Hệ điều khiển tuyến tính trên thang thời gian
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.43 MB, 56 trang )
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ TÂM
HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH TRÊN
THANG THỜI GIAN
Thái Nguyên – 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ TÂM
HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH TRÊN
THANG THỜI GIAN
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12
Giáo viên hướng dẫn: PGS.TS. Tạ Duy Phượng
Thái Nguyên – 2014
1
LƠ
̀
I CAM ĐOAN
2
LƠ
̀
I CA
̉
M ƠN
.TS. -
n tình
Toán Khoa
, , ã
cho tôi
3
MC LC
Mở đầu 6
Chương 1 GIẢI TÍCH TRÊN THANG THỜI GIAN
1.1 i gian.8
1.1.1. 8
1.1.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Phép tính vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.- . . . . . . . . . . . . . . .
1. . . . . . . . . . . . . . . .
1.. . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Phép toán tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
1.- nguyên hàm. . . . . . . . 17
1.3.2. Nguyên hàm. . . . . . . . .18
1.. . . . . . . . .19
Chương 2 MÔ
̣
T SÔ
́
TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC
TUYẾN TÍNH TRÊN THANG THỜI GIAN
2.1. 20
2.2.1 23
2.2.228
2.3 .36
2. 36
2.3.2. 38
2.4 41
2.4
4
2.4BIBO cho 2
2.3.3. Tính BIBO 45
Kết luận 53
Tài liệu tham khảo 54
5
BẢNG KÍ HIỆU
k
\{M}
M
trong
cá
:.tt
0
0.
, C X Y
X
vào
.Y
(
rd
C
, )X
X
1
(
rd
C
, )X
X
(
rdR
C
, )X
k
X
LX
X
vào
.X
A
.A
6
MƠ
̉
ĐÂ
̀
U
Hilger trong
Ông [6]
Nghiên (xem [2],
[3])
(xem [2], [3], [4], [5],
[7]) do
quát
.
trình
Tuy nhiên, các thang
nên
: ,
, [4], [5] [7].
:
7
theo [2], [3].
rình bày các
gian theo [4], [5] [7].
tính
.
(xem [1]).
.
8
Chương 1
GIẢI TÍCH TRÊN THANG THỜI GIAN
1.1 Thang thời gian
1.1.1 Định nghĩa thang thời gian
Định nghĩa 1.1
gian (time scale).
.
Ví dụ 1.1.1
, , , , 2;5 , 6;7 ,
=
0,
2 ,2 1
kk
kk
, \ , 0;1
.
,
n
.
.
Vì
,,trong tô
1.1.2 Các định nghĩa cơ bản
Định nghĩa 1.2 Cho
:
( ): inf{ts
:
}st
.
:
( ): sup{ts
:
}st
toán
.
Quy ước:
inf sup
(t
max t
thì
()tt
);
sup inf
(t
min t
thì
()tt
).
9
Chú ý:
inf min m
,m t t
.
, khi
inf 0 min
.
0,tt
.
H(grainiess) là hàm
: 0;
( ): ( ) .t t t
Định nghĩa 1.3 Cho .
t
(right-
()tt
.
t
trái (left-
()tt
.
t
( ) ( )t t t
.
t
(right-
( ) .tt
t
(left-
( ) .tt
t
( ) ( ).t t t
Ví dụ 1.1.2
1) =
thì
( ) ( ) , ( ) 0t t t t
t
.
t
2)
thì
( ) 1tt
,
( ) 1tt
t
.
( ) ( ) 1t t t
t
.
t
3) =
:
2
n
n
Ta có
1
( ) ,
2
tt
1
()
2
tt
và
11
( ) .
22
t t t
0t
, ta có:
1
(0) ,
2
(0) inf : 0 = infss
),
11
( ) 0 .
22
t
Suy ra
0t
4) Cho
0h
h
=
h
{ : } { , 3 , 2 , ,0, ,2 ,3 , }hn n h h h h h h
.
2h
, ta có
10
( ) 2, ( ) 2, ( ) 2 0.t t h t t t h t t t h t h
Suy ra
( ) ( )t t t
nên
th
5) Cho
=
0,
2 ,2 1.
kk
kk
Ta có
2 ,2 1t k k
thì
( ) ( )t t t
nên
t
21tk
thì
( ) 2 2t t t
và
()tt
nên
t
2tk
thì
( ) 2t t k
và
( ) 2 1t k t
nên
t
6) Cho =
:nn
t
n
sao cho
tn
hay
2
,nt
2
1 1.nt
Ta có
2
( ) 1tt
,
2
( ) 1tt
, và
2
( ) 1t t t
.
0t
t
,
0t
1.2 Phép tính vi phân
1.2.1 Định nghĩa hàm chính quy
Định nghĩa 1.4
:f
.
1.2.2 Định nghĩa rd-liên tục
Định nghĩa 1.5 Hàm
:f
-
-
rd
C
C
rd
()
(C
rd
,
).
11
Nhâ
̣
n xe
́
t Hàm rd--
0
()fx
).
Ví dụ 1.2.1 Hàm
()t
là hàm rd-
,
0
t
0
( ) ;tt
0
00
lim ( ) ( ) .
tt
t t t
0
t
0
( ) ;tt
0
00
lim ( ) ( ) .
tt
t t t
Định lí 1.1.1 (Theorem 1.60, [2])
:f
.
1)
f
f
là rd-
2)
f
là rd-
f
là hàm chính qui.
3)
là rd-
4)
f
-
f
5)
f
:g
-
fg
1.2.3 Định nghĩa đạo hàm
sau:
k
=
\sup
} < ;
k
=
.
Định nghĩa 1.6
:f
và
t
k
. (
Hilger
f
t
k
), kí h
( ),ft
n
0
cho tr
U
t
(
( , )U t t
0
) sao cho
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )f t f s f t t s t s
v
.sU
Nhận xét
Δ
( ( )) ( ) ( ) ( )
()
f σ t f s f t σ t s
ε
σ t s
v
sU
12
Hay
Δ
( ( )) ( )
()
()
f σ t f s
ft ε
σ t s
v
.sU
Định nghĩa 1.7 Hàm
:f
) trên
k
nó
t
k
.
Ví dụ 1.2.2
thì
( ) ( )f t f t
2)
thì
( ) ( 1) ( )f t f t f t
3)
:f
,
()f t c
t
k
,
c
thì
( ) 0.ft
()f t c
t
k
nên
()f t c
t
k
. V
0
,
sU
ta có:
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) 0. ( ) 0 ( ) .f t f s f t t s f t f s t s c c t s
( ) 0ft
t
k
.
4)
:f
,
()f t t
t
k
thì
( ) 1ft
t
k
.
0
,
sU
ta có:
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) 1. ( )
( ) ( ( ) ) 0 ( ) .
f t f s f t t s f t f s t s
t s t s t s
( ) 1ft
t
k
.
5
:f
và
2
( ) .f t t
( ) ( )f t t t
t
k
.
0
,
sU
thì
.st
Do
22
2
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ))( ( ) )
( ( ) ) ( ) ( ( ) )( ) ( ) .
f t f s f t t s t s t t t s
s t t s t s t s s t t s
t
k
ta có
( ) ( ).f t t t
=
thì
( ) .tt
( ) 2 ( ).f t t f t
13
()t
.
1.2.4 Tính chất của đạo hàm
Định lý 1.2.1
:f
t
k
. a có:
f
t
k
thì
f
.t
f
t
k
và
t
f
t
k
và
( ( )) ( )
()
()
f t f t
ft
t
.
t
k
f
t
k
( ) ( )
lim
st
f t f s
ts
( ( )) ( )
( ) lim .
()
st
f t f s
ft
ts
f
t
k
thì
( ( )) ( ) ( ) ( )f t f t t f t
.
Chứng minh
1)
f
t
k
(0;1)
1
1 ( ) 2 ( ) .f t t
Ta có
(0;1)
. Theo
U
t
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) .f t f s f t t s t s s U
( , )s U t t
ta có:
( ) ( ) { ( ( )) ( ) ( ). ( ) } { ( ( ))- ( )- ( ) ( )} ( ) ( )f t f s f t f s f t t s f t f t t f t t s f t
( ) ( ) ( )t s t t s f t
( ) ( ) ( )t t s t f t
1 2 ( ) ( )t f t
.
f
t
k
.
2)
f
c tai
t
k
và
t
cô
f
t
k
ta có:
14
( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )
lim .
( ) ( ) ( )
st
f t f s f t f t f t f t
t s t t t
0
. Trong lân
U
s
ta có:
( ( )) ( ) ( ( )) ( )
( ) ( )
f t f s f t f t
sU
t s t t
( ( )) ( )
( ( )) ( ) . ( ) ( ) .
()
f t f t
f t f s t s t s s U
t
( ( )) ( )
()
()
f t f t
ft
t
.
3) G
f
t
k
và
t
Cho
0
. Vì
f
t
ta có:
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )f t f s f t t s t s s U
.
Vì
()tt
nên ta có:
( ) ( ) ( )f t f s f t t s t s s U
.
Ta có
( ) ( )
( ) , ,
f t f s
f t s U s t
ts
.
Suy ra
( ) ( )
( ) lim
st
f t f s
ft
ts
.
4
()tt
ta có
( ) 0t
và ta có:
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).f t f t f t t f t f t
()tt
ta có:
( ( )) ( )
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
()
f t f t
f t f t t f t t f t
t
Nhận xét 1.2.1 2.1 ta có:
15
t
là
f
t
khi
( ) ( )
lim
st
f t f s
ts
Δ
( ) ( )
( ) lim ( ),
st
f t f s
f t f t
ts
-
t
f
là
-
t
và
)()1()( tftftf
-
f
.t
Định lý 1.2.2
:f
và
:g
là các hàm
-
t
k
1) Hàm
fg
là
-
t
k
và
( ) ( ) ( ) ( ).f g t f t g t
2) Hàm
fg
là
-
t
k
và
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).fg t f t g t f t g t f t g t f t g t
3
( ) ( ( )) 0f t f t
thì
1
f
là
-
t
k
và
1 ( )
( ) .
( ) ( ( ))
ft
t
f f t f t
( ) ( ( )) 0g t g t
thì
f
g
là
-
t
k
và
( ) ( ) ( ) ( )
()
( ) ( ( ))
f f t g t f t g t
t
g g t g t
.
Chứng minh
,fg
t
k
.
1) Cho
0
,
12
,UU
t
ta có:
( ( )) ( ) ( )( ( ) ) ( )
2
f t f s f t t s t s
1
.sU
,
16
( ( )) ( ) ( )( ( ) ) ( )
2
g t g s g t t s t s
2
sU
12
U U U
sU
:
( )( ( )) ( )( ) ( ) ( ) ( ( ) )
( ( )) ( ) ( )( ( ) ) ( ( )) ( ) ( )( ( ) )
( ( )) ( ) ( )( ( ) ) ( ( )) ( ) ( )( ( ) )
( ) ( )
22
()
f g t f g s f t g t t s
f t f s f t t s g t g s g t t s
f t f s f t t s g t g s g t t s
t s t s
ts
fg
t
và
()f g f g
t
2) Cho
0,1
1
1 ( ) ( ( )) ( )f t g t g t
.
0,1
1 2 3
,,U U U
t
:
( ( )) ( ) ( )( ( ) ) ( )f t f s f t t s t s
1
sU
( ( )) ( ) ( )( ( ) ) ( )g t g s g t t s t s
2
sU
Và theo 1 1.2.1 ta có:
( ) ( )f t f s
3
sU
1 2 3
U U U U
thì
sU
thì:
( )( ( )) ( )( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )fg t fg s f t g t f t g t t s
=
( ( )) ( ) ( )( ( ) ) ( ( )f t f s f t t s g t
+
( ( )) ( ) ( )( ( ) ) ( )g t g s g t t s f t
+
( ( )) ( ) ( )( ( ) ) ( ) ( )g t g s g t t s f s f t
+
( ( ) ) ( ) ( ) ( )t s g t f s f t
( ) ( ( )) ( ) ( )t s g t t s f t
( ) ( ) ( )t s t s g t
17
( ) ( ( )) ( ) ( )t s g t f t g t
( ) 1 ( ) ( ( )) ( )t s f t g t g t
() .ts
()fg f g fg
.t
2)
3) 4).
Định lí 1.2.3 (
-Mean Value Theorem, Theorem 1.67, [2B]) Cho
:f
và
:g
,
.D
( ) ( )f t g t
.tD
( ) ( ) ( ) ( )f s f r g s g r
,rs
,
.rs
Chư
́
ng minh Xem [2], trang 23-25.
Hê
̣
qua
̉
1.1.1
:f
và
:g
.D
2..
U
,rs
,
( ) ( ) sup ( ) .
k
t U D
f s f r f t s r
2)
( ) 0ft
,tD
f
.
3)
( ) ( )f t g t
,tD
( ) ( )g t f t C
t
,
C
.
1.3 Phép toán tích phân
1.3.1 Tồn tại tiền nguyên hàm
18
Định lý 1.3.1 (Theorem 1.70, Theorem 8.13, [2])
:f
là hàm chính
-
F
D
k
sao cho
( ) ( )F t f t
.tD
-
.f
:f
chính quy là
( ) : ( ) ( )
t
s
f F t F s
1.3.2 Nguyên hàm
Định nghĩa 1.3.1
-
f
trên
k
( ) ( )F t f t
t
.
k
Định lý 1.3.2 (Theorem 1.74, [2])
rd
-
,
0
t
thì hàm
F
0
( ): ( )
t
t
F t f
f
t
.
Chứng minh
f
là hàm
rd
.
1.1.1,
f
là hàm chính qui .
1.3.1,
F
D
( ) ( )F t f t
.tD
F
.D
( ) ( )F t f t
t
k
(
( ) ( )F t f t
k
\D
).
t
k
\.D
t
k
\D
.
f
là hàm
rd
.t
Cho
0.
U
t
( ) ( )f s f t
.sU
0
( ): ( ) ( )( )h F f t t
.
h
D
và ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )h r F f t f f t
.
19
( ) ( ) ( ) .h s f s f t s D U
sup ( ) .
s D U
hs
.1,
rU
ta có
00
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ( )( )F t F r f t t r h t f t t t h r f t r t f t t r
( ) ( )h t h r
sup ( )
s D U
h s t r
.tr
F
t
( ) ( ).F t f t
1.3.3 Bảng tổng kết và so sánh
Th
)(t
t
1t
()t
t
1t
)(t
0
1
f
là rd-
f
f
)(tf
()ft
)(tf
Tích phân
b
a
ttf )()(
b
a
tdtf )()(
1
()
b
ta
ft
(
ab
)
:
b
a
b
a
ttgtf
afgbfg
ttgtf
)())(()(
))(())((
)()()(
:
=
thì
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
b
a
b
a
f t g t d t
fg b fg a
f t g t dt
trong
:
=
thì
)()(
))(())((
)()(
1
1
tftg
afgbfg
tgtf
b
at
b
at
20
Chương 2
MÔ
̣
T SÔ
́
TI
́
NH CHÂ
́
T ĐỊNH TÍNH
CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYÊ
́
N TI
́
NH TRÊN THANG THỜI GIAN
alman, Kra
còn
.
2.1 Hê
̣
đô
̣
ng lư
̣
c trên thang thơ
̀
i gian
1 ,1
:.
ij
i m j n
Aa
:A
nm
,
,nm
( ): ( ) .A t A t
()At
rd-
(right-dense continuous)
()
ij
at
rd-
;
()At
(delta
differentiable)
()
ij
at
( ): ( ).
ij
A t a t
Định ly
́
2.1.1 (Theorem 5.2, [2], p. 189)
()At
t
k
,
( ): ( ) ( ).A t A t t A t
.
Định ly
́
2.1.2 (Theorem 5.3, [2], p. 189)
()At
()Bt
nn
t
k
,
1)
;A B A B
2)
AA
.
3)
;AB A B AB A B A B
4)
11
1 1 1
A A A A A A A
AA
.
21
5)
1
1 1 1 1
AB A AB B B A AB B B
BB
.
()At
y (regressive)
( ) ( )I t A t
t
k
.
,
-liên
( ) ( , ). R = R R
()At
( ),Bt
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B t A t B t t A t B t
t
.
-
.
Định nghĩa 2.1.1 Cho
:A
nn
và
:f
n
-(
trình)
( ) ( ) ,x t A t x t f t
t
k
. (2.1.1)
0ft
t
k
()
.
()xt
k
(2.1.1)
(2.1.1)
t
k
.
(2.1.1) y
()At
l.
(2.1.1).
Định ly
́
2.1.3 (Theorem 5.8, [2], p. 190)
.A
(.)f
là
nn
-
-
0
t
\
0
,
n
x
(initial
value problem-IVP)
22
( ),x t A t x t f t
00
x t x
(2.1. 2)
.x
0
tt
.A
i
.
2.1.3 suy ra, n
00
,,X A t X X t X
0
X
,nn
(
nn
).
00
,,X A t X X t X
0
,.
A
tt
0
,
A
tt
0
,tt
.A
quy
.A
thì
0
,
A
tt
0
,tt
k
At
giao hoán
0
t
t
A s s
A
0
,
A
e t t
thay vì
0
,.
A
tt
.x
00
. ., .
A
x t x
Bổ đề 2.1.1
. , .AB
là
mm
- .
1.
, , , ,
A A A
t t s s
st
2.
, , .
AA
t s I t A t t s
3.
,
A
ts
Bt
thì
, , ,
A B A B
t s t s t s
.ts
4.
và
A
,.
A t s
A
t s e
5.
h
h
>0 và
A
23
, , .
ts
h
AA
t s e t s I hA
Định lí 2.1.2 Cho
:A
k
mm
và
:f
k
m
là rd-
0
,,x t t t
,x t A t x t f t
00
x t x
(2. 1.3)
0
00
, , ,
t
AA
t
x t t t x t s f s s
0
tt
. (2.1.4)
2.2 Tính điều khiển được của hệ động lực trên thang thời gian
2.2.1 Hệ động lực không dừng có điều khiển
Cho
( ) ,
nn
At
()
nm
Bt
-
,
( ) .
m
ut
Ta
0
t
f
t
Định nghĩa 2.2.1
00
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( )x t A t x t B t u t x t x
(2.2.1)
(hoàn toàn)
0
,,
f
tt
0
x
f
x
trong không gian
n
-
)
()ut
trên
0
,
f
tt
( ) .
ff
x t x
=
=
).
