bài toán dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
DƯƠNG VŨ THỊ THANH HẰNG
BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH
ELLIPTIC TUYẾN TÍNH
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - Năm 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
DƯƠNG VŨ THỊ THANH HẰNG
BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH
ELLIPTIC TUYẾN TÍNH
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. HOÀNG QUỐC TOÀN
Hà Nội - Năm 2012
Mục lục
Lời mở đầu 3
Kiến thức chuẩn bị 4
1. Các định nghĩa cơ bản về phương trình đạo hàm riêng, phương trình
elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Ký hiệu và kiến thức bổ sung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1. Ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3. Một số kiến thức bổ sung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp
2 9
1.1 Định lý Lax Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace . . . . . . . . . . 11

1.2.1 Không gian Sobolev H
1
0
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Bài toán Dirichlet và nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Toán tử của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.4 Sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet . . . . 15
1.3 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 . 20
1.3.1 Điều kiện "bức" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp 2 . . . 25
2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp
cao 29
2.1 Bất đẳng thức Garding và bài toán Dirichlet đối với phương trình
elliptic tuyến tính cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 Bất đẳng thức Garding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1
2.1.2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính
cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Lý thuyết Fredholm-Riesz-Schauder và bài toán Dirichlet thuần
nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1 Lý thuyết Fredholm-Riesz-Schauder . . . . . . . . . . . . 36
2.2.2 Áp dụng lý thuyết Fredholm-Riesz-Schauder vào bài toán
Dirichlet thuần nhất đối với phương trình elliptic cấp 2 . 44
2.2.3 Áp dụng lý thuyết Fredholm-Riesz-Schauder vào bài toán
Dirichlet thuần nhất đối với phương trình elliptic cấp cao 50
Kết luận 54
Tài liệu tham khảo 55
2
LỜI MỞ ĐẦU
Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là một phần quan trọng trong lý

thuyết phương trình đạo hàm riêng. Mặc dù nhiều mô hình toán học của các bài
toán cơ học và vật lý được mô tả bởi những phương trình vi phân không tuyến
tính, nhưng việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng tuyến tính được bắt
đầu từ hàng thế kỷ nay và được tiếp tục đến tận bây giờ. Những kết quả của
việc nghiên cứu này vừa góp phần phát triển lý thuyết phương trình đạo hàm
riêng nói chung, vừa có nhiều ứng dụng để giải quyết không chỉ những vấn đề
liên quan đến vật lý cơ học mà còn nhằm giải quyết nhiều vấn đề về tự nhiên,
kinh tế và xã hội, chẳng hạn như mô hình quần thể sinh thái, mô hình phát
triển dân số,
Có nhiều phương pháp khác nhau được áp dụng để nghiên cứu phương trình
đạo hàm riêng như phương pháp ứng dụng giải tích, giải tích phức, phương trình
tích phân, giải tích hàm,
Trong luận văn này chúng tôi trình bày một vài ứng dụng phương pháp giải
tích hàm để nghiên cứu bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến
tính.
Nội dung luận văn bao gồm:
Chương 1: Trình bày định lý Lax-Milgram và áp dụng của định lý vào chứng
minh sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình
Laplace và phương trình elliptic cấp hai.
Chương 2: bao gồm chứng minh bất đẳng thức Garding và áp dụng vào bài
toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp cao, áp dụng của lý
thuyết Fredholm-Riesz-Schauder vào bài toán Dirichlet thuần nhất của phương
trình elliptic tuyến tính.
Trong quá trình viết luận văn, tác giả được sự hướng dẫn nhiệt tình của
PGS.TS Hoàng Quốc Toàn. Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô trong tổ giải tích của
khoa Toán -Cơ -Tin học đã giúp đỡ tạo điều kiện để tác giả bảo vệ luận văn
đúng hạn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn cổ vũ
tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn.

3
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong mục này chúng ta sẽ làm quen với các định nghĩa về phương trình đạo
hàm riêng, các ký hiệu và kiến thức bổ sung được sử dụng trong phần sau.
1. Các định nghĩa cơ bản về phương trình đạo
hàm riêng, phương trình elliptic
Định nghĩa 1.1. Cho k là một số nguyên dương, Ω là một tập mở trong R
n
.
Một phương trình liên hệ giữa ẩn hàm u(x
1
, x
2
, , x
n
), các biến độc lập x
i
và
các đạo hàm riêng của nó được gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng (hay
phương trình đạo hàm riêng cho gọn và sẽ viết tắt là phương trình ĐHR). Nó
có dạng:
F (x, u(x), Du(x), , D
k
u(x)) = 0, (x ∈ Ω). (1.1)
Trong đó F : Ω × R × R
n
× R
n
k
→ R là hàm cho trước và u : Ω → R là hàm

cần tìm.
Cấp cao nhất của đạo hàm riêng của u có mặt trong phương trình được gọi
là cấp của phương trình. Ở đây (1.1) là phương trình cấp k.
Ta nói rằng phương trình (1.1) giải được nếu ta tìm được tất cả các hàm số
u thỏa mãn (1.1).
Định nghĩa 1.2.
(i) Phương trình ĐHR (1.1) được gọi là tuyến tính nếu nó có dạng:

|α|≤k
a
α
(x)D
α
u = f(x)
trong đó a
α
(x), f(x) là các hàm số đã cho. Phương trình tuyến tính này
được gọi là thuần nhất nếu f ≡ 0.
(ii) Phương trình (1.1) được gọi là nửa tuyến tính nếu nó có dạng

|α|=k
a
α
(x)D
α
u + a
0
(x, u, Du, , D
k−1
u) = 0.

(iii) Phương trình (1.1) được gọi là tựa tuyến tính nếu nó có dạng

|α|=k
a
α
(x, u, Du, , D
k−1
u)D
α
u + a
0
(x, u, Du, , D
k−1
u) = 0.
4
(iv) Phương trình (1.1) được gọi là phi tuyến hoàn toàn nếu nó phụ thuộc
không tuyến tính vào đạo hàm cấp cao nhất.
Định nghĩa 1.3. Xét toán tử vi phân A(x, D) =

|α|≤m
a
α
(x)D
α
, ở đó a
α
(x) là
hàm có giá trị phức đo được, x ∈ R
n
. Nếu a

α
(x) = 0 với α nào đó mà |α| = m
nguyên dương thì m được gọi là bậc của A.
Đa thức đặc trưng của toán tử A là
A
0
(x, ξ) =

|α|=m
a
α
(x)ξ
α
ở đây ξ = (ξ
1
, , ξ
n
) và ξ
α
= ξ
α
1
1
· ξ
α
2
2
· · · ξ
α
n

n
. Đó là đa thức của ξ với các hệ số
phụ thuộc vào x.
Toán tử A được gọi là elliptic tại điểm x
0
nếu A
0
(x
0
, ξ) khác 0 với mọi
ξ ∈ R
n
\ {0}.
Toán tử A được gọi là elliptic trong một miền nếu nó là elliptic tại mỗi điểm
của miền. Điều kiện elliptic có thể viết dưới dạng:
|A
0
(x, ξ)| ≥ γ
0
|ξ|
m
ở đó γ
0
= const > 0 và trên mặt cầu đơn vị |A
0
(x, ξ)| ≥ γ
0
và A
0
là hàm thuần

nhất bậc m đối với ξ. Hằng số γ
0
được gọi là hằng số elliptic.
Định nghĩa 1.4. Giả sử Ω là một miền trong R
n
. Phương trình
A(x, D)u = f(x), x ∈ Ω (1.2)
được gọi là phương trình elliptic trong miền Ω nếu A là toán tử elliptic trong
miền Ω.
Hàm u(x) được gọi là nghiệm của phương trình (1.2) nếu đẳng thức Au = f
được thỏa mãn hầu khắp x ∈ Ω.
Định lý 1.5. Nếu số chiều của không gian R
n
lớn hơn 2 thì bậc của phương
trình elliptic là chẵn.
Định nghĩa 1.6. Bài toán tìm nghiệm phương trình ĐHR (1.2) sao cho u(x) =
g(x) với mọi x ∈ ∂Ω được gọi là bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic
tuyến tính. Khi u(x) = 0 với mọi x ∈ ∂Ω thì phương trình ĐHR (1.2) gọi là bài
toán Dirichlet thuần nhất đối với phương trình elliptic tuyến tính.
5
2. Ký hiệu và kiến thức bổ sung
2.1. Ký hiệu
(i) R
n
là không gian Euclide n chiều.
(ii) Ω là tập mở trong R
n
, ∂Ω là biên của Ω,
Ω = Ω ∪ ∂Ω.
(iii) Ký hiệu

Du =

∂u
∂x
1
, ,
∂u
∂x
n

= (D
x
1
u, , D
x
n
u),
∆u là toán tử Laplace,
∆u =
n

i=1
∂
2
u
∂x
2
i
=
∂

2
u
∂x
2
1
+ · · · +
∂
2
u
∂x
2
n
.
(iv) Ký hiệu α = (α
1
, , α
n
) với α
i
∈ N (i = 1, 2, , n), được gọi là một đa
chỉ số bậc
|α| = α
1
+ · · · + α
n
.
Ta có
D
α
u = D

α
1
x
1
D
α
2
x
2
. . . D
α
n
x
n
với α
1
+ α
2
+ · · · + α
n
= |α|.
2.2. Các không gian hàm
(i) C
k
(Ω) = {u : Ω → R| u liên tục khả vi k lần}.
(ii) C
∞
(Ω) = {u : Ω → R| u khả vi vô hạn trong Ω}, C
∞
(Ω) =

∞
∩
k=0
C
k
(Ω).
(iii) C
k
0
(Ω) = {u ∈ C
k
(Ω)|supp u compact trong Ω}.
(iv) C
∞
0
(Ω) = {u ∈ C
∞
(Ω)| supp u compact trong Ω}.
(v) L
p
(Ω) = {u : Ω → R| u là đo được Lebesgue, ||u||
L
p
(Ω)
< +∞} trong đó
||u||
L
p
(Ω)
=



Ω
|u(x)|
p
dx

1
p
, 1 ≤ p < +∞.
6
(vi) H
k
(Ω) (k = 0, 1, 2, ), ký hiệu không gian Sobolev. H
k
(Ω) là bổ sung đủ
của C
∞
(Ω) theo chuẩn
||u||
k
=


Ω

|α|≤k
|D
α
u|

2
dx

1
2
.
2.3. Một số kiến thức bổ sung
2.3.1. Không gian Banach
Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn.
Định nghĩa 2.1. Ta nói rằng dãy {u
k
}
∞
k=1
⊂ X hội tụ đến u ∈ X nếu
lim
k→∞
||u
k
− u|| = 0,
ký hiệu u
k
→ u.
Định nghĩa 2.2.
(i) Dãy {u
k
}
∞
k=1
⊂ X được gọi là một dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại

N > 0 sao cho ||u
k
− u
l
|| < ε với mọi k, l ≥ N.
(ii) X là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.
(iii) Không gian Banach X là không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ.
2.3.2. Không gian Sobolev
Định nghĩa 2.3.
(i) Không gian W
m,p
(Ω) là không gian bao gồm các hàm u(x) ∈ L
p
(Ω) sao
cho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp α, |α| ≤ m, thuộc L
p
(Ω) và
được trang bị chuẩn
||u||
W
m,p
(Ω)
=


0≤|α|≤m

Ω
|D
α

u(x)|
p
dx

1
p
.
(ii) Khi p = 2, không gian W
m,p
(Ω) = W
m,2
(Ω) ký hiệu là H
m
(Ω). Như vậy
H
m
(Ω) = {u ∈ L
2
(Ω), ∀ α : |α| ≤ m, D
α
u ∈ L
2
(Ω)}.
7
Trong H
m
(Ω) đưa vào tích vô hướng
(u, v)
m
=


|α|≤m

Ω
D
α
uD
α
vdx
=

|α|≤m
(D
α
u, D
α
v)
L
2
(Ω)
, với mọi u, v ∈ H
m
(Ω).
Do đó
||u||
2
m
= (u, u)
m
=


|α|≤m
(D
α
u, D
α
u) =

|α|≤m
||D
α
u||
2
L
2
(Ω)
.
(iii) Khi m = 0 có H
0
(Ω) = L
2
(Ω).
2.3.3. Định lý vết
Giả sử Ω bị chặn và ∂Ω là C
1
. Khi đó tồn tại một toán tử tuyến tính bị chặn:
T : H
1
(Ω) → L
2

(∂Ω)
sao cho:
(i) T u = u|
∂Ω
nếu u ∈ H
1
(Ω) ∩ C(Ω).
(ii) ||T u||
L
2
(Ω)
≤ c||u||
H
1
(Ω)
với mọi u ∈ H
1
(Ω) và c là hằng số.
Khi đó T u được gọi là vết của u trên ∂Ω.
2.3.4. Định lý nhúng
Giả sử Ω ⊂ R
n
là tập đóng, bị chặn và có biên trơn. Nếu s >
n
2
+ j (j ∈ N)
thì H
s
(Ω) ⊂ C
j

(Ω) có nghĩa là nếu s >
n
2
+ j và u ∈ H
s
(Ω) thì u khả vi liên tục
đến cấp j, u ∈ C
j
(Ω).
2.3.5. Bất đẳng thức Poincare
Tồn tại γ > 0 sao cho
||Du||
L
2
(Ω)
≥ γ · ||u||
L
2
(Ω)
, với mọi u ∈ C
∞
0
(Ω),
trong đó
Du =

∂u
∂x
1
,

∂u
∂x
2
, ,
∂u
∂x
n

.
8
Chương 1
Bài toán Dirichlet đối với
phương trình elliptic tuyến
tính cấp 2
1.1 Định lý Lax Milgram
Định lý 1.1. Giả sử X là một không gian Hilbert thực, a(u, v) là phiếm hàm
song tuyến tính trên X. Giả thiết a(u, v) thỏa mãn các điều kiện:
(i) Tồn tại c > 0 sao cho |a(u, v)| ≤ c||u|| · ||v|| với mọi u, v ∈ X.
(ii) Tồn tại γ > 0 sao cho a(u, u) ≥ γ||u||
2
với mọi u ∈ X.
Khi đó mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục F (u) trên X đều tồn tại f ∈ X sao
cho
F (u) = a(u, f), u ∈ X.
Chứng minh. Lấy u ∈ X cố định. Khi đó, u(v) = a(u, v) là phiếm hàm tuyến
tính trên X. Theo (i), ta có:
|a(u, v)| ≤ c||u|| · ||v|| với mọi v ∈ X.
Điều này chứng tỏ u(v) là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X. Theo định
lý Riesz-Frech´et, tồn tại một phần tử, ký hiệu Au ∈ X, sao cho
u(v) = (Au, v), ∀ v ∈ X.

9
Như vậy a(u, v) = (Au, v), ∀v ∈ X, và ta có một toán tử
A :X → X
u → Au.
A là toán tử tuyến tính. Thật vậy với mọi λ
1
, λ
2
∈ R, u
1
, u
2
∈ X và với mỗi
v ∈ X có
(A(λ
1
u
1
+ λ
2
u
2
), v) = a(λ
1
u
1
+ λ
2
u
2

, v) = λ
1
a(u
1
, v) + λ
2
a(u
2
, v)
= λ
1
(Au
1
, v) + λ
2
(Au
2
, v) = (λ
1
Au
1
+ λ
2
Au
2
, v).
Đẳng thức đúng với mỗi v ∈ X bởi vậy A tuyến tính. Theo giả thiết ii, ta có:
||Au||
2
= (Au, Au) = a(u, Au) ≤ c||u|| · ||Au||, ∀u ∈ X

⇒ ||Au|| ≤ c||u||, ∀u ∈ X.
Bất đẳng thức này chứng tỏ A : X → X là toán tử liên tục. Hơn nữa với
u
1
, u
2
∈ X mà
Au
1
= Au
2
⇒ u
1
= u
2
. (1.1)
Mặt khác, với mọi u ∈ X ta có
||u||
2
≤
1
γ
a(u, u) =
1
γ
(Au, u) ≤
c
γ
||Au|| · ||u||
⇒ ||u|| ≤

c
γ
||Au||, ∀ u ∈ X.
(1.2)
Do đó, với u
1
, u
2
∈ X mà
u
1
= u
2
⇒ Au
1
= Au
2
. (1.3)
Từ (1.1) và (1.3) suy ra A : X → X là ánh xạ 1 − 1. Ký hiệu
A(X) = {u ∈ X : Au ∈ X},
ta chứng minh A(X) đóng trong X. Thật vậy, giả sử {Au
j
} là dãy hội tụ đến
v ∈ X. Vì {Au
j
} là dãy Cauchy trong X nên ta có
lim
j,k→+∞
||Au
j

− Au
k
|| = 0.
Từ (1.2) ta có
||u
j
− u
k
|| ≤
c
γ
· ||Au
j
− Au
k
||.
10
Điều này chứng tỏ {u
j
} là dãy Cauchy trong X, cho nên tồn tại u ∈ X sao
cho lim
j→+∞
u
j
= u trong X. Do A là ánh xạ liên tục nên Au = v ∈ A(X), tức là
A(X) đóng trong X.
Ta chứng minh A(X) = X. Giả sử A(X) ⊂ X, A(X) đóng. Ta lấy u ∈ X mà
u /∈ A(X), trực giao với A(X), tức là
(u, Au) = a(u, u) = 0.
Vì ||u||

2
≤
1
γ
a(u, u) = 0 nên u = 0, tức là A(X) = X. Vậy A : X → X là
song ánh.
Giả sử F (u) là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X. Theo định lý Riesz-
Frech´et tồn tại duy nhất g ∈ X sao cho
F (u) = (g, u).
Khi đó, tồn tại f ∈ X sao cho Af = g. Do đó
F (u) = (g, u) = (Af, u) = a(f, u) ∀ u ∈ X.
Định lý được chứng minh.
Định nghĩa 1.2. Đẳng cấu A : X → X xây dựng trong định lý Lax-Milgram
sao cho
(Au, v) = a(u, v), ∀ u, v ∈ X (1.4)
được gọi là toán tử liên kết với dạng song tuyến tính a(u, v) trên không gian
Hilbert X hay ngược lại a(u, v) được gọi là dạng song tuyến tính liên kết với
toán tử A.
1.2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace
1.2.1 Không gian Sobolev H
1
0
(Ω)
Giả sử Ω là tập mở bị chặn trong không gian R
n
với biên ∂(Ω) trơn. C
∞
0
(Ω)
là không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω.

Trong C
∞
0
(Ω) ta xác định chuẩn
||u||
H
1
0
(Ω)
=


Ω
|Du|
2
dx

1
2
, ∀u ∈ C
∞
0
(Ω), (1.5)
11
và tích vô hướng:
(u, v)
1
=

Ω

DuDvdx, ∀u, v ∈ C
∞
0
(Ω). (1.6)
Trong đó
Du =

∂u
∂x
1
, ,
∂u
∂x
n

.
Đồng thời
||u||
H
1
0
(Ω)
= (u, u)
1
2
1
, ∀u ∈ C
∞
0
(Ω).

Nhờ bất đẳng thức Poincare ta xác định một chuẩn tương đương với chuẩn
(1.5) trong C
∞
0
(Ω):
||u||
H
1
0
(Ω)
=


Ω
(|Du|
2
+ |u|
2
)dx

1
2
, ∀u ∈ C
∞
0
(Ω),
và tích vô hướng
(u, v)
1
=


Ω
(DuDv + uv)dx, ∀u ∈ C
∞
0
(Ω).
Ký hiệu H
1
0
(Ω) là không gian nhận được bằng cách bổ sung không gian
C
∞
0
(Ω) theo chuẩn || · ||
1
.
Khi đó H
1
0
(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng (1.6) và nhúng liên
tục và compact trong L
2
(Ω). H
1
0
(Ω) gồm các hàm suy rộng u ∈ H
1
(Ω) triệt tiêu
trên biên cùng với các đạo hàm suy rộng theo nghĩa vết (u = 0,
∂u

∂x
i
= 0 trên
∂Ω theo nghĩa vết).
1.2.2 Bài toán Dirichlet và nghiệm suy rộng
Ta xét bài toán Dirichlet:

−∆u = f(x) trong Ω,
u = 0 trên ∂Ω.
(1.7)
Trong đó f(x) là hàm liên tục trong Ω.
Giả sử u ∈ C
2
(Ω) là nghiệm của bài toán (1.7). Khi đó với mỗi ϕ(x) ∈ C
∞
0
(Ω)
ta có:

Ω
−∆uϕ(x)dx =

Ω
f(x)ϕ(x)dx. (1.8)
12
Áp dụng công thức Green cho vế trái đẳng thức (1.8) ta có:

Ω
−∆uϕ(x)dx = −


Ω

∂
2
u
∂x
2
1
+ · · · +
∂
2
u
∂x
2
n

ϕ(x)dx
= −

Ω
n

i=1
∂
2
u
∂x
2
i
ϕ(x)dx

= −

Ω
n

i=1
∂u
∂x
i

ϕ
∂u
∂x
i

dx +

Ω
n

i=1
∂u
∂x
i

∂ϕ
∂x
i

dx

=

Ω
n

i=1
∂u
∂x
i

∂ϕ
∂x
i

dx =

Ω
DuDϕdx.
Do đó

Ω
DuDvdx =

Ω
f(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω)
hay
(Du, Dϕ) = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ C

∞
0
(Ω).
Nếu f(x) là hàm không liên tục trong Ω thì bài toán (1.7) nói chung không
có nghiệm trong C
2
(Ω). Vì vậy khi đó nghiệm bài toán (1.7) cần hiểu theo nghĩa
suy rộng. Ta có định nghĩa nghiệm suy rộng của bài toán như sau:
Định nghĩa 1.3. Giả sử f (x) ∈ L
2
(Ω). Khi đó hàm u ∈ H
1
0
(Ω) được gọi là
nghiệm suy rộng của bài toán (1.7) nếu:
(Du, Dϕ) = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω)
hay
(u, ϕ)
1
= (f, ϕ), ∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω).
Trong đó (u, ϕ)
1
là tích vô hướng trong H
1

0
(Ω).
Chú ý 1.4. Nếu nghiệm suy rộng u ∈ H
1
0
(Ω) ∩ C
2
(Ω) ta có:
(1) u ∈ H
1
0
(Ω) nên
(Du, Dϕ) = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω).
(2) u ∈ C
2
(Ω) nên
(Du, Dϕ) = (−∆u, ϕ), ∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω).
13
Do đó
(−∆u, ϕ) = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω).
Từ đó suy ra −∆u = f trong Ω.

Vậy u là nghiệm cổ điển của bài toán (1.7).
1.2.3 Toán tử của bài toán Dirichlet
Định nghĩa 1.5. Không gian đối ngẫu của H
1
0
(Ω) được ký hiệu là H
−1
(Ω):
f ∈ H
−1
(Ω) nếu f là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên H
1
0
(Ω).
Nếu f ∈ H
−1
(Ω)
||f||
H
−1
(Ω)
= sup

< f, u > | u ∈ H
1
0
(Ω), ||u||
H
1
0

(Ω)
≤ 1

.
Ta viết < ·, · > để ký hiệu giá trị của f ∈ H
−1
(Ω) trên u ∈ H
1
0
(Ω).
Ta có
H
1
0
(Ω) ⊂ L
2
(Ω) ⊂ H
−1
(Ω),
và các phép nhúng là trù mật, liên tục, hơn nữa phép nhúng H
1
0
(Ω) vào L
2
(Ω)
là compact.
Ta xác định toán tử −∆:
−∆ : H
1
0

(Ω) → H
−1
(Ω)
sao cho:
(−∆u, v) = (Du, Dv), ∀u, v ∈ H
1
0
(Ω),
miền xác định:
D(−∆) = {u ∈ H
1
0
(Ω) : −∆u ∈ L
2
(Ω)}.
Nếu u ∈ H
1
0
(Ω) ∩ C
2
(Ω), v ∈ C
∞
0
(Ω) thì:
(−∆u, v) = (Du, Dv) =

Ω

n


i=1
∂u
∂x
i
∂v
∂x
i

dx
= −

Ω
n

i=1
∂
2
u
∂x
2
i
vdx =

−
n

i=1
∂
2
u

∂x
2
i
, v

, ∀v ∈ C
∞
0
(Ω).
Từ đó suy ra với u ∈ H
1
0
(Ω) ∩ C
2
(Ω) thì
∆u =
n

i=1
∂
2
u
∂x
2
i
.
14
Toán tử −∆ được xây dựng như trên được gọi là toán tử của bài toán Dirichlet
(1.7).
Từ định nghĩa ta có các tính chất của toán tử −∆:

(1) (−∆u, v) = (Du, Dv) = (u, −∆v), ∀u, v ∈ D(−∆), suy ra −∆u là toán
tử tự liên hợp.
(2) (−∆u, u) = (Du, Du) = ||u||
2
1
≥ 0, ∀u ∈ D(−∆), suy ra −∆ là toán tử
xác định dương. (−∆u, u) = 0 khi và chỉ khi u = 0.
Vậy −∆ là toán tử tự liên hợp xác định dương.
1.2.4 Sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet
Định lý 1.6. Toán tử −∆ : H
1
0
(Ω) → H
−1
(Ω) là ánh xạ 1-1 lên.
Chứng minh. Theo định nghĩa ta có:
(−∆u, u) = (Du, Du) = ||Du||
2
L
2
(Ω)
≥ k||u||
2
L
2
(Ω)
, ∀u ∈ H
1
0
(Ω).

Do đó:
k||u||
2
L
2
(Ω)
≤ (−∆u, u) ≤ ||∆u||
H
−1
(Ω)
· ||u||
H
1
0
(Ω)
.
Suy ra
||u||
H
1
0
(Ω)
≤ c||∆u||
H
−1
(Ω)
, ∀u ∈ H
1
0
(Ω). (1.9)

Nếu −∆u = 0, vì toán tử −∆ xác định dương, theo bất đẳng thức (1.9) suy
ra u = 0.
Vậy −∆ là ánh xạ 1-1.
Ta chứng tỏ −∆ là đóng trong miền xác định D(−∆).
Giả sử {f
j
} là dãy hội tụ đến f trong R(−∆) ⊂ H
−1
(Ω). Khi đó tồn tại dãy
{u
j
} ⊂ D(−∆) sao cho
−∆u
j
= f
j
.
Theo (1.9)
||u
j
− u
k
||
H
1
0
(Ω)
≤ c · ||f
j
− f

k
||
H
−1
(Ω)
, ∀j, k.
Từ đó {u
j
} là dãy Cauchy trong H
1
0
(Ω). Vì H
1
0
(Ω) là không gian Hilbert nên
tồn tại u sao cho
lim
j→+∞
||u
j
− u||
H
1
0
(Ω)
= 0.
15
Do −∆ là toán tử liên tục nên −∆u = f. Từ đó suy ra tồn tại u ∈ H
1
0

(Ω)
sao cho
−∆u = f,
nên f ∈ R(−∆) ⇒ R(−∆) đóng.
Bây giờ ta chứng minh −∆ là ánh xạ lên.
Giả sử u
0
∈ H
1
0
(Ω) trực giao với R(−∆) ⊂ H
−1
(Ω). Ta có
(−∆u, u
0
) = 0 ∀u ∈ H
1
0
(Ω).
Cho u = u
0
suy ra
0 = (−∆u
0
, u
0
) ≥ k||u
0
||
2

H
1
0
(Ω)
⇒ u
0
= 0.
Từ đó do R(−∆) đóng trong H
−1
(Ω) nên suy ra
R(−∆) = H
−1
(Ω).
Vậy −∆ là ánh xạ lên.
Hệ quả 1.7. Mọi f(x) ∈ L
2
(Ω) bài toán Dirichlet (1.7) tồn tại duy nhất nghiệm
suy rộng u
0
∈ H
1
0
(Ω).
Chứng minh. Giả sử f(x) ∈ L
2
(Ω) ⊂ H
−1
(Ω). Theo định lý 1.6 tồn tại duy nhất
u
0

∈ H
1
0
(Ω) sao cho
(−∆u
0
, v) = (Du
0
, Dv) = (f, v), ∀v ∈ C
∞
0
(Ω).
Điều đó có nghĩa u
0
là nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet (1.7).
Định nghĩa 1.8. Giá trị λ được gọi là giá trị riêng của toán tử −∆ nếu tồn tại
hàm ϕ(x) = 0, ϕ(x) ∈ H
1
0
(Ω), sao cho:
−∆ϕ = λϕ.
Hàm ϕ được gọi là hàm riêng ứng với giá trị riêng λ.
Ký hiệu T : H
−1
(Ω) → H
1
0
(Ω) là toán tử nghịch đảo của toán tử −∆. Giả sử
u, v ∈ H
1

0
(Ω). Ta đặt
φ = −∆u, ψ = −∆v.
Khi đó
(T φ, ψ) = (T (−∆u), −∆v) = (u, −∆v)
= (Du, Dv) = (−∆u, v) = (φ, T ψ).
16
Vậy
(T φ, ψ) = (φ, T ψ), ∀φ, ψ ∈ L
2
(Ω).
Điều này chứng tỏ hạn chế của toán tử T trên không gian L
2
(Ω) là toán tử
tự liên hợp, tức là
T = T
∗
.
Mặt khác phép nhúng H
1
0
(Ω) → L
2
(Ω) là compact cho nên toán tử T hạn
chế trên L
2
(Ω)
T : L
2
(Ω) → H

1
0
(Ω) ⊂ L
2
(Ω)
là toán tử compact, tự liên hợp trong L
2
(Ω).
Ngoài ra ta có
(T ϕ, ϕ) = (u, −∆u) ≥ k||u||
2
H
1
0
(Ω)
.
Suy ra
(T ϕ, ϕ) ≥ 0, ∀ϕ ∈ H
−1
(Ω).
Do đó hạn chế của toán tử T trong L
2
(Ω) xác định dương. Vậy hạn chế của
toán tử T trong L
2
(Ω) là toán tử tự liên hợp, compact và xác định dương. Do đó
trong L
2
(Ω) tồn tại một cơ sở trực giao đếm được gồm các hàm riêng {u
j

}
∞
j=1
của toán tử T tương ứng với các giá trị riêng {µ
j
}
∞
j=1
trong đó µ
j
> 0, giảm dần
về 0 khi j → +∞, tức là
T u
j
= µ
j
u
j
, µ
j
↓ 0 khi j → +∞. (1.10)
Hơn nữa, vì
T : L
2
(Ω) → H
1
0
(Ω) ⊂ L
2
(Ω)

nên từ đẳng thức trên u
j
∈ H
1
0
(Ω) với mọi j = 1, 2, Tác động −∆ vào hai vế
của (1.10) ta có
(−∆)T u
j
= µ
j
(−∆u
j
) ⇒ u
j
= µ
j
(−∆u
j
)
hay là
−∆u
j
= λ
j
u
j
, j = 1, 2, , với λ
j
=

1
µ
j
.
Như vậy toán tử (−∆) có dãy các hàm riêng µ
j
trong H
1
0
(Ω) tương ứng với
dãy các giá trị riêng {λ
j
}
∞
j=1
đơn điệu tăng khi j → ∞, nghĩa là
0 < λ
1
≤ λ
2
≤ · · · ≤ λ
j
≤ · · · , λ
j
→ +∞ (j → +∞).
Vì {u
j
}
∞
j=1

(j = 1, 2, ) cũng là các hàm riêng của T nên ta đi đến khẳng
định sau:
17
Định lý 1.9. Tồn tại một cơ sở Hilbert gồm những hàm riêng {u
i
} (i = 1, 2, )
của toán tử −∆ tương ứng với dãy các giá trị riêng {λ
i
} đơn điệu tăng khi
i → ∞.
Liên quan đến giá trị đầu tiên λ
1
của toán tử −∆ ta có định lý sau:
Định lý 1.10. Nếu λ
1
là giá trị riêng đơn đầu tiên của toán tử −∆ thì:
||(−∆)
−1
|| =
1
λ
1
.
Chứng minh. Giả sử µ
1
là giá trị riêng thứ nhất của toán tử T = (−∆)
−1
trong
L
2

(Ω)
µ
1
≥ µ
2
≥ · · · ≥ µ
j
→ 0, (j → +∞),
ta sẽ chứng minh
||T || = µ
1
.
Thật vậy ta có:
||T || = sup
u∈L
2
(Ω),u=0
||T u|| ⇒ ||T u||
L
2
(Ω)
≤ ||T || · ||u||
L
2
(Ω)
.
Với u ∈ L
2
(Ω), u =


j
(u, u
j
)u
j
ta có:
T u =

j
(u, u
j
)T u
j
=

j
µ
j
(u, u
j
)u
j
.
Suy ra
||T u||
2
=

j
µ

2
j
||(u, u
j
)||
2
≤ µ
2
1

j
||(u, u
j
)||
2
.
Do đó
||T u||
2
≤ µ
2
1
||u||
2
⇒ ||T || ≤ µ
1
. (1.11)
Mặt khác
T u
1

= µ
1
u
1
, ||u|| = 1 nên ||T u
1
|| = µ
1
||u
1
||.
Vậy
µ
1
= ||T u
1
|| ≤ ||T || · ||u
1
|| ≤ ||T || ⇒ µ
1
≤ ||T ||. (1.12)
Từ (1.11), (1.12) suy ra
||T || = µ
1
.
Vì T = (−∆)
−1
nên
||(−∆)
−1

|| = µ
1
=
1
λ
1
.
18
Hệ quả 1.11. Hàm riêng u
1
của toán tử −∆ thỏa mãn
||Du
1
||
2
L
2
(Ω)
= λ
1
.
Chứng minh. Ta có
||Du
1
||
2
L
2
(Ω)
= (Du

1
, Du
1
) = (−∆u
1
, u
1
) = (λ
1
u
1
, u
1
) = λ
1
||u
1
||
2
L
2
(Ω)
.
Như vậy
||Du
1
||
2
L
2

(Ω)
= λ
1
và ta có điều phải chứng minh.
Liên quan đến hàm riêng u
j
ta có kết quả khác mà sẽ trình bày trong định
lý tiếp theo. Tuy nhiên ta cần kết quả về tính trơn của bài toán Dirichlet. Định
lý sau chỉ đưa ra nhưng không chứng minh.
Xét toán tử vi phân L dạng:
Lu = −∆u + Xu
trong đó X là toán tử vi phân cấp 1 với hệ số trơn trong Ω.
Định lý 1.12. Cho f ∈ H
k−1
(Ω) với k = 0, 1, 2, Khi đó nghiệm u
0
∈ H
1
0
(Ω)
của phương trình
Lu = f
thuộc H
k+1
(Ω). Hơn nữa ta có ước lượng tiên nghiệm
||u||
2
H
k+1
(Ω)

≤ c

||Lu||
2
H
k−1
(Ω)
+ ||u||
2
H
k
(Ω)

trong đó c là hằng số dương nào đó và u ∈ H
k+1
(Ω) ∩ H
1
0
(Ω) bất kỳ.
Hệ quả 1.13. Hàm riêng u
i
(i = 1, 2, ) của toán tử −∆ thuộc C
∞
(Ω)∩H
1
0
(Ω).
Chứng minh. Xét toán tử L dưới dạng:
L = −∆ − λ
i

.
Khi đó ta có đánh giá
Lu
i
= (−∆ − λ
i
)u
i
= −∆u
i
− λ
i
u
i
= 0.
Do 0 ∈ H
1
0
(Ω) nên theo định lý ta đi đến kết luận
u
i
∈ C
∞
(Ω) ∩ H
1
0
(Ω).
19
Trở lại bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace. Ta xét bài toán
− ∆u = 0 trong Ω,

u|
∂Ω
= f trên ∂Ω.
(1.13)
Trong đó f ∈ C
∞
(∂Ω) là hàm cho trước.
Giả sử F ∈ C
∞
(
Ω) sao cho
F |
∂Ω
= f.
Đặt u = F + v hay v = u − F . Khi đó bài toán (1.13) được đưa về bài toán
− ∆v = g = ∆F
v|
∂Ω
= 0.
(1.14)
Với g ≡ ∆F ∈ C
∞
(Ω) tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán (1.14) có dạng:
v = T g ∈ H
1
0
(Ω).
Hơn nữa theo định lý 1.12 nghiệm v = T g ∈ C
∞
(Ω). Như vậy với mỗi

f ∈ C
∞
(∂Ω) tồn tại duy nhất nghiệm u ∈ C
∞
(Ω) của bài toán Dirichlet (1.12).
1.3 Bài toán Dirichlet đối với phương trình el-
liptic tuyến tính cấp 2
Giả sử Ω mở trong R
n
. Trong Ω xét toán tử vi phân elliptic tuyến tính cấp 2
Au = −
n

i,j=1
∂
∂x
j
(a
ij
·
∂u
∂x
i
) +
n

i=1
b
i
·

∂u
∂x
i
−
n

i=1
∂
∂x
i
(b

i
u) + cu (1.15)
trong đó a
ij
= a
ji
∈ C
2
(Ω), b
i
, b

i
∈ C
1
(Ω), c ∈ C(Ω) là những hàm nhận giá trị
thực sao cho tồn tại γ > 0
n


i,j=1
a
ij
(x)ξ
i
ξ
j
≥ γ|ξ|
2
∀ x ∈ Ω, ∀ ξ ∈ R
n
. (1.16)
Từ đó ta cũng có
n

i,j=1
a
ij
(x)ξ
i
ξ
j
≥ γ|ξ|
2
, ∀ξ ∈ C
n
.
20
Giả sử a(u, v) là dạng song tuyến tính liên tục

a(u, v) =

Ω

n

i,j=1
a
ij
∂u
∂x
i
∂v
∂x
j
+
n

i=1
b
i
∂u
∂x
i
v+
n

i=1
b


i
u
∂v
∂x
i
+cuv

dx, ∀ u, v ∈ C
∞
0
(Ω).
(1.17)
Ký hiệu V = H
1
0
(Ω), H = L
2
(Ω). Khi đó, V ⊂ H và phép nhúng liên tục và
trù mật, đồng thời dạng song tuyến tính xác định trên V có thể mở rộng với
u, v ∈ H
1
0
(Ω).
Hơn nữa, với u ∈ H
1
0
(Ω) = V , phiếm hàm a(u, v) = l(v), v ∈ V là phiếm hàm
tuyến tính liên tục liên tục trên V = H
1
0

(Ω). Do đó ta xác định toán tử
A : V → V

= (H
1
0
(Ω))

= H
−1
(Ω)
sao cho
(Au, v)
L
2
(Ω)
= a(u, v) ∀v ∈ V.
a(u, v) =

Ω

n

i,j=1
a
ij
∂u
∂x
i
∂v

∂x
j
+
n

i=1
b
i
∂u
∂x
i
v +
n

i=1
∂
∂x
i
(b

i
u)
∂v
∂x
i
+ cuv

dx.
Theo công thức Green


Ω
a
ij
∂u
∂x
i
∂v
∂x
j
dx =

∂(Ω)
a
ij
v
∂u
∂x
i
cos(x
i
, v)dx−

Ω
∂
∂x
j

a
ij
∂u

∂x
i

vdx, u, v ∈ C
∞
0
(Ω).
Suy ra

Ω
a
ij
∂u
∂x
i
∂v
∂x
j
dx = −

Ω
∂
∂x
j

a
ij
∂u
∂x
i


vdx, u, v ∈ C
∞
0
(Ω).
Tương tự

Ω
b

i
u
∂v
∂x
i
dx = −

Ω
∂
∂x
i
(b

i
u)vdx, u, v ∈ C
∞
0
(Ω).
Suy ra với mọi u, v ∈ C
∞

0
(Ω)
a(u, v) =

Ω

n

i,j=1
∂
∂x
j

a
ij
∂u
∂x
i

v +
n

i=1
b
i
∂u
∂x
i
v +
n


i=1
b

i
u
∂v
∂x
i
+ cuv

dx
=

Ω

n

i,j=1
∂
∂x
j

a
ij
∂u
∂x
i

v +

n

i=1
b
i
∂u
∂x
i
v −
n

i=1
∂
∂x
i
(b

i
u)v + cuv

dx
= (Au, v).
21
hay Au = −
n

i,j=1
∂
∂x
j


a
ij
∂u
∂x
i

+
n

i=1
b
i
∂u
∂x
i
−
n

i=1
∂
∂x
i
(b

i
u) + cu, ∀u ∈ C
∞
0
(Ω).

Hơn nữa, A là toán tử tuyến tính liên tục trên V ,
||Au||
2
= (Au, Au) = a(u, Au) ≤ ||u|| · ||Au|| ⇒ ||Au|| ≤ ||u|| ∀ u ∈ V.
Định lý 1.14. Tồn tại hằng số λ
0
∈ R sao cho với mọi λ ≥ λ
0
thì toán tử
A + λI là một đẳng cấu từ H
1
0
(Ω) lên H
−1
(Ω).
Chứng minh. Theo giả thiết về tính elliptic, ta có

Ω
n

i,j=1
a
ij
∂u
∂x
i
∂u
∂x
j
dx ≥ γ


Ω
|Du|
2
dx.
Mặt khác các hệ số của A xác định bởi (1.15) là bị chặn trong Ω nên theo
bất đẳng thức H¨older ta có:




Ω
b
i
∂u
∂x
i
udx



+




Ω
b

i

u
∂u
∂x
i
dx



≤ c






∂u
∂x
i






L
2
· ||u||
L
2
và





Ω
cu
2
dx



≤ c

· ||u||
2
.
Suy ra tồn tại các hằng số C
1
và C
2
sao cho
a(u, u) ≥ γ||Du||
2
L
2
(Ω)
− C
1
||Du||
L

2
(Ω)
· ||u||
L
2
(Ω)
− C
2
||u||
2
L
2
(Ω)
.
Theo bất đẳng thức Cauchy
|ab| ≤ εa
2
+
1
4ε
b
2
, ∀ε > 0.
Ta có
||Du||
L
2
(Ω)
· ||u||
L

2
(Ω)
≤ ε||Du||
2
L
2
(Ω)
+
1
4ε
||u||
2
L
2
(Ω)
.
Đặt ε =
γ
2C
1
, ta được bất đẳng thức
a(u, u) ≥ γ||Du||
2
L
2
(Ω)
− C
1

γ

2C
1
||Du||
2
L
2
(Ω)
+
1
4ε
||u||
2
L
2
(Ω)

− C
2
||u||
2
L
2
(Ω)
≥
γ
2
||Du||
2
L
2

(Ω)
−

2C
2
1
γ
+ C
2

||u||
2
L
2
(Ω)
.
22
Vậy tồn tại hằng số C > 0 sao cho a(u, u) ≥
γ
2
||Du||
2
L
2
(Ω)
− C||u||
2
L
2
(Ω)

hay
là
(a(u, u)) + C||u||
2
L
2
(Ω)
≥
γ
2
||u||
2
H
1
0
(Ω)
∀ u ∈ V. (1.18)
Áp dụng hệ quả ?? suy ra toán tử A + λI là đẳng cấu từ V = H
1
0
(Ω) lên V

với λ > C.
1.3.1 Điều kiện "bức"
Vì b
i
, b

i
∈ C

1
(Ω) nên b
i
, b

i
và các đạo hàm của chúng bị chặn trong Ω. Do
đó f ∈ H
1
(Ω), b ∈ H
1
(Ω) và ta có
∂
k
(b
i
f) = (∂
k
b
i
)f + b
i
(∂
k
f).
Ta chứng minh bổ đề sau đây.
Bổ đề 1.15. Cho f, g ∈ H
1
(Ω), một trong chúng thuộc H
1

0
(Ω). Ta có

Ω
(∂
k
f)gdx = −

Ω
(∂
k
g)fdx.
Chứng minh. Nếu f ∈ H
1
0
(Ω), xấp xỉ f bởi dãy hàm ϕ
j
∈ C
∞
0
(Ω) theo chuẩn
trong H
1
(Ω). Áp dụng công thức tích phân từng phần

Ω
(∂
k
ϕ
j

)gdx =

∂Ω
ϕ
j
gdx −

Ω
(∂
k
g)ϕ
j
dx = −

Ω
(∂
k
g)ϕ
j
dx.
Cho j → +∞, ta có đẳng thức phải chứng minh.
Áp dụng bổ đề 1.15, ta có

Ω
b
i
(∂
i
u)udx = −


Ω
(∂
i
b
i
)uudx −

Ω
b
i
u∂udx
⇔

Ω
b
i
(∂
i
u)udx +

Ω
(b
i
u)∂udx = −

Ω
(∂
i
b
i

)uudx
⇔

Ω
b
i
[(∂
i
u)u + u∂u]dx = −

Ω
(∂
i
b
i
)|u|
2
dx
⇒

Ω
b
i
(∂
i
u)udx = −
1
2

Ω

(∂
i
b
i
)|u|
2
dx.
23