Các dạng toán phương trình quy về bậc 2 cổ điển

www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 3
 Dạng 1: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m (1)
với a+b=c+d và m ≠ 0
Cách giải:
Phương trình (1) được viết lại:
[x
2
+(a+b)x +ab][ x
2
+(c+d)x +cd] =m
Vì a+b = c+d nên ta đặt t=x
2
+(a +b)x= x
2
+(c+d)x lúc
đó phương trình (1) được viết lại như sau:
(t +ab)(t+cd) = m  t
2
+(ab+cd)t +abcd –m =0
Giải phương trình theo t  x
Ví dụ: giải phương trình sau
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 120
 (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)=120
 (x
2

+5x +4)(x
2

+5x+6)=120
Đặt t = x
2

+5x Lúc đó phương trình được viết lại:
(t+4)(t+6)=120
 t
2

+10t-96 =0
 t=6, t=-16
Với t=6 thì x
2

+5x-6=0  x=1, x=-6
Với t=-16 thì x
2

+5x+16=0 ( vô nghiệm)
BÀI TẬP
1. (x+4)(x+5)(x+7)(x+8)=4
2. (2x-1)(2x+3)(x+2)(x+4)+9=0
3. (x+2)(x+4)(x
2

+6x+1)=8
4. (x+1)(x+2)(x+5)(x+6)=252
5. (16(x
2

-1)(x
2

+8x+15)=105
Tìm m để phương trình sau
6. (x+4)(x+5)(x+7)(x+8)=m có nghiệm
7. x(x+1)(x+2)(x+3)=m có 4 nghiệm phân biệt.
8. (x+2)(x+4)(x
2

+4x +m)=8m có 4 nghiệm dương phân
biệt
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 4
 Dạng 2:
mx
ax
2

+bx+c
+
nx
ax
2

+dx+c
=k
Với giả thiết biểu thức ở mẫu luôn khác không

Cách giải:
Trước tiên ta nhận xét x=0 không phải là nghiệm của
phương trình đã cho.
Khi x≠ 0 ta chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x,
lúc đó phương trình đã cho (2) được viết lại như sau:
m
ax+b+
c
x
+
n
ax+d+
c
x
=k (2.1)
Đặt t= ax+
c
x
lúc đó phương trình (2.1) được viết lại:
m
t+b
+
n
t+d
=k (2.2)
Giải phương trình (3) ta được nghiệm giả sử đó t

1
, t

2
rồi
từ đó ta suy ra nghiệm của phương trình (2) bằng cách
giải các phương trình
ax+
c
x
= t

1
, ax+
c
x
= t

2

Ví dụ: giải phương trình
4x
4x
2

-8x+7
+
3x
4x
2

-10x+7
=1 (2.3)

Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình
đã cho.
Xét x≠ 0 lúc đó chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức
cho x ta được
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 5
4
4x-8+
7
x
+
3
4x-10+
7
x
=1 (2.4)
Đặt t = 4+
7
x
khi đó phương trình (2.4) dược viết lại là
4
t-8
+
3
t-10
=1
Quy đồng mẫu thì ta có phương trình
t
2

-25t +144=0.
Phương trình này có hai nghiệm t

1
=16, t

2
=9
Với t

1
=16 ta có phương trình 4x+
7
x
=16
 4x
2

-16x +7=0  x

1
=
7
2
, x

2
=
1

2

Với t

2
=9 ta có phương trình
4x +
7
x
=9  4x
2

-9x+7=0 (không có nghiệm thực)
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x

1
=
7
2
, x

2
=
1
2

BÀI TẬP
Giải các phương trình sau
1.
2x

3x
2

-x+1
+
x
3x
2

-4x+1
=
3
2

2.
2x
2x
2

-5x+3
+
13x
2x
2

+x+3
=6
3.
2x
x

2

+8x+5
+
6x
x
2

+x+5
=1
4.
3x
x
2

-4x+1
-
2x
x
2

+x+1
=
8
3

Cho phương trình sau
2x
x
2

+8x+5
+
6x
x
2

+x+5
=m
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 6
Tìm m để phương trình đã cho thoả mãn các điều kiện
sau:
5. Phương trình đã cho có nghiệm
6. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
7. Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
8. Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt
9. Phương trình đã cho có 4 nghiệm dương phân biệt
10. Với giá trị nào của m thì phương trình
3x
x
2

-4mx+1
+
2x
x
2

+mx+1
=1 có 4 nghiệm dương phân biệt
x

1
, x

2
, x

3
, x

4
thoả mãn x

1
+x

2
+x

3
+x

4
= 14
 Nhân đây tôi cũng muốn nói đến dạng phương trình
cùng họ hàng với dạng toán trên.
1

x
2

+9x+20
+
1
x
2

+11x+30
+
1
x
2

+13x+42
=
1
18
(*)
Giải như sau:
Ta thấy (*) được viết lại:
1
(x+4)(x+5)
+
1
(x+5)(x+6)
+
1
(x+6)(x+7)

=
1
18


1
x+4
-
1
x+5
+
1
x+5
-
1
x+6
+
1
x+6
-
1
x+7
=
1
18


1
x+4
-

1
x+7
=
1
18
 x
2

+11x-26 =0  x

1
= 2, x

2
= -13
Tương tự giải phương trình sau:
1
x
2

+3x+2
+
1
x
2

+5x+6
+…… +
1
x

2

+(2n-1)x+n
2

-n
= k

Giả sử A là sự thành công trong cuộc sống. Vậy
thì A=X+Y+Z trong đó X=làm việc, Y=vui chơi,
Z=im lặng (Albert Einstein's).
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 7
 Dạng 3 (x+a)
4

+ (x+b)
4

=c (3)
Cách giải: Đặt t= x+
a+b
2
lúc đó phương trình (3) được
viết lại như sau:







t+
a-b
2
4
+






t-
a-b
2
4
=c
 2t
4

+3(a-b)
2

t
2

+
(a-b)
4

8
-c=0
Giải phương trình trùng phương này ta tìm được t rồi từ
t suy ra giá trị của x
Ví dụ: Giải phương trình (x+1)
4

+ (x+3)
4

= 272
Giải: Đặt t=x+2 Lúc đó phương trình đã cho được
viết lại là: (t-1)
4

+(t+1)
4

=272
 t
4

+6t
2

-135=0 Đặt X=t
2

 0 khi đó ta có

X
2

+6X-135=0  X=9, X=-15<0 (loại)
Khi X=9  t
2

=9  t

1=
3, t

2
=-3  x

1
= 1, x

2
= -5
Vậy phương trình có hai nghiệm là x

1
=1,x

2
=-5
BÀI TẬP
Giải phương trình sau:
1. (x-2)

4

+ (x-4)
4

=2
2. (x+4)
4

+ (x+6)
4

=82
3. (x+3)
4

+ (x+5)
4

=2
Tìm m để phương trình (x+1)
4

+(x+5)
4

=m
4. có nghiệm
5. có 2 nghiệm phân biệt
6. có 4 nghiệm phân biệt

7. có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng
8. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
(x+1)
4

+(x+m)
4

=82
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 8
 Nhân đây tôi cũng muốn mở rộng dạng toán này
thông qua ví dụ sau:
Ví dụ: Giải phương trình: (x-2)
6

+ (x-4)
6

=64
Đặt t=x-3 khi đó phương trình viết lại như sau:
(t+1)
6

+ (t-1)
6

=64  t
6

+15t
4

+15
2

-31=0
Đặt X=t
2

 0 lúc đó phương trình viết lại như sau:
X
3

+15X
2

+15X-31=0
 (X-1)(X
2

+16X+31)=0
 X

1
=1, X

2
=-8+

33 <0( loại) X

3
=-8-
33<0(loại)
Với X=1  t
2

=1  t

1
=1, t

2
=-1  x

1
=4, x

2
=2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là: x

1
=4, x

2
=2
Tương tự giải phương trình sau:
1. (x-1)

6

+(x-2)
6

=1
2. (x+2)
6

+ (x+4)
6

=64
3. Tìm m để phương trình (x-1)
6

+ (x-3)
6

=m có nghiệm

NGHIỆM CỦA ĐỜI ANH
Lối vào tim em như một đường hàm số
Uốn vòng vèo như đồ thị hàm sin
Anh tìm vào tọa độ trái tim
Mở khoảng nghiệm có tình em trong đó
Ôi mắt em phương trình để ngỏ
Rèm mi mịn màng nghiêng một góc anpha
Mái tóc em dài như định lí Bunhia
Và môi em đường tròn hàm số cos

Xin em đừng bảo anh là ngốc
Sinh nhật em anh tặng trái cầu xoay
Và đêm Noel hình chóp cụt trên tay
Anh giận em cả con tim thổc thức
Mãi em ơi phương trình không mẫu mực
Em là nghiệm duy nhất của đời anh.

Mục đích sống ở trên đời là sống có mục đích.
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 9
 Dạng 4: af
2

(x) + bf(x)g(x) + cg
2

(x) =0 (4)

Với dạng này ta xét hai trường hợp:
TH1: g(x)=0 , gọi x= x

o
là nghiệm của phương trình
g(x)=0
Lúc đó nếu f(x

o
)=0 thì x=x

o
là nghiệm của phương trình
(4) đã cho.
Ngược lại nếu f(x

o
)≠ 0 thì kết luận nghiệm của phương
trình g(x)=0 không phải là nghiệm của phương trình đã
cho.
TH2: g(x)≠ 0, ta chia cả hai vế của phương trình (4) đã
cho g(x).Khi đó ta có:
a






f(x)
g(x)
2
+ b






f(x)
g(x)

+c =0 (4.1)
Đặt t=
f(x)
g(x)
khi đó phương trình (4.1) đã cho trở thành
at
2

+bt +c=0 (4.2)
Giải phương trình này ta tìm được t
Giả sử t=t

o
là nghiệm của phương trình (4.2) Khi đó
nghiệm của phương trình (*) đã cho là nghiệm của
phương trình
f(x)
g(x)
=t

o
 f(x)=t

o
g(x)
Ví dụ:Giải phương trình: (x
2

+6)
2

-8x(x
2

+6)+7x
2

=0
Ta có nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương
trình đã cho.Khi đó với x≠ 0 ta chia hai vế của phương
trình cho x
2

. Lúc đó phương trình được viết lại như sau
(x
2

+6)
2

x
2

-8
(x
2

+6)
x
+7=0

www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 10
Đặt t=
(x
2

+6)
x
khi đó phương trình đã cho được viết lại
như sau: t
2

-8t+7=0  t

1
=1, t

2
=7
Khi t

1
=1 thì ta có phương trình x
2

- x +6 =0 (Vô
nghiệm)
Khi t

2
=7 thì ta có phương trình x
2

-7x+6 =0
 x

1
=1, x

2
=6
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x

1
=1, x

2
=6
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau:
1. (x+3)
2

- x
2

-x+6 = 2(x-2)
2

2. 2(x
2

+x+1)
2

-7(x-1)
2

=13(x
3

-1)
3. 4
x

+ 6
x

= 9
x


4. 2(x-1)
2

+ 3(x
2

-1)=5(x+1)
2


5. 2010
2x
-3.4002
x
+2.4
x
=0
6. 3.16
x
+2.81
x
=5.36
x

7. 2.4
1
x
+6
1
x
=9
1
x

8. Giải và biện luận các phương trình sau:
a. 2(x

2

+x+1)
2

+(m-1)(x
3

-1) +(x-1)
2

=0
b. 49
x
- 4.21
x
+m.9
x
=0
9. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt
x

1
, x

2
thoả mãn 2< x

1
 x

2
 5






2+
5
2x
+






5-2
2x
+ m = 0
- Không gì gần sát cái đúng bằng cái sai. (Albert Einstein's)
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 11
 Dạng 5
m
x+a
+

m
x+b
-
m
x+c
-
m
x+d
= n (5)

Trong đó a+c = b+d = p và giả thiết phương trình đã cho
là xác định.
Vói loại này ta có phương pháp giải như sau:
Đưa phương trình về dạng:
m
x+a
-
m
x+c
+
m
x+b
-
m
x+d
=n quy đồng ta được:
m(c-a)
x
2

+px+ac
+
m(d-b)
x
2

+px+bd
=n
Khi đó đặt t=x
2

+px ta được phương trình có dạng
k
t+
+
h
t+
=n
Phương trình trên thì các bạn có thể giải được dễ dàng
nhờ phương pháp quy đồng rồi từ đó có thể suy ra
nghiệm của (1)
Ví dụ:
Giải phương trình
1
x+3
+
1
x+4
-
1

x+5
-
1
x+6
=
59
420
(5.1)
Theo cách làm như đã hướng dẫn ta có phương trình (5)
tương đương với phương trình sau:
3
x
2

+9x+18
+
1
x
2

+9x+20
=
59
420

Đặt t = x
2

+9x khi đó ta có phương trình sau
3

t+18
+
1
t+20
=
59
420

Giải phương trình trên ta có nghiệm là
-1152
59
, 10
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 12
Khi đó ta có các nghiệm của phương trình đã cho
là: 1, -10,
-9
2
+
3 1121
118
,
-9
2
-
3 1121
118

BÀI TẬP

Giải các phương trình sau
1.
1
x+2
+
1
x+5
-
1
x+4
-
1
x+7
=
29
252

2.
4
x
2

-3
+
4
x
2

-5
-

4
x
2

+7
-
4
x
2

+9
=
43
36

3. Giải và biện luận phương trình sau:
3
x
2

+1
+
3
x
2

+2
-
3
x

2

+3
-
3
x
2

+4
=m (5.2)
4. Tìm m để phương trình (5.2) có hai nghiệm phân biệt
mà hai nghiệm ấy phải thuộc [-2, 2], khi nào thì (5.2)
có 4 nghiệm phân biệt.

- Ai đó ví người theo nghề giáo như những người
chèo đò cần mẫn đưa khách sang sông. Bao thế hệ
người đến rồi đi và chỉ có người lái đò ở lại Thầy
cô là thế, luôn miệt mài với công việc của mình để
dìu dắt bao thế hệ trí thức, luôn sẵn sàng cho đi
những gì tinh túy nhất cuộc đời mình mà không
mong nhận lại điều gì

- Đừng khóc vì những gì đã mất mà hãy cười với
những gì đang có.
- Mọi sáng tạo và cái mới chỉ có thể tới được trên cơ
sở cách nhìn nhận mới, cách nghĩ mới, không theo
lối mòn cũ.
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 13

 Dạng 6
*

x
4

=ax
2

+bx+c (6) trong đó a, b,c
là hằng số.
Với dạng này ta có phương pháp giải như sau:
Chọn giá trị mR sao cho m thoả mãn
(2m+a)x
2

+bx +c+m
2

= (x+)
2

(6.1)
Thực chất để xảy ra (6.1) thì điều kiện cần và đủ là
b
2

-4(2m+a)(c+m
2

)=0
Từ đó giải phương trình này theo m thì ta có thể tìm
được giá trị m cần tìm.
Ta có x
4

=ax
2

+bx+c
 x
4

+2mx
2

+m
2

=(2m+a)x
2

+bx +c+m
2


Với cách chọn giá trị m như trên ta có thể đưa về
dạng (x
2

+m)
2

= (x+)
2


 (x
2

-x-+m)(x
2

+x++m)=0
Đây là phương trình tích nên bạn có thể giải được dễ
dàng
Ví dụ: Giải phương trình: x
4

=6x
2

-
37x +3 (6.2)
Trước hết ta cần chọn giá trị m sao cho
37-4(2m+6)(m
2

+3)=0
Phương trình này có m

ột nghiệm thực duy nhất là
m=-
5
2

Như đã trình bày trong phần cách giải (6) ta có
x
4

-5x
2

+
25
4
= x
2

-
37x+
37
4









x
2

-
5
2
2
=






x-
37
2
2









x
2

+x-
5
2
-
37
2






x
2

-x+
37
2
-
5
2
=0
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 14
, , , 
1
2
11 2 37
2

 
1
2
11 2 37
2

1
2
11 2 37
2

1
2
11 2 37
2
Giải phương trình tích này ta có các nghiệm là:


Chú ý đối với phương trình x
4

=6x
2

+bx+3 thì ta

chọn giá trị m cần chọn là m=
(b
2

-64)
1
3

2
-1
BÀI TẬP
Giải phương trình sau
1. x
4

= 6x
2

+
56x+3
2. x
4

=x
2

+2x-
19
5

3. Tìm điều kiện để phương trình sau có nghiệm
phân biệt
x
4

= 6x
2

+
(8m
3

+64) x +3 (6.3)
4. Khi nào thì phương trình (6.3) có 2 nghiệm dương
phân biệt nằm thuộc vào [-2, 2]

- Thế giới quá rộng lớn. Những con người bé nhỏ cứ
đi mãi, đi mãi trên khắp các con đường. Thế rồi tình
cờ, hai trong số họ gặp nhau. Nói với nhau vài câu
rồi rời đi. Giúp đỡ nhau tí chút để trở thành bạn bè.
Hay nhiều hơn nữa, họ ở lại bên nhau, nương tựa,
nâng đỡ tâm hồn nhau. Bao nhiêu phương án có thể
xảy ra. Tôi chợt hiểu, để tìm thấy một người khiến
thật tâm mình rung động, yêu thương không tính
toán, trao gửi hết tất cả bí mật mới khó khăn và
thiêng liêng làm sao (Dạt vòm – Phan Hồn Nhiên)



www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 15
,5 1  1 5
 Dạng 7 a(ax

2

+bx+c)
2

+b(ax
2

+bx+c) +c=x (7)

Đặt t= ax
2

+bx+c khi đó ta có hệ phương trình sau:





ax
2

+bx+c=t
at
2

+bt+c=x

Giải hệ phương trình này ta thu được nghiệm của
phương trình đã cho.

Ví dụ: Giải phương trình sau:
(x
2

+3x-4)
2

+3(x
2

+3x-4) =x+4 (7.1)
Đặt t=x
2

+3x-4 Khi đó ta có hệ phương trình sau:





x
2

+3x-4=t
t
2

+3t-4=x
(7.2)
Giải hệ (7.2) bằng cách lấy phương trình thứ nhất trừ

phương trình thứ hai khi đó ta có
(x
2

-t
2

)+4(x-t)=0  (x-t)(x+t+4)=0
Với t=x thì ta có các nghiệm là
Với t=-x-4 thì các nghiệm là 0, 4
Vậy phương trình (7.1) có 4 nghiệm là
0, 4,
5-1, - 5-1

BÀI TẬP
Giải các phương trình sau
1. (x
2

+4x+2)
2

+4(x
2

+4x+2)=x-2
2. (x
2

-4x+3)

2

-4x
2

+15x-9=0
Cho phương trình (x
2

+5x+m)
2

+5x
2

+24x+6m=0
3. Giải phương trình khi m=-12
4. Giải phương trình khi m=-22
5. Giải và biện luận nghiệm của phương trình đã cho.
6. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có it
nhất hai nghiệm dương phân biệt.
Cho phương trình sau:
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 16
2m(2mx
2

+3x+m)
2

+6mx
2

+8x+4m=0
7. Giải phương trình khi m=-
2
3

8. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho chỉ có
hai nghiệm phân biệt.
9. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
(x
2

-2x+2)
2

+2(1-m)(x
2

-2x+2)+m
2

-2m+4=0

Yêu Toán nhất
Tặng IMO-48 lần đầu tiên tổ chức tại Việt Nam 7/2007
(Tôi chỉ trích dẫn)

Bạn ơi, Toán học là gì?
Đó là thủ thuật, đó là tinh khôn!
Là tư duy lôgic, ma lanh,
Giúp cho đời những giải pháp nhanh,
Rút ngắn thời gian và đầu tư công của,
Để thu về cuộc sống optimal!

Chính vì thế mà ta đã yêu!
Yêu, yêu nhất suốt đời ta là Toán!
Toán cho ta một bầu trời trí tuệ,
Một kho tàng chìa khóa để tư duy.

Hệ thống công thức, định lý Toán là một loài hoa,
Nở rộ hàng ngày và đẹp mãi trong ta.
Song đặc biệt chúng không bao giờ tàn lụi,
Chỉ có đẹp thêm, đẹp thêm, tràn đầy sức sống!

Nay Toán yêu của ta có thêm Tin cộng lực
Dù yêu Tin, ta vẫn yêu Toán nhất trên đời!

Hà Nội, 30/7/2007

- Thành công có 99% là mồ hôi và nước mắt.
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 17
 Dạng 8: ax
2

+bx+c=

px
2

+qx+r
trong đó aq=bp≠ 0 và giả thiết biểu thức trong căn là
không âm

Với loại này ta có cách giải như sau:
Viết phương trình đã cho dưới dạng:
a.






x
2

+
b
a
x+
c
a
= p x
2

+
q

p
x+
r
p
(8.1)
Khi đó đặt t = x
2

+
b
a
x= x
2

+
q
p
x (do aq=bp≠ 0)
Phương trình (8.1) được viết lại là:
a
p







t+
c

a
= t+
r
p
(việc giải phương trình này đã dễ
dàng hơn rồi bạn nhỉ !).
Tiến hành giải phương trình này ta được t rồi từ đó
suy ra nghiệm x của phương trình đã cho
Ví dụ Giải phương trình sau
x
2

-3x+2=
2x
2

-6x+28 (8.2)
Đặt t= x
2

-3x khi đó phương trình đã cho viết lại
như sau:
t+2=
2 t+14 





t+20

(t+2)
2

=2(t+14)
 t

1
=4, t

2
=-6
Khi t=4 thì ta có x
2

-3x =4  x

1
=-1, x

2
=4.
Khi t=-6 thì ta có x
2

-3x=-6  phương trình không có
nghiệm thực.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thực là -1, 4

BÀI TẬP
Giải các phương trình sau:

1. 2x
2

-3x+2=
4x
2

-6x+28
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 18
2. x
2

-7x +2=
2x
2

-14x+84
Cho phương trình sau x
2

-7x+m -
3x
2

-21x+85 =0
3. Giải phương trình khi m=19
4. Giải và biện luận theo m nghiệm của phương
trình.

Cho phương trình 6x
2

-12x+5=
2x
2

-4x+m (8.3)
5. Giải phương trình khi m= 85, m=2.
6. Giải phương trình khi m=
119
72

7. Tìm giá trị m để phương trình (8.3)chỉ có hai
nghiệm mà hai nghiệm đó đều dương.
8. Tìm giá trị của m để phương trình (8.3) có bốn
nghiệm phân biệt.
- Cuộc đời làm nhà giáo là hiến dâng sức lực, trí tuệ, tài
năng, sức sống cho lớp lớp học sinh. Đó là một cuộc đời
nặng nhọc, mòn mỏi trái tim, là những đêm không ngủ, là
những sợi tóc bạc. Đó là một cuộc sống vất vả nhất nhưng
vui tươi nhất, là một sáng tạo đầy hồi hộp. Chúng ta sáng
tạo ra con người và chính vì thế đó là một niềm hạnh phúc
lớn lao, một hạnh phúc chân chính. Lao động của chúng ta
là lao động không có gì so sánh nổi, là lao động từ năm này
qua năm khác, là sự nghiệp trăm năm trồng người. Bởi vậy,
nghề giáo là những nghề cao quý. Để trở thành một nhà
giáo ưu tú phải có một tình yêu vô hạn đối với lao động, có
năng lực chuyên môn, có tinh thần sáng khoái, có trí tuệ
sáng suốt, có tâm hồn cao đẹp để những lời giảng vang lên

không phải là những âm thanh trống rỗng mà chính là
nguồn mạch nuôi lớn tâm hồn và trí tuệ học sinh.
- Hồn tôi mãi mãi cháy bỏng, hồn tôi mãi mãi vun xới và
nâng niu…Nếu có kiếp sau, tôi xin được làm thầy giáo dưới
bầu trời Việt Nam.
(Những lời trên là của thầy trưởng Khoa Văn trường ĐHSP
Huế trong dịp kỉ niệm ngày nhà giáo Việt Nam(20-11-2009)
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 19
 Dạng 9






1
f(x)+a
2
+






1
f(x)+b
2

= c
(9)
Giả sử các biểu thức ở mẫu luôn khác không.
Với loại này ta đặt X= f(x)+
a+b
2
và =
b-a
2
khi đó
phương trình đã cho được viết lại như sau:






1
X-
2
+






1
X+
2

= c
Tiến hành quy đồng mẫu ta có phương trình sau:
cX
4

-2(c
2

+1)X
2

+ c
4

-2
2

=0 (9.1)
Phương trình (9.1) là một phương trình trùng phương
theo X mà bạn có thể giải được dễ dàng .
Khi tìm được X = X

0
là nghiệm thì dựa vào cách đặt
X ta đưa phương trình đã cho về dạng:
f(x) +
a+b
2
=X

0

Lúc này bạn có thể tìm được x dễ dàng bằng cách
giải phương trình trên.
Lưu ý: Dạng phương trình






k
f(x)+a
2
+






k
f(x)+b
2
=c ta
luôn đưa về được dạng phương trình (9)

Ví dụ: Giải phương trình:







1
sin(x)-1
2
+






1
sin(x)-2
2
=
40
9
(9.2)

Đặt t=sin(x)-
3
2
khi đó phương trình (9.2) viết lại
như sau:
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 20







1
t+
1
2
2
+






1
t-
1
2
2
=
40
9
 18t
2

+

9
2
= 40t
4

-20t
2

+
5
2

 40t
4

-38t
2

-2= 0  t

1
=-1, t

2
=1
Với t=-1 sin(x)=
1
2
 x= (-1)
k


6
+ k (kZ)
Với t=1  sin(x)=
5
2
( vô nghiệm)
Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là
x= (-1)
k


6
+ k (kZ)
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau:
1.






1
x
2

-3
2

+






1
x
2

-2
2
=
5
4

2.






3
2cos
2

(x)-2
2

+






3
2sin
2

(x)+1
2
=40
3.






4
e
2x

+1
2
+







4
e
2x

+3
2
=5
4.






3
x+4
x-2
2
+






3

x+4
x-6
2
=10
Cho phương trình






12
x
2

-3x+5
2
+






12
x
2

-3x+6
2

=m (9.3)
5. Giải phương trình khi m=25.
6. Biện luận số nghiệm của phương trình (9.3).
- Bạn và tôi cùng chung mục đích, lý tưởng thì ắt phải đi
chung trên một con đường rồi cuối cùng sẽ gặp nhau.
- Đừng sợ hãi khi bạn phải đối đầu với một đối thủ mạnh
hơn, mà phải vui mừng vì bạn đã có cơ hội chiến đấu
hết mình.

www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 21
 Dạng 10 (Phương trình phản phương)
ax
4

+bx
3

+cx
2

 bx+a=0 (a≠ 0) (10)

Với loại này ta có nhận xét x=0 không phải là
nghiệm của phương trình đã cho
Khi x≠ 0 thì ta chia hai vế xủa phương trình cho x
2

khi đó ta được ax
2

+bx+c 
b
x
+
a
x
2

=0
 a






x
1
x
2
+b







x
1
x
+c 2=0
Đặt t= x 
1
x
khi đó ta có phương trình mới
at
2

+bt +c 2=0 (10.1)
Việc giải phương trình (10.1) là dễ dàng, tìm được t
sau đó dựa vào cách đặt t ta suy ra x.
Ví dụ: Giải phương trình x
4

-4x
3

+x
2

+4x+1= 0
Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương
trình đã cho.
Với x≠ 0, thì ta chia hai vế của phương trình
cho x
2

khi đó ta có






x-
1
x
2
-4






x-
1
x
+3=0
Đặt t=x-
1
x
lúc đó ta có phương trình
t
2

-4t+3=0  t

1
=1, t

2
=3
Với t=1 thì ta có phương trình
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 22
x
2

-x-1=0  x

1
=
1+
5
2
, x

2
=
1-
5
2

Với t=3 thì ta có phương trình
x

2

-3x-1=0  x

3
=
3+
13
2
, x

4
=
3-
13
2

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm
x

1
=
1+
5
2
, x

2
=
1-

5
2
, x

3
=
3+
13
2
, x

4
=
3-
13
2


BÀI TẬP
Giải phương trình
1. 9x
4

-9x
3

-52x
2

-9x+9=0

2. x
4

+ 2x
3

-6x
2

-2x+1=0
3. x
4

+10x
3

+26x
2

+10x+1=0
Cho phương trình x
4

+5x
3

+mx
2

+5x+1=0 (10.2)

4. Giải phương trình khi m=-12.
5. Giải và biện luận số nghiệm của phương trình.
6. Cho phương trình sau
x
4

- (m+1)x
3

+(m+2)x
2

- (m+1)x+1=0
Tìm m để phương trình có nghiệm.
7. Cho phương trình sau
x
4

+mx
3

+x
2

+mx +1=0
Tìm m để phương trình có ít nhất hai nghiệm âm khác
nhau.
8. Biết phương trình x
4

-bx
3

- cx
2

- bx+1=0 có nghiệm
Chứng minh rằng: b
2

+(c+2)
2

>3
Con đường phía trước vẫn còn nhiếu khó khăn ,
nhưng quan trọng ta có bản lĩnh đề vượt qua hay
không ? Chính niềm đam mê sẽ góp thêm sức mạnh
cho ta
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 23
 Dạng 11 (Phương trình hồi quy)
ax
4

+bx
3

+cx
2

 dx+k=0 (11) trong đó kb
2

=ad
2


Ở đây chỉ xét trường hợp k≠ 0, còn khi k=0 thì
phương trình đã suy biến về phương trình bậc ba.
Với loại này ta có cách giải như sau
Trước hết để thuận tiện ta đặt =
d
b
=
k
a

Ta có nhận xét x=0 không phải là nghiệm của
phương trình (11).
Với x≠ 0, ta chia hai vế của phương trình (11) cho
x
2

thì thu được phương trình sau:
ax
2

+bx +c 
d

x
+
k
x
2

=0
 a






x
2

+

2

x
2

+b







x

x
+c =0
 a






x

x
2
+b






x

x
+c  2a=0
Đặt t= x 

x

khi đó ta có phương trình bậc hai
at
2

+bt+c  2a=0 Việc giải phương trình này ta có
thể thực hiện dễ dàng. Tìm được t từ đó ta tìm
được x dựa vào cách đặt t.

Ví dụ: Giải phương trình: x
4

+x
3

-8x
2

+2x+4=0
Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương
trình đã cho.
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 24
Tiến hành chia hai vế của phương trình đ
ã cho cho
x
2

khi đó ta thu được:







x
2

+
4
x
2

+






x+
2
x
-8=0
Đặt t= x+
2
x
lúc đó ta sẽ có được phương trình là:
t
2

+t-12=0  t

1
=3, t

2
=-4
Với t=3 thì ta có phương trình
x
2

-3x+2=0  x

1
=1, x

2
=2
Với t= -4 thì ta có phương trình
x
2

+4x+2=0  x

3
=-2+
2 , x

4

=-2-
2
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm thực là:
x

1
=1, x

2
=2, x

3
=-2+
2 , x

4
=-2-
2

BÀI TẬP
Giải các phương trình sau
1. 4x
4

+2x
3

-8x
2

+3x+9=0
2. x
4

+ x
3

-8x
2

-3x+9=0
Cho phương trình x
4

+x
3

+mx
2

+2x+4=0
3. Tìm m để phương trình đã cho có bốn nghiệm
phân biệt.
4. Tìm m để phương trình có một số lẻ nghiệm.
Cho phương trình 9x
4

+3x
3

-2m
2

x
2

+4x+16=0
5. Giải phương trình khi m=4
6. Giải phương trình khi m=
12-2 3 , m= 12+ 3
7. Tìm m để phương trình có một số chẳn nghiệm.
8. Khi nào thì phương trình có một số chẳn nghiệm

- Chẳng có gì đáng giá bằng nụ cười và tình yêu thương của bạn bè.
- Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng.
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 25
 PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA TỔNG QUÁT
AX
3

+BX
2

+CX+D=0(A≠ 0) (12)
Sau đây tôi xin cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quát
hơn về phương trình bậc ba.
Trước hết ta chú ý rằng phương trình (12) luôn luôn
được đưa về dạng x

3

+ax
2

+bx+c=0 (12.1) nên ta chỉ
cần xét phương trình này.
Đặt x=t-
a
3
khi đó phương trình (12.1) được đưa về
dạng






t-
a
3
3
+a






t-

a
3
2
+b






t-
a
3
+c=0
 t
3

+






b-
a
2

3
t +







2a
3

27
-
ab
3
+c
=0
Đặt p= b-
a
2

3
, q=
2a
3

27
-
ab
3
+c khi đó ta có phương
trình t

3

+pt+q=0 (12.2)
TH1: Nếu p=0 thì ta có phương trình t
3

+q=0 t=-
3
q
Tức là đã giải được  nên ta không cần xét tiếp nữa
TH2: Nếu p>0 thì ta đặt t =
p
3
u khi đó (12.2) viết lại
là:






p
3
u
3
+p
p
3
u +q=0  u
3

+3u=
-3
3q
p p

Đặt m=
-3 3q
p p
khi đó ta có phương trình u
3

+3u = m
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 26
TH3: Nếu p<0 thì ta đặt t=
-p
3
u khi đó (12.2) vi
ết lại
là:






-p
3

u
3
+ p
-p
3
u +q=0  u
3

-3u =
3
3q
p -p

Đặt m=
3 3q
p -p
thì ta có phương trình là u
3

-3u =m
Kết luận:

Mọi phương trình bậc ba luôn luôn có thể đưa về dạng
x
3

+3x=m hoặc x
3

-3x=m

Ta có đồ thị hàm y=x
3

+3x như sau

Dựa vào đồ thị ta nhận xét phương trình x
3

+3x=m có
duy nhất nghiệm.
www.VNMATH.com