tập hút lùi đối với một lớp phương trình parabolic suy biến

đại học quốc gia hà nội
tr-ờng đại học khoa học tự nhiên










BI HUY BCH





TP HT LI I VI MT LP
PHNG TRèNH PARABOLIC SUY BIN





Luận văn thạc sĩ khoa học

Hà nội - 2011


đại học quốc gia hà nội
tr-ờng đại học khoa học tự nhiên









BI HUY BCH




TP HT LI I VI MT LP
PHNG TRèNH PARABOLIC SUY BIN

Luận văn thạc sĩ khoa học

Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch
Mó s: 60.46.01




Ngi hng dn khoa hc:
TS. NGUYN èNH BèNH








Hà nội - 2011
Mục lục
Danh mục các kí hiệu, chữ viết tắt 3
Lời cảm ơn 4
Lời mở đầu 5
1 Không gian hàm và các định nghĩa 9
1.1 Không gian hàm và toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Tập hút lùi (Pullback attractors). . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Một số bổ đề, định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.1 Bổ đề Gronwall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Bổ đề Gronwall đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Sự tồn tại nghiệm yếu 17
2.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Các giả thiết của bài toán . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Định nghĩa nghiệm yếu của bài toán . . . . . . . . . 18
2.2 Sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Sự tồn tại của D− tập hút lùi trong H
µ
(Ω)

L
p
(Ω) 28
3.1 Các bổ đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Kết luận chung 39
1
Tài liệu tham khảo 40
2
Danh mục các kí hiệu, chữ viết tắt
Trong khóa luận này, để cho ngắn gọn, ta dùng kí hiệu: |.|
2
, (.,.), u
µ
, ((., .))
µ
,
làm chuẩn và tích vô hướng trong L
2

(Ω) và H
µ
(Ω); tương tự, ta dùng |.|
p
làm chuẩn trong L
p
(Ω). Ta cũng thường sử dụng ký hiệu sau:
Ω
M
= Ω(u(t) ≥ M) = {x ∈ Ω : u(x, t) ≥ M} .
3
Lời mở đầu
Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các hệ động lực là một trong
các vấn đề quan trọng nhất của vật lý toán hiện đại. Một cách tiếp cận
bài toán này đối với một hệ động lực tán xạ là phân tích sự tồn tại và cấu
trúc của tập hút toàn cục (global attractor) của nó. Đó là một tập đóng, bị
chặn, bất biến và hút tất cả các tập bị chặn. Tập hút toàn cục chứa đựng
nhiều thông tin về dáng điệu tiệm cận của hệ động lực đang xét. Tuy nhiên,
tập hút toàn cục chỉ áp dụng được cho các trường hợp ôtônôm, trong khi
rất nhiều quá trình có ngoại lực phụ thuộc vào thời gian. Do đó, cần phải
mở rộng khái niệm tập hút cho các hệ động lực không ôtônôm. Việc mở
rộng nghiên cứu về tập hút đã dẫn đến khái niệm tập hút đều (uniform
attractor) cho trường hợp quỹ đạo nghiệm bị chặn khi thời gian t tiến ra
vô hạn, và sau đó là khái niệm tập hút lùi (pullback attractor) cho trường
hợp quỹ đạo nghiệm bất kỳ khi thời gian t tiến ra vô hạn.
Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu sự tồn tại tập hút lùi đối với một
lớp phương trình parabolic suy biến:












u
t
− ∆u −
µ
|x|
2
u + f (u, t) = g(t, x), x ∈ Ω, t > τ,
u|
∂Ω
= 0, t > τ,
u(x, τ ) = u
τ
(x), x ∈ Ω,
(0.1)
với Ω là một miền bị chặn trong R
N
(N ≥ 3) có chứa gốc tọa độ, u
τ
∈ L
2
(Ω)
là hàm cho trước, 0 < µ ≤ µ

∗
là tham số, µ
∗
= (
N−2
2
)
2
là hằng số lớn nhất
5
thỏa mãn bất đẳng thức Hardy:
µ
∗

Ω
|u|
2
|x|
2
dx ≤

Ω
|∇u|
2
dx, ∀u ∈ C
∞
0
(Ω). (0.2)
Trong trường hợp g ≡ 0 và hàm f có một số dạng đặc biệt, bài toán (0.1) đã
được nghiên cứu trong các bài báo [2,3,5,6,12], hay trong trường hợp hàm

ngoại lực là g(t, x) phụ thuộc vào thời gian t và hàm phi tuyến f = f(u):
u
t
− ∆u −
µ
|x|
2
u + f (u) = g(t, x),
bài toán (0.1) đã được nghiên cứu trong bài báo [1]. Trong đó, các tác giả
đã nghiên cứu về sự tồn tại toàn cục và sự phụ thuộc của dáng điệu nghiệm
của các phương trình vào tham số µ. Trong luận văn này, tác giả tiếp tục
nghiên cứu bài toán (0.1) trong trường hợp hàm ngoại lực là g(t, x) và hàm
phi tuyến f = f (u, t). Hàm phi tuyến f và ngoại lực g thỏa mãn các điều
kiện sau:
(F) Hàm f ∈ C
1
(R × [τ, ∞]) và thỏa mãn:
C
1
|u|
p
− k
1
(t) ≤ f(u, t)u ≤ C
2
|u|
p
+ k
2
(t), p ≥ 2,

k
1
(t) , k
2
(t) ∈ L
∞
(R) , k
1
(t) > 0, ∀t ∈ R, k
2
(t) > 0, ∀t ∈ R,
∂f(u, t)
∂u
≥ −l, ∀u ∈ R,
C(|u|
p
p
− 1) ≤

Ω
F (u) ≤ C(|u|
p
p
+ 1),
F (u) =

u
0
f(r)dr, (trong trường hợp f(r, t) = f(r)),
C, C

1
, C
2
, l là các hằng số dương.
6
(G) g ∈ W
1,2
loc
(R; L
2
(Ω)) thỏa mãn
0

−∞
e

1,µ
s
(|g(s)|
2
2
+ |g

(s)|
2
2
)ds < +∞,
ở đây 
1,µ
là giá trị riêng thứ nhất của toán tử A

µ
= −∆ −
µ
|x|
2
trong Ω với
điều kiện thuần nhất Dirichlet.
Để nghiên cứu bài toán (0.1), ta sẽ sử dụng không gian H
µ
(Ω), 0 ≤ µ ≤ µ
∗
,
được định nghĩa như là bao đóng của C
∞
0
(Ω) với chuẩn
u
µ
= (

Ω
(|∇u|
2
− µ
|u|
2
|x|
2
)dx)
1/2

.
Mục đích của khóa luận này là chứng minh rằng luôn có sự tồn tại phụ
thuộc vào tham số µ của một D- tập hút lùi trong không gian H
µ
(Ω)

L
p
(Ω)
cho quá trình được mô tả trong bài toán (0.1).
Phương pháp được sử dụng ở khóa luận này được mô tả như sau: Trước
tiên ta sử dụng phương pháp compact hóa [9] để chứng minh sự tồn tại
toàn cục của một nghiệm yếu và sử dụng đánh giá tiên nghiệm để chỉ ra
sự tồn tại của một họ các D- tập hấp thụ lùi

B = {B(t) : t ∈ R} trong
H
µ
(Ω)

L
p
(Ω) cho quá trình nói trên. Do tính compact của phép nhúng
H
µ
(Ω) → L
2
(Ω), quá trình nói trên là D- tiệm cận compact lùi trong L
2
(Ω).

Điều này kéo theo sự tồn tại của một D- tập hút lùi trong L
2
(Ω). Trong
quá trình chứng minh sự tồn tại của D- tập hút lùi trong L
p
(Ω) và trong
H
µ
(Ω)

L
p
(Ω), để khắc phục các khó khăn do thiếu các kết quả về phép
nhúng, ta sử dụng phương pháp tiệm cận đánh giá tiên nghiệm đã được
khởi đầu trong [11] cho các phương trình ôtônôm.
Cấu trúc của khóa luận gồm ba chương:
- Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ sở về khái niệm cũng như các kết
quả về không gian và tập hút lùi đối với phương trình parabolic phi tuyến
7
tính.
- Chương 2: Chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu của bài toán (0.1).
- Chương 3: Chứng minh sự tồn tại của D− tập hút lùi trong H
µ
(Ω)

L
p
(Ω)
(trong trường hợp f (u, t) không phụ thuộc vào t).
Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu

sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và đồng nghiệp
để luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2011
8
Chương 1
Không gian hàm và các định nghĩa
1.1 Không gian hàm và toán tử
Với mỗi 0 ≤ µ ≤ µ
∗
, ta định nghĩa không gian H
µ
(Ω) như là một bao đóng
của C
∞
0
(Ω) với chuẩn:
u
µ
= (

Ω
(|∇u|
2
− µ
|u|
2
|x|
2
)dx)
1/2

.
Khi đó H
µ
(Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng
< u, v >
µ
:=

Ω
(∇u∇v − µ
uv
|x|
2
)dx, ∀u, v ∈ H
µ
(Ω).
Ta đã biết (xem [12]) rằng nếu 0 ≤ µ ≤ µ
∗
,thì H
µ
(Ω) ≡ H
1
0
(Ω). Khi µ = µ
∗
,
ta có bất đẳng thức Hardy-Poincare trong [12]

Ω
(|∇u|

2
− µ
∗
|u|
2
|x|
2
)dx ≥ C(q, Ω) u
2
W
1,q
(Ω)
, 1 ≤ q < 2, (1.1)
và với 0 ≤ s < 1, 1 ≤ r < r
∗
=
2N
N−2(1−s)
,

Ω
(|∇u|
2
− µ
∗
|u|
2
|x|
2
)dx ≥ C(s, r, Ω) u

2
W
s,r
(Ω)
, (1.2)
9
với mọi u ∈ C
∞
0
(Ω). Do đó dẫn tới các phép nhúng liên tục sau, khi 1 ≤
q < 2 và 0 ≤ s < 1:
H
µ
(Ω) → W
1,q
0
(Ω), H
µ
(Ω) → H
s
0
(Ω). (1.3)
Hơn nữa, vì W
1,q
0
(Ω) được nhúng compact trong H
s
0
(Ω) với mỗi q = q(s)
thích hợp, và H

s
0
(Ω) được nhúng compact trong L
2
(Ω), ta có các phép
nhúng compact sau:
H
1
µ
(Ω) → L
2
(Ω), H
µ
(Ω) → H
s
0
(Ω), 0 ≤ s < 1. (1.4)
Nhắc lại rằng phép nhúng W
1,q
→ L
p
(Ω) là liên tục với 1 ≤ p ≤
Nq
N−q
và
q < N. Khi đó, đặt p
∗
=
Nq
N−q

với 1 ≤ q < 2, thì từ (2.3) suy ra phép nhúng
liên tục H
µ
(Ω) → L
p
(Ω) đúng với mọi 1 ≤ p ≤ p
∗
. Bây giờ ta xét bài toán
biên sau đây





−∆u −
µ
|x|
2
u = λu, khi x ∈ Ω,
u = 0, khi x ∈ ∂Ω.
(1.5)
Để có thể áp dụng thác triển Friedrichs của các toán tử đối xứng (xem[13])
ta nhắc lại biến đổi bất đẳng thức Hardy trong [12]:

Ω
|∇u|
2
dx ≥

N − 2

2

2

Ω
|u|
2
|x|
2
dx + λ
Ω

Ω
|u|
2
dx, (1.6)
với λ
Ω
là một hằng số dương phụ thuộc vào Ω, và X = L
2
(Ω), D(
˜
A) =
C
∞
0
(Ω),
˜
Au = −∆u −
µ

|x|
2
u. Từ đó suy ra
˜
A là một toán tử dương liên hợp
và không gian năng lượng X
E
bằng với H
µ
(Ω) vì X
E
là không gian mở rộng
của D(
˜
A) = C
∞
0
(Ω) với tích vô hướng
< u, v >
µ
=

Ω
(∇u∇v − µ
uv
|x|
2
)dx.
Hơn nữa
˜

A ⊂ A ⊂ A
E
,
10
với A
E
: H
µ
(Ω) → H
−1
µ
(Ω) là thác triển mạnh, (H
−1
µ
(Ω) là không gian đối
ngẫu của H
µ
(Ω) ), và A = −∆ −
µ
|x|
2
là thác triển Friedrichs của
˜
A với miền
xác định là
D(A) = {u ∈ H
µ
(Ω) : A(u) ∈ X} .
Ta cũng có H
µ

(Ω) →→ L
2
(Ω) →→ H
−1
µ
(Ω), với phép nhúng là compact
và trù mật. Do đó, với mỗi 0 < µ ≤ µ
∗
, tồn tại một hệ trực chuẩn đầy đủ
các vectơ riêng (e
j,µ
, λ
j,µ
) phụ thuộc vào µ sao cho
(e
j,µ
, e
k,µ
) = δ
j,k
; −∆e
j,µ
−
µ
|x|
2
e
j,µ
= λ
j,µ

e
j,µ
, j, k = 1, 2,
0 < λ
1,µ
≤ λ
2,µ
≤ λ
3,µ
≤ , λ
j,µ
→ +∞ khi j → +∞.
Cuối cùng ta nhận xét rằng với mọi u ∈ H
µ
(Ω), ta có:
u
2
µ
≥ λ
1,µ
|u|
2
2
. (1.7)
1.2 Tập hút lùi (Pullback attractors).
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử (X,d) là một không gian metric. Với A, B ⊂ X,
ta định nghĩa nửa khoảng cách Hausdorff giữa A và B bởi
dist(A, B) = sup
x∈A
inf

y∈B
d(x, y).
Định nghĩa 1.2.2. Tập hợp {U(t, τ) : t ≥ τ, τ ∈ R} được gọi là một quá
trình trong X nếu ánh xạ U(t, τ ) : X → X thỏa mãn U(τ, τ ) = Id và
U(t, s)U (s, τ) = U(t, τ ) với mọi t ≥ s ≥ τ, τ ∈ R.
Định nghĩa 1.2.3. Quá trình {U(t, τ)} được gọi là liên tục norm-to-weak
trên X nếu U (t, τ)x
n
hội tụ yếu tới U(t, τ )x khi x
n
hội tụ mạnh tới x trong
X, với mọi t ≥ τ, τ ∈ R.
11
Bây giờ ta nhắc lại một phương pháp để kiểm tra một quá trình là liên
tục norm-to-weak.
Bổ đề 1.2.4. [14] Giả sử X và Y là hai không gian Banach , X
∗
, Y
∗
là các
không gian đối ngẫu tương ứng. Giả sử rằng X trù mật trong Y, đơn ánh
i : X → Y liên tục và ánh xạ đối ngẫu i
∗
: Y
∗
→ X
∗
là trù mật, {U(t, τ )}
là quá trình liên tục hoặc liên tục yếu trên Y. Khi đó {U(t, τ)} là liên tục
norm-to-weak trên X nếu và chỉ nếu cho t ≥ τ, τ ∈ R, U(t, τ) ánh xạ một

tập compact của X vào một tập bị chặn của X.
Giả sử B(X) là họ tất cả các tập con khác rỗng, bị chặn của X, và D
là một lớp khác rỗng của tập hợp được tham số hóa
ˆ
D = {D(t) : t ∈ R} ⊂
B(X).
Định nghĩa 1.2.5. Một quá trình {U(t, τ)} được gọi là D− tiệm cận com-
pact lùi nếu với mọi t ∈ R, với mọi
ˆ
D ∈ D và với mọi τ
n
→ −∞, với mọi
dãy x
n
∈ D(τ
n
), dãy {U(t, τ
n
)x
n
} là compact tương đối trong X.
Định nghĩa 1.2.6. Một quá trình {U (t, τ)} được gọi là ω − D− giới hạn
compact lùi nếu với mọi  > 0, với mọi t ∈ R, với mọi
ˆ
D ∈ D luôn tồn tại
một τ
0
(D, , t) ≤ t, sao cho
α(


τ≤τ
0
U(t, τ )D(τ)) ≤ ,
trong đó α là độ đo không compact Kuratowski của B ∈ B(X), α(B) là cận
dưới đúng của tập hợp các số δ dương mà thỏa mãn: B có một phủ mở hữu
hạn gồm các hình cầu có đường kính nhỏ hơn δ.
Bổ đề 1.2.7. [7] Một quá trình {U(t, τ)} là D− tiệm cận compact lùi nếu
và chỉ nếu nó là ω − D− giới hạn compact lùi.
12
Định nghĩa 1.2.8. Một họ các tập hợp bị chặn
ˆ
B ∈ D được gọi là D− tập
hấp thụ lùi của quá trình {U (t, τ)} nếu với mọi t ∈ R, với mọi
ˆ
D ∈ D, tồn
tại τ
0
= τ
0
(
ˆ
D, t) sao cho

τ≤τ
0
U(t, τ )D(τ) ⊂ B(t).
Định nghĩa 1.2.9. Một họ
ˆ
A = {A(t) : t ∈ R} ⊂ B(X). được gọi là D−
tập hút lùi của quá trình {U(t, τ )} nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

1. A(t) compact với mọi t ∈ R;
2.
ˆ
A bất biến, tức là
U(t, τ )A(τ) = A(t)
với mọi t ≥ τ ;
3.
ˆ
A là D− hút lùi, tức là
lim
τ→−∞
dist(U(t, τ )D(τ), A(t)) = 0
với mọi
ˆ
D ∈ D và với mọi t ∈ R;
4. Nếu {C(t) : t ∈ R} là một họ các tập hút đóng thì A(t) ⊂ C(t) với mọi
t ∈ R.
Định lý 1.2.10. [7] Giả sử {U(t, τ )} là một quá trình liên tục norm-to-
weak sao cho {U(t, τ )} là D− tiệm cận compact lùi. Nếu tồn tại một họ
các D− tập hấp thụ lùi
ˆ
B = {B(t) : t ∈ R} ∈ D thì {U(t, τ)} có duy nhất
một D− tập hút lùi
ˆ
A = {A(t) : t ∈ R} và
A(t) =

s≤t

τ≤s

U(t, τ )B(τ).
13
1.3 Một số bổ đề, định lý.
1.3.1 Bổ đề Gronwall.
Định lý 1.3.1. (Bổ đề Gronwall) Giả sử I là kí hiệu cho một khoảng
trên đường thẳng thực, có dạng [a; ∞) , hoặc [a; b], hoặc [a; b) với a < b.
Giả sử β và u là các hàm thực liên tục trên I. Nếu u khả vi trong phần
trong I
o
của I (khoảng I bỏ đi các đầu mút a, b) và thỏa mãn
u

(t) ≤ β (t) u (t) , t ∈ I
o
,
thì u bị chặn bởi nghiệm của phương trình vi phân tương ứng u

(t) =
β (t) u (t):
u (t) ≤ u (a) e

t
a
β(s)ds
với mọi t ∈ I.
Chứng minh. Ta định nghĩa hàm
v (t) = e

t
a

β(s)ds
.
Chú ý rằng v thỏa mãn
v

(t) = β (t) v (t) , t ∈ I
o
,
với v (a) = 1, v (t) > 0, ∀t ∈ I. Ta có
d
dt
u
v
=
u

v − v

u
v
2
≤
βuv − βvu
v
2
= 0, t ∈ I
o
.
Từ đó suy ra
u (t)

v (t)
≤
u (a)
v (a)
= u (a) , t ∈ I
⇒ u (t) ≤ u (a) e

t
a
β(s)ds
(điều phải chứng minh).
14
1.3.2 Bổ đề Gronwall đều.
Định lý 1.3.2. (Bổ đề Gronwall đều) Giả sử g, h, y là ba hàm số
dương khả tích địa phương trên (t
0
, +∞) sao cho y’ khả tích địa phương
trên (t
0
, +∞) và thỏa mãn:
dy
dt
≤ gy + h, ∀t ≥ t
0
, (1.8)

t+r
t
g (s) ds ≤ a
1

,

t+r
t
h (s) ds ≤ a
2
,

t+r
t
y (s) ds ≤ a
3
,∀t ≥ t
0
, (1.9)
trong đó r, a
1
, a
2
, a
3
là các hằng số dương. Khi đó, ta có
y (t + r) ≤

a
3
r
+ a
2


e
a
1
, ∀t ≥ t
0
. (1.10)
Chứng minh. Giả sử rằng t
0
≤ t ≤ s ≤ t + r. Từ (1.8), ta có
d
ds

y (s) e
−

s
t
g(τ)dτ

=
d
ds
(y (s)) e
−

s
t
g(τ)dτ
+ y (s)
d

ds

e
−

s
t
g(τ)dτ

=
d
ds
(y (s)) e
−

s
t
g(τ)dτ
− y (s) e
−

s
t
g(τ)dτ
g (s)
≤ (g (s) y (s) + h (s)) e
−

s
t

g(τ)dτ
− y (s) e
−

s
t
g(τ)dτ
g (s)
= h (s) e
−

s
t
g(τ)dτ
≤ h (s) .
Bằng cách lấy tích phân từ t
1
(với t ≤ t
1
≤ t + r) đến t + r, ta có
y (t + r) e
−

t+r
t
g(τ)dτ
− y (t
1
) e
−


t
1
t
g(τ)dτ
≤

t+r
t
1
h (s) ds
⇒ y (t + r) e
−

t+r
t
g(τ)dτ
≤ y (t
1
) e
−

t
1
t
g(τ)dτ
+

t+r
t

1
h (s) ds
15
⇒ y (t + r) ≤ y (t
1
) e
−

t
1
t
g(τ)dτ+

t+r
t
g(τ)dτ
+

t+r
t
1
h (s) ds.e

t+r
t
g(τ)dτ
= y (t
1
) e


t+r
t
1
g(τ)dτ
+

t+r
t
1
h (s) ds.e

t+r
t
g(τ)dτ
≤ y (t
1
) e
a
1
+ a
2
e
a
1
= (y (t
1
) + a
2
) e
a

1
.
Lấy tích phân hai vế của bất đẳng thức trên theo t
1
từ t đến t + r, ta có

t+r
t
y (t + r) dt
1
≤

t+r
t
(y (t
1
) + a
2
) e
a
1
dt
1
⇒ y (t + r)

t+r
t
dt
1
≤



t+r
t
y (t
1
) dt
1
+ a
2

t+r
t
dt
1

e
a
1
⇒ y (t + r) r ≤


t+r
t
y (t
1
) dt
1
+ a
2

r

e
a
1
≤ (a
3
+ a
2
r) e
a
1
⇒ y (t + r) ≤

a
3
r
+ a
2

e
a
1
.
(Điều phải chứng minh).
16
Chương 2
Sự tồn tại nghiệm yếu
2.1 Đặt bài toán
Trong chương này, ta xét sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán đã nêu trong

phần mở đầu. Ta nêu lại bài toán











u
t
− ∆u −
µ
|x|
2
u + f (u, t) = g(t, x), x ∈ Ω, t > τ,
u|
∂Ω
= 0, t > τ,
u(x, τ ) = u
τ
(x), x ∈ Ω,
với Ω là một miền bị chặn trong R
N
(N ≥ 3) có chứa gốc tọa độ, u
τ
∈ L

2
(Ω)
là hàm cho trước, 0 < µ ≤ µ
∗
là tham số, µ
∗
= (
N−2
2
)
2
là hằng số lớn nhất
thỏa mãn bất đẳng thức Hardy:
µ
∗

Ω
|u|
2
|x|
2
dx ≤

Ω
|∇u|
2
dx, ∀u ∈ C
∞
0
(Ω).

2.1.1 Các giả thiết của bài toán
Hàm phi tuyến f và ngoại lực g thỏa mãn các điều kiện sau:
(F) Hàm f ∈ C
1
(R × [τ, ∞]) và thỏa mãn:
C
1
|u|
p
− k
1
(t) ≤ f(u, t)u ≤ C
2
|u|
p
+ k
2
(t), p ≥ 2,
17
k
1
(t) , k
2
(t) ∈ L
∞
(R) , k
1
(t) > 0, ∀t ∈ R, k
2
(t) > 0, ∀t ∈ R,

∂f(u, t)
∂u
≥ −l, ∀u ∈ R,
C(|u|
p
p
− 1) ≤

Ω
F (u) ≤ C(|u|
p
p
+ 1),
F (u) =

u
0
f(r)dr, (trong trường hợp f(r, t) = f(r)),
C, C
1
, C
2
, l là các hằng số dương.
(G) g ∈ W
1,2
loc
(R; L
2
(Ω)) thỏa mãn
0


−∞
e

1,µ
s
(|g(s)|
2
2
+ |g

(s)|
2
2
)ds < +∞,
ở đây 
1,µ
là giá trị riêng thứ nhất của toán tử A
µ
= −∆ −
µ
|x|
2
trong Ω với
điều kiện thuần nhất Dirichlet.
2.1.2 Định nghĩa nghiệm yếu của bài toán
Ta kí hiệu
X = L
2
(τ, T; H

µ
(Ω)) ∩ L
p
(τ, T; L
p
(Ω)),
X
∗
= L
2
(τ, T; H
−1
µ
(Ω)) + L
p

(τ, T; L
p

(Ω)),
ở đây p’ là số liên hợp của p và µ ∈ [0, µ
∗
].
Định nghĩa 2.1.1. Một hàm u(x,t) được gọi là một nghiệm yếu của bài
toán (0.1) trên (τ, T ) nếu và chỉ nếu u ∈ X,
∂u
∂t
∈ X
∗
, u |

t=τ
= u
τ
với x ∈ Ω
hầu khắp nơi và
T

τ

Ω

∂u
∂t
ϕ + ∇u∇ϕ −
µ
|x|
2
uϕ + f (u, t)ϕ

dxdt =
T

τ

Ω
g(t)ϕdxdt
với mọi hàm ϕ ∈ X.
18
2.2 Sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán
Bổ đề 2.2.1. Nếu u ∈ X và

∂u
∂t
∈ X
∗
, thì u ∈ C([τ, T]; L
2
(Ω)).
Chứng minh. Giả sử dãy u
n
∈ C
1
([τ, T] ; H
µ
(Ω) ∩ L
p
(Ω)) thỏa mãn



u
n
→ u trong X
∂u
n
∂t
→
∂u
∂t
trong X
∗

.
Khi đó, với mọi t, t
0
∈ [τ, T ] , ta có
|u
n
(t) − u
m
(t)|
2
2
= |u
n
(t
0
) − u
m
(t
0
)|
2
2
+2

t
t
0
u

n

(s) − u

m
(s) , u
n
(s) − u
m
(s)ds.
Chọn t
0
sao cho
|u
n
(t
0
) − u
m
(t
0
)|
2
2
=
1
T − τ

T
τ
|u
n

(t) − u
m
(t)|
2
2
.
Ta có

Ω
|u
n
(t) − u
m
(t)|
2
dx
=
1
T − τ

Ω

T
τ
|u
n
(t) − u
m
(t)|
2

dtdx
+2

Ω

t
t
0
(u

n
(s) − u

m
(s)) (u
n
(s) − u
m
(s)) dsdx
≤
1
T − τ

Ω

T
τ
|u
n
(t) − u

m
(t)|
2
dtdx + 2u

n
− u

m

X
∗
u
n
− u
m

X
.
Do đó, {u
n
} là dãy Cauchy trong C

[τ, T] ; L
2
(Ω)

. Suy ra dãy {u
n
} hội

tụ trong C

[τ, T] ; L
2
(Ω)

tới một hàm v ∈ C

[τ, T] ; L
2
(Ω)

. Vì u
n
(t) →
u (t) ∈ L
2
(Ω) với hầu hết t ∈ [τ, T ], ta suy ra u = v với hầu hết t ∈ [τ, T].
Sau khi định nghĩa lại trên một tập con có độ đo không, ta thu được
u ∈ C

[τ, T] ; L
2
(Ω)

.
19
Từ bổ đề suy ra điều kiện ban đầu của bài toán (0.1) là có nghĩa.
Định lý 2.2.2. Với giả thiết (F)-(G), với mọi τ ∈ R, T > τ, và u
τ

cho
trước, bài toán (0.1) có duy nhất một nghiệm yếu u trên (τ, T). Hơn nữa,
nghiệm u có thể được thác triển lên [τ, +∞) và thỏa mãn bất đẳng thức sau:
|u(t)|
2
2
≤ e
−λ
1,µ
(t−τ)
|u
τ
|
2
2
+
2k
1
(t)
L
∞
(R)
λ
1,µ
|Ω| +
e
−λ
1,µ
t
λ

1,µ
t

−∞
e
λ
1,µ
s
|g(s)|
2
2
ds.
(2.1)
Chứng minh. Xét nghiệm xấp xỉ u
n
(t) dưới dạng
u
n
(t) =
n

k=1
u
nk
(t)e
k
,
ở đây {e
j
}

∞
j=1
là các vectơ riêng của toán tử A := −∆ −
µ
|x|
2
Id. Ta thu được
u
n
(t) từ việc giải bài toán

du
n
dt
, e
k

+ Au
n
, e
k
 + f (u
n
, t), e
k
 = (g, e
k
),
(u
n

(τ) , e
k
) = (u
τ
, e
k
), k = 1, , n.
Sử dụng định lý Peano,ta thu được sự tồn tại địa phương của u
n
(t). Bây
giờ ta thiết lập một số đánh giá tiên nghiệm cho u
n
(t). Ta có:
d
dt
u
n
+ Au
n
+ f(u
n
, t) = g(t, x)
⇒
d
dt
u
n
u
n
+ Au

n
u
n
+ f(u
n
, t)u
n
= g(t, x)u
n
⇒
1
2
(
d
dt
)u
2
n
+ Au
2
n
+ f(u
n
, t)u
n
= g(t, x)u
n
⇒
1
2

d
dt
|u
n
|
2
2
+ u
n

2
µ
+

Ω
f(u
n
, t)u
n
dx =

Ω
g(t)u
n
dx
20
mặt khác, do điều kiện (F):
C
1
|u

n
|
p
− k
1
(t) ≤ f(u
n
, t)u
n
, p ≥ 2
⇒

Ω
C
1
|u
n
|
p
dx −

Ω
k
1
(t)dx ≤

Ω
f(u
n
, t)u

n
dx
⇒ C
1
|u
n
|
p
p
− k
1
(t)|Ω| ≤

Ω
f(u
n
, t)u
n
dx
⇒
1
2
d
dt
|u
n
|
2
2
+ u

n

2
µ
+ C
1
|u
n
|
p
p
− k
1
(t)|Ω| ≤
1
2
d
dt
|u
n
|
2
2
+ u
n

2
µ
+


Ω
f(u
n
, t)u
n
dx.
Do đó, ta suy ra
⇒
1
2
d
dt
|u
n
|
2
2
+ u
n

2
µ
+ C
1
|u
n
|
p
p
− k

1
(t)|Ω| ≤

Ω
g(t)u
n
dx.
Mặt khác

Ω
g(t)u
n
dx =

Ω
1

λ
1,µ
g(t).

λ
1,µ
u
n
dx ≤

Ω
1
λ

1,µ
|g(t)|
2
+ λ
1,µ
|u
n
|
2
2
dx
(Bất đẳng thức Cauchy)
=
1
2
1
λ
1,µ

Ω
|g(t)|
2
dx +
1
2
λ
1,µ

Ω
|u

n
|
2
dx =
1
2λ
1,µ
|g(t)|
2
2
+
λ
1,µ
2
|u
n
|
2
2
.
Suy ra
1
2
d
dt
|u
n
|
2
2

+ u
n

2
µ
+ C
1
|u
n
|
p
p
− k
1
(t)|Ω| ≤
1
2λ
1,µ
|g(t)|
2
2
+
λ
1,µ
2
|u
n
|
2
2

⇒
d
dt
|u
n
|
2
2
+ 2u
n

2
µ
+ 2C
1
|u
n
|
p
p
≤ 2k
1
(t)|Ω| +
1
λ
1,µ
|g(t)|
2
2
+ λ

1,µ
|u
n
|
2
2
≤ 2k
1
(t)|Ω| +
1
λ
1,µ
|g(t)|
2
2
+ u
n

2
µ
⇒
d
dt
|u
n
|
2
2
+ u
n


2
µ
+ 2C
1
|u
n
|
p
p
≤ 2k
1
(t)|Ω| +
1
λ
1,µ
|g(t)|
2
2
. (2.2)
21
Nghiệm địa phương có thể thác triển lên [τ, ∞). Thật vậy, từ (2.2), ta suy
ra
d
dt
|u
n
|
2
2

+ u
n

2
µ
≤ 2k
1
(t)|Ω| +
1
λ
1,µ
|g(t)|
2
2
,
mà λ
1,µ
|u
n
|
2
2
≤ ||u
n

2
µ
nên ta có
d
dt

|u
n
|
2
2
+ λ
1,µ
|u
n
|
2
2
≤ 2k
1
(t)|Ω| +
1
λ
1,µ
|g(t)|
2
2
≤ 2k
1

L
∞
(R)
|Ω| +
1
λ

1,µ
|g(t)|
2
2
⇒
d
dt
|u
n
|
2
2
≤ −λ
1,µ
|u
n
|
2
2
+ 2k
1

L
∞
(R)
|Ω| +
1
λ
1,µ
|g(t)|

2
2
.
Theo bổ đề Gronwall, |u
n
|
2
2
bị chặn bởi nghiệm của phương trình vi phân
tương ứng
d
dt
|u
n
|
2
2
= −λ
1,µ
|u
n
|
2
2
+ 2k
1

L
∞
(R)

|Ω| +
1
λ
1,µ
|g(t)|
2
2
:
|u
n
(t)|
2
2
≤ |u
n
(τ)|
2
2
.e
−λ
1,µ
(t−τ)
+
2k
1

L
∞
(R)
λ

1,µ
|Ω| +
e
−λ
1,µ
t
λ
1,µ
t

−∞
e
λ
1,µ
s
|g(s)|
2
2
ds.
Từ đây suy ra nghiệm địa phương có thể thác triển lên [τ, ∞).
Lấy tích phân hai vế (2.2) trên [τ, t], τ < t ≤ T , ta có
t

τ
d
dt
|u
n
|
2

2
ds +
t

τ
u
n

2
µ
ds + 2C
1
t

τ
|u
n
|
p
p
ds
≤ 2
t

τ
k
1
(s)|Ω|ds +
1
λ

1,µ
t

τ
|g(s)|
2
2
ds
⇒ |u
n
(t)|
2
2
− |u
n
(τ)|
2
2
+
t

τ
u
n

2
µ
ds + 2C
1
t


τ
|u
n
|
p
p
ds
≤ 2
t

τ
k
1
(s)|Ω|ds +
1
λ
1,µ
t

τ
|g(s)|
2
2
ds
⇒ |u
n
(t)|
2
2

+
t

τ
u
n

2
µ
ds + 2C
1
t

τ
|u
n
|
p
p
ds
≤ |u
n
(τ)|
2
2
+ 2
t

τ
k

1
(s)|Ω|ds +
1
λ
1,µ
t

τ
|g(s)|
2
2
ds
22
< C + 2
T

τ
k
1
(s)|Ω|ds +
1
λ
1,µ
t

τ
|g(s)|
2
2
ds < C

0
. (2.3)
Từ bất đẳng thức (2.3) ta suy ra
{u
n
} bị chặn trong L
∞
(τ, T; L
2
(Ω)),
{u
n
} bị chặn trong L
2
(τ, T; H
µ
(Ω)),
{u
n
} bị chặn trong L
p
(τ, T; L
p
(Ω)).
Do điều kiện (F):
f(u, t)u ≤ C
2
|u|
p
+ k

2
(t), p ≥ 2
nên nếu u ≥ M > 0, thì
f(u, t) ≤ C
2
|u|
p−1
+
k
2
(t)
u
≤ C
2
|u|
p−1
+
k
2
(t)
M
≤ C(|u|
p−1
+ 1)
⇒ f(u
n
, t) ≤ C(|u
n
|
p−1

+ 1)
⇒

Ω
|f(u
n
, t)|
p

dx ≤ C

Ω
(|u
n
|
p−1
+ 1)
p

dx = C

Ω
(|u
n
|
p−1
+ 1)
p
p−1
dx

⇒

Ω
|f(u
n
, t)|
p

dx ≤ C

Ω
(|u
n
|
p
+ 1)
⇒ |f(u
n
, t)|
p

p

≤ C

Ω
(|u
n
|
p

+ 1)
⇒
T

τ
|f(u
n
, t)|
p

p

≤ C
T

τ

Ω
(|u
n
|
p
+ 1)
⇒ {f(u
n
, t)} bị chặn trong L
p

(τ, T; L
p


(Ω)) và do đó
f(u
n
, t)  η trong L
p

(τ, T; L
p

(Ω)).
Do đó, ta có
23
u
n
 u trong L
2
(τ, T; H
µ
(Ω)),
f(u
n
, t)  η trong L
p

(τ, T; L
p

(Ω)),
Au

n
 Au trong L
2
(τ, T; H
−1
µ
(Ω)).
Bằng cách viết lại:
d
dt
u
n
= −Au
n
− f(u
n
, t) + g(t, x), (2.4)
ta thấy

du
n
dt

bị chặn trong X
∗
, nên suy ra cũng bị chặn trong L
p

(τ, T; H
−1

µ
(Ω)+
L
p

(Ω)).
Chú ý rằng
H
µ
(Ω) ⊂⊂ L
2
(Ω) ⊂ H
−1
µ
(Ω) + L
p

(Ω)
nên áp dụng bổ đề compact hóa [11], ta có thể giả sử rằng u
n
→ u (hội tụ
mạnh) trong L
2

τ, T; L
2
(Ω)

. Do đó u
n

→ u hầu khắp nơi trong Ω×[τ, T ].
Vì f liên tục nên suy ra f (u
n
, t) → f (u, t) hầu khắp nơi trong Ω × [τ, T].
Mặt khác f(u
n
, t)  η trong L
p

(τ, T; L
p

(Ω)), nên theo bổ đề 1.3 trong [18,
Chương 1], ta có
f(u
n
, t)  f(u, t) trong L
p

(τ, T; L
p

(Ω)).
Do đó từ (2.4) ta có
u

= −Au − f (u, t) + g trong X
∗
.
Từ bổ đề 2.2.1, ta có u ∈ C([τ, T]; L

2
(Ω)).
Bây giờ ta chứng minh rằng u (τ ) = u
τ
.
Chọn hàm thử ϕ ∈ C
1
([τ, T] ; H
µ
(Ω) ∩ L
p
(Ω)) với ϕ (T ) = 0, và lấy tích
phân theo t, ta có
((u (T ) , ϕ (T )) − (u (τ) , ϕ (τ))) −

T
τ
(u, ϕ

) dt
24