tính ổn định của hệ động lực tuyến tính trên thang thời gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
VŨ THỊ BÍCH HẢO
TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC
TUYẾN TÍNH
TRÊN THANG THỜI GIAN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI - 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
VŨ THỊ BÍCH HẢO
TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC
TUYẾN TÍNH
TRÊN THANG THỜI GIAN
Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
GS. TS. NGUYỄN HỮU DƯ
HÀ NỘI - 2011
Mục lục
LỜI NÓI ĐẦU 5
1 Kiến thức chuẩn bị 8
1.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Tính khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Mặt phẳng phức Hilger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Hàm mũ thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Bất đẳng thức Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Sự ổn định của hệ phương trình động lực tuyến tính trên
thang thời gian 22

2.1 Khái niệm về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.1 Các định nghĩa về ổn định của hệ phương trình động
lực tuyến tính trên thang thời gian . . . . . . . . . . 22
2.1.2 Các định lý về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Phương pháp hàm Lyapunov xét tính ổn định của hệ phương
trình động lực tuyến tính trên thang thời gian . . . . . . . . 29
2.2.1 Khái niệm hàm Lyapunov toàn phương trên thang
thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov xét tính ổn
định đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.3 Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov xét tính ổn
định mũ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3
2.2.4 Việc tìm ma trận Q(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.5 Tiêu chuẩn không ổn định . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Áp dụng phương pháp hàm Lyapunov cho một số hệ tuyến
tính đặc biệt 43
3.1 Hệ biến thiên chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.1 Tích Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.2 Tính ổn định mũ của hệ biến thiên chậm . . . . . . 45
3.2 Hệ phương trình có nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
KẾT LUẬN 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO 53
Lời nói đầu
Lý thuyết về thang thời gian (time sacle), lần đầu tiên được trình bày
bởi Stefan Hilger trong luận án tiến sỹ của ông vào năm 1988 [9] (với sự
hướng dẫn của Bernd Aulbach) nhằm thống nhất việc trình bày giải tích
liên tục và rời rạc.
Cho đến nay đã có hàng chục quyển sách và hàng ngàn bài báo viết về
thang thời gian. Các yếu tố giải tích trên thang thời gian đã được các tác

giả nghiên cứu một cách sâu rộng và tương đối đầy đủ. Và từ đó nhiều kết
quả quen thuộc trong trường hợp liên tục và rời rạc đã được "chuyển dịch"
sang thang thời gian. Chẳng hạn về phương trình động lực trên thang thời
gian, đã có những kết quả rất sâu sắc về sự ổn định, tính dao động, bài
toán giá trị biên,
Việc phát triển lý thuyết về phương trình động lực trên thang thời gian,
dẫn đến các kết quả tổng quát và khi đó có thể áp dụng cho các thang
thời gian hỗn hợp của các trường hợp liên tục và rời rạc.
Ta biết rằng, có nhiều kết quả của phương trình vi phân được thực hiện
khá dễ dàng và tự nhiên cho phương trình sai phân. Tuy nhiên có những
kết quả dễ dàng trình bày cho phương trình vi phân lại không hề đơn
giản cho sai phân và ngược lại. Việc nghiên cứu phương trình động lực
trên thang thời gian cho ta một cái nhìn sáng sủa để khắc phục tính không
nhất quán này giữa phương trình vi phân liệc tục và phương trình sai phân
rời rạc. Ngoài ra, điều đó cũng tránh được một kết quả được chứng minh
hai lần, một lần cho phương trình vi phân và một lần khác cho phương
trình sai phân.
Ta có thể lấy thang thời gian là tập các số thực, kết quả tổng quát thu
5
được sẽ tương tự với kết quả trong phương trình vi phân. Nếu lấy thang
thời gian là tập các số nguyên, kết quả tổng quát thu được sẽ tương tự với
kết quả trong phương trình sai phân. Tuy nhiên, các thang thời gian có
cấu trúc phong phú nên kết quả thu được là tổng quát và hay hơn nhiều
kết quả trên tập các số thực và trên tập các số nguyên. Do vậy, đặc trưng
cơ bản của thang thời gian đó là thống nhất và mở rộng.
Trong luận án của mình vào năm 1892, Lyapunov đã đưa ra hai phương
pháp để phân tích tính ổn định của các phương trình vi phân. Từ đó,
phương pháp trực tiếp của Lyapunov đã trở thành một công cụ được sử
dụng rộng rãi nhất để xem xét tính ổn định của các phương trình vi phân
cũng như các phương trình sai phân tuyến tính và phi tuyến. Sự tinh tế

của phương pháp trực tiếp Lyapunov nằm ở chỗ ta không cần tìm được
nghiệm đúng của hệ mà vẫn có thể xem xét được dáng điệu nghiệm (ổn
định hay không ổn định) của hệ.
Trong luận văn này sẽ sử dụng phương pháp thứ hai của Lyapunov -
phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của phương trình
động lực tuyến tính trên thang thời gian, đây chính là nội dung của một
bài báo của Jeffrey J. DaCunha [11].
Nội dung của luận văn được chia làm 3 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này, chúng tôi chỉ liệt kê mà không chứng minh các tính
chất cơ bản nhất về ∆-đạo hàm, tích phân, trên thang thời gian. Việc
chứng minh chi tiết có thể tìm thấy trong [1, 2, 5].
Chương 2: Sự ổn định của hệ phương trình động lực tuyến tính
trên thang thời gian.
Trong chưong này, chúng tôi sẽ đưa ra các định nghĩa và tính chất về
tính ổn định đều, ổn định mũ đều, ổn định tiệm cận đều của hệ phương
trình động lực tuyến tính trên thang thời gian. Đặc biệt, trong chương này
có nêu ra phương pháp hàm Lyapunov trên thang thời gian và dùng nó để
xét tính ổn định và không ổn định của phương trình động lực tuyến tính.
Chương 3: Áp dụng phương pháp hàm Lyapunov cho một số
hệ phương trình tuyến tính đặc biệt.
6
Trong chương này, chúng tôi sẽ đưa ra hai hệ phương trình tuyến tính
đặc biệt là hệ biến thiên chậm và hệ có nhiễu và dùng phương pháp hàm
Lyapunov để xét tính ổn định của chúng.
Vì khả năng còn nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những
thiếu sót và tính chưa hoàn thiện của vấn đề đặt ra, mặc dù bản thân tôi
đã cố gắng rất nhiều trong quá trình thực hiện luận văn. Tôi xin tiếp thu
mọi ý kiến nhận xét của các thầy cô, các nhà toán học, các học viên cao
học và NCS.

Nhân đây, tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn GS. TS
Nguyễn Hữu Dư về sự nghiêm túc và nhiệt tình của thầy, tôi cũng gửi lời
cảm ơn nhóm seminar Toán Giải tích, trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội
về những gợi mở và đóng góp quý báu cho tôi trong suốt quá trình thực
hiện luận văn.
Hà Nội 12-2011
Vũ Thị Bích Hảo
7
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Những định nghĩa và định lý dưới đây có thể xem như một giới thiệu
tổng quan về thang thời gian, ta có thể tham khảo trong [1].
1.1 Một số khái niệm cơ bản
Thang thời gian (time scale) là một tập con đóng tuỳ ý khác rỗng của
tập các số thực R, ký hiệu là T. Ta giả sử xuyên suốt rằng thang thời gian
T có một tôpô mà nó được cảm sinh từ tôpô trên tập các số thực R với
tôpô tiêu chuẩn.
Thí dụ:
(a) R; Z; [0; 1] ∪ [2; 3] là những thang thời gian.
(b) Q, R\Q không là thang thời gian vì không đóng.
Định nghĩa 1.1. Cho T là một thang thời gian, với mỗi t ∈ T, ta có các
định nghĩa sau:
(i) Toán tử nhảy tiến (forward jump): σ : T → T
σ(t) := inf{s ∈ T, s > t}.
(ii) Toán tử nhảy lùi (backward jump): ρ : T → T
ρ(t) := sup{s ∈ T, s < t}.
Ngoài ra,
8
• Một điểm t ∈ T được gọi là điểm cô lập phải (right-scattered) nếu
σ(t) > t; điểm cô lập trái (left-scattered) nếu ρ(t) < t; điểm cô lập

(isolated) nếu t vừa là điểm cô lập trái, vừa là điểm cô lập phải; điểm
trù mật phải (right-dense) nếu t < sup T và σ(t) = t; điểm trù mật
trái (left-dense) nếu t > inf T và ρ(t) = t; điểm trù mật (dense) nếu t
vừa là điểm trù mật phải vừa là điểm trù mật trái.
• Hàm hạt (graininess): µ : T → [0; +∞), µ(t) := σ(t) − t.
• Tập T
k
được xác định như sau: Nếu T có phần tử lớn nhất M là điểm
cô lập trái thì ta đặt T
k
:= T\{M}, và T
k
:= T trong các trường hợp
còn lại.
Để cho đơn giản, ngoại trừ những trường hợp cần nhấn mạnh, từ đây
trở đi ta viết (a; b]; [a; b); [a; b] thay cho (a; b]
T
; [a; b)
T
; [a; b]
T
.
Quy ước:
inf ∅ = sup T (nghĩa là, nếu t = max T thì σ(t) = t),
sup ∅ = inf T (nghĩa là, nếu t = min T thì ρ(t) = t).
Định lý 1.1. (Nguyên lý quy nạp trên thang thời gian) Với mọi t
0
∈ T,
xét một họ các phát biểu {S(t) : t ∈ [t
0

; +∞)} thoả mãn:
1. Phát biểu S(t
0
) là đúng,
2. Nếu t ∈ [t
0
; ∞) là điểm cô lập phải và S(t) đúng thì S(σ(t)) cũng
đúng,
3. Nếu t ∈ [t
0
; ∞) là điểm trù mật phải và S(t) là đúng thì tồn tại một
lân cận U của t sao cho S(s) là đúng với mọi s ∈ U ∩ (t; ∞),
4. Nếu t ∈ (t
0
; ∞) là điểm trù mật trái và S(s) là đúng với mọi s ∈ [t
0
; t)
thì S(t) là đúng.
Khi đó, S(t) là đúng với mọi t ∈ [t
0
; ∞).
9
1.2 Tính khả vi
Định nghĩa 1.2. Xét hàm số f : T → R. ∆- đạo hàm (còn gọi là đạo
hàm Hilger) của f tại t ∈ T
k
là một số (nếu nó tồn tại), ký hiệu f
∆
(t),
nếu với mọi ε > 0 cho trước tồn tại lân cận U của t sao cho

|[f(σ(t)) − f(s)] − f
∆
(t)[σ(t) − s]|  ε|σ(t) − s|
với mọi s ∈ U.
Hàm f được gọi là ∆- khả vi (nói ngắn gọn là khả vi) trên T
k
nếu f
∆
(t)
tồn tại với mọi t ∈ T
k
.
Định lý 1.2. Xét hàm số : T → R và t ∈ T
k
. Khi đó ta có:
1. Nếu f khả vi tại t thì f liên tục tại t.
2. Nếu f liên tục tại t và t là điểm cô lập phải thì f là khả vi tại t và
f
∆
(t) =
f(σ(t)) − f(t)
µ(t)
.
3. Nếu t là điểm trù mật phải thì f là khả vi tại t khi và chỉ khi giới hạn
lim
s→t
f(t) − f(s)
t − s
tồn tại và nhận giá trị hữu hạn, khi đó
f

∆
(t) = lim
s→t
f(t) − f(s)
t − s
.
4. Nếu f là khả vi tại t thì f(σ(t)) = f(t) + µ(t)f
∆
(t).
Nhận xét 1.1.
Ta xét hai trường hợp T = R và T = Z.
1. Nếu T = R thì hàm f : R → R là ∆-khả vi tại t khi và chỉ khi f khả
vi theo nghĩa thông thường tại t và
f
∆
(t) = f

(t) = lim
s→t
f(t) − f(s)
t − s
.
2. Nếu T = Z thì mọi hàm f : Z → R đều là ∆-khả vi tại t ∈ Z và ta có
f
∆
(t) = f(t + 1) − f(t) = ∆f(t),
ở đây ∆ là toán tử sai phân tiến thông thường.
10
Sau đây ta ký hiệu:
f

∆∆
= (f
∆
)
∆
; f
∆
3
= (f
∆∆
)
∆
; . . . ; f
∆
n
= (f
∆
n−1
)
∆
.
f
σ
(t) = f(σ(t)); f
σ
2
= (f
σ
)
σ

; . . . ; f
σ
n
= (f
σ
n−1
)
σ
.
Định lý 1.3. Cho f và g là các hàm khả vi tại t ∈ T
k
. Khi đó
1. Hàm tổng f + g : T → R khả vi tại t và (f + g)
∆
(t) = f
∆
(t) + g
∆
(t).
2. Với hằng số α tuỳ ý, hàm αf : T → R khả vi tại t và
(αf)
∆
(t) = αf
∆
(t).
3. Hàm tích fg : T → R khả vi tại t và
(fg)
∆
(t) = f
∆

(t)g(t) + f
σ
(t)g
∆
(t) = f(t)g
∆
(t) + f
∆
(t)g
σ
(t).
4. Nếu f(t)f
σ
(t) = 0 thì
1
f
khả vi tại t và (
1
f
)
∆
(t) = −
f
∆
(t)
f(t)f
σ
(t)
.
5. Nếu g(t)g

σ
(t) = 0 thì
f
g
khả vi tại t và
(
f
g
)
∆
(t) = −
f
∆
(t)g(t) − f(t)g
∆
(t)
g(t)g
σ
(t)
.
1.3 Tích phân
Định nghĩa 1.3. Với K = R hay C,
• Hàm p : T → K được gọi là hồi quy (regressive) nếu 1 + µ(t)p(t) = 0
với mọi t ∈ T
k
. Ta ký hiệu,
R = {p : T → K : 1 + µ(t)p(t) = 0 ∀t ∈ T
k
},
R

+
= {p : T → R : 1 + µ(t)p(t) > 0 ∀t ∈ T
k
}.
• Hàm p : T → K là hồi quy đều trên T nếu tồn tại hằng số dương δ
sao cho:
0 < δ
−1
 |1 + µ(t)p(t)|, t ∈ T
k
.
11
• Hàm ma trận A(·) : T → K
n×n
gọi là hồi quy nếu ma trận I +µ(t)A(t)
là khả nghịch với mọi t ∈ T, với I là ma trận đơn vị trong K
n×n
.
Định nghĩa 1.4. 1. Một hàm f : T → R gọi là chính quy (regulated)
nếu tồn tại giới hạn bên phải (hữu hạn) tại tất cả các điểm trù mật
phải trong T và tồn tại giới hạn bên trái (hữu hạn) tại tất cả các điểm
trù mật trái trong T.
2. Một hàm f : T → R gọi là rd-liên tục (right-dense continuous) nếu nó
liên tục tại các điểm trù mật phải và giới hạn bên trái là tồn tại (hữu
hạn) tại các điểm trù mật trái trong T.
3. Cho X là một không gian Banach, ánh xạ
f : T
k
× X → X
(t, x) → f(t, x)

gọi là rd-liên tục nếu thoả mãn các điều kiện sau:
(i) f liên tục tại mỗi điểm (t, x) với t là trù mật phải hay t = max T,
(ii) Các giới hạn f(t
−
, x) := lim
(s,y)→(t,x),s<t
f(s, y) và lim
y→∞
f(t, y) tồn
tại tại mỗi điểm (t, x) với t là trù mật trái.
Ta ký hiệu:
C
rd
(T, K) = {f : T → K, f là rd-liên tục},
C
1
rd
(T, K) = {f : T → K, f là khả vi và f
∆
∈ C
rd
(T, K)}.
Định lý 1.4. Tập hợp C
rd
R(T, C) tất cả các hàm rd-liên tục và hồi quy
trên T cùng với phép toán ⊕ xác định bởi p ⊕ q := p + q + µpq lập thành
một nhóm Abel.
Phần tử khả nghịch của phần tử q của nhóm này là q =
−q
1+µq

.
Định lý 1.5. Xét hàm f : T → R, ta có
1. Nếu f liên tục thì f là rd-liêntục.
2. Nếu f là rd-liên tục thì f là chính quy.
12
3. Toán tử nhảy tiến σ là rd-liên tục.
4. Nếu f là chính quy (hay rd-liên tục) thì f
σ
cũng là chính quy (hay
rd-liên tục).
5. Giả sử f là rd-liên tục. Nếu g : T → R là chính quy hay rd-liên tục
thì fg cũng có tính chất như vậy.
Định nghĩa 1.5. Hàm liên tục f : T → R gọi là tiền khả vi với miền khả
vi D nếu các điều kiện sau đồng thời thoả mãn:
• D ⊂ T
k
,
• T
k
\D là không quá đếm được và không chứa điểm cô lập phải nào của
T,
• f khả vi tại mỗi t ∈ D.
Định lý 1.6. Mỗi hàm chính quy trên một khoảng compact đều bị chặn.
Định lý 1.7. (Định lý giá trị trung bình). Cho f và g là các hàm nhận
giá trị thực, xác định trên T và là tiền khả vi với miền khả vi D. Khi đó,
nếu
|f
∆
(t)|  g
∆

(t)
với mọi t ∈ D thì
|f(s) − f(r)|  g(s) − g(r),
với mọi r, s ∈ T, r  s.
Hệ quả 1.0.1. Cho f, g : T → R là tiền khả vi với miền khả vi D.
1. Nếu f
∆
(t)  0 ∀t ∈ D thì f(t)  f(s) với mọi t, s ∈ T, t  s.
2. Nếu U là khoảng compact với các điểm mút là r, s ∈ T thì
|f(s) − f(r)| 

sup
t∈U
k
∩D


f
∆
(t)



|s − r| .
3. Nếu f
∆
(t) = 0 với mọi t ∈ D thì f là hàm hằng.
4. Nếu f
∆
(t) = g

∆
(t) với mọi t ∈ D thì g(t) = f(t) + C với mọi t ∈ D,
với C là một hằng số.
13
Định lý 1.8. (Sự tồn tại tiền nguyên hàm) Cho f là một hàm chính
quy. Khi đó tồn tại một hàm tiền khả vi F với miền khả vi D sao cho
F
∆
(t) = f(t) với mọi t ∈ D.
Định nghĩa 1.6. Ta gọi hàm F trong Định lý 1.8 là một tiền nguyên hàm
của f.
Tích phân bất định của một hàm chính quy f là

f(t)∆(t) := F(t) + C,
ở đây C là một hằng số tùy ý và F là một tiền nguyên hàm của f.
Tích phân xác định của một hàm chính quy f là

s
r
f(t)∆t := F(s) − F(r), (r, s ∈ T).
Một hàm F : T → R gọi là một nguyên hàm của f : T → R nếu
F
∆
(t) = f(t)
với mọi t ∈ T
k
.
Định lý 1.9. (Sự tồn tại của nguyên hàm)
(i) Mọi hàm rd-liên tục đều có nguyên hàm.
Nếu t

0
∈ T thì F (t) =

t
t
0
f(τ )∆τ, t ∈ T là một nguyên hàm của f.
(ii) Nếu f ∈ C
rd
và t ∈ T
k
thì

σ(t)
t
f(τ )∆τ = f(t)µ(t).
(iii) Giả sử a, b ∈ T và f ∈ C
rd
ta có
(a)Nếu T = R thì

b
a
f(t)∆t =

b
a
f(t)dt (tích phân Riemann thông
thường).
(b)Nếu [a; b] chỉ gồm những điểm rời rạc thì


b
a
f(t)∆t =














t∈[a;b)
f(t)µ(t) nếu a > b,
0 nếu a = b,
−

t∈[a;b)
f(t)µ(t) nếu a < b.
14
Thí dụ:
Khi T = hZ = {hk, k ∈ Z}(h > 0) thì

b

a
f(t)∆t =

















b
h
−1

t=
a
h
f(hk)h nếu a < b,
0 nếu a = b,
−
a

h
−1

t=
b
h
f(hk)h nếu a > b,
với f : hZ → R là một hàm tuỳ ý.
Định lý 1.10. Cho a, b, c ∈ T, α ∈ R, f, g ∈ C
rd
(T, T). Ta có
1.

σ(t)
t
f(s)∆s = f(t)µ(t), ở đây t ∈ T
k
.
2.

b
a
[f(t) + g(t)]∆t =

b
a
f(t)∆t +

b
a

g(t)∆t.
3.

b
a
αf(t)∆t = α

b
a
f(t)∆t.
4.

b
a
f(t)∆t = −

a
b
f(t)∆t.
5.

b
a
f(t)∆t =

c
a
f(t)∆t +

b

c
f(t)∆t.
6.

b
a
f(σ(t))g
∆
(t)∆t = (fg)(b) − (fg)(a) −

b
a
f
∆
(t)g(t)∆t.
7.

b
a
f(t)g
∆
(t)∆t = (fg)(b) − (fg)(a) −

b
a
f
∆
(t)g(σ(t)).
8.


a
a
f(t)∆t = 0.
9. Nếu |f(t)|  g(t) với mọi t ∈ [a; b) thì |

b
a
f(t)∆t| 

b
a
g(t)∆t.
10. Nếu f(t)  0 với mọi t ∈ [a; b) thì

b
a
f(t)∆t  0.
Định nghĩa 1.7. Cho a ∈ T, sup T = ∞ và f là rd-liên tục trên [a; ∞).
Tích phân suy rộng của hàm f liên tục trên [a; ∞) được định nghĩa như
sau

∞
a
f(t)∆t := lim
b→∞

b
a
f(t)∆t.
Định lý 1.11. Cho f : R → R là khả vi liên tục và g : T → R là ∆-khả

vi. Khi đó hàm f ◦ g : T → R là ∆-khả vi và ta có
(f ◦ g)
∆
(t) =


1
0
f

(g(t) + hµ(t)g
∆
(t))dh

g
∆
(t).
15
Với mỗi thang thời gian T tuỳ ý thì tập {t ∈ T, t là điểm cô lập phải}
là không quá đếm được (kết quả này được chứng minh trong [2]). Với
a, b ∈ T, a < b, ta ký hiệu:
I
a,b
:= {i, t
i
∈ [a; b) và là điểm cô lập phải}.
Định lý sau đây cho ta mối quan hệ đầy ý nghĩa giữa tích phân Riemann
trên thang thời gian với tích phân Riemann thông thường. Cách chứng
minh của định lý này có thể được tìm thấy trong [5].
Định lý 1.12. Nếu hàm f : [a; b] → R (với a, b ∈ T) là khả tích Riemann

(theo nghĩa thông thường). Ta có,

b
a
f(t)∆t =

b
a
f(t)dt +

i∈I
a,b

σ(t
i
)
t
i
(f(t
i
) − f(t))dt.
Áp dụng Định lý 1.12 ta tính được:
1.

b
a
t
n
∆t =
b

n+1
− a
n+1
n + 1
+

i∈I
a,b



n
n + 1
t
n
i
−
n−1

j=0
(σ(t
i
))
n−j
t
j
i
n + 1




µ(t
i
).
2.

b
a
1
t
∆t = ln
b
a
+

i∈I
a,b

µ(t
i
)
t
i
− ln
σ(t
i
)
t
i


.
3.

b
a
1
t
n
∆t =
b
1−n
− a
1−n
1 − n
+

i∈I
a,b
{µ(t
i
)t
−n
i
+
(σ(t
i
))
1−n
− t
1−n

i
1 − n
} ở đây
0 /∈ [a; b], n ∈ N, n = 1.
4.

b
a
α
t
∆t =
1
ln α



α
b
− α
a
+

i∈I
a,b
α
t
i
(µ(t
i
) ln α + 1 − α

µ(t
i
)
)



, với α >
0.
5.

b
a
cos αt∆t =
1
α
{sin αb − sin αa +

i∈I
a,b
αµ(t
i
) cos αt
i
−2

i∈I
a,b
cos[α(t
i

+
µ(t
i
)
2
] sin
αµ(t
i
)
2
}, với mọi α = 0.
16
6.

b
a
sin αt∆t =
1
α
{cos αa − cos αb +

i∈I
a,b
αµ(t
i
) sin αt
i
−2

i∈I

a,b
sin[α(t
i
+
µ(t
i
)
2
)] sin
αµ(t
i
)
2
}, với mọi α = 0.
Định lý 1.13. (Về đổi biến đối với tích phân). Giả sử V : T → R là một
hàm tăng chặt và

T := V (T) cũng là một thang thời gian.
Nếu f : T → R là một hàm rd-liên tục, V là khả vi và có đạo hàm V
∆
là rd-liên tục thì

b
a
f(t)V
∆
(t)∆t =

V (b)
V (a)

(f ◦ V
−1
)(s)

∆s, với a, b ∈ T.
1.4 Mặt phẳng phức Hilger
Định nghĩa 1.8. Cho h > 0, khi đó ta định nghĩa:
1. Tập các số phức Hilger (Hilger complex numbers):
C
h
:= {z ∈ C : z =
−1
h
}.
2. Trục thực Hilger (Hilger real axis):
R
h
:= {z ∈ R : z >
−1
h
}.
3. Trục luân phiên Hilger (Hilger alternating axis):
A
h
:= {z ∈ R : z <
−1
h
}.
4. Đường tròn ảo Hilger (Hilger imaginary circle):
I

h
:= {z ∈ C : |z +
1
h
| =
1
h
}.
5. Phần thực Hilger của z: Re
h
(z) :=
|zh + 1| − 1
h
, (z ∈ C
h
).
6. Quy ước: C
0
:= C, R
0
:= R, A
0
:= ∅, I
0
:= iR, Re
0
(z) := Re(z).
7. Phần ảo Hilger của z: Im
h
(z) :=

Arg(zh + 1)
h
, z ∈ C
h
.
ở đó Arg(z) là góc giá trị chính của z (tức là, −π < Arg(z)  π).
17
8. Ta định nghĩa dải (strip) Z
h
:= {z ∈ C :
π
h
< Im(z) 
π
h
} khi h > 0
và Z
0
:= C khi h = 0.
Định nghĩa 1.9. Phép biến đổi trụ (cylinder transformation):
ξ : C
h
→ Z
h
xác định bởi:
ξ
h
(z) =
1
h

Ln(1 + zh), h > 0. (1.4.1)
Khi h = 0, ta định nghĩa ξ
0
(z) = z với mọi z ∈ C.
Khi đó, phép biến đổi trụ ngược (inverse cylinder transformation) cho
bởi: ξ
−1
h
: Z
h
→ C
h
được xác định như sau:
ξ
−1
h
(z) =



e
zh
−1
h
nếu h > 0,
z nếu h = 0.
(1.4.2)
1.5 Hàm mũ thang thời gian
Định lý 1.14. Nếu p là rd-liên tục và hồi quy thì phương trình
x

∆
= p(t)x (1.5.1)
với điều kiện ban đầu x(t
0
) = 1 có nghiệm duy nhất.
Khi đó, ta gọi nghiệm của (1.5.1) là hàm mũ e
p
(·, t
0
). Sử dụng phép
biến đổi trụ ở trên, ta có
e
p
(t, s) = exp


t
s
ξ
µ(τ)
(p(τ))∆τ

, ∀t, s ∈ T.
Định lý 1.15. Hàm e
p
(t, t
0
) có các tính chất sau:
1. Nếu p ∈ R thì e
p

(t, r)e
p
(r, s) = e
p
(t, s) với mọi t, r, s ∈ T.
2. e
p
(σ(t), s) = (1 + µ(t)p(t))e
p
(t, s).
3. Nếu p ∈ R
+
thì e
p
(t, t
0
) > 0 với mọi t ∈ T.
4. Nếu 1 + µ(τ)p(τ) < 0 với τ ∈ T
k
thì e
p
(τ, t
0
)e
p
(σ(τ), t
0
) < 0.
5. Nếu T = R thì e
p

(t, s) = e

t
s
p(τ)dτ
.
Ngoài ra, nếu p là hàm hằng thì e
p
(t, s) = e
p(t−s)
.
18
6. Nêú T = hZ, h > 0 thì e
p
(t, s) =
t−1

τ=s
(1 + hp(τ)).
Ngoài ra, nếu p là hằng thì
e
p
(t, s) = (1 + hp)
t−s
h
.
Định nghĩa 1.10. Nếu p ∈ R và f : T → R là rd-liên tục, thì phương
trình động lực
y
∆

(t) = p(t)y(t) + f(t), (1.5.2)
được gọi là hồi quy.
Định lý 1.16. (Công thức biến thiên hằng số) Cho t
0
∈ T và y(t
0
) = y
0
∈
R. Khi đó hệ hồi quy (1.5.2) có nghiệm duy nhất y : T → R được cho bởi
y(t) = y
0
e
p
(t, t
0
) +

t
t
0
e
p
(t, σ(τ ))f(τ)∆τ.
Chú ý:
1. Cho A(·) là một n × n-ma trận, phương trình
y
∆
(t) = A(t)y(t) + f(t) (1.5.3)
gọi là hồi quy nếu A(·) là hồi quy và hàm f : T → R

n
là hàm rd-liên
tục.
2. Cho t
0
∈ T và giả sử A(·) là hồi quy. Khi đó phương trình ma trận
Y
∆
(t) = A(t)Y (t), Y (t
0
) = I (1.5.4)
có nghiệm duy nhất xác định trên T, gọi là ma trận chuyển (transition
matrix) và được ký hiệu là Φ
A
(t, t
0
).
3. Khi A(t) ≡ A là ma trận hằng thì thay vì viết Φ
A
(t, t
0
) ta viết e
A
(t, t
0
)
(hàm mũ ma trận).
Định lý 1.17. Giả sử A, B ∈ R là những hàm ma trận xác định trên T,
(i) Khi đó, tính chất nửa nhóm
Φ

A
(t, r)Φ
A
(r, s) = Φ
A
(t, s)
thoả mãn với mọi r, t, s ∈ T.
19
(ii) Φ
A
(σ(t), s) = (I + µ(t)A(t))Φ
A
(t, s).
(iii) Nếu T = R và A là hằng thì
Φ
A
(t, s) = e
A
(t, s) = e
A(t−s)
.
(iv) Nếu T = hZ, h > 0 và A là hằng thì
Φ
A
(t, s) = e
A
(t, s) = (I + hA)
t−s
h
.

Định lý 1.18. (Công thức biến thiên hằng số) Cho t
0
∈ T, khi đó hệ hồi
quy (1.5.3) với điều kiện ban đầu y(t
0
) = y
0
∈ R
n
có nghiệm duy nhất
y : T → R
n
được cho bởi
y(t) = Φ
A
(t, t
0
)y
0
+

t
t
0
Φ
A
(t, σ(τ ))f(τ)∆τ. (1.5.5)
1.6 Bất đẳng thức Gronwall
Định lý 1.19. (Bất đẳng thức Gronwall) Cho u, a, b ∈ C
rd

(T, R), b(t)  0
với mọi t ∈ T. Khi đó, nếu
u(t)  a(t) +

t
t
0
b(s)u(s)∆s với mọi t  t
0
(t, t
0
∈ T),
thì
u(t)  a(t) +

t
t
0
a(s)b(s)e
b
(t, σ(s))∆s với mọi t  t
0
.
Hệ quả 1.0.2. 1. Khi b(t) ≡ L  0 và nếu u(t)  a(t) + L

t
t
0
u(s)∆s
với mọi t  t

0
thì u(t)  a(t) + L

t
t
0
e
L
(t, σ(s))a(s)∆s với mọi t  t
0
.
2. Với u, b ∈ C
rd
(T, R), b(t)  0 với mọi t ∈ T. Khi đó, nếu
u(t)  u
0
+

t
t
0
b(s)u(s)∆s với mọi t  t
0
,
thì
u(t)  u
0
e
b
(t, t

0
) với mọi t  t
0
.
20
3. Với u, b ∈ C
rd
(T, R), b(t)  0 với mọi t ∈ T và a ∈ C
1
rd
(T, R). Khi
đó, nếu
u(t)  a(t) +

t
t
0
b(s)u(s)∆s với mọi t  t
0
,
thì
u(t)  a(t
0
)e
b
(t, t
0
) +

t

t
0
a
∆
(s)e
b
(t, σ(s))∆s với mọi t  t
0
.
21
Chương 2
Sự ổn định của hệ phương trình
động lực tuyến tính trên thang thời
gian
2.1 Khái niệm về ổn định
2.1.1 Các định nghĩa về ổn định của hệ phương trình động lực tuyến tính
trên thang thời gian
Đầu tiên, ta nhắc lại các khái niệm sau
• Chuẩn Euclid của n × 1-véc tơ x(t) được xác định bởi:
x(t) =

x
T
(t)x(t).
• Chuẩn cảm sinh của một m × n-ma trận A được xác định bởi:
A = max
x=1
Ax =

max

x=1
x
T
A
T
Ax

1
2
,
gọi là chuẩn phổ của m × n-ma trận A. Chuẩn này sẽ được sử dụng
trong phần tiếp theo và được ký hiệu là ·.
• Một ma trận đối xứng M được gọi là nửa xác định dương nếu với
mọi véctơ x ta có x
T
Mx  0; và nó được gọi là xác định dương nếu
x
T
Mx  0 với mọi x, và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0. M
22
được gọi là nửa xác định âm (xác định âm) nếu −M là nửa xác định
dương (xác định dương).
Bây giờ ta định nghĩa các khái niệm ổn định đều và ổn định mũ đều.
Hai khái niệm này liên quan đến tính bị chặn của nghiệm của hệ phương
tuyến tính hồi quy với ma trận hệ số biến thiên theo thời gian
x
∆
(t) = A(t)x(t), x(t
0
) = x

0
, t
0
∈ T. (2.1.1)
Giả sử với mỗi t
0
∈ T, bài toán giá trị ban đầu (2.1.1) có nghiệm duy
nhất x(t) = x(t, t
0
, x
0
) với t  t
0
. Khi đó, ta có các định nghĩa:
Định nghĩa 2.1. Hệ phương trình động lực tuyến tính (2.1.1) được gọi là
ổn định nếu với mỗi t
0
∈ T, tồn tại hằng số γ = γ(t
0
), nghiệm của nó
thoả mãn
x(t)  γ x(t
0
) , t  t
0
. (2.1.2)
Nếu γ không phụ thuộc vào t
0
thì (2.1.1) được gọi là ổn định đều.
Trong định nghĩa tiếp theo, ta chỉ ra rằng tính ổn định không chỉ liên

quan đến tính bị chặn của nghiệm của (2.1.1) mà còn liên quan đến các
đặc trưng tiệm cận của nghiệm. Nếu nghiệm của (2.1.1) là ổn định mũ
(theo nghĩa dưới đây) thì nghiệm dần tới 0 với tốc độ mũ khi t → ∞.
Định nghĩa 2.2. Phương trình động lực tuyến tính (2.1.1) được gọi là ổn
định mũ nếu tồn tại hằng số γ = γ(t
0
), λ > 0 với −λ ∈ R
+
sao cho với
t
0
và x(t
0
) bất kỳ, nghiệm tương ứng x(t) thoả mãn
x(t)  x(t
0
) γe
−λ
(t, t
0
), t  t
0
. (2.1.3)
Nếu γ không phụ thuộc vào t
0
thì (2.1.1) được gọi là ổn định mũ đều.
Định nghĩa 2.3. Phương trình động lực tuyến tính (2.1.1) được gọi là ổn
định tiệm cận đều nếu nó ổn định đều và với δ > 0 bất kỳ, tồn tại số T > 0
sao cho với t
0

với x(t
0
) bất kỳ, nghiệm tương ứng thoả mãn
x(t)  δ x(t
0
) , t  t
0
+ T. (2.1.4)
23
2.1.2 Các định lý về ổn định
Bây giờ ta sẽ nghiên cứu các đặc trưng của tính ổn định đều và ổn định
mũ đều của hệ (2.1.1) thông qua ma trận chuyển. Đặc biệt, Định lý 2.4
cho ta mối quan hệ giữa sự ổn định tiệm cận đều và ổn định mũ đều.
Định lý 2.1. Phương trình (2.1.1) ổn định đều nếu và chỉ nếu tồn tại số
γ > 0 sao cho
Φ
A
(t, t
0
)  γ,
với mọi t, t
0
∈ T và t  t
0
.
Chứng minh. Giả sử hệ (2.1.1) ổn định đều. Khi đó, tồn tại số γ > 0 sao
cho với t
0
và x(t
0

) bất kỳ, nghiệm thoả mãn
x(t)  γ x(t
0
) , t  t
0
.
Chọn t
a
 t
0
, x
a
là n × 1-véctơ sao cho
x
a
 = 1, Φ
A
(t
a
, t
0
)x
a
 = Φ
A
(t
a
, t
0
) x

a
 = Φ
A
(t
a
, t
0
) .
Vì thế, giá trị ban đầu x(t
0
) = x
a
cho ta nghiệm của (2.1.1) tại thời điểm
t
a
thoả mãn
x(t
a
) = Φ
A
(t
a
, t
0
)x
a
 = Φ
A
(t
a

, t
0
) x
a
  γ x
a
 .
Do x
a
 = 1 nên Φ
A
(t
a
, t
0
)  γ.
Vì x
a
có thể chọn với bất kỳ t
0
và t
a
 t
0
nên ta có
Φ
A
(t, t
0
)  γ,

với mọi t  t
0
và t, t
0
∈ T.
Bây giờ giả sử tồn tại γ sao cho Φ
A
(t, t
0
)  γ với mọi t  t
0
và t,
t
0
∈ T. Với bất kỳ t
0
, x(t
0
) = x
0
, nghiệm của (2.1.1) thoả mãn
x(t) = Φ
A
(t, t
0
)x
0
  Φ
A
(t, t

0
) x
0
  γ x
0
 , t  t
0
.
Vậy(2.1.1) ổn định đều.
Định lý 2.2. Phương trình (2.1.1) ổn định mũ đều nếu và chỉ nếu tồn tại
các số γ, λ > 0 với −λ ∈ R
+
sao cho
Φ
A
(t, t
0
)  γe
−γ
(t, t
0
),
24
với mọi t  t
0
và t, t
0
∈ T.
Chứng minh. Đầu tiên ta giả sử rằng (2.1.1) ổn định mũ. Khi đó, tồn tại
các số γ, λ > 0 với −λ ∈ R sao cho với t

0
và x
0
= x(t
0
), nghiệm của
(2.1.1) thoả mãn
x(t)  x
0
 γe
−λ
(t, t
0
), với mọi t  t
0
,
Vì thế, với t
0
và t
a
 t
0
bất kỳ, gọi x
a
là véctơ sao cho
x
a
 = 1, Φ
A
(t

a
, t
0
)x
a
 = Φ
A
(t
a
, t
0
) x
a
 = Φ
A
(t
a
, t
0
) .
Do đó, giá trị ban đầu x(t
0
) = x
a
cho ta một nghiệm của (2.1.1) tại t
a
thoả mãn
x(t
a
) = Φ

A
(t
a
, t
0
)x
a
 = Φ
A
(t
a
, t
0
) x
a
  x
a
 γe
−λ
(t
a
, t
0
).
Do x
a
 = 1 và −λ ∈ R
+
, ta có Φ
A

(t, t
0
)  γe
−λ
(t, t
0
) .
Vì x
a
có thể được chọn với t
0
và t
a
 t
0
bất kỳ nên ta có
Φ
A
(t, t
0
)  γe
−λ
(t, t
0
),
với mọi t, t
0
∈ T.
Bây giờ ta giả sử tồn tại các số γ, λ > 0 với −λ ∈ R sao cho
Φ

A
(t, t
0
)  γe
−λ
(t, t
0
)
với mọi t, t
0
∈ T.
Với t
0
và x(t
0
) = x
0
bất kỳ, nghiệm của (2.1.1) thoả mãn
x(t)  Φ
A
(t, t
0
)x
0
  Φ
A
(t, t
0
) x
0

  x
0
 γe
−λ
(t, t
0
), t  t
0
.
Vậy (2.1.1) ổn định mũ đều.
Định lý 2.3. Giả sử tồn tại hằng số α sao cho với mọi t ∈ T, A(t)  α.
Khi đó, phương trình tuyến tính (2.1.1) ổn định mũ đều khi và chỉ khi tồn
tại hằng số β sao cho
t

τ
Φ
A
(t, σ(s)) ∆s  β, (2.1.5)
với mọi t, τ ∈ T, t  σ(τ).
25