bài toán biên thứ hai đối với phương trình monge-ampere elliptic

Học viên : Bùi Văn Toan - 1 - K19 Toán Giải Tích

I HC QUC GIA H NI
TRNG I HC KHOA HC T NHIấN







Bùi văn toan





Bài toán biên thứ hai đối với
phơng trình monge-ampere
elliptic


Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch
Mó s: 60 46 01


LUN VN THC S KHOA HC



Ngi hng dn: PGS.TS H Tin Ngon

H NI - 2012
Học viên : Bùi Văn Toan - 2 - K19 Toán Giải Tích


Mc lc Trang

M u 2
Ch-ơng 1. Bi toỏn biờn th hai i vi phng trỡnh

ij
g(x)
det(u )
R(Du)
4
1.1. Mt s kin thc b tr 4
1.1.1. Nún li, a din li 4
1.1.2. Siờu mt li v hm li 5
1.1.3. Nún tim cn 8
1.1.4. nh x chun tc v cong R ca cỏc hm li 9
1.1.5. Phng trỡnh Monge-Ampere 14
1.2. Bi toỏn biờn th hai i vi phng trỡnh
()
det( )
()

ij

gx
u
R Du
17
1.2.1. Cỏc nghim yu v nghim suy rng 17
1.2.2. Bi toỏn biờn th hai 17
1.2.3. Bi toỏn biờn th hai trong lp cỏc a din li 20
Ch-ơng 2. Bi toỏn biờn th hai i vi phng trỡnh tng quỏt 26
2.1. Phỏt biu nh lý v s tn ti nghim 26
2.1.1. Nhng gi thit c bn 26
2.1.2. nh lý v s tn ti nghim 25
2.2. Xõy dng khụng gian nghim 28
2.3. Chng minh nh lý 33
Kt lun 43
Ti liu tham kho 44




Học viên : Bùi Văn Toan - 3 - K19 Toán Giải Tích



M u

Phng trỡnh Monge-Ampere loi elliptic trong khụng gian
n
R
cú dng:

det( ) ( , , )
ij
u f x u Du
, (*)
trong ú

12
, , , ,
n
n
x x x x R u u x
l n hm,
ij
ij x x
uu
v

,,f x u Du
l hm
s nhn giỏ tr dng c cho trc.
Nghim c in ca phng trỡnh (*) l hm li u(x), thuc lp
2
C
. Nhng
vic tỡm lp nghim c in l mt vn khú.
Lun vn nghiờn cu lp nghim suy rng cho bi toỏn biờn th hai ca
phng trỡnh (*) m c xột trong ton khụng gian
n
R
v dỏng iu ca nghim

vụ hn c cho trc. Nghim ny da trờn ng dng ca nguyờn lý im bt ng
trong khụng gian hm khụng tm thng. Lun vn ch yu da vo ti liu Convex
Analysis and Nonlinear Geometric Elliptic Equation ca tỏc gi Ilya J.Bakelman.
B cc lun vn chia lm 2 chng:
Chng 1: Bi toỏn biờn th hai i vi phng trỡnh

ij
g( x )
det(u )
R( Du)
.
Chng 2: Bi toỏn biờn th hai cho phng trỡnh tng quỏt .
Trong chng 1 ta s xõy dng nh lý tn ti v duy nht nghim ca bi toỏn
biờn th hai cho phng trỡnh Monge-Ampere
()
det( )
()
ij
gx
u
R Du

trong tp cỏc
nghim suy rng li. iu kin ca nh lý ny l iu kin cn v . Nhng kt
qu ny thc s cú ý ngha khi dựng cho vic nghiờn cu tớnh gii c ca bi toỏn
biờn th hai cho phng trỡnh Monge Ampere tng quỏt :
det( ) ( , , )
ij
u f x u Du

Chng 2 chỳng ta nghiờn cu t m v bi toỏn biờn th hai cho phng trỡnh
Monge-Ampere tng quỏt trong lp cỏc nghim suy rng li, c th l nh lý tn ti
Học viên : Bùi Văn Toan - 4 - K19 Toán Giải Tích

v duy nht nghim ca bi toỏn ú. Trong phn trỡnh by cú a ra mt s gi thit
v nún li chp nhn c, cỏc cụng thc c lngBờn cnh ú, vỡ ta xột vi cỏc
hm li khụng b chn trờn ton b khụng gian
n
E
nờn ng dng ca nguyờn lý im
bt ng yờu cu chỳng ta xõy dng mt khụng gian hm c bit m bi toỏn biờn
th hai cú th c nghiờn cu chi tit.
Lun vn c thc hin ti trng i hc Khoa hc T nhiờn di s hng
dn tn tỡnh v nghiờm khc ca thy giỏo PGS. TS. H Tin Ngon. Tỏc gi xin by
t lũng bit n sõu sc ca mỡnh n thy. Nhõn dp ny, tỏc gi xin chõn thnh cm
n Ban ch nhim khoa Sau i hc, Ban ch nhim khoa Toỏn-C-Tin hc ó nhit
tỡnh ging dy v giỳp tỏc gi trong sut thi gian hc tp. Cui cựng xin cm n
gia ỡnh, ng nghip, bn bố, c bit l cỏc bn trong lp Cao hc 2009-2011 Toỏn
gii tớch ó cng tỏc, giỳp v ng viờn tỏc gi trong sut quỏ trỡnh hc tp v
nghiờn cu. Mt dự ó cú nhiu c gng, nhng lun vn khụng trỏnh khi nhng
hn ch, thiu sút. Tỏc gi rt mong nhn c nhng ý kin úng gúp ca cỏc thy,
cụ giỏo v bn bố lun vn c hon thin hn.
H Ni, ngy 26 thỏng 03 nm 2012
Tỏc gi

Học viên : Bùi Văn Toan - 5 - K19 Toán Giải Tích

Chng 1

Bi toỏn biờn th hai i vi phng trỡnh
ij
g(x)
det(u )
R(Du)



1.1 . Mt s kin thc b tr.
1.1.1. Nún li, a din li.
nh ngha 1.1.1.1:
Mt tp
KL
c gi l li nu

, , 0;1 (1 ) .
t
a b K t x t a tb K

nh ngha 1.1.1.2: Mt tp li cha hp ca cỏc tia vi mt nh chung c gi
l nún li. nh chung ca tt c cỏc tia ú gi l nh ca nún.

nh ngha 1.1.1.3: Mt th li F trong
1n
E

c gi l mt (n+1)-khi a din li
nu F l giao ca mt s hu hn cỏc na khụng gian úng.
Nu khi a din F l mt tp b chn trong
1n
E

thỡ biờn
F
ca chỳng c gi l
mt khi a din li úng.
Nu F l mt khi a din li hu hn thỡ
F
c gi l a din li hu hn.
nh lý 1.1.1.4. Mi a din li b chn l bao li ca cỏc nh. Hn na, mt a
din nh th vi nh cho trc l duy nht.
nh lý 1.1.1.5. Mi khi a din li hu hn l mt bao li ca cỏc nh v gúc a
din li tim cn ca nú c t ti mt trong cỏc nh ca nú.
nh lý 1.1.1.6. Cho M l mt h hu hn cỏc im
12
, , ,
m
A A A
trong
1n
E
. Nu cú

(n+2) im ti mt v trớ tng quỏt trong M, khi ú

o
P C M
l mt (n+1)-khi a
din li b chn, v nh ca P cú th l mt trong cỏc im
12
, , ,
m
A A A
.
im
i
A
, ( i=1, 2,, m) l gc ca P khi v ch khi
i
A
khụng thuc vo bao li ca
tt c cỏc im khỏc ca M.
Häc viªn : Bïi V¨n Toan - 6 - K19 – To¸n Gi¶i TÝch

Định lý 1.1.1.7. Cho
12
, , ,
m
A A A
là hệ các điểm đã cho trong
1n
E
. Khi đó tồn tại

một đa diện n-lồi đóng trong
1n
E
với các đỉnh khi và chỉ khi các điểm
12
, , ,
m
A A A
ở
tại một vị trí tổng quát và điểm
k
A
bất kỳ không thuộc vào bao lồi của các điểm
1 2 1 1
, , , , , ,
k k m
A A A A A
, (k=1,2,…,m). Hơn nữa, một đa diện như thế là duy nhất.
Định lý 1.1.1.8. Cho M là một hệ hữu hạn các điểm trong
1n
E
, thỏa mãn các điều
kiện sau :
i) có k+1 điểm tại một vị trí tổng quát trong M.
ii) không có k+2 điểm tại một vị trí tổng quát trong M , ở đây k = 0, 1, 2,…,
n+1.
Khi đó

o
P C M

là một khối đa diện k-lồi bị chặn và các đỉnh của P chỉ có thể là
các điểm thuộc tập M. Một điểm
AM
là gốc của P khi và chỉ khi A không thuộc
bao lồi của tất cả các điểm khác trong tập M.
Định lý 1.1.1.9. Cho
12
, , ,
m
A A A
là hệ hữu hạn các điểm, và V là một góc đa diện
(n+1)-lồi trong
1n
E
mà các đỉnh của nó là một trong các điểm
12
, , ,
m
A A A
.
Cho
12
    
m
M A A A V
.
Khi đó

o
P C M

là một khối đa diện vô hạn (n+1) lồi trong
1n
E
, V là góc tiệm cận
của P và các đỉnh của P chỉ có thể là các điểm
12
, , ,
m
A A A
. Hơn nữa, một điểm
 
12, , , ,
k
A k m
là gốc của P khi và chỉ khi
k
A
không thuộc vào
 
1 1 1
     
o k k m
C A A A A V
.
1.1.2. Siêu mặt lồi và hàm lồi.
Tập F được gọi là một mặt lồi n-chiều (hoặc một siêu mặt lồi) trong
n
E
nếu F
là một miền gồm biên của một thể lồi (n+1)-chiều H trong

1n
E
nghĩa là F là một tập
con mở, liên thông của
H
trong tô pô của
H
cảm sinh bởi
1n
E
.
Tương tự, với miền con G bất kỳ chứa biên của một thể lồi (k+1)-chiều H thì được
gọi là một mặt lồi k chiều. Nếu k=1 thì G được gọi là một đường cong lồi.
F được gọi là chóp lồi n-chiều nếu F là một siêu mặt lồi thỏa mãn hai điều kiện:
Học viên : Bùi Văn Toan - 7 - K19 Toán Giải Tích

i)
F
nm trờn mt siờu phng P trong
1n
E

.
ii) F cú phộp chiu trc giao 1-1 trờn P.
Cho H l mt tp li trong
1n
E

v
QH

l mt siờu mt li hon ton. Ta c
nh mt ng L v kớ hiu
L
U
l tp cỏc ng song song vi L, i qua tt c cỏc
im trong ca H. Cỏc ng nm trong
L
U
tha món mt v ch mt trong ba kh
nng di õy:
1. Mi ng ct Q ch mt im.
2. Mi ng ct Q ti hai im phõn bit.
3. Khụng ng no ct Q.
Ta kớ hiu F l tp tt c cỏc im l giao ca
H
vi cỏc ng thng ca tp
L
U
.
Trong trng hp th 3 thỡ
F
.
Ta xột trng hp th nht:
Cho
L

l mt tia ca ca ng L m giao vi Q. Ta kớ hiu
L
U

l tp gm cỏc tia
cựng hng vi
L

v xut phỏt t cỏc im trong ca H. Khi ú F cha tt c cỏc
im l giao ca
H
vi cỏc tia ca tp
L
U

.
Cho P l siờu phng trc giao vi L. Khi ú hỡnh chiu ca F trờn P l mt min
li, m G. Rừ rng G l hỡnh chiu ca tp IntH trờn cựng mt siờu phng P. Cho
1 2 1

nn
x ,x , ,x ,x z
l ta cỏc trong
1n
E
sao cho siờu phng P cú phng trỡnh
0z
.
Rừ rng F l th ca mt hm

1 n
f x , ,x
xỏc nh trong G. Bõy gi ta
chng minh rng hm

1 n
f x , ,x
ny l liờn tc trong G.
Cho
o
X
l mt im bt k ca G v dóy cỏc im

m
XG
hi t n
o
X
. Ta
kớ hiu

01 2
i
Y i , , ,
l im ca F m chiu lờn trờn
i
X
, tha món


om
m
Y limY
. Ta

thy rng
m
Y
b chn.
Do

m
YH
, gii hn ca mt dóy con hi t ca dóy cỏc im
m
Y
thuc vo
H
.
Hn na, nú phi nm trờn mt tia ca tp
L
U

. Rừ rng
o
Y
l mt im duy nht
tha món nhng iu kin ny. Vỡ vy,


om
m
Y limY
v hm

1 n
f x , ,x
liờn tc
Häc viªn : Bïi V¨n Toan - 8 - K19 – To¸n Gi¶i TÝch

trong G. Do F là đồ thị của một hàm liên tục
 
1 n
f x , ,x
xác định trong một miền
lồi, mở G và
FH
, F là một siêu phẳng lồi.
Bây giờ ta xét trường hợp thứ hai:
Khi đó F phân tích thành hai thành phần. Phần thứ nhất gồm các điểm là giao của
H
với các tia của tập
L
U

, và phần thứ hai gồm các điểm là giao của
H
với các tia
xuất phát từ các điểm trong của H và có hướng ngược với tia
L

.
Vì vậy, mọi điểm
AH
có một lân cận

UH
mà được chiếu tương ứng 1-1 lên
một siêu phẳng.
Cho
 
WG
là tập các siêu phẳng lồi trong
1n
E
mà chiếu trực giao và tương
ứng 1-1 lên một miền lồi, mở
GP
. Cho
1 2 1

nn
x ,x , ,x ,x z
là tọa độ Đề các trong
1n
E
sao cho siêu phẳng P có phương trình
0z
. Khi đó một siêu phẳng lồi bất kỳ
 
F W G
có thể được xác định bởi phương trình
 
z f X
, ở đó
 

12 n
X x ,x , ,x G
. Ta kí hiệu
 
 
1
12
n
n
X,z x ,x , ,x ,z E


. Rõ ràng X là hình
chiếu trực giao của (X,z) lên siêu phẳng P.
Cho
 
 
X , f X
là một điểm của F. Khi đó tồn tại ít nhất một siêu phẳng tựa Q
đi qua điểm đó, ở đây
 
12 n
X x ,x , ,x G
. Nếu
 
 
12 n
X,z x ,x , ,x ,z Q
, khi
đó

 
 
12 n
z f X f x ,x , ,x
hoặc
 
 
12 n
z f X f x ,x , ,x
đúng với mọi
XG
.
Trong trường hợp thứ nhất, hàm
 
12 n
f x ,x , ,x
được gọi là lồi, và ở trường hợp thứ
hai là lõm.
Với
1o
X ,X
là hai điểm bất kỳ của miền lồi G. Khi đó, với mọi
 
01t,
điểm
 
1
1
to
X t X tX G   

và cho
 
 
 
1
1
to
z t f X tf X  
. Ta thu được các kết
luận sau:
a) Nếu
 
fX
là một hàm lồi trong G, với
 
01t,
khi đó bất đẳng thức :
 
 
 
 
 
11
11
o t t o
f t X tX f X z t f X tf X      


đúng với mọi
1o

X ,X G
.
Häc viªn : Bïi V¨n Toan - 9 - K19 – To¸n Gi¶i TÝch

b) Nếu
 
fX
là một hàm lõm trong G, với
 
01t,
khi đó bất đẳng thức :
 
 
 
 
 
11
11
o t t o
f t X tX f X z t f X tf X      


đúng với mọi
1o
X ,X G
.
1.1.3. Nón tiệm cận
Ta kí hiệu
 
A

KM
là tập hợp các điểm nằm trên những tia xuất phát từ điểm
AM
và chứa trong M. Nếu không có tia nào như thế thì ta đặt
 

A
K M A
.
Định lý 1.1.3.1. Nếu M là một tập lồi thì tập
 
A
KM
cũng là tập lồi. Hơn nữa, nếu
 

A
K M A
thì
 
A
KM
là một nón lồi.
Chứng minh : Cho B và C là các điểm thuộc
 
M
KA
.
Với
0 1 0   ;t

, ta chứng minh
 

t
XA
nằm trong M, ở đó
 
1  
t
X t B tC
.
Cho
0 1 0   ;t
cố định. Do
     
     ,,
M
B C K A B A C A M

Do M là tập lồi và
         
11
     
             
     
t
X A t B tC A t B A t C A

nên
 

  
t
X A M
.
Định lý 1.1.3.2. Cho M là một tập lồi đóng trong
n
E
và
,
AB
LL
là hai tia xuất phát từ
hai điểm phân biệt A, B của tập M. Nếu

A
LM
và

AB
LL
thì

B
LM
.
Chứng minh: Cho C là một điểm bất kỳ thuộc
A
L
. Do M là tập lồi nên đoạn thẳng
BC nằm trong M.

Với mọi điểm

B
XL
, X là giới hạn của một dãy các điểm nằm trên đoạn
n
BC
, ở đó

nA
CL
.
Do M là tập đóng nên
XM
. Do đó

B
LM
.
Häc viªn : Bïi V¨n Toan - 10 - K19 – To¸n Gi¶i TÝch

Định nghĩa : Nếu M là một tập lồi, đóng trong
n
E
thì nón
 
B
KM
có thể thu được
bằng cách tịnh tiến song song nón

 
A
KM
, ở đây A và B là hai điểm bất kỳ thuộc
vào M.
Từ đó, nón
 
X
KM
được gọi là nón tiệm cận của một tập lồi đóng M, với X là một
điểm bất kỳ của M.
Nếu M là một tập lồi, đóng trong
n
E
và chứa một đường L thì M là một hình trụ
sinh bởi đường thẳng song song với L.
Định lý 1.1.3.3. Cho A là một điểm bất kỳ thuộc tập lồi đóng M. Nếu
 

A
K M A
thì
M là một tập bị chặn.
Chứng minh : Giả sử rằng định lý trên không đúng.
Khi đó tồn tại một dãy điểm

n
XM
sao cho độ dài của đoạn thẳng
AX

n
tăng vô
hạn. Do đó ta có thể chọn được 1 dãy con từ dãy
AX
n
mà hội tụ đến tia L.
M lồi
AX
n
M
. Do M là tập đóng
LM
, nghĩa là
 
A
KM
chứa tia L.
Vô lý do
 

A
K M A
.
1.1.4. Ánh xạ chuẩn tắc và độ cong R của các hàm lồi
1.1.4.1. Một số kí hiệu
Cho
1 2 1
, , , ,
nn
x x x x

là tọa độ Đề các trong không gian Ơclit (n+1)-chiều
1n
E

và cho
n
E
là siêu phẳng
1
0
n
x


. Ta kí hiệu
1n
xz


và gọi
 
12 n
x x x x , , ,
,
   
12 n
x z x x x z, , , , ,
là các điểm thuộc
n
E

và
1n
E

.
Cho G là một miền lồi mở, bị chặn trong
n
E
, ta kí hiệu
z
S
là đồ thị của hàm
z G R:
. Cuối cùng,
 
W G

và
 
W G

là các lớp riêng biệt tất cả các hàm lồi và
Häc viªn : Bïi V¨n Toan - 11 - K19 – To¸n Gi¶i TÝch

hàm lõm định nghĩa trên G. Nếu
   
zWxG


hoặc

   
zWxG


thì
z
S
được
gọi là một siêu mặt lồi hoặc siêu mặt lõm.
1.1.4.2. Ánh xạ chuẩn tắc
Trước tiên ta giới thiệu một không gian n-chiều mới
 
 
12
n
n
R p p p p, , ,

với tích vô hướng
 
1
n
ii
i
p q p q



,
và kí hiệu

 
1
2
p p q ,
là độ đài của véc tơ
n
pR
nào đó.
n
R
được gọi là không gian Gradient.
Bây giờ cho z(x) là một hàm lồi xác định trong G,

là siêu phẳng tựa tùy ý của
z
S
.
Nếu
     
1 1 1 1
o o o o o o
o n n
Z z p X x p X x p X x       ,
là phương trình của

,
thì điểm
 
oo
z

x z S  ,
.
Điểm
 
12
o o o o n
n
p p p p R, , ,
được gọi là ảnh chuẩn tắc của siêu phẳng tựa

và
được kí hiệu bởi
 
o
z
p   
.
Tập
   
z o z
x

   
được gọi là ảnh chuẩn tắc của điểm
o
x
(chính xác hơn ta gọi
 
zo
x

là ảnh chuẩn tắc của điểm
o
x
ứng với hàm z(x) ), ở đây
o
x
là một điểm bất
kỳ của G,

là siêu phẳng của
z
S
tại điểm
 
o o z
x z x S, ( )
. Rõ ràng
 
zo
x
là tập
con lồi của
n
R
. Nếu
 
zo
x
chứa một điểm thì siêu mặt lồi
z

S
có một siêu phẳng
tiếp xúc tại điểm
 
oo
x z x, ( )
, điểm
 
oo
x z x, ( )
được gọi là trơn đối với
z
S
. Ví dụ với
hàm z(x) là một hàm lồi tuyến tính từng khúc, khi đó
 
zo
x
là một khối đa diện lồi
đóng trong không gian Gradient

n
R
, mà số chiều có thể là 0,1,2,…,n.
Bây giờ cho
e
là một tập con bất kỳ của G. Khi đó tập
   
o
z z o

xe
ex

  
được gọi
là ảnh chuẩn tắc của
e
. Chú ý rằng
 
z
e
là một tập con của không gian Gradient
n
R
.
Häc viªn : Bïi V¨n Toan - 12 - K19 – To¸n Gi¶i TÝch

Định nghĩa : Ánh xạ
z

mà qua đó đồ thị của các tập
eG
nằm trong tập
 
n
z
eR
, được gọi là chuẩn tắc.
1.1.4.3. Các tính chất chính của ánh xạ chuẩn tắc của một siêu mặt lồi.
Cho G là một tập lồi, mở, bị chặn trong

n
E
.
A) Cho
   
12
z x z x,
là các hàm lồi xác định trên G sao cho
1 G 2 G
zz


và
   
12
z x z x
với mọi x. Khi đó
   
21
zz
GG  
.
B) Cho z(x) là hàm lồi bất kỳ xác định trên G. Khi đó
 
z
F
là một tập đóng, bị
chặn trong không gian Gradient
n
R

, ở đây F là tập con đóng của G.
Nếu
F

là khoảng cách từ F đến
G
, và
   
F
xG
M z max z x

,
sao cho
 
F
dist x G  ,
với mọi
xG
, khi đó bất đẳng thức
   
1
z F F
diam F 8 M z

   ,

đúng và
 
z

F
chứa trong hình cầu
 
1
FF
p 4 M z

  ,
.
C) Siêu phẳng tựa

của siêu mặt lồi
z
S
được gọi là kì dị nếu

z
S
chứa ít nhất
hai điểm phân biệt. Rõ ràng siêu phẳng tựa kì dị

của
z
S
chứa ít nhất một đoạn
  
z
lS
.
Cho

z
Q
là tập tất cả các siêu phẳng tựa kỳ dị của
z
S
. Khi đó :
 
n
z
R
Q
mes 0


  



Nếu

z
Q
thì
z
S
được gọi là một siêu mặt lồi ngặt.
D) Nếu
e
là tập con Borel bất kỳ của G, thì tập
 


z
G
là tập đo được Lơ be trong
không gian Gradient
n
R
.
E) Nếu
     
1
Wz x G C G


, thì ánh xạ chuẩn tắc có thể được quy về một ánh xạ
của các điểm mà đồng nhất với ánh xạ tiếp tuyến.

Häc viªn : Bïi V¨n Toan - 13 - K19 – To¸n Gi¶i TÝch

1.1.4.4. Một số tính chất đối với ánh xạ chuẩn tắc của hàm lồi.
A) Giả sử
 
ux
là một hàm lồi bất kỳ, khi đó hàm :
1
( ) ( ) ,

  

n

ii
i
v x u x a x b

là lồi, ở đó
12
, , , ,
n
a a a b
là những hằng số, và tập
 
v
e

có thể thu được từ
 
u
e


bằng cách tịnh tiến song song gradient không gian
n
R
dọc theo vectơ
 
12
, , ,
n
a a a a
.

B) Ảnh chuẩn tắc của nón lồi K bất kỳ là một tập lồi đóng trong không gian
n
R
, số
chiều không gian có thể các giá trị từ 0, 1, 2, … , n.
C) Nếu K là một nón lồi không suy biến, khi đó
 
n
K
E

là một tập lồi, đóng, bị
chặn n chiều với những điểm trong.
Nhận xét :
Ta chỉ cần xét hàm lồi
:
n
u E R
là đủ, hàm mà ảnh chuẩn tắc chứa gốc của
n
R
. Nếu nón tiệm cận của một hàm như thế là không suy biến, thì ta có thể giả sử
thêm rằng gốc
'

của
n
R
là một điểm trong của
 

n
K
E

. Nếu chúng ta cũng giả sử
rằng đỉnh của nón lồi K không suy biến này là gốc

của
n
E
, thì phương trình của K
là
()z k x
,
ở đó k(x) là một hàm lồi, không âm trong
n
E
và k(x) = 0 chỉ tại điểm

. Từ một
điểm bất kỳ của
n
E
được thực hiện như là gốc, chỉ xét những nón tiệm cận không
suy biến là đủ, mà các đỉnh của chúng được chiếu lên điểm
n
E


. Phương trình

của những nón như thế là
()z k x b
,
Học viên : Bùi Văn Toan - 14 - K19 Toán Giải Tích

ú b l mt hng s bt k.
1.1.4.5. cong R ca cỏc hm li.
Nu
e
l mt tp con Borel ca G, ta s chng minh c rng

z
e
l tp o
c Lbe trong
n
R
. Vỡ vy ta cú th a ra hm tp


,,



z
e
R z e R p dp
,
trờn vnh cỏc tp con Borel ca G, õy

0Rp
l mt hm kh tng a phng
trong
n
R
.
nh ngha : Hm tp

,, R z e
c gi l cong R ca hm li z(x). cong R
ch nhn giỏ tr khụng õm.
Cho



n
R
B R R p dp
. Rừ rng

0BR
. Trng hp

BR
khụng
b loi tr. Khi ú vi hai tp con Borel bt k riờng bit ca G, ng thc

n
z 1 z 2
R

mes e e 0



ỳng. Do ú t lý thuyt v tớch phõn, ta suy ra rng
cong R,

,,R z e
l mt hm tp hon ton cng tớnh, khụng õm trờn vnh cỏc tp
con Borel ca G.
1.1.4.6. Cỏc tớnh cht ca hm li liờn quan n cong R ca chỳng.
nh lý 1.1.4.6.1 Cho

12
z x z x W G

,
v

12
z x z x
trờn
G
, trong ú G
l mt tp li, m, b chn trờn
n
E
. Vi mi tp con Borel e ca G, gi s

12

R z e R z e , , , ,
. Khi ú

12
z x z x x G ,
.
Chng minh nh lý ny da vo nhng B sau:
B 1.1.4.6.2 Cho

z x W G


v C l hng s bt k. Khi ú, vi mi tp con
Borel e ca G ta cú :

R z C e R z e, , , ,
.
B 1.1.4.6.3. Cho

12
z x z x W G

,
v Q l mt min con ca G sao cho:
Học viên : Bùi Văn Toan - 15 - K19 Toán Giải Tích

i)
QG,

ii)

12
z x z x x Q,,

iii)

12
z x z x x Q,.

Nu cú ớt nht mt im
o
xG
m

21
z o z o
xx\
, khi ú:

12
R z Q R z Q, , , ,
.
Chng minh. Cho
12
zz
S ,S
l th ca cỏc hm

12
z x z x,

.
12
H ,H
l nhng min
ca
12
zz
S ,S
m chiu lờn Q. Rừ rng chng minh B 1.1.4.6.3 rỳt ra t hai phỏt
biu:
i)

12
zz
QQ


,
ii)

12
zz
int Q int Q


,
ú

i
z

int Q

l phn trong ca tp

i
z
Q

, i=1,2.
nh lý 1.1.4.6.4. Cho

12
z x z x W G

,
v

12
z x z x x G,.
Vi mi
tp con Borel e ca G,

12
R z e R z e, , , ,
. Khi ú,

12
z x z x x G,.

1.1.5. Phng trỡnh Monge-Ampere.

1.1.5.1. Cỏc phng trỡnh Monge-Ampere c in (n=2)
Cỏc phng trỡnh Monge-Ampere c in cú liờn quan n cỏc hm vi hai
bin c lp x
1
v x
2
. Cỏc phng trỡnh ny cú dng
12
2
11 22 11 12 22
2 (1*)u u u Au Bu Cu D

trong ú A,B,C,D l cỏc hm ca x
1
,x
2,
u,u
1
,u
2
.
Biu thc


2
D AC B
c gi l bit thc ca phng trỡnh (II
2
)
Cho

2
12
( , ) ( )u x x C G
l nghim no ú ca pt(II
2
), ng nht thc :
22
11 22 12 4
( )( ) ( ) (II )u C u A u B D AC B
ỳng. ng nht thc ny cho ta
tớnh elliptic ( hyperbolic) ca phng trỡnh (II
2
)
2
1 2 1 2
0( 0) voi ( , ) , ,( , )x x G u R u u R

Cũn lý thuyt ca phng trỡnh Monge-Ampere c in n gin nht
2
11 22 12 5
, (A=B=C=0) (II )u u u D
thỡ phong phỳ v cú cỏc ng dng sõu sc khỏc
nhau cho phng trỡnh vi phõn hỡnh hc tuyn tớnh v hu tuyn tớnh, cỏc phộp tớnh
ca bin ng dng trong toỏn hc v cỏc nghnh khỏc
Tt c cỏc nghim ca phng trỡnh elliptic (II
5
) hoc l hm li hoc l hm lừm .
Mi nghim ca phng trỡnh Hypebolic (II
5
) cú th l im yờn nga.

Học viên : Bùi Văn Toan - 16 - K19 Toán Giải Tích

1.1.5.2. Phng trỡnh Monge-Ampere n- chiu n gin nht
det( ) ( , , )
ij
u D x u gradu

õy quan h gia th ca nghim v kiu ca phng trỡnh (II
6
) ch ỳng
cho nghim elliptic ca Pt(II
6
)
. Nghim elliptic ca phng trỡnh tt nhiờn l hm
li hoc lừm. Nú l ch xem xột cỏc nghim li ca phng trỡnh (II
6
). Nu
pt(II
6
)
cú cỏc nghim li thỡ hm D ch nhn giỏ tr dng
Trong phn II chỳng ta quan tõm nghiờn cu cỏc bi toỏn giỏ tr biờn ( Bi toỏn
biờn)nghim yu v nghim suy rng ca phng trỡnh Monge-Ampere (II
6
) cỏc
nghim ny núi chung l cỏc hm li hoc lừm. Lý thuyt hỡnh hc ca phng trỡnh
Monge-Ampere l ỳng l h ca cỏc khỏi nim, k thut v kt qu ca cỏc nghiờn
cu ny.
ỳng vy trong mt nhỏnh khỏc ca toỏn hc hin i s nghiờn cu v cỏc i

tng trn m cú mt cỏc trng hp nghim yu v nghin suy rng ca phng
trỡnh (II
6
) khụng l mc ớch chớnh, chỳng tụi a ra s hiu bit sõu sc hn v cỏc
vn trn. nh lý ca nghim yu v nghim suy rng ca cỏc bi toỏn biờn khỏc
nhau cho phng trỡnh (II
6
) l mt vớ d minh ho hn hn ca s phỏt biu ny, bi
vỡ cỏc chng minh ca tt c cỏc nh lý tn ti cho nghim yu v nghim suy rng

ca bi toỏn giỏ tr biờn cú c s trong nguyờn lý n gin ca tớnh compact trong
cỏc khụng gian hm thớch hp . Hn na cỏc nh lý ny c chng minh di dng
tng quỏt v cỏc iu kin t nhiờn hn cỏc nh lý tng ng cho cỏc nghim c
in.
T ú nghim yu v nghim suy rng ca PT
(II
6
)
trong tp ca tt c cỏc
hm li v hm lừm núi chung, cõu hi ca C
m
-trn
( 2)m
ca cỏc nghim xut
hin nh vy. Cõu hi ny phi c xem xột theo hai hng. Cho G l mt min
xỏc nh ca PT
(II
6
). Th nht chỳng ta mun tỡm cỏc iu kin trờn hm
( , , )D x u p

m lm cho C
m
- trn ca nghim yu v nghim suy rng ca phng trỡnh
(II
6
)
trờn G. Hng th hai ca bi toỏn l tỡm cỏc iu kin biờn trờn hm
( , , )D x u p
v
cỏc d kliu biờn m lm cho C
m
- trn ca cỏc nghim tng t trờn
G G G
.
Nghim chc chn a bi toỏn ny m ramt con ng ng dng ca cỏc k thut
v cỏc kt qu ca lý thuyt hỡnh hc ca phng trỡnh v toỏn t Monge-Ampere
cho cỏc bi toỏn c in trong PDE v hỡnh hc vi phõn. Chỳng tụi xem xột C
m
- trn
ca cỏc nghim cho PT
(II
6
) trong chng 6

1.2. Bi toỏn biờn th hai i vi phng trỡnh

ij
g(x)
det(u )

R(Du)

1.2.1. Cỏc nghim yu v nghim suy rng .
Cho G l mt tp li, m, b chn trong
n
E
, ta xem xột phng trỡnh Monge-
Ampere:
Häc viªn : Bïi V¨n Toan - 17 - K19 – To¸n Gi¶i TÝch

()
det( )
()
ij
gx
u
R Du

, (1.1)
trong đó g(x) là hàm khả tích, không âm trên G, và R(p) là hàm dương, khả tích địa
phương trong không gian Gradient
n
R
.
Từ (1.1)
 
 
 
ij
.detR Du u g x

. Lấy tích phân hai vế ta được :
 
 
 
 
 
ij
.det
zz
ee
R Du u dx g x dx




Ta đặt
 
ij
detp Du dp u dx  
. Khi đó phương trình (1.1) trở thành:
 
 
 
z
e
e
R p dp g x dx




.
Mà
   
 
z
e
R z e R p dp



,,
.
Phương trình
   
e
R u e g x dx

,,
là sự mở rộng của phương trình Monge-
Ampere (1.1) tới lớp các hàm lồi
 

WG
, ở đây
e
là tập con Borel bất kỳ của G,
nghĩa là tích phân ở phương trình Monge-Ampere (1.1) có thể được xem như là sự
dựng lại của của một hàm lồi
   


z x W G
bởi giá trị độ cong R cho trước của nó.
Chú ý rằng giá trị của độ cong R được cho bởi hàm tập không âm, liên tục tuyệt đối
   
e
e g x dx

.
Ta gọi hàm lồi
   

z x W G
là nghiệm suy rộng của phương trình Monge-Ampere
(1.1) nếu độ cong R
 
 ,,R z e
thỏa mãn phương trình
   
e
R u e g x dx

,,
.
Với mọi hàm
   

z x W G
có vi phân cấp 1 và vi phân cấp 2 hầu khắp nơi, ta có
thể định nghĩa khác về nghiệm suy rộng.
Hàm

   

z x W G
được gọi là nghiệm suy rộng của phương trình (1.1) nếu z(x)
thỏa mãn phương trình (1.1) hầu khắp nơi và
 
 ,,R z e
là hàm liên tục tuyệt đối. Rõ
ràng cả hai định nghĩa về nghiệm suy rộng là tương đương.
Học viên : Bùi Văn Toan - 18 - K19 Toán Giải Tích

Nu cong R ca hm li


z x W G
l khụng liờn tc tuyt i thỡ z(x) khụng
l nghim suy rng ca phng trỡnh (1.1). Vớ d cho trng hp ny l cỏc hm m
th ca nú l nún li hay a din li.
Bõy gi ta m rng cỏc lp nghim chp nhn c ca phng trỡnh (1.1) ti
tt c cỏc hm li. Cho

e
l hm tp hon ton cng tớnh, khụng õm trờn vnh cỏc
tp con Borel ca G. Khi ú ta kt hp phng trỡnh

,,R z e e
vi phng
trỡnh (1.1). Rừ rng mi hm li xỏc nh trờn G cú th xem nh nghim ca phng
trỡnh nh th vi mt hm tp

e
thớch hp. Phng trỡnh

,,R z e e
l m
rng nht ca phng trỡnh Monge-Ampere (1.1). Cỏc hm li tha món phng
trỡnh

,,R z e e
c gi l nghim yu ca phng trỡnh (1.1). Nh vy rừ
rng cỏc hm m th ca nú l nún li hay a din li ch l cỏc nghim yu ca
phng trỡnh (1.1).
1.2.2. Bi toỏn biờn th hai.
1.2.2.1. Phỏt biu bi toỏn biờn th hai.
Chỳng ta ch xột nghim suy rng li u(x) ca phng trỡnh Monge Ampere

det( ) ( , , )
ij
u f x u Du
, (1.2)
trong ton b khụng gian
n
E
. Nh vy nhng nghim tho món phng trỡnh (1.2)
hu khp ni trong
n
E
v hm tp
( , , )ue

liờn tc tuyt i. Chỳ y rng

( , , ) ( )

u
u e meas e
, (1.3)
vi tp con Borel bt k e ca
n
E
. Di õy chỳng ta gi s rng
( , , )f x u p
liờn tc
v khụng õm trong
nn
E R R
.
Nún tim cn K c gi l khụng suy bin nu
K
chiu tng ng 1-1 trờn
ton khụng gian
n
E
. i vi nún tim cn khụng suy bin nú tin cho vic
thay th chỳng bi biờn ca chỳng. Trong trng hp ny kớ hiu K s c
s dng cho cỏc biờn ca mt th nún li v chỳng ta s núi rng K l nún tim
cn ca hm u(x).
Học viên : Bùi Văn Toan - 19 - K19 Toán Giải Tích

Bi toỏn biờn th hai c trỡnh by nh sau: Cho K l mt nún li khụng

suy bin. Tỡm iu kin rng phng trỡnh (1.2) cú ớt nht mt nghim suy
rng m K l nún tim cn. Trc tiờn ta gii thiu nghim ca bi toỏn ny cho tp
riờng bit ca phng trỡnh Monge - Ampere

()
det( )
()

ij
gx
u
R Du
, (1.4)
ú chỳng ta a vo iu kin cn v cho bi toỏn biờn th hai cho phng trỡnh
(1.4) cú mt nghim suy rng nh sau :

()
( ) ( )


nn
k
ER
g x dx R p dp
, (1.5)
vi

0, , 0,
nn
loc
g x g x L E R p R p L R
v

n
k
R

l nh
chun tc ca mt nún tim cn li khụng suy bin K. Chỳ ý rng nghim mong
mun c xỏc nh trong mt hng s cng tớnh.
Tỡm nghim ca bi toỏn biờn th hai cho phng trỡnh Monge Ampere tng
quỏt
det( ) ( , , )
ij
u f x u Du
,
v c bn l rt khú, n gin bi vỡ iu kin cn v (1.5) cú kh nng gii c
bi toỏn tng t vi phng trỡnh (1.4) phi c thay th bi iu kin cn n
phc tp
n
n
k
E
meas (P ) f(x,u(x),Du(x))dx

.
Hn na, ng dng ca nh lý v im bt ng a ra l rt khú bi vỡ tp
n
E
l
tp khụng compact.
1.2.2.2. iu kin cn v v tớnh gii c ca bi toỏn biờn th
hai.
Gi s
( ) 0gx
l mt hm kh tớch trong
n
E
v gi s

0Rp
l hm
kh tớch a phng trong
n
R
. Ta kớ hiu
1nn
E E R


l khụng gian clit vi to
cỏc
12
, , , ,
n

x x x z
. Ta nh li rng
n
E
l mt khụng gian clớt n chiu v
12
, , ,
n
x x x
l to cỏc trong
n
E
. Vỡ vy
n
E
l siờu phng z = 0 trong
1n
E

. Ta
s dựng kớ hiu truyn thng ca chỳng ta : x l mt im ca
n
E
, ( x, z) l mt im
Học viên : Bùi Văn Toan - 20 - K19 Toán Giải Tích

ca
1n
E

v

12
, , ,
n
p p p p
l mt im ca khụng gian cong
n
R
, ú
12
, , ,
n
p p p
l ta cỏc trong
n
R
.

nh lý 1.2.4.2.1 . Gi s K l mt nún li khụng suy bin trong
1n
E

v gi
s

,
n
z k x x E
, l phng trỡnh ca K. Gi s

()
( ) ( )


nn
k
ER
g x dx R p dp
.
Khi ú, bi toỏn biờn th hai ca phng trỡnh (1.1) cú mt nghim suy rng u(x) v
nghim ny l duy nht sai khỏc mt hng s cng tớnh.
Chng minh :
Trc tiờn ta thỏc trin phng trỡnh (1.1) thnh phng trỡnh
( , , ) ( )R u e e


, (1.6)
m c xột trong tp tt c cỏc hm li tng quỏt c nh ngha trong
n
R
. (1.6)
hm tp hp

e

l khụng õm, hon ton cng tớnh v tho món iu kin
()
( ) ( )
n
k

n
E
E R p dp




.
Vic thỏc trin t phng trỡnh (1.1) thnh phng trỡnh (1.6) c thc hin nh
sau :
T



ij
()
det( ) .det
()
ij
gx
u R Du u g x
R Du

. Ly tớch phõn hai v ta c :





ij

.det
zz
ee
R Du u dx g x dx




t

ij
detp Du dp u dx
. Khi ú phng trỡnh tr thnh:



z
e
e
R p dp g x dx



.
M


z
e
R z e R p dp

,,
v
( ) ( )
e
e g x dx



.
Tp nghim ca phng trỡnh (1.6) c gi l nghim yu ca phng trỡnh (1.1).
Nu hm tp hp

e

l liờn tc tuyt i, tc l
Học viên : Bùi Văn Toan - 21 - K19 Toán Giải Tích

( ) ( )
e
e g x dx



,
thỡ cong R ca nghim yu cng l liờn tc tuyt i v nghim yu tr thnh
nghim tng quỏt ca phng trỡnh (1.1).
Trỡnh by phn chng minh tớnh duy nht sai khỏc mt hng s cng tớnh i

vi nghim suy rng lm nh lý 1.2.4.2.1 l mt kt qu n gin t B
1.1.4.6.1. v 1.1.4.6.2.
Chng minh phn tn ti nghim suy rng c a ra nh lý 1.2.4.2.1 cú
th c chng minh bng tớnh xp x ca a din li. Nu cú th t thờm vo gi
thit rng tt c a din ng i qua mt v mt im tng t trong
1n
E

. nh
chun tc ca tt c a din ny l b chn u trong khụng gian Gradient
n
R
. Do ú
tt c cỏc hm li m th ca chỳng l cỏc a din li ó xột trờn, cú dng mt
h cỏc hm li tho món iu kin Lipschitz th nht vi hng s Lipschitz chung.
H cỏc hm ny l compact trong khụng gian cỏc hm liờn tc. Tuy nhiờn, cong R
ca dóy hi t cỏc hm li hi t yu. T tt c cỏc iu trờn suy ra rng phn trỡnh
by s tn ti c a ra nh lý 1.2.4.2.1 cú th c chng minh nu nh phn
trỡnh by ny c chng minh i vi a din li.
1.2.3. Bi ton biờn th hai trong lp cỏc a din li
Cho K l mt gúc a din li khụng suy bin trong
1n
E

v
12
, , ,
m
a a a
l mt

h cỏc im c nh cho trc trong
1n
E

. Ta xột a din li m cỏc nh ca nú ch
c chiu trong cỏc im
12
, , ,
m
a a a
v nún tim cn ca chỳng trựng vi gúc a
din li K quy nh ó gii thiu trờn. Theo tớnh cht A,B,C ( xem phn tiu mc
1.1.4.4) khụng gim tng quỏt ta cú th gi s rng gc
'

ca
n
R
l mt im trong
ca tp

nn
K
ER


. Tt nhiờn, ta gi s rng mt vi nh ca a din ny cú th
suy bin. Khi ú o nh chun tc ca nh cựng vi giỏ tr ca cong R trit
tiờu. Ta kớ hiu

12
, , , ,
m
W a a a K

l tp tt c cỏc hỡnh a din li ny. Tp
Học viên : Bùi Văn Toan - 22 - K19 Toán Giải Tích


12
, , , ,
m
W a a a K

l khụng trng (rng) bi vỡ gúc a din li K vi nh
1
a
l
mt phn t ca

12
, , , ,
m
W a a a K

.
Bõy gi cho cỏc nh ca mt a din li P,

12
, , , ,

m
W a a a K

l cỏc im


1 1 2 2
, , , , , ,
mm
a A a A a A
. Khi ú P cú th thu c l biờn ca mt bao li kộo
di n nh ca P v gúc a din K vi nh

11
,aA

Bõy gi kt hp mt s
0
i


vi mi im
, 1,2, ,
i
a i m
v xột tp cỏc
hm sau


i

i
ae
e




, (1.7)
i vi tp con Borel bt k e ca
n
E
. Nu

12
, , , ,
m
P W a a a K


v z = u(x) l
phng trỡnh ca P, khi ú



, , , ,
i
i
ae
R u e R u a

,
ú e l mt tp con Borel nh trc bt k trong
n
E
. Do vy, v phi ca phng
trỡnh (1.6) ch cú th l tp cỏc hm

e

m nú c xõy dng bi cụng thc (1.7)
nu ta xột phng trỡnh (1.6) trong lp cỏc a din li

12
, , , ,
m
W a a a K

.
Do ú, phn trỡnh by bi toỏn biờn th hai cho phong trỡnh (1.6) cú th c
phỏt biu li theo cỏch sau : chng minh s tn ti ca a din li

12
, , , ,
m
P W a a a K

sao cho

( , , )
ii
R P a


, (1.8)
i = 1,2 ,, m , ú
12
0, 0, , 0
m


l nhng s ó cho.
nh lý 1.2.3.1 . Nu cỏc s
12
, , ,
m

l cỏc s khụng õm v ng thc
Học viên : Bùi Văn Toan - 23 - K19 Toán Giải Tích

()
1
()
n
k
n
i

E
i
Rp






, (1.9)
ỳng, khi ú bi toỏn biờn th hai cú nghim trong lp cỏc a din li

12
, , , ,
m
W a a a K

. Tuy nhiờn, nu u(x) l mt trong cỏc nghim thỡ tt c cỏc
nghim khỏc cú th c vit di dng

( ) ( )v x u x C
,
ú C l mt hng s tu ý.
Chng minh : Trc tiờn ta thit lp s tn ti ca nghim u(x) tho món thờm iu
kin sau
11
()u a A
, ú
1
A

l hng s thc bt k.
Cho T l tp cỏc a din li P ; z = u(x) tho món iu kin sau :
a) T l tp con ca

12
, , , ,
m
W a a a K

,
b) nu

u x T
, khi ú bt ng thc

0 ( , , )

ii
R u a
, (1.10)
ỳng vi mi i = 1,2,,m v
()
2
( , , ) ( ) ( , , )

n
k
m
ii
E
i
R u a R p dp R u a
,
c)
11
()u a A
. (1.11)
Tp T khỏc rng vỡ nún li K vi nh

11
,aA
thuc vo T.
H cỏc s thc :
1 1 2 2
( ), ( ), , ( )
mm
u a u a u a


, (1.12)
c ly t mi a din li


12
, , , ,

m
u x W a a a K


, xỏc nh a din ny tng
ng 1 -1. Metric
2
1
( ( ), ( )) ( ( ) ( ))
m
ii
i
d u x v x u a v a






,
Học viên : Bùi Văn Toan - 24 - K19 Toán Giải Tích

c a vo trong

12
, , , ,
m
W a a a K

cho thy rng cỏc ỏnh x (1.12) l cỏc ỏnh

x ng c ca tp

12
, , , ,
m
W a a a K

trờn mt s tp con li úng ca khụng gian
clit


12
, , ,
m
m
R


. Rừ rng

12
, , , ,
m
T W a a a K


.
Do

12

, , , ,
m
W a a a K

ng nht vi mt tp con úng ng v ca
m
R
nờn T
cng l mt tp úng trong
m
R
. T (1.9-1.11) ta suy ra rng T l mt tp b chn
trong
m
R
. Vỡ vy T l mt tp compact trong
m
R
.
Hm
:f T R
xỏc nh bi cụng thc



1
m
i
i
f u u a

,
l liờn tc ti a din li bt k

u x T
. Do T l mt tp con compact ca
m
R
, nờn
0
inf ( )
T
f u f
,
v tn ti mt a din

0
u x T
sao cho :

00
( ( ))f u x f
. (1.13)
Bõy gi ta s chng minh rng

0
ux
l nghim mong mun ca bi toỏn biờn th

hai, tho món iu kin (1.11) :
0 1 1
()u a A
,
Nu khng nh ca chỳng ta ỳng thỡ ti ớt nht mt im

, 2,3, ,
k
a k m
cú
0
( , , )
kk
R u a


.
T ú
0
( , , )
kk
R u a


da vo nh ngha ca tp T.
Bõy gi xột a din li
12
: ( ) ( , , , , )
k
P z u x W a a a K

Học viên : Bùi Văn Toan - 25 - K19 Toán Giải Tích

sao cho :
1 1 1 0 2 1
0 1 0
1 0 1 0
( ) , ( ) ( ), , ( )
( ), ( ) ( ) ,
( ) ( ), , ( ) ( ),







k
k k k
k k m m
u a A u a u a u a
u a u a u a
u a u a u a u a

ú

l mt hng s nh tu ý sao cho

( , , )
kk
R u a


(1.14)
T ú :
()
1
( , , ) ( )
n
k
m
i
R
i
R u a R p dp






v :

0
( , , ) ( , , )
ss
R u a R u a

, (1.15)
vi s = 1,2,,k-1,k+1,,m, sau ú t (1.14-1.15) suy ra rng

u x T
.
Nhng
0 0 0
11
( ( )) ( ) ( )
mm
ii
ii
f u x u a u a f f







.
Bt ng thc cui cựng ny khụng tng thớch vi ng thc (1.13). Do ú

0
ux

l nghim mong mun ca bi toỏn biờn th hai cho phng trỡnh (1.8).
Bõy gi cho a din li
1

P
v
2
P
l nhng th ca cỏc nghim li


1 2 1 2
, , , , ,
m
u x u x W a a a K


ca phng trỡnh (1.8) , tho món thờm iu
kin
1 1 2 1 1
( ) ( )u a u a A
. Nu

1
ux
v

2
ux
l nhng hm khỏc nhau, khi ú
tn ti ớt nht mt im
j
a
, ú j l mt trong cỏc s nguyờn 1,2,, m , sao cho

nhng gúc a din
11
VP
v
22
VP
chiu n im
j
a
v
1 2 1 2
;\V V V V
.
Do ú
12
u j u j
mes (a ) mes (a )


Vỡ vy :