Cung cp cho sinh viên các kin thc c bn v đi s : Mnh đ, tp hp,
ánh x , cu trúc đi s và đi s tuyn tính bao gm các khái nim v không gian
vecto, ma trn, đnh th
c, ánh x tuyn tính, dng song tuyn tính, dng toàn
phng , làm c s đ tip thu các môn k thut đin và đin t.
3. PHNG PHÁP NGHIÊN CU MÔN HC
 hc tt môn hc này, sinh viên cn lu ý nhng vn đ sau :
1- Thu thp đy đ các tài liu :
◊ Bài ging: Toán cao cp A2. Lê Bá Long, Nguyn Phi Nga, Hc vin
Công ngh BCVT, 2005.
◊ Sách hng dn hc tp và bài tp: Toán cao cp A2. Lê Bá Long,
Nguyn Phi Nga, Hc vin Công ngh BCVT, 2005.
Nu có điu kin, sinh viên nên tham kho thêm: Các tài liu tham kho trong
mc Tài liu tham kho  cui cun sách này.
2- t ra mc tiêu, thi hn cho bn thân:
X t ra mc các mc tiêu tm thi và thi hn cho bn thân, và c gng
thc hin chúng
Cùng vi lch hc, lch h

ng dn ca Hc vin ca môn hc cng nh các
môn hc khác, sinh viên nên t đt ra cho mình mt k hoch hc tp cho riêng
mình. Lch hc này mô t v các tun hc (t hc) trong mt k hc và đánh du
s lng công vic cn làm. ánh du các ngày khi sinh viên phi thi sát hch, np
các bài lun, bài kim tra, liên h vi ging viên.
X Xây dng các mc tiêu trong chng trình nghiên c
u
Bit rõ thi gian nghiên cu khi mi bt đu nghiên cu và th thc hin, c
đnh nhng thi gian đó hàng tun. Suy ngh v thi lng thi gian nghiên cu đ
“Tit kim thi gian”. “Nu bn mt quá nhiu thì gi nghiên cu”, bn nên xem
li k hoch thi gian ca mình.
3- Nghiên cu và nm nhng kin thc đ ct lõi:
Gii thiu môn hc


8
Sinh viên nên đc qua sách hng dn hc tp trc khi nghiên cu bài ging
môn hc và các tài liu tham kho khác. Nên nh rng vic hc thông qua đc tài
liu là mt vic đn gin nht so vi vic truy cp mng Internet hay s dng các
hình thc hc tp khác.
Hãy s dng thói quen s dng bút đánh du dòng (highline maker) đ đánh
du các đ mc và nhng ni dung, công thc quan trng trong tài liu.
4- Tham gia đy đ các bui hng dn hc tp:
Thông qua các bui hng dn hc tp này, ging viên s giúp sinh viên nm
đc nhng ni dung tng th ca môn hc và gii đáp thc mc; đng thi sinh
viên cng có th trao đi, tho lun ca nhng sinh viên khác cùng lp. Thi gian
b trí cho các bui hng dn không nhiu, do đó đng b qua nhng bui hng
d
n đã đc lên k hoch.
5- Ch đng liên h vi bn hc và ging viên:

Cách đn gin nht là tham d các din đàn hc tp trên mng Internet. H
thng qun lý hc tp (LMS) cung cp môi trng hc tp trong sut 24 gi/ngày
và 7 ngày/tun. Nu không có điu kin truy nhp Internet, sinh viên cn ch đng
s dng hãy s dng dch v bu chính và các ph
ng thc truyn thông khác
(đin thoi, fax, ) đ trao đi thông tin hc tp.
6- T ghi chép li nhng ý chính:
Nu ch đc không thì rt khó cho vic ghi nh. Vic ghi chép li chính là
mt hot đng tái hin kin thc, kinh nghim cho thy nó giúp ích rt nhiu cho
vic hình thành thói quen t hc và t duy nghiên cu.
7 -Tr li các câu hi ôn tp sau mi chng, bài.
Cui mi chng, sinh viên cn t tr
 li tt c các câu hi. Hãy c gng vch
ra nhng ý tr li chính, tng bc phát trin thành câu tr li hoàn thin.
i vi các bài tp, sinh viên nên t gii trc khi tham kho hng dn, đáp
án. ng ngi ngn trong vic liên h vi các bn hc và ging viên đ nhn đc
s tr giúp.
Nên nh thói quen đc và ghi chép là chìa khoá cho s thành công ca vic t hc!


Chng 1: M đu v logic mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s


9
1. CHNG 1: M U V LÔGÍCH MNH , TP HP
ÁNH X VÀ CÁC CU TRÚC I S
1.1 MC TIÊU, YÊU CU, Ý NGHA
ây là chng m đu làm c s, làm ngôn ng và công c không nhng cho
toán hc mà còn cho các ngành khoa hc khác.
Ta bit rng toán hc là mt ngành khoa hc lý thuyt đc phát trin trên c

s tuân th nghiêm ngt các qui lut lp lun ca t duy lôgich hình thc. Các qui
lut c bn ca lôgich hình thc đã đc phát trin t thi Aristote (Arít-xtt ) (th
k th 3 tr
c công nguyên) cùng vi s phát trin rc r ca vn minh c Hy
Lp. Tuy nhiên mãi đn th k 17 vi nhng công trình ca De Morgan (
Mocgan), Boole thì lôgích hình thc mi có mt cu trúc đi s đp đ và cùng
vi lý thuyt tp hp giúp làm chính xác hoá các khái nim toán hc và thúc đy
toán hc phát trin mnh m. Vic nm vng lôgich hình thc giúp hc viên không
nhng hc tt môn toán mà còn có th vn dng trong thc t
và bit lp lun
chính xác. Hc tt môn lôgich là c s đ hc tt đi s Boole, vn dng đ gii
các bài toán v s đ công tc rle, các s đ đin và công ngh thông tin. Yêu cu
ca phn này là phi nm vng khái nim mnh đ toán hc, các phép toán liên kt
mnh đ và các tính cht ca chúng.
Khái nim tp hp, ánh x và các cu trúc đi s
là các khái nim c bn: va
là công c va ngôn ng ca toán hc hin đi. Vì vai trò nn tng ca nó nên khái
nim tp hp đc đa rt sm vào chng trình toán ph thông (lp 6). Khái
nim tp hp đc Cantor đa ra vào cui th k 19. Sau đó đc chính xác hoá
bng h tiên đ v tp hp. Có th tip thu lý thuyt tp hp theo nhiu mc đ
khác nhau. Chúng ta ch tip cn lý thuyt tp hp  mc đ trc quan kt hp vi
các phép toán lôgich hình thc nh "và", "hoc", phép kéo theo, phép tng
đng, lng t ph bin, lng t tn ti. Vi các phép toán lôgích này ta có
tng ng các phép toán giao, hp, hiu các tp hp con ca các tp hp.
Trên c s tích Descartes (-các) ca hai tp hp ta có khái nim quan h
hai ngôi mà hai trng hp đc bit là quan h
 tng đng và quan h th t.
Quan h tng đng đc dùng đ phân mt tp nào đó thành các lp không giao
nhau, gi là phân hoch ca tp đó. Quan h đng d môđulô p (modulo) là mt
quan h tng đng trong tp các s nguyên. Tp thng ca nó là tp

p
; các
Chng 1: M đu v logic mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s


10
s nguyên môđulô p. Tp
p
;
có nhiu ng dng trong lý thuyt mt mã, an toàn
mng. Quan h th t đc dùng đ sp xp các đi tng cn xét theo mt th t
da trên tiêu chun nào đó. Quan h ≤ trong các tp hp s là các quan h th t.
Khái nim ánh x là s m rng khái nim hàm s đã đc bit. Khái nim
này giúp ta mô t các phép tng ng t mt tp này đn t
p kia tho mãn điu
kin rng mi phn t ca tp ngun ch cho ng vi mt phn t duy nht ca tp
đích và mi phn t ca tp ngun đu đc cho ng vi phn t ca tp đích. 
đâu có tng ng thì ta có th mô t đc di ngôn ng ánh x.
S dng khái ni
m ánh x và tp hp ta kho sát các vn đ ca gii tích t
hp, đó là các phng pháp đm s phn t. Gii tích t hp đc s dng đ gii
quyt các bài toán xác sut thng kê và toán hc ri rc.
Ta có th thc hin các phép toán cng các s, hàm s, đa thc, véc t hoc
nhân các s, hàm s, đa thc Nh vy ta có th thc hi
n các phép toán này trên
các đi tng khác nhau. Cái chung cho mi phép toán cng hay nhân  trên là các
tính cht giao hoán, kt hp, phân b Mt tp hp có phép toán tho mãn điu
kin nào đó đc gi là có cu trúc đi s tng ng. Các cu trúc đi s quan
trng thng gp là nhóm, vành, trng, không gian véc t. i s hc là mt
ngành ca toán hc nghiên cu các cu trúc đi s. Lý thuyt Nhóm đc Evarist

Galois (Galoa) đa ra vào đu th
k 19 trong công trình "Trong nhng điu kin
nào thì mt phng trình đi s có th gii đc?", trong đó Galoa vn dng lý
thuyt nhóm đ gii quyt. Trên c s lý thuyt nhóm ngi ta phát trin các cu
trúc đi s khác.
Vic nghiên cu các cu trúc đi s giúp ta tách ra khi các đi tng c th
mà thy đc cái chung ca tng cu trúc đ kho sát các tính cht, các đc trng
c
a chúng. Chng hn, tp các ma trn vuông cùng cp, các t đng cu tuyn tính,
các đa thc có cu trúc vành không nguyên nên có nhng tính cht chung nào
đó.
Các cu trúc đi s có tính khái quát hoá và tru tng cao vì vy ngi ta
ngh rng khó áp dng vào thc tin. Tuy nhiên thc t cho thy đi s Boole đc
ng dng rt hiu qu trong vic gii quyt các bài toán v s đ mch đin, vào
máy tính. Lý thuy
t nhóm đc ng dng vào c hc lng t. Lý thuyt v nhóm
và vành đc ng dng trong lý thuyt mt mã, lý thuyt Ôtômát.
1.2 TÓM TT NI DUNG
1.2.1 Lôgíc mnh đ
a. Mnh đ
Chng 1: M đu v logic mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s


11
b. Liên kt mnh đ:
X
Phép ph đnh:
p đc không p
X Phép hi:
q

p ∧
đc p và q
X Phép tuyn:
q
p ∨
đc p hoc q
X Phép kéo theo:
qp ⇒
đc p kéo theo q, p suy ra q
X Phép tng đng:
q
p ⇔
đc p tng đng q
X Lng t ph bin:
∀
đc vi mi
X Lng t tn ti:
∃
đc tn ti.
1.2.2 Tp hp và phn t
a. Tp hp
X a là phn t ca A ký hiu
Aa∈
, đc a thuc A
X a không phi là phn t ca A ký hiu
Aa∉
, đc a không thuc A.
X T p rng
φ

X T p con:
( )
BxAxBA ∈⇒∈⇔⊂

X Tp bng nhau
( )
)()( ABBABA ⊂∧⊂⇔=

b. Các phép toán trên tp hp
X Hp
( )
BxAxBAx ∈∨∈⇔∪∈

X Giao
( )
BxAxBAx ∈∧∈⇔∩∈

X Hiu
( )
BxAxBAx ∉∧∈⇔∈ \

X Phn bù
AXAXA \, =⊂

X Tp tt c các tp con ca X :
( )
{ }
XAAX ⊂=P

X Tích đ các

{ }
BbAabaBA ∈∈=× ,),(


{ }
CcBbAacbaCBA ∈∈∈=×× ,,),,(
c. Quan h
X Quan h hai ngôi R trên X là tp con
XX
×⊂R
, gi là có tính:
o phn x nu Xxxx ∈∀,R
Chng 1: M đu v logic mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s


12
o đi xng nu
xyyx RR ⇒

o bc cu nu
zxzyyx RRR ⇒∧

o phn đi xng nu
y
xxyyx =⇒∧ RR

X Quan h hai ngôi R trên X đc gi là quan h tng đng nu nó
có tính phn x đi xng bc cu, ký hiu ~.
X L p tng đng ca y, ký hiu
{ }

yxXxy ~∈=

X Quan h hai ngôi R trên X đc gi là quan h th t nu nó có tính
phn x phn đi xng và bc cu, ký hiu
≤.
X Quan h th t ≤ trên X đc gi là quan h th t toàn phn nu hai
phn t bt k
y
x,
ca X đu có th so sánh đc vi nhau, ngha là
y
x ≤
hoc
xy ≤
. Quan h th t không toàn phn đc gi là quan
h th t b phn.
1.2.3 Ánh x
a. Ánh x: Ánh x t tp X vào tp Y là mt quy lut cho ng mi
X
x∈
vi
mt và ch mt
Yy∈
, ký hiu
YXf →:
,
b. Phân loi:
)(
xfy =
hoc )(xfyx =a đc gi là công thc xác đnh

nh.
X
f là mt đn ánh nu yxyfxf =⇒= )()(.
X f là mt toàn ánh nu
YXf =)(
.
X
f
là mt song ánh nu
f
va đn ánh va toàn ánh.
X Nu
f
là mt song ánh thì có ánh x ngc XYf →
−
:
1
xác đnh
bi:
)()(
1
yfxxfy
−
=⇔= cng là mt song ánh.
c. Các phép toán
X Hp ca hai ánh x
YXf →: và ZYg →: là ánh x
ZXfg →:o xác đnh bi
( )
)()( xfgxfg =o

.
X Lc lng ca tp hp : Hai tp hp gi là cùng lc lng nu có mt
song ánh t tp này lên tp kia. Tp có cùng lc lng vi
{ }
n ,,2,1

Chng 1: M đu v logic mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s


13
đc gi là tp hu hn có n phn t. Tp rng là tp hu hn có 0
phn t. Tp không hu han đc gi là tp vô hn.
X Tp cùng lc lng vi tp s t nhiên Ï đc gi là tp vô hn đm
đc. Tp s thc 5 không đm đc.
1.2.4 Gii tích t hp
X
S các hoán v n phn t là
!
nP
n
=

X S các chnh hp lp chp p ca n phn t là
p
n

X S các chnh hp không lp chp p ca n phn t là
)!(
!
)1) (1(

pn
n
pnnnA
p
n
−
=+−−=

X S các t hp chp p ca n phn t là
!)!(
!
! ppn
n
p
A
C
p
n
p
n
−
==

X Nh thc Niu-tn

∑
=
−−−
=+++=+
n

p
pnpp
n
n
n
nn
n
nn
n
n
baCbCbaCaCba
0
011
)(.
X S lc v phép đm
o Công thc cng:
BABABA +=∩+∪ ,
o Công thc nhân:
kk
AAAA
⋅⋅=××
11
,
o Chnh hp có lp:
{}
B
ABAf =→:
,
A
A 2)( =P

.
o Nu
BAf →: song ánh thì BA = .
1.2.5 Các cu trúc đi s
Lut hp thành trong, hay còn gi là phép toán hai ngôi, trên tp
X
là mt
ánh x t XX × vào X , ký hiu XXX →
×:* yxyx *),( a
Lut hp thành trong * ca tp X đc gi là:
X Có tính kt hp nu
zy
xzyxXzyx ∗∗=∗∗∈∀ )()(:,,

X Có tính giao hoán nu
xyyxXyx ∗=∗∈∀ :,

Chng 1: M đu v logic mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s


14
X Có phn t trung hoà (hay có phn t đn v) là
Xe
∈
nu
xxeexXx =∗=∗∈∀ :

X Gi s * có phn t trung hoà
Xe
∈

. Phn t
X
x ∈'
đc gi là
phn t đi xng ca X
x∈ nu exxxx =∗=∗ ''.
Tp khác trng
G vi lut hp thành * đc gi là mt v nhóm nu * có tính
kt hp và có phn t trung hoà.

X V nhóm là mt nhóm nu mi phn t ca
G
đu có phn t đi.
X Nu * có tính giao hoán thì nhóm
,*)(G
đc gi là nhóm giao hoán
hay nhóm Abel.
Vành ),,(
⋅+A , trong đó
","
⋅+
là hai lut hp thành trong ca
φ
≠A tho mãn:
X ),(
+A là mt nhóm Abel,
X Lut nhân có tính kt hp,
X Lut nhân có tính phân phi hai phía đi vi lut cng, ngha là:
z
xyxzyxAzyx ⋅+⋅=+⋅∈∀ )(:,, phân phi bên trái

zyz
xzyxAzyx ⋅+⋅=⋅+∈∀ )(:,, phân phi bên phi
X Nu tho mãn thêm điu kin:
Lut nhân có tính giao hoán thì ),,(
⋅+A là vành giao hoán.
Lut nhân có phn t đn v là 1 thì ),,( ⋅+
A là vành có đn v.
X Vành không có c ca 0 đc gi là vành nguyên.
Trng là mt vành giao hoán có đn v ),,(
⋅+K sao cho mi phn t 0≠x
ca
K đu kh nghch (có phn t đi ca lut nhân).
X
),,( ⋅
+S
,
),,( ⋅+5
,
),,( ⋅+$
là trng.
X
),,( ⋅+
n
;
là trng khi và ch khi n là s nguyên t.
1.2.6 i s Bool:
i s Boole )',,,( ∧∨
B là mt tp khác trng B vi hai phép toán hai ngôi
BBB →×∧∨ :, và phép toán mt ngôi BB →:' tho mãn các tiên đ sau:
X B1: ∧∨, có tính kt hp, ngha là vi mi

Bcba ∈,,
cbacbacbacba ∧∧
=∧∧∨∨=∨∨ )()(,)()(
Chng 1: M đu v logic mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s


15
X B2: ∧∨, có tính giao hoán, ngha là vi mi
Bba ∈,

abbaabba
∧=∧∨=∨ ,
X B3: Tn ti các phn t không và phn t đn v
B∈1,0 sao cho
10 ≠ và vi mi
Ba∈ aaaa =∧=∨ 1,0
X B4: Vi mi Ba∈ thì Ba ∈' là phn t đi theo ngha là:
0',1'
=∧=∨ aaaa
X B5: Lut ∨ phân phi đi vi lut
∧ và lut ∧ phân phi đi vi lut
∨, ngha là vi mi
Bcba ∈,,
)()()(),()()(
cabacbacabacba
∧∨∧=∨∧∨∧∨=∧∨ .
Hai công thc Boole trong đi s Boole )',,,(
∧∨B đc gi là đi ngu nu
trong mt công thc ta thay ,1,0,,
∧∨ bng 0,1,,∨∧ thì ta đc công thc hai.

Nguyên lý đi ngu: Nu mt công thc ca đi s Boole đc chng minh là
đúng da trên c s h tiên đ B1-B5 thì công thc đi ngu ca chúng cng đúng.
Có th áp dng đi s Boole đ gii quyt các bài toán v mch đin, thit k
mt mng tho mãn nhng yêu cu nào đó, rút gn mng đin
1.3 CÂU HI VÀ BÀI TP
Câu 1: Hãy chn câu tr li đúng nht;
a) "Mi s nguyên t đu là s l có phi không?" là mt mnh đ lôgich
toán hc.
b) "Trái đt quay xung quanh mt tri" không phi là mt mnh đ
lôgich toán hc.
c) Mnh đ
pp ∨ luôn đúng.
d) Tt c các ý trên đu sai.
Câu 2: Hãy chn câu tr li đúng nht
a)
()
qqpp ≡⇒∧ )( . b)
( )
qpqp ∧≡⇒ )(.
c)
()( )
rprqqp ⇒≡⇒∧⇒ )()(. d) Tt c các ý trên đu đúng.
Câu 3: Cho tp A và phn t x ca A. iu nào sau đây sai
a)
Ax∈ . b) Ax ⊂ . c)
( )
AP∈
φ
. d)
( )

AP⊂
φ
.
Chng 1: M đu v logic mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s


16
Câu 4: Gi s
DC
BA ,,,
là tp con ca
E
. Trng hp nào sau đây là
sai:
a)
φ
=BA \ khi và ch khi
BA ⊂
.
b) Nu
D
CBA ⊂⊂ , thì DBCADBCA ∩⊂∩∪⊂∪ ,.
c)
AAA ≠∪ .
d) Nu
BACABACA ∩⊂∩∪⊂∪ , thì BC ⊂ .
Câu 5: Cho
BA, là hai tp con ca E . Hãy chn câu tr li đúng nht:
a)
ABBA ⊂⇔⊂ .

b)
EBABBABA =∪⇔=∪⇔⊂ .
c)
φ
=∪⇔=∩⇔⊂ ABABABA .
d) Tt c các ý trên đu đúng.
Câu 6: Cho
BA, là hai tp con ca E . Hãy chn câu tr li đúng nht:
a)
BABAA ∩=)\(\ .
b) )(
\)()\( CABACBA ∩∩=∩ .
c)
BAABA ∪=∪ )\(.
d) Tt c các ý trên đu đúng.
Câu 7: Gi s D
CBA ,,, là tp con ca E . Trng hp nào sau đây là
sai:
a)
φφ
≠×∩×⇔≠∩ )()( ABBABA .
b) )()()()(
D
CBADBCA ∪×∪=×∪× .
c) )()()()(
D
CBADBCA ∩×∩=×∩× .
d) Nu
D
CBA ⊂⊂ , thì DBCA ×⊂× .

Câu 8: Trong các trng hp sau đây trng hp nào thì hai tp hp
A
và
B không bng nhau
a)
{ }
12
2
>+∈= xxxA 5
,
{ }
12 −>∈= xxB 5 .
b)
A
là tp mi s thc 0≥ ,
B
là tp mi s thc ≥ tr tuyt đi ca
chính nó.
Chng 1: M đu v logic mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s


17
c)
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=−=−∈=

3
1
;
33
aaxaxxA 5 ,
{ }
aaB 2,−= .
d)
A là tp các s t nhiên nguyên t nh hn 15,
{}
13,11,7,5,3,2=B .
Câu 9: Quan h nào trong các trng hp sau đây là quan h tng
đng trong tp các s nguyên
; .
a) aba ⇔R chia ht cho b .
b)
aba ⇔R
không nguyên t vi b.
c)
1),( =⇔ baba
R a( và b nguyên t cùng nhau)
d)
mbaba M
−⇔R , trong đó 2≥m là mt s t nhiên cho trc.
Câu 10: Trong 5
, xét quan h tng đng R xác đnh bi:
bababa
−=−⇔
33
R .

Tìm lp tng đng
a ca a trong các trng hp sau:
a) Tr tuyt đi ca a tho mãn:
32>a .
b) Tr tuyt đi ca a tho mãn:
31=a
.
c) Tr tuyt đi ca a tho mãn:
3132 ≠< aa vµ .
d) Tr tuyt đi ca a tho mãn:
32=a .
Câu 11: Quan h R nào trong các trng hp sau đây là quan h th t
trong tp tng ng
a)
;
∈∀≥−⇔ baabba ,,0R
.
b)
*
,,
+
∈∀⇔ ;baabba MR ,
*
+
; là tp các s nguyên dng.
c)
( )
XBABABA PR ∈∀⊂⇔ ,,
, trong đó
φ

≠X là mt tp cho trc
d) Tt c các trng hp trên đu là quan h th t.
Câu 12: Tìm các ví d v tp đc sp ),(
≤E và hai tp con EBA ⊂,
tho mãn:
a) Tn ti
Asup nhng không tn ti Bsup .
b) Tn ti
Bsup nhng không tn ti Asup .
c) Tn ti
AA∉sup nhng tn ti Bmax .
Chng 1: M đu v logic mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s


18
d) Tn ti
Ainf
nhng không tn ti
Asup .
Câu 13: Các ánh x 55 →:f nào sau đây là đn ánh:
a)
52)( += xxf . b) xxxxf 5)(
23
−+= .
c)
xxxf 23)( −= . d) 5∈++= cbcbxxxf ,;)(
2
.
Câu 14: Cho hai ánh x :,
gf Ï→ Ï xác đnh bi:

⎩
⎨
⎧
−
==
lÎ nÕu
ch½n nÕu
nn
nn
ngnnf
2)1(
2
)(,2)(

Hãy xác đnh:
a)
gf o . b) fg o . c) ff o . d) fgf oo .
Câu 15: Gi s D
CBA ,,, là tp con ca X .
t
⎩
⎨
⎧
∉
∈
=
Ax
Ax
xI

A
nÕu
nÕu
0
1
)( và gi là hàm đc trng ca tp A.
Hãy chn câu tr li đúng nht:
a)
AA
XAAA
IIIII
−==⋅ 1;
\
.
b)
BABABABABA
IIIIIIII ⋅−+=⋅=
∪∩
;
.
c)
BA
IIBA ≤⇔⊂ .
d) Tt c các ý trên đu đúng.
Câu 16: Cho ánh x
YXf →: và XBA ⊂, . iu nào sau đây luôn luôn
đúng:
a) )()(
BfAfBA ⊂⇔⊂ . b) )()()( BfAfBAf ∪=∪ .
c) )()()(

BfAfBAf ∩=∩ . d) )(\)()\( AfBfABf = .
Câu 17: Cho ánh x
YXf →: và YDC ⊂, . iu nào sau đây không luôn
luôn đúng:
a) )()()(
111
DfCfDCf
−−−
∩=∩ .
b) )()(
11
DfCfDC
−−
⊂⇔⊂ .
c) )()()(
111
DfCfDCf
−−−
∪=∪ .
Chng 1: M đu v logic mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s


19
d) )(\)()\(
111
DfCfDCf
−−−
= .
Câu 18: Ký hiu
fgh o= là hp ca hai ánh x ZYgYXf →→ :,: .

iu nào sau đây không luôn luôn đúng:
a)
gf , đn ánh thì h đn ánh. b) gf , toàn ánh thì h toàn ánh.
c) h đn ánh thì
g đn ánh. d) h toàn ánh thì g toàn ánh.
Câu 19: Ký hiu
fgh o= là hp ca hai ánh x ZYgYXf →→ :,: .
iu nào sau đây không luôn luôn đúng:
a) h đn ánh thì
f đn ánh.
b) h toàn ánh thì
f toàn ánh.
c) h đn ánh và
f toàn ánh thì g đn ánh.
d) h toàn ánh và
g đn ánh thì f toàn ánh.
Câu 20: Cho hai phép th ca tp
{ }
4,3,2,1 :

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
2143
4321
σ

,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
3124
4321
μ
. Tìm:
a)
μσ
o . b)
σμ
o . c)
1−
σ
. d)
1−
μ
.
Câu 21: Vi các ch s 1, 2, 3, 4, 5 có th lp đc bao nhiêu s:
a) Gm 4 ch s khác nhau.
b) S chn gm 4 ch s khác nhau.
c) S l gm 4 ch s khác nhau.
d) S chn gm ch s bt k.
Câu 22: Tính giá tr
⎟

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
!7!2
!9
!5!3
!8
!10
!4!7
A

a)
5
4
=A . b)
4
5
=A . c)
3
2
=A . d)
7
6
=A .
Câu 23: Tìm tt c các s t nhiên dng 1≥m tho mãn
6
1

)!1(
)!1(!
=
+
−−
m
mm

a) 4=m . b) 4,1
== mm . c) 4,3 == mm . d) 3,2 == mm .
Chng 1: M đu v logic mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s


20
Câu 24: Mi ngi bn đi xem phim, cùng ngi mt hàng gh, chi trò
đi ch cho nhau. Cho rng mt ln đi ch mt ht mt phút, hi thi gian
h đi ch cho nhau là bao nhiêu?
a) Ht 10 ngày đêm. b) Ht 100 ngày đêm.
c) Ht 1670 ngày đêm. d) Ht 2520 ngày đêm.
Câu 25: Mt hp tác xã có 225 xã viên. H mun bu mt ngi làm ch
nhim, mt th ký, mt th qu mà không kiêm nhim. Gi s mi xã viên
đu có kh nng đc chn nh nhau, hi có bao nhiêu cách chn?
a) Có 12600 cách. b) Có 13800 cách.
c) Có 14580 cách. d) Có 13680 cách.
Câu 26: Mt hp tác xã có 225 xã viên. H mun bu mt hi đng qun
tr gm mt ch nhim, mt th ký, mt th qu mà không kiêm nhim. Gi
s mi xã viên đu có kh nng đc chn nh nhau, hi có bao nhiêu cách
chn?
a) Có 2100 cách. b) Có 2300 cách.
c) Có 4860 cách. d) Có 2280 cách.

Câu 27: Mt cái hp đng 10 qu cu trong đó có 7 qu cu trng và 3
qu cu đ. Hi có bao nhiêu cách:
a) Ly ra 4 qu cu t hp.
b) Ly ra 4 qu cu, trong đó có đúng 2 qu cu đ.
c) Ly ra 4 qu cu, trong đó có nhiu nht 2 qu cu đ.
d) Ly ra 4 qu cu, trong đó có ít nht 2 qu cu đ.
Câu 28: Hãy chn câu tr li đúng nht:
a)
k
n
k
n
k
n
CCC =+
−
−
−
1
11
.
b)
nn
nnnn
CCCC 2
210
=++++ .
c)
n
n

nn
n
n
nnn
n
CCCCCCCC
2
2
4
2
2
2
0
2
12
2
5
2
3
2
1
2
++++=++++
−
.
d) Tt c các ý trên đu đúng.
Câu 29: Tìm s hng ln nht trong khai trin ca nh thc
31
)1937( + .
a)

102110
31
19.37C
. c)
191212
31
19.37C .
Chng 1: M đu v logic mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s


21
b)
211010
31
19.37C . d)
121912
31
19.37C .
Câu 30: Phép toán nào sau đây không phi là mt lut hp thành trong:
a) Phép cng hai véc t. b) Tích vô hng hai véc t.
c) Phép cng hai đa thc. d) Phép nhân hai hàm s.
Câu 31: Phép hp thành trong nào sau đây không có tính giao hoán:
a) Phép cng các s thc.
b) Phép nhân các s t nhiên.
c) Phép hp các ánh x t tp
φ
≠E vào chính tp E .
d) Phép cng các hàm s.
Câu 32: Trng hp nào sau đây không có cu trúc nhóm
a) Tp các s t nhiên Ï vi phép cng.

b) Tp các s t nhiên
; vi phép cng.
c) Tp các s hu t khác không
*
S vi phép nhân.
d) Tp các s hu t dng khác không
*
+
S vi phép nhân.
Câu 33: Gi s
()
,*G là mt nhóm. iu nào sau đây không đúng:
a) Phn t trung hoà e là duy nht.
b) Vi mi phn t
x , phn t đi 'x ca nó là duy nht.
c) Phn t trung hoà e không có phn t đi.
d) Tho mãn lut gin c, ngha là nu z
xyx ** = thì zy = .
Câu 34: Trong mi tp s sau đây vi phép cng s và phép nhân s,
trng hp nào không phi là mt vành:
a) Tp các s nguyên chn.
b) Tp các s hu t dng
+
S
.
c) Tp các s có dng
2ba + , a và b nguyên.
d) Tp các s nguyên môđulô
p .
Câu 35: Cho A là mt vành. Phn t

Ax∈ đc gi là lu linh nu tn
ti mt s t nhiên
0≠n sao cho 0
=
n
x . iu nào sau đây không đúng:
Chng 1: M đu v logic mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s


22
a) Nu yx, lu linh và yxxy = thì yx + cng ly linh.
b) Nu
x lu linh và yxxy = thì xy cng ly linh.
c) Nu
Ax∈ lu linh thì tn ti
1
−
x .
d) Nu
Ax∈ lu linh thì tn ti
( )
1
1
−
− x .
Câu 36: Hãy xác đnh các công thc đi s Boole nào sau đây là tng
đng:
a)
()()
yxzx ∧∨∧ '. b)

( )
zyx ∨∧ '.
c)
()()( )
zyzxyx ∨∧∨∧∨ ' . d)
( )
[ ]
()
[]
yxzzxy ∧∨∧∧∨ ' .
Câu 37: Công thc
[]
)()'()'( zyzxzyx ∧∨∧∨∧∨ có công thc rút gn là
công thc nào sau đây:
a) zy ∨ . c) zy
x ∨∧ )'(.
b) z
x ∨ . d) yzx ∨∧ )'(.
Câu 38: Trng hp nào sau đây là công thc rút gn ca mng


• •



a)
( )
zyx ∨∧ . b)
( )
zyx ∧∨ .

c)
( )
xyz ∨∧
. d)
( )
zxy ∧∨
.
Chng 2: Không gian véc t


23
2. CHNG 2: KHÔNG GIAN VÉC T
2.1 MC TIÊU, YÊU CU, Ý NGHA
Khái nim không gian véc t có ngun gc t vt lý. Ban đu các véc t là
nhng đon thng có đnh hng, vi khái nim này ngi ta đã s dng đ biu
din các đi lng vt lý nh: véc t vn tc, lc tác đng, lc đin t . Các nhà
vt lý còn s dng phng pháp véc t Fresnel đ tng hp các dao đng điu hoà.
Cui th
 k 17 Descartes đã đ xut phng pháp to đ đ gii quyt các bài
toán hình hc. Vi phng pháp này mi véc t trong mt phng đc đng nht
vi mt cp s là hoành đ và tung đ còn véc t trong không gian đc đng nht
vi b ba s. Các phép toán ca véc t (cng véc t, nhân 1 s vi véc t) có th
chuyn tng ng bng phép toán trên các b s và tho
mãn mt s tính cht nào
đó. Trong nhiu lnh vc khác chúng ta cng thy nhng đi tng khác nh các
đa thc, hàm s, v.v có các phép toán tho mãn các tính cht tng t các véc t.
iu này dn đn vic khái quát hoá khái nim véc t.
Trong các công trình v s quaternion t nm 1843 ca nhà toán hc Anh
Hamilton, ngi ta có th tìm thy mt dng thô s ca khái nim không gian vec
t 3 và 4 chiu. Hamilton dùng các s quaternion đ nghiên cu các vn đ

toán lý.
Sau đó các nhà vt lý nh Maxwell và Gibbs đã phát trin dn lý thuyt không gian
véc t 3 chiu. Khái nim không gian véc t 4 chiu đc Einstein (Anh-xtanh) s
dng trong thuyt tng đi. Ngày nay lý thuyt không gian véc t nhiu chiu
đc s dng rng rãi trong nhiu lnh vc khác nhau ca toán hc và các ngành
khoa hc khác.
Chúng ta thy khái nim không gian véc t đc hình thành qua mt quá trình
lâu dài trên c s các thành tu v lý thuyt cng nh ng dng thc t
 và khái
quát hoá cao. Vì vy đ hc tt chng này đi hi ngi hc phi nm vng khái
nim không gian véc t vói mc đ tru tng cao, còn các mô hình c th là các
không gian 2 chiu, 3 chiu ta đã bit. i tng ca ta  đây là các không gian
véc t hu hn chiu. ó là các không gian có h sinh hu hn. Trong không gian
này mi véc t đu có th biu din thành t hp tuyn tính ca các véc t
 ca h
sinh. Mun cho biu din này là duy nht thì h sinh phi đc lp tuyn tính, lúc đó
ta gi là mt c s ca không gian véc t. Các h s trong biu din  trên đc
gi là to đ ca véc t.
Chng 2: Không gian véc t


24
Hc viên cn luyn tp tìm to đ ca mt véc t trong các c s khác nhau.
Tìm h con đc lp tuyn tính ti đi ca mt h véc t cho trc. Tìm hng ca
mt h véc t, tìm chiu ca không gian con. Công thc chiu ca tng hai không
gian véc t con, chiu ca giao ca hai không gian véc t con. Thy đc mi liên
h gia h con đc lp tuyn tính ti
đi ca h sinh và c s, liên h gia hng
ca h sinh và chiu ca không gian sinh bi h sinh này (đnh lý 2.17). Liên h
vi nhng phép toán và tính cht véc t đã bit  ph thông.

2.2 TÓM TT NI DUNG
2.2.1 Khái nim không gian vect
Không gian véc t trên trng
K là tp V khác
φ
vi hai phép toán:
* Phép toán trong * Phép toán ngoài

uu
VVK
αα
a),(
→
×

tho mãn các tiên đ sau vi mi
Vwvu ∈,,và K∈
βα
,
X )()( wvuwvu ++=++
X Có
V∈0 sao cho uuu =+=+ 00
X Vi mi
Vu ∈ có Vu ∈− sao cho 0=+−=−+ uuuu )()(
X uvvu +=+
X uuu
βαβα
+=+ )(
X vuvu
ααα

+=+ )(
X )()( uu
βααβ
=
X uu
=1 , trong đó 1 là phn t đn v ca K .
Khi
5=
K thì V đc gi là không gian véc t thc.
Khi
$=
K thì V thì đc gi là không gian véc t phc.
Các phn t ca
V
đc gi là các véc t, các phn t ca
K đc gi là các
phn t vô hng.
Vì ),( +
V là mt nhóm Abel nên véc t 0 và véc t đi u− ca u là duy nht
vi mi
Vu ∈ .
X Có lut gin c: wvwuvu
=⇒+=+ .
X Vi mi Vu ∈ , 0=u0, uu −=− )1(.
uvu
VVV →×
a),(
Chng 2: Không gian véc t

25
X Vi mi K∈
α
, 00 =
α
.
X Nu 0=u
α
thì 0=
α
hoc 0=u .
Ta đnh ngha )(:
vuvu −+=− , khi đó vwuwvu −=⇔=+ .
Vi các véc t
Vuuu
n
∈, ,,
21
và vi mi K
n
∈
ααα
, ,,
21
, do tính kt hp
ca phép cng nên ta có th đnh ngha theo qui np:

Vuuuuuu
nnnnnn
n

k
kk
∈+++=++=
−−
=
∑
αααααα
) (
111111
1

biu thc này đc gi là mt t hp tuyn tính ca các véc t
n
uu , ,
1
.
Trong giáo trình này ta ch xét
5
=K , ngha là ch xét các không gian véc t
thc.
2.2.2 Không gian vect con
a. Không gian véc t con:
Tp con
φ
≠W ca V sao cho hai phép toán t V thu hp vào W tr thành
không gian véc t (tho mãn các tiên đ V1-V8) thì
W đc gi là không gian véc
t con ca
V (hay nói tt: không gian con ca V ).
b. Không gian con W bé nht cha h véc t

S đc gi là không gian sinh
bi h
S ký hiu SW span= và S đc gi là h sinh ca W .
SW span= bng tp hp tt c các t hp tuyn tính ca S .
Nu
SV span= ,
{}
n
vvS ,,
1
= hu hn thì
V đc gi là không gian hu
hn sinh. Lúc đó, vi mi
Vu ∈ ;
nn
vxvxu ++=
11
, 5∈
n
xx , ,
1
.
c. Tng ca mt h không gian véc t con: Gi s
n
WW , ,
1
là n không gian
con ca
V . Ta ký hiu
n

WW ++
1
là tng ca các không gian con
n
WW , ,
1
và
đnh ngha nh sau:
niWuuuuWWu
iinn
, ,1;,
11
=∈++=⇔++∈ .
Tuy nhiên, nói chung cách vit trên không duy nht.
Khi vi mi
n
WWu
++∈
1
cách vit trên duy nht thì tng các không gian
con này đc gi là tng trc tip. Lúc đó ta ký hiu:
n
WW ⊕
⊕
1
.
Tng
21
WW + là tng trc tip khi và ch khi
{}

0=∩
21
WW .
Ta có th chng minh đc
( )
nn
WWWW ∪∪
=++ span
11

Chng 2: Không gian véc t


26
Mt cách tng quát ta đnh ngha và ký hiu tng ca mt h các không gian
véc t con
()
Ii
i
W
∈
là
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛

=
∈
∈
∑ U
Ii
i
Ii
i
WW span .
Vy
{ }
,2,1;, ,1,,
1
==∈∈++=
∑
∈
kkjIiWuuuW
jiiii
Ii
i
jjk
.
2.2.3 c lp tuyn tính
H n véc t
{}
n
uuS , ,
1
= ca
V đc gi là đc lp tuyn tính nu:

5
∈=++
nnn
uu
αααα
, ,,
111
0 thì 0
1
===
n
αα
.
H không đc lp tuyn tính đc gi là ph thuc tuyn tính.
H con
{}
n
vv , ,
1
ca h
S đc gi là đc lp tuyn tính ti đi ca S nu
nó là h đc lp tuyn tính và nu thêm bt k véc t nào ca
S thì ta có h ph
thuc tuyn tính.
Mi h véc t
S đu có h con đc lp tuyn tính ti đi, s véc t ca các h
con đc lp tuyn tính ti đi ca
S đu bng nhau và ta gi là hng ca S , ký
hiu )(
Sr .

Mi h sinh đc lp tuyn tính ca
V đc gi là mt c s ca V .
Nu
{}
n
ee , ,
1
=
B là mt c s ca V . Lúc đó, vi mi Vu ∈ ; tn ti duy
nht
5∈
n
xx , ,
1
sao cho
nn
vxvxu
++=
11
.

[]
B
uxx
n
=), ,(
1
đc gi là to đ ca véc t u trong c s
B .
Mi không gian hu hn sinh

V đu tn ti c s. S phn t ca mi c s
ca
V đu bng nhau và đc gi là s chiu ca V , ký hiu Vdim .
()()
SrS =spandim .
2.3 CÂU HI VÀ BÀI TP
Câu 1: Trng hp nào sau đây tp
3
5 vi các phép toán đc đnh
ngha là không gian véc t
a)
⎩
⎨
⎧
∈=
+++=+
5
ααα
; ),,(),,(
),','()',','(),,(
zyxzyx
zzyyxxzyxzyx

b)
⎩
⎨
⎧
∈=
+++=+
5

ααααα
; )2,2,2(),,(
)',','()',','(),,(
zyxzyx
zzyyxxzyxzyx

Chng 2: Không gian véc t


27
c)
⎩
⎨
⎧
∈=
++++++=+
5
αα
; )0,0,0(),,(
)1',1',1'()',','(),,(
zyx
zzyyxxzyxzyx

d)
⎩
⎨
⎧
∈=
+++=+
5

ααααα
; ),,(),,(
)',','()',','(),,(
zyxzyx
zzyyxxzyxzyx
.
Câu 2: Vi các phép cng hai hàm s và phép nhân hàm s vi s thc,
tp các hàm s nào sau đây là không gian véc t.
a) Tp các hàm s không âm trên
[ ]
ba,.
b) Tp các hàm s b chn trên
[ ]
ba,.
c) Tp các hàm s kh vi trên
[ ]
ba, ( có đo hàm ti mi đim).
d) Tp các hàm s trên
[ ]
ba, sao cho 1)( =bf .
Câu 3: Tp hp các véc t có dng nào sau đây không là không gian con
ca
3
5
a) Các véc t có dng ),0,( z
x .
b) Các véc t có dng )1,,( y
x .
c) Các véc t có dng ),,( zy
x tho mãn 0=++ zyx .

d) Các véc t có dng ),,( zy
x , 02 =+− zyx , 04 =−+ zyx .
Câu 4: Tp hp các véc t có dng nào sau đây không là không gian con
ca
3
5
a) Các véc t ),,( zy
x tho mãn
zyx ≤≤
.
b) Các véc t ),,( zy
x tho mãn 0=xy .
c) Các véc t ),,( zy
x tho mãn 0423 =−+ zyx .
d) Các véc t ),,( zy
x tho mãn
2
yx = .
Câu 5: Tìm véc t u sau ca không gian
4
5 tho mãn phng trình:
)(5)(2)(3
321
uvuvuv
+=++−
trong đó )1,1,1,4(;)10,5,1,10(;)3,1,5,2(
321
−=== vvv
a) )24,18,12,6(=u . b) )0,3,2,7(
−=u .

c) )4,3,2,1(=u . d) )0,7,3,2(
−=u .
Chng 2: Không gian véc t


28
Câu 6: Hãy biu din véc t u thành t hp tuyn tính ca
321
,, vvv :
a) )15,2,7( −=u ; )5,3,2(
1
=v , )8,7,3(
2
=v , )1,6,1(
3
−=v .
b) )7,7,4,1( −=u ; )2,3,1,4(
1
−=v ,)2,3,2,1(
2
−=v ,)3,1,9,16(
3
−=v .
c) )14,9,6(=u ;
)1,1,1(
1
=v
,
)2,1,1(
2

=v
,
)3,2,1(
3
=v
.
d) )7,2,6( −=u ; )3,1,2(
1
−=v , )5,2,3(
2
−=v , )1,1,1(
3
−=v .
Câu 7: Hãy xác đnh
λ
sao cho x là t hp tuyn tính ca wvu ,, :
),2,7(
λ
−=x ; )5,3,2(=u , )8,7,3(=v , )1,6,1( −=w .
a) 10=
λ
. c) 11−=
λ
.
b) 12=
λ
. d) 11=
λ
.
Câu 8: H véc t nào sau đây sinh ra

3
5
a) )3,1,2( −=u , )5,2,3(
−=v , )1,1,1( −=w .
b) )3,1,2( −=u , )2,1,4(=
v , )8,1,8( −=w .
c) )4,1,3(=u , )5,3,2(
−=v , )9,2,5( −=w , )1,4,1( −=s .
d) )13,0,3(=u , )4,7,2(=
v , )11,10,1( −=w .
Câu 9: H véc t nào sau đây ca
3
5 là đc lp tuyn tính
a) )1,2,1( −=u , )1,1,2(
−=v , )1,4,7( −=w .
b) )7,3,1( −=u , )8,0,2(=
v , )8,1,8( −=w , )7,9,3( −=x .
c) )3,2,1( −=u , )2,3,1(
−=v , )5,1,2( −=w .
d) )13,3,2( −=u , )0,0,0(
=v , )11,10,1( −=w .
Câu 10: H véc t nào di đây là đc lp tuyn tính.
a) )6,2,4( −=u ,
)9,3,6(
−=v
trong
3
5 .
b) )1,3,2( −=u , )5,1,3(
−=v , )3,4,1( −=w trong

3
5 .
c) )3,4,5(=u , )2,3,3(=
v , )3,1,8(=w trong
3
5 .
d) )6,2,5,4( −=u ,)3,1,2,2(
−=v ,)9,3,3,6( −=w ,)6,5,1,4( −=s
trong
4
5 .
Câu 11: Tìm
λ
đ h véc t sau ph thuc tuyn tính: